[TOÁN 12] VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN
VỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A. MỞ ĐẦU
I – BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia và đề thi thử của một số trường phổ
thông trong cả nước xuất hiện một số bài toán về Nguyên hàm – Tích phân và ứng
dụng có sử dụng đến các quy tắc tính đạo hàm. Đề tài ra đời trong bối cảnh học sinh có
nhu cầu nắm vững phương pháp giải các bài tốn nói trên. Đồng thời, đề tài cũng là
một bộ tài liệu quan trọng trong công tác giảng dạy của giáo viên.
II – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tôi chọn đề tài “Vận dụng một số quy tắc tính đạo hàm trong các bài tốn về
Ngun hàm – Tích phân và ứng dụng” vì những lý do sau đây:
+) Đây là nội dung rất quan trọng trong chương trình tốn THPT.
+) Học sinh nắm vững phương pháp và kỹ năng giải các bài toán .
+) Phương pháp của đề tài nêu ra tạo được sự hứng thú cho học sinh trong giải toán.
III – PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán thuộc chương trình lớp 12 dùng để ơn thi THPT Quốc gia.
2. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống các dạng toán vận dụng - vận dụng cao có ứng dụng các quy tắc tính
đạo hàm trong chương trình tốn phổ thơng.
IV – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
+) Nhằm cung cấp cho học sinh có một lượng kiến thức nhất định để giải quyết
một số bài toán trong các đề thi, tạo ra niềm đam mê, hứng khởi và sáng tạo trong học
tập.
+) Nhằm mang lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt là công tác ôn thi
THPT Quốc gia.
V – ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Mặc dù các bài tập trong đề tài này đã xuất hiện trong đề thi Trung học phổ
thông Quốc gia và đề thi thử của một số trường THPT trên tồn quốc, cũng có nhiều

1


tác giả nghiên cứu về mảng này, nhưng còn thiếu tính hệ thống. Những điểm mới khác
biệt của đề tài là xây dựng được hệ thống các dạng bài tập tương ứng với từng quy tắc
tính đạo hàm.
B. NỘI DUNG
I – CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đề tài nêu ra các dạng tốn gắn liền với từng quy tắc tính đạo hàm. Các bài toán
ở mức độ vận dụng và vận dụng cao nhưng đều thuộc phạm vi chương trình trung học
phổ thơng. Các đối tượng học sinh có thể tiếp thu được phương pháp và kỹ năng giải
tốn qua các ví dụ đã nêu trong đề tài để giải các bài tốn tương tự một cách có hiệu
quả nhất.
II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
+) Đối với học sinh: Khi chưa học tập phương pháp và rèn luyện kĩ năng, chỉ có
số ít các em học sinh suy nghĩ, tập trung làm bài tập dạng này.
+) Đối với giáo viên : Tài liệu viết về các dạng bài tập này tuy đã có nhưng chưa
được phân dạng cụ thể, chưa có tính hệ thống.
III – CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để giúp học sinh nắm được phương pháp và kỹ năng thực hiện đề tài, ta cho học
sinh luyện tập qua hệ thống các bài toán được phân loại theo các chủ đề như sau:
CHỦ ĐỀ I
VẬN DỤNG QUY TẮC

 ln u   

u
u

1. Cơ sở lý thuyết

- Nếu

u u  x 

nhận giá trị dương trên K thì

 ln u   

u
u trên K .

 ln  f  x      g  x 
ln  f  x   g  x  dx.
- Nếu
thì
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Cho hàm số

f  x

f  x 3 x 2 f  x 
nhận giá trị dương trên  thỏa mãn  

f 1 1.
f 2
với mọi x   và  
Giá trị của   bằng

2

2
.
9
e
A.

1
.
9
e
C.

7
B. e .

D.

e9 .

