Bài giảng Nhập môn xác suất thống kê

NHTHO.WORDPRESS.COM

Bài giảng
Nhập môn xác suất thống kê
TS. NGUYỄN HỮU THỌ

2019-2020

BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

MỞ ĐẦU
Lý thuyết Xác suất Thống kê là một bộ phân của Toán học nghiên cứu các hiện tượng
ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tương
khơng thể nói trước được nó có thể xảy ra hay không khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên,
nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiệ tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta
có thể rút ra những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Lý thuyết Xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu các
phương pháp thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết
định cần thiết.
Lý thuyết Xác suất Thống kê ngày phát triển theo tiến trình phát triển của xã hội, nó đóng
vai trị rất quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực của thế giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ,
đến kinh tế, chính trị, đến sức khỏe, mơi trường,…
Ngày nay, máy tính đã giúp cho việc tính tốn các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở
nên dễ dàng, một khi đã có số liệu đúng đắn và mơ hình hợp lý. Thế nhưng, bản thân máy tính

khơng biết mơ hình nào là hợp lý. Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần phải hiểu được bản chất
của các khái niệm và mơ hình xác suất thống kê, thì mới có thể dùng chúng được. Chính vì vậy,
mặc dù đã được giới thiệu ở bậc học Phổ thông, Lý thuyết Xác suất Thống kê được giảng dạy cho
hầu hết các nhóm ngành ở bậc Đại học.

Giáo trình chính
Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê, Bản dịch (đã chỉnh lý lần thứ nhất) - Tài liệu lưu hành nội
bộ của Trường Đại học Thủy Lợi – (Bản dich từ "Probability and statisics for Engineers and
Scientists" của Walpole. H. Myers, L. Myers)
Thời lượng: 2 tín chỉ (30 tiết LT+BT)
Điểm q trình : 40% bao gồm
+ Điểm chuyên cần
+ Điểm tích cực
+ Điểm kiểm tra giữa kỳ
Điểm kiểm tra cuối kỳ: 60%

1|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY (Syllabus)
TT

Nội dung bài giảng (2 tiết)

Ghi chú

1

Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm quá trình, lịch kiểm tra.
$1 Khái niệm cơ bản về biến cố
+ Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố.
+ Phép tốn và quan hệ các biến có.
+ Đếm các điểm mẫu.

2

$2 Xác suất và quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Định nghĩa xác suất (cổ điển) của một biến cố.
+ Quy tắc cộng, Xác suất có điều kiện, Quy tắc nhân.

3

Bài tập $1 + $2

4

$3 Công thức Bayes và biến ngẫu nhiên.
+ Công thức đầy đủ, công thức Bayess.
+ Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
+ Phân phối xác suất rời rạc: định nghĩa, hàm phân phối tích lũy.
+ Phân phối xác suất liên tục: định nghĩa, hàm phân phối tích lũy.

5

$4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Phân phối nhị thức và siêu bội.
+ Giá trị trung bình (kỳ vọng): định nghĩa, ý nghĩa, định lý.
+ Phương sai: định nghĩa, ý nghĩa, định lý.
+ Phân phối nhị thức.
+ Phân phối siêu bội.

6

Bài tập $3 +$4

7

Kiểm tra giữa kỳ từ $1 - $4

8

$5 Phân phối chuẩn. Một số thống kê mẫu quan trọng.
+ Phân phối chuẩn: khái niệm, phân phối tiêu chuẩn, hướng dẫn tra bảng A3, A4.
+ Các ứng dụng của phân phối chuẩn.
+ Mẫu ngẫu nhiên đơn giản một chiều.
+ Một số thống kê mẫu quan trọng: x , s 2, s, pˆ và hướng dẫn cách tính bằng máy
tính cầm tay.
+ Định nghĩa phân phối của thống kê mẫu; Định lý giới hạn trung tâm, ý nghĩa.

9

$6 Bài toán ước lượng trung bình của một mẫu.
+ Giới thiệu bài toán ước lượng và các phương pháp ước lượng cổ điển.

+ Bài toán ước lượng khoảng.
+ Ước lượng cho một trung bình µ : (3 trường hợp) biết ; chưa biết  và cỡ
mẫu nhỏ; chưa biết  và cỡ mẫu lớn. Ước lượng sai số và cỡ mẫu.

2|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

TT

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Nội dung bài giảng (2 tiết)

2019 -2020

Ghi chú

$7 Bài tốn ước lượng trung bình của hai mẫu và tỷ lệ.
+ Ước lượng cho hiệu hai trung bình µ1 − µ2 : (3 trường hợp) biết σ1, σ2 ; chưa
10

biết σ1, σ2 nhưng σ1 = σ2 và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết σ1, σ2 và cỡ mẫu lớn.
+ Ước lượng cho một tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
+ Ước lượng cho hiệu hai tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.

11

Bài tập $5 + $6 + $7

12

$8 Kiểm định giả thiết về trung bình của một mẫu.
+ Các khái niệm chung: giả thiết thống kê, kiểm định một giả thiết thống kê, mức
ý nghĩa, kiểm định một phía và hai phía.
+ Kiểm định về một trung bình: (3 trường hợp) biết ; chưa biết  và cỡ mẫu
nhỏ; chưa biết  và cỡ mẫu lớn.
$9 Kiểm định giả thiết về trung bình của hai mẫu và tỷ lệ.
+ Kiểm định về hiệu hai trung bình: (3 trường hợp) biết σ1, σ2 ; chưa biết σ1, σ2

13

nhưng σ1 = σ2 và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết σ1, σ2 và cỡ mẫu lớn.
+ Kiểm định về một tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
+ Kiểm định về hiệu hai tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.

14

Bài tập $8 + $9

15

$10 Tổng kết môn học.

3|P a g e

nhtho.wordpress.com

Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 1
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
I. NHẮC LẠI VÀ BỔ XUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Những kiến thức phần này liên quan tới việc đếm các điểm mẫu.

