Bài giảng Toán dành cho các nhà kinh tế

Bài giảng tóm tắt mơn
Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bộ mơn Tốn học – Trường Đại học Thủy Lợi


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài số 1
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
I.

MA TRẬN
1. Các định nghĩa

Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và cột. Ma trận có m dịng và n cột
được gọi là ma trận cấp mn.
 a11 a12
a
a22
A   21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n 
.
... ... 


... amn 

Dùng những chữ cái A, B, C ,...để đặt tên cho ma trận. Kí hiệu A  (aij ) mxn .
aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j.

Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu
a. chúng cùng cấp
b. các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau

 aij   bij   aij  bij
mxn
mxn

Ma trận-khơng O là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
Ma trận đối: là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của phần
tử tương ứng của ma trận A . Kí hiệu  A .

2. Các dạng ma trận
a) Ma trận vuông
Ma trận cỡ nn được gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử aii (i =
1,...,n) lập nên đường chéo chính của nó.
Các phần tử an1 , an12 ,... (i = 1,...,n) lập nên đường chéo phụ của nó.

b) Ma trận tam giác trên

1|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

 a11 a12
0 a
22
A
 ... ...

0
0

... a1n 
... a2 n 

... ... 

... ann 

 a11 0
a
a22
A   21
 ... ...

 an1 an 2

...

c) Ma trận tam giác dưới.

0
... 0 

... ... 

... ann 

d) Ma trận đường chéo
 a11 0
0 a
22
A
 ... ...

0
0

...
...

0
0

... ... 

... ann 

e) Ma trận đơn vị
1
0

A
...

0

0 ... 0 
1 ... 0 

... ... ...

0 ... 1 

f) Ma trận chuyển vị.
Chuyển các dòng của ma trận A thành các cột với thứ tự tương ứng ta được
ma trận chuyển vị. Kí hiệu AT . A  (aij ) mxn  AT  (a ji ) nxm

3. Các phép toán về ma trận
a) Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A  (aij ) mxn , c  ℝ thì cA  (c aij ) mxn

1 3
Ví dụ A   2 4  Tính 2A.


 0 0 
b) Phép cộng ma trận
2|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Nếu A  (aij ) mxn , B  (bij ) mxn , thì A  B  ( aij  bij ) mxn .
 3 4 2 
 9 8 0 
Ví dụ A  
; B

 . Tính A  B .
 5 6 1 
12 1 4 

c) Phép nhân 2 ma trận.
Định nghĩa
Giả sử A là ma trận cấp m  n , B là ma trận cấp n  p . Khi đó ma trận tích

C  AB là một ma trận cấp m  p được tính bởi
C   Ab1

Ab2 ... Abp 

Trong đó bi là cột thứ i của ma trận B .
 3 2 
 2 1 3
Ví dụ Cho ma trận A  
, B   2 4  . Tính AB, BA .




 4 1 6
1 3 

Chú ý.
1)

Ma trận C  AB có phần tử hàng i cột j là
cij  (hàng i của A ).(cột j của B )

1 2
2 3
Ví dụ: Cho A  
, B   4 5  . Tính AB, BA



1 4
 3 6 

2)

Điều kiện để ma trận A nhân được với ma trận B là số cột của A
bằng số dòng của B .
p

Cho Am p , B pn ta có Am p B pn  Cmn với cij   aik bkj
k 1

3)

Nói chung AB  BA .

4)

AB  O không suy ra A  O hoặc B  O .

Các tính chất cơ bản của phép nhân
Tính kết hợp ( AB)C  A( BC ) .
Tính phân phối A( B  C )  AB  AC
3|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

 ( AB )  ( A) B  A( B ) .
Nhân với ma trận đơn vị AI  IA  A
Chuyển vị: ( AB )T  BT AT

Ví dụ:
1 2 
1 2 1 
Tính: a, 
0 1



 3 1 0  


2
1


2
b,   3 1
 2

2
c, 3 1   .
 2 

Chú ý: AB  BA .
d) Những tính chất của phép tốn ma trận
Với những ma trận bất kỳ A, B, C và những số thực bất kỳ x, y ta có
1.

A B  B  A

2.

( A  B)  C  A  ( B  C )

3.

AO  A

4.

A  ( A)  O

5.

1.A  A

6.

x( A  B)  xA  xB

7.

(x  y) A  xA  yA

8.

( xy ) A  x ( yA)

9.

( A  B )C  AB  BC

10.

( AB )T  BT AT

11.

