Tải bản đầy đủ (.pdf) (18 trang)

Nột số công thức toán học lớp 10 và 11 pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.08 KB, 18 trang )

Ôn t p ậ Toán THPT
M T S CÔNG TH C TOÁN H C L P 10 & 11Ộ Ố Ứ Ọ Ớ
1. Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c:ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ
1.1. Tính ch t 1 (tính ch t b c c u):ấ ấ ắ ầ a > b và b > c

a > c
1.2. Tính ch t 2:ấ a > b

a + c > b + c
T c là:ứ N u c ng 2 v c a b t đ ng th c v i cùng m t s ta đ c b t đ ng th c cùngế ộ ế ủ ắ ẳ ứ ớ ộ ố ượ ấ ẳ ứ
chi u và t ng đ ng v i b t đ ng th c đã cho.ề ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
H qu (Quy t c chuy n v ):ệ ả ắ ể ế a > b + c

a – c > b
1.3 Tính ch t 3: ấ
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

N u c ng các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ộ ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ
th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c tr hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ừ ế ủ ấ ẳ ứ ề
1.4 Tính ch t 4: ấ
a > b

a.c > b.c n u c > 0ế
ho c ặ a > b



c.c < b.c n u c < 0ế
1.5 Tính ch t 5: ấ
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> >

⇒ >

> >

N u nhân các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ
th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c chia hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ế ủ ấ ẳ ứ ề
1.6 Tính ch t 6:ấ
a > b > 0

a
n
> b
n
(n nguy n d ng)ể ươ
1.7 Tính ch t 7: ấ
0
n n
a b a b> > ⇒ >
(n nguyên d ng)ươ

2. B t đ ng th c Cauchy (Cô-si):ấ ẳ ứ
Đ nh lí:ị N u ế
0a


0b

thì
.
2
a b
a b
+

. Đ ng th c x y ra khi và ch khi: a = b ẳ ứ ả ỉ
T c là:ứ Trung bình c ng c a 2 s không âm l n h n ho c b ng trung bình nhân c aộ ủ ố ớ ơ ặ ằ ủ
chúng.
H qu 1:ệ ả N u 2 s d ng có t ng không đ i thì tích c a chùng l n nh t khi 2 s đõế ố ươ ổ ổ ủ ớ ấ ố
b ng nhau.ẳ
Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng chu vi, hình vuông có di nấ ả ữ ậ ệ
tích l n nh t.ớ ấ
H qu 2:ệ ả N u 2 s d ng có tích không đ i thì t ng c a chùng nh nh t khi 2 s đóế ố ươ ổ ổ ủ ỏ ấ ố
b ng nhau.ằ
Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng di n tích hình vuông có chuấ ả ữ ậ ệ
vi nh nh t.ỏ ấ
Email: Trang 1/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3. B t đ ng th c ch a giá tr tr tuy t đ i:ấ ẳ ứ ứ ị ị ệ ố

0

0
x
x
x
>

=

− >

T đ nh nghĩa suy ra: v i m i ừ ị ớ ọ
x R

ta có:
a. |x|

0
b. |x|
2
= x
2
c. x

|x| và -x

|x|
Đ nh lí:ị V i m i s th c a và b ta có: ớ ọ ố ự
|a + b|

|a| + |b| (1)

|a – b|

|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ

0
|a – b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ

0
4. Đ nh lí Vi-et:ị
N u ph ng trình b c 2: axế ươ ậ
2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghi m xệ
1
, x
2
(a

0) thì t ng và tích 2ổ
nghi m đó là: ệ
S = x
1
+ x
2
=
b
a

P = x
1

.x
2
=
c
a
Chú ý:
+ N u a + b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ N u a – b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ
1
= -1 và x
2
=
c
a