1.Quy tắc cộng. Giải sử một công việc nào có k trường hợp để thực hiện:
Trường hợp 1 có n 1 cách thực hiện
Trường hợp 2 có n2 cách thực hiện …..
Trường hợp k có nk cách thực hiện
Khi đó ta có: n = n1 + n2 + ... + nk cách thực hiện công việc đã cho.
2.Quy tắc nhân.Giải sử một cơng việc nào đó được chia thành k giai đoạn:
Có n 1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất
Có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai…..
Có nk cách thực hiện giai đoạn thứ k
Khi đó ta có: n = n1.n 2 ...nk cách thực hiện cơng việc đã cho.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách lựa chọn bữa ăn gồm có xúp, sandwich, món tráng miệng, và một đồ
uống từ 4 món xúp, 3 kiểu sandwich, 5 món tráng miệng, và 4 đồ uống?
Giải: Do n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 và n4 = 4, có n1n2n3n4 = 4  3  5  4 = 240 cách khác nhau để
chọn bữa ăn.
3. Hoán vị.
a. Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n
phần tử đã cho hoặc gồm đúng n phần tử đã cho.

b. Công thức 1: Số các hoán vị của n phần tử phân biệt là Pn = n ! .

c. Công thức 2: Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được lấy k lần liên tiếp là
n!
(còn gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Ank =
(n − k )!
Ví dụ 2. Một đề tài nhánh của Hội Hóa học Mỹ có bao nhiêu cách bố trí 3 báo cáo viên cho 3 cuộc
họp khác nhau nếu họ đều có thể thu xếp được bất kỳ một trong 5 ngày?
Giải: Tổng số cách bố trí bằng
5!
A53 =
= 60 .
2!
4|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Những hoán vị xuất hiện khi sắp xếp các phần tử theo một vòng tròn được gọi là những hốn
vị vịng quanh.
d. Cơng thức 3: Số những hốn vị của n phần tử phân biệt được sắp xếp theo một vòng tròn là :
(n − 1)! .
Cho đến bây giờ ta đã xét hoán vị của những phần tử phân biệt. Trường hợp có các phần tử gióng

nhau thì sẽ thế nào.
e. Cơng thức 4: Số những hốn vị phân biệt của n phần tử mà trong đó n 1 phần tử thuộc kiểu thứ
nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, ... , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là:
n!
.
n1 ! n 2 ! ⋯ n k !

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách sắp khác nhau để tạo thành một xâu đèn của cây thông Noel có 3 bóng
đèn đỏ, 4 bóng đèn vàng, và 2 bóng đèn xanh với 9 ổ cắm?
Giải: Tổng số sắp xếp phân biệt là
9!
= 1260 .
3! 4 !2!
4. Phân hoạch. Tổ hợp.
Ta thường quan tâm đến số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r tập con được
gọi là các ngăn. Một phân hoạch được hoàn thành khi giao của mọi cặp trong r tập con là tập rỗng
∅ và hợp của tất cả những tập con là tập ban đầu. Thứ tự của các phần tử bên trong một ngăn là
không quan trọng.
a. Công thức 1: Ta phân hoạch một tập gồm n phần tử thành k ngăn sao cho:
có n 1 phần tử trong ngăn thứ nhất,
có n2 phần tử trong ngăn thứ hai,...
có nk phân tử trong ngăn thứ k
Khi đó số cách phân hoạch là:


n
n!


n , n ,..., n  = n ! n ! ⋯n !

 1 2
r
1
2
k
trong đó n1 + n 2 + ... + nk = n .
Ví dụ 4. Có bao nhiêu cách phân cho 7 nhà khoa học vào một buồng ba và hai buồng đôi của một
khách sạn?
Giải: Tổng số phân hoạch có thể có là
 7 
7!


3, 2, 2 = 3! 2! 2! = 210 .


Trong nhiều bài toán ta quan tâm đến số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan
tâm đến thứ tự. Những phép chọn này được gọi là các tổ hợp. Một tổ hợp thực chất là một phân
5|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

hoạch có hai ngăn, một ngăn chứa k đối tượng được chọn còn ngăn kia chứa (n − k ) đối tượng cịn

lại.
b. Cơng thức 2: Số các tổ hợp của n phần tử phân biệt được tạo ra khi lấy k phần tử cùng một lúc
là
n 
n!
 
k
k  = C n = k !(n − k )!
 
Ví dụ 5. Hãy tìm số ủy ban gồm 2 nhà Hóa học và 1 nhà Vật lí mà có thể tạo được từ 4 nhà Hóa học
và 3 nhà Vật lý.
Giả:
4
4!
Số cách chọn 2 trong 4 nhà hóa học là   =
= 6.

2  2! 2!
3
3!
Số cách chọn 1 trong 3 nhà vật lí là   =
= 3.
1  1! 2!
Sử dụng quy tắc nhân với n1 = 6 và n 2 = 3 , ta có thể tạo được: n = n1 .n 2 = (6).(3) = 18 ủy ban
với 2 nhà Hóa học và 1 nhà Vật lí.
c. Chú ý: Ta có
i) Quy ước: 0! = 1
ii) C nk = C nn −k
iii) C nk = C nk−−11 + C nk−1 .
n

5. Nhị thức Newton.

(a + b)n = ∑ C nka n −kb k .
k =0

II. BIẾN CỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

1.Phép thử ngẫu nhiên và khơng gian mẫu.
Ví dụ mở đầu: Khi cho cuộn dây quay đều trong từ trường của một thanh nam châm, kết quả là chắc
chắn xuất hiện dòng điện trong cuộn dây
Đây là một phép thử không ngẫu nhiên.
Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta khơng đốn chắc chắn được kết quả. Chỉ biết được
kết quả là xuất hiện số chấm trong {1,2, 3, 4, 5, 6} .

Đây là một phép thử ngẫu nhiên.
Như vậy: Một phép thử ngẫu nhiên luôn thỏa hai đặc tính:
1. Khơng biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra
2. Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra
6|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Việc dựa trên một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là
một phép thử ngẫu nhiên, ở đây các kết quả của nó khơng dự đốn trước được. Do bài giảng này chỉ
xét các phép thử ngẫu nhiên, nên ta gọi tắt chúng là phép thử.
a. Định nghĩa. Tập hợp tất cả những kết quả có thể của một phép thử thống kê được gọi là không
gian mẫu và được ký hiệu bởi S ( hoặc Ω ).
Mỗi kết quả trong không gian mẫu được gọi là một phần tử của không gian mẫu, hoặc đơn giản là
một điểm mẫu.
b. Cách mô tả không gian mẫu:
+ Khi không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê những phần tử .
+ Khi khơng gian mẫu có vơ hạn phần tử, hoặc các phần tử có thuộc tính chung: ta có thể mơ
tả bằng mệnh đề hoặc quy tắc
+ Ta cũng có thể dùng sơ đồ hình cây.

Ví dụ 6. Khi tung một đồng xu khơng gian mẫu Ω có thể viết là: Ω = {H ,T } , trong đó H và T
tương ứng với “heads” và “tails”, nghĩa là "ngửa" và "sấp".
Ví dụ 7. Khi gieo một con xúc sắc:
+ Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện trên mỗi mặt thi không gian mẫu là:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
+ Nếu ta quan tâm đến mặt chẵn hay lẻ (số chấm xuất hiện trên mặt là chẵn hay lẻ) thì khơng

{

gian mẫu là: Ω = chan,le

}

Ví dụ 8. Khi tung hai đồng xu, với ký hiệu S: sấp còn N: ngửa khi đó khơng gian mẫu là:
Ω = {SS , SN , NN , NS }
Ví dụ 9. Lấy ngẫu nhiên một điểm nằm trong miền hình chữ nhật trên mặt phẳng tọa độ Oxy với
kích thước [0; 3] × [0;2] , khi đó khơng gian mẫu là:

{

}

S = Ω = (x , y ) 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2

Ví dụ 10. Xét phép thử là tung một đồng xu.
+ Nếu xuất hiện mặt sấp xuất thì ta tung đồng xu đó lần thứ hai.
+ Nếu xuất hiện mặt ngửa thì ta tiếp tục tung một con xúc xắc được tung một lần.
Trong trường hợp này ta đi xây dựng sơ đồ cây như hình vẽ để xác định không gian mẫu. Bây giờ,
những con đường khác nhau dọc theo các cành cây đi tới những điểm mẫu khác biệt.

7|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Từ đó ta xác định được khơng gian mẫu là :
Ω = {SS ; NN ; N 1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6} .
c. Cách xây dựng không gian mẫu :
+ Đặt tên cho các phần tử có mặt hoặc các bước hình thành phép thử
+Mô tả điểm mẫu theo các kết quả xảy ra trong phép thử.

2. Biến cố
a. Định nghĩa. Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. Như vậy biến cố của một
phép thử chính là mỗi tập con của khơng gian mẫu.
Ký hiệu biến cố : Dùng các chữ in hoa như A, B,C ,...
Chú ý
 Mỗi điểm mẫu là một biến cố và được gọ là biến cố sơ cấp.


Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu là ∅ .



Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với
chính khơng gian mẫu Ω nên ký hiệu là Ω .

b. Quan hệ giữa các biến cố. Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu Ω .
Khi đó :
• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B , ký hiệu A ⊂ B , nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
• Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B , ký hiệu A = B , nếu A xảy ra thì B xảy ra

và ngược lại.
• Biến cố đối của biến cố A , ký hiệu A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

8|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

• Hợp (tổng) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A ∪ B (hoặc A + B ) là biến cố xảy ra nếu có ít

nhất một biến cố nào đó trong các biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác : A ∪ B là biến cố gồm
các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B .
Định nghĩa hợp của n biến cố cũng được định nghĩa tương tự : A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
• Giao (tích) của hai biến cố A và B , kí hiệu A ∩ B (hoặc AB ) là biến cố xảy ra nếu cả A và

B cùng xảy ra. Nói cách khác A ∩ B là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B .
Nếu A1, A2, …, An là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng,
ký hiệu là A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An .
• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅ .

Ví dụ 11. A là biến cố “ra số chấm chẵn” khi gieo một con xúc xắc , thì A = “ra số chấm lẻ”
Ví dụ 12. Xét biến cố A = {2, 4, 6} , biến cố B = {4, 5, 6} và biến cố C = {1, 2, 4, 6} là những tập
con của cùng không gian mẫu Ω = {1,2, 3, 4, 5, 6} .
Khi đó:
+ Ta có A kéo theo C , tức là A ⊂ C
+ A = {1, 3, 5} , B = {1,2, 3} , A ∩ B = {4, 6} , A ∪ B = {2, 4, 5, 6} .
Ví dụ 13. Xét phép thử : T = gieo một con xúc xắc cân đối và các biến cố :
Ai : "Xuất hiện i chấm",
A : "Xuất hiện chấm chẵn",
B : "Xuất hiện chấm chia hết cho 3".
Khi đó
+ A = A2 ∪ A4 ∪ A6 , B = A3 ∪ A6 .
+ A ∩ B = AB = A6 .
+ Các biến cố : A1, A2 ,..., A6 đơi một xung khắc.

Ví dụ 14. Có ba xạ thủ A, B, C cùng bắn vào một mực tiêu. Gọi :
A là biến cố "xạ thủ A bắn trúng"
B là biến cố "xạ thủ B bắn trúng"
C là biến cố "xạ thủ C bắn trúng"
Khi đó: M = ABC là biến cố "cả ba xạ thủ bắn trúng"
N = ABC là biến cố "cả ba xạ thủ bắn trượt"
P = A ∪ B ∪ C là biến cố "có ít nhất một xạ thủ bắn trúng"
Q = AB ∪ BC ∪ CA là biến cố "có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng"
R = ABC ∪ ABC ∪ ABC là biến cố "có đúng một xạ thủ bắn trúng"
U = AB ∪ BC ∪ CA là biến cố "có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng"
V = ABC là biến cố "chỉ có xạ thủ A bắn trúng".
Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ Ven để biểu diễn quan hệ giữa các biến cố

9|P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

c. Một số hằng đẳng thức.


Tính giao hốn: A ∪ B = B ∪ A, AB = BA



Tính kết hợp: A ∪ B ∪ C = (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ; ABC = (AB )C = A(BC )



Tính phân phối: (A ∪ B )C = (AC ) ∪ (BC ), (AB ) ∪ C = (A ∪ C )(B ∪ C )



A ∪ A = A, AA = A.



A ∪ Ω = Ω, AΩ = A, A ∪ ∅ = A, A∅ = ∅.



A = A.



Luật De Morgan:
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An = A1 A2 ⋯ An

A1A2 ⋯ An = A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
Về nhà:
Tự đọc Chương 1
Bài tập: Mục 2.1+2.2: Tr. 27; Mục 2.3: tr. 37
Đọc trước các Mục 2.4 đến 2.7 chuẩn bị cho Bài số 2: Xác suất. Quy tắc tính xác suất.

