Giao Trinh Hh-Vkt (Dh2011).Doc

Phần i. hình học-họa hình
Chơng 1. Phép chiếu và đồ thức
1.1. Khái niệm và các loại phép chiếu
1.1.1. Khái niệm
Trong không gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S không phụ thuộc
mặt phẳng P. Gọi là mặt phẳng P là mặt phẳng hình chiếu, điểm S là tâm chiếu.
Từ một điểm A bất kỳ trong không gian kẻ đờng thẳng SA , đờng này cắt mặt
phẳng P tại một điểm A, làm nh vậy ta đà thực hiện một phép chiếu (hình 1-1).
Đờng thẳng SA gọi là đờng thẳng chiếu hay tia chiếu và điểm A gọi là
hình chiếu của điểm A từ tâm S lên mặt phẳng P.
Vậy, hình chiếu của điểm A là một điểm A, nếu A thuộc mặt phẳng P thì
A trùng với A. Hiển nhiên A không chỉ là hình chiếu của điểm A mà còn là
hình chiếu của một điểm bất kì của đờng thẳng SA
S

S
A
A

B
C

P

A'

P

A'B'C'

Hình 1-1

1.1.2. Các loại phép chiếu
a. Phép chiếu xuyên tâm:
Hình chiếu xuyên tâm của điểm A là giao điểm A của đờng thẳng SA và
mặt phẳng hình chiếu P. Nói chung hình chiếu xuyên tâm của một đờng thẳng k
đi qua hai điểm A, B là đờng thẳng k đi qua hình chiếu A, B của hai điểm A,B
(hình 1-2)

S
k
A

B

A'
B'

P

k

Hình 1-2
b. Phép chiếu song song:
- Định nghĩa: Trong không gian lấy một mặt phẳng P (gọi là mặt phẳng
hình chiếu) và một đờng thẳng s cắt P (gọi là hớng song song). Hình chiếu song
song của điểm A là giao điểm A của đờng thẳng A, song song víi s.
- TÝnh chÊt:
+ H×nh chiÕu song song của đờng thẳng d là đờng thẳng d.
1

+ Hai đoạn thẳng song song AB và CD có hình chiếu là hai đoạn thẳng
AB,CD thì AB// CD và AB:CD=AB:CD (hình 1-3)

D

B
A

C

A'

C'
B'

P

D'

Hình 1-3
+ Nếu hình chiếu của 3 điểm thẳng hàng ABC là 3 điểm thẳng hàng ABC
thì tỷ số AB:CD= AB:CD
+ Một đờng thẳng song song với hớng chiếu có hình chiếu suy biến thành
một điểm.
+ Một đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu
của nó là AB song song và bằng đoạn thẳng đó (hình 1-4).

B

A

A'

B'

P
Hình 1-4
+ Điểm M thuộc mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu M trùng với M, đờng
thẳng d thuộc mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của nó là d trùng d.
c. Phép chiếu thẳng góc
- Định nghĩa: Phép chiếu thẳng góc (vuông góc) là phép chiếu song song,
có hớng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P.
- Tính chất: Phép chiếu thẳng góc có tính chất của phép chiếu song song và
điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thẳng góc thàng một goc vuông là
góc vuông đó có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu P (hình 1-5)

B
A
C
A' B'

C'

P
2


Hình 1-5
1.2.3. Những yêu cầu của bản vẽ kỹ thuật
a. Tính tơng đơng hình học: Yêu cầu của bản vẽ kỹ thuật là bản vẽ phải

thỏa mà tính tơng đơng hình học, tức là phải đợc xây dựng sao cho theo đó ngời
ta có thể dựng lại hình không gian mà nó biểu diễn. Nhng, phép chiếu công
cụ để xây dựng bản vẽ không thiết lập mối liên hệ một đối một giữa các yếu tố
trong không gian với các yếu tố trên mặt phẳng, bởi vì trong một phép chiếu
những điểm trên cùng một tia chiếu thì các hình chiếu trùng nhau và ngợc lại
một điểm bất kì trên mặt phẳng hình chiếu có thể xem là hình chiếu của vô số
điểm của đờng thẳng đi qua điểm ấy và tâm chiếu.
b. Tính trực quan: Ngoài tính tơng đơng hình học, trong kỹ thuật ngời ta
còn muốn bản vẽ phải có tính trực quan, tức là hình biểu diễn trên bản vẽ phải
gây lên đợc một ấn tợng gièng nh ngêi ta quan s¸t trùc tiÕp trong thùc tế. Muốn
có tính trực quan đó những điểm và đờng thẳng trong thực tế phải đợc biểu diễn
bằng những điểm và đờng thẳng trong bản vẽ.
1.2.4. Những phơng pháp biểu diễn thờng gặp:
a. Phơng pháp hai hình chiếu thẳng góc (phơng pháp Môngjơ): Hình
biểu diễn xây dựng bằng phơng pháp này đợc dùng nhiều nhất trong kỹ thuật và
thờng là bộ phận chính trong bản vẽ.
b. Phơng pháp hình chiếu trục đo: Trong các bản vẽ cơ khí, bên cạnh
những hình chiếu thẳng góc thờng ngời ta vẽ thêm hình biểu diễn xây dựng bằng
phơng pháp hình chiếu trục đo để tăng thêm tính trục quan cho bản vẽ.
c. Phơng pháp hình chiếu phối cảnh: Phơng pháp này đợc dùng nhiều
trong các bản vẽ xây dựng và kiến trúc, để biểu diễn những công trình xây dựng
lớn.
d. Phơng pháp hình chiếu có số: Phơng pháp này đợc dùng trong kỹ
thuật xây dựng, đo đạc, để diễn tả công trình đất, những miền rộng lớn
Câu hỏi và bài tập
Câu 1. Nêu khái niệm và các loại phép chiếu?
Câu 2. Nêu định nghĩa và các tính chất của phép chiếu song song?
Câu 3. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của tâm O và hai đỉnh A,
B của hình bình hành ABCD là O, A, B (hình 1-6). HÃy vẽ hình chiếu hình
bình hành trên mặt phẳng đó?

