skkn mới nhất skkn phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong sách giáo khoa hình học ở trường phổ thơng, ở lớp 10, học sinh
bước đầu đã được làm quen với phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Ở lớp
12, học sinh tiếp tục được làm quen với phương pháp tọa độ trong khơng
gian. Nhờ phương pháp đó, chúng ta có thể chuyển nhiều bài tốn hình học
sang bài tốn đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số, ta có thể suy ra được
các tính chất và mối quan hệ giữa các hình.
Trong đề thi THPT Quốc gia mơn tốn, phần phân loại các câu hỏi khó,
tương ứng với điểm 8, 9, 10; thường xuyên rơi vào các chủ đề: “hình học tọa
độ trong khơng gian Oxyz”, “số phức”, “tích phân”, “bài tốn thực tiễn”,…
Đặc biệt trong chủ đề “hình học tọa độ trong khơng gian Oxyz” bài tốn về
tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị thường xuất hiện nhiều và rất khó giải.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức
cơ bản về tìm tọa độ điểm trong các bài tốn cực trị của hình học khơng gian,
đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp
dụng trong thực tiễn. Đặc biệt, biết sử dụng các kiến thức về hình học tọa độ
trong khơng gian để giải quyết các bài tốn khó liên quan đến cực trị, tơi đã
chọn đề tài “Phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài tốn cực trị của hình
học khơng gian ”.
1.2. Mục đính nghiên cứu.
Các bài tốn về cực trị trong hình tọa độ trong khơng gian là một dạng
bài tập mới đối với học sinh THPT, làm thay đổi các tư duy và nhìn nhận vấn
đề về hình học theo hướng tư duy của đại số, mang tính trừu tượng và bước
đầu có thể làm cho HS có sự ngỡ ngàng, thiếu tính logic.
Một kiến thức mới, cần phải có thời gian để học sinh thực hành và làm
quen. Tuy nhiên cái khó của người giáo viên trong giảng dạy hình tọa độ
trong khơng gian là phương pháp tọa độ trong khơng gian được đưa vào
chương trình cuối cùng của SGK hình học 12 khi kết thúc chương trình giáo
dục phổ thơng nên thời gian giành để nghiên cứu nó bị hạn chế. Vì vậy, việc
hướng dẫn học sinh biết hệ thống kiến thức và xây dựng một lớp bài tốn tìm

tọa độ điểm trong bài tốn cực trị của hình học khơng gian. Có như vậy, học
sinh mới có thể giải quyết nhanh các bài tập khó về cực trị hình học trong đề
thi trắc nghiệm toán.
Vậy vấn đề đặt ra là:
 Cần giúp HS tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất và
khái niệm cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian.
 Cần giúp HS biết phân loại các bài tập tìm tọa độ điểm trong bài
tốn cực trị của hình học khơng gian tìm ra phương pháp giải cụ thể
cho lớp bài toán này.
 Giúp HS biết vận dụng kiến thức về tọa độ điểm trong các bài tốn
cực trị của hình khơng gian trong thực tế cuộc sống hàng ngày.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1

download by :


Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý
tưởng nghiên cứu sau:
 Cần cho HS tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của hình tọa độ
trong khơng gian dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được
kiến thức.
 Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt HS tự đúc kết ra các kinh nghiệm
giải tốn. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài tốn tìm tọa độ điểm
trong các bài tốn cực trị của hình học khơng gian.
 Cho HS thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn
cuộc sống.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra
các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản.

 Thống kê số liệu để phân loại được các bài tốn về tìm tọa độ điểm
trong các bài tốn cực trị của hình học không gian và rút ra được hệ
thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập dạng này.
 Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy
và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ
hiểu và dễ nhớ nhất
 Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của tọa độ điểm trong các nghiên
cứu toán học, vật lí, khoa học, kĩ thuật.