10 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 2
XÁC SUẤT . QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

I. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

1. Mở đầu về xác suất.
Việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không trong kết quả của một phép thử là điều khơng thể
biết hoặc đốn trước được. Tuy nhiên bằng những cách khác nhau ta có thể định lượng khả năng xuất
hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến cố. Xác suất của biến cố là con số đặc trưng khả
năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
Dựa vào bản chất của phép thử (đồng khả năng) ta có thể suy luận về khả năng xuất hiện của
biến cố, với cách tieps cận này ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển.
Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử ta có thể tính được tần suất xuất hiện (số
lần xuất hiện) của một biến cố nào đó. Tần suất thể hiện khả năng xuất hiện của biến cố, với cách
tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo thống kê.
Trường hợp ta biểu diễn không gian mẫu và các biến cố bởi các miền hình học có độ đo ta sẽ
có định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học.

2. Xác xuất của của một biến cố

Ta chỉ xét những phép thử mà không gian mẫu có hữu hạn phần tử: chằng hạn xét phép thử
với không gian mẫu
Ω = {s1, s2 ,...sk } .
Khi đó, với mỗi điểm mẫu (biến cố sơ cấp) s i được gán tương ứng với một số thực pi

thỏa mãn

p ∈ 0;1
 ki  
, số thực pi được gọi là xác suất của điểm mẫu (biến cố sơ cấp) s i . Nếu ta có lý do để

∑ p = 1
i
 i =1
tin rằng một điểm mẫu nào đó rất có khả năng xảy ra khi phép thử được tiến hành, xác suất được
gán sẽ gần 1. Mặt khác, một xác suất gần 0 được gán cho một điểm mẫu mà dường như không xuất
hiện. Trong nhiều phép thử, như tung một đồng xu hay một xúc xắc, tất cả những điểm mẫu có cùng
khả năng xuất hiện cũng được gán các xác suất bằng nhau. Đối với những điểm bên ngồi khơng
gian mẫu, tức là đối với các biến cố mà không thể xuất hiện, ta gán cho xác suất bằng 0 .
Ta chú ý rằng, mỗi biến cố là tập con của không gian mẫu Ω , nên một biến cố A của phép
thử là một tập gồm các điểm mẫu (biến cố sơ cấp), mỗi biến số sơ cấp trong A còn gọi là một khả
năng thuận lợi cho A.
a. Định nghĩa. Xét phép thử với không gian mẫu Ω và A biến cố trong phép thử đó. Khi đó xác
suất của biến cố A là tổng xác xuất của tất cả các diểm mẫu trong A , ký hiệu là P (A) .
Từ định nghĩa ta có:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. P (S ) = P (Ω) = 1
3. P (∅) = 0 .
Ví dụ 1. Một đồng xu được tung 2 lần. Xác suất để ít nhất một mặt ngửa xuất hiện là bao nhiêu?
Giải:

11 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

+ Không gian mẫu đối với phép thử này là
Ω = {SS , SN , NS , NN } .
+ Nếu đồng xu cân đối, mỗi kết cục như vậy có thể đồng khả năng xuất hiện. Do đó, ta gán một
1
xác suất w cho mỗi điểm mẫu. Khi ấy 4w = 1 → w = .
4
+ Nếu A biểu thị biến cố ít nhất một mặt ngửa xuất hiện, thì A = {SN , NS , NN }
+ Và P (A) =

1 1 1 3
+ + = .
4 4 4 4

Ví dụ 2. Một con súc sắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp 2 lần khả năng
xuất hiện một chấm lẻ. Gọi E là biến cố số chấm nhỏ hơn 4 xuất hiện trong một lần tung xúc xắc,
hãy tìm P (E ) = ?
Giải:
+ Không gian mẫu là Ω = {1,2, 3, 4, 5, 6} .

+ Ta gán một xác suất w cho mỗi số chấm lẻ và một xác suất 2w cho mỗi số chấm chẵn.
1
+ Do tổng của các xác suất phải bằng 1 nên ta có 9w = 1 → w = .
9
+ Từ đó, các xác suất 1/9 và 2/9 được gán cho mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng.
+ Do đó:
1 2 1
E = {1,2, 3) → P (E ) = + + .
9 9 9
Ví dụ 3. Trong Ví dụ 16 gọi A là biến cố xuất hiện số chấm chẵn và cho B là biến cố xuất hiện số
chấm chia hết cho 3. Hãy tìm P (A ∪ B ) và P (A ∩ B ) .
Giải:
+ Ta có A = {2, 4, 6}, B = {3, 6} , từ đó A ∪ B = {2, 3, 4, 6}, A ∩ B = {6} .

1
2
và mỗi số chấm chẵn , nên ta có
9
9
2 1 2 2 7
2
P (A ∪ B ) = + + + =
và P (A ∩ B ) = .
9 9 9 9 9
9

+ Do xác suất cho mỗi số chấm lẻ là

Trường hợp khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử và các biến cố sơ cấp đồng khả năng.
b. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Giải sử phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó biến cố A có chứa n biến cố sơ cấp
n
đồng khả năng. Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bởi: P (A) = .
N
Các bước tìm xác suất của một biến cố A :
1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu: N
2. Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố A : n
n
3. Từ đó P (A) = .
N

12 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Ví dụ 4. Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ và 3 chiếc chocolate. Nếu một người
chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc kẹo này, hãy tìm xác suất để được
a. Một chiếc bạc hà;
b. Một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate.
Giải: Gọi M ,T và C là các biến cố mà người chọn được, tương ứngmột chiếc bạc hà, kẹo bơ,
hoặc chocolate. Tổng số kẹo bằng 13 và tất cả đều đồng khả năng để chọn.
a. Do 6 trong 13 chiếc là bạc hà, xác suất của biến cố M chọn được ngẫu nhiên một bạc hà là
6

P (M ) = .
13
b. Do 7 trong 13 chiếc kẹo là bơ hoặc chocolate, suy ra
7
P (T ∪ C ) =
.
13
Ví dụ 5. Lấy ngẫu nhiêu 5 cây Tú Lơ Khơ trong bộ 52 cây. Hãy tìm xác suất để trong đó có 2 cây Át
và 3 cây J .
Giải: Gọi C là biến cố “Trong 5 cây có 2 cây Át và 3 cây J ”
 
4!
 4
+ Số cách chia riêng 2 cây từ 4 cây Át bằng:   =
=6
2  2!2!
4
4!

