ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012 THPT ĐÔ LƯƠNG_ Mã đề thi 324 potx

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012
TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 4 Môn: Toán khối A, B
Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề.

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH


Câu I. (2điểm) Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 12 3 4
y x m x mx m
= − + + − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm
9
1;
2
C
 
− −
 
 
lập thành
tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Câu II. (2điểm)
1. Giải phương trình:
( )
3

cos 1 2 3sin 2 cos3 4cos 2
2
x x x x
π
 
+ = − −
 
 
.
2. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình.
( ) ( )
2 2
3 8 5
8 3 13
x y y x
x x y y

+ + + =


+ + + =



Câu III. (1điểm) Tính tích phân:
2
4
2
3
sin 1 cos
cos
x x
I dx
x
π
π
−
−
=
∫

Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =a, DC =
a (a > 0) và
SA
⊥
mặt phẳng đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 45
0
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a.

Câu V. (1điểm) Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện
2 2 2
4
a b c abc

+ + + =
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3
a b c
+ + ≤
.


II. PHẦN RIÊNG. (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần.

1. Theo chương trình chuẩn.

Câu VIa.
(2
đ
i
ể
m).
1.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm
3 1
;

2 2
I
 
 
 
. Các
đườ
ng th
ẳ
ng AB, CD l
ầ
n l
ượ
t
đ
i qua
các
đ
i
ể
m
(
)
4; 1
M
− −
,
(
)
2; 4

N
− −
. Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông
đ
ó bi
ế
t B có hoành
độ
âm.

2.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m th
ự
c:
(
)

2
9 2 4 2 2
x m x x
+ − = − + +


Câu VIIa
. (1
đ
i
ể
m). Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy.
Ở
góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
nh
ấ
t ta l

ấ
y 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t, c
ứ
th
ế

ở
các
góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
hai, th
ứ
ba, th
ứ
t
ư
ta l
ầ
n l
ượ

t l
ấ
y 3, 4, 5
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t (các
đ
i
ể
m không n
ằ
m trên các tr
ụ
c to
ạ

độ
). Trong 14
đ
i
ể
m
đ
ó ta l
ấ
y 2
đ

i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
. Tính xác su
ấ
t
để

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng n
ố
i hai
đ
i
ể
m
đ
ó c
ắ
t c
ả
hai tr
ụ

c to
ạ

độ
.

2. Theo chương trình nâng cao.

Câu VIb
. (2
đ
i
ể
m).

1.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có di
ệ

n tích b
ằ
ng 12, tâm I thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
: 3 0
d x y
− − =
và có hoành
độ

9
2
I
x
=
, trung
đ
i
ể
m c
ủ
a m
ộ

t c
ạ
nh là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và tr
ụ
c Ox. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
2.
Trong không gian Oxyz cho
đườ
ng th
ẳ
ng
1 1

:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1;1; 2 , 1;0;2 .
A B− −

a. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a A và B

đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d.
b. Qua A vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
∆
vuông góc v
ớ
i d sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
B t
ớ

i
(
)
∆
là nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu VIIb
. (1
đ
i
ể
m). Cho hai s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p nhau
1 2
,
z z
tho
ả
mãn
đ
i
ề

u ki
ệ
n
1
2
2
z
z
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c và
1 2
2 3
z z− =
. Tìm s
ố
ph
ứ
c z
1
.
H
ế
t
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ĐÁP ÁN TOÁN LẦN 1

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Với
0
m
=
ta có hàm số
3 2
3 4
y x x
= − +

* TXĐ:
D
=
ℝ

* Sự biến thiên.
2
' 3 6
y x x
= −
, nên
' 0 0
y x
= ↔ =
hoặc
2
x

=

0,25
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
;0
−∞∞
và
(
)
2;
+∞
, nghịch biến trên
(
)
0;2

- Cực trị. Cực đại
(
)
0;4
; cực tiểu
(
)
2;0

- Giới hạn. lim , lim
x x
y y

→−∞ →+∞
= −∞ = +∞


0,25
- B
ảng biến thiên.

x
−∞
0 2
+∞

y’ + 0 - 0 +



y
4
+∞






−∞
0

0,25






1
* Đồ thị. y
Giao với Ox:
(
)
(
)
1;0 ; 2;0
−
4
Giao với Oy:
(
)
0;4

Các
điểm khác
(
)

(
)
1;2 ; 3;4




-1 x
2




0,25
Ta có
(
)
2
' 3 3 1 12
y x m x m
= − + +
. Hàm số có hai cực trị khi y’ đổi dấu hai lần, khi đó y’ = 0
có hai nghiệm phân biệt nên
( )
2
1 0 1
m m
∆ = − > ↔ ≠

0,25

Khi đó hai cực trị là
(
)
(
)
3 2
2;9 , 2 ; 4 12 3 4
A m B m m m m
− + − +

0,25
Theo bài ra ta có.
3 2
2 2 1 0
1
9
2
4 12 6 4 0
2
m
m
m m m
+ − =


↔ = −

− + + + − =



thỏa mãn
0,25
I.
2
Khi đó dễ thấy A, B, C là tam giác nhận O làm trọng tâm 0,25
PT
cos 2 3sin 2 cos cos3 4sin 2
x x x x x
↔ + = +

( )
2
sin 2 sin 3cos 2 0
2
6
k
x
x x x
x k
π
π
π

=

↔ + − = ↔


= +




0,5 II.








1.

Vậy phương trình có các nghiệm.
, 2
2 6
k
x x k
π π
π
= = +

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
ĐK của hệ:
2
2
3 0
8 0

x y
y x

+ ≥


+ ≥


đặt
( )
2 2
3 , 8 0, 0
a x y b y x a b
= + = + ≥ ≥

Khi đó ta có hệ.
2 2
5
3
4
13
a b
a
b
a b
+ =
=



↔
 
=
+ =


hoặc
4
3
a
b
=


=


0,25

Với
4
3
a
b
=


=

ta có.

( )
2
2
2
4 2
1
4
3 4
3
8 9
8 72 65 0
y x
x y
y x
x x x


= −
+ =
 
↔
 
+ =

 
− + − =

( )
( )( )
( )

2
2
1
4
3
1 5 4 13 0
y x
x x x x

= −

↔


− + − + =


0,25
hệ có hai nghiệm.
(
)
(
)
; 1;1
x y =
và
(
)
(
)

; 5; 7
x y
= − −

0,25



2.

Với
( )
2
2
2
4 2
1
9
3 9
3
8 4
18 72 45 0
y x
x y
y x
x x x


= −
+ =

 
↔
 
+ =



− + − =

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
9 9
3 3
9 36 72 36 0 9 36 72 36 0
y x y x
x x x x x x
 
= − = −
 
↔ ↔
 
 
+ − + − = + − + − =
 

( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
1
9
9 0
3
3
9 6 6 0
3 6, 3 6
y x
y x
x x
x x


= −
= − =


↔ ↔
 

 
+ − − =
= − + = − −



Vậy hệ có 4 nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
,
(
)
(
)
; 5; 7
x y
= − −
,
( )
(
)
; 3 6;2 6 2
x y
= − + −
và
( )

(
)
; 3 6;2 6 2
x y
= − − +

0.25
* Ta có
4 4
2
2 2
3 3
sin sin
1 cos sin
cos cos
x x
I xdx x dx
x x
π π
π π
− −
= − =
∫ ∫


0,25
=
0
4
2 2

0
3
sin sin
sin sin
cos cos
x x
x dx x dx
x x
π
π
−
−
= +
∫ ∫


0,25
=
0 0
2 2
4 4
2 2 2 2
0 0
3 3
sin sin 1 1
1 1
cos cos cos cos
x x
dx dx dx dx
x x x x

π π
π π
− −
   
− + = − + −
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

0,25
III.
=
( ) ( )
0
4
0
3
7
tan tan 3 1
12
x x x x
π
π
π
−
− + − = − −

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

s
* Ta có
2
AC a
=
nên tam giác ACD vuông
tại C
→
góc
0
45
SCA∠ =
do đó
2
SA a
=

-
.
1
.
3

S ABCD ABCD
V S SA
=
trong
đó
( )
2
1 3
2 2
ABCD
a
S AB DC AD= + =

Vậy
2 3
.
1 3 2
2
3 2 2
S ABCD
a a
V a= =
A B

D
C

0,5
* Ta có
( )

( )
( )
( )
.
.
3
1
; ;
3
S DCB
S DCB BCD
BCD
V
V S d B SCD d B SCD
S
= ↔ =

0,25
IV
Trong đó
3
.
1 1 1 2
. . sin .
3 3 2 6
S BCD BCD
a
V S SA CB CD C SA= = =

Vậy

( )
( )
3
.
2
3
2 6
;
3
3
S DCB
BCD
V
a a
d B SCD
S
a
= = =

0,25
Giả sử
(
)
(
)
1 1 0 1
a b a b ab
− − ≥ ↔ + ≤ +
khi đó ta chỉ cần chứng minh
2 2

c ab c ab
≤ − ↔ + ≤

0,25
Theo giả thiết.
2 2 2 2 2
4 2 4 2
a b c abc ab c abc ab c abc
= + + + ≥ + + ↔ ≥ + +


0,25
(
)
(
)
2 2 0 2 0
c ab c ab c
↔ + + − ≤ ↔ + − ≤
đpcm
Dấu bằng khi
1
a b c
= = =
.
0,25
V.
Trong trường hợp ngược lại thì
(
)

(
)
1 1 0
b c
− − ≥
hoặc
(
)
(
)
1 1 0
c a
− − ≥
và làm tương tự
0,25

PHẦN RIÊNG
1. Theo chương trình chuẩn
Gọi
(
)
' 7;2
M
và
(
)
' 5;5
N
là điểm đối xứng với M, N qua I . ta có
'

N AB
∈
và
'
M CD
∈

Nên đường thẳng AB có phương trình
2 3 5 0
x y
− + =

0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB
1
;2
2
H
 
→
 
 

0,25
Gọi
(
)
;
A a b
khi đó ta có

( )
2
2
2 3 5
2
1 13
3
2
2 4
a b
A AB a
HA HI b
a b
− = −

∈ =
 

↔ ↔
  
 
= =
− + − =
 
 

 

hay
(

)
2;3
A
khi đó
(
)
1;1
B −

0,25
1.

Bằng cách đối xứng A, B qua I ta có được
(
)
(
)
1; 2 , 4;0
C D−

0,25
Điều kiện.
2 2
x
− ≤ ≤

Đặt
2 2
t x x
= − + +

khi đó ta có
2 2 2
t≤ ≤

0,25
Bài toán quy về tìm m để phương trình
2
5
t mt
+ =
trên
2;2 2
 
 

0,25
VIa.
2.

Bằng việc xét hàm số
( )
2
5
x
f x
x
+
=
trên đoạn
2;2 2

 
 

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ta có kết quả
13 2
2 5
4
m≤ ≤

0,25
Để đoạn thẳng nối hai điểm được chon cắt cả hai trục thì hai đầu đoạn thăng đó phải ở góc
phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ bốn
0,25
Do vậy số cách chọn được số đoạn thẳng như vậy là
1 1 1 1
2 4 3 5
23
C C C C
+ =
cách
0,25
Số cách chọn hai điểm bất kỳ
2
14
91
C
=

0,25
VIIa.


Vậy xác suất xẩy ra ở đề bài là:
23
91

0,25

2. Theo chương trình nâng cao
I có hoành độ
9
2
I
x
=
và
( )
9 3
: 3 0 ;
2 2
I d x y I
 
∈ − − = ⇒
 
 

Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d) và

Ox, suy ra M(3;0)
( ) ( )
2 2
9 9
2 2 2 3 2
4 4
I M I M
AB IM x x y y= = − + − = + =
D
12
. D = 12 AD = 2 2.
3 2
ABCD
ABC
S
S AB A
AB
= ⇔ = =

(
)
AD d
M AD
⊥



∈



, suy ra phương trình AD:
(
)
(
)
1. 3 1. 0 0 3 0
x y x y
− + − = ⇔ + − =
.
L
ạ
i có MA = MD =
2
.

0,5
V
ậ
y t
ọ
a
độ
A, D là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ

ng trình:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
2
3 0
3 3
3 2 3 3 2
3 2
x y
y x y x
x y x x
x y
+ − =

= − + = − +
 
  
⇔ ⇔
  
− + = − + − =
− + =
 

 


3 2

3 1 1
y x x
x y
= − =
 
⇔ ⇔
 
− = ± =
 
ho
ặ
c
4
1
x
y
=


= −

.V
ậ
y A(2;1), D(4;-1),

1
9 3
;
2 2
I

 
 
 
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, suy ra:
2 9 2 7
2
2 3 1 2
2
A C
I
C I A
A C C I A
I
x x
x
x x x
y y y y y
y
+

=

= − = − =



⇔
 
+ = − = − =


=



T
ươ
ng t
ự
I c
ũ
ng là trung
đ
i
ể
m BD nên ta có: B(5;4).
V
ậ
y t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c

ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1).
0,5
a.
0,5
VIb.
2.

b. G
ọ
i (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua A và vuông góc v
ớ
i d,
G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a B lên (P) khi

đ
ó
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và H th
ỏ
a
mãn bài toán
0,5
G
ọ
i
1
z a bi
= +
(
)
,a b
∈
ℝ
khi
đ
ó
2
z a bi
= −

T
ừ

đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a bài toán ta l
ậ
p h
ệ
ph
ươ
ng trình

Tìm
đượ
c.
1
1 3
z i
= ± +



Hoặc

1
1 3
z i
= ± −




. …………………………… H
ết …………………………….
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com