H qu :ệ ả N u 2 s u, v có t ng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghi m c aế ố ổ ệ ủ
ph ng trình: xươ
2
– S.x + P = 0
5. Chia đo n th ng theo t l cho tr c:ạ ẳ ỉ ệ ướ
a. Đ nh nghĩa:ị Cho 2 đi m phân bi t A, B. Ta nói đi m M chia đo n th ng AB theo t s kể ệ ể ạ ẳ ỉ ố
n u ế
MA kMB=
uuur uuur

b. Đ nh lí:ị N u đi m M chia đo n th ng AB theo t s k ế ể ạ ẳ ỉ ố

1 thì v i đi m O b t kì ta có: ớ ể ấ
1
OA kOB
OM
k

=

uuur uuur
uuuur
6. Tr ng tâm tam giác:ọ
a. Đi m G là tr ng tâm tam giác khi và ch khi: ể ọ ỉ
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
Email: Trang 2/18
n u x ế

0
n u x < 0ế
Ôn t p ậ Toán THPT
b. N u G là tr ng tâm tam giác, thì v i m i đi m O ta có: ế ọ ớ ọ ể
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
7. Các H Th c L ng Trong Tam Giác:ệ ứ ượ
7.1. Đ nh lí Cosin trong tam giác:ị
Đ nh lí:ị V i m i tam giác ABC, ta luôn có:ớ ọ
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
= + −
= + −
= + −
7.2. Đ nh lí sin trong tam giác:ị
Đ nh lí:ị Trong tam giác ABC, v i R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p ta có:ớ ườ ạ ế
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
7.3. Công th c đ dài đ ng trung tuy n:ứ ộ ườ ế
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
2 4
a
b

c
b c a
m
a c b
m
b a c
m
+
= −
+
= −
+
= −
8. T s l ng giác c a m t s góc c n nh :ỉ ố ượ ủ ộ ố ầ ớ
Góc
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150

0
180
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1

3
2
2
2
1
2
0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0 –
1
2

2
2

3
2
-1
tg 0
1
3
1
3
|| –

3
1 –
1
3
0
cotg ||
3
1
1
3
0 –
1
3
1 –
3
||
Email: Trang 3/18
Ôn t p ậ Toán THPT
9. Công th c bi n đ i tích thành t ng:ứ ế ổ ổ

1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b

a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= + + −
10. Công th c bi n đ i t ng thành tích:ứ ế ổ ổ

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −

− =
11.Công th c nhân đôi:ứ
2 2 2 2
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2
2 ( , , )
1 2 2 2
a a a a a
a a a
tga
tg a a k a k k
tg a
π π π
π
= − = − = −
=
= ≠ + ≠ + ∈

Z
12. Công th c nhân ba:ứ

3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −

= −
13. Công th c h b c:ứ ạ ậ
Email: Trang 4/18
Ôn t p ậ Toán THPT
2
2
2
3
3
cos 2 1
cos
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
1 cos 2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos3
cos
4
a
a
a
a
a
tg a
a

a a
a
a a
a
+
=

=

=
+

=
+
=
14. Công th c c ng:ứ ộ
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
− = −
+ = −
− = +
Ngoài ra ta cũng có công th c sau v i m t s đi u ki n:ứ ớ ộ ố ề ệ
( ) (*)

1 .
( ) (**)
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
tga tgb
tg a b
tga tgb

− =
+
+
+ =

(*) có đi u ki n: ề ệ
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + − ≠ +
(**) có đi u ki n:ề ệ
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + + ≠ +
15. Công th c tính ứ tga, cosa, sina theo

2
a
t tg=
:
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
,
1 2
t
a
t
t
a
t
t
tga a k
t
π
π
=
+


=
+
= ≠ +

Email: Trang 5/18
Ôn t p ậ Toán THPT
16. Công th c liên h gi a 2 góc bù nhau, ph nhau, đ i nhau và h n kém nhau 1 gócứ ệ ữ ụ ố ơ
π
ho cặ
2
π
:
16.1. Hai góc bù nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −

16.2. Hai góc ph nhau:ụ
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a cotga
cotg a tga
π
π
π
π
− =
− =
− =
− =
16.3. Hai góc đ i nhau: ố
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga

− = −
− =
− = −
− = −
16.4 Hai góc h n kém nhau ơ
2
π
:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
16.5 Hai góc h n kém nhau ơ
π

:
Email: Trang 6/18
Ôn t p ậ Toán THPT
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
16.6. M t s công th c đ c bi t:ộ ố ứ ặ ệ
sin cos 2 sin( )
4
sin cos 2 sin( )
4
x x x
x x x
π
π
+ = +
− = −

17. T h p, hoán v , ch nh h p:ổ ợ ị ỉ ợ
17.1. Hoán v :ị
+ Đ nh nghĩa:ị M t hoán v c a n ph n t là m t b g m n ph n t đó, đ c s p x pộ ị ủ ầ ử ộ ộ ồ ầ ử ượ ắ ế
theo m t th t nh t đ nh, m i ph n t có m t đúng m t l n. S t t c các hoán v khácộ ứ ự ấ ị ỗ ầ ử ặ ộ ầ ố ấ ả ị
nhau c a n ph n t ký hi u là Pủ ầ ử ệ
n

+ Công th c :ứ P
n
=1.2.3 n = n !
17.2 Ch nh h p: ỉ ợ
+ Đ nh nghĩa:ị M t ch nh h p ch p k c a n ph n t (ộ ỉ ợ ậ ủ ầ ử
0 k n≤ ≤
) là m t b s p th tộ ộ ắ ứ ự
g m k ph n t l y ra t n ph n t đã cho. s t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t kýồ ầ ử ấ ừ ầ ử ố ấ ả ỉ ợ ậ ủ ầ ử
hi u làệ
k
n
A
+Công th c :ứ
( )
1
0
1
!
!
( 1) ( 1)
( )
!
1

!
k
n
k
n
k k
n n
n
n n
n
n n
n n
n
A
n k
A n n n k
A n k A
A P n
A
A A n
+

=

= − − +
= −
= =
=
= =
(qui c 0! = 1)ướ

17.3 T ch p: ổ ợ
+ Đ nh nghĩa:ị Cho m t t p h p a g m n ph n t (n nguyên d ng). M t t h p ch p kộ ậ ợ ồ ầ ử ươ ộ ổ ợ ậ
c a n ph n t (ủ ầ ử
0 k n
≤ ≤
) là m t t p con c a a g m k ph n t . S t t c các t h p ch p kộ ậ ủ ồ ầ ử ố ấ ả ổ ợ ậ
c a n ph n t ký hi u là ủ ầ ử ệ
k
n
C
Email: Trang 7/18
Ôn t p ậ Toán THPT
+ Công th c:ứ
!
!( )!
( 1) ( 1)
!
k
n
k
n
n
C
k n k
n n n k
C
k
=

− − +

=
+ Tính ch t:ấ
0
0 1
1 1
1
1
2
k n k
n n
n
n n
n n
n n n
k k k
n n n
C C
C C
C C C
C C C

+ +
+
=
= =
+ + + =
+ =
17.4. Công th c Newton: ứ
T
k

là s h ng th k +1 c a khai tri n nh th c (a + b)ố ạ ứ ủ ể ị ứ
n
:
k n k k
k n
T C a b

=
0 1 1 2 2 2
( )
n n n n m n m m n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
− − −
+ = + + + + + +
18. Ph ng pháp t a đ trong m t ph ng và không gian:ươ ọ ộ ặ ẳ
18.1 Trong m t ph ng:ặ ẳ
Cho các vec-t ơ
1 1 2 2
( , ), ( , )a x y b x y
r r
và các đi m ể
1 1 2 2
( , ), ( , )A x y B x y
:
1 2 1 2
.a b x x y y
= +
r r
2 2

1 1
| |a x y
= +
r
2 2
2 1 2 1
( ) ( )d AB x x y y
= = − + −
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos( , )
x x y y
a b
x y x y
+
=
+ + +
r r

1 2 1 2
0a b x x y y
⊥ ⇔ + =
r r
18.2 Trong không gian:
Cho các vec-t ơ
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )a x y z b x y z
r r
và các đi m ể