Bài giải tham khảo
Chọn C
f  x 
3x 2   ln  f  x     3x 2
f  x

f  x  3x 2 f  x  
+) Từ giải thiết, ta có

3

 ln  f  x   3x 2 dx  x 3  C  f  x  e x C
3

+) Lại có

f  1 1  C  1  f  x  e x  1  f   2  

Bài tập 2. Cho hàm số
thỏa mãn điều kiện

f  x

f  1 1

1
.
e9

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên
và

f  x   f  x  3x  1, x 0.

 0;

Mệnh đề nào dưới đây

đúng ?
A.

1  f  5   2.

B.

2  f  5   3.

C.

4  f  5   5.

D.

3  f  5   4.

Bài giải tham khảo
Chọn D
f  x   f  x  3x  1 
+) Từ giải thiết, ta có
 ln f  x  

+) Lại có

f  x 
1
1

  ln f  x    
f  x
3x  1

3x  1

1
2
dx  ln f  x   3x  1  C.
3
3x  1

f  1 1  C 

Bài tập 3. Cho hàm số

4
4
2 3x  1  4
 ln f  x  
 f  5  e 3 3,79.
3
3

f  x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1

1

mãn

f  0  0

f  x  2 x  1  f  x   , x  .
và
Giá trị của

A. e  2.

B. e  1.

C. e  2.

Bài giải tham khảo
3

2xf  x  dx
0

bằng

D. e.

thỏa


Chọn A

+) Từ giải thiết, ta có

 1  f  x   

f  x 

2 x 
2 x   ln  1  f  x    2 x
1 f  x
1 f  x

 ln  1  f  x   2 xdx  ln  1  f  x    x 2  C.
2

2

f  0  0  C 0  ln  1  f  x    x 2  1  f  x  e x  f  x  e x  1.
+) Lại có
1

+) Vậy

1

2 xf  x  dx 2 x  e
0

x2

0

Bài tập 4. Cho hàm số

mãn điều kiện

f  1 1

f  x



 1 dx e x

2

1
1
 x 2 e  2.
0
0

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1;2

thỏa

1
f  x   f  x  , x   1; 2 .
x
và
Tính thể tích khối trịn xoay khi

y  f  x

cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, trục hoành và hai đường

thẳng x 1, x 2 quay quanh trục hoành.
7
.
B. 3

A. 7 .

5
.
C. 3

5
.
D. 3

Bài giải tham khảo
Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

f  x  1
1
1
f  x   f  x  
   ln f  x    

x
f  x x
x

1
 ln f  x   dx  ln f  x  ln x  C .
x
2

+) Lại có

f  1 1  C 0  f  x   x  V  f

Bài tập 5. Cho hàm số

 0;2

1

f  x

2
2

 x  dx  x 2dx 
1

 x3 2 7
 .
3 1

3

nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp 2 trên đoạn
2

2

 f  x    f  x  f  x    f  x   0, x   0;2
f  0  1 f  2  e4
thỏa mãn
,
và 
.

4


y  x  1 f  x 
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
hoành và hai đường thẳng x 0, x 2.
4
A. e  1.

6
C. e  1.

4
B. e .

4
D. e  1.

Bài giải tham khảo
Chọn D
2

2

 f  x    f  x  f  x    f  x   0
+)Từ giả thiết ta có 
2

f  x  f  x    f  x  
 f  x  f  x    f  x    f  x   
1
2
 f  x  
2

2

 f  x   
f  x 
 
 x  C   ln f  x     x  C  ln f  x   x  C dx
 1 
f  x
 f  x 
1

 ln f  x   x 2  Cx  D.
2

 f  0  1


4
f
2

e



+) Lại có 

2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x 2
C 2
2
2
 f  x  e
 S  x  1 e
dx e 2
e 4  1.


