Nột số công thức toán học lớp 10 và 11 pptx

Ôn t p ậ Toán THPT
M T S CÔNG TH C TOÁN H C L P 10 & 11Ộ Ố Ứ Ọ Ớ
1. Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c:ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ
1.1. Tính ch t 1 (tính ch t b c c u):ấ ấ ắ ầ a > b và b > c
⇔
a > c
1.2. Tính ch t 2:ấ a > b
⇔
a + c > b + c
T c là:ứ N u c ng 2 v c a b t đ ng th c v i cùng m t s ta đ c b t đ ng th c cùngế ộ ế ủ ắ ẳ ứ ớ ộ ố ượ ấ ẳ ứ
chi u và t ng đ ng v i b t đ ng th c đã cho.ề ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
H qu (Quy t c chuy n v ):ệ ả ắ ể ế a > b + c
⇔
a – c > b
1.3 Tính ch t 3: ấ
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

N u c ng các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ộ ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ
th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c tr hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ừ ế ủ ấ ẳ ứ ề
1.4 Tính ch t 4: ấ
a > b
⇔
a.c > b.c n u c > 0ế
ho c ặ a > b

⇔
c.c < b.c n u c < 0ế
1.5 Tính ch t 5: ấ
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> >

⇒ >

> >

N u nhân các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ
th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c chia hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ế ủ ấ ẳ ứ ề
1.6 Tính ch t 6:ấ
a > b > 0
⇒
a
n
> b
n
(n nguy n d ng)ể ươ
1.7 Tính ch t 7: ấ
0
n n
a b a b> > ⇒ >
(n nguyên d ng)ươ

2. B t đ ng th c Cauchy (Cô-si):ấ ẳ ứ
Đ nh lí:ị N u ế
0a
≥
và
0b
≥
thì
.
2
a b
a b
+
≥
. Đ ng th c x y ra khi và ch khi: a = b ẳ ứ ả ỉ
T c là:ứ Trung bình c ng c a 2 s không âm l n h n ho c b ng trung bình nhân c aộ ủ ố ớ ơ ặ ằ ủ
chúng.
H qu 1:ệ ả N u 2 s d ng có t ng không đ i thì tích c a chùng l n nh t khi 2 s đõế ố ươ ổ ổ ủ ớ ấ ố
b ng nhau.ẳ
Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng chu vi, hình vuông có di nấ ả ữ ậ ệ
tích l n nh t.ớ ấ
H qu 2:ệ ả N u 2 s d ng có tích không đ i thì t ng c a chùng nh nh t khi 2 s đóế ố ươ ổ ổ ủ ỏ ấ ố
b ng nhau.ằ
Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng di n tích hình vuông có chuấ ả ữ ậ ệ
vi nh nh t.ỏ ấ
Email: Trang 1/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3. B t đ ng th c ch a giá tr tr tuy t đ i:ấ ẳ ứ ứ ị ị ệ ố

0

0
x
x
x
>

=

− >

T đ nh nghĩa suy ra: v i m i ừ ị ớ ọ
x R
∈
ta có:
a. |x|
≥
0
b. |x|
2
= x
2
c. x
≤
|x| và -x
≤
|x|
Đ nh lí:ị V i m i s th c a và b ta có: ớ ọ ố ự
|a + b|
≤
|a| + |b| (1)

|a – b|
≤
|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ
≥
0
|a – b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ
≤
0
4. Đ nh lí Vi-et:ị
N u ph ng trình b c 2: axế ươ ậ
2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghi m xệ
1
, x
2
(a
≠
0) thì t ng và tích 2ổ
nghi m đó là: ệ
S = x
1
+ x
2
=
b
a
−
P = x
1

