Bài tập Đại số tuyến tính

Math231: Bài tập Đại số tuyến tính
(Bản nháp, đang hồn thiện)

Trần Đức Anh, mail:
2021-2022


Mục lục
1 Không gian vector
1.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Khái niệm không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Cơ sở và bổ sung thành cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Tổng và giao của hai không gian vector con; Không gian vetor con sinh bởi một
tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vector . . . . . . . . . . . .
1.8 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ánh xạ tuyến tính
2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn
2.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . .
2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tự đồng cấu và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . .
2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối
2.6 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . .
2.7 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

ngẫu
. . . .
. . . .

3 Cấu trúc của tự đồng cấu
3.1 Giá trị riêng và vector riêng . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tự đồng cấu chéo hóa được; Bội đại số, bội hình học .
3.3 Khơng gian con bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tự đồng cấu, ma trận lũy linh . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Dạng chuẩn Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Định lý Cayley-Hamilton; Đa thức tối tiểu của ma trận
3.7 Phương trình đa thức ma trận . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2
2
2
3
4
4
5
5
5

.
.
.
.
.
.
.

7
7
8

8
9
9
10
12

.
.
.
.
.
.
.

14
14
14
15
15
16
17
18

4 Không gian vector Euclid
4.1 Dạng song tuyến tính. Tính chất cơ bản của không gian vector Euclid . . . . .
4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao & Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ma trận đối xứng thực & Toán tử đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Tính tốn vector; Khoảng cách; Định thức Gram; Trực giao hóa Gram-Schmidt
4.6 Một số định lý phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
20
21
22
22
24

Tài liệu tham khảo

25

1


Chương 1
Không gian vector
1.1

Khái niệm không gian vector

1. Xét tập R3 cùng với hai phép toán + và . được định nghĩa như sau:
(x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ),
λ(x, y, z) = (λx, y, z).
Hỏi rằng R3 cùng với hai phép tốn + và . trên có lập thành một R−không gian vector
không?
2. Xét tập R2 cùng với hai phép toán + và . được định nghĩa như sau:
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),
λ(x, y) = (2λx, 2λy).

Hỏi rằng R2 cùng với hai phép toán + và . trên có lập thành một R−khơng gian vector
khơng?
3. Tập các số thực x ≥ 0 cùng với phép + và . thơng thường có lập thành một R−khơng gian
vector khơng?

1.2

Tổ hợp tuyến tính

4. Hãy biểu diễn vector ~x sau thành tổ hợp tuyến tính của các vector ~u, ~v , w
~:
a) ~x = (7, −2, 15), ~u = (2, 3, 5), ~v = (3, 7, 8), w
~ = (1, −6, 1).
b) ~x = (0, 0, 0), ~u = (2, 3, 5), ~v = (3, 7, 8), w
~ = (1, −6, 1).
c) ~x = (1, 4, −7, 7), ~u = (4, 1, 3, −2), ~v = (1, 2, −3, 2), w
~ = (16, 9, 1, −3).
5 (Lấy từ [4]). Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính của hai vector A và B. Viết tọa độ
tương ứng của X đối với A và B.
(a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1).
(b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1).
(c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0).
2


1.3

Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

6. Các tập vector dưới đây trong R3 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

a) (1, 2, 3), (3, 6, 7).
b) (4, −2, 6), (6, −3, 9).
c) (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3).
d) (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3).
7 (lấy trong [4]). Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R và C.
a) (1,1,1) và (0,1,-1)
b) (-1,1,0) và (0,1,2)
c) (π, 0) và (0,1)
d) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1)
e) (0,1,1), (0,2,1) và (1,5,3).
8 (Lấy từ [4]). Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu
ad − bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính. Nếu ad − bc 6= 0 thì hai vector này độc lập
tuyến tính.
9 (Lấy từ [3] và [4]). Xét trong không gian vector C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 .
(b) 1, et , e−t
(c) sin x, sin 2x, . . . , sin kx với k là số nguyên dương.
(d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+ ) t, 1/t.
(e) et , log t.
10 (Lấy từ [13]). Trong không gian vector thực R4 , tìm hạng của các hệ vector sau.
(a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1).
(b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1).
11 (Lấy từ [3]). Trong C[a, b], với a < b là các số thực nào đó, tìm hạng của các hệ vector
sau đây.
(a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t.
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x.

