Skkn phát triển các bài toán hình học lớp 9 nhằm rèn luyện năng lực tư duy, kỹ năng cho học sinh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY
---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC 9 NHẰM
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY, KỸ NĂNG CHO
HỌC SINH LỚP 9

Người thực hiện : Trịnh Hồng Dũng
Chức vụ : Giáo Viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Cẩm Vân

SKKN thuộc lĩnh vực (mơn) : Tốn

THANH
HĨA
NĂM 2022
MỤC
LỤC

skkn


STT
1

Nội dung

Trang

MỞ ĐẦU

1

1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Mục đích nghiên cứu

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

NỘI DUNG

3

2.1

Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3

Giải pháp và tổ chức thực hiện

3

2

2.3.1 Phát triển từ một số bài toán SGK nhằm rèn luyện tư duy, kỹ

4

năng, sáng tạo hình học cho học sinh
2.3.2 Phát triển từ một số bài toán quen thuộc dưới dạng bài tốn

11

có nhiều câu hỏi nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo
hình học cho học sinh
2.3.3 Phát triển từ một bài toán thành nhiều dạng toán liên quan

15

nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học
sinh
2.4

Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

19

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

20

3.1

Kết luận

20

3.2

Kiến nghị

21

Tài liệu tham khảo

22

skkn


1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong bối cảnh ngành giáo dục và đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương
pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của học sinh trong
hoạt động học tập, để đáp ứng được những đòi hỏi được đặt ra cho sự bùng nổ
kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng
lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo.
Hướng giải quyết hiện nay là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển năng lực tự học nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, độc lập sáng tạo,nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiến, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm tin hứng thú học tập cho học sinh.
Dạy toán thực chất là dạy hoạt động toán, học sinh cần phải được cuốn
hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức chỉ đạo, thơng qua đó học
sinh tự lực khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp
thu những tri thức đã sắp đặt sẵn .

Theo tinh thần này trong tiết lên lớp tôi luôn tổ chức chỉ đạo học sinh tiến
hành các hoạt động học tập. Củng cố kiến thức cũ, tìm tòi phát hiện những kiến
thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức mới vào những tình huống khác nhau.
Khơng những thế tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh có thể đọc hiểu được
tài liệu, tự làm bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, đồng thời
phát huy tiềm năng sáng tạo của bản thân.
Do vậy tơi đã tìm tịi học hỏi đồng nghiệp, tham khảo tài liệu để viết đề
tài này nhằm hướng dẫn học sinh biết phát triển các bài toán đơn giản trong sách
giáo khoa các bài toán đơn giản hay gặp thành các bài tốn mới đa dạng có đơn
giản, có phức tạp, giúp học sinh tự phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa tương tự,
quy lạ về quen, quy khó về dễ, để từ đó giúp học sinh hứng thú hơn trong học
tốn.
Với lý do đó tơi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển các bài tốn
hình học 9 nhằm rèn luyện năng lực tư duy, kỹ năng cho học sinh lớp 9 ’’
Ngoài ra bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài của các
bài toán, hoặc thay đổi cách hỏi ta cũng có các bài tốn thú vị và khá độc đáo.
Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác
một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống
bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài tốn khó là một hoạt động khơng thể
thiếu đối với người giáo viên.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Chia sẻ kinh nghiệm với giáo viên dạy Toán ở trường THCS.
- Giúp học sinh biết cách định hướng và giải bài tập hình học một cách dễ dàng.

skkn


2
- Phát huy trí tuệ, rèn luyện khả năng phân tích, xem xét bài tốn dưới dạng đặc
thù riêng lẻ.