.x
2
=
c
a
Chú ý:
+ N u a + b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ N u a – b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ
1
= -1 và x
2
=
c
a
−
H qu :ệ ả N u 2 s u, v có t ng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghi m c aế ố ổ ệ ủ
ph ng trình: xươ
2
– S.x + P = 0
5. Chia đo n th ng theo t l cho tr c:ạ ẳ ỉ ệ ướ
a. Đ nh nghĩa:ị Cho 2 đi m phân bi t A, B. Ta nói đi m M chia đo n th ng AB theo t s kể ệ ể ạ ẳ ỉ ố
n u ế
MA kMB=
uuur uuur

b. Đ nh lí:ị N u đi m M chia đo n th ng AB theo t s k ế ể ạ ẳ ỉ ố
≠
1 thì v i đi m O b t kì ta có: ớ ể ấ
1
OA kOB
OM
k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
6. Tr ng tâm tam giác:ọ
a. Đi m G là tr ng tâm tam giác khi và ch khi: ể ọ ỉ
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
Email: Trang 2/18
n u x ế
≥
0
n u x < 0ế
Ôn t p ậ Toán THPT
b. N u G là tr ng tâm tam giác, thì v i m i đi m O ta có: ế ọ ớ ọ ể
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
7. Các H Th c L ng Trong Tam Giác:ệ ứ ượ
7.1. Đ nh lí Cosin trong tam giác:ị
Đ nh lí:ị V i m i tam giác ABC, ta luôn có:ớ ọ
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
= + −
= + −
= + −
7.2. Đ nh lí sin trong tam giác:ị
Đ nh lí:ị Trong tam giác ABC, v i R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p ta có:ớ ườ ạ ế
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
7.3. Công th c đ dài đ ng trung tuy n:ứ ộ ườ ế
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
2 4
a
b

c
b c a
m
a c b
m
b a c
m
+
= −
+
= −
+
= −
8. T s l ng giác c a m t s góc c n nh :ỉ ố ượ ủ ộ ố ầ ớ
Góc
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150

0
180
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1

3
2
2
2
1
2
0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0 –
1
2
–
2
2
–
3
2
-1
tg 0
1
3
1
3
|| –

3
1 –
1
3
0
cotg ||
3
1
1
3
0 –
1
3
1 –
3
||
Email: Trang 3/18
Ôn t p ậ Toán THPT
9. Công th c bi n đ i tích thành t ng:ứ ế ổ ổ

1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b

a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= + + −
10. Công th c bi n đ i t ng thành tích:ứ ế ổ ổ

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −

− =
11.Công th c nhân đôi:ứ
2 2 2 2
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2
2 ( , , )
1 2 2 2
a a a a a
a a a
tga
tg a a k a k k
tg a
π π π
π
= − = − = −
=
= ≠ + ≠ + ∈
−
Z
12. Công th c nhân ba:ứ

3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −

= −
13. Công th c h b c:ứ ạ ậ
Email: Trang 4/18
Ôn t p ậ Toán THPT
2
2
2
3
3
cos 2 1
cos
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
1 cos 2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos3
cos
4
a
a
a
a
a
tg a
a

a a
a
a a
a
+
=
−
=
−
=
+
−
=
+
=
14. Công th c c ng:ứ ộ
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
− = −
+ = −
− = +
Ngoài ra ta cũng có công th c sau v i m t s đi u ki n:ứ ớ ộ ố ề ệ
( ) (*)

1 .
( ) (**)
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
+
+ =
−
(*) có đi u ki n: ề ệ
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + − ≠ +
(**) có đi u ki n:ề ệ
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + + ≠ +
15. Công th c tính ứ tga, cosa, sina theo

2
a
t tg=
:
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
,
1 2
t
a
t
t
a
t
t
tga a k
t
π
π
=
+

−
=
+
= ≠ +
−
Email: Trang 5/18
Ôn t p ậ Toán THPT
16. Công th c liên h gi a 2 góc bù nhau, ph nhau, đ i nhau và h n kém nhau 1 gócứ ệ ữ ụ ố ơ
π
ho cặ
2
π
:
16.1. Hai góc bù nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −

16.2. Hai góc ph nhau:ụ
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a cotga
cotg a tga
π
π
π
π
− =
− =
− =
− =
16.3. Hai góc đ i nhau: ố
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga

− = −
− =
− = −
− = −
16.4 Hai góc h n kém nhau ơ
2
π
:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
16.5 Hai góc h n kém nhau ơ
π