B'
O'

A'
Hình 1-6
Câu 4. Cho nguồn sáng S, mặt phẳng nằm ngang P, mặt phẳng nghiêng Q và một
cây sào thẳng đứng AB có BP (hình 1-7). Vẽ bóng cấy sào AB đổ lên P và Q
do nguồn sáng S gây ra? Biết hình chiếu theo phơng thẳng đứng của S lên P và Q
lần lợt là S1 và S2.
3


S

A

Q

B

S1

P
S2

Hình 1-7
Câu 5. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo đờng thẳng g, 3 điểm A, B, C bất
kì thuộc mặt phẳng Q và 3 đờng thẳng a, b, c bất kỳ thuộc P (hình 1-8). Xác định
tâm chiếu S sao cho hình chiếu của A, B, C từ S lên P lần lợt thuộc a, b, c?

Q

g
c
a

b
P

Hình 1-8
Chơng ii. điểm, đờng thẳng, mặt phẳng
2.1. Điểm
2.1.1. Đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu thẳng góc.
a. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu trong không gian.
Trong không gian, lấy hai mặt phẳng vuông góc với nhau (hình 2-1):
- P1 thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng
- P2 nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng
- Hớng chiếu vuông góc với P1 gọi là hớng chiếu đứng
- Hớng chiếu vuông góc với P2 gọi là hớng chiếu bằng
- Đờng thẳng x (giao tuyến của 2 mặt phẳng hình chiếu này) gọi là trục
chiếu x
- Hai mặt phẳng hình chiếu P1, P2 chia không gian làm 4 góc phần t I, II,
III, IV
- Trục x chia P1 làm hai nửa: nửa trên, nưa díi; chia P2 lµm hai nưa: nưa tríc vµ nöa sau.

4


P1
II

I

x

III
IV

P2

Hình 2-1
b. Xây dựng đồ thức.
Giả sử có điểm A trong góc phần t thứ I. Chiếu vuông góc điểm A lên mặt
P1 đợc hình chiếu đứng A1; lên mặt P2 đợc hình chiếu bằng A2; Ax là giao điểm
của đờng thẳng c với mặt phẳng (AA1AxA2); A2A=AxA1 gọi là ®é cao cđa ®iĨm
A; A1A=AxA2 gäi lµ ®é xa cđa điểm A (hình 2-2a).
P1

P1P2

A1

A1

A

II
I

Ax

Ax

x

x

III
IV

A2

A2

P2

Hình 2-2a
Hình 2-2b
Quay mặt phẳng P2 quay quyanh trục x, trùng với mặt phẳng P1 sao cho
nửa tríc P2 tíi trïng víi nưa díi P1, nưa sau P2 trùng với nửa trên P1. Ta có mặt
phẳng đồ thức P1P2. Khi đó trên mặt phẳng đồ thức A xA1x và AxA2x, nên 3
điểm A1AxA2 trở thành thẳng hàng (hình 2-2b).
c. Định nghĩa và tính chất
- Định nghĩa: Đồ thức của điểm A trong hệ thống hai mặt phẳng hình
chiếu P1P2 theo x là một cặp điểm A1, A2 cùng nằm trên một đuỷongf thẳng
vuông góc với x trên mặt phẳng P 1P2; Đờng thẳng A1A2 vuông góc với trục x
gọi là đờng dóng đứng.
- Tính chất: Hai hình chiếu của điểm A là hai điểm cùng nằm trên đờng
dóng vuông góc với trục x.
Từ đồ thức này của điểm a, xác định lại điểm A duy nhất trong không gian
nh sau: Từ mặt phẳng đồ thức P 1P2, lấy mặt phẳng P2 quay quanh trục x tới vị

trí P2P1 . Đờng thẳng qua A2P2 sẽ cắt đờng thẳng qua A1P1 tại điểm A duy
nhất.
Mặt phẳng phân giác 1 là mặt phẳng đi qua trục x và chia đôi góc phần t I
và III; Mặt phẳng phân giác 2 là mặt phẳng đi qua trục x và chia đôi góc phần t
II và IV (hình 2-3a)