- Tạo cho học sinh lịng ham mê, u thích học tập, đặc biệt là học toán bằng
cách phân loại và cung cấp phương pháp giải cho các dạng toán từ cơ bản, đơn
giản phát triển thành bài toán phức tạp. Giúp học sinh tự tin khi giải bài toán
hoặc trong các kì thi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong các kì thi cuối kì của lớp 9, thi HSG hoặc vào lớp 10 bất kì bài thi nào
cũng có các câu hỏi hình học từ đơn giản đến phức tạp. Đề tài này được áp dụng
cho tất cả học sinh lớp 9 và thầy cô tham khảo, tuy nhiên đắc dụng nhất vẫn là
học sinh lớp 9 ôn tập vào lớp 10 và BDHSG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp điều tra khảo sát
- Phương pháp thể nghiệm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

skkn


3
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong mục tiêu mơn Tốn THCS đã nêu lên rằng: “Rèn luyện khả năng suy
luận lôgic; khả năng quan sát và dự đốn, phát triển trí tưởng tượng khơng
gian. Rèn luyện kỹ năng sử dụng ngơn ngữ chính xác. Bồi dưỡng các phẩm
chất tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo”.
Chúng ta đã biết hệ thống kiến thức trong chương trình đã được biên soạn
lơgíc. Hệ thống bài tập trong SGK và SBT đã được biên soạn công phu, chọn
lọc, sắp xếp một cách khoa học, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh.
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cơ giáo chúng ta cần trang bị cho HS
không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Tốn mà cịn phải khơi dậy ở các em

lịng say mê, tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề của
riêng ai! Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ chút
nào.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài tốn là đã bằng lịng
với kết quả đó. Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng
túng.
Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài tốn này thì ta thấy bài tốn
rất hay, kích thích được sự tìm tịi khám phá kiến thức của học sinh.
Qua nhiều năm được phân công giảng dạy lớp 9 ôn thi tuyển sinh vào lớp
10. Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn cịn tình trạng thụ
động tiếp thu kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính
sáng tạo, chưa phát huy được năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân.
Bên cạnh đó yêu cầu đặt ra cho mỗi con người trong thời đại mới phải thực
sự tích cực, năng động và thích ứng với những thay đổi của điều kiện ngoại
cảnh. Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và Nhà nước ta đang đặt ra cho ngành giáo
dục chúng ta.
Trên thực tế giảng dạy nhiều năm lớp 9 đã từng ôn thi tuyển sinh vào lớp10 tôi
nhận thấy: Nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT
thơi thì chưa đủ. Đặc biệt là các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Sở dĩ như vậy là vì
trong các đề tốn ln địi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã
học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài tập
tương tự....
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Từ những thực trạng nêu trên, tơi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để học
sinh thấy hình học khơng cịn q khó tiếp thu, khơng cịn ngại học mơn hình và
có thể nhận dạng tốt được các kiến thức dùng để giải một bài tập hình học cụ
thể.
Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau:

skkn


4
- Đối với học sinh :
+ Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài tốn khác.
+ Phải có lịng say mê học tập khơng ngại khó khơng ngại khổ, được đầu tư
thời gian, thường xuyên đọc các tài liệu tham khảo.
- Đối với giáo viên :
+ Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tham khảo để nghiên cứu và áp dụng
vào các bài tốn dạng tốn cụ thể.
+ Phải có trình độ chun mơn vững vàng để khơng những có những lời giải
hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn,
đa dạng hơn .
Các bài tập hình học trong các kì thi cuối kì , thi vào 10, thi HSG rất đa dạng và
phong phú có thể kết hợp các kiến thức hình học từ lớp 7 đến lớp 9. Nhưng nó
có thể phát triển từ các bài toán sau:
- Phát triển từ một số bài toán SGK .
- Phát triển từ một số bài toán quen thuộc .
- Phát triển từ một bài toán thành nhiều dạng toán liên quan .
2.3.1. Phát triển từ một số bài toán SGK nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng,
sáng tạo hình học cho học sinh
Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc dùng để chứng minh các định lý về một số hệ
thức về cạnh và đường cao trong tam giác vng
2.3.1a. Bài tốn 1: Cho

có

,

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
d) Chứng minh
e) Chứng minh
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh :
Xét

và

ta có
∽

chung

(g-g)

b) Chứng minh
Xét
chung

và

ta có
∽

(g-g)

skkn

là đường cao (

).