AI  A ; IB  B

Nếu A là ma trận vng thì + AI  IA  A .

+ An  A. A... A .

4. Ma trận con
Cho ma trận Amxn . Ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao
của k dòng, k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A .

4|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Giả sử A là ma trận vng cấp n có các phần tử là aij . Bỏ đi hàng i và cột j
của A , được ma trận vuông cấp (n-1), ký hiệu là M ij .

II.

ĐỊNH THỨC.

1.

Định nghĩa

Định thức của A là một số thực đại diện cho ma trận A , kí hiệu là det A
hoặc A , được xác định như sau:


Với A cấp 1; A   a11  det A  a11 .



a 
a
Với A cấp 2: A   11 12  det A  a11 det M 11  a12 det M 12 .
 a21 a22 



Với A cấp n:
det A  a11 det M 11  a12 det M 12  ...  ( 1) n 1 a1n det M 1n

a11 , a12 ,..., a1n là các phần tử trên dòng 1 của A .

Ví dụ. Tính các định thức sau

a.

1 2
A

 1 2 

2.

Các tính chất

0 1 2
b, A  1 0 3



 3 3 4

a) det A  det AT .
b) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột hoặc hai hàng.
c) Nếu hai hàng (hai cột) của A giống nhau, thì det A  0 .
d) Gọi Aij  (1)i  j det M ij là phần bù đại số của aij khi đó:
Định thức của A được khai triển theo hàng i

det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain
Định thức của A được khai triển theo cột j

det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj .
5|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

e)

Tốn dành cho các nhà kinh tế

a11  a11' a12  a '12
a21

a22



a11

a12

a21 a22



a '11 a '12
a21

a22

.

f) Thừa số chung của 1 hàng (cột) có thể đưa ra ngoài:
ca11 ca12
a
a
 c 11 12 .
a21 a22
a21 a22

Chú ý. Với ma trận vng A cấp n thì det(tA)  t n det A .
g) A có 1 hàng (cột) gồm tồn số 0 thì det A  0
h) A có 2 hàng (cột) tỉ lệ thì det A  0 .
i)

det A không đổi khi trừ một hàng của A đi một bội của hàng khác
của A .

j) Nếu A là ma trận tam giác thì det A = tích các phần tử trên đường
chéo.

k)

det AB  det A.det B
det An  (det A) n

Ví dụ Tính det A 

1
3

A,B là ma trận vuông cùng cấp.

1
1

2
5

2
1

2 5 0 0
2 1 3 1

Chú ý: Khi tính tốn chọn hàng nào có nhiều số 0 nhất để khai triển.
a x x
Ví dụ Tính det A  x a x

x x a
0 1 2
Ví dụ Cho A  1 0 3 . Tính det A


 3 3 4

6|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài số 2
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
I.
1.

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa

Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B sao cho
AB  BA  I . Khi đó ta gọi B là ma trận nghịch đảo của A .
Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất. Ký hiệu ma
trận nghịch đảo của A là A1 .

2.

Ma trận phụ hợp

Định nghĩa Giả sử A là ma trận vuông cấp n, A  (aij ) . Ký hiệu Aij là phần
phụ đại số của aij . Ma trận phụ hợp của A là
 A11
A
*
A   12
 ...

 A1n

A21 ...
A22
...
...

Định lí Nếu A khả nghịch thì A1 

An1 
... An 2 

... ... 

... Ann 

1
A* .
det A

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

3.

a.

a b 
A

c d 

b.

2 1 4
A   1 3 3


 3 2 1

Tìm A1 bằng phương pháp biến đổi ma trận.

Ý tưởng: sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận  A I  biến đổi
thành ma trận  I B  , khi đó B  A1.

7|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

2 5 1
Ví dụ Tìm A với A  1 0 2  .


1 3 4 
1

Chú ý: Để biến đổi  A I    I

A1  ta dùng đường chéo chính chia ma

trận A thành 2 phần
Phần dưới đường chéo khử “Từ trên xuống dưới, từ trái sang phải”.
Phần trên đường chéo khử “Từ dưới lên trên, từ phải sang trái”.

4.

Các tính chất của ma trận nghịch đảo

a.

Nếu A, B là hai ma trận nn khả nghịch, thì ( AB) 1  B 1 A1

b.

Nếu A là ma trận nn khả nghịch, thì ( A1 ) 1  A
det A1 

1
det A

0 1 3
Ví dụ Cho ma trận A  1 0 1  . Tính det A1 .


 2 1 0 

II.