5


B1

E1

A1

P1
fg2

G1

C2
B2

fg1
x

H1

x
G2

D1
F1F2

A2

P2

C1

D2

H2

E2

Hình 2-3a
Hình 2-3b
Trên hình 2-3b điểm A ở góc phần t I; điểm B ở goc phần t II; điểm C ở
góc phần t thứ III điểm D ở góc phần t IV; điểm E thuộc mặt phẳng phân giác 1
(hai hình chiếu đối xứng qua trục x); điểm F thuộc mặt phẳng phân giác 2 (hai
hình chiếu trùng nhau); điểm G thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng P2; điểm H
thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng.
2.1.2. Đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu thẳng góc.
a. Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu trong không gian:
Trong không gian cùng với các mặt phẳng P 1, P2 ngời ta còn lấy mặt
phẳng P3 vuông góc với trục x, tức là vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu P 1,
P2; mặt phẳng P3 đợc gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh; hớng chiếu vuông góc
với P3 gọi là hớng chiếu cạnh. P1 P2 = trục x; P2 P3 = trục y; P1 P3 = trục z
tạo thành một hệ trục tọa độ oxyz.

P1

z

x
o
y

P2

P3

Hình 2-4
b. Xây dựng đồ thức:
Giả sử có điểm A trong góc phần t thứ I. Chiếu vuông góc điểm A lên mặt P1 đợc
hình chiếu đứng A1; lên mặt P2 đợc hình chiếu bằng A2; lên mặt P3 đợc hình
chiếu cạnh A3.

6


z
P1

z
Az

A1

P1P2P3

A1

A
x

A3

Ax

x

o
A2

A3

Az

Ay

Ax
o

y

Ay
y

A2

P2

Ay
y

P3

Hình 2-5a

Hình 2-5b

Trong đó:
- Ax là giao điểm của trục x và mặt phẳng (AA1A2)
- Ay là giao điểm của trục y và mặt phẳng (AA2A3)
- Az là giao điểm của trục y và mặt phẳng (AA1A3)
Điểm A có các khoảng các và tọa độ:
- A3A=AzA1=AyA2=OAx=XA (gọi là độ xa cạnh của điểm A)
- A1A=AxA2=AzA3=OAy=YA (gọi là độ xa của ®iĨm A)
- A2A=AxA1=AyA3=OAz=ZA (gäi lµ ®é cao cđa ®iĨm A)
Quay P2 quanh trơc x, tíi trïng víi P1; quay P3 quanh trục z, tới trùng với P1; mặt
phẳng đồ thức là mặt phẳng P1P2P3
c. Định nghĩa và tính chất:
- Định nghĩa: Đồ thức của điểm A trong hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu
thẳng góc P1P2P3 gồm 3 điểm A1, A2, A3 cùng với hai đờng thẳng vuông góc
với nhau x(y)z(y).
- Tính chất: Hai điểm A1, A2 cùng nằm trên một đờng dóng x; A1, A3
cùng nằm trên một đờng dóng x; AxA2=AzA3.
2.2. Đờng thẳng
2.2.1. Đồ thức của ®êng th¼ng
a. LËp ®å thøc cđa ®êng th¼ng:

Cã thĨ lËp đồ thức một đờng thẳng k trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu
nh sau (hình 2-6): Lấy hai điểm A, B thuộc k, tìm hình chiếu của A và B trên hai
mặt phẳng hình chiếu và đa hai mặt phẳng hình chiếu tới trùng nhau P1P2. Trên
hai mặt phẳng trùng nhau P1P2 vẽ hai đờng thẳng k1(A1B1) và k2(A2B2) sẽ đợc
đồ thức của đờng thẳng k.