5

c) Chứng minh
Xét

và

ta có
∽

chung

(g-g)

d) Chứng minh
và

Xét

có:

( cùng phụ với

;

∽

)

(g-g)

e) Chứng minh
theo chứng minh câu c) ta có

Phát triển bài tốn 1 tôi đưa ra câu hỏi:
Từ H vẽ HN vuông góc với AB , HM vng góc với AC ta có thể vận dụng bài
tốn trên để chứng minh được
hay khơng ? từ đó ta có bài tốn
mới.
Bài 1. Cho
có
,
vng góc với

,
là đường cao. Từ
. Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Xét hai tam giác vng
Ta có

vẽ
.

và

;

(Hệ thức lượng trong tam giác vng)

và
chung
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có bài 2
Bài 2. Cho
,

có

vng góc với

vng góc với

,

là đường cao. Từ

. Chứng minh

skkn

(c-g-c)
vẽ

vng góc với

6
Hướng dẫn giải:
xét
vng tại
có :

có

theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta

Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có các bài tốn sau:
Bài 3. Chứng minh:
.
Bài 4. Chứng minh:
.
Bài 5. Chứng minh:
Bài 6. Chứng minh:
Bài 7. Chứng minh:

.
.
.

Bài 8. Chứng minh:

.

Hướng dẫn giải

Bài 3. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng

ta có:

, suy ra
.
Bài 4. Chú ý rằng:
Từ bài 3 suy ra:

.

Bài 5. Ta có:

, mặt khác
nên

.

Bài 6. Ta có:

(*) ta lại có:
, thay vào (*) ta suy ra :

.

skkn


7
Bài 7. Ta có:

Tứ giác

.
là hình chữ nhật nên

hay

.
Bài 8. Ta có:

. Lại có
nên suy ra

hay

, tương tự ta cũng có:
. Theo định lý
pitago ta có:
suy ra
.
cũng là bài tốn trên nhưng ta chế biến một tí ta được một bài tốn mới sau
Bài 9. Cho
có
,
vng góc với
giác

,
là đường cao. Từ
. Gọi diện tích tam giác

là S2, diện tích tam giác

vẽ

vng góc với
là S1, diện tích tam

là S chứng minh

Hướng dẫn giải:
+ Ta có

vì

Mà

vì

Do đó
Với bài tốn trên nhưng ta thêm dữ kiện mới ta được một bài toán mới sau
Bài 10. Cho
có
,
vng góc với
của diện tích của tứ giác
Hướng dẫn giải:
Xét tứ giác
có

,
. Gọi
?

là đường cao. Từ
vẽ
có độ dài khơng đổi là

(gt)

skkn

vng góc với
, tìm GTLN


8
(vì

)

(vì
Tứ giác

)
là hình chữ nhật

Vậy diện tích của tứ giác
Gọi
nên

là trung điểm

khi

thì
lớn nhất bằng

lớn nhất
( khơng đổi)
khi
hay

vng cân. Vậy diện tích Tứ giác
lớn nhất là:
Tiếp tục thay đổi dữ kiện ta được một bài tốn mới sau
Bài 11. Cho
điểm
sao cho

có

Chứng minh rằng :
Hướng dẫn giải:
Tam giác vuông

là tam giác

.

,
là đường cao. Trên tia tia đối của tia
, vẽ đường cao
của
.

lấy

.
có

(1)
theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có
(2)
Từ (1) và (2) ta có:

Như vậy xuất phát từ các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
chúng ta thêm các dữ kiện để tạo thành 11 hướng chứng minh mới nhằm rèn
luyện tư duy, kỹ năng , sáng tạo hình học cho học sinh.
Chúng ta xuất phát từ bài toán đơn giản (?3 SGK Trang 109-Toán 9 – Tập 1)
2.3.1b. Bài toán 2: Cho đường thẳng
, vẽ đường trịn
thẳng .
1) Đường thẳng

và một điểm

, gọi điểm

cách

là hình chiếu của điểm

có vị trí như thế nào đối với đường trịn

skkn

một khoảng
lên đường

? Vì sao?


9
2) Gọi và là giao điểm của đường thẳng với đường trịn
. Tính
Xuất phát từ bài tốn gốc trên chúng ta có thể phát triển bài tốn trên theo cách
sau:
3) Kẻ đường kính
. Giải tam giác
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên như saulấy là trung điểm của dây
ta có
câu tiếp theo
4) Lấy là trung điểm của dây
. Hỏi tứ giác
là hình gì? Vì sao?
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
5) Đường thẳng
cắt

tại . Chứng minh:
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
6) Kẻ tiếp tuyến của

tại tiếp điểm

, cắt

tại

.
. Chứng minh rằng

là tiếp tuyến của
.
Tiếp tục phát triển bài toán trên ta có câu tiếp theo
7) Chứng minh:
là đường trung trực của
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
8)

cắt

tại , cắt

tại

, cắt

tại

. Chứng minh:

.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
9) Giải tam giác
(độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2, góc
làm trịn đến độ).
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
10) Chứng minh:
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
11) Kẻ đường kính
. Tiếp tuyến của
tại tiếp điểm
Chứng minh
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
12) Chứng minh 3 điểm , , thẳng hàng.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
13) Chứng minh:
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
14) Gọi là giao điểm của
và
. Giải tam giác
trịn đến chữ số thập phân thứ hai, góc làm trịn đến độ).
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
15) Gọi

là giao điểm của

và

. Chứng minh

skkn

cắt

tại

.

(độ dài cạnh làm

là tiếp tuyến của

.


10
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
16) Chứng minh:
.
Tiếp tục phát triển bài toán trên ta có câu tiếp theo
17) Gọi là giao điểm của
và
. Chứng minh

Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo

.

18) Tia
cắt
tại hai điểm và
. Chứng minh
đường nội tiếp
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
19) Chứng minh rằng: là tâm đường tròn bàng tiếp
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
20) Chứng minh
.
Tiếp tục phát triển bài toán trên ta có câu tiếp theo
21) Chứng minh

là tia phân giác của

là tâm

.

Hướng dẫn giải:

1) Vì đường trịn

có bán kính 5cm mà đường thẳng

nên đường thẳng cắt
.
2) Kẻ
tại . Suy ra
Xét

vuông tại

là khoảng cách từ

có:

cách điểm
đến

.

(định lý Pytago)

.
Xét

có:
là đường kính vng góc với
là dây cung.
là trung điểm của dây
(liên hệ giữa đường kính và dây).
.

skkn

là 3cm


11
3) Xét
minh trên).

vng tại

có

là trung điểm

là đường trung bình

,

là trung điểm

.Mà

(Chứng

(giả thiết)

.
Vì
Xét

nội tiếp
đường kính
vng tại có:

+)

vng tại

(tỉ số lượng giác)

+)

.

.

(2 góc nhọn trong tam giác vng phụ nhau)

Vậy

có

4) Xét
thiết)

có:

,

,

,

,

là một phần đường kính, là trung điểm dây
tại (liên hệ giữa đường kính và dây).

Xét tứ giác
hình chữ nhật.

có:

5) Ta có

(Vì

.
( giả

(chứng minh trên)
)

tam giác

cân tại

là

nên

(Đpcm)
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Như vậy xuất phát từ bài tốn gốc chỉ có 2 ý để chứng minh chúng ta thêm
các dữ kiện để tạo thành 19 hướng chứng minh mới nhằm rèn luyện tư duy,
kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh.
2.3.2. Phát triển từ một số bài tốn quen thuộc dưới dạng bài tốn có nhiều
câu hỏi nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh
Xuất phát từ bài tốn gốc hay gặp trong các kỳ ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 sau
2.3.2a. Bài tốn 3:Cho nửa đường trịn
là

, dựng các tiếp tuyến

nửa đường tròn
,

cắt

,

của nửa đường tròn. Lấy một điểm

. Tiếp tuyến tại
,

lần lượt tại

.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

của

cắt

,

lần lượt tại

trên
, ; Tia

, .

1) Chứng minh: Các điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn, các điểm
, , , cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh
vuông.

skkn


12
Phát triển bài tốn trên ta có thể thêm các dữ kiện để tạo thành hướng chứng
minh mới nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh
3) Chứng minh là trung điểm
.
4) Chứng minh

.

5) Chứng minh:
;
.
Tiếp tục phát triển bài tốn trên ta có câu tiếp theo
6) Dựng
vng góc với
. Chứng minh:
,
đi qua trung điểm
của
.
7) Chứng minh
.
Tiếp tục phát triển bài toán trên dưới dạng tốn quỹ tích
8) Tìm vị trí điểm
để diện tích tam giác
lớn nhất.
9) Tìm vị trí điểm
để diện tích tam giác
lớn nhất.
10) Tìm vị trí điểm
để chu vi tam giác
lớn nhất.
11) Tìm vị trí điểm
để diện tích tứ giác
nhỏ nhất.
12) Tìm vị trí điểm
để chu vi tứ giác

nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
1) Vì

,

là các tiếp tuyến của

nên

, suy ra 4 điểm

,

, ,

kính

nằm trên đường trịn đường

.

