Bai 12 tich phan suy rong (1)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG


Tích phân suy rộng loại 1
(cận vơ hạn)
Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a


a

f ( x)dx  lim

b

f ( x)dx

b   a

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +)
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân
hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.


Nhận dạng tpsr loại 1
Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu hạn
các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +) thì


a
VD:

f ( x )dx là tích phân suy rộng loại 1

 sin x

0



0

x

dx

x
dx
sin x



dx
là tpsr loại 1
2
x  x 1



x 1
dx

2
x  2x  3
không là tpsr loại 1

 2
0


Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ


dx
I 
2
1 x
0
b

 (b)

dx
b

arctan x 0 arctan b
2
1 x
0



  
2
b  




0

dx
2
1 x




I  cos xdx
0

b

 (b)  cos xdx sin b
0

Không có gh khi b →+
 Phân kỳ
 ln x

I 
e

x

dx
b ln x

 (b) 
e

b 

x

    

ln b

dx  tdt
1

 Phân kỳ

1 2
  ln b  1
2


ĐỊNH NGHĨA
b

b

f ( x)dx
  f ( x)dx alim

 a


a



  f ( x)dx   f ( x)dx  a

f ( x)dx

Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi
các tp vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái
phân kỳ, khơng cần biết tp cịn lại)


Tính chất của tích phân suy rộng

1.f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   >
a


a f ( x)dx và
 f ( x)dx



cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)


Tính chất của tích phân suy rộng

2.f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   ≠
0


 f ( x)dx và   f ( x)dx
a

a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)


Tính chất của tích phân suy rộng
3.f, g khả tích trên [a, b],  b  a.


f ( x)dx và
*
a




a



a  f  g  dx


g ( x)dx

hội tụ

f ( x)dx hội tụ và
*
a




a  f  g  dx

hội tụ



a

g ( x)dx phân kỳ

phân kỳ

Cơng thức Newton-Leibnitz
f khả tích trên [a, b],  b  a, F là nguyên hàm
của f trên [a, +), khi đó


a

f ( x)dx


F ( x) a

F ()  F (a)

trong đó F ()  lim F ( x )
x 

Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác
định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.


Ví dụ


1

x 1
dx
2

x( x  x  1)

1
x

  2
 dx
 x x  x 1 

 


1





 1
1 2x 1
1
1





2
2
1  x

2 x  x 1 2 
1
3

x   
2
4




1
1 2
( x  1 / 2) 

2
 ln x  ln x  x  1 
arctan 2
2
2 3
3  1









1
1 2
( x  1 / 2) 

2
 ln x  ln x  x  1 
arctan 2
2
2 3
3  1









x
1
( x  1 / 2) 
 ln
 arctan 2

2
3
3 1
x  x 1


1
0  .arctan() 
3


1

 ln 3
6 3 2

 ln 1  1 arctan 3 


3
3




Ví dụ


I 

3

dx
x 1 x

2


2

3



1
1
dt
2
2
tan t 1  tan t cos t


2 dt

sin t
3




2

t
1

ln  tan   ln

2
3

3


Ví dụ


0

x

x.e dx



 x 
xe
0

  xe

x

  x
e dx
0



 x  

e 
1
0


TÍCH PHÂN HÀM KHƠNG ÂM
Cho f(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a.
Khi đó
b

 (b)  f ( x)dx
a

là hàm tăng theo biến b.

 (b) hội tụ khi và chỉ khi (b) bị chận trên.


TÍCH PHÂN HÀM KHƠNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],
ba
Nếu f ( x) kg ( x), x  a


a



a

g ( x)dx hội tụ thì



a

f ( x)dx phân kỳ thì

f ( x)dx hội tụ



a

g ( x)dx phân kỳ


TÍCH PHÂN HÀM KHƠNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],

f ( x)
 b  a. Đặt k  lim
x   g ( x )


• 0 k   a
•k=0



a



f ( x)dx,  g ( x)dx Cùng hội tụ
a
hoặc phân kỳ


g ( x)dx hội tụ

• k =  g ( x )dx phân kỳ 
a



a



a

f ( x)dx hội tụ
f ( x)dx phân kỳ

Tích phân cơ bản
 dx

a



x

với a  0

Hội tụ   > 1

(Nghĩa là:  > 1 thì tp hội tụ,   1 thì tp phân
kỳ)
Chứng minh:
ln b  ln a, 1
b dx

 (b)  
 1  1
1 
a x

,


1





1


1
1    b
a 


Ví dụ


Khảo sát sự hội tụ: I 
1

x 1
dx
3
x  3x  2

Hàm dưới dấu tp liên tục trên [1, +), đây
là tpsr loại 1.

x 1
0  f ( x)  3
, x  [1, )
x  3x  2
x

1
Cách 1: f ( x)  3  2 , x  [1, )
x
x
 dx
1 x 2 hội tụ nên I hội tụ


Cách 2:

x 1
x
1
f ( x)  3
 3  2 ,khi x  
x  3x  2
x
x
1
Chọn g ( x)  2
x
3

2

f ( x)
x 1
1
x  x
x  

 3
: 2  3
   1
g ( x) x  3x  2 x
x  3x  2


1



 dx

g ( x)dx 
f ( x)dx cùng bản chất với 
1
1

x

2