0
 D 0
0

3. Bài tập tương tự (phụ lục).
CHỦ ĐỀ II
VẬN DỤNG QUY TẮC

 uv   uv  uv

1. Cơ sở lý thuyết
- Nếu

u u  x 

và

v v  x 

thì

 uv   uv  uv .

f  x  .g  x  h  x  dx.
 f  x  .g  x    h  x 
- Nếu 
thì
2. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho hàm số

trị của

f  2
9
.
A. 2

5

f  x

thỏa mãn

f   1 2

và

f  x   xf  x  3x 2 , x 0

bằng
5
.
B. 2

C. 4.

7
.
D. 2

. Giá


Bài giải tham khảo
Chọn D

f  x   xf  x  3x 2   xf  x    3x 2  xf  x  3x 2dx
+)Từ giả thiết, ta có
x3  C
 xf  x   x  C  f  x  
.
x
3

+) Lại có

f   1 2  C  1  f  x  x 2 

1
7
 f  2  .
x
2

Bài tập 2. (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số

f  0  4
A.

và

f  x   f  x  x3 , x  

 4

10
.
e

. Giá trị của

B.  10 .

f  1

f  x

thỏa mãn

bằng

C.  2 .

D.

 2

10
.
e

Bài giải tham khảo
Chọn D

e x f  x   e x f  x  x3e x   e x f  x    x 3e x  e x f  x  x 3e x dx
+) Từ giả thiết, ta có
 e x f  x  x 3e x  3x 2e xdx x 3e x  3x 2e x  6xe xdx x 3e x  3x 2e x  6  x  1 e x  C
+) Lại có

f  0  4  C 10  f  x  x3  3x 2  6 x  6 

10
10
 f  1  2  .
x
e
e

Bài tập 3. (Trường Lệ Thủy – Quảng Bình – Lần 2 năm 2018 – 2019): Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên khoảng

x  4  f  x    f  x   1, x  0.
A. 6.

Giá trị của

B. 5.

 0;
f  2

thỏa mãn điều kiện

bằng

C. 3.

D. 2.

Bài giải tham khảo
Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có

x  4  f  x    f  x   1  xf  x   f  x  4 x  1

  xf  x    4 x  1  xf  x   4 x  1 dx  xf  x  2 x 2  x  C.
+) Lại có
6

f  1 3  C 0  f  x  2 x  1  f  2  5.

f  1 3

và


Bài tập 4. (Toán học tuổi trẻ tháng 6 – 2019): Cho hàm số

trên khoảng
mọi

  1;  và thỏa mãn đẳng thức

x    1;  .

Giá trị của

f  0

f  x

có đạo hàm liên tục

2 f  x    x 2  1 f  x  

x3  2 x 2  x
x2  3
với

bằng

A.

f  0  2  3.

B.

f  0  e  3.

C.

f  0   3.

D. Chưa đủ điều kiện để tính

f  0 .

Bài giải tham khảo
Chọn A.
+) Từ giả thiết, ta có
2

x  x 1
x3  2 x 2  x
 x  
2 f  x    x  1 f  x  

2
f
x

x

1
x

1

f






x2  3
x2  3
2



2 f  x x  1
x
x 1
x
 x  1 


f
x


f  x   2
 

 f  x 
2
2

x 1
 x 1 x 1
x  3  x 1 
x 3

x
x 1
x
x 1
 x 1


. f  x   2

. f  x   2
dx 
. f  x   x2  3  C
x

1
x

1
x

1


x 3
x 3

+) Lại có

 *

thỏa mãn với mọi

x    1;  

 *

*
nên thay x 1 vào   ta có C  2.

x 1
. f  x   x 2  3  2.
f 0 2  3.
Suy ra x  1
Do đó  

Bài tập 5. (Chuyên ĐH Vinh lần 1 năm 2018):

f  0   f  0  1
A. 4.