2

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK mơn hình học lớp 12
(chương III)
 Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương III hình học lớp 12.
 Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong tài liệu tham khảo: 18
chủ đề hình học 12 (chủ biên: Nguyễn Văn Dũng - Nguyễn Tất
Thu).
Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí
thuyết, chưa phân dạng các bài tốn tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị một
cách chi tiết, chưa đưa ra được kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy,
đặc biệt tọa độ điểm liên quan đến mặt cầu còn ít và không đủ dạng . Dựa vào
các tài liệu trên, tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ
thể và xây dựng được một hệ thống tư duy cho lớp các bài tập tìm tọa độ điểm

trong bài tốn cực trị của hình học khơng gian.
Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng
bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và
không sa vào chứng minh rườm rà). Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả
cuối cùng và sử lí theo số liệu cụ thể của đề bài. Đây chính là bí quyết để học
sinh rút ngắn thời gian làm bài.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc
nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi
vận dụng và câu hỏi vận dụng cao. Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học
sinh 12 A1 năm học 2018 – 2019 thu được kết quả sau:
Thơng hiểu(có thể vận
Vận dụng linh hoạt
dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài
toán)
tập đưa ra)
Số
Số
Số
Phần trăm
Phần trăm
Phần trăm
học sinh
học sinh
học sinh
45
100%
20
44,4%
7

15,6%
Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau:

Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)

Từ 5 phút/ 1 bài
1,8 phút / 1 bài
đến 10 phút/ 1
bài
Số
Số
Số
Phần
Phần
Phần
học
học
học
trăm
trăm
trăm
sinh
sinh
sinh
2
4,4%
5
11,1%
13

28,9%
Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
Số học sinh của lớp: 45.
Từ 2 phút/ 1 bài
đến 5 phút/ 1 bài

Trên 10 phút / 1
bài
Số
học
sinh
20

Phần
trăm
55,6%

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

3

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Kết quả học tập về mơn tốn năm học 2018 – 2019 là: 7 học sinh có
học lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình
4 học sinh có học lực yếu.
Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu

cầu kiểm tra đánh giá mới.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết đề.
2.3.1. Bài toán tọa độ điểm và mặt phẳng
Bài toán 1: Trong khơng gian
cho các điểm
. Xét véc
tơ
Trong đó
là các số thực cho trước thỏa mãn
Tìm điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho nhỏ nhất.
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn:
(Như vậy điểm
Ta có
nên

hồn toàn xác định và là một điểm cố định)
( với
)

Do đó
Vì
là hằng số khác khơng nên
có giá trị nhỏ nhất khi
và chỉ khi
nhỏ nhất, mà
nên điểm
cần tìm là hình chiếu của

trên mặt phẳng

Sau đây là các ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học
sinh thực hiện.
Ví dụ 1: Trong khơng gian
cho các điểm
và mặt
phẳng
. Tìm tọa độ điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho:
a)
đạt giá trị nhỏ nhất.
b)

đạt giá trị nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
a) Gọi trung điểm của
là
skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

4

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Ta có:

nên

nên
nên điểm
Giả sử
nên từ

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
cần tìm là hình chiếu của trên
.
thì
(

là véc tơ pháp tuyến của

nhỏ nhất. Mà

)

ta có
Vậy điểm
b) Gọi
Ta có
nên

cần tìm là
là điểm thỏa mãn

Do đó
có giá trị nhỏ nhất khi

chiếu của trên mặt phẳng
.
Gọi

ta có tọa độ

nhỏ nhất, hay

là hình

thỏa mãn hệ

Suy ra tọa độ điểm cần tìm là
.
Ví dụ 2: Cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng
sao cho:
a)
đạt giá trị nhỏ nhất.
b)
đạt giá trị nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
a) Gọi trọng tâm của tam giác
là
Ta có
nên

.

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
nên điểm cần tìm là hình chiếu của trên
.
Giả sử
thì
nên từ

(

là véc tơ pháp tuyến của

, do đó
nhỏ nhất. Mà

)

ta có
Vậy điểm
b) Gọi

cần tìm là
.
là điểm thỏa mãn
skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

5

download by :

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Ta có:

suy ra

Vì
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
điểm trên mặt phẳng
.
Tọa độ điểm
Điểm

nên biểu thức
nhỏ nhất, hay
là hình chiếu của

thỏa mãