Skkn phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của hàm số mũ lôgarit và hàm lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.46 MB, 32 trang )
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
ĐỀ
TÀI
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC
KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức là một vấn đề khó trong chương trình phổ thơng, nó thường
xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi đại học. Trong q trình dạy
học và nghiên cứu vấn đề này tơi thấy bất đẳng thức chứa các hàm số Mũ - Lơgarit
và hàm số lượng giác ít thấy trong các tài liệu và sách báo.
Một số đề thi đại học và học sinh giỏi trong những năm gần đây thường thấy
sử dụng hàm số để giải quyết loại này, đặc biệt đã có xuất hiện bất đẳng thức chứa
các đối tượng là hàm số Mũ -lôgarit và hàm số lượng giác. Chẳng hạn như đề thi
đại học khối A, A1 năm 2012, đề thi đại học khối D 2007 . . .
Trong đề tài này tơi đề xuất các ví dụ đặc trưng cho từng hàm số, từ những
ví dụ đó xây dựng thành các chuỗi bài toán. Việc xây dựng chuỗi bài tốn nâng dần
mức độ khó giúp học sinh phát triển tư duy, gây hứng thú cho học sinh. Từ đó học
sinh hoạt động một cách tích cực, độc lập, chủ động và sáng tạo.
Vì những lý do trên tôi chọn đề tài là " Phát triển tư duy học sinh thơng qua
việc khai thác tính đơn điệu của hàm số mũ, lôgarit và hàm số mũ "
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Sách giáo khoa đại số 10 định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến như sau:
" Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định
trên K.
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu hàm số f đồng biến trên I thì
với mọi
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì
với mọi
Chú ý: Khoảng I trên định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa
khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng
đó”.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu
với mọi
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.
b) Nếu
với mọi
thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.
c) Nếu
với mọi
thì hàm số f khơng đổi trên khoảng I.
4. Các nhận xét
Nhận xét 1: Hàm số xác định trên
và
Đồng biến trên
thì
Đồng biến trên
thì
Nghịch biến trên thì
.
Nghịch biến trên thì
Nhận xét 2: Hàm số
Đồng biến trên K thì
.
xác định trên
, với mọi x, y thuộc K.
Nghịch biến trên K thì
Nhận xét 3: Cho hàm số
đoạn
và
, với mọi x, y thuộc K.
liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên
.
i) Nếu
thì
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
ii) Nếu
thì
Đẳng thức trong hai Bất đẳng thức trên xảy ra
.
Ta có thể chứng minh nhận xét trên như sau
i) Xét hàm số
,
Ta có :
Suy ra phương trình
có nghiệm duy nhất
và
đổi dấu từ ( )
sang ( ) khi x qua
nên ta có :
.
ii) Chứng minh tương tự.
Chú ý: Phương trình
là phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
tại điểm
.
Nhận xét 4: Cho hàm số
liên tục trên
chỉ có đúng hai nghiệm trên
, và phương trình
là a và b thì
ln mang
một dấu trên
II. XÂY DỰNG CÁC CHUỖI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
1. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 1
a) Từ tính đơn điệu của hàm số mũ lơgarit
Ví dụ 1. Xuất phát từ hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định với
và nghịch biến trên từng khoảng xác định với
.
Do đó với mọi số thực
1)
với
2)
với
Với
thuộc khoảng một xác định của hàm số ta có
.
.
nên
+ Tương tự ta có:
Do x, y, z là các cơ số lớn hơn 1 nên:
.
(1)
Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
(2)
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xn Ơn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Từ (1) và (2) suy ra
Đẳng thức xẩy ra khi
+ Vì
nên
.
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:
Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
Đẳng thức xẩy ra khi
Do đó ta có bài tốn sau:
.
Bài 1: Cho x, y, z là các số thực thuộc nửa khoảng
a)
, chứng minh rằng:
.
b)
.
Xét
nên
.
Khi đó ta có:
Mà
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Suy ra
Từ đó ta có bài tốn sau:
Bài 2: Cho
. Chứng minh rằng :
a)
.
b)
Ví dụ 2. Xuất phát từ hàm số
.
Ta có
Do đó
nghịch biến trên
1) Suy ra
Với
ta xét
ta được :
hay
Với
với
khi đó
ta được:
.
Ta được bài tốn :
Bài 1: Cho
là số thực dương. Chứng minh rằng:
a)
b)
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
2) Suy ra
thì
Hay
Do đó ta có bài toán:
Bài 2: Cho
. Chứng minh rằng
3) Kết hợp với BĐT
.
ta có :
Bài 3: Chứng minh rằng
4) Kết hợp với
với
.
ta được
Hay
, áp dụng BĐT Cơsi ta có
Bài 4: Chứng minh rằng :
với mọi số thực
Ví dụ 3. Xuất phát từ hàm số
1) Kết hợp với BĐT
đồng biến trên
.
.
do đó ta có:
Do đó ta có bài tốn:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực
GV: Đậu Thanh Kỳ
ta ln có
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
(*)
2) Kết hợp với BĐT
Khi đó ta có:
Do đó ta được bài tốn:
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực
3) Kết hợp với giả thiết
ta luôn có
ta được:
hay
Kết hợp BĐT Bunhiacopxky ta có:
Do đó ta có bài tốn:
Bài 3: Chứng minh rằng
4) Với
, với
.
ta có:
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được bài tốn:
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khơng âm thì
a)
b)
+ Từ bài 4a ta được: với mọi số thực x, y, z thì
Áp dụng BĐT
.
và kết hợp giả thiết thêm
GV: Đậu Thanh Kỳ
, ta có
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Do đó:
Hay
Suy ra
Ta được bài tốn
Bài 5: Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
+ Với
(Đại học KA 2012)
ta có
, xây dựng các BĐT tương tự đối với biến
y, z và cho
cộng lại ta được
Bài 6: Cho tam giác
. Chứng minh rằng:
Để che giấu hàm số, ta có thể sử dụng bất đẳng thức quen thuộc:
Từ đó được bài tốn mới là:
Bài 7: Cho tam giác
. Chứng minh rằng
Từ trên ta cũng có
tương tự và nhân lại với nhau ta được bài toán:
Bài 8: Cho các số thực
a)
, xây dựng các BĐT
. Chứng minh rằng :
.
b)
Lại có:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Và bất đẳng thức
Từ đó suy ra có bài tốn:
Bài 9: Chứng minh rằng
, ta ln có:
.
Bài 10: Chứng minh rằng
ta ln có
.
Ví dụ 4. Xuất phát từ hàm
1) Với
đồng biến trên khoảng
.
ta có:
(Đại học KD 2007)
Do đó ta có bài tốn:
Bài 1: Chứng minh rằng:
2) Với
ta có
Tương tự ta có:
Từ đó ta có bài tốn:
Bài 2: Cho
chứng minh rằng:
Bài 3: Cho
thỏa mãn
GV: Đậu Thanh Kỳ
. Chứng minh rằng:
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
3) Từ trên, ta suy ra: Với
thì
, hay
Tương tự, xây dựng thêm y và công lại, ta được:
Lại theo bất đẳng thức Cauchy thì:
Từ đó có bài toán:
Bài 4: Cho
. Chứng minh rằng:
.
4) Kết hợp với bất đẳng thức Trêbưsép, ta có
thì:
Hay
Bài 5: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
.
b) Từ tính đơn điệu hàm số lượng giác
Ví dụ . Xét hàm số
Kết hợp với
nghịch biến trên
.
suy ra
Ta có bài tốn:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Bài 1: Chứng minh rằng
ta ln có:
.
Giả thiết
ta có
Bài 2: Cho
, chứng minh rằng:
.
Gắn vào tam giác ABC nhọn, xây dựng các BĐT với các biến A, B, C ta được
bài toán
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:
Kết hợp với đẳng thức trong tam giác
,
, ta được
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:
.
Kết hợp với BĐT
, ta được
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:
.
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
2. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 2
a) Từ tính đơn điệu của hàm số mũ lơgarit
Ví dụ 1. Xuất phát từ hàm số
biến trên
với
.
Vì vậy với mọi số thực
đồng biến trên
với
và nghịch
ta có:
1)
với
.
2)
với
1) Vì hàm số
đồng biến trên
.
nên với
ta có:
Tương tự ta có
Cộng vế với vế các BĐT ta được
(*)
Từ (*) ta có các bài tốn sau:
Bài 1: Chứng minh rằng:
đúng với mọi số thực
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực thoả mãn
Bài 3: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng
.
. Chứng minh rằng:
.
Suy ra
bài toán.
, xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được
Bài 4: Cho các số thực x, y, z chứng minh rằng:
.
Do đó
Áp dụng BĐT Côsi ta được:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Bài 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
a)
. Chứng minh rằng:
.
b)
2) Vì hàm số
là hàm số nghịch biến trên
nên ta có:
.
Tương tự ta có
.
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
(**)
Từ (**) ta có các bài tốn sau:
Bài 6: Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng:
.
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
.
Bài 8: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn
Chứng minh rằng:
.
Bài 9: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn
rằng:
a)
.
.Chứng minh
.
b)
với mọi số thực
.
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Từ đó suy ra:
Kết hợp BĐT Cauchy_Swash ta được bài toán
Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
.
Chứng minh rằng:
.
Ví dụ 2. Xuất phát từ hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định với
và nghịch biến trên từng khoảng xác định với
.
Vì vậy với mọi số thực từng khoảng xác định của hàm số ta có:
1)
với
2)
với
.
.
Với mọi số dương x,y ta có:
Tương tự ta có
và
Cộng vế với vế ta có:
(1)
Hay
+ Với giả thiết
(2)
kết hợp với (2) ta được bài toán:
Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
.
Chứng minh rằng:
+ Với giả thiết
kết hợp với (1)
Ta có
Do đó
Hay
Ta được bài toán:
.
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
GV: Đậu Thanh Kỳ
.Chứng minh rằng :
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
a)
b)
.
Với mọi số dương x, y, z lơn hơn 1 ta có
Tương tự ta có:
;
Cộng lại ta được:
.
Ta có bài tốn:
Bài 3: Chứng minh rằng:
a)
với
b)
với
.
.
Với mọi số dương x,y,z lớn hơn 1 ta có
Tương tự ta có:
Cộng lại ta được ta có:
Kết hợp BĐT cơsi ta được:
Bài 4: Chứng minh rằng:
với x, y, z là số thực lớn hơn 1
Với mọi số dương x,y ta có:
Tương tự ta có
Cộng lại ta được
Hay
Ta được bài tốn:
Bài 5: Cho
và
là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Kết hợp BĐT
ta được bài toán.
Bài 6: Cho
là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
.
Ví dụ 3. Xuất phát từ hàm số
đồng biến trên
và nghịch biến trên
.
Ta có
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế lại ta được:
Mặt khác
nên
.
Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó ta có bài tốn:
Bài 1: Cho
. Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 2: Cho các số thực x,y,z không âm thỏa mãn
.
Chứng minh rằng:
Ta có
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:
Cho
hay
thì
Ta có bài tốn sau:
Bài 3: Cho các số thực x, y, z dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
.
Ví dụ 4. Xuất phát từ hàm số
trên
.
đồng biến trên
và nghịch biến
.
Ta có:
Xét hàm số
.
Ta có:
Suy ra
Tương tự ta có
Cộng vế với vế ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a)
với
b)
với
GV: Đậu Thanh Kỳ
.
.
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
+ Với giả thiết
khi đó
(thỏa mãn điều kiện ràng buộc trên)
Ta có
.
Do đó ta có bài tốn:
Bài 2: Cho cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng
.
.
+ Với giả thiết x, y, z là số thực lớn hơn một thỏa mãn
Bài 3: Cho cho các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn
ta được:
.
Chứng minh rằng
.
b) Xuất phát từ tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Sử dụng trực tiếp tính chất 2
Xét hàm số
Ta có
Suy ra
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:
(1)
Ta lại có
Từ (1) và (2) suy ra
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Hay
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác
Ta được bài toán
Bài 1: Cho tam giác
đều.
. Chứng minh rằng:
.
Xét hàm số
Ta có:
Suy ra
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác
Ta được bài toán
Bài 2: Cho tam giác
đều.
nhọn. Chứng minh rằng:
.
Ta có hàm số
đồng biến trên
nên
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế lại ta được
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Mặt khác ta có
Do đó ta có
Ta được bài tốn
Bài 3: Cho tam giác
Ta có hàm số
.
nhọn. Chứng minh rằng:
nghịch biến trên
nên
Tương tự ta có:
.
Cộng vế với vế lại ta được:
Ta được bài toán
Bài 4: Cho tam giác
. Chứng minh rằng:
.
Sử dụng linh hoạt tính chất 2
Ta có trong tam giác
có cạnh
biến bình đẳng nhau thì ta hồn tồn có thể giả sử
Bây giờ ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số
do đó:
Nếu
thì
do đó
hay
Tương tự ta có
nếu biểu thức chứa các
là đồng biến trên
và
.
và
.
Cộng vế với vế ta được:
Mặt khác ta có
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Do đó
.
Vậy ta được bài tốn
Bài 5: Cho tam giác ABC có
. Chứng minh rằng:
.
Tổng quát(chứng minh hồn tồn tương tự)
Cho tam giác ABC có
và x là số thực dương.
Chứng minh rằng:
.
Bây giờ ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số
do đó với
là đồng biến trên
, suy ra
Do đó:
Mà
(1)
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
,
Suy ra
Hay
(2)
Từ (1) và (2) ta có
Đẳng thức xảy ra
.
Vậy ta được bài toán
Bài 6: Cho tam giác ABC có
. Chứng minh rằng
.
3. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 3.
Ví dụ 1. Xét hàm số
có
và
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1 là
Suy ra
Từ đó ta có
với mọi
.
Cho
, ta có bài tốn:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xn Ơn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Bài 1: Cho
là các số thực không âm thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Sau đây là lời giải đầy đủ
Xét hàm số
trên
Ta có
và
Vì
nên
hàm số
đồng biến trên
phương trình
có tối đa một nghiệm. Mặt khác
trình
là nghiệm duy nhất.
Bảng biến thiên
x
0
1
0
+
do đó
do đó phương
0
Vậy ta có
hay
Tương tự ta có:
,
.
Cộng vế với vế ta được:
Vậy
Cho
, ta có bài tốn:
Bài 2: Cho
là các số thực khơng âm thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 2. Xét hàm số
.
.
có
và
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ 1 là
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Suy ra ta có
Xây dựng các BĐT tương tự kết hợp với đánh giá cơ bản ta có bài tốn
Bài 1: Cho
là các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải đầy đủ
Xét hàm số
Ta có
.
.
trên
,
Bảng biến thiên
x
0
+
1
0
0
Suy ra
,
Ta có
Tương tự ta có
Cộng vế với vế ta được:
Mặt khác ta có
Do đó
.
Vậy
Suy ra ta có
Xây dựng các BĐT tương tự kết hợp với ràng buộc các biến ta có bài tốn
Bài 2: Cho
là các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 3: Cho
.
là các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của
.
Bài 4: Cho
.
.
là các số thực dương thỏa mãn
GV: Đậu Thanh Kỳ
.
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của
hàm số mũ - lơgarit và hàm số lượng giác
Tìm giá trị lớn nhất của
.
Ví dụ 2. Xét hàm số
có
.
Xét hàm số
có
.
Xét hàm số
có
.
Xét hàm số
có
.
Phương trình tiếp tuyến tại
Suy ra
của hàm số
,
là
.
Do đó ta có bài toán:
Bài 1: Cho tam giác
. Chứng minh rằng:
.
Tương tự ta có bài tốn:
Bài 2: Cho tam giác
nhọn. Chứng minh rằng:
.
Phương trình tiếp tuyến tại
Suy ra
của hàm số
,
là
.
Do đó ta có bài tốn:
Bài 3: Cho tam giác
nhọn. Chứng minh rằng:
GV: Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn
skkn
Skkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giacSkkn.phat.trien.tu.duy.hoc.sinh.thong.qua.viec.khai.thac.tinh.don.dieu.cua.ham.so.mu...logarit.va.ham.luong.giac