7


P1
A1

k1 B1

A1

B

k

B1

k1

A
Bx

Ax

A2

k2

Bx

Ax

x
B2

B2

k2
P2

x

A2

Hình 2-6
b. Định nghĩa:
Đồ thức của đờng thẳng k(AB) là một cặp đờng thẳng k1(A1B1) và k2(A2B2)
trên mặt phẳng ®å thøc P1P2 , trong ®ã h×nh chiÕu ®øng k1 là đờng thẳng nối
hình chiếu đứng A1 với hình chiếu ®øng B1 cđa hai ®iĨm AB; h×nh chiÕu b»ng k 2
là đờng thẳng nối hình chiếu bằng A2 với hình chiếu bằng B2 của hai điểm AB
2.2.2. Các đờng thẳng có vị trí đặc biệt đối với mặt phẳng hình chiếu
Một đờng thẳng song song, hoặc vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu
đứng là đờng thẳng có vị trí đặc biệt đối với mặt phẳng hình chiếu.
a. Đờng thẳng đồng mức:
Đờng thẳng nằm song song với một mặt phẳng hình chiếu là đờng thẳng

đồng mức, gồm có: đờng bằng, đờng mặt, đờng cạnh.
- Đờng thẳng song song với P2 gọi là đờng bằng (hình 2-7) h(AB) thì
h1(A1B1)//x; h2(A2B2)//=AB; (AB, P1)=(A2B2,x)

P1
A1

B1

h1
A

Bx

Ax

A2

h2

A1

B
h

Bx

Ax

x

B2

h2
P2

B1

h1

x
B2

A2

Hình 2-7
- Đờng thẳng song song với P1 gọi là đờng mặt f(AB) thì f2(A2B2)//x;
f1(A1B1)//=AB; (AB, P2)=(A1B1,x)

8


P1
A1

f1

B1

A1

B

B1

f1

f

A
Ax

A2

Bx

x

f2

B2

Bx

Ax
A2

f2

x
B2

P2
Hình 2-8
- Đờng thẳng song song với P3 gọi là đờng cạnh p(AB) thì hình chiếu đứng
và hình chiếu bằng cùng vuông góc với trục x (hình 2-9), hình chiếu cạnh
p3(A3B3)//=AB; (AB, P2)=(AB, P1) )=(A3B3, z)
z
P1

z

p1

A1
B1

A1
p1

A
A1
p3
o

p

x
A2

B

p3

B1

B3

x

B1
P3
P2

B2 p2

A3

o
A2
p2
B2

y

y

y

Hình 2-9
b. Đờng thẳng chiếu:

Đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu đợc gọi là đờng
thẳng chiếu, có các đờng thẳng: đờng thẳng chiếu đứng, đờng thẳng chiếu bằng,
đờng thẳng chiếu cạnh.
- Đờng thẳng chiếu đứng AB là đờng thẳng vuông góc với P1 (hình 2-10),
hình chiếu đứng A1B1, hình chiếu bằng A2B2x và A2B2//=AB.
P1
A1k
A1k
A
k
A2
B2

x

x
B

A2

k2 P2

B2

k2

Hình 2-10
- Đờng thẳng chiếu bằng AB là đờng thẳng vuông góc với P2, hình chiếu
đứng A2B2, hình chiếu bằng A1B1x và A1B1//=AB (hình 2-11)
9

P1

A1
f1

A

B1

f

A1
f1
B1

x

x

B
A2f

P2

A2f

Hình 2-11
- Đờng thẳng chiếu cạnh AB là đờng thẳng vuông góc với P3, hình chiếu

đứng A3B3, hình chiếu bằng A1B1 và A2B2//x=AB (hình 2-12)
z
P1
A3p
z
p
1
A1
B1
A1 p1 B1
A3p
p
B
A
x
x
o
o
y
p2 B2

A2

P3
P2

A2
y
Hình 2-12

p2 B2 y

2.2.3. Điểm thuộc đờng thẳng
a. Mệnh đề 1: Một điểm C thuộc đờng thẳng (AB) thì mỗi hình chiếu của
điểm C phải thuộc một hình chiếu cùng tên của đờng thẳng (AB).
Khi ấy cùng thỏa mÃn tỉ số chiều dài 2 đoạn thẳng trên hình chiếu này
bằng tỉ số chiều dài 2 đoạn thẳng tơng ứng trên hình chiếu kia (hình 2-13):
A1B1:B1C1= A2B2:B2C2

P1
A1

C1 B1

A1

B

C1

B1

C

A

x

A2

C2

x

B2
A2

P2

C2

B2

Hình 2-13a
Hình 2-13b
b. Mệnh đề 2:
- MƯnh ®Ị 2a: NÕu ®å thøc cđa mét ®iĨm và một đờng thẳng không phải
đờng cạnh thoả mÃn: Hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đờng
thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đờng thẳng (tất
10


nhiên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm phải nằm trên một đờng
dóng đứng), thì đồ thức này biểu diễn điểm thuộc đờng thẳng trong không gian
(hình 2-13b).
- Mệnh đề 2b: Nếu đồ thức của một điểm và một đờng cạnh thỏa mÃn:
Hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đờng thẳng và hình chiếu
cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đờng thẳng (tất nhiên hình chiếu đứng
và hình chiếu cạnh của điểm phải nằm trên một đờng dóng ngang), thì đồ thức
đó biểu diễn một điểm thuộc đờng cạnh (hình 2-14a).