+ Số cách chia riêng 3 cây từ 4 cây J bằng :   =
= 4.

3 3!1!
+ Theo quy tắc nhân ta có n = 6.4 = 24 trường hợp rút ra có 2 Át và 3 cây J .
+ Mà tổng số trường hợp lấy ngẫu nhiên 5 cây bài (tất cả đều đồng khả năng) là
 
52!
52
N =   =
= 2598960 .


 5  5! 47 !
+ Do đó xác suất của biến cố C là:
24
P (C ) =
= 0, 9.10−5.
2598960
Hạn chế của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
1.Nó chỉ xét cho trường hợp khơng gian mẫu có hữu hạn các biến cố
2. Các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu “đồng khả năng”
Tuy nhiên không phải lúc nào không gian mẫu cũng thỏa mãn điều đó.
Trong thực tế, chúng ta thường phải tìm xác suất của những biến cố phức tạp, khi đó ta sẽ cố gắng
biểu diễn biến cố đó theo những biến cố đơn giản và xác suất của một biến cố ban đầu sẽ dễ dàng
hơn nếu ta dựa vào xác suất đã biết của các biến cố đơn giản hơn..
II. CƠNG THỨC CỘNG.
Mục đích: Trong một phép thử, đã biết xác xuất của một số biến cố nào đó ta có thể tính xác xuất
của biến cố hợp của chúng.

13 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

1.Trường hợp các biến cố xung khắc.

Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (tức là A ∩ B = ∅ ) trong một phép thử thì ta có:
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) .
Hệ quả:
i. Nếu A1, A2 ,..., An là các biến cố đôi một xung khắc nhau trong cùng một phép thử thì ta có:
P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + ... + P (An )

ii. Nếu A1, A2 ,..., An là một phân hoạch của khơng gian mẫu Ω , thì:
P( P (A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An ) = P (A1 ) + ... + P (An ) = P (Ω) = 1 .
iii. P (A) = 1 − P (A) .
Ví dụ 6. Có một lơ hành gồm 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại
từ lơ hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để khơng có q 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra.
Giải: Gọi
A là biến cố “khơng có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”
B là biến cố “có đúng 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”
C là biến cố “khơng có q 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”
+ Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc
C6
2
+ Xác suất của biến cố A là: P (A) = 68 =
15
C 10
+ Xác suất của biến cố B là: P (B ) =

C 21.C 85
C

6
10

=

8
15

+ Nhận thấy: C = A ∪ B do đó: P (C ) = P (A) + P (B ) =
2. Trường hợp tổng quát.

14 | P a g e

2
.
3

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Nếu A và B là hai biến cố tùy ý trong một phép thử thì ta có
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) .
Với 3 biến cố A, B,C ta có:
P (A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B ) + P (C ) − P (A ∩ B ) – P (B ∩ C ) – P (C ∩ A) + P (ABC ).

Tương tự ta có thể nhận được cơng thức cộng xác suất trong trường hợp số biến cố tùy ý.
Ví dụ 7. Xác suất để Hồng thi đỗ mơn tốn là 2/3 và xác suất để cô ta thi đỗ môn tiếng Anh là 4/9.

Giả thiết rằng xác xuất để thi đỗ cả 2 mơn là 1/4. Tìm xác suất để
a) Hồng thi đỗ ít nhất một mơn.
b) Hồng khơng đỗ mơn nào
c) Hồng thi trượt ít nhật một mơn
d) Hồng thi đỗ đúng một môn
Giải: Gọi:
M là biến cố “thi đỗ mơn Tốn”,
E là biến cố “thi đỗ mơn Tiếng Anh” , khi đó ME là biến cố “thi đỗ cả hai mơn”
A là biến cố “thi đỗ ít nhất một mơn”, khi đó A = M ∪ E
B là biến cố “khơng đỗ mơn nào”, khi đó B = M .E = A
C là biến cố “trượt ít nhất một mơn”, khi đó C = M ∪ E
D là biến cố “đỗ đúng một mơn”, khi đó D = M .E ∪ M .E
2
4
1
Theo giả thiết ta có: P (M ) = , P (E ) = , P (ME ) =
3
9
4
Do đó:
2 4 1
31
.
P (A) = P (M ∪ E ) = P (M ) + P (E ) − P (ME ) = + − =
3 9 4 36
5
P (B ) = P (M .E ) = P (A) = 1 − P (A) =
36
3
P (C ) = P (M ∪ E ) = 1 − P (ME ) =

4
11
Để ý rằng: A = D ∪ ME hơn nữa D ∩ (ME ) = ∅ nên P (D ) = P (A) − P (ME ) =
18
III. XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT.
1. Xác suất có điều kiện.
a. Định nghĩa: Xác suất của biến cố B được tính khi biết biến cố A nào đó đã xảy ra được gọi là
xác suất có điều kiện và được ký hiệu là P (B | A) . Ký hiệu P (B | A) thường được đọc là “ xác
suất để B xảy ra với điều kiện A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A ”.
Ví dụ 8. Một con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp hai lần khả
năng xuất hiện một chấm lẻ. Xét biến cố B nhận được số chính phương khi gieo một con xúc xắc
đó.

15 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Từ không gian mẫu Ω = {1,2, 3, 4, 5, 6} , với xác suất xuất hiện mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng

1
2
1
và , do đó xác suất để B xảy ra là .