3

1.4

Khái niệm không gian vector con

12. Tập nào dưới đây là không gian vector con của R3 ?
a) Các vector có dạng (a, 0, 0) với a ∈ R?
b) Các vector có dạng (a, 1, 1)?
c) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c?
d) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c + 1?
13. Ký hiệu P3 là tập tất cả các đa thức một biến hệ số thực có bậc 3. Đây là một R−không
gian vector. Hỏi rằng tập con nào sau đây là không gian vector con của P3 ?
a) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 = 0 ?
b) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 + a1 + a2 + a3 = 0 ?
c) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 , a1 , a3 là các số nguyên?

1.5

Cơ sở và bổ sung thành cơ sở

14. Chứng minh hệ 2 vector {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 0, 1)} là độc lập tuyến tính trong R4 . Hãy bổ
sung thêm 2 vector để hệ này trở thành một cơ sở của R4 .
15. Hệ vector nào sau đây là cơ sở của kgvt R4 ? Khi đó, hãy tìm tọa độ của vector ~v =
(1, 9, 8, 1).
(a) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1).
(b) (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1).
(c) (0,1,2,3), (1,2,3,4), (2,3,4,5), (3,4,5,6).
(bài tập II.17, giáo trình)
16. Xét tập V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z + t = x + 2y + 3z + 4t = 0}. Biết V là một
không gian vector con của R4 . Xác định một cơ sở của V và dim V.

17. Xét tập V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 }.
(a) Chứng minh rằng V là một không gian vector con của R4 .
(b) Cho các vector α = (3, 0, 1, 0) và β = (0, 4, 0, 2) là các vector độc lập tuyến tính trong
V. Bổ sung thêm các vector để thu được một cơ sở của V.
(bài tập II.26, giáo trình)
18. Giả sử α
~ 1, α
~ 2, . . . , α
~ n là một cơ sở của R−kgvt V. Chứng minh rằng hệ vector α
~ 1, α
~1 −
2~
α2 , α
~ 2 − 3~
α3 , . . . , α
~ n−1 − n~
αn cũng là một cơ sở của V.
(bài tập II.19, giáo trình)

4


1.6

Tổng và giao của hai không gian vector con; Không
gian vetor con sinh bởi một tập

19. Cho U là không gian vector con sinh bởi
(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1)
và V là không gian con sinh bởi

(1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3).
Tìm dim(U ∩ V ).
(Bài tập 3.23, trang 35, sách Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập của GS Lê Tuấn
Hoa)
20. Cho U là không gian con sinh bởi
(1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9)
và V là sinh bởi
(1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1).
Tìm một cơ sở của U ∩ V và U + V.
(bài 3.24, sách Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập của GS Lê Tuấn Hoa)

1.7

Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ
vector

21. Tìm một tập con tập độc lập tuyến tính tối đại và tính hạng của các hệ vector trong Bài
tập 6.
22. Tính hạng của hệ vector sau đây trong R3 . Xác định một hệ con độc lập tuyến tính tối
đại của hệ.
a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3).
b) (3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8).
c) (2, −3, 1), (4, 1, 1), (0, −7, 1).
d) (1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5).

1.8

Hạng của ma trận

23. Xác định


3
1
a) A = 
1
4

hạng của các ma trận sau theo số thực λ :

λ 1 2
4 7 2
.
10 17 4
1 3 3

5




−1
2 1 −1
1
 λ −1 1 −1 −1
.
b) B = 
 1
λ 0
1
1

1
2 2 −1
1
(bài 3.44 sách Toán cao cấp tập 1 của GS Nguyễn Đình Trí chủ biên, tái bản lần 6)
24. Chứng minh rằng 3 điểm (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 là thẳng hàng khi và chỉ khi





x1 x2 x3






y1 y2 y3
= 0.





1 1 1

25. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp. Chứng minh rằng rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
26. Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I với I là ma trận đơn
vị, thì
rank(A + I) + rank(A − I) = n.

27. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
b) rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
c) rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − n.
(lưu ý: hai bất đẳng thức sau là bất đẳng thức Sylvester; ý c) chưa giảng vì hơi phức tạp,
sinh viên cần phải đọc phần Phụ lục Chương III trong sách Toán cao cấp tập 1 )
28. Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận bằng r thì mỗi định thức con nằm trên giao
của r hàng bất kỳ độc lập tuyến tính với r cột bất kỳ độc lập tuyến tính đều khác 0.