A1
z
A1

A3

C1
B1

C3

C1
x B1

A3

B3
y

o
y

x

C'

C3

B'

B3
Hình 2-14a
Hình 2-14b
- MƯnh ®Ị 2c: NÕu ®å thøc cđa mét ®iĨm C và một đờng cạnh AB có:
C1A1B1, C2A2B2 và có tỷ số A1B1:B1C1= A2B2:B2C2 thì điểm C thuộc đờng
cạnh AB (hình 2-14b).
2.2.4. Vết của đờng thẳng
a. Định nghĩa: Giao điểm của một đờng thẳng với một mặt phẳng hình
chiếu gọi là vết của đờng thẳng với mặt phẳng hình chiếu đó (hình 2-15). Giao
điểm của đờng thẳng k với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1.kxP1=M gọi là vết
đứng của đờng thẳng k.

P1

11

21
12

x

22

P2
Hình 2-15
b. Tính chất: Điểm MP1 nên độ xa bằng 0 và M2x (1). Điểm Mk nên
hình chiếu bằng M2k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: Hình chiếu bằng của vết đứng
đờng thẳng k là điểm M2=xx khoảng cách, hình chiếu đứng của vết đứng đờng
thẳng k là ®iĨm M1M suy ra M2.
Tõ ®ã suy ra ®Þnh nghÜa và các tính chất của vết bằng N và nết cạnh P của đờng

thẳng.
2.2.5. Đồ thức của hai đờng thẳng ở các vị trí khác nhau
11


a. Hai đờng thẳng cắt nhau:
- Mệnh đề 1: Nếu hai đờng thẳng cắt nhau trong không gian, thì mỗi cặp
hình chiếu cùng tên của chúng là hai đờng thẳng cắt nhau và hai giao điểm này
phải nằm trên cùng một đờng dóng tơng ứng (hình 2-16).

a1

b1

a2

b2

x

Hình 2-16
- Mệnh đề 2:
+ Mệnh đề 2a: Nếu đồ thức hai đờng thẳng không phải là đờng cạnh và
thỏa mÃn: Hình chiếu đứng của hai đờng thẳng là hai đờng thẳng cắt nhau, hình
chiếu bằng cũng là hai cắt nhau, hai giao điểm ứng với hai hình chiếu nằm trên
một đờng dóng vuông góc với trục x. Thì hai đờng thẳng đó trong không gian cắt
nhau.
+ Mệnh đề 2b: Nếu đồ thức hai đờng thẳng (trong đó chỉ có một đờng
cạnh) thỏa mÃn điều kiện: Hình chiếu đứng của hai đờng thẳng là hai đờng thẳng
cắt nhau, hình chiếu cạnh của hai đờng thẳng là hai đờng thẳng cắt nhau, giao

điểm trên hình chiếu đứng, trên hình chiếu cạnh nằm trên một đờng dóng ngang,
thì hai đờng thẳng là cắt nhau trong không gian (hình 2-17a).
z
M3
M1
A1
k1

b1
x

b1
N3

N1

b3

B1

x

y
y

A2
a2

k2

B2
Hình 2-17a
Hình 2-17b
Trong hai đờng có một đờng cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu
bằng không kết luận ngay chúng có cắt nhau hai không. Nếu hình chiếu đứng và
hình chiếu cạnh đúng với mệnh đề 2b thì hai đờng thẳng cắt nhau.
b. Hai đờng thẳng song song:
- Mệnh đề 1: Nếu hai đờng thẳng là song song trong không gian, thì trên
đồ thức mỗi hình chiếu cùng tên của chúng là hai đờng thẳng song song (h×nh 218a).

12


z
a1

b1

a1

a3

a2

C1

B1

D1

A2

C2

B2

D2

b3

b1

x

x

A1

x
y

b2

y

Hình 2-18a
Hình 2-18b
Hình 2-18c
- Mệnh đề 2:
+ Mệnh đề 2a: Trên đồ thức của hai đờng thẳng không phải là đờng cạnh

nếu thỏa mÃn: Hình chiếu đứng của chúng là hai đờng thẳng song song, hình
chiếu bằng của chúng là hai đờng thẳng song song, thì đồ thức đó biểu diễn hai
đờng thẳng song song trong không gian.
+ Mệnh đề 2b: Trên đồ thức của đờng cạnh nếu thỏa mÃn điều kiện: Hình
chiếu cạnh của chúng là hai đờng thẳng song song, thì đồ thức đó biểu diễn hai
đờng thẳng song song trong không gian (hình 2-18b).
Trong trờng hợp cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hai đờng
cạnh, cha thể kết luận ngay đợc hai đờng thẳng này có song song với nhau
không. Có thể tìm hình chiếu cạnh của chúng và theo mệnh đề 2b, nếu hình
chiếu cạnh là hai đờng thẳng song song thì hai đờng thẳng đó trong không gian
là song song (hình 2-18c).
c. Hai đờng thẳng chéo nhau:

b1

31 111
41

111

a1
b1

x
a2

12

x

41

a2

22

b1
a2

b2

b2
322 22

31

a1

x
12

a1

b2
322

Hình 2-19a
Hình 2-19b
Hình 2-19c
- Điều kiện ắt có và đủ để hai đờng thẳng chéo nhau là đồ thức của chúng

không phải là hai đờng thẳng cắt nhau và cũng không phải là đồ thức của hai đờng thẳng song song. Do đó đồ thức của hai đờng thẳng chéo nhau (trong đó
không có đờng nào là đờng cạnh) sẽ có dạng:
+ Hoặc là hình chiếu đứng của chúng là hai đờng thẳng cắt nhau, hình
chiếu bằng của chúng là hai đờng cắt nhau, hai giao điểm không nằm trên cùng
một đờng dóng vuông góc với trục x (hình 2-19a).
+ Hoặc là một hình chiếu của chúng là hai đờng thẳng song song và một
hình chiếu nữa của chúng là hai đờng thẳng cắt nhau (h×nh 2-19b,c).
13


- Hai điểm cùng nằm trên một tia chiếu thì một điểm trông thấy, một điểm
bị khuất (hình 2-19a). Trên hai đờng thẳng chéo nhau a,b có thể có hai ®iĨm
cïng thc mét tia chiÕu ®øng. H×nh chiÕu ®øng cđa hai điểm đó là giao điểm
của hai hình chiếu đứng a1xb1-1121. Nếu 11a1, thì 12a2 và 22b2. Theo tia
chiếu đứng từ ngoài vào trong, điểm 2b ở ngoài (vì độ xa của 2 2 lớn hơn độ xa
của 12) nên 21b1 thấy, điểm 11a1 bị che khuất. Tơng tự 3242 và 31a1, 41b1.
Vì 31 ở trên 41 nên 32 (thuộc a2) thấy, 42 (thuộc b2) bị che khuất.
2.3. Mặt phẳng
2.3.1. Đồ thức của mặt phẳng
Đồ thức của mặt phẳng là đồ thức của các yếu tố xác định mặt phẳng đó.
Vì thế đồ thức của mặt phẳng thờng cho bởi:
- Ba điểm không thẳng hàng (hình 2-20a).
- Một điểm và một đờng thẳng không qua nó (hình 2-20b).
- Hai đờng thẳng song song (hình 2-20c).
- Hai đờng thẳng cắt nhau (hình 2-20d).
a1
b1
b1
B1
C1

C1
A1
b1
a1
x
x
x
x
a2
b2
C2
C2
A1
b2
a2
b2
B1
Hình 2-20a
Hình 2-20b
Hình 2-20c
Hình 2-20d
Mỗi cách cho trên đều có thể đổi thành cách cho khác trong bốn cách đó:
Ví dụ từ cách cho mặt phẳng bởi điểm C và đờng thẳng b, qua điểm C có thể vẽ
đờng thẳng a//b. Thế là mặt phẳng trên đà đợc cho bởi hai đờng thẳng song song.
2.3.2. Vết của mặt phẳng
a. Định nghĩa: Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với
mỗi mặt phẳng hình chiếu (hình 2-21a).
Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng
hình chiếu đứng P1, kí hiệu là đờng thẳng m(). Vì m()=P1, nên hình chiếu
đứng của vết đứng là m()1=m(), hình chiếu bằng của vết đứng là m()2x

(hình 2-21b).
Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng
hình chiếu bằng P2, kí hiệu là đờng thẳng n(). Vì n()=P2, nên hình chiếu
đứng của vết đứng là n()2=n(), hình chiếu ®øng cđa vÕt b»ng lµ n()1x.

14


z

z
m

z

P1
m

m

x

o

p

pp3

x

x
o

n

o

y

n

P3
P2

pp3

y

n

y

y

y

Hình 2-21a
Hình 2-21b
Hình 2-21c
b. Tính chất: Một mặt phẳng nếu cắt cả P1 và P2 thì có thể:

Hai vết là hai đờng thẳng cắt nhau trên trục x, giao điểm đó là x
Hai vết là hai đờng thẳng song song với trục x (hình 2-21c).
Vết cạnh của mặt phẳng là một đờng thẳng p(). Vì p()=P3, nên
p()3p().
2.3.3. Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt với mặt phẳng hình chiếu
a. Mặt phẳng chiếu: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
- Mặt phẳng chiếu đứng: Mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu đứng, gọi là mặt phẳng chiếu đứng (hình 2-22a).
P1
R1k1