1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )A x y z B x y z
:
1 2 1 2 1 2
.a b x x y y z z
= + +
r r
Email: Trang 8/18
Ôn t p ậ Toán THPT
2 2 2
1 1 1
| |a x y z
= + +
r
2 2 2
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )d AB x x y y z z
= = − + − + −
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos( , )
x x y y z z
a b
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
r r


1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
19. Đ ng th ng trong m t ph ng và trong không gian:ườ ẳ ặ ẳ
19.1 Đ ng th ng trong m t ph ng:ườ ẳ ặ ẳ
a. Kho ng cách: ả
+ Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể
0
, y
0
) đ n đ ng th ng (d) : Ax + By + C = 0ế ươ ẳ
0 0
2 2
| Ax |By C
MH
A B
+ +
=
+
+ Kho ng cách gi a hai đ ng th ng song song: Ax + By + Cả ữ ườ ẳ
1
= 0 và Ax + By + C
2
= 0
1 2
2 2
| |C C
A B


+
b. V trí t ng đ i 2 đ ng th ng:ị ươ ố ườ ẳ
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2

*( ) ( )
*( ) / /( )
*( ) ( )
*( ) ( )
A B
d d
A B
A B C
d d
A B C
A B C
d d
A B C
d d A A B B
φ
∩ ≠ ⇔ ≠
⇔ = ≠
≡ ⇔ = =
⊥ ⇔ +
c. Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(d

2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
1 2
( , )d d
α
=
Email: Trang 9/18
Ôn t p ậ Toán THPT
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
| |
cos
A A B B
A B A B
α
+
=
+ +
d. Ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i 2 đ ng th ng (dươ ườ ủ ạ ở ườ ẳ
1
)và (d
2
):

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
(góc nh n l y d u – , góc tù l y d u + )ọ ấ ấ ấ ấ
e. Ph ng trình chùm đ ng th ng có tâm là giao c a 2 đ ng th ng (dươ ườ ẳ ủ ườ ẳ
1
)và (d
2
):
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) 0A x B y C A x B y C
α β
+ + + + + =
v i ớ
2 2
0
α β
+ >
19.2 Đ ng th ng trong không gian:ườ ẳ
Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ
(d
1
) có vector ch ph ng ỉ ươ
1 1 1
( , , )u a b c=

r
(d
2
) có vector ch ph ng ỉ ươ
2 2 2
( , , )v a b c=
r
α
là góc gi a (dữ
1
) và (d
2
)
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| |
cos
a a bb c c
a b c a b c
α
+ +
=
+ + + +
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0d d a a bb c c⊥ ⇔ + + =
20. M t ph ng:ặ ẳ
a. Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể
0
, y

0
) đ n m t ph ng (P):ế ặ ẳ Ax + By + Cz + D = 0 là:
0 0 0
2 2 2
| |Ax By Cz D
MH
A B C
+ + +
=
+ +
b. Chùm m t ph ng đi qua giao tuy n c a 2 m t ph ng: ặ ẳ ế ủ ặ ẳ
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P A x B y C z D
Q A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
là ph ng trình m t ph ng có d ng:ươ ặ ẳ ạ
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D
α β
+ + + + + + + =
21.C p s c ng:ấ ố ộ
+ Đ nh nghĩa:ị C p s c ng là m t dãy s trong đó, k t s h ng th hai đ u là t ng c aấ ố ộ ộ ố ể ừ ố ạ ứ ề ổ ủ
s h ng đ ng ngay tr c nó v i m t s không đ i khác 0 g i là công sai.ố ạ ứ ướ ớ ộ ố ổ ọ
1
*,
n n

n N U U d
+
∀ ∈ = +
+ Tính ch t c a c p s c ng :ấ ủ ấ ố ộ
Email: Trang 10/18
Ôn t p ậ Toán THPT
1 2 1n n n n
U U U U
+ + +
− = −
2
1
2
n n
n
U U
U
+
+
+
=
+ S h ng t ng quát:ố ạ ổ
1
( 1)
n
U U d n= + −
+ T ng n s h ng đ u:ổ ố ạ ầ
1
( )
2