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.

Khi A khả nghịch, hệ AX  B có nghiệm duy nhất là X  A1B .
 3 2
2 0 4
Ví dụ: Giải hệ AX  B , với: A  
, B


 1 1 
 3 1 5 

III.

8|P a g e

GIỚI THIỆU MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CƠ BẢN


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài số 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
I.

CÁC KHÁI NIỆM

1. Hệ phương trình tuyến tính tổng qt
Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

...................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

(1.1)

Trong đó các aij , bi là các số thực, xi là các ẩn.

2. Ma trận hệ số và ma trận mở rộng
 a11 a12
a
a22
Đặt A   21
 ... ...


 am1 am 2

... a1n 
... a2 n 
  ( a ) gọi là ma trận hệ số của hệ phương
ij
... ... 

... amn 

trình.
 b1 
 x1 
b 
x 
2

B
gọi là ma trận hệ số tự do, X   2  là nghiệm của hệ phương
⋮
⋮
 
 
bm 
 xn 
trình.
Khi đó hệ phương trình có dạng AX  B .
Gọi A1 , A2 ,..., An là các cột của ma trận A. Khi đó hệ phương trình có dạng:
x1 A1  x2 A2  ...  xn An  B

9|P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

 a11 a12

a
a22
Đặt A   A B    21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n b1 

... a2 n b2 
. A được gọi là ma trận mở rộng
... ... ... 

... amn bm 

của hệ phương trình tuyến tính (1.1).

Ví dụ:
2 x1  x3  1

1. Cho hệ phương trình  x1  2 x2  3x3  3 Xác định ma trận hệ số và

2 x  x  x  4
 1 2 3
ma trận mở rộng của hệ phương trình.
 3 4 5 2 1 
2. Cho ma trận mở rộng A  
 , khôi phục hệ.
2
1
3

2
0



3. Hệ tương đương.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm. Phép biến đổi một hệ phương trình thành một hệ mới tương đương
gọi là phép biến đổi tương đương.

4. Các phép biến đổi sơ cấp
a) Đổi chỗ hai phương trình của hệ
b) Nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0.
c) Lấy một phương trình cộng (trừ) với bội của một phương trình khác
trong hệ.
Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.

5. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Cho hệ phương trình AX  B
+ Nếu r ( A)  r ( A)  r hệ có nghiệm, r  n hệ có nghiệm duy nhất.

+ r ( A)  r ( A) hệ vô nghiệm.

10 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Hệ tam giác
Hệ phương trình dạng tam giác là hệ có dạng như sau:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a22 x2  ...  a2 n xn  b2


...................................

ann xn  bn

(1.2)

Trong đó aii  0 .
Cách giải hệ dạng tam giác: Sử dụng phép thế ngược từ dưới lên. Hệ tam
giác có nghiệm duy nhất.
2 x1  x2  x3  5

Ví dụ. Giải hệ 
 x2  3x3  1 .


 7 x3  7


2. Hệ dạng bậc thang
Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có dạng
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a22 x2  ...  a2 n xn  b2


...................................

amm xm  ...  amn xn  bm

(1.3)

m biến đầu là biến trụ. Những biến còn lại được gọi là biến tự do.
Hệ bậc thang có vơ số nghiệm.

Ví dụ. Trong các hệ sau hệ nào là hệ dạng bậc thang, xác định biến trụ và
biến tự do ở các hệ dạng bậc thang
 x  y  3z  1

a. 2 x  3 y  2

y  5z  1

 x  y  3z  1


b.   y  3 z  2

5z  1

11 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

 x  y  2 z  t  11

c.  2 y  3z  t  1

5 z  3t  3


Cách giải:
Chuyển tất cả các hạng tử chứa biến tự do sang vế phải và coi các biến tự do
như các tham số, hệ bậc thang trở thành hệ tam giác
 x  y  2 z  t  11

Ví dụ. Giải hệ  2 y  3z  t  1

5 z  3t  3


3. Phương pháp Gauss:
Ý tưởng: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp chuyển hệ bất kỳ về hệ

bậc thang .
Các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ được thao tác trên ma trận mở rộng
tương ứng.