Hồn tồn tương tự ta có các điểm

,

, ,

nằm trên đường trịn đường kính

.

2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
của các góc

,

,

nên :
hay tam giác

3) Do điểm

lần lượt là phân giác

nằm trên đường trịn đường kính

vng tại

nên:

. Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
Vậy
theo cách chỉ ra

.

nên

hay
là trung điểm của
. Cũng có thể chứng minh
là đường trung bình của tam giác
.

skkn


13
4) Xét tam giác

và tam giác

ta có:

hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

. Theo tính chất
nên

cùng phụ với

(g.g).
5) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
;
. Mặt khác tam giác
vng tại có
là
đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:

6) Giả sử

cắt

. Vậy
và
tại . Theo định lý Thales ta có:

.

mà
hay là trung điểm của
. Chứng minh tương tự ta cũng có
đi qua trung điểm của
tức là
,
,
đồng quy tại .
Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bằng cách dùng Bổ đề hình thang: “ Cho
hình thang
có hai cạnh bên là
,
, cắt nhau tại
, hai đường chéo
cắt nhau tại . Gọi ,
là trung điểm của 2 cạnh đáy
,
. Khi đó 4
điểm , , , cùng nằm trên một đường thẳng”.
Thật vậy, giả sử

cắt
,
tại ,
theo định lý Thales ta có:
(cùng bằng

).

(cùng bằng

).

Nhân hai đẳng thức

,

ta có:

suy ra
(đpcm).

ta có:

thay vào

7) Theo chứng minh ở câu 4) ta có:

hay
.
Chú ý: Nếu

cắt

tại

từ việc chứng minh:
ta cũng suy ra

skkn

ta suy ra :
là tiếp tuyến của

.


14
8) Tam giác

khi

vng tại

nên ta có:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
vuông cân tại . Tức là
nằm trên nửa

nên tam giác

đường trịn sao cho

tạo với

một góc

9) Ta có:

.
. Trong tam giác vng

có:

ta

nên
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
là điểm chính giữa của cung
.

. Hay
10) Chu vi tam giác

kí hiệu là

,

thì :
. Để ý rằng :

suy ra

Suy ra
hay
là điểm chính giữa cung

.

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.

11) Ta có:

. Do

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
là điểm chính giữa cung
.
12) Chu vi tứ giác
bằng :

nên

hay

khi đó

mà
giác

:

nên chu vi tứ

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

hay

khi đó
là điểm chính giữa cung
.
Như vậy xuất phát từ bài tốn gốc chỉ có 2 ý để chứng minh chúng ta có thể
hướng dẫn học sinh 10 hướng chứng minh mới nhằm rèn luyện tư duy, kỹ
năng, sáng tạo hình học cho học sinh
Tương tự ta có thể phát triển các bài tốn sau:
2.3.2b. Bài tốn 4:
Qua điểm nằm ngồi đường trịn
đường trịn ( , là hai tiếp điểm). Gọi
điểm thứ hai của
đường thẳng

với đường tròn
với đường tròn

vẽ hai tiếp tuyến
là trung điểm của
. Gọi

;

skkn

,
,

của
là giao

là giao điểm thứ hai của

là trung điểm của

.


15
1) Chứng minh tứ giác

là tứ giác nội tiếp,

đồng dạng với

.

2) Chứng minh
.
Xuất phát từ bài toán gốc trên chúng ta có thể phát triển bài tốn trên như
sau:
3) Chứng minh
4) Chứng minh

5) Chứng minh

.
.
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

6) Chứng minh
7) Gọi là giao điểm của
8) Kẻ đường kính

.
,

và

của đường trịn

. Tính

.
theo

. Chứng minh

.

là tia phân giác

của góc
.

9) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
10) Kẻ dây
song song với
. Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng .
Như vậy xuất phát từ bài tốn gốc chỉ có 2 ý để chứng minh chúng ta có thể
hướng dẫn học sinh 8 hướng chứng minh mới nhằm rèn luyện tư duy, kỹ
năng, sáng tạo hình học cho học sinh
2.3.2c. Bài tốn 5: Cho đường tròn
nhau tại

. Gọi

và

là dây cung của
điểm thứ hai của
1) Tứ giác
2) Bốn điểm

vng góc với

, , ,

có

là hai đường kính đi qua điểm

với
nội tiếp.

3) Tứ giác

và

là

,

tại trung điểm
cắt

tại

tiếp xúc ngoài
của
của

và

.

. Gọi giao

. Chứng minh rằng:

cùng nằm trên một đường trịn.

là hình thoi.

Xuất phát từ bài tốn gốc trên chúng ta có thể phát triển bài tốn trên như
sau:
4) Ba điểm

,

,

5) Ba đường thẳng

thẳng hàng.
,

6)

.

7)

là tiếp tuyến của

,

đồng quy.

.

skkn

16
8) Qua

dựng tiếp tuyến chung

đường tròn

,

của 2 đường tròn sao cho

lần lượt cắt

,

tại

và

. Hai

. Chứng minh

là tứ

giác nội tiếp.
9)

.

=

.

.

10) Chứng minh

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Như vậy xuất phát từ bài tốn gốc chỉ có 3 ý để chứng minh chúng ta có thể
hướng dẫn học sinh 7 hướng chứng minh mới nhằm rèn luyện tư duy, kỹ
năng, sáng tạo hình học cho học sinh .
2.3.3. Phát triển từ một bài toán thành nhiều dạng toán liên quan nhằm rèn
luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh
Xuất phát từ bài toán gốc sau ta phát triển dạng toán này bằng cách chia
thành nhiều dạng toán liên quan
Bài toán 6: Cho tam giác
đường cao
lượt là

,
và

,
. Gọi

nhọn nội tiếp đường tròn
cắt nhau tại

.

,

là trung điểm của

1.1. Chứng minh tứ giác

cắt

cố định. Kẻ các
tại điểm thứ hai lần

. Kẻ đường kính

của

.

là hình bình hành.

1.2. Chứng minh

.

1.3. Chứng minh

Phát triển từ một bài toán thành nhiều dạng toán liên quan
+ Dạng toán liên quan các yếu tố tứ giác đặc biệt, tam giác đồng dạng.
2.1. Chứng minh tứ giác

là hình bình hành.
2.2. Chứng minh
.
2.3. Chứng minh
.
2.4. Chứng minh
và
đối xứng nhau qua
.
2.5. Chứng minh
.
+ Dạng toán liên quan đến đường trịn, góc với đường trịn.
3.1. Chứng minh
3.2. Chứng minh
3.3. Gọi

và

.
lần lượt là hình chiếu của

.

skkn

trên

và

. Chứng minh

17
3.4. Chứng minh

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

3.5. Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

3.6. Qua

kẻ đường thẳng

song song với

.

. Chứng minh

.

là tiếp tuyến

của
3.7. Gọi
là điểm đối xứng với
ngoại tiếp tam giác
.

qua

. Chứng minh

3.8. Gọi , lần lượt là điểm đối xứng với
trung điểm của
.
3.9. Chứng minh

qua

và

thuộc đường tròn
. Chứng minh:

là

là tứ giác nội tiếp.

+Dạng tốn quỹ tích
Cho ,
cố định, điểm
chuyển động trên cung lớn
sao cho tam giác
nhọn.
4.1. Chứng minh
có độ dài khơng đổi. (Có thể hỏi cách khác: Chứng minh
đường trịn ngoại tiếp tam giác

tam giác
có bán kính hoặc chu vi
khơng đổi).
4.2. Chứng minh
chuyển động trên cung trịn cố định.
4.3. Giả sử
. Tìm vị trí của điểm
để tam giác
có diện
tích lớn nhất.
4.4. Tìm vị trí của điểm để tam giác
có diện tích lớn nhất.
4.5. Xác định vị trí của điểm
trên cung lớn
để chu vi tam giác
có
giá trị lớn nhất.
4.6.
cắt
tại . Khi di chuyển trên cung lớn
thì
chuyển động
trên đường nào?
Hướng dẫn giải
+ Dạng tốn liên quan các yếu tố tứ giác đặc biệt, tam giác đồng dạng.
2.1. Chứng minh tứ giác
Xét tứ giác
có :
( Vì
cùng

có
( Vì
cùng
là hình bình hành
2.2. Chứng minh
Xét tứ giác
nên tứ giác

là hình bình hành.
)
)
.