n
n
a a n
U
+
=
1
2 ( 1)
2
n
a d n
U n
+ −
=
22. C p s nhân:ấ ố
+ Đ nh nghĩa:ị C p s nhân là m t dãy s trong đó s h ng đ u khác không và k t sấ ố ộ ố ố ạ ầ ể ừ ố
h ng th hai đ u b ng tích c a s h ng đ ng ngay trạ ứ ề ằ ủ ố ạ ứ ư c nó v i m t s không đ i khác 0ớ ớ ộ ố ổ
và khác 1 g i là công b i.ọ ộ
"n Є N
*
, U
n + 1
= U
n
.q
+ Tính ch t :ấ
1 2
1
n n
n n

U U
U U
+ +
+
=
1 2
.
n n n
U U U
+ +
=
, U
n
> 0
+ S h ng t ng quát :ố ạ ổ
U
n
= U
1
.q
n - 1
+ T ng n s h ng đ u tiên: ổ ố ạ ầ
1 2 1
1

1
n
n n
q
S U U U U

q

= + + + =

+ T ng c a c p s nhân lùi vô h n:ổ ủ ấ ố ạ V i |q| < 1ớ
1
1 2

1
n n
U
S U U U
q
= + + + =

CÔNG TH C TÍNH Đ O HÀM & TÍCHỨ Ạ
PHÂN 12
I. Đ o hàm:ạ
1. B ng các đ o hàm c b n:ả ạ ơ ả
STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ
Email: Trang 11/18
STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ
1
u
'
2
u
u
2
1

u
2
'u
u

3 e
u
u'.e
u
4 a
u
a
u
.lna.u’
5 ln|u|
'u
u
6 log
a
u
'
.ln
u
u a
7 sinu cosu.u’
8 cosu sinx.u’
9 tgu
2
'
cos

u
u
10 cotgu
2
'
sin
u
u

11 y=f(u) và u=g(x) y
'
(x)
=y’
(u)
.g’
(x)
Ôn t p ậ Toán THPT
1 C 0
2 x 1
3 x
2
2x
4
x
1
2 x
5 x
n
n.x
n-1

6
1
x
2
1
x

7 e
x
e
x
8 a
x
a
x
.lna
9 ln|x|
1
x
(x

0)
10 log
a
x
1
lnx a
11
x
α

1
x
α
α

12 sinx cosx
13 cosx sinx
14 tgx
2
1
cos x
15 cotgx
2
1
sin x

2. Tính ch t c a đ o hàm:ấ ủ ạ
a. (u + v)’ = u’ + v’
b. (u – v)’ = u’ – v’
c. (u.v)’ = u’.v + u.v’
d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
e.
'
2
'. '.u u v v u
v v

 
=
 

 
II. Nguyên hàm:
1. B ng các nguyên hàm c b n:ả ơ ả
STT Hàm s & Nguyên hàmố
1
dx x C= +

2
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+


( 1)
α
≠ −
Email: Trang 12/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3
ln | |
dx
dx x C
x

= +


( 0)x ≠
4
x x
e dx e C= +

5
ln
x
x
a
a dx C
a
= +


(0 1)a< ≠
6
sin cosxdx x C= − +

7
cos sinxdx x C= +

8
2
1
cos
dx tgx C

x
= +


( )
2
x k
π
π
≠ +
9
2
1
sin
dx cotgx C
x
= − +


( )x k
π

2. M t s nguyên hàm khác:ộ ố
* Hàm y =
( )
m
a
x
α


(m

1) . Hàm s có d ng : ố ạ
'
m
u
u
= u'.u
-m
(m

1) v i u = x-ớ
α
Nguyên hàm là :
( )
m
a
dx
x
α


= a.
1
1
( 1)( )
m
m x
α



− −
+ C
* Hàm y =
2
2ax b
ax bx c
+
+ +
. Đ t t = ặ
2
ax bx c+ +


t' = 2ax + b
Hàm s có d ng : ố ạ
't
t


H nguyên hàm c a hàm s là : ln|t| + C = ln|ọ ủ ố
2
ax bx c+ +
| + C


2
2
2
ln | |

ax b
dx ax bx c C
ax bx c
+
= + + +
+ +

* Hàm
2
1
y
ax bx c
=
+ +
. Ta có các tr ng h p sau :ườ ợ
+ M u s ẫ ố
2
ax bx c+ +
có 2 nghi m phân bi t xệ ệ
1
,x
2
và gi s xả ử
1
< x
2
. Ta có :
2
ax bx c+ +
=