:
Email: Trang 6/18
Ôn t p ậ Toán THPT
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
16.6. M t s công th c đ c bi t:ộ ố ứ ặ ệ
sin cos 2 sin( )
4
sin cos 2 sin( )
4
x x x
x x x
π
π
+ = +
− = −

17. T h p, hoán v , ch nh h p:ổ ợ ị ỉ ợ
17.1. Hoán v :ị
+ Đ nh nghĩa:ị M t hoán v c a n ph n t là m t b g m n ph n t đó, đ c s p x pộ ị ủ ầ ử ộ ộ ồ ầ ử ượ ắ ế
theo m t th t nh t đ nh, m i ph n t có m t đúng m t l n. S t t c các hoán v khácộ ứ ự ấ ị ỗ ầ ử ặ ộ ầ ố ấ ả ị
nhau c a n ph n t ký hi u là Pủ ầ ử ệ
n

+ Công th c :ứ P
n
=1.2.3 n = n !
17.2 Ch nh h p: ỉ ợ
+ Đ nh nghĩa:ị M t ch nh h p ch p k c a n ph n t (ộ ỉ ợ ậ ủ ầ ử
0 k n≤ ≤
) là m t b s p th tộ ộ ắ ứ ự
g m k ph n t l y ra t n ph n t đã cho. s t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t kýồ ầ ử ấ ừ ầ ử ố ấ ả ỉ ợ ậ ủ ầ ử
hi u làệ
k
n
A
+Công th c :ứ
( )
1
0
1
!
!
( 1) ( 1)
( )
!
1

!
k
n
k
n
k k
n n
n
n n
n
n n
n n
n
A
n k
A n n n k
A n k A
A P n
A
A A n
+
−
=
−
= − − +
= −
= =
=
= =
(qui c 0! = 1)ướ

17.3 T ch p: ổ ợ
+ Đ nh nghĩa:ị Cho m t t p h p a g m n ph n t (n nguyên d ng). M t t h p ch p kộ ậ ợ ồ ầ ử ươ ộ ổ ợ ậ
c a n ph n t (ủ ầ ử
0 k n
≤ ≤
) là m t t p con c a a g m k ph n t . S t t c các t h p ch p kộ ậ ủ ồ ầ ử ố ấ ả ổ ợ ậ
c a n ph n t ký hi u là ủ ầ ử ệ
k
n
C
Email: Trang 7/18
Ôn t p ậ Toán THPT
+ Công th c:ứ
!
!( )!
( 1) ( 1)
!
k
n
k
n
n
C
k n k
n n n k
C
k
=
−
− − +

=
+ Tính ch t:ấ
0
0 1
1 1
1
1
2
k n k
n n
n
n n
n n
n n n
k k k
n n n
C C
C C
C C C
C C C
−
+ +
+
=
= =
+ + + =
+ =
17.4. Công th c Newton: ứ
T
k

là s h ng th k +1 c a khai tri n nh th c (a + b)ố ạ ứ ủ ể ị ứ
n
:
k n k k
k n
T C a b
−
=
0 1 1 2 2 2
( )
n n n n m n m m n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
− − −
+ = + + + + + +
18. Ph ng pháp t a đ trong m t ph ng và không gian:ươ ọ ộ ặ ẳ
18.1 Trong m t ph ng:ặ ẳ
Cho các vec-t ơ
1 1 2 2
( , ), ( , )a x y b x y
r r
và các đi m ể
1 1 2 2
( , ), ( , )A x y B x y
:
1 2 1 2
.a b x x y y
= +
r r
2 2

1 1
| |a x y
= +
r
2 2
2 1 2 1
( ) ( )d AB x x y y
= = − + −
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos( , )
x x y y
a b
x y x y
+
=
+ + +
r r

1 2 1 2
0a b x x y y
⊥ ⇔ + =
r r
18.2 Trong không gian:
Cho các vec-t ơ
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )a x y z b x y z
r r
và các đi m ể

1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )A x y z B x y z
:
1 2 1 2 1 2
.a b x x y y z z
= + +
r r
Email: Trang 8/18
Ôn t p ậ Toán THPT
2 2 2
1 1 1
| |a x y z
= + +
r
2 2 2
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )d AB x x y y z z
= = − + − + −
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos( , )
x x y y z z
a b
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
r r