có
nội tiếp nên:
( góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

skkn


18
Xét tứ giác
nên tứ giác

có
nội tiếp nên :
Nên

Xét

và

có

2.3. Chứng minh
Xét

và

2.4. Chứng minh
Xét tứ giác

nên

;

.
có

chung

;

và

đối xứng nhau qua

có

.

nên tứ giác

mà

nội tiếp nên

nên

mặt khác

( góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên ta có:
cân tại
mà
nên
là đường trung trực
.
Vậy
và
đối xứng nhau qua
.
2.5. Chứng minh
.
Tương tự 2.4 ta chứng minh được và đối xứng nhau qua
nên
là trung điểm
và là trung điểm
nên
là đường trung bình của
tam giác
. Vậy

.
+ Dạng tốn liên quan đến đường trịn, góc với đường trịn.
3.1. Chứng minh:
;
3.2. Theo 2.4 có là trung điểm của
tương tự là trung điểm của

,

Chứng minh
hay là điểm chính giữa của cung
Chú ý: Có thể dùng Câu 3.6 chứng minh câu này.
3.3. Chứng minh tứ giác
Chứng minh
hay
.
(Khai thác thêm:
3.4. Tứ giác

là tứ giác nội tiếp

.

A

;
O'

)
nội tiếp

F

.
B

skkn

H

D

E

O

I

C


19
Ta có

vì

Tứ giác

nội tiếp

.

Mà

.
là tia phân giác của

.

Chứng minh tương tự được
là phân giác của
.
là giao điểm 2 đường phân giác của tam giác
hay
là tâmđường
tròn ngoại tiếp tam giác
3.5. Chứng minh
là đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác
. Gọi
là trung điểm của
. Chứng minh
(Chứng minh
là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác
3.6. Vì
, mà
nên
tại
là tiếp tuyến của

.

.

3.7. Chứng minh tứ giác

là hình bình hành
.

Tứ giác
là tứ giác nội tiếp
Điểm thuộc đường tròn
ngoại tiếp tam giác
3.8. Tứ giác
là hình bình
hành nên
Tứ giác
nên

và
.
là hình bình hành
và
và

là trung điểm của

thẳng hàng
.

3.9. Tự làm.

+Dạng tốn quỹ tích
4.1.
khơng đổi.

, mà

cố định nên

cố định, suy ra

skkn

không đổi hay


20
4.2. Vì

cố định nên trung điểm của
(theo 3.9) suy ra
khơng đổi.

cố định

khơng đổi.

Cách 1: Vì
cố định nên
khơng đổi.Chứng minh
khơng đổi

Điểm
chuyển động trên cung chứa góc
dựng trên đoạn
cố
định.
Cách 2:
cố định nên trung điểm của
cố định. Gọi
là điểm đối
xứng với qua
cố định. Chứng minh được tứ giác
là hình bình
hành nên
Vậy điểm
nằm trên cung trịn tâm
cố định, bán
kính khơng đổi.
Cách 3: Lấy
ta sẽ chứng minh được
đối xứng với
qua
. Vì
di động trên cung chứa góc
, nên
di động trên cung trịn
đối xứng với
4.3.

qua
khi

.
max, mà

khơng đổi. Dấu “ =” xảy ra khi

hay

.

4.4.
lớn nhất
lớn nhất, mà
không đổi nên
lớn nhất
là điểm chính giữa cung lớn
4.5. Ta có :
(theo 3.4)Chứng minh
tương tự ta có
;
.

Vì

khơng đổi nên

lớn nhất

lớn nhất
lớn nhất

(do
khơng đổi).Suy ra là điểm chính
giữa cung lớn
.
4.6. Chứng minh: là trọng tâm
Kẻ

.

Chứng minh
Vì , , cố định

cố định

cố định và
khơng
đổi. Suy ra thuộc đường trịn cố định tâm
bán kính

skkn

lớn nhất


21
Như vậy xuất phát từ bài tốn gốc chỉ có 3 ý để chứng minh ta phát triển bài
toán này bằng cách chia thành nhiều dạng toán liên quan để nhằm rèn luyện
tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh .
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.