1 2
( )( )a x x x x− −
. Ta có th vi t nh sau :ể ế ư
2
1
dx
ax bx c+ +

=
1 2
1
( )( )
dx
a x x x x− −

=
1 2
1 2 2 1
( ) ( )1
( )( )
x x x x dx
a x x x x x x
 
− − −
 
− − −
 

=
2 1 1 2

1 1 1
( )
dx
a x x x x x x
 

 
− − −
 

=
2
2 1 1
1
ln
( )
x x
C
a x x x x

+
− −
Email: Trang 13/18
Ôn t p ậ Toán THPT
+ M u s có nghi m képẫ ố ệ :
2 2
( )ax bx c a x m+ + = −
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )

dx dx
dx C
ax bx c a x m a x m a x m

= = = +
+ + − − −
∫ ∫ ∫
+ M u s không có nghi m (vô nghi m):ẫ ố ệ ệ
2 2
( )ax bx c a x m n+ + = + ±
. Đ t u = ặ
2
( )x m+
. Ta có :
*
2 2
.ax bx c a u n+ + = +


2
1
dx
au n+

. Đ t ặ
n
u tgt
a
=
*

2 2
.ax bx c a u n+ + = −



2
1
dx
au n−

. Nguyên hàm là :
2
2
1 1 1 1 1
ln
2
n
u
a
dx C
n
au n a a
n n
u
u
a
a a

= = +



+
∫ ∫
3. H nguyên hàm c a các hàm vô t :ọ ủ ỉ
3.1. Hàm s có d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x k
=
+
;
2 2
1
( )f x
x k
=

* Cách 1 : Đ t ặ
2 2
x k+
= -x + t

t = x +
2 2
x k+

dt =
2 2
(1 )

x
dx
x k
+
+
=
2 2
2 2
x k x
dx
x k
+ +
+
=
2 2
t
dx
x k+

2 2
dx dt
t
x k
=
+
. Do đó :
2 2
2 2
ln | | ln | |
dx dt

t C x x k C
t
x k
= = + = + + +
+
∫ ∫

*Cách 2: Bi n đ i : ế ổ
2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
x x k
x k x k x x k
+ +
=
+ + + +
( Nhân t và m u v i ử ẫ ớ
2 2
x x k+ +
)
Ta có :
2 2
2 2
1
( )
( )
x
x k
f x

x x k
+
+
=
+ +
( Chia t và m u cho ử ẫ
2 2
x k+
)
Đ t ặ
2 2
t x x k= + +
. Suy ra :
2 2
(1 )
dt x
dx
t
x k
= +
+



( )f x dx =
dt
t

V y nguyên hàm là : ậ
2 2

( ) ln | | ln | |f x dx t C x x k C= + = + + +

T ng t : ươ ự
2 2
1
dx
x k−

2 2
ln | |x x k C= + − +
.
Email: Trang 14/18
Ôn t p ậ Toán THPT
3.2. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
k x
=


2 2
1
( )f u
k u
=

Đ t ặ
sinx k t
=

v i ớ
[ ; ]
2 2
x
π π


(ho c ặ
cosx k t
=
v i ớ
[0; ]x
π

)

cosdx k tdt=



2 2 2 2
1 cos .
(1 sin )
k t dt
dx
k x k t
=
− −
∫ ∫
=

2
cos . cos .
| cos |
cos )
k t dt t dt
t
k t
=
∫ ∫

[ ; ]
2 2
t
π π


nên cost > 0


cos . cos
| cos | cos
t dt t
dt dt t C
t t
= = = +
∫ ∫ ∫
T ng t : ươ ự
2 2
1
du

k u−

=
t C+
3.3. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
( )f x x k= −
;
2 2
( )f u u k= −
Nguyên hàm là :
2
2 2 2 2 2 2
ln | |
2 2
x k
x k dx x k x x k C− = − + + − +