9
9
3
Bây giờ ta chỉ xét biến cố B trong phép tung con xúc sắc với số chấm xuất hiện lớn hơn 3.
Lúc này ta xét không gian mẫu thu gọn A = {4, 5, 6} là tập con của Ω . Ta cần tính xác suất của
biến cố B liên quan đến khơng gian mẫu A .
+ Trước hết ta phải tính xác suất mới cho các phần tử của A . Khi gán xác suất w cho chấm lẻ
1
trong A và xác suất 2w cho hai chấm chẵn, ta có 5w = 1 → w = .
5
+ Trong không gian A , ta thấy B chỉ chứa phần tử 4. Ký hiệu biến cố này bởi B | A , khi đó
là

2
.
5
Chú ý: Như vậy các biến cố có thể có xác suất khác nhau khi được xét trong các không gian mẫu
khác nhau.
B | A = {4} → P (B | A) =

b. Cơng thức.
Xác suất có điều kiện của B với điều kiện A , ký hiệu P (B | A) , được xác định như sau:
P (B | A) =

P (A ∩ B )
nếu P (A) > 0 .
P (A)

Ví dụ 9. (xét lại Ví dụ 8) Một con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn
gấp hai lần khả năng xuất hiện một chấm lẻ. Với biến cố A = {4, 5, 6} , xét biến cố B nhận được số

chính phương khi gieo một con xúc sắc.
Ta có khơng gian mẫu Ω = {1,2,3,4, 5, 6} , với xác suất xuất hiện mỗi số chấm chẵn và lẻ
tương ứng là

1
2
và .
9
9

2 1 2 5
2
+ + = , hơn nữa A ∩ B = {4} suy ra P (A ∩ B ) = .
9 9 9 9
9
Khi đó theo cơng thức trên ta có:
2
P (A ∩ B )
2
P (B A) =
= 9 = .
P (A)
5
5
9
Dễ thấy : P (A) =

Ví dụ 10. Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là P (D ) = 0, 83 , xác suất để nó đến
đúng giờ là P (A) = 0, 82 , xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là P (D ∩ A) = 0, 78 . Tính
xác suất để một chiếc máy bay:

a) Đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ;
b) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến đúng giờ.
c) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành khơng đúng giờ
Giải:
a) Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ là:

16 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

P (A | D ) =

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

P (D ∩ A) 0, 78
=
= 0, 94
P (D )
0, 83

b) Xác suất để một máy bay khởi hành đúng giờ biết rằng nó đã đến đúng giờ là:
P (D ∩ A) 0, 78
P (D | A) =
=
= 0, 95

P (A)
0, 82
c) Xác suất để máy bay đến đúng giờ khi nóp khởi hành không đúng giờ là:
P (A ∩ D ) 0, 82 − 0, 78
P (A | D ) =
=
= 0, 24
P (D )
0,17
c. Sự độc lập và phụ thuộc của các biến cố. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu
sự xuất hiện của B khơng có tác động gì đến khả năng xuất hiện của A . Ở đây sự xuất hiện của A
là độc lập với sự xuất hiện của B .
Định nghĩa: Hai biến cố A và B trong một phép thử được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi
P (B | A) = P (B ) hoặc P (A | B ) = P (A) .
Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B phụ thuộc nhau.
Điều kiện P (B | A) = P (B ) kéo theo P (A | B ) = P (A) và ngược lại.
Đối với phép thử là rút con bài ở trên , chúng ta đã chỉ ra rằng P (A | B ) = P (A) = 1 / 4 .
Chúng ta cũng có thể thấy rằng P (A | B ) = P (A) = 1 / 13 .
2.Cơng thức nhân xác suất.
Từ cơng thức xác suất có điều kiện ta nhận được quy tắc nhân quan trọng sau, nó cho phép ta tính
xác suất để hai biến cố cùng xảy ra.
Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì
P (A ∩ B ) = P (A)P (B A) = P (B )P (A B )
Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi
P (A ∩ B ) = P (A).P (B ).
Tổng quát:
Nếu trong một phép thử, các biến cố A1,..., An có thể xảy ra thì:
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ).P (A2 | A1 )...P (Ak | A1A2 ...Ak −1 ).

Nếu các biến cố A1,..., An độc lập thì: P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ).P (A2 )...P (An ).

Ví dụ 11. Giả sử ta có một hộp chứa 20 chiếc cầu chì, trong đó có 5 chiếc bị hỏng. Nếu lấy ngẫu
nhiên lần lượt 2 chiếc theo phương thức khơng hồn lại, thì xác suất để cả hai chiếc đều bị hỏng bằng
bao nhiêu?
Giải: Gọi
A là biến cố “chiếc cầu chì thứ nhất bị hỏng”

17 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

B là biến cố “chiếc cầu chì thứ hai bị hỏng”
Khi đó A ∩ B là biến cố A xảy ra và sau đó B cũng xảy ra, B | A là biến cố chiếc cầu chì thứ hai
lấy ra là hỏng khi đã lấy được chiếc thứ nhất là hỏng.
1
Xác suất để lần lấy thứ nhất được chiếc cầu chì hỏng là P (A) = .
4
Tiếp theo, xác suất để lấy được một cầu chì hỏng thứ hai từ bốn chiếc còn lại là:
4
P (B | A) =
.
19
Do đó xác suất để lấy được (theo thứ tự) cả hai chiếc cầu chì hỏng là:
 1  4 

1
P (AB ) = P (A)P (B | A) =     =
.
 4 19  19
Ví dụ 12. Một thị trấn nhỏ có một chiếc xe cứu hỏa và một chiếc xe cấp cứu sẵn sàng dùng cho
những trường hợp khẩn cấp. Xác suất để chiếc xe cứu hỏa sẵn có để dùng cho những trường hợp
khẩn cấp là 0,98 và xác suất để chiếc xe cấp cứu khi được gọi là 0,92. Có một người bị thương do
một tịa nhà đang cháy, tìm xác suất để cả chiếc xe cấp cứu và cứu hỏa đều sẵn sàng có thể dùng.
Giải: Gọi A và B lần lượt là biến cố chiếc máy cứu hỏa và chiếc xe cấp cứu sẵn có để dùng,
khi đó A ∩ B la biến cố cả hai xe đều sẵn sàng làm nhiệm vụ.
Nhận thấy: A và B là hai biến cố độc lập do đó ta có:
P (AB ) = P (A).P (B ) = 0, 98.0, 92 = 0, 9016.
Ví dụ 13. Lấy liên tiếp 3 con bài từ một bộ bài theo phương thức khơng hồn lại. Tìm xác suất để
biến cố A1 ∩ A2 ∩ A3 xảy ra , trong đó A1 là biến cố con bài thứ nhất là Át đỏ, A2 là biến cố con bài
thứ hai là 10 hoặc J , còn A3 là biến cố con bài thứ ba có số lớn hơn 3 nhưng bé hơn 7.
Giải: Ta có các biến cố
A1 : biến cố con bài thứ nhất là át đỏ,
A2 : biến cố con bài thứ hai là 10 hoặc J,
A3 : biến cố con bài thứ ba có số lớn hơn 3 nhưng bé hơn 7.

Khi đó:

P (A1 ) =
và ta có:

2
,
52

P (A2 | A1 ) =

8
,
51

P (A3 | A1A2 ) =

P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1A2 ) =

12
,
50

2 8 12
8
. . =
.
52 51 50 5525

Ví dụ 14. Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen. Hộp thứ hai có 8 bi trắng và 4 bi đen. Từ mỗi hộp
lấy ra một viên bi. Tìm xác suất để:
a) Cả 2 viên bi lấy ra đều trắng
b) Một viên lấy ra là trắng, còn một viên là đen.
Giải: Gọi
T là biến cố “cả 2 viên bi lấy ra là trắng”
Ti là biến cố lấy được bi trắng từ hộp thứ i, i = 1, 2

18 | P a g e

nhtho.wordpress.com

Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Di là biến cố lấy được bi đen từ hộp thứ i, i = 1, 2.

A là biến cố một viên bi lấy ra là trắng còn một viên là đen
Khi đó: T1, T2 , D1, D2 là các biến cố đôi một độc lập; T1D2 , T2D1 cũng là hai biến cố độc lập.
Ta có T = T1 ∩ T2 , A = T1D2 ∪ T2D1

1
2
P (T1 ) = , P (T2 ) = ,
6
3
5
1
P (D1 ) = 1 − P (T1 ) = , P (D2 ) = 1 − P (T2 ) =
6
3
a) Xác suất để cả 2 bi lấy ra đều trắng là:
1
P (T ) = P (TT
) = P (T1 )P (T2 ) = .
1 2
9

b) Xác suất để một viên lấy ra là trắng còn một viên là đen
P (A) = P (T1D2 ) + P (T2D1 = P (T1 )P (D2 ) + P (T2 )P (D1 ) =

11
.
18

Về nhà:
Bài tập: Tr. 44, 53, 60
Đọc trước các Mục 2.8; 3.1 đến 3.3 chuẩn bị cho Bài số 3:
Quy tắc Bayes. Biến ngẫu nhiên

19 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 3
CÔNG THỨC BAYES. BIẾN NGẪU NHIÊN

I.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES.
1. Cơng thức xác suất đầy đủ.
Nếu các biến cố B1, B2 ,..., Bk là một phân hoạch của không gian mẫu Ω (tức B1, B2 ,..., Bk là
nhóm các biến cố đầy đủ đơi một xung khắc), trong đó P (Bi ) ≠ 0 với mọi i = 1,2,..., k thì với

biến cố A bất kì của Ω ta có:
k

k

i =1

i =1

P(A) = P (A) = ∑ P (Bi ∩ A) = ∑ P (Bi )P (A | Bi ).

B2
B3

B1

B4

A
Bn
Bk

Phân hoạch khơng gian mẫu Ω

Ví dụ 1. Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm
tương ứng. Theo phép thử trước đây biết tỷ lệ phế phẩm được tạo bởi mỗi máy tương ứng là 2%, 3%
và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để nó là phế phẩm.
Giải: Xét các biến cố sau:
A : sản phẩm được chọn là phế phẩm
B1 : sản phẩm được làm bởi máy B1: P (B1 ) = 0, 3

B2 : sản phẩm được làm bởi máy B2: P (B2 ) = 0, 45
B3 : sản phẩm được làm bởi máy B3: P (B3 ) = 0, 25

+ Khi đó: B1, B2 , B3 là họ các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc
+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
P (A) = P (B1 ) P (A | B1 ) + P (B2 ) P (A | B2 ) + P (B3 ) P (A | B3 )
20 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

+ Ta lại có:

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

P (B1 ) P (A | B1 ) = 0, 3. 0, 02 = 0, 006

P (B2 ) P (A | B2 ) = 0, 45.0, 03 = 0, 0135
P (B3 ) P (A | B3 ) = 0,25.0, 02 = 0, 005.

+ Do đó

P (A) = 0, 006 + 0, 0135 + 0, 005 = 0, 0245.

2. Công thức Bayes.
Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702

– 1761), là cơng thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện P (B | A) khi biết xác suất có điều
kiện P (A | B ) và một số thông tin khác.
a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác
không, khi đó ta ln có:
P (A | B )P (B )
P (B | A) =
.
P (A)
Công thức trên là hệ quả trực tiếp từ công thức nhân xác suất:
P (A ∩ B ) = P (B | A).P (A) = P (A | B ).P (B ).
Công thức Bayes rất đơn giản nhưng nó có ý nghĩa rất sâu xa. Một trong những lỗi mà rất nhiều
người mắc phải là lẫn lộn giữa P (A | B ) và P (B | A) , coi hai con số đó như là bằng nhau. Nhưng
Công thức Bayes cho thấy hai con số đó có thể chênh lệch nhau rất nhiều nếu như P (A) và P (B )
chênh nhau rất nhiều.
Kết hợp công thức trên với công thức xác suất đầy đủ cho P (A) ta nhận được:

21 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Định lý (Công thức Bayes tổng quát).
Nếu các biến cố B1, B2 ,..., Bk là một phân hoạch của khơng gian mẫu trong đó
P (Bi ) ≠ 0, i = 1,2,..., k , thì với biến cố A ∈ Ω mà P (A) ≠ 0 ta có:

P(B r |A) = P (Br | A) =

P (Br ∩ A)
k

∑ P(B
i =1

i

∩ A)

=

P (Br )P (A | Br )
k

, với r = 1,2,..., k .