R1

R1
l1
x

x

nR
k2

R

l2

P2

Hình 2-22a
Hình 2-22b

Hình 2-22c
+ Mặt phẳng chiếu đứng R có hình chiếu đứng suy biến thành đờng thẳng
trùng với vết đứng m(R) của mặt phẳng. Vì thế hình chiếu đứng suy biến này kí
hiệu R1. Một đờng thẳng kP1, thì k1R1; Một điểm lmặt phẳng RP1, thì
l1đờng R1 (hình 2-22c).
+ Mặt phẳng chiếu đứng RP1 có vết n(R)x (hình 2-22b). Khi đồ thức
mặt phẳng chiếu đứng, có thể chỉ cần cho hình chiếu đứng suy biến R1 (không
cần vẽ vết bằng n(R)).
+ Góc (mặt phẳng R, mặt phẳng P2)= góc (đờng thẳng R1 với trục x).
+ Hình chiếu đứng của một mặt phẳng suy biến thành một đờng thẳng thì
mặt phẳng đó là mặt phẳng chiếu đứng.
- Mặt phẳng chiếu bằng: Mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu bằng P2, gọi là mặt phẳng chiếu bằng. Các tính chất của mặt phẳng chiếu
bằng nh tính chất của mặt phẳng chiếu đứng (hình 2-23).

15


P1
mR

R1
R

x

x

R2

P2

R2

Hình 2-23
- Mặt phẳng chiếu cạnh: Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
cạnh P3, gọi là mặt phẳng chiếu cạnh. Mặt phẳng chiếu cạnh chứa các đờng
thẳng song song với trục x và có hình chiếu cạnh suy biến thành một đờng thẳng.
z
m

P1

m

m
p3
x

x
o



y

n

n

n
P2

Hình 2-24
b. Mặt phẳng đồng mức: là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình
chiếu. Tơng ứng với ba mặt phẳng hình chiếu, có ba loại mặt phẳng đồng mức:
Mặt phẳng mặt, mặt phẳng bằng, mặt phẳng cạnh.
- Mặt phẳng mặt: Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1,
gọi là mặt phẳng mặt (hình 2-25). Hình chiếu bằng suy biến thành đờng thẳng
song song với trục x. Hình chiếu đứng của một hình phẳng trên mặt phẳng mặt là
hình phẳng thật.
B1
P1
A1
C1
R1

R

x
R2
A2

B2

C2

P2
Hình 2-25
- Mặt phẳng bằng: Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

P2, gọi là mặt phẳng bằng (hình 2-26).
16


P1

A1

B1

C1

R1

x
R
B2
A2
C2

P2

Hình 2-26
- Mặt phẳng cạnh: Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P3, gọi là mặt phẳng cạnh (hình 2-27). Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng đề là đờng thẳng vuông góc với trục x, hình chiếu cạnh của một hình phẳng trên mặt
phẳng cạnh là bằng hình thật.
z
R1
P1

A1

P3

A3

B1
x C1
C2
A2

B3
C3

o

y

R
P2

B2

R2

y

Hình 2-27
2.3.4. Đờng thẳng và điểm thuộc mặt phẳng
a. Mệnh đề liên thuộc:

Hai điểm phân biệt 1,2 thuộc mặt phẳng R, thì đờng thẳng k(1,2)R (và
mỗi điểm k thì cũng R).
Hai đờng thẳng khác nhau ak cùng thuộc một mặt phẳng, nếu có một cặp
hình chiếu cùng tên cắt nhau thì hai đờng thẳng đó phải cắt nhau a x k và tìm đợc hình chiếu kia của giao điểm; Nếu có một cặp hình chiếu cùng tên là hai đờng
thẳng song song, thì hai đờng thẳng đó trong không gian song song với nhau.
b. Các bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Tìm hình chiếu còn lại của đờng thẳng k thuộc mặt phẳng
R(a,b) biết đồ thức của mặt phẳng R và một hình chiếu của k (h×nh 2-28a)?

17


k1

a1

a1

k1

b1

b1

11
21
x

x
a2

a2

b2

b2

k2
12

22

Hình 2-28a
Hình 2-28b
Giải: Vì k và a đồng phẳng và k1xa1=11, tức là k x a=1 thì suy ra 12; k và b
đồng phẳng vì k1 x b1=21, tức là k x b=2 th× suy ra 2 2. Nèi k2(1222) là hình chiếu
phải tìm (hình 2-28b).
Bài toán 2: Tìm hình chiếu còn lại của điểm D thuộc mặt phẳng R(a,b),
biết đồ thức mặt phẳng R và một hình chiếu của D (hình 2-29a)?