1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
19. Đ ng th ng trong m t ph ng và trong không gian:ườ ẳ ặ ẳ
19.1 Đ ng th ng trong m t ph ng:ườ ẳ ặ ẳ
a. Kho ng cách: ả
+ Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể
0
, y
0
) đ n đ ng th ng (d) : Ax + By + C = 0ế ươ ẳ
0 0
2 2
| Ax |By C
MH
A B
+ +
=
+
+ Kho ng cách gi a hai đ ng th ng song song: Ax + By + Cả ữ ườ ẳ
1
= 0 và Ax + By + C
2
= 0
1 2
2 2
| |C C
A B
−

+
b. V trí t ng đ i 2 đ ng th ng:ị ươ ố ườ ẳ
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2

*( ) ( )
*( ) / /( )
*( ) ( )
*( ) ( )
A B
d d
A B
A B C
d d
A B C
A B C
d d
A B C
d d A A B B
φ
∩ ≠ ⇔ ≠
⇔ = ≠
≡ ⇔ = =
⊥ ⇔ +
c. Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(d

2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
1 2
( , )d d
α
=
Email: Trang 9/18
Ôn t p ậ Toán THPT
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
| |
cos
A A B B
A B A B
α
+
=
+ +
d. Ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i 2 đ ng th ng (dươ ườ ủ ạ ở ườ ẳ
1
)và (d
2
):

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
(góc nh n l y d u – , góc tù l y d u + )ọ ấ ấ ấ ấ
e. Ph ng trình chùm đ ng th ng có tâm là giao c a 2 đ ng th ng (dươ ườ ẳ ủ ườ ẳ
1
)và (d
2
):
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) 0A x B y C A x B y C
α β
+ + + + + =
v i ớ
2 2
0
α β
+ >
19.2 Đ ng th ng trong không gian:ườ ẳ
Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ
(d
1
) có vector ch ph ng ỉ ươ
1 1 1
( , , )u a b c=

r
(d
2
) có vector ch ph ng ỉ ươ
2 2 2
( , , )v a b c=
r
α
là góc gi a (dữ
1
) và (d
2
)
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| |
cos
a a bb c c
a b c a b c
α
+ +
=
+ + + +
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0d d a a bb c c⊥ ⇔ + + =
20. M t ph ng:ặ ẳ
a. Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể
0
, y

0
) đ n m t ph ng (P):ế ặ ẳ Ax + By + Cz + D = 0 là:
0 0 0
2 2 2
| |Ax By Cz D
MH
A B C
+ + +
=
+ +
b. Chùm m t ph ng đi qua giao tuy n c a 2 m t ph ng: ặ ẳ ế ủ ặ ẳ
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P A x B y C z D
Q A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
là ph ng trình m t ph ng có d ng:ươ ặ ẳ ạ
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D
α β
+ + + + + + + =
21.C p s c ng:ấ ố ộ
+ Đ nh nghĩa:ị C p s c ng là m t dãy s trong đó, k t s h ng th hai đ u là t ng c aấ ố ộ ộ ố ể ừ ố ạ ứ ề ổ ủ
s h ng đ ng ngay tr c nó v i m t s không đ i khác 0 g i là công sai.ố ạ ứ ướ ớ ộ ố ổ ọ
1
*,
n n

n N U U d
+
∀ ∈ = +
+ Tính ch t c a c p s c ng :ấ ủ ấ ố ộ
Email: Trang 10/18
Ôn t p ậ Toán THPT
1 2 1n n n n
U U U U
+ + +
− = −
2
1
2
n n
n
U U
U
+
+
+
=
+ S h ng t ng quát:ố ạ ổ
1
( 1)
n
U U d n= + −
+ T ng n s h ng đ u:ổ ố ạ ầ
1
( )
2

n
n
a a n
U
+
=
1
2 ( 1)
2
n
a d n
U n
+ −
=
22. C p s nhân:ấ ố
+ Đ nh nghĩa:ị C p s nhân là m t dãy s trong đó s h ng đ u khác không và k t sấ ố ộ ố ố ạ ầ ể ừ ố
h ng th hai đ u b ng tích c a s h ng đ ng ngay trạ ứ ề ằ ủ ố ạ ứ ư c nó v i m t s không đ i khác 0ớ ớ ộ ố ổ
và khác 1 g i là công b i.ọ ộ
"n Є N
*
, U
n + 1
= U
n
.q
+ Tính ch t :ấ
1 2
1
n n
n n

