Skkn giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp 9 trường thcs ái thượng, huyện bá thước, tỉnh thanh hóa

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN BÁ THƯỚC
PHÒNG GD & ĐT HUYỆN BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁI THƯỢNG,
HUYỆN BÁ THƯỚC, TỈNH THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Văn Cảnh
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Ái Thượng
SKKN thuộc mơn: Tốn

Ái Thượng, năm 2022

skkn


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1

Mở đầu

01

1.1

Lý do chọn đề tài

01

1.2

Mục đích nghiên cứu đề tài

01

1.3

Đối tượng nghiên cứu đề tài

02

1.4

Phương pháp nghiên cứu đề tài

02

2

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)

02

2.1

Cơ sở lý luận

02

2.2

Trực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN

03

2.3

Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

05

2.3.1

Các dạng toán cơ bản thường gặp

05

2.3.2

Một số bài tập - dạng tốn liên quan đến hệ phương trình
12
bậc nhất 2 ẩn

2.3.3

Bài tập tự giải

17

2.4

Hiệu quả của SKKN

18

3

Kết luận và kiến nghị

19

3.1

Kết luận

19

3.2

Kiến nghị

20

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Cùng với kiến thức của các mơn học khác, những kiến thức Tốn học phổ
thơng nói chung và những kiến thức Tốn 9 nói riêng có vai trị rất cần thiết đối
với học sinh trong cuộc sống, cụ thể như: việc đo lường, tính tốn các bài tốn
thực tế; phục vụ việc học nghề, học các môn học khác, học các cấp học cao
hơn.v.v...
Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp 9 một số năm học tại Trường THCS
Ái Thượng tôi nhận thấy kết quả học tập mơn tốn chưa cao, cịn nhiều học sinh
có điểm tốn xếp loại yếu và kém. Qua tìm hiểu, tơi thấy trong q trình học tập
thấy đa số học sinh hổng kiến thức và chưa có sự hứng thú, chưa có được những
niềm vui trong học tập bộ mơn Tốn.
Kiến thức về phương trình và hệ phương trình trong chương trình tốn của
bậc phổ thơng là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng của tư duy và suy
luận cũng như giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình
tốn học, vật lý, hóa học, sinh học của bậc học này và các cấp học sau.
Trong chương trình tốn học của bậc phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học sinh
đã được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các
phương pháp giải, các bài toán áp dụng.
Với thực trạng ấy, yêu cầu đặt ra với giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 9 là
phải làm thế nào, phải tổ chức, hướng dẫn học sinh học tập ra sao để tạo được cho
học sinh có một kiến thức căn bản nhất về tốn học thơng qua bài học giải hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó tạo cho các em có sự hứng thú, u thích học

tập bộ mơn Tốn và đặc biệt là phát huy được tính tích cực cho các em học sinh
trong q trình học tập mơn Tốn 9, nhất là với đối tượng học sinh yếu kém, giúp
các em học tập bộ môn đạt được kết quả cao hơn. Mục đích cuối cùng cũng là để
nâng cao được chất lượng dạy - học nói chung.
Với bản thân mỗi giáo viên việc tự học, tự bồi dưỡng, tự nghiên cứu, học
hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi về phương pháp dạy học v.v..là hết sức cần
thiết để nâng cao dần chất lượng mỗi giờ dạy và kết quả giảng dạy mơn Tốn 9.
Từ những lí do trên, tơi chọn đề tài: “Giải pháp rèn kỹ năng giải hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp
9 trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa” để giúp học
sinh trường THCS Ái Thượng có kết quả học tập tốt hơn trong việc học tập, lĩnh
hội, chiếm lĩnh kiến thức Toán học, giúp các em học sinh cuối cấp có nền tảng
vững vàng chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10. Đề tài, giúp bản thân và đồng nghiệp
được trao đổi kinh nghiệm, phương pháp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Tơi viết đề tài này với mục đích:
- Giúp học sinh lớp 9 trường THCS Ái Thượng hình thành những kỹ năng
giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
- Giúp giáo viên THCS Ái Thượng nói riêng, giáo viên THCS nói chung có
thêm nguồn tài liệu tham khảo khi dạy bài giải hệ phương trình bằng phương pháp
cộng đại số.
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

2
1.3. Đối tượng nghiên cứu

Giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương
pháp cộng đại số cho học sinh lớp 9 trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước,
tỉnh Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
* Về lí thuyết:
- Tham khảo các tài liệu tin cậy, các cơng trình nghiên cứu của các tác giả
có uy tín, sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
- Sử dụng các phương pháp khoa học như: khảo sát, thống kê, phân tích số
liệu, so sánh đối chiếu, tổng h ợp…để nhận thức, triển khai và đánh giá vấn đề
nghiên cứu.
* Về thực tiễn:
- Dự giờ đồng nghiệp, góp ý, thảo luận với tổ chuyên môn.
- Thực nghiệm sư phạm: Áp dụng đề tài ở mỗi năm học chọn ra các lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để có cơ sở so sánh, đối chiếu. Qua đó, kiểm chứng
các biện pháp đã nêu ra trong đề tài, đưa ra những kết luận khoa học và khẳng
định tính khả thi của đề tài.
- Nghiên cứu hồn cảnh, mơi trường, điều kiện học tập của học sinh.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trong sách giáo khoa Đại số 9, tập II, nhà xuất bản giáo dục năm 2011 đã nêu
định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, và cách giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn như sau:
2.1.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình tương đương.
a. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’  R: a, b; a’, b’ không đồng thời bằng 0.
b. Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0; y0) thỏa mãn:

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của hệ phương trình đó.
c. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm. Dùng kí hiệu “
” để chỉ hai hệ phương trình tương
đương.
2.1.2. Quy tắc giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Ta đã biết, muốn giải một hệ phương trình hai ẩn, ta tìm cách quy về việc
giải phương trình một ẩn. Mục đích đó cũng có thể đạt được bằng cánh áp dụng
quy tắc sau, gọi là quy tắc cộng đại số.
a. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

3
Bước 1 (khử một ẩn): Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ
phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2 (Tìm tập nghiệm của hệ): Dùng phương trình mới ấy thay thế một
trong hai phương trình của hệ (và giữ ngun phương trình kia)
b. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Bước 1 (khử một ẩn): Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích
hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ
bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2 (thực hiện phương pháp cộng đại số): Áp dụng quy tắc cộng đại số
để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một
trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
Bước 3 Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

c. Một số lưu ý:
Cho hệ phương trình

(I)

(I) Vơ nghiệm <=>
(I) Vơ số nghiệm <=>
(I) Có nghiệm duy nhất <=>
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1. Thực trạng chung:
- Do tình hình dịch bệnh Covid – 19 kéo dài (từ năm học 2019-2020) đến
nay nên việc học tập của các em không thực hiện được thường xuyên dẫn đến sự
chểnh mảng học tập, ảnh hưởng xấu đến kết quả học tập của các em trong những
năm học qua.
- Chương trình mơn Tốn ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được
lĩnh hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong
suốt quá trình học tập là phương trình, rồi đến hệ phương trình. Ngay từ những
ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải phương trình đơn giản dưới
dạng điền số thích hợp, tìm x …. Đến lớp 8, lớp 9 các đề tốn trong chương trình
đại số về phương trình rồi đến hệ phương trình. Các em căn cứ vào các phương
pháp đã học để giải phương trình, hệ phương trình. Kết quả tìm được khơng chỉ
phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình mà các em còn phải
biết áp dụng vào các dạng tốn khác trong chương trình tốn THCS. Đó là dạng
tốn “Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số”.
Dạng tốn này khơng phải là dạng khó, nhưng địi hỏi học sinh phải có các
kiến thức về số học, đại số để liên hệ được vào các môn học khác như hình học,
vật lí, hóa học và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với
thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần nhiều học sinh tại trường THCS
Ái Thượng cũng như học sinh huyện Bá Thước không đáp ứng được những khả
năng trên nên không giải được các dạng của bài tốn áp dụng hệ phương trình. Từ

những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại tốn này. Mặt khác, cũng có thể
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

4
trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học
sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại
toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng
2.2.2. Thực trạng ở trường THCS Ái Thượng
* Về phía học sinh:
- Do dịch bệnh nguy hiểm và kéo dài nên việc đến trường của các em
thường xuyên bị dán đoạn nên ảnh hưởng rất nhiều đến hứng thú học tập của học
sinh.
- Việc giải các bài toán về hệ phương trình đối với học sinh THCS Ái
Thượng là một việc làm mới mẻ và khó khăn cho giáo viên. Đề bài cho khơng
phải là những phương trình, hệ phương trình đơn giản bằng các phương pháp
thơng thường mà đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học
để có được các cách biến đổi hợp lý đối với từng hệ phương trình đã cho, điều này
đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh.
- Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, mối liên hệ giữa các dữ
liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn
trong vấn đề giải loại tốn này. Đối với việc giải hệ phương trình các em mới
được học nên chưa quen với dạng toán về hệ phương trình. Xuất phát từ thực tế
đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất
chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại khơng làm được. Do vậy việc
hướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, thì các

em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo
hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
- Do điều kiện kinh tế và hồn cảnh gia đình của các em cũng cịn nhiều
hạn chế, như khơng được sự quan tâm chăm sóc của bố, mẹ bên cạnh đó có nhiều
học sinh cịn mồ cơi cả cha lẫn mẹ.
- Do sự lôi kéo từ các tệ nạn xã hội (đặc biệt là điện thoại thông minh do bố
mẹ đi làm ăn xa nên mua cho các em để liên lạc) dẫn đến các em ham chơi game
không quan tâm đến việc học tập của mình
*Về phía giáo viên:
- Do tình hình dịch bệnh nguy hiểm và kéo dài nên giáo viên không thường
xuyên trực tiếp dạy và kiểm tra các em một cách chi tiết mà hướng dẫn các em
học và làm bài tập ở nhà.
- Giáo viên một phần chưa tâm quan tâm đến tâm lý lứa tuổi của học sinh,
chưa đánh giá được năng lực học sinh để phân lượng kiến thức cho từng bài học ,
cũng như chưa sử dụng phương pháp hợp lý cho từng đối tượng học sinh mà chủ
yếu phần khi đứng lớp do nhiều yếu tố khách quan nên dạy học theo tinh thần chủ
quan, lối mòn kiến thức hàn lâm chưa phát hiện được những tinh hoa của bài
giảng, hoặc chưa mạnh dạn trải nghiệm những hiểu biết của mình trong bài
giảng…
Từ thực trạng trên, năm học 2021 - 2022 trước khi vào giảng dạy bài “Giải
hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số tôi đã khảo sát học sinh ở hai lớp
9A và 9B, với bài làm thời gian 45 phút như sau:
Giải các hệ phương trình sau:
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

5
;

a.

b.