Cách khác: đ t ặ
sin
k
x
t
=
ho c ặ
cos
k
x
t
=

v i ớ
[0; ]
2
t
π

3.4. Hàm s d ng :ố ạ
2
( )f x ax bx c= + +

Ta bi n đ i v m t trong hai d ng sau: ế ổ ề ộ ạ
2 2
( )f x u k= −
ho c ặ
2 2
( )f x u k= +
r i ápồ
d ng theo m c 3.ụ ụ
3.5. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
( )f x x k= +

2 2
( )f u u k= +
Đ t ặ
x ktgt=
,
u ktgt=
v i ớ
[- ; ]

2 2
t
π π


3.6. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x m
=

ho c ặ
2 2
1
( )f u
u m
=

Phân tích thành :
2 2
1
( )f x
x m
=

=
1 1
x m x m
+

− +
r i áp d ng theo công th c đã h c.ồ ụ ứ ọ
3.7. Hàm s d ng :ố ạ
2 2
1
( )f x
x m
=
+
ho cặ
2 2
1
( )f u
u m
=
+
+ Đ t ặ
x mtgt=
,
u mtgt=
v i ớ
[- ; ]
2 2
t
π π




2 2

2 2 2 2
1 1 | ost |
.
cos os t
( 1)
m c
dx dt dx
t c
x m m tg t
= =
+ +
∫ ∫ ∫

[- ; ]
2 2
t
π π

nên
2 2
| ost | ost
os t 1 sin
c c
dx dt
c t
=

∫ ∫
Email: Trang 15/18
Ôn t p ậ Toán THPT

+ Đ t ti p : ặ ế
sinu t
=

du = costdt .Do đó :
2 2
ost 1
1 sin 1
c
dt du
t u
=
− −
∫ ∫
1 1
ln
2 1
u
C
u

= − +
+
4. Các tr ng h p t ng quát c n chú ý :ườ ợ ổ ầ
a. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm l đ i v i cosx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = sinx
b. Tr ng hườ ợp: f(x) là hàm l đ i v i sinx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = cosx
c. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm ch n đ i v i sinx và cosx :ẵ ớ ớ
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d. Tr ng h pườ ợ : f(x) là hàm l đ i v i sinx và cosx : ẻ ố ớ Đ tặ : t = tgx
e.Tr ng h pườ ợ : f(x) ch ch a sinx ho c cosx :ỉ ứ ặ Đ t ặ

2
x
t tg=
* Ph ng pháp chung:ươ
A. D ng f(x) = sinạ
2n
x.cos
2m
x :
(a)
2 2
1 cos 2
sin ( )
2
n
x
xdx dx

=
∫ ∫
(b)
2 2
1 cos 2
os ( )
2
m
x
c xdx dx
+
=

∫ ∫
(c)
2n 2
sin os
m
xc xdx

. Thay cos
2
x = 1 – sin
2
x ho c thay sinặ
2
x = 1 – cos
2
x r i chuy n v d ngố ể ề ạ
(a) ho c (b).ặ
B. D ng : ạ
2n
2m
sin
( )
os
x a
f x
c b
+
=
+
. Đ t t = tgxặ

III. Ph ng trình l ng giácươ ượ
1. Ph ng trình c b n:ươ ơ ả
* sinx = sina x = a + k2π
ho cặ x = π - a + k2π
* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π
* tgx = tg = + ( ≠ a ⟺ x a kπ x k )
* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)
2. Ph ng trình đ ng c p đ i v i sinx và cosx:ươ ẳ ấ ố ớ
Các phư ng trình lơ ng giácượ
* asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x = 0 (1)
* asin
3
x + bsin
2
x.cosx + c.sinx.cos
2
x + dcos
3
x = 0 (2)
* asin
4
x + bsin
3
x.cosx + csin
2
x.cos