U U
U U
+ +
+
=
1 2
.
n n n
U U U
+ +
=
, U
n
> 0
+ S h ng t ng quát :ố ạ ổ
U
n
= U
1
.q
n - 1
+ T ng n s h ng đ u tiên: ổ ố ạ ầ
1 2 1
1

1
n
n n
q
S U U U U

q
−
= + + + =
−
+ T ng c a c p s nhân lùi vô h n:ổ ủ ấ ố ạ V i |q| < 1ớ
1
1 2

1
n n
U
S U U U
q
= + + + =
−
CÔNG TH C TÍNH Đ O HÀM & TÍCHỨ Ạ
PHÂN 12
I. Đ o hàm:ạ
1. B ng các đ o hàm c b n:ả ạ ơ ả
STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ
Email: Trang 11/18
STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ
1
u
'
2
u
u
2
1

u
2
'u
u
−
3 e
u
u'.e
u
4 a
u
a
u
.lna.u’
5 ln|u|
'u
u
6 log
a
u
'
.ln
u
u a
7 sinu cosu.u’
8 cosu sinx.u’
9 tgu
2
'
cos

u
u
10 cotgu
2
'
sin
u
u
−
11 y=f(u) và u=g(x) y
'
(x)
=y’
(u)
.g’
(x)
Ôn t p ậ Toán THPT
1 C 0
2 x 1
3 x
2
2x
4
x
1
2 x
5 x
n
n.x
n-1

6
1
x
2
1
x
−
7 e
x
e
x
8 a
x
a
x
.lna
9 ln|x|
1
x
(x
≠
0)
10 log
a
x
1
lnx a
11
x
α

1
x
α
α
−
12 sinx cosx
13 cosx sinx
14 tgx
2
1
cos x
15 cotgx
2
1
sin x
−
2. Tính ch t c a đ o hàm:ấ ủ ạ
a. (u + v)’ = u’ + v’
b. (u – v)’ = u’ – v’
c. (u.v)’ = u’.v + u.v’
d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
e.
'
2
'. '.u u v v u
v v
−
 
=
 

 
II. Nguyên hàm:
1. B ng các nguyên hàm c b n:ả ơ ả
STT Hàm s & Nguyên hàmố
1
dx x C= +
∫
2
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+
∫

( 1)
α
≠ −
Email: Trang 12/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3
ln | |
dx
dx x C
x

= +
∫

( 0)x ≠
4
x x
e dx e C= +
∫
5
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

(0 1)a< ≠
6
sin cosxdx x C= − +
∫
7
cos sinxdx x C= +
∫
8
2
1
cos
dx tgx C

x
= +
∫

( )
2
x k
π
π
≠ +
9
2
1
sin
dx cotgx C
x
= − +
∫

( )x k
π
≠
2. M t s nguyên hàm khác:ộ ố
* Hàm y =
( )
m
a
x
α
−

(m
≠
1) . Hàm s có d ng : ố ạ
'
m
u
u
= u'.u
-m
(m
≠
1) v i u = x-ớ
α
Nguyên hàm là :
( )
m
a
dx
x
α
−
∫
= a.
1
1
( 1)( )
m
m x
α
−