11

D1
x a1

b1

x a1

a2

b2

a2

D1
21
22

12

b1
b2
D2

Hình 2-29a
Hình 2-29b
Giải: Vẽ một đờng thẳng k(D) thuộc mặt phẳng R(a,b) có hình chiếu đứng
là đờng thẳng k1(D1) nào đó. áp dụng bài toán (1) kR(a,b) đà biết k1 thì tìm đợc
k2. Tìm hình chiếu của điểm thuộc đờng thẳng tìm đợc D2k2 (hình 2-29b)
2.3.5. Đờng thẳng đặc biệt của mặt phẳng
a. Đờng thẳng đồng mức:
- Đờng bằng:
+ Định nghĩa: Đờng bằng của một mặt phẳng là đờng thẳng của mặt
phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 (hình 2-30a)

18


P1

b1


m

A1

C1

h

h1

x
b1

n
C2
P2
Hình 2-30a

A2

h2
Hình 2-30b

+ Tính chất: Một mặt phẳng cắt P2 thì có vô số các đờng bằng song song
nhau và song song với vết bằng của nó. Trên đồ thức của một mặt phẳng, khi cần
vẽ một đờng bằng đầu tiên, trớc hết ngời ta vẽ hình chiếu đứng của nó là một đờng song song với trục x rồi suy ra hình chiếu bằng đó. Cho mặt phẳng R(A,b)

trình tự dựng đờng bằng h nh (hình 2- 30b).
- Đờng mặt:
+ Định nghĩa: Đờng mặt của một mặt phẳng là đờng thẳng của mặt phẳng
đó và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
+ Tính chất: Tính chất và cách vẽ tơng tự nh đờng bằng.
b. Đờng dốc nhất của mặt phẳng:
- Đờng dốc nhất của mặt phẳng R đối với mặt phẳng hình chiếu bằng P2:
+ Định nghĩa: Đờng dốc nhất của mặt phẳng R đối với mặt phẳng hình
chiếu bằng P2 là đờng thẳng thuộc mặt phẳng R và vuông góc với vết bằng (hoặc
đờng bằng) của mặt phẳng R đó (hình 2-31a).
+ Tính chất:
Một mặt phẳng R cắt P2 thì trên R có vô số đờng dốc nhất đối với P2, các
đờng thẳng này song song với nhau.
Hình chiếu bằng của đờng dốc nhất đối với P2 thì vuông góc với hình
chiếu bằng đờng bằng (hình chiÕu b»ng vÕt b»ng).

P1
F1


m

m
x

DN(P2)

x

E1

E2

n

F2
n

P2

H×nh 2-31a

H×nh 2-31b
19


Góc (đờng dốc nhất này và mặt phẳng P2) = Góc (mặt phẳng R và mặt
phẳng P2). Từ đó suy ra cách vẽ đờng dốc nhất của mặt phẳng R với P 2: Nếu đÃ
có hình chiếu bằng đờng bằng của mặt phẳng R thì vẽ hình chiếu bằng của đờng
dốc nhất vuông góc với mặt phẳng hình chiếu của ®êng b»ng ®ã, tõ ®ã suy ra
h×nh chiÕu cđa ®êng dốc nhất.
Bài toán: Vẽ đờng dốc nhất của mặt phẳng đà cho với mặt phẳng hình
chiếu bằng?
Giải: Vẽ đờng thẳng E2F2n là hình chiếu bằng đờng dốc nhất của mặt
phẳng (m,n), từ E2F2 kẻ vuông góc với trục chiếu tìm E 1F1 để tìm hình chiếu
đứng của đờng dốc nhất (hình 2-31b).
- Đờng dốc nhất của mặt phẳng R đối với mặt phẳng hình chiếu bằng P1:
+ Định nghĩa: Đờng dốc nhất của mặt phẳng R đối với mặt phẳng hình
chiếu đứng P1 là đờng thẳng thuộc mặt phẳng R và vuông góc với vết đứng (hoặc
đờng mặt) của mặt phẳng R đó (hình 2-32a).

P1
m



E1

m
x

DN(P1)

F1

x
E2

n

n

P2

Hình 2-31a

F2

Hình 2-31b

+ Tính chất:

Hình chiếu ®øng cđa cđa ®êng dèc nhÊt ®ã vu«ng gãc víi hình chiếu đứng
đờng mặt của mặt phẳng đó.
Góc (đờng dốc nhất này và mặt phẳng P1) = Góc (mặt phẳng R và mặt
phẳng P1). Cách tìm vẽ vẽ tơng tự nh trên (hình 2-32b)
2.3.6. Vẽ mặt phẳng song song với mặt phẳng - Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
a. Vẽ mặt phẳng song song: Cần vận dụng định nghĩa hai mặt phẳng song
song và các định lý về hai mặt phẳng song song. Hình chiếu của hai đờng thẳng
song song (không song song với hớng chiếu) là hai đờng thẳng song song hoặc
trùng nhau.
Bài toán: Cho mặt phẳng Q bằng vết và điểm A (hình 2-32a). HÃy biểu
diễn bằng vết mặt phẳng R(A)//Q đà cho?

20