;

c.

Kết quả khảo sát.
Điểm số
Đối tượng
Sỹ số
9-10
7-9
5-7
Dưới 5
9A 30
0
1(3,3%) 13(43,3%) 16(53,4%) Lớp thực hiện đề tài
9B 31
0
2(6,5%) 14(45,2%) 14(48,3%) Lớp đối chứng
Qua khảo sát chất lượng ban đầu tôi thấy học sinh của hai lớp tương đồng
nhau, cả hai lớp đểu khơng có học sinh giỏi, học sinh trung bình và yếu có tỷ lệ
rất cao.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Khi thực hiện đề tài sau khi tóm tắt nội dung kiến thức cơ bản tôi đã chia nhỏ

lượng kiến thức bài học dưới các dạng tốn - bài tốn nhỏ khác nhau, mỗi dạng
tơi đều thực hiện theo các bước:
Bước 1. Lấy ví dụ minh hoạ cho dạng toán – bài toán.
Bước 2. Cho học sinh nhận dạng bài tốn, sau đó hướng dẫn giải chi tiết cuối
cùng nhận xét, và chỉ ra những lỗi học sinh thường gặp phải từ đó chỉ ra những ưu
điểm và nhược điểm (nếu cần) của mỗi cách giải bài toán.
Bước 3. Bài tập luyện tập.
Bước 4. Bài tập tự giải – Phần bài tập này học sinh tự trình bày nhằm rèn
luyện kỹ năng thực hiện giải quyết bài toán.
2.3.1. Các dạng toán cơ bản thường gặp:
Sau khi giới thiệu xong phần kiến thức cơ bản của phương pháp “giải hệ
phương trình bằng phương pháp cộng đại” số tơi chia kiến thức bài giảng thành
những dạng tốn cơ bản sau, cụ thể:
Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình.
Ở dạng tốn này giúp học sinh khi xem xong hệ phương trình thì nhận diện
được hệ phương trình vơ nghiệm hay vơ số nghiệm hay chỉ có nghiệm duy nhất
mà khơng cần phải sử dụng đến giải hệ phương trình hay vẽ hình học, bằng cách
sử dụng các tỷ lệ thức đã được học (nội dung phần 2.3.1.c).
Ví dụ 1: Đốn nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a)

b)

c)

Giải
Giáo viên gợi ý:
- Cho học sinh liệt kê các hệ số của x; y là: a; a’; b; b’; c; c’.
- Cho học sinh lập các tỷ lệ thức

và nhận xét.

Gọi học sinh trả lời:
a) Ta có
b) Ta có

nên hệ phương trình vơ nghiệm (khơng có nghiệm)
nên hệ phương trình có vơ số nghiệm.

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

6
c) Ta có

nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Sau khi học sinh đã được làm ví dụ giáo viên nhắc lại kiến thức một lần nữa và
yêu cầu học sinh làm các bài tập:
Bài tập luyện tập:
1.Bài tập 5 SGK toán 9 tập 2 trang 12/ NXBGDVN năm 2011
sau:
a)

b)

2. Đốn nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a)

b)

c)

Bài tập tự giải: Yêu cầu học sinh giải các bài tập SGK vào vở, sau đó có kiểm
tra và đánh giá vở bài tập của các em.
Các bài tập 8, 9, 10 SGK toán 9 tập 2 trang 12/ NXBGDVN năm 2011
Khi các em nhận diện được số nghiệm của hệ phương trình, bước tiếp theo
sẽ hướng dẫn các em giải từng dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp cộng đại số, cụ thể:
Dạng 2: Giải hệ phương trình có hệ số một ẩn của hai phương trình bằng
nhau.
Cách thức thực hiện:
- Cho học sinh nhận xét hệ số của ẩn ở cả hai phương trình.
- Cho học sinh thực hiện phép tính trừ vế với vế của hai phương trình (khử ẩn).
- Giải hệ phương trình.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Đặt vấn đề:
- Em có nhận xét gì về các hệ số của x, y ở hai phương trình trong hệ phương
trình trên? (để nhận xét được giáo viên yêu cầu học sinh liệt kê các hệ số đó).
- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm.
- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?
Giải quyết vấn đề:
- Học sinh phát hiện được hệ số của y ở cả hai phương trình là bằng nhau.
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Để giải được hệ phương trình trên ta lấy vế trừ vế phương trình (1) cho phương
trình (2)

Cụ thể:
Bước 1: (Khử ẩn) Lấy vế trừ vế hai phương trình của hệ (I) ta được:
(2x - y) + (x + y) = 3 hay 3x = 3 (3)
Bước 2: Thay phương trình (3) vào một trong hai phương trình ta được hệ
Hoặc