−
− −
+ C
* Hàm y =
2
2ax b
ax bx c
+
+ +
. Đ t t = ặ
2
ax bx c+ +

⇒
t' = 2ax + b
Hàm s có d ng : ố ạ
't
t

⇒
H nguyên hàm c a hàm s là : ln|t| + C = ln|ọ ủ ố
2
ax bx c+ +
| + C
⇒

2
2
2
ln | |

ax b
dx ax bx c C
ax bx c
+
= + + +
+ +
∫
* Hàm
2
1
y
ax bx c
=
+ +
. Ta có các tr ng h p sau :ườ ợ
+ M u s ẫ ố
2
ax bx c+ +
có 2 nghi m phân bi t xệ ệ
1
,x
2
và gi s xả ử
1
< x
2
. Ta có :
2
ax bx c+ +
=

1 2
( )( )a x x x x− −
. Ta có th vi t nh sau :ể ế ư
2
1
dx
ax bx c+ +
∫
=
1 2
1
( )( )
dx
a x x x x− −
∫
=
1 2
1 2 2 1
( ) ( )1
( )( )
x x x x dx
a x x x x x x
 
− − −
 
− − −
 
∫
=
2 1 1 2

1 1 1
( )
dx
a x x x x x x
 
−
 
− − −
 
∫
=
2
2 1 1
1
ln
( )
x x
C
a x x x x
−
+
− −
Email: Trang 13/18
Ôn t p ậ Toán THPT
+ M u s có nghi m képẫ ố ệ :
2 2
( )ax bx c a x m+ + = −
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )

dx dx
dx C
ax bx c a x m a x m a x m
−
= = = +
+ + − − −
∫ ∫ ∫
+ M u s không có nghi m (vô nghi m):ẫ ố ệ ệ
2 2
( )ax bx c a x m n+ + = + ±
. Đ t u = ặ
2
( )x m+
. Ta có :
*
2 2
.ax bx c a u n+ + = +

⇒
2
1
dx
au n+
∫
. Đ t ặ
n
u tgt
a
=
*

2 2
.ax bx c a u n+ + = −

⇒

2
1
dx
au n−
∫
. Nguyên hàm là :
2
2
1 1 1 1 1
ln
2
n
u
a
dx C
n
au n a a
n n
u
u
a
a a
−
= = +
−

−
+
∫ ∫
3. H nguyên hàm c a các hàm vô t :ọ ủ ỉ
3.1. Hàm s có d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x k
=
+
;
2 2
1
( )f x
x k
=
−
* Cách 1 : Đ t ặ
2 2
x k+
= -x + t
⇒
t = x +
2 2
x k+
⇒
dt =
2 2
(1 )

x
dx
x k
+
+
=
2 2
2 2
x k x
dx
x k
+ +
+
=
2 2
t
dx
x k+
⇒
2 2
dx dt
t
x k
=
+
. Do đó :
2 2
2 2
ln | | ln | |
dx dt

t C x x k C
t
x k
= = + = + + +
+
∫ ∫

*Cách 2: Bi n đ i : ế ổ
2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
x x k
x k x k x x k
+ +
=
+ + + +
( Nhân t và m u v i ử ẫ ớ
2 2
x x k+ +
)
Ta có :
2 2
2 2
1
( )
( )
x
x k
f x

x x k
+
+
=
+ +
( Chia t và m u cho ử ẫ
2 2
x k+
)
Đ t ặ
2 2
t x x k= + +
. Suy ra :
2 2
(1 )
dt x
dx
t
x k
= +
+

⇒

( )f x dx =
dt
t

V y nguyên hàm là : ậ
2 2

( ) ln | | ln | |f x dx t C x x k C= + = + + +
∫
T ng t : ươ ự
2 2
1
dx
x k−
∫
2 2
ln | |x x k C= + − +
.
Email: Trang 14/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3.2. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
k x
=
−
và
2 2
1
( )f u
k u
=
−
Đ t ặ
sinx k t
=

v i ớ
[ ; ]
2 2
x
π π
−
∈
(ho c ặ
cosx k t
=
v i ớ
[0; ]x
π
∈
)
⇒
cosdx k tdt=

⇒

2 2 2 2
1 cos .
(1 sin )
k t dt
dx
k x k t
=
− −
∫ ∫
=

2
cos . cos .
| cos |
cos )
k t dt t dt
t
k t
=
∫ ∫
Vì
[ ; ]
2 2
t
π π
−
∈
nên cost > 0
⇒