6


Chương 2
Ánh xạ tuyến tính
2.1

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn

29. Các ánh xạ sau từ R4 → R4 có phải là ánh xạ tuyến tính khơng? Khi đó tìm ma trận
của ánh xạ tuyến tính đó trong cặp cơ sở chính tắc. Cơ sở chính tắc là cơ sở gồm các vector
(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
a) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (x1 x2 , x2 − x1 , x3 , x4 ).
b) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (ax2 , x2 − x1 , x3 , x4 ) với a là số thực cố định nào đó.
c) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (0, x3 , x2 , x1 + x2 + x3 + x4 ).
(Bài tập III.10, giáo trình)
30. Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là tuyến tính? Giải thích.
a) f (x, y, z) = (x, y + z).
b) f (x, y, z) = (x3 − 1, y + z).
√ √
c) f (x, y, z) = ( 3 x, 3 z)

(đề ĐSTT-Math121 kỳ 1, 2020-2021)
31. Cho h : R3 → R2 là ánh xạ tuyến tính. Cho (e1 , e2 , e3 ) là một cơ sở của R3 và (f1 , f2 ) là
một cơ sở của R2 . Giả sử ma trận của h trong cặp cơ sở (e1 , e2 , e3 ) và (f1 , f2 ) là


2 −1
1
A=
.
3
2 −3
a) Ta xét một cơ sở mới trong R3 như sau:
e01 = e2 + e3 ;

e02 = e3 + e1 ;

e03 = e1 + e2 .

Xác định ma trận của h trong cặp cơ sở (e01 , e02 , e03 ) và (f1 , f2 ).
b) Ta xét một cơ sở mới cho R2 là:
1
f10 = (f1 + f2 );
2

1
f20 = (f1 − f2 ).
2

Xác định ma trận của h trong cặp cơ sở (e01 , e02 , e03 ) và (f10 , f20 ).
7

32. Tồn


2

B= 4
6



1 2
tại hay khơng ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 nhận các ma trận A = 3 4 và
5 6

1
3 là các ma trận biểu diễn trong các cặp cơ sở nào đó?
5

(Đề giữa kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022)

2.2

Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

33. Cho khơng gian vector con V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}. Tìm một ánh xạ tuyến
tính f : R4 → R3 thỏa mãn Im(f ) = V.
(Đề giữa kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022)
34. Tìm một cơ sở của ảnh và hạt nhân của các ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau.

(a) (x, y, z, t) 7→ (5x − y, x + y, z, t, x)
(b) (x, y, z, t) 7→ (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x).
(c) (x, y, z, t) 7→ (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t)
35. Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng điều kiện cần
để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G sao cho g = h ◦ f là ker f ⊂ ker g. Hỏi rằng đây có
phải là điều kiện đủ khơng?

2.3

Hạng của ánh xạ tuyến tính

Nhận xét: Ma trận cũng có thể coi là ánh xạ tuyến tính. Do đó, hạng của ma trận và ánh xạ
tuyến tính là một, nhưng điều đó cũng có nghĩa là ta có thể chứng minh các bất đẳng thức
hoặc đẳng thức về hạng theo cách ma trận hoặc ánh xạ tuyến tính. Ưu điểm của cách ma
trận là dễ tiếp cận với nhiều người học khơng chun ngành Tốn. Ưu điểm của cách sử dụng
ánh xạ tuyến tính là tính trừu tượng, do đó đơi khi thu được lời giải rất ngắn gọn, ví dụ bất
đẳng thức Sylvester có thể giải quyết khá ngắn gọn nhờ vào định lý về đồng cấu tuyến tính.
36. Cho f, g : V → W là hai ánh xạ giữa hai không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh
rằng :
|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g.
37 (Bất đẳng thức Sylvester ). Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính giữa các
không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và
(b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F.
Ghi chú 38. Bất đẳng thức Sylvester thường được viết dưới dạng ma trận như sau. Giả sử
A, B ∈ Rn,n . Khi đó ta có bất đẳng thức sau
rank A + rank B ≤ rank(AB) + n.
39 (Bất đẳng thức Frobenius). Cho A, B, C ∈ Rn,n . Chứng minh rằng
rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC).
8

2.4

Tự đồng cấu và tổng trực tiếp

40. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = f. Chứng minh rằng
V = Im(f ) ⊕ Ker(f ).
41. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f ◦ f = f. Chứng minh rằng
V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id).
42. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = Id. Chứng minh rằng
V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id).
43. Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = 3f − 2Id. Chứng minh
rằng
V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id).

2.5

Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối
ngẫu

44. Cho f : V → V là một tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều V. Ký hiệu M
là ma trận của f trong một cơ sở nào đó. Khi đó ta định nghĩa vết của f là vết của M. Ký
hiệu vết của f là Tr(f ).
(a) Chứng minh rằng vết của f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn.
(b) Chứng minh rằng Tr(f ) = Tr(f ∗ ) với f ∗ là ánh xạ đối ngẫu của f.
45. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều. Chứng
minh rằng:
(a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f ∗ là toàn cấu.
(b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f ∗ là đơn cấu.