1. Kết quả đạt được:
Sau khi được học xong các bài tốn này học sinh có kỹ năng làm các bài toán
một cách hợp lý, các em nhìn nhận mỗi bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác
nhau. Từ đó kích thích được sự tị mị, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái
mới lạ trong học tập mơn Tốn nói riêng và các mơn khoa học khác nói chung.
Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khai thác bài toán một
cách hợp lý nên đã taọ ra được nhiều bài toán hay,bài toán khó và có những lời
giải độc đáo .
Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì có sự chuyển biến rõ rệt, đặc
biệt là các em có học lực từ khá trở lên, các em đó chịu khó suy nghĩ, tìm tịi, lời
giải cũng mạch lạc hơn.
+ Khảo sát thực tế 70 học sinh lớp 9 năm học (2020-2021) tại đơn vị kết quả
như sau
Áp dụng

NB

TH

VDT

VDC

Trước khi áp dụng đề tài

50/70

40/70

25/70

2/70

Sau khi áp dụng đề tài

55/70

50/70

37/70

4/70

+ Cũng đề tài trên được 1 đồng nghiệp áp dụng trên 90 học sinh cho kết quả như
sau
Áp dụng

NB

TH

VDT

VDC

Trước khi áp dụng đề tài

80/ 90

75/90

45/90

6/90

Sau khi áp dụng đề tài

85/90

80/90

55/90

10/90

Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổi
đáng kể. Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt, về tư duy,
kỹ năng cũng tăng lên sau khi đề tài được áp dụng.
2. Những hạn chế:
Ngoài những kết quả đã đạt như nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện áp
dụng kinh nghiệm này vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấy
những hạn chế sau :
- Số lượng bài tốn cịn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên đề
còn hạn chế .

skkn


22
- Có một số bài tốn phát triển hơi khó chỉ áp dụng đối với học sinh khá,giỏi.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua việc tìm hiểu các bài tốn trên chúng ta cần vận dụng linh hoạt , sáng
tạo kết quả các bài toán , cũng như vận dụng triệt để hình vẽ của một số bài tập
để chuyển tiếp sang bài khác khai thác phát triển để được bài tốn hay hơn, khó
hơn
Nếu làm tốt điều này sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học, góp
phần phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới, phát huy trí
lực của học sinh .
Các bài tốn trên chắc chắn cịn nhiều hướng khai thác khác, rất mong các
đồng nghiệp tiếp tục phát triển xem.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân và của rất nhiều GV trong quá
trình giảng dạy tích góp lại tạo thành. Có gì thiếu sót mong được sự góp ý của
q thầy cơ. Tơi xin chân thành cảm ơn
3.2. Kiến nghị
Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục những tồn tại khi áp dụng đề tài, tơi
tiếp tục đề ra cho mình hướng giải quyết tiếp theo .Tiếp tục nghiên cứu đề tài
“Phát triển các bài tốn hình học 9 nhằm rèn luyện năng lực tư duy, kỹ năng
cho học sinh lớp 9 ’’ và áp dụng trên lớp đặc biệt là ôn tập cho học sinh lớp 9
ôn thi tuyển sinh sẽ rất hiệu quả đồng thời theo dõi kết quả của học sinh để tìm
ra biện pháp khắc phục nhược điểm và hạn chế của đề tài.
Về phía nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để phân
loại học sinh khá giỏi và yếu kém.Có kế hoạch cụ thể và tăng thời lượng ôn tập
cho học sinh lớp 9 lên để có thời gian nghiên cứu các dạng tốn.
Tơi xin cam đoan SKKN trên là hồn
tồn do bản thân tơi tìm tịi,
nghiên cứu và khơng copy.
Người viết

Hiệu trưởng

Trịnh Hồng Dũng

Phạm Thanh Phương

skkn


23

TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Sách giáo khoa toán 9 ( Nhà xuất bản giáo dục)
- Nhóm GV Tốn THCS Việt Nam.
-Nâng cao và phát triển toán 9 ( Tác giả : Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục)
- Tạp chí Tốn học tuổi trẻ.
- Để học tốt tốn 9 ( Tác giả : Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục)
- Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên & học sinh giỏi ( Tác giả :
Nguyễn Trung Kiên – Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội )

skkn