cos . cos
| cos | cos
t dt t
dt dt t C
t t
= = = +
∫ ∫ ∫
T ng t : ươ ự
2 2
1
du

k u−
∫
=
t C+
3.3. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
( )f x x k= −
;
2 2
( )f u u k= −
Nguyên hàm là :
2
2 2 2 2 2 2
ln | |
2 2
x k
x k dx x k x x k C− = − + + − +
∫
Cách khác: đ t ặ
sin
k
x
t
=
ho c ặ
cos
k
x
t
=

v i ớ
[0; ]
2
t
π
∈
3.4. Hàm s d ng :ố ạ
2
( )f x ax bx c= + +
⇒
Ta bi n đ i v m t trong hai d ng sau: ế ổ ề ộ ạ
2 2
( )f x u k= −
ho c ặ
2 2
( )f x u k= +
r i ápồ
d ng theo m c 3.ụ ụ
3.5. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
( )f x x k= +
và
2 2
( )f u u k= +
Đ t ặ
x ktgt=
,
u ktgt=
v i ớ
[- ; ]

2 2
t
π π
∈

3.6. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x m
=
−
ho c ặ
2 2
1
( )f u
u m
=
−
Phân tích thành :
2 2
1
( )f x
x m
=
−
=
1 1
x m x m
+

− +
r i áp d ng theo công th c đã h c.ồ ụ ứ ọ
3.7. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x m
=
+
ho cặ
2 2
1
( )f u
u m
=
+
+ Đ t ặ
x mtgt=
,
u mtgt=
v i ớ
[- ; ]
2 2
t
π π
∈

⇒

2 2

2 2 2 2
1 1 | ost |
.
cos os t
( 1)
m c
dx dt dx
t c
x m m tg t
= =
+ +
∫ ∫ ∫
Vì
[- ; ]
2 2
t
π π
∈
nên
2 2
| ost | ost
os t 1 sin
c c
dx dt
c t
=
−
∫ ∫
Email: Trang 15/18
Ôn t p ậ Toán THPT

+ Đ t ti p : ặ ế
sinu t
=
⇒
du = costdt .Do đó :
2 2
ost 1
1 sin 1
c
dt du
t u
=
− −
∫ ∫
1 1
ln
2 1
u
C
u
−
= − +
+
4. Các tr ng h p t ng quát c n chú ý :ườ ợ ổ ầ
a. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm l đ i v i cosx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = sinx
b. Tr ng hườ ợp: f(x) là hàm l đ i v i sinx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = cosx
c. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm ch n đ i v i sinx và cosx :ẵ ớ ớ
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d. Tr ng h pườ ợ : f(x) là hàm l đ i v i sinx và cosx : ẻ ố ớ Đ tặ : t = tgx
e.Tr ng h pườ ợ : f(x) ch ch a sinx ho c cosx :ỉ ứ ặ Đ t ặ

2
x
t tg=
* Ph ng pháp chung:ươ
A. D ng f(x) = sinạ
2n
x.cos
2m
x :
(a)
2 2
1 cos 2
sin ( )
2
n
x
xdx dx
−
=
∫ ∫
(b)
2 2
1 cos 2
os ( )
2
m
x
c xdx dx
+
=

∫ ∫
(c)
2n 2
sin os
m
xc xdx
∫
. Thay cos
2
x = 1 – sin
2
x ho c thay sinặ
2
x = 1 – cos
2
x r i chuy n v d ngố ể ề ạ
(a) ho c (b).ặ
B. D ng : ạ
2n
2m
sin
( )
os
x a
f x
c b
+
=
+
. Đ t t = tgxặ

III. Ph ng trình l ng giácươ ượ
1. Ph ng trình c b n:ươ ơ ả
* sinx = sina x = a + k2π
ho cặ x = π - a + k2π
* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π
* tgx = tg = + ( ≠ a ⟺ x a kπ x k )
* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)
2. Ph ng trình đ ng c p đ i v i sinx và cosx:ươ ẳ ấ ố ớ
Các phư ng trình lơ ng giácượ
* asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x = 0 (1)
* asin
3
x + bsin
2
x.cosx + c.sinx.cos
2
x + dcos
3
x = 0 (2)
* asin
4
x + bsin
3
x.cosx + csin
2
x.cos

