Thiết kế bộ lọc số trong kĩ thuật

Thi t k b l c sế ế ộ ọ ố

(7.1) khi ,1 ) ( 1
j
ppp
eG
ωωδδ
ω
≤+≤≤−
R7.1. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc được định rõ trong các số hạng
của hàm biên độ. Ví dụ: hàm biên độ của bộ lọc thông thấp G(e
jω
)
được biểu diễn như hình vẽ. Trong đó 0 ≤ ω ≤ ω
p
và:
hoặc trong dải thông biên độ xấp xỉ bằng 1 mà không cần sai số ±δ
p.

Passband
Stopband
ω
s
ω
p
ω
Transition
band
( )
ω

j
eG
p
δ
+1
p
δ
−1
s
δ
0
0

Trong dải chắn, tần số nằm trong khoảng ω
s
≤ ω ≤ π và hàm
biên độ phải thoã mãn:
(7.2) khi ) (
s
πωωδ
ω
≤≤≤
s
j
eG
Nghĩa là biên độ trong dải chắn xấp xỉ bằng 0 không tính sai số δ
s
.
ω
p

: Tần số giới hạn dải thông
ω
s
: Tần số giới hạn dải chắn
δ
p
: Độ gợn sóng dải thông
δ
s
: Độ gợn sóng dải chắn.


R7.2. Trong hầu hết các ứng dụng, các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc
thông thấp được cho như hình vẽ:
Passband
Stopband
ω
s
ω
p
ω
Transition band
( )
ω
j
eG
2
1
1
r+

A
1
0
0
1

Trong dải thông ( 0 ≤ ω ≤ ω
p
) giá trị biên độ lớn nhất và
nhỏ nhất tương ứng là 1 và
2
1/1
ε
+
Độ gợn đỉnh dải thông:
(7.3) dB 1log20
2
10
ε
+=
p
R
Trong dải chắn, độ gợn sóng cực đại là 1/A.
Độ suy giảm cực tiểu:
(7.4) dBA log20
10
=
s
R

R7.3. Nếu biên tần dải thông F
p
và biên tần dải chắn F
s
tính
theo Hz phụ thuộc vào tốc độ lấy mẫu F
T
của bộ lọc thì tần số
giới hạn góc tính bằng Rad được cho bởi:
(7.6) 2
2
(7.5) 2
2
TF
F
F
F
TF
F
F
F
S
T
S
T
S
P
T
P
T

P
S
P
π
π
ω
π
π
ω
===
===
Ω
Ω

R7.4. Bước đầu tiên trong việc thiết kế là ước lượng bậc
của hàm truyền. Đối với bộ lọc FIR thông thấp hoặc
thông cao, có nhiều công thức dùng để ước lượng trực
tiếp chiều dài của bộ lọc dựa vào các chỉ tiêu kỹ thuật đã
cho như: ω
p
, ω
s
, δ
p
, δ
s
Công thức Kaiser tính gần
đúng chiều dài N của bộ lọc là:
(7.7)
2/)(6.14

13)(log20
10
πω
δδ
∆
−−
≅
sp
N
Trong đó: ∆ω = ω
p
- ω
s
là bề rộng dải quá độ.

R7.5. Giá trị tương đối chính xác của N do Herrmann,
Rabiner và Chan đưa ra là:
[ ]
[ ]
(7.8)
2/)(
2/)(),(),(
2
πωω
πωωδδδδ
ps
psspsp
FD
N
−

−−
≅
∞
Trong đó:
[ ]
[ ]
(7.9) )(log)(log
log)(log)(log),(
6
2
105
2
104
103
2
102
2
101
aaa
aaaD
pp
sppsp
++−
++=
∞
δδ
δδδδδ
[ ]
(7.10) loglog),(
101021 spsp

bbF
δδδδ
−+=
Và:

Với:
a
1
= 0.005309, a
2
= 0.07114, a
3
= -0.4761
a
4
= 0.00266, a
5
= 0.5941, a
6
= 0.4278
b
1
= 11.01217, b
2
= 0.51244
Công thức (7.8) đúng với δ
p
> δ
s
.Nếu δ

p
< δ
s
thì công
thức tính chiều dài của bộ lọc chỉ được sử dụng nếu ta
hoán đổi vị trí của δ
p
và δ
s
trong công thức (7.8). Đối với
các giá trị nhỏ hơn của δ
p
và δ
s
thì (7.7) và (7.8) đều cho
kết quả chính xác.

R7.6. Khi ước lượng bậc của bộ lọc sử dụng công thức (7.7) và
(7.8) có thể dẫn đến các kết quả không phù hợp với các chỉ tiêu kỹ
thuật đã cho. Trong trường hợp này giá trị N được chọn tăng dần
cho đến khi đạt được các chỉ tiêu kỹ thuật
R7.7. Việc thiết kế bộ lọc IRR chủ yếu dựa vào phép biến đổi song
tuyến tính từ mặt phẳng S sang mặt phẳng Z:
(7.12)
1
12
1
1









+
−
=
−
−
z
z
T
s
Khi sử dụng phép biến đổi trên thì hàm truyền tương tự H
a
(s) và
hàm truyền số G(z) được cho bởi:
(7.13) )()(
1
1
1
12









+
−
=
−
−
=
z
z
T
s
a
sHzG

R7.8. Đối với phép biến đổi song tuyến tính, quan hệ giữa trục
ảo (s = jΩ) trong mặt phẳng s và đường tròn đơn vị (z = e
jω
)
trong mặt phẳng Z được cho bởi công thức:
Ω= tan(ω/2) (7.14)
Việc ánh xạ hoàn toàn trục ảo trong mặt phẳng s sang đường
tròn đơn vị sẽ dẫn đến méo trên trục tần số. Ðể bộ lọc số thoã
mãn hàm biên độ đặc trưng của nó thì các đại lượng tương tự
Ω
p
,Ω
s
và các tần số giới hạn ω
p

, ω
s
được chuyển đổi thông
qua biểu thức (7.14), sau đó sử dụng phép biến đổi song
tuyến tính H
a
(s) ta sẽ thu được hàm truyền G(z) của bộ lọc
mong muốn.

R7.9. Phương pháp dễ thực hiện nhất để thiết kế bộ lọc
FIR là dùng các hàm cửa số. Phương pháp này được xây
dựng bằng cách cắt gọt 1 đáp ứng xung lý tưởng có độ
dài vô hạn h
D
[n] tương ứng với đáp ứng tần số H
D
(e
jω
)
bằng một hàm cửa số w[n] có độ dài hữu hạn thích hợp.
Các hệ số đáp ứng xung đựoc cho bởi công thức:
h[n] = h
D
[n] w[n]

Bộ lọc thông thấp lý tưởng với đáp ứng pha không
có dạng:
(7.15)
,0
,1

)(
c



≤<
≤
=
πωω
ωω
ω
c
j
LP
eH
Các hệ số đáp ứng xung tương ứng h
LP
[n] được cho bởi:
(7.16) n- ,
sin
][ ∞≤≤∞=
n
n
nh
c
LP
π
ω
Các hệ số này là vô hạn, không khả tổng tuyệt đối do đó không
thực hiện được. Bằng cách đặt các hệ số của đáp ứng xung ở

ngoài khoảng –M ≤ n ≤ M bằng 0, ta sẽ có được chiều dài gần
đúng hữu hạn không nhân quả N = 2M + 1 mà khi dịch phải thì
nó là các hệ số của bộ lọc thông thấp FIR nhân quả.
R7.10.

(7.17)
n 0
1-Nn0 ,
)(
)(sin
][





≠
≤≤
−
−
=
Mn
Mn
nh
c
LP
π
ω
Công thức trên cũng đúng với N chẵn và M là phân số.
Hệ số đáp ứng xung h

HP
[n] của bộ lọc thông cao lý tưởng
được cho bởi công thức:
(7.18)
0n ,
)sin(
-
0n ,1
][
c





>
=−
=
n
n
nh
c
HP
π
ω
π
ω

Các hệ số đáp ứng xung h
BP

[n] của bộ lọc thông dải có tần
số cắt ω
c1
và ω
c2
được cho bởi công thức:
(7.19) n- ,
sinsin
][
12
∞≤≤∞−=
n
n
n
n
nh
cc
BP
π
ω
π
ω
Các hệ số của bộ lọc chắn dải với tần số cắt ω
c1
và ω
c2
có
dạng:
(7.20)
0n ,

)sin(
-
)sin(
0n ,
(
1
][
c2c1
12





>
=
−
−
=
n
n
n
n
nh
cc
BS
π
ω
π
ω

π
ωω

Tất cả các phương pháp trên đều áp dụng được cho các
bộ lọc thông dải hoặc chắn dải với hai mức biên độ. Tuy nhiên,
cũng dễ dàng dẫn đến phương pháp tổng quát để thiết kế bộ lọc
FIR nhiều mức và công thức tính hệ số đáp ứng xung. Đáp ứng
tần số pha không của bộ lọc số L dải lý tưởng có dạng:
(7.21) L1,2, ,k , ,)(
1-k
=≤≤=
kk
j
ML
AeH
ωωω
ω
trong đó ω
0
= 0 và ω
L
= π. Đáp ứng xung h
ML
[n] được cho bởi
công thức:
(7.22)
)sin(
)(][
1
1

n
n
AAnh
c
L
ML
π
ω
∑
=
+
−=


Với A
L+1
= 0
R7.11.

0 ω
1
ω
2
ω
3
ω
4
π
ω
H

ML
(e
jω
)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
Đáp ứng tần số pha không lý tưởng

Phép lấy vi phân rời rạc được đặc trưng bởi đáp ứng tần
số có dạng:
(7.25) , )(
F
πωω
ω
<= jeH
j
DI
Các hệ số đáp ứng xung tương ứng:
(7.26)
0n ,
n
ncos

0n , 0
][





>
=
=
π
nh
DIF
Cũng như lọc thông thấp lý tưởng, tất cả các bộ lọc trên từ
(7.18)-(7.20), (7.22), (7.24) và (7.26) đều không thực hiện
được. Chúng có thể thực hiện bằng cách cắt gọt các chuỗi
đáp ứng xung thành các hàm có độ dài hữu hạn và dịch
các hệ số đó sang phải một cách thích hợp.
R7.13.

Bộ lọc FIR nhân quả nhận được bằng cách cắt gọt các hệ số
đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng cho ở phần trên thành
hiện tượng dao động trong các hàm đáp ứng biên độ tương
ứng gọi chung là hiện tượng Gibbs. Hiện tượng Gibbs có
thể bị suy yếu khi dùng hàm cửa sổ có độ thoải dần đến 0
tại mỗi điểm kết thúc hoặc dải quá độ bằng phẳng từ dải
thông đến dải chắn. Trong tất cả các loại cửa sổ dùng để
thiết kế lọc thông thấp thì tần số cắt ω
c
= ½ (ω

p
+ ω
s
)
R7.14.

Một số hàm cửa sổ chung cho chiều dài 2M + 1 với
độ gợn sóng cố định là:
(7.27) M,nM- ,
12
2
cos1
2
1
w[n] ≤≤












+
+=
M

n
π
Hanning:
(7.28) MnM- ,
12
2
0.46cos0.54w[n] ≤≤






+
+=
M
n
π
Hamming:
Blackman:
(7.29) MnM- ,
12
4
cos08.0
12
2
0.5cos0.42w[n]
≤≤







+
+






+
+=
M
n
M
n
π
π
R7.15
.

Cửa sổ Chebyshev với chiều dài 2M+1 được định
nghĩa bởi:
(7.30) MnM-
,
12
2
cos

12
cos2
1
12
1
][
1
≤≤






+






+
+
+
=
∑
=
M
k
k

M
nk
M
k
T
M
nw
ππ
β
γ
trong đó:
γ = Biên độ búp thứ cấp/ biên độ búp trung tâm (7.31)
R7.16

(7.32) ,
1
cosh
2
1
cosh
1








=

−
γ
β
M
T
k
(x) là đa thức Chebyshev bậc k với:
(7.33)
1 x ),xcoshkcosh(
x ),xcoskcos(
)x(T
k



>
≤
=
−
−
1
1
1

Cửa sổ Kaiser được định nghĩa bởi biểu thức:
(7.34) MnM- ,
)(I
))M/n((I
]n[w ≤≤
−

=
β
β
0
2
0
1
Trong đó β là tham số có thể điều chỉnh được và I
0
(u) là hàm
Bessel bậc 0 được biểu diễn dưới dạng:
(7.35)
!
)2/(
1)(
2
1
0
∑
∞
=






+=
r
r

r
u
uI
R7.17.

I
0
(u) có thể dương đối với tất cả các giá trị thực của u. Trong thực
tế nó chỉ đúng đối với 20 số hạng đầu trong tổng chuỗi ở (7.35) để
có được kết quả chính xác và hợp lý. Tham số β điều khiển độ suy
hao cực tiểu α
s
, độ gợn sóng δ
s
trong dải chắn .Việc tính toán β,
chiều dài bộ lọc N = 2M + 1 theo α
s
và ∆f qua công thức:
(7.36)

21 ),(.)(.
,).(.
s
ss
.
s
ss






<
≤≤−+−
>−
=
210
50210788602158420
507811020
40
α
ααα
αα
β
(7.37)
21 , 1
9222.0
21 , 1
36.14
95.7
s
s







≤+

∆
>+
∆
−
=
α
α
α
f
f
N
s

Bộ lọc FIR pha tuyến tính nhận được bằng cách tối
thiểu hoá giá trị tuyệt đối cực đại với sai số được trọng hoá
ε là:
πω
ε
≤≤
=
0
max
( )
(7.38) ,
ωε
Bộ lọc này được gọi là bộ lọc FIR tối ưu trong đó hàm lỗi
được trọng hoá ε(ω) được định nghĩa bởi:
[ ]
(7.39) , )()()()(
ωωωε

ω
DeHP
j
−=
Trong dải tần số độ gợn sóng là đồng nhất. Thuật toán sử
dụng có hiệu quả nhất trong việc thiết kế bộ lọc FIR pha
tuyến tính tối ưu là thuật toán Parks-McClellan.
R7.18.