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

7
Giải hệ
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)
Tương tự các em giải hệ (I”).
Nhận xét: Ở hệ phương trình trên ta thấy hệ số của y ở cả hai phương trình là
bằng nhau nên ta thực hiện phép toán lấy vế trừ vế ta được phương trình thứ (3),
sau đó thay phương trình (3) vào một trong hai phương trình và giải hệ phương
trình mới (chỉ cần giải một hệ phương trình (I’) hoặc hệ (I”) ) ta được nghiệm của
hệ phương trình đã cho. Ngồi ra các em có thể thực hiện lấy vế trừ vế phương
trình (2) cho phương trình (1), nhưng tại sao ta lại thực hiện cách giải thứ nhất vì
hệ số của x ở phương trình (1) lớn hơn ở phương trình (2)....
Cách khác, sau khi thực hiện bước 1 (khử ẩn) ta được phương trình (3).
Giải phương trình (3) tìm được giá trị của x, rồi thay giá trị của x vào phương
trình (1) hoặc phương trình (2) ta tìm được giá trị của y. Cặp giá trị (x; y) tìm
được là nghiệm của hệ phương trình.
Cụ thể ta thực hiện như sau:
Bước 1: (Khử ẩn) Lấy vế trừ vế hai phương trình của hệ (I) ta được:

(2x - y) + (x + y) = 3 hay 3x = 3 (3)
Bước 2: giải phương trình (3): 3x = 3
x=1
Bước 3: thay x = 1 vào phương trình (2), ta được: 1 + y = 2
y = 1.
Bước 4: Kết luận.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
Qua 2 cách thực hiện bài toán trên, đến đây phụ thuộc vào năng lực tư duy của
học sinh mà các em thực hiện một trong hai cách để giải tốn đều được chấp
nhận.
Để hình thành kỹ năng giải tốn tơi u cầu học sinh giải các bài tập sau, có
nhận xét đánh giá và sửa lỗi bài làm cho các em.
Bài tập luyện tập: Giải các hệ phương trình sau:
a)

b)

c)

Đáp số: a) (x; y) = (-2; 8);
b) (x; y) = (3; -7);
c) (x; y) = (1; - 1)
Dạng 3: Giải hệ phương trình có hệ số một ẩn của hai phương trình đối nhau.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

Đặt vấn đề:
- Em có nhận xét gì về các hệ số của x, y ở hai phương trình trong hệ phương
trình trên? (để nhận xét được giáo viên yêu cầu học sinh liệt kê các hệ số đó).
- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm.
- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?

Giải quyết vấn đề:
- Học sinh phát hiện được hệ số của y ở cả hai phương trình là đối nhau.
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Để giải được hệ phương trình trên ta lấy vế cộng vế phương trình (1) với phương
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

8
trình (2).
Cụ thể:
Bước 1(khử ẩn): Vì hệ số của y trong hai phương trình là đối nhau, nên ta khơng
cần phải nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp nữa mà ta sẽ
cộng ngay từng vế của hai phương trình để khử ẩn y.
Bước 2: Giải hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3;-3)
Để hình thành kỹ năng giải tốn tôi yêu cầu học sinh giải các bài tập sau, có
nhận xét đánh giá và sửa lỗi bài làm cho các em.
Bài tập luyện tập: Giải các hệ phương trình sau:
ĐS

; ĐS

Dạng 4: Giải hệ phương trình có hệ số hai ẩn của hai phương trình khơng
bằng nhau.
Sau khi học sinh nhận dạng và giải được 3 dạng toán trên, dạng tốn hệ

phương trình có các hệ số của x và y khơng có đại lượng nào bằng nhau sẻ khó
hơn, yêu cầu giáo viên hướng dẫn học sinh kỹ hơn thì mới hình thành được kỹ
năng cho các em, cụ thể:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Đặt vấn đề:
- Em có nhận xét gì về các hệ số của x, y ở hai phương trình trong hệ phương
trình trên?
- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?
- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?
Giải quyết vấn đề:
- Học sinh phát hiện được hệ số của x, y ở cả hai phương trình là khơng bằng
nhau.
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Vì hệ số của x, y trong hai phương trình là khơng bằng nhau, nên ta cần phải
nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để khử ẩn x hoặc ẩn y.
Cụ thể:
Bước 1: Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và hai vế của phương trình (2)
với 2, ta được hệ phương trình sau:

Bước 2: Giải hệ phương trình
Đây là hệ phương trình có hệ số của y đối nhau nên ta thực hiện cách giải
như ví dụ 2.
Cụ thể:
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