2
x + dsinx.cos
3
x + ecos
4
x = 0 (3)
g i là phọ ng trình đ ng c p b c 2, 3, 4 đ i v i sinx và cosx.ươ ẳ ấ ậ ố ớ
Email: Trang 16/18
Ôn t p ậ Toán THPT
Do cosx ≠ 0 nên chia hai v c a phế ủ ng trình (1), (2), (3) theo th t cho ươ ứ ự cos
2
x, cos
3
x,
cos
4
x đ a phư ng trình đã cho v phươ ề ng trình m i và ta d dàng gi i các phươ ớ ễ ả ng trìnhươ
này.
3. Ph ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx:ươ ậ ấ ố ớ
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a
2
+ b
2
≠ 0 ph ng trình (1) có nghi m ươ ệ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0

Có ba cách gi i lo i phả ạ ng trình này :ươ
- Gi s a ả ử ≠ 0

(1) sin cos 0
b c
x x
a a
⇔ + + =
(2)
Đ t : ặ
b
tg
a
ϕ
=

(2) sin cos 0
c
x tg x
a
ϕ
⇔ + + =

sin( ) cos
c
x
a
ϕ ϕ
⇔ + = −
Ta d dàng gi i phễ ả ư ng trình này.ơ

- Đ t :ặ

2
x
tg t
=
2
2 2
2 1
(1) 0
1 1
t t
a b c
t t
−
⇔ + + =
+ +
Gi i phả ư ng trình b c hai đ i v i t, d dàng gi i đơ ậ ố ớ ễ ả ư c phợ ư ng trình (1).ơ
- Do
2 2
0a b+ ≠
, chia hai v c a phế ủ ư ng trình cho ơ
2 2
a b+
:

2 2 2 2 2 2
(1) sin cos
a b c
x x

a b a b a b
⇔ + = −
+ + +
Đ t :ặ

2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
α
α

=

+



=

+


2 2
(1) sin( )
c

x
a b
α
⇔ + = −
+
(đây là ph ng trình c b n).ươ ơ ả
Chú ý : Ta luôn có :

2 2
| sin sin |a x b x a b
+ ≤ +
D u "=" x y ra khi và ch khi sin(x + a) = 1.ấ ả ỉ
Email: Trang 17/18
Ôn t p ậ Toán THPT
4. Ph ng trình đ i x ng đ i v i sinx và cosx:ươ ố ứ ố ớ
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là h ng s )ằ ố
Gi i phả ng trình (1) b ng cách đ t :ươ ằ ặ
sinx + cosx = t ,
| | 2t ≤
Đ a (1) v phư ề ư ng trình ơ

2
2 ( 2 ) 0bt at b c
+ − + =
Gi i phả ng trình (2) v i ươ ớ
| | 2t ≤
.
5. H phệ ng trình lươ ư ng giác:ợ
1) H phệ ng trình lươ ng giác m t n. Ch ng h n có h phượ ộ ẩ ẳ ạ ệ ng trình :ươ

sin 1
cos 0
x
x
=


=

Có hai ph ng pháp gi i :ươ ả
* Phư ng pháp th , gi i m t phơ ế ả ộ ư ng trình c a h r i th nghi m tìm đơ ủ ệ ồ ế ệ c vào phượ ngươ
trình còn l i.ạ
* Ph ng pháp tìm nghi m chung, gi i tìm nghi m c a m i phươ ệ ả ệ ủ ỗ ng trình trong h , sau đóươ ệ
tìm nghi m chung. ệ
2) H phệ ư ng trình lơ ng giác hai n. Ch ng h n có h phượ ẩ ẳ ạ ệ ư ng trình :ơ

3
sin sin 1
x y
x y
π

+ =



+ =

Ph ng pháp chung là đươ a nó v h phư ề ệ ng trình đ i s hai n, ho c đươ ạ ố ẩ ặ a v phề ng trìnhươ
t ng tích.ổ

Email: Trang 18/18