(c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f ∗ là đẳng cấu.
Bình luận Tôi nghĩ là kết quả vẫn đúng khi V và W có chiều vơ hạn, nhưng tơi chưa nghĩ
cẩn thận chuyện ý. Một hệ quả của bài tập này là bài tập sau.
46. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai khơng gian vector hữu hạn chiều. Chứng
minh rằng
rank f = rank(f ∗ ).

9


Bình luận Bài tập trên cho ta một chứng minh của đẳng thức
rank(A) = rank(AT )
với A ∈ Rm,n bất kỳ. Vì sao?
47. Cho V là một khơng gian vector hữu hạn chiều và f1 , . . . , fn là một cơ sở của V ∗ . Chứng
minh rằng tồn tại một cơ sở (e1 , . . . , en ) của V sao cho (f1 , . . . , fn ) là cơ sở đối ngẫu của
(e1 , . . . , en ).
Gợi ý: Sử dụng ánh xạ tự nhiên ΦV : V → V ∗∗ .
48. Chứng minh rằng ánh xạ sau
Φ : Hom(V, W ) → Hom(W ∗ , V ∗ )
f 7→ f ∗
là ánh xạ tuyến tính.
49. Cho V là không gian vector n chiều và f1 , . . . , fm ∈ V ∗ độc lập tuyến tính. Chứng minh
rằng
dim Ker(f1 ) ∩ . . . ∩ Ker(fm ) = n − m.
50. Cho V là không gian vector và f, f1 , . . . , fn ∈ V ∗ . Giả sử Ker(f ) ⊃ Ker(f1 ) ∩ . . . ∩ Ker(fn ).
Chứng minh rằng f là một tổ hợp tuyến tính của f1 , f2 , . . . , fn .
Gợi ý : Dùng bài tập 35.

2.6

Hệ phương trình tuyến tính

51. Xác định xem các hệ sau có nghiệm khơng, nếu có thì giải nghiệm và tìm một hệ nghiệm
cơ bản của chúng.
a)


3x − 2y + 5z + 4t = 2
6x − 4y + 4z + 3t = 3

9x − 6y + 3z + 2t = 4
b)

8x + 6y + 5z + 2t = 21





3x + 3y + 2z + t = 10
4x + 2y + 3z + t = 8


3x + 5y + z + t = 15



7x + 4y + 5z + 2t = 18.
52. Với giá trị nào của a thì hệ sau khơng có nghiệm duy nhất
(

x − 2y
=5
?
3x + ay = 3
(đề cuối kỳ Math231T, kỳ 3/2020/2021)
10


53. Với giá trị nào của a, b thì hệ sau khơng có nghiệm duy nhất
(
x − by
=5
?
3x + ay = 3
54. Giải và biện luận theo các tham số.


λx + y + z = 1
a) x + λy + z = 1 .


x + y + λz = 1

2
3

x + ay + a z = a
b) x + by + b2 z = b3 .



x + cy + c2 z = c3


=1
x + y + z
c) ax + by + cz
=d .

 2
2
2
a x + b y + c z = d2
55. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:


=1
ax + y + z
x + 2y + z
=b.


2x − y + 2z = 5
56. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:


=1
x + y + z
ax + 2y + z = 1 .



2x − y + 2z = b
57. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:


=1
ax + y + z + t
x + 2y + z − t
=b.


2x − y + 2z + 2t = 5
58. Xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:


=1
ax + y + z + t
x + 2y + z − bt
=1.


2x − y + 2z + 2t = 5
59. Cho A là ma trận vng cấp m × n. Tìm điều kiện cần và đủ về hạng của A để hệ phương
trình tuyến tính AX = B có nghiệm với mọi vector cột B ∈ Rm .
60. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B thỏa mãn: A, B là các ma trận có hệ số hữu tỷ
và hệ có nghiệm. Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm gồm toàn bộ là các số hữu tỷ.
11


2.7

Định thức

61. Tính hợp thành của các phép thế sau và viết phép thế thu được thành tích các xích rời
rạc và tính dấu của chúng.



1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
a)
.
2 4 5 1 3
4 3 5 1 2



1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
b)
.
3 5 4 1 2
4 3 1 5 2
c) (1, 2)(2, 3) . . . (n, n − 1).
62. Biết số nghịch thế của dãy a1 , a2 , . . . , an bằng k. Tìm số nghịch thế của dãy an , an−1 , . . . , a1 .
63. Cho A ∈ Rn,n . Chứng minh rằng det A 6= 0 khi và chỉ khi các cột của A độc lập tuyến
tính.
64. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = 1 − δij , với δij là ký
hiệu Kronecker. Tính det A.
65. Tính các định thức sau