9
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1)
Sau khi học sinh giải xong bài toán, giáo viên cho các em cũng giải hệ
phương trình trên nhưng bằng cách thực hiện như sau để rèn luyện kỹ năng cho
các em:
Bài tập luyện tập:
Giải hệ phương trình

bằng cách:

a. Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3.
b. Nhân hai vế phương trình (1) với - 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3.
c. Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với -3.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Giải
Đặt vấn đề:
- Em có nhận xét gì về các hệ số của x, y ở hai phương trình trong hệ phương
trình trên?.
- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?
- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?
Giải quyết vấn đề:
- Học sinh phát hiện được hệ số của x, y ở cả hai phương trình là khơng bằng
nhau.
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Vì hệ số của x, y trong hai phương trình là khơng bằng nhau, nên ta cần phải
nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để khử ẩn x hoặc ẩn y.
Cụ thể:
Vì hệ số của x, y trong hai phương trình là khơng bằng nhau, nên ta nhân
hai vế của phương trình thứ nhất với 2, nhân hai vế của phương trình 2 với 3 để
hệ số của ẩn x bằng nhau, sau đó ta sẽ trừ ngay từng vế của hai phương trình để

khử ẩn x ( hoặc có thể nhân với số thích hợp để hệ số của ẩn y của hai phương
trình trong hệ bằng nhau).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
Sau khi học sinh giải xong bài toán, giáo viên cho các em cũng giải hệ
phương trình trên nhưng bằng cách thực hiện như sau để rèn luyện kỹ năng cho
các em:
Bài tập luyện tập:
1.Giải hệ phương trình

bằng cách:

a. Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3.
b. Nhân hai vế phương trình (1) với - 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3.
c. Nhân hai vế phương trình (1) với 3 và nhân hai vế phương trình (2) với -2.
d. Nhân hai vế phương trình (1) với -3 và nhân hai vế phương trình (2) với 2.
Bài tập tự giải
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

10
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
;

b)

;

c)

Đáp số: a). (x; y) =
;
b). (x; y) = (2; 1);
c). (x; y) = (1; 1)
Dạng 5: Một số hệ phương trình có thể biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Sau khi các em đã cơ bản giải được hệ hai phương trình hai ẩn bằng
phương pháp cộng giáo viên giới thiệu thêm những bài toán đưa về hệ hai phương
trình hai ẩn cơ bản.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau
Giải
Đặt vấn đề:
Hệ phương trình đã cho có phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản
chưa? Nếu chưa thì làm thế nào để đưa hệ phương trình này về dạng cơ bản?
Học sinh cần trả lời được:
- Hệ đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nhưng chưa phải là dạng
cơ bản.
- Để đưa được hệ phương trình trên về dạng cơ bản cần phải bỏ ngoặc và
thực hiện các phép tốn biến đổi đa thức ở mỗi phương trình.
Cụ thể:
Hệ phương trình
Đến đây hệ trở về hệ phương trình cơ bản và học sinh tự giải tiếp.
Đáp số

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau
Giải
Theo các em hệ phương trình trên được giải như thế nào?.

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải hệ phương trình này:
- Bước 1: Phải khử mẫu số ở mỗi phương trình
- Bước 2: Đưa hệ phương trình đã cho về dạng hệ phương trình cơ bản
- Bước 3: Giải hệ phương trình cơ bản và kết luận nghiệm của hệ phương
trình.
Cụ thể:
-Bước 1: Khử mẫu số: Hệ

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

11
- Bước 2:
- Bước 3: Giải hệ phương trình cơ bản
Đáp số: (x; y) =
Lưu ý: Khi các vế của phương trình là các phân thức có mẫu số khác 1 thì tiến
hành quy đồng mẫu số sau đó đưa hệ phương trình về hệ phương trình cơ bản.
Dạng 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải :
- Đặt điều kiện (nếu có).
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.
- Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ 7: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)

b)

Giải
a)
Đặt vấn đề :
-Ngoài cách giải bài tốn bằng cách đưa hệ phương trình về hệ phương trình cơ
bản thì bài tốn cịn cách giải nào khác khơng ?.
-Có cần đặt điều kiện cho các ẩn số x, y không ?
Giáo viên hướng dẫn :
-Nhận thấy ở cả hai phương trình của hệ đều có các biểu (x-2) và (1+y) nên ngồi
cách giải hệ phương trình bằng biến đổi đa thức đưa về hệ phương trình cơ bản ta
có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình về hệ phương trình cơ
bản, cụ thể :
Bước 1: Đặt ẩn phụ : Đặt x – 2 = u; 1 + y = v.
Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Ta có hệ phương trình:
Bước 3: Giải hệ phương trình theo phép đặt
Ta có
Nghiệm của hệ phương trình (x ; y) = (1 ; -1).

b.
Đặt vấn đề :
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

12

-Em có nhận xét gì về hệ phương trình trên ? Hệ phương trình trên có sử dụng
được phép biến đổi đa thức để được hệ phương trình cơ bản khơng?
-Khi giải hệ phương trình có cần đặt điều kiện cho các ẩn số x, y không ?
- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?
Giáo viên hướng dẫn :
-Nhận thấy ở cả hai phương trình của hệ đều có các biểu thức

và

nên trước

khi giải hệ phương trình cần phải đặt điều kiện cho x và y. Nếu giải hệ phương
trình bằng phép biến đổi đa thức để đưa hệ phương trình cơ bản sẻ rất phức tạp
nên bài toán này ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ là hiệu quả nhất, cụ thể:
Bước 1: ĐK: x ≠ 0; y ≠ 0
Bước 2: Đặt ẩn phụ :

Đặt

.

