Bài giảng Một số công thức toán học lớp 10&11

Ôn tập Toán THPT
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11
1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c
⇔
a > c
1.2. Tính chất 2: a > b
⇔
a + c > b + c
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng
chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c
⇔
a – c > b
1.3 Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức
cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.4 Tính chất 4:
a > b
⇔
a.c > b.c nếu c > 0
hoặc a > b

⇔
c.c < b.c nếu c < 0
1.5 Tính chất 5:
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> >

⇒ >

> >

Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức
cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.6 Tính chất 6:
a > b > 0
⇒
a
n
> b
n
(n nguyển dương)
1.7 Tính chất 7:
0
n n
a b a b> > ⇒ >
(n nguyên dương)

2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Định lí: Nếu
0a
≥
và
0b
≥
thì
.
2
a b
a b
+
≥
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng
nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích
lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng
nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi
nhỏ nhất.
Email: Trang 1/18
Ôn tập Toán THPT
3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

0
0

x
x
x
>

=

− >

Từ định nghĩa suy ra: với mọi
x R∈
ta có:
a. |x|
≥
0
b. |x|
2
= x
2
c. x
≤
|x| và -x
≤
|x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b|
≤
|a| + |b| (1)
|a – b|
≤

|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≥
0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≤
0
4. Định lí Vi-et:
Nếu phương trình bậc 2: ax
2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x
1
, x
2
(a
≠
0) thì tổng và tích 2
nghiệm đó là:
S = x
1
+ x
2
=
b
a
−
P = x
1
.x
2

=
c
a
Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= -1 và x
2
=
c
a
−
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương
trình: x
2
– S.x + P = 0
5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:
a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
nếu
MA kMB=
uuur uuur
b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠

1 thì với điểm O bất kì ta có:
1
OA kOB
OM
k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
6. Trọng tâm tam giác:
a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có:
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
Email: Trang 2/18
nếu x
≥
0
nếu x < 0
Ôn tập Toán THPT
7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:
7.1. Định lí Cosin trong tam giác:
Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos

2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
= + −
= + −
= + −
7.2. Định lí sin trong tam giác:
Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến:
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
2 4
a
b
c
b c a

m
a c b
m
b a c
m
+
= −
+
= −
+
= −
8. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:
Góc
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180

0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2

2
2
1
2
0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0 –
1
2
–
2
2
–
3
2
-1
tg 0
1
3
1
3
|| –
3
1 –

1
3
0
cotg ||
3
1
1
3
0 –
1
3
1 –
3
||
9. Công thức biến đổi tích thành tổng:
Email: Trang 3/18
Ôn tập Toán THPT

1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b

= − + +
= − − +
= + + −
10. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
11.Công thức nhân đôi:

2 2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2
2 ( , , )
1 2 2 2
a a a a a
a a a
tga
tg a a k a k k
tg a
π π π
π
= − = − = −
=
= ≠ + ≠ + ∈
−
Z
12. Công thức nhân ba:

3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −
13. Công thức hạ bậc:

Email: Trang 4/18
Ôn tập Toán THPT
2
2
2
3
3
cos 2 1
cos
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
1 cos 2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos3
cos
4
a
a
a
a
a
tg a
a
a a
a

a a
a
+
=
−
=
−
=
+
−
=
+
=
14. Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
− = −
+ = −
− = +
Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:
( ) (*)
1 .
( ) (**)

1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
+
+ =
−
(*) có điều kiện:
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + − ≠ +
(**) có điều kiện:
, ,
2 2 2
a k b k a b k
π π π
π π π
≠ + ≠ + + ≠ +
15. Công thức tính tga, cosa, sina theo
2
a

t tg=
:
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
,
1 2
t
a
t
t
a
t
t
tga a k
t
π
π
=
+
−
=

+
= ≠ +
−
Email: Trang 5/18
Ôn tập Toán THPT
16. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc
π
hoặc
2
π
:
16.1. Hai góc bù nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
16.2. Hai góc phụ nhau:
sin( ) cos

2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a cotga
cotg a tga
π
π
π
π
− =
− =
− =
− =
16.3. Hai góc đối nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
− = −
− =

− = −
− = −
16.4 Hai góc hơn kém nhau
2
π
:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
16.5 Hai góc hơn kém nhau
π
:
Email: Trang 6/18

Ôn tập Toán THPT
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
16.6. Một số công thức đặc biệt:
sin cos 2 sin( )
4
sin cos 2 sin( )
4
x x x
x x x
π
π
+ = +
− = −
17. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:
17.1. Hoán vị:

+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo
một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n
phần tử ký hiệu là P
n

+ Công thức : P
n
=1.2.3.....n = n !
17.2 Chỉnh hợp:
+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (
0 k n≤ ≤
) là một bộ sắp thứ tự gồm k
phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là
k
n
A
+Công thức :
( )
1
0
1
!
!
( 1)...( 1)
( )
!
1
!
k
n

k
n
k k
n n
n
n n
n
n n
n n
n
A
n k
A n n n k
A n k A
A P n
A
A A n
+
−
=
−
= − − +
= −
= =
=
= =
(qui ước 0! = 1)
17.3 Tổ chợp:
+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương). Một tổ hợp chập k
của n phần tử (

0 k n≤ ≤
) là một tập con của a gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n
phần tử ký hiệu là
k
n
C
+ Công thức:
Email: Trang 7/18