2
x + dsinx.cos
3
x + ecos
4
x = 0 (3)
g i là phọ ng trình đ ng c p b c 2, 3, 4 đ i v i sinx và cosx.ươ ẳ ấ ậ ố ớ
Email: Trang 16/18
Ôn t p ậ Toán THPT
Do cosx ≠ 0 nên chia hai v c a phế ủ ng trình (1), (2), (3) theo th t cho ươ ứ ự cos
2
x, cos
3
x,
cos
4
x đ a phư ng trình đã cho v phươ ề ng trình m i và ta d dàng gi i các phươ ớ ễ ả ng trìnhươ
này.
3. Ph ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx:ươ ậ ấ ố ớ
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a
2
+ b
2
≠ 0 ph ng trình (1) có nghi m ươ ệ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0

Có ba cách gi i lo i phả ạ ng trình này :ươ
- Gi s a ả ử ≠ 0

(1) sin cos 0
b c
x x
a a
⇔ + + =
(2)
Đ t : ặ
b
tg
a
ϕ
=

(2) sin cos 0
c
x tg x
a
ϕ
⇔ + + =

sin( ) cos
c
x
a
ϕ ϕ
⇔ + = −
Ta d dàng gi i phễ ả ư ng trình này.ơ

- Đ t :ặ

2
x
tg t
=
2
2 2
2 1
(1) 0
1 1
t t
a b c
t t

⇔ + + =
+ +
Gi i phả ư ng trình b c hai đ i v i t, d dàng gi i đơ ậ ố ớ ễ ả ư c phợ ư ng trình (1).ơ
- Do
2 2
0a b+ ≠
, chia hai v c a phế ủ ư ng trình cho ơ
2 2
a b+
:

2 2 2 2 2 2
(1) sin cos
a b c
x x

a b a b a b
⇔ + = −
+ + +
Đ t :ặ

2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
α
α

=

+



=

+


2 2
(1) sin( )
c

x
a b
α
⇔ + = −
+
(đây là ph ng trình c b n).ươ ơ ả
Chú ý : Ta luôn có :

2 2
| sin sin |a x b x a b
+ ≤ +
D u "=" x y ra khi và ch khi sin(x + a) = 1.ấ ả ỉ
Email: Trang 17/18
Ôn t p ậ Toán THPT
4. Ph ng trình đ i x ng đ i v i sinx và cosx:ươ ố ứ ố ớ
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là h ng s )ằ ố
Gi i phả ng trình (1) b ng cách đ t :ươ ằ ặ
sinx + cosx = t ,
| | 2t ≤
Đ a (1) v phư ề ư ng trình ơ

2
2 ( 2 ) 0bt at b c
+ − + =
Gi i phả ng trình (2) v i ươ ớ
| | 2t ≤
.
5. H phệ ng trình lươ ư ng giác:ợ
1) H phệ ng trình lươ ng giác m t n. Ch ng h n có h phượ ộ ẩ ẳ ạ ệ ng trình :ươ


sin 1
cos 0
x
x
=


=

Có hai ph ng pháp gi i :ươ ả
* Phư ng pháp th , gi i m t phơ ế ả ộ ư ng trình c a h r i th nghi m tìm đơ ủ ệ ồ ế ệ c vào phượ ngươ
trình còn l i.ạ
* Ph ng pháp tìm nghi m chung, gi i tìm nghi m c a m i phươ ệ ả ệ ủ ỗ ng trình trong h , sau đóươ ệ
tìm nghi m chung. ệ
2) H phệ ư ng trình lơ ng giác hai n. Ch ng h n có h phượ ẩ ẳ ạ ệ ư ng trình :ơ

3
sin sin 1
x y
x y
π

+ =



+ =

Ph ng pháp chung là đươ a nó v h phư ề ệ ng trình đ i s hai n, ho c đươ ạ ố ẩ ặ a v phề ng trìnhươ
t ng tích.ổ

Email: Trang 18/18

×