Bước 3: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Từ hệ

ta có hệ phương trình

Bước 4: Giải hệ phương trình theo phép đặt.
Thay

ta có:

(TMĐK)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
Lưu ý: Khi ta nhân (hoặc chia) cả hai vế của một phương trình với cùng một số
thì số đó phải khác 0 ( để phép biến đổi đó là tương đương).
2.3.2. Một số bài tốn - dạng tốn liên quan đến hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn.
Đối với học sinh lớp 9 trường THCS Ái Thượng, cũng như phần nhiều học
sinh ở các trường THCS huyện Bá Thước những bài toán dạng này chỉ mang tính
chất giới thiệu cho các em có cơ hội tìm hiểu thêm, nên tơi chỉ mang tính chất giới
thiệu và hướng dẫn không đi vào chi tiết cụ thể cho từng bài tốn.
Bài tốn 1: Hệ phương trình chứa tham số
Bài 1: Giải hệ phương trình sau, trong đó m là tham số:

Giải
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán như sau:
Bước 1: Khử một ẩn
- Nếu thừa số nhân đó chứa tham số m và tham số m đó có thể bằng 0 thì ta phải
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

13
xét các trường hợp:
- Nếu thừa số nhân đó bằng khơng, ta tính giá trị cụ thể của m, thay các giá trị đó
của m vào hệ và giải

- Nếu thừa số nhân đó khác 0, ta giải hệ phương trình thường lệ.
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ tùy theo giá trị của tham số m.
Cụ thể giải bài toán:
Bước 1: Để khử ẩn x hoặc ẩn y, ta đều phải nhân với một biểu thức chứa m.
Ta nên khử ẩn y vì hệ số của y là biểu thức chứa m đơn giản hơn.
1) Nếu m = 0 thì thay vào hệ đã cho, ta được:
2) Nếu m

0 thì nhân hai vế của phương trình hai với m

0 ta có:

Cộng theo từng vế của hai phương trình ta được:
(2m + 6m +4) = 2m +2m – 4
(m +3m+2)x = m + m – 2
(m+1)(m+2)x = (m – 1)(m + 2)
(3)
Bước 2: Giải và biện luận phương trình (3) và hệ:
a. Nếu (m+1)(m+2)

0

thì x=

, y=

b. Nếu m = -1 thì phương trình (3) thành 0x = -2, vơ nghiệm nên hệ phương
trình đã cho vơ nghiệm.
c. Nếu m = -2 thì hệ phương trình trở thành

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm.
Bước 3: - Với m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (-1 ; 7)
- Với
và
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
x=

, y=

- Với m = -1 thì hệ phương trình vơ nghiệm.
- Với m = -2 thì hệ phương trình có vơ số nghiệm.
Bài tốn 2: Vận dụng kiến thức về hệ phương trình để giải một số dạng tốn
có liên quan đến phương trình đường thẳng.
Dạng 1: Dạng tốn lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Phương pháp giải.
- Xác định a,b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B
- Lần lượt thay tọa độ của A và B vào y = ax + b thì được hệ phương trình hai ẩn
a và b.
- Giải hệ phương trình này ta được a, b.
Ví Dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A (3, 4) ; B (7,8)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (3, 4) ; B (7,8) có dạng:
y
= ax + b.
Đường thẳng đi qua 2 điểm A(3, 4); B (7,8) ta có hệ phương trình.
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

14

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1
Ví dụ 2: Xác định a,b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2;-2) và điểm
B(-1;3)
Giải:
Vì A(2;-2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên 2a + b = -2
Vì B(-1;3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên -a + b = 3
Ta có hệ phương trình hai ẩn
Vậy với a =

, b=

thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B.

Dạng 2: Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Ví dụ: Chứng minh 3 điểm A(2, 5); B(3,7); C(4,9) thẳng hàng
Hướng dẫn:
Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ (ví dụ điểm A, B).
Chứng minh điểm C nằm trên đường thẳng AB.
Dạng 3: Dạng tốn tìm điều kiện để 3 điểm A(2, 5); B(3, 7); C(m -1, 2m + 5)
thẳng hàng.
Hướng dẫn: Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cố định: A(2, 5)
; B(3,7). Tìm điều kiện để điểm C(m -1, 2m + 5) phải nằm trên đường thẳng AB > tìm được m.
Nhận xét: Với dạng tốn ở phần b và c u cầu học sinh phải thơng thạo
bài tốn lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm và điều kiện để 1 điểm nằm
trên 1 đường thẳng đã biết. Dạng tốn này u cầu học sinh có tư duy tốt hơn.
Dạng 4: Dạng tốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Bài tốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thực chất là bài toán

giải hệ phương trình hoặc bài tốn giải hệ phương trình chứa tham số.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng y = 3x + 5 và y = 2x - 1
Giải:
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đương thẳng đó là I(-6 ; -13)
Nhận xét: Với dạng toán này về phương pháp chung để giải phải có lập
luận để đưa bài tốn từ quan hệ hình học về quan hệ đại số (hệ phương trình)
Dạng 5: Dạng tốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy.
Hướng dẫn: Tương tự dạng toán ở nội dung 3.2, ta tìm tọa độ gaio điểm của hai
đường thẳng bất kỳ rồi chứng minh giao điểm nằm trên đường thẳng thứ ba.
Ví dụ: Chứng minh rằng 3 đường thẳng sau đồng quy
(d1): 2 x + y = 5; (d2): x + 2y = 4; và (d3): y = -3x + 7
Dạng 6: Dạng tốn tìm điều kiện 3 đường thẳng đồng quy.
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