Biến đổi phương trình

Biến đổi ma trận

Đổi chỗ 2 pt

Đổi chỗ 2 dòng

Nhân hai vế của pt với một số

Nhân dòng với 1 số khác 0

khác 0.
Lấy một pt cộng (trừ) với bội

Lấy 1 dòng, cộng ( trừ) với bội

của một pt khác trong hệ

của 1 dịng khác

Chú ý: Trong q trình thực hiện nếu xuất hiện phương trình dạng 0  0 thì
ta loại khỏi hệ, cịn nếu xuất hiện dạng 0  b với b  0 thì hệ vơ nghiệm.
ax  y  z  3

Ví dụ. Cho hệ phương trình sau:  x  ay  z  a

 x  y  az  a

a. Giải hệ với a = 3
b.Tìm a để hệ vơ nghiệm
12 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Chú ý Trong quá trình biến đổi ma trận nếu xuất hiện aii  0 thì dùng phép
đổi chỗ hai dòng.
 x1  3x2  x3  2 x4  3

Ví dụ: Giải hệ 2 x1  6 x2  2 x3  5 x4  8 .
3x  9 x  8 x  8 x  1
2
3
4
 1

13 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài số 4

HỆ PHƯƠNG CRAMER.
ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.

HỆ CRAMER

1.

Định nghĩa:

Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện

- Số ẩn bằng số phương trình.
det( A)  0 .

2.

Phương pháp giải hệ Cramer.
a)

Phương pháp ma trận nghịch đảo AX  B  X  A1 B .

2 x  y  z  1

Ví dụ: Giải hệ phương trình  y  3 z  3
2 x  y  z  1


b)

Phương pháp định thức

Nghiệm duy nhất của hệ Cramer được xác định x j 

Dj
D

, với D  det A; D j

là định thức nhận được khi thay cột thứ j bằng cột B.

2 x  y  z  1

Ví dụ: Giải hệ phương trình  y  3 z  3
2 x  y  z  1


II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1.

Mơ hình cân bằng thị trường

a.

Thị trường một loại hàng hóa

Hàm cung và hàm cầu biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu
vào giá của hàng hóa.

Hàm cung Qs  a0  a1 p

Hàm cầu Qd  b0  b1 p

14 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

trong đó Qs , Qd là lượng cung và lượng cầu.
p là giá hàng hóa, ai , bi là các hằng số dương.

Mơ hình cân bằng thị trường

Qs   a0  a1 p
Qs   a0  a1 p


Qd  b0  b1 p  Qd  b0  b1 p
Q  Q
 a  a p  b  b p
d
0
1
 s
 0 1
Giải hệ phương trình ta thu được
Giá cân bằng p 

a0  b0

a1  b1

Lượng cân bằng Q  Qs  Qd 

b.

a1b0  a0b1
.
a1  b1

Thị trường nhiều hàng hóa

Gọi Qsi là lượng cung của hàng hóa i.
Qdi là lượng cầu của hàng hóa i.

pi là giá hàng hóa i.

Hàm cung của hàng hóa I : Qsi  ai 0  ai1 p1  ...  ain pn
Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi  bi 0  bi1 p1  ...  bin pn .
Mơ hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau

Qsi  ai 0  ai1 p1  ...  ain pn

Qdi  bi 0  bi1 p1  ...  bin pn
Q  Q
di
 si

Đặt cik  aik  bik ta thu được hệ phương trình

15 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

c11 p1  ...  a1n pn  c10
c p  ...  c p  c
 21 1
2n n
20

.........
cn1 p1  ...  cnn pn  cn 0

Giải hệ phương trình ta thu được giá cân bằng của n hàng hóa, sau đó thu
được lượng cân bằng.

Ví dụ:
1. Giả sử thị trường có hai loại hàng hóa , với hàm cung và cầu xác định như
sau:
Loại 1: Qs1  2  3 p1; Qd 1  10  2 p1  p2
Loại 2: Qs 2  1  2 p2 ; Qd 2  15  p1  p2
Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng với mỗi mặt hàng.
2. Giả sử thị trường có ba mặt hàng, với hàm cung và cầu xác định như sau:
Loại 1: Qs1  10  2 p1; Qd 1  100  5 p1  3 p2  p3
Loại 2: Qs 2  20  5 p2 ; Qd 2  120  2 p1  8 p2  3 p3
Loại 3: Qs 3  13 p3 ; Qd 3  300  10 p1  5 p2  p3
Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng với mỗi mặt hàng.

2.

