bài tập tích phân suy rộng

BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 1 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tính tích phân suy rộng loại 1
Tính tích phân suy rộng loại 1
1
+∞

−∞
dx
x
2
+ 4x + 9
. ĐS.
π
√
5
2
+∞

2

1
x
2
− 1

+
2
(x + 1)
2

dx . ĐS.
2
3
+
1
2
ln 3.
3
+∞

1
dx
x
√
x
2
+ x + 1
. ĐS. ln

1 +
2
√
3

4

+∞

1
arctan x
x
2
dx . ĐS.
π
4
+
ln 2
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 2 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tính tích phân suy rộng loại 1
Tính tích phân suy rộng loại 1
1
+∞

0
dx
x
3
+ 1
. ĐS.
2π
√
3
9
2
+∞


0
arctan xdx
(1 + x
2
)
3/2
ĐS.
π
2
− 1
3
+∞

0
xe
−x
2
dx . ĐS.
1
2
4
+∞

0
dx
x
3
+ 2x
2

− x − 2
. ĐS.
ln 2
3
5
+∞

0
dx
(1 + 4x
2
)
√
1 + x
2
. ĐS.
π
√
3
9
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 3 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tính tích phân suy rộng loại 1
Tính tích phân suy rộng loại 1
1
+∞

√
2
dx
(x − 1)

√
x
2
− 2
2
+∞

√
2
dx
(x − 1)
√
x
2
− 2
3
+∞

0
x
3
arcsin xdx

|1 − x
2
|
4
+∞

1

dx
x
√
1 − 2x − x
2
5
+∞

√
2
dx
(x + 1).
√
x
2
− 1
. ĐS. 2 −
√
2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 4 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tính tích phân suy rộng loại 1
Tính tích phân suy rộng loại 1*
1
+∞

1
dx
x
7/3
.

3
√
x
2
+ 1
. ĐS.
3
4
(
3
√
4 − 1)
2
+∞

1
dx
x .
3

x (1 +
√
x )
. ĐS. 3
3
√
4 − 3.
3
+∞


1
(x
2
+ 1)(x
2
− 3x − 1)
x
6
+ 4x
3
− 1
dx . ĐS. −
2 ln 2
3
.
4
−1

−∞

1 + x −
1
x

e
x +
1
x
dx . ĐS. −e
−2

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 5 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng loại 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
1
+∞

1
sin
2
3x
3
√
x
4
+ 1
dx
2
+∞

1
dx
√
4x + ln x
3
+∞

1
1 + arcsin(1/x )
1 + x

√
x
dx
4
+∞

1
ln x
x
√
x
2
− 1
dx
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 6 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1
+∞

3
e
−x
− ln x
(1 + x
α
)
α−2
dx . ĐS. α > 1 +
√

2
2
+∞

2
e
αx
dx
(x − 1)
α
ln x
. ĐS. α < 0
3
+∞

1
ln xdx
x
α
. ĐS. α > 1.
4
+∞

1
ln

1 +
e
1/x
− 1

α

dx , α = 0. ĐS. phân kỳ
∀α = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 7 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1
+∞

1
dx
x
α
3
√
1 + x
2
.
2
+∞

0
(2x + 3)dx
(4 + x
α
)
3
√
1 + x

4
.
3
+∞

4
(3
−x
+ 4x )dx
(5 + x
α
)
α−1
.
4
+∞

0
(4x + 1)2
−x
dx
4 + x
α
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 8 / 16
Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1
+∞


1
e
−x
x
α−1
dx .
2
+∞

0
x
α
dx
1 + x
3
.
3
+∞

√
2
dx
(x
α
+ 1).
√
x
2
− 1
. ĐS. α > 0

4
+∞

1
dx
x
α
.
3
√
x
2
+ 1
. ĐS. α >
1
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 9 / 16
Tích phân suy rộng loại 2 Tính tích phân suy rộng loại 2
Tính tích phân suy rộng loại 2
1
3

1
dx
√
4x − x
2
− 3
. ĐS. π
2

2

0
√
x + 2dx
√
2 − x
. ĐS. π + 2
3
2

0
dx
(x − 1)
√
x
2
− x + 1
. ĐS. ln(3 + 2
√
3)
4
1

−1
x
4
dx
(1 + x
2

)
√
1 − x
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 10 / 16
Tích phân suy rộng loại 2 Tính tích phân suy rộng loại 2
Tính tích phân suy rộng loại 2
1
3

−3
x
2
dx
√
9 − x
2
.ĐS.
9π
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 11 / 16
Tích phân suy rộng loại 2 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng loại 2
Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1
+∞

0
e
−x
2

x
2
dx
2
+∞

0
x arctan x
√
1 + x
3
dx
3
+∞

0

1 −cos
2
x

dx
4
1

0
dx
e
3
√

x
− 1
5
1

0
dx
tan x −x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 12 / 16
Tích phân suy rộng loại 2 Tìm α để tích phân suy rộng loại 2 hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1
π

0
1 − cos x
x
α
dx
2
1

0
√
e
2
+ x
2
− e
cos x

x
α
dx
3
π/2

0
cos
2
2x − e
−4x
2
x
α
. tan x
dx
4
π/2

0
e
α. cos x
−
√
1 + 2 cos x
√
cos
5
x
dx . ĐS. α = 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 13 / 16
Tích phân suy rộng loại 2 Tìm α để tích phân suy rộng loại 2 hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1
1

0
ln
√
1 + 2x − xe
−x
1 − cos
α
x
dx
2
2

0
x
α
dx
3

(x − 1)(x − 2)
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 14 / 16
Tích phân suy rộng vừa là loại 1 vừa là loại 2 Tìm α để tích phân suy rộng hội tụ
Tìm α để tích phân sau hội tụ
1

+∞

0
dx
1 + x
α
sin
2
x
2
+∞

0
dx
(1 + x
α
)(1 + x
3
)
, α > 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 15 / 16
Tích phân suy rộng vừa là loại 1 vừa là loại 2 Tìm α để tích phân suy rộng hội tụ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 16 / 16