15
Ví dụ: Tìm điều kiện để 3 đường thẳng sau đồng quy: 3x - 2y = 1; 5x - y = 4 vµ
mx + 3y = m - 2.
Hướng dẫn : Tương tự phần tốn ở dạng c ta tìm tọa độ giao điểm của 2 đường
thẳng cố định là 3x - 2y = 1 và 5x - y = 4.
-> Tìm điều kiện để đường thẳng mx + 3y = m – 2 phải đi qua giao điểm đó.
Dạng 7: Dạng tốn tìm điều kiện để giao điểm của 2 đường thẳng nằm ở góc
phần tư.
Nhận xét: Với bài tốn này trước hết học sinh phải nắm vững được:

- Cách tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng
- Giải và biện luận hệ phương trình
- Điều kiện để 1 điểm nằm trong một góc phần tư nào đó.
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng 2x + y = 5 và mx + 2y = 3. Tìm điều kiện để giao điểm
của 2 đường thẳng trên nằm ở góc phần tư thứ (II).
Giải
Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ ta được:
Khi m ≠ 4 hệ phuowngtrinhf có nghiệm là:
Tọa độ giao điểm I (

)

Để giao điểm I nằm ở góc phần tư thứ (II) thì:

Dạng 8: Dạng tốn tìm điều kiện để giao điểm của hai đường thẳng là một số
nguyên.
VD: Cho hai đường thẳng mx + 2y = 5 và 2x + y = 1
Tìm m nguyên để hai đường thẳng cát nhau tại một điểm có tọa độ là một số
nguyên.
Hướng dẫn: - Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương
trình:
- Tìm điều kiện để m nguyên, từ đó chỉ ra được x nguyên và y nguyên.
Bài toán 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện
cho trước.
Phương pháp giải:
- Giải hệ phương trình theo tham số
- Viết x, y của hệ về dạng: n +

với n, k nguyên

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

16
- Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
VD: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm ngun:
HD Giải:

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m
Vậy với m
hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Để x, y là những số nguyên thì m + 2
Ư(3) =
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài tập:
Bài 1. Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2.
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng

f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 3. Cho hệ phương trình:
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +

=3

HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m
- Giải hệ phương trình theo m

- Thay x =

;y=
2.

2

vào hệ thức đã cho ta được:
+

+

=3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m 2 =

(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m =
Bài 4. Cho hệ phương trình
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

17
(1)
3x  2y  8

 3mx  (m  5)y (m  1)(m  1) (2)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn :
4x – 2y = - 6 (3)
Hướng dẫn
- Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:
- Do (x; y) là nghiệm của hệ phương trình và thoả mãn (3)
- Giải phương trình (3) ẩn m. Đs: m = 1 hoặc m = 4
2.3.3. Bài tập tự giải
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
a)

b.

(Đề thi vào 10 năm 2017- 2018)

(Đề thi vào 10 năm 2012- 2013)

c)

d)

(Đề thi vào 10 năm 2013- 2014)
Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :
a)

(Đề thi vào 10 năm 2018- 2019)

b)

c)

d)

(Đề thi vào 10 năm 2019- 2020)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau :
a)

b)

c)

d)

Bài 4 : Đặt ẩn phụ rồi giải các phương trình sau :
a.

b.

c)

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a)

b)

c)

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
a.
c.

b.
d.

Bài 7 : Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm:
a. A(-1 ; 3) và B(-1 ; -4)
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

18
b. M(1 ; 2) và N(-1 ; -4)

c. P(2 ; 1) và Q(1 ; 2)
Bài 8: Cho f(x) = x2 + bx + c. Tìm b và c biết
a) f(1) = 2 ; f(–3) = 0
b) f(x) có nghiệm là 3 ; –6.
Bài 9 : Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy tại một điểm trong
mặt phẳng tọa độ :
a) 3x + 2y = 5 ; 2x – y = 4 và mx + 7y = 11
b) y = 2x + 3 ; y = x + 4 ; y = (3 – 5m)x – 5m
c) 3x + y = 5 ; 2x + y = –4 và (4m – 1)x + y = –1
Bài 10 : Tìm m và n để (d) : y = (2b – a) x – 3(a + 5b), đi qua hai điểm :
a) (2 ; 4) ; (–1 ; 3)
b) (2 ; 1) ; (1 ; –2)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Năm học 2021 - 2022, sau khi áp dụng nội dung sáng kiến, tôi đưa ra các
bài tốn với mức độ khó tương đương của năm học 2020 - 2021 và tiến hành kiểm
tra khảo sát học sinh khối lớp 9, cụ thể:
Giải các hệ phương trình sau:
a.

;

b.

;

c.