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income).
E là tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế
Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình Y  E .
Trong nền kinh tế đóng thì tổng chi tiêu của tồn bộ nền kinh tế là
C: tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình

16 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

G: chi tiêu của chính phủ ( Government).
I: chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất ( Investment.
Khi đó phương trình cân bằng cho nền kinh tế đóng là Y  C  G  I .
Giả sử đầu tư theo kế hoạch là cố định I  I 0 .
Chính sách tài khóa của chính phủ là cố định G  G0 .
Tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng

C  aY  b;0  a  1, b  0 trong đó
i) 0  a  1 là xu hướng tiêu dùng cận biên biểu diễn lượng tiêu dùng gia
tăng khi thu nhập tăng thêm 1 đô.

ii) b  0 là mức tiêu dùng tối thiểu khi khơng có thu nhập.

Khi đó mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ là
Y  C  I 0  G0
 Y  C  I 0  G0


C  aY  b
aY  C  b

Giải hệ phương trình ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu
dùng cân bằng của nền kinh tế.
b  I 0  G0

Y


1 a

C  b  a ( I 0  G0 )

1 a
Nếu tính thuế thu nhập (T) thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi.
C  a (Y  T )  b với T là thuế thu nhập.
Gọi t là tỉ lệ thuế thu nhập ta có T  tY . Khi đó C  a (Y  tY )  b .
Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ là
Y  C  I 0  G0

C  a (1  t )Y  b
Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là:

17 | P a g e

Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

b  I 0  G0

Y  1  a(1  t )


C  b  a(1  t )( I 0  G0 )

1  a (1  t )

Ví dụ: Nếu tiêu dùng của các gia đình là C  200  0.75Y ,
I 0  300; G0  400 ( đơn vị triệu). Tính mức thu nhập cân bằng và mức tiêu

dùng cân bằng. Nếu nhà nước thu thuế thu nhập với mức 20% thì mức cân
bằng là bao nhiêu?

18 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài số 5
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Định nghĩa hàm một biến
Cho D ⊂ ℝ, D ≠ ∅ . Hàm f (x ) là một quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ D
cho trước với duy nhất một số thực y ∈ ℝ ,
Ký hiệu

f :D → ℝ
x ֏ y = f (x )

Khi đó


x được gọi là đối số hay biến độc lập



D được gọi là tập xác định của f (x ) .



Số f (x ) được gọi là giá trị của f tại x .



Tập f (X ) = {y ∈ ℝ y = f (x ), x ∈ X } được gọi là tập giá trị của f (x )

2. Một số phương pháp xác định hàm số
+ Hàm số cho bằng biểu thức giải tích
+ Hàm số xác định từng khoảng

x 2
Ví dụ: f (x ) = 
2x + 1


+ Hàm ẩn:

x >1
x ≤1

là hàm của x được xác định bởi phương trình F (x , y ) = 0 . Khi

đó y được gọi là hàm ẩn của x .

3. Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f (x ) xác định trên khoảng I .
f (x ) được gọi là tăng trên I nếu: ∀a, b ∈ I mà a < b ⇒ f (a ) < f (b ) .
f (x ) được gọi là giảm trên I nếu : ∀a, b ∈ I mà a < b ⇒ f (a ) > f (b ) .

19 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

f (x ) được gọi là không tăng trên I nếu: ∀a, b ∈ I mà a < b ⇒ f (a ) ≥ f (b ) .
f (x ) được gọi là không giảm trên I nếu : ∀a, b ∈ I mà a < b ⇒ f (a ) ≤ f (b ) .

Chú ý: Hàm tăng (giảm) là hàm đồng biến (nghịch biến) và được gọi chung

là hàm đơn điệu.

II.
1.

MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN TRONG KINH TẾ
Hàm Cung và hàm Cầu: biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và

lượng cầu một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó trong điều kiện các yếu tố
khác không đổi: Qs = S (p) , Qd = D(p) .

Quy luật thị trường trong kinh tế: Hàm cung là hàm đồng biến theo p , hàm
cầu là hàm nghịch biến theo p .
Giao điểm của hai đường gọi là điểm cân bằng của thị trường

2.

Hàm sản xuất Q :
Q = f (L ) với Q là lượng sản phẩm, L là lao động.

3.

Hàm doanh thu R = R(Q )

Doanh thu = Giá bán x Số sản phẩm bán

4.

Hàm chi phí C = C (Q )

Chi phí = Chi phí cố định + chi phí biến động
Chi phí cố định là chi phí thuê mặt bằng….
Chi phí biến động = Giá mua x Số sản phẩm.

5.

Hàm lợi nhuận

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí: π = π(Q ) = R(Q ) − C (Q )

20 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Ví dụ:
1.

Một qn bún bình dân có chi phí như sau:
Mặt bằng

250.000đ/ngày

Bún

1.500đ/tơ

Gia vị

1.000đ/tơ

Thịt

10.000/tơ

Nhân viên

2.500đ/tơ

Qn đó bán với giá 25.000 đồng/một tơ. Hãy tính xem qn đó bán bao
nhiêu tơ một ngày thì mới có lãi.

2.

Một hãng cho th xê ơ tô với giá 10.000đ/km nếu quãng đường không

quá 100km. Nếu quãng đường đi vượt quá 100km thì giá thuê tăng thêm 3.500
đ/km. Gọi x là số km xe thuê chạy và hàm C (x ) là chi phí thuê xe. Hãy xây
dựng hàm chi phí C (x ) và vẽ đồ thị.

III. ĐẠO HÀM
1. Khái niệm đạo hàm
Cho hàm y = f (x ) xác định trên (a, b) và x 0 ∈ (a,b) .
∆x = x − x 0 số gia của đối số

∆y = ∆f = f (x ) − f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) số gia của hàm số.

Tỉ số

f (x ) − f (x 0 )
∆y
=
∆x
x − x0

biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình của y khi x thay

đổi.

Định nghĩa: Đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại x 0 ∈ (a,b) , ký hiệu là f ′(x 0 ) , (hoặc
df
dx

x =x 0

) và được xác định bởi: f ′(x 0 ) = xlim
→x

21 | P a g e

0

f (x ) − f (x 0 )
x − x0

(nếu giới hạn tồn tại).

Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

2. Các cơng thức và quy tắc tính đạo hàm.
a. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản (tự xem tr51)
b. Các quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của tổng hiệu: (u ± v)′ = u ′ ± v ′
Đạo hàm của tích: (uv)′ = u ′v + uv ′
′

u 
u ′v − uv ′
Đạo hàm của thương:   =
2
 v 

v

Ví dụ . Tìm đạo hàm của hàm số:
a. y = 2x 2 − 3x + 5
b. y = (6x 4 + 1)(8x 7 + 5x − 3) .
c. y =

3x 2 + x + 1
−4x 3 + x − 2

IV. VI PHÂN
1.

Khái niệm vi phân của hàm số có đạo hàm

Hàm số f (x ) khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm, khi đó vi phân của nó ký
hiệu là dy và xác định bởi dy  f '( x )dx .

2. Các quy tắc tính vi phân
Nếu các hàm số f (x ), g (x ) khả vi thì
d ( f ± g ) = df ± dg
d ( fg ) = gdf + fdg
d ( fg ) = fdg + gdf

22 | P a g e


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

 f  gdf − fdg
d   =
g2
 g 

Ví dụ: Tính vi phân
a) y = 2x 2 − 3x + 5
b) y =

3x 2 + x + 1
−4x 3 + x − 2

V. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
1. Khái niệm
Đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 gọi là đạo hàm cấp n , ký hiệu y (n );
Vi phân của vi phân cấp n − 1 là vi phân cấp n , ký hiệu d ny.

2. Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân cấp cao
d ny = d(d n −1y ) = y (n )dx n

Ví dụ: Tính đạo hàm và vi phân cấp n của các hàm số.

23 | P a g e

a. y =

1
x −a

b. y =

1
x − 3x + 2
2

d ny
.
dx n


Bài giảng tóm tắt mơn

Tốn dành cho các nhà kinh tế

Bài 6
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KINH TẾ
1. Tốc độ của sự thay đổi
Cho hai biến x , y có quan hệ hàm số y = f (x ) .
Độ thay đổi của y : ∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) .
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x là

Tốc độ thay đổi tức thời y ′(x 0 ) = ∆lim
x →0

∆y
∆x

∆y
∆x

Ý nghĩa: Nếu x thay đổi một lượng là ∆x thì y sẽ thay đổi một lượng là
y ′(x 0 ).∆x .

2. Giá trị cận biên trong kinh tế
Đại lượng đo tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ được gọi là
giá trị cận biên của y đối với x ký hiệu My (x ) .
My(x ) = y ′(x ) =

dy
.
dx

a. Giá trị cận biên của chi phí ( MC (Q ) ).
Cho hàm chi phí C (Q ) . Giá trị cận biên của chi phí MC (Q ) là đại lượng đo sự
thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là
C (Q ) = 0.0001Q 2 − 0.02Q + 5 +

500
.Tìm chi phí cận biên đối với Q . Chi phí cận
Q

biên là bao nhiêu khi mức sản xuất Q = 500 .
24 | P a g e