∑ P (B )P (A | B )
i =1

i

i

Ví dụ 2. Quay về Ví dụ 15, nếu chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để
sản phẩm đó thuộc máy B3 bằng bao nhiêu?
Giải: + Sử dụng Công thức Bayes ta có

P (B3 | A) =

P (B3 )P (A | B3 )

P (B1 )P (A | B1 ) + P (B2 )P (A | B2 ) + P (B3 )P (A | B3 )
+T hay các xác suất đã được tính trong Ví dụ 10 ta có
0, 005
10
= .
P(B3|A) = P(B3 | A) =
0, 006 + 0, 0135 + 0, 005 49
Kết quả này cho ta thấy nếu sản phẩm bị lỗi được chọn thì chắc nó khơng được làm bởi máy B3 .
Ii. BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU
Ví dụ 1: Xét quá trình kiểm tra ba bộ phận điện tử, N chỉ “ bộ phận khơng có lỗi ”, D chỉ “
bộ phận có lỗi ” . Khi đó khơng gian mẫu của phép thử đó là:
Ω = {NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DND, DDN , DDD }
Nếu ta quan tâm tới số bộ phận có lỗi trong ba bộ phận được kiểm tra, thì mỗi điểm mẫu trong
không gian mẫu sẽ xác định một giá trị (duy nhất) trong các số: 0, 1, 2, 3.
Như vậy, trong mỗi phép thử ngẫu nhiên, việc số hóa các điểm mẫu (quy tắc cho tương ứng mỗi
điểm mẫu với một số thực) sẽ cho ta gặp nhiều thuận lợi trong việc mô tả, thống kê và đánh giá
chúng. Và từ đó khái niệm biến ngẫu nhiên ra đời.
1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu
với duy nhất một số thực.
Ký hiệu: Dùng chữ in hoa, ví dụ X , để kí hiệu một biến ngẫu nhiên và chữ thường tương ứng x
để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên X.
Số thực x mà tồn tại điểm mẫu s sao cho X (s ) = x được gọi là một giá trị mà X có thể
nhận. Tập tất cả các giá trị mà X có thể nhận được gọi là tập giá trị của X .
Trong ví dụ kiểm tra các bộ phận điện tử ở trên, ta chú ý rằng biến ngẫu nhiên X có giá trị 2 đối với
tất cả các phần tử trong tập con:

E = { DDN, DND, NDD }
của không gian mẫu S, tức là mỗi giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X chỉ một biến cố, nó là tập
con của không gian mẫu đối với phép thử đã cho.
Ví dụ 2. Các đại lượng sau là biến ngẫu nhiên
+ Số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc
22 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

+ Tuổi thọ của một thiết bị đang hoạt động
+ Số khách hàng có mặt tại một siêu thị trong một đơn vị thời gian
Ví dụ 3. Hai quả bóng được lấy lần lượt theo phương thức khơng hồn lại từ một bình chứa 4 quả
bóng đỏ ( R ) và 3 quả bóng đen ( B ) . Gọi Y là số bóng màu đỏ, khi đó các giá trị y của biến ngẫu
nhiên Y là:
Không gian mẫu
Y (si )
s1 : RR

2

s2 : RB

1

s 3 : BR

1

s 4 : BB

0

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên Y là {0;1;2} .
2. Phân loại biến ngẫu nhiên
Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành
hai loại:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm
được.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp
đầy một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số.
Ví dụ 4.
+ Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc; sô học sinh vắng mặt trong buổi học : là các biến
ngẫu nhiên rời rạc
+ Nhiệt độ không khí tại mỗi thời điểm nào đó; qng đường mà một chiếc ơ tơ đi được với 5
lít xăng: là các biến ngẫu nhiên liên tục.
IIi. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU
Xét phép thử gieo một đồng xu ba lần và phép thử gieo một con xúc sắc ba lần.
Gọi X : = số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu 3 lần,
Y : = số lần ra 1 chấm khi gieo một con xúc sắc 3 lần.
Nhận xét: + Tập giá trị có thể của X ,Y trùng nhau và bằng: {0,1,2, 3} .
+ Tuy nhiên P {X = i} ≠ P {Y = i} .
Như vậy chỉ biết tập các giá trị có thể của một biến ngẫu nhiên là chưa đủ để xác định nó. Vì vậy, đối
với một biến ngẫu nhiên ta cần biết xác suất để nó nhận giá trị bất kỳ, hay nhận giá trị trong một

khoảng bất kỳ. Một hình thức cho phép làm điều đó được gọi là quy luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên. Từ đó, khi ta biết quy luật phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên thì ta sẽ nắm
được tồn bộ thơng tin về biến ngẫu nhiên này.
Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá x là X = x và xác suất để X nhận giá trị x là P (X = x ) .
1. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc.

23 | P a g e

nhtho.wordpress.com


Bài giảng Nhập môn xác suất Thống kê

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận mỗi giá trị của nó với một xác suất nhất định. Trong trường
hợp tung đồng xu 3 lần, biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện mặt ngửa nhận giá trị 2 với xác suất
3/8 vì 3 trong 8 điểm mẫu đồng khả năng có kết quả là 2 ngửa, 1 sấp.
Đặt: f (x ) = P (X = x ) , khi đó f (x ) chính là hàm của các giá trị của X
a.Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x 1, x 2 , x 3 ,...} Hàm số thực f (x ) xác định trên ℝ
được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. f (x ) ≥ 0 với mọi x trong tập giá trị của X
2.

∑ f (x ) = 1
i

xi

3. f (x i ) = P (X = x i ) .
Khi xét biến ngẫu nhiên rời rạc và có tập giá trị hữu hạn thì hàm phân phối xác suất hoàn
toàn xác định bởi bảng phân phối xác suất. Bảng phân phối xác xuất gồm hai hàng:
+ Hàng thứ nhất liệt kê các giá trị có thể x 1, x 2 ,..., x n của biến ngẫu nhiên X .
+ Hàng thứ hai liệt kê các xác xuất tương ứng p1, p2 ,..., pn
x

x1

x2

…

xn

P (X = x 1 )

p1

p2

…

pn

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị hữu hạn

{x , x ,..., x }

1

2

n

thì các biến cố

{X = x }, {X = x },..., {X = x } sẽ lập thành một nhóm biến cố đầy đủ xung khắc từng đơi một.
1

2

n

Do đó:
n

∑p
i =1

i

= 1.

Ví dụ 5. Một kiện hàng gồm 8 chiếc máy vi tính giống nhau trong đó có 3 chiếc bị lỗi. Một trường
học mua ngẫu nhiên 2 trong những chiếc máy vi tính này, tìm phân phối xác suất của số chiếc bị lỗi.
Giải:
+ Gọi X là biến ngẫu nhiên mà các giá trị X của nó là số máy vi tính bị lỗi trường học đó mua.
+ Khi đó tập giá trị của X là {0,1, 2}

24 | P a g e

f (0) = P (X = 0) =

C 30C 52

f (1) = P (X = 1) =

C 31C 51

f (2) = P (X = 2) =

C 32C 50

C
C
C

2
8

2
8

2
8

=

10
,
28

=

15
,
28

=

3
.
28

nhtho.wordpress.com