Kết quả được tơi thống kê và ghi lại như sau:
Bảng 1: Thống kê kết quả học lực năm học 2020 - 2021 trước khi
áp dụng đề tài

Điểm số của học sinh
9-10
Tổng số
HS
SL
%

SL

%

55

10

18,18 25 45.45

1

7-9

1.82

5-7

3-5

Dưới 3

SL %

SL %

SL

%

17

2

3.63

30.91

Bảng 2: Thống kê kết quả học lực của năm học 2021 – 2022 khi áp dụng đề tài

Lớp

Sĩ
số

Điểm số của học sinh
9-10
SL %

7-9
SL

5-7

%

SL %

3-5

Dưới 3

SL %

SL %

Đối tượng

9A

30

1

3.3 9

30

16

53,3 3

13.4 0

0

Áp dụng đề tài

9B

31

0

0

19,4 17

54,8 8

25.8 0

0

Không
áp
dụng đề tài

6

Qua con số thống kê ở bảng trên, tôi thấy rõ mức độ tiến bộ rõ rệt ở hai lớp
ban đầu có chất lượng học sinh như nhau. Như vậy bước đầu đã đánh giá sự thành
công của đề tài.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận :
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

19
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài tốn hệ
phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học sinh tư duy logic, khả
năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ tốn học, … Do đó khi giải
dạng tốn này ở lớp 9 có nhiều học sinh có học lực yếu, kém như trường THCS Ái
Thượng, giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, phân loại được dạng toán và nắm
được các dạng tốn hệ phương trình.
Các bài tốn, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là các bài tập đơn giản, bên cạnh
đó cũng giới thiệu thêm cho các em những bài tốn địi hỏi tính vận dụng tư duy và
suy luận để gây hứng thú tìm tịi dẫn đến u thích mơn học qua các bài tốn giải hệ
phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Từ đó làm tiền đề cho học sinh học các
dạng toán khác trong chương trình tốn THCS và THPT sau này. Vì thế giáo viên cần
phân tích kỹ các bước giải, cũng như lưu ý rõ cho học sinh các yêu cầu trong khi giải
và từng dạng toán cơ bản để học sinh có được kiến thức vững chắc phục vụ cho việc
giải tốn.
Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứng thú cho học sinh trong các giờ học,
hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài và cách nghiên cứu trước bài mới ở nhà.
Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh đã bị hổng để phụ
đạo. Điều đó địi hỏi người giáo viên phải có lịng u nghề, u thương học sinh và
phải có một lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng
đối tượng học sinh.

Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng
dẫn cho học sinh giải các bài tốn dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được
quy tắc giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, phân loại được các
dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng trong hệ phương trình, từ
đó việc giải hệ phương trình tìm ra đáp số của bài tốn chính xác khơng gặp phải
những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài tốn này, kích thích học sinh lịng
say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt,
nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, các bài
kiểm tra và các kì thi, đặc biệt là các em có hứng thú học tốn hơn. 100% các em
học sinh trong lớp đã biết sử dụng các phương pháp thông thường một cách thành
thạo, trên 80% các em có kỹ năng nắm vững thủ thuật giải các dạng tốn đơn
giản, cơ bản về hệ phương trình đã nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó
các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng tốn khó có tính vận
dụng kiến thức và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng
trong q trình học tập và giải tốn.
3.2. Kiến nghị
Với sự thành công của đề tài tôi hy vọng đề tài “Giải pháp giúp học sinh
lớp 9 trường THCS Ái Thượng giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
và các dạng toán áp dụng ” sẽ là một tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và
các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh cuối cấp.
Cần được sự quan tâm nhiều hơn nữa từ Ban giám hiệu nhà trường về cơ sở vật
chất, thiết bị hỗ trợ dạy học.
Khi giáo viên đứng lớp cần quan tâm đến tâm lý, cảm xúc của học sinh nhất
Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

20
là học sinh có học lực yếu kém.
Với kinh nghiệm của bản thân khi hướng dẫn học sinh giải hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn trên đây sẽ cịn nhiều hạn chế. Rất mong tổ chuyên môn nhà
trường và đồng nghiệp khi đọc sẽ có nhiều góp ý, phê bình th iết thực để đề tài
được phong phú, đầy đủ hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Bá Thước, ngày 28 tháng 3 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG

NGƯỜI VIẾT

Lương Thị Liên

Nguyễn Văn Cảnh

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Để học tốt toán 9 (NXB Giáo dục).
2) Nâng cao và phát triển toán 9 (NXB Giáo dục).

3)Toán nâng cao chuyên đề đại số 9(NXB Giáo dục).
4) SGK Toán 9 tập 2 (NXB Giáo dục).
5) Sách bài tập tốn 9 tập 2 (NXB Giáo dục).
6) Ơn tập đại số 9 (NXB GD).
7) Ôn kiến thức luyện kỹ năng đại số 9 (NXB Giáo dục).
8) Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập toán 9. Tập 2 (NXB Giáo
dục).
9) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm tại tỉnh Thanh Hóa và các tỉnh khác.

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

skkn


Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa

Skkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoaSkkn.giai.phap.ren.ky.nang.giai.he.phuong.trinh.bac.nhat.hai.an.bang.phuong.phap.cong.dai.so.cho.hoc.sinh.lop.9.truong.thcs.ai.thuong..huyen.ba.thuoc..tinh.thanh.hoa