Cho hàm số

f  x

2

 f  x    f  x  f  x  15 x 4  12 x, x  
f 2  1
và 
. Giá trị
bằng
9
.
B. 2

C. 8.

5
.
D. 2

Bài giải tham khảo
Chọn C
+) Ta có

7

thỏa mãn

( f  x  )2  f  x  f  x  15 x 4  12 x   f  x  . f  x    15 x 4  12 x


 f  x  . f  x   15 x 4  12 x  dx  f  x  . f  x  3x 5  6 x 2  C
 2 f  x  . f  x  6 x5  12 x 2  2C   f 2  x    6 x 5  12 x 2  2C
 f 2  x   6 x5  12 x 2  2C  dx  f 2  x  x 6  4 x 3  2Cx  D.

+) Lại có

C 1
f  0   f  0  1  
 f 2  x  x 6  4 x 3  2 x  1  f 2  1 8.
 D 1

3. Bài tập tương tự (phụ lục).
CHỦ ĐỀ III
 u  uv  uv
  
v2
VẬN DỤNG QUY TẮC  v 
1. Cơ sở lý thuyết

- Nếu

u u  x 

 u  uv  uv
  
v2
thì  v 
với v 0.

 f  x  
f  x
 h  x  dx.

 h  x 

g  x 
g  x 

- Nếu
thì
2. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1; 2

thỏa mãn

f  1 

2

và

xf  x   f  x   x 3 , x   1;2
7
.
A. 6

. Giá trị của tích phân

17

.
B. 8

15
.
C. 8

Bài giải tham khảo
Chọn C

8

f  x dx
1

bằng
15
.
D. 4

1
2


xf  x   f  x   x 3 
+) Từ giả thiết, ta có



xf  x   f  x 

 f  x  

x


 x
x2
x



f  x
f  x 1 2
xdx 
 x C
x
x
2
.

f  x 1 2
1
1
f  1   C 0 
 x  f  x   x3 
2
x
2
2
+) Lại có

f  x

Bài tập 2. Cho hàm số

2

2

1
15
f  x  dx  x 3dx  .

21
8
1

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1; 2

thỏa mãn

f  1 2

2

và

f  x    x  1 f  x  2 xf 2  x  , x   1;2 .

A.1  ln 2.

Giá trị của

B.1  ln 2.

f  x  dx
1

1
 ln 2.
C. 2

bằng
1
 ln 2.
D. 2

Bài giải tham khảo
Chọn D
f  x    x  1 f  x  2 xf 2  x  
+) Từ giả thiết, ta có

f  x    x  1 f  x 
2 x
f 2  x

 x 1  
x 1
x 1

 
2 xdx 
 x 2  C.
 2 x 
f  x
f  x
 f  x 
1 1
f  1 2  C 0  f  x    2 
x x
+) Lại có

2

2

1

1 
dx
2 


f  x  dx  x  x
1

1

2 12 1
ln x 

  ln 2.
1 x1 2
Bài tập 3. Cho hàm số
thỏa mãn

f  1 2

2
A. e  e.

và

f  x

xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng

x  f  x   x   f  x   1, x  0.
f e
Giá trị của   bằng
2
B. e  1.

2
C. e  e.

Bài giải tham khảo
Chọn B
9

2

D. e  1.

 0;


+) Từ giả thiết, ta có

x  f  x   x   f  x   1  xf  x   f  x  x 2  1

xf  x   f  x  x 2  1 xf  x    x   f  x  x 2  1  f  x   
1

 2 
 2  
 1  2
2
2
x
x
x
x
x
 x 



f  x
1
x   C .
x

x
f  1 2  C 0 

+) Lại có

Bài tập 4. Cho hàm số

f  x

f  x
1
 x   f  x   x 2  1  f  e  e 2  1.
x
x

0;1
có đạo hàm liên tục trên đoạn  

1
f  0 
3
thỏa mãn

2

f  x   f  x   f  x   , x   0;1
và
. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số

y  f  x

, trục hoành và hai đường thẳng x 0; x 1.
4
ln .
B. 3

A. ln 2.

3
ln .
D. 4

C. ln12.

Bài giải tham khảo
Chọn B
2

f  x   f  x   f  x   
+) Ta có

 e   f  x   e f  x  e
x



x

 f  x  

2

x

f  x   f  x 
 f  x  

2

1 

e x f  x   e x f  x 
 f  x  

2

e x

 ex  
ex
x
 
e x dx e x  C
 e 
f
x
f
x







.

1
ex
ex
f  0    C 2 
e x  2  f  x  
3
f  x
2  ex .
+) Lại có
ln 2

+) Do đó

ex
4
x ln 2
S 
dx

ln
2

e

ln 4  ln 3 ln .


x
0
2e
3
0

Bài tập 5. (Trường Ngơ Quyền – Hải Phịng năm 2019): Cho hàm số

f  x

có đạo

f 1 4
f x  xf  x   2 x3  3 x 2 , x  
hàm liên tục trên  thỏa mãn điều kiện  
và  
.
Giá trị của
10

f  2

bằng


A.15.

B.10.

D. 5.

C. 20.
Bài giải tham khảo

Chọn C
+) Ta có

f  x   xf  x   2 x 3  3x 2  xf  x   f  x  2 x 3  3x 2



xf  x   f  x 
 f  x  
f  x

2
x

3

 2 x  3 dx

 2 x  3 
2
x
x
x






f  x
 x 2  3 x  C.
x

+) Lại có

f  1 4  C 0  f  x   x 3  3x 2  f  2  20.

3. Bài tập tương tự (phụ lục).
CHỦ ĐỀ IV
 1   u
   2
u
VẬN DỤNG QUY TẮC  u 
1. Cơ sở lý thuyết

- Nếu

 1   u
   2
u với u 0 .
thì  u 

u u  x 

 1 
1
 g  x  dx .

  g  x 
f  x 
f  x 

- Nếu
thì
2. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. (Sở GDĐT Lâm Đồng năm 2018): Cho hàm số

f  x

1
f  1 
3 và
thỏa mãn

2

f  x   xf  x   , x  ¡
f 2
. Giá trị của   bằng
2
.
A. 3

3

B. 2 .

16
C. 3 .

Bài giải tham khảo
Chọn B

11

3
D. 16 .


 1 
f  x 
1
x3
2
2
2

x


x


x
dx


C



f 2  x
f
x
f
x
3






+) Từ giả thiết, ta có
1
10
1
 x3  10
1
2
3
f  1   C  


  f  2  .
3

3
f  x
3
f  2 3
2

+) Lại có

f  x

Bài tập 2. (Đề THTP Quốc Gia năm 2018 – Mã đề 101): Cho hàm số
f  2  

thỏa mãn

2
2

f
x

2
x

f
x







 , x  . Giá trị của f  1 bằng
9 và

35
.
36
A.


B.



2
.
3

19
.
36
C.


2
.
15
D.


Bài giải tham khảo
Chọn B
 1 
1
f  x  2 x  f  x   
2 x  
 2 xdx
  2 x 
2
f  x 
f  x
 f  x  

+)Ta có
f  x 

2



1
 x 2  C
f  x
f  2  

+) Lại có

2
1

1
1
2
 C  
 x 2   f  1  .
9
2
f  x
2
3

Bài tập 3. Cho hàm số
f  1 

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1;2

1
3
2
2

2 và f  x   xf  x   2 x  x f  x  , x   1;2 . Giá trị của tích phân





2

xf  x dx
1

bằng

4
ln .
A. 3

3
ln .
B. 4

C. ln 3.

Bài giải tham khảo
Chọn B

12

và thỏa mãn

D. 0.


f  x   xf  x   2 x 3  x 2  f 2  x  

+) Từ giả thiết, ta có

f  x   xf  x 
 xf  x  

2

2 x  1

 1 
1
1
 
  2 x  1 dx 
 x 2  x  C.
  2 x  1 
xf  x 
xf  x 
 xf  x  
f  1 
+)

Lại

có

1
1
 C 0  xf  x  


2
x  x  1

2

2

1
xf
x
dx

dx




x
x

1


1
1

2

1
x 1 2

3
 1

 dx ln
ln .
x 1 x 
x 1
4
1
Bài tập 4. (Trường Trần Hưng Đạo – Nam Định – Lần 2 năm 2019): Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1;4

thỏa mãn điều kiện

f  1  2

và

4

2

 xf  x     2 x  1 f  x   xf  x   1, x  1; 4 .
Giá trị của tích phân
A.

 ln 2 

3
.
4

B.

 2ln 2 

1
.
4

C.

 2ln 2 

3
.
4

f  x  dx
1

D.

 ln 2 

Bài giải tham khảo
Chọn C
+) Từ giả thiết, ta có
2

2

 xf  x     2 x  1 f  x   xf  x   1   xf  x    2 xf  x   1  xf  x   f  x 

2

  xf  x   1  xf  x   f  x  



xf  x   f  x 
 xf  x   1

2



1
1  
  1
xf
x

1






1
1
 dx 
 x  C.
xf  x   1
xf  x   1
f  1  2  C 0 

+) Lại có

13

1
1 1
 x  f  x    2 .
xf  x   1
x x

bằng
1
.
4


4

+) Vậy

4

1

4 14
1 
3
dx  ln x 
 2ln 2  .
2 
1 x1
4


f  x  dx   x  x
1

1

Bài tập 5. Cho hàm số

f  x

  
 6 ; 3 
có đạo hàm liên tục trên đoạn
thỏa mãn

 
  
f   2
sin x. f  x   f  x   cos x  f  x  , x   ;  .
 3
 6 3  Tính thể tích V của
và
khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y  f  x

, trục



x  ,x 
6
3 quay quanh trục hoành.
hoành và hai đường thẳng
2
.
3
A.

2
.
3
B.

1

.
3
D.


.
3
C.

Bài giải tham khảo
Chọn A
sin x. f  x   f  x   cos x  f  x  

+) Từ giả thiết, ta có




sin x. f  x   cos xf  x 
 sin x. f  x  

2



1

sin 2 x

sin x. f  x   cos xf  x 

1
f 2  x



1
1

 
sin 2 x
 sin x. f  x  

1
1
1
  2 dx 
cot x  C.
sin x. f  x 
sin x
sin x. f  x 


1
1
 
3 2
f   2  C 0  f  x  
 V   2 dx  .tan x  .

cos x

3
3
 cos x
6
6
+) Lại có

3

3. Bài tập tương tự (phụ lục)
CHỦ ĐỀ V

VẬN DỤNG QUY TẮC
1. Cơ sở lý thuyết
14

 u    2uu


- Nếu

u u  x 


- Nếu 

thì

 u    2uu


f  x   h  x 

thì

với u  0.

f  x  h  x  dx.

2. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho hàm số

f  x

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1

thỏa

1

mãn

f  0  1

và

f  x  2 f  x  , x   0;1

8
.
A. 3

. Giá trị của tích phân

f  x  dx
0

1
.
C. 3

B. 7.

bằng

7
.
D. 3

Bài giải tham khảo
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
f  x  2 f  x  

f  x 
2 f  x

1 



f  x
2

  1 

f  0  1  C 1  f  x   x  1 
+) Lại có

1

1

f  0  1

f  x

2

f  x  x  C

f  x  dx  x  1 dx 
0

Bài tập 2. Cho hàm số
mãn

f  x  dx 

0

1
7
31
 x  1  .
0 3
3

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

2

0

28
.
A. 15

bằng
8
.
B. 15

2
.
C. 3


Bài giải tham khảo
Chọn A

15

thỏa

 f  x    16 x 2 . f  x  0
x   0;1 .
và 
với mọi
Giá trị của tích phân

1

I f  x  dx

 0;1

4
.
D. 3


2

 f  x  
4 x 2 
 f  x   16 x . f  x   
4f x

2

+) Từ giả thiết, ta có


  f  x   2 x 




2

 

f  x 
2 f  x

2 x

f  x   x 2  C.

f  x  2 xdx 

1
1
2
2
28
f  0  1  C 1  f  x   x 2  1  I f  x  dx  x 2  1 dx 
15 .

0
0
+) Lại có

Bài tập 3. (Trường Anh Sơn 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2018 – 2019): Cho hàm số

f  x

đồng biến trên , có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn điều kiện
ln 2
2

2

2x

 f  x   4 f  x  e , x  
f  0 2.
và  
Giá t rị của tích phân
3
2ln 2 2  ln 2  .
4
A.

x f  x  dx
0

bằng

1
2ln 2 2  ln 2  .
4
B.

3
ln 2 2  2ln 2  .
4
C.

3
2  ln 2 2  ln 2   .
4
D.

Bài giải tham khảo
Chọn D
2

 f  x   4 f  x  e 2 x 
+) Từ giả thiết, ta có



f  x  e x dx 

+) Lại có


f  x   e x



f  x  e x  C .

ln 2

1 2 2 x ln 2
0 x f  x  dx  0 x e dx  2 x e 0 
2

2 2x

ln 2
1
3
2ln 2 2  2ln 2  e 2 x
2  ln 2 2  ln 2   .
0
4
4

16

e x  

2 f  x

f  0  2  f  0  1  C 0  f  x  e 2 x .
ln 2

+) Vậy

f  x 

ln 2

ln 2
1 2 x ln 2 1 2 x
0 xe dx 2ln 2  2 xe 0  2 0 e dx
2x

2


f  x

Bài tập 4. Cho hàm số
mãn

f  1 1

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn

 1; 4

thỏa

2

 f  x   xf  x   4 f  x  , x   1; 4

và 
. Tính diện tích S của hình phẳng

y  f  x

giới hạn bởi đồ thị hàm số
A. 4  2ln 2.

, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 4.

B. 4  2ln 2.

C. 4  ln 2.

D. 4  ln 2.

Bài giải tham khảo
Chọn B

 f  x   xf  x  

+) Ta có




f  x   xf  x 
2 xf  x 
xf  x  

+) Lại có

4 f  x  

1
dx 
x

2

S 

2

4 f  x

1 

 f  x   xf  x  



x

4 xf  x 

2

xf  x  2 x  1 

2
f  x 



x1
x

3

tục trên  và thỏa mãn điều kiện
Giá trị của

A.  1.





1
x

 1
xf  x  
x



2

.

4
4
4
4
4 1

dx  4 
  dx 4 x  8 x  ln x 4  2 ln 2.
1
1
1
x x
1

Bài tập 5. (Chu Văn An – Hà Nội 2018 – 2019): Cho hàm số

f  1 0.

2

xf  x  2 x  C.

x1

1

 f  x   xf  x  

 x   f  x   xf  x   1   xf  x     1 
1

x
x
x
2 xf  x 
2 xf  x 

f  1 1  C  1 
4

+) Do đó



2

f  2

f  x

có đạo hàm liên
4

x 6  f  x    27  f  x   1 0, x  

và

bằng

C. 7.

B. 1.

D.  7.

Bài giải tham khảo
Chọn D.
3

4
 f  x  

27
3

x  f  x    27  f  x   1 0  


f
x

f
x

1

      3  2
4
6

x
x
 f  x   1
6

+)Ta có

17

3

4


1 
 

1
   f  x   1 3   2 
x



1

3

1
 2 dx 
x

f  x  1

f  1 0  C 0 
+) Lại có

1
3



f  x  1

1
f  x  1

3



1
 C.
x

1
 f  x   x 3  1  f  2   7.
x

3. Bài tập tương tự (phụ lục)

CHỦ ĐỀ VI

e   u.e

VẬN DỤNG QUY TẮC
u

u

1. Cơ sở lý thuyết
- Nếu

u u  x 

e   u .e .

thì
u

u


e    g  x 
e   g  x  dx.

- Nếu
thì
f x

f x

2. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. Cho hàm số
trị của

f   2

f  x

thỏa mãn

f  1 ln 2

và

f  x  e

f  x

2 x, x  

. Giá

bằng

A. ln 3.

B. 2ln 2.

C. ln 6.

D. ln 5.

Bài giải tham khảo
Chọn D
+) Ta có
+) Lại có

18

f  x  e

f  x



2 x  e

f  x

  2 x  e   2xdx  e   x

f  1 ln 2  C 1  e

f x

f  x

f x

2

C

 x 2  1  f  x  ln  x 2  1  f   2  ln 5.


Bài tập 2. Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1

f  0  1

thỏa mãn

và

1

f  x  .e

2

f  x  x  1

2 x, x   0;1

4

.
A. 3

f  x  dx

. Giá trị của tích phân 0

B. 2.

C.



bằng

4
.
3

D.  2.

Bài giải tham khảo
Chọn A
+) Ta có
f  x  .e f  x   x

 e f  x  e x

2

2

1

1

2





2

2

2 x  f  x  .e f  x  2 xe x 1  e f  x  2 xe x 1  e f  x  2 xe x 1dx
 C.
2

f  0  1  C 0  e f  x e x 1  f  x   x 2  1.

+) Lại có

1

1

1 3
1 4

2
f
x
dx

x

1
dx

x

x





 0 .


3
3


0
0
+) Do vậy

Bài tập 3.(Chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk năm 2018 – 2019): Cho hàm số

3 f  x  e

f 3  x   x2  1

đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện



2x
0, x  
f  x
2

7

và

f  0  1.

Giá trị của tích phân

11
.
2
A.

15
.
4

B.

I  xf  x  dx
0

bằng

45
.
8
C.

9
.
2
D.

Bài giải tham khảo
Chọn C

3 f  x  e

f 3  x   x2  1

+) Ta có
f
 e


3

 x  

19



2 xe x

2

1

 e



2x
f 3 x
2
x 2 1


0

3
f
x
f
x

e

2
xe




f 2  x

f 3 x

2

2 xe x 1dx  e

f 3 x

e x

2

1

 C.

f  x

có

f  0  1  C 0  e

f 3  x

e x

2

7
1

+) Lại có

0

f  x

Bài tập 4. Cho hàm số

f  x   1  e f  x   1  e x , x  

y  f  x

 f  x   3 x 2  1  I  x. 3 x 2  1dx 

45
.
8

f 0 0
có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn  
và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 3.

A. 4.

B. 2.

C. 8.

D. 5.

Bài giải tham khảo
Chọn A
+) Ta có



f  x  1  e

 f  x  e

+) Lại có

f  x

f  x

 1  e

x

 f  x   f  x  e

f x 
1  e x   f  x   e    1  e x

 x  e x  C.

f  0  0  C 0  f  x   e

Xét hàm số

f  x

g  t  t  et

f  x

x  e x .

g  t 1  et  0, t  
g t
với t  .  
nên   đồng biến trên .
3

Suy ra

f  x  e

f  x

1 3
S xdx  x 2 4.
x  e  f  x  x.
2 1
1
Do đó

Bài tập 5. Cho hàm số

 f  x   1 e

f  x

x

f  x

e 2 x , x  .

giới hạn bởi đồ thị hàm số

f 1 2
có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn  

và
Tính thể tích V của khối trịn xoay khi cho hình phẳng

y  f  x

, trục hồnh và hai đường thẳng x 0, x ln 2

quay quanh trục hoành.
8
.
A. 3

8
.
B. 3

C. 4.

D. 4 .

Bài giải tham khảo
Chọn B
+)

Ta

 f  x   1 e
20

f  x

e 2 x   f  x   1 e

f  x  x

f x x 
f x x
e x   e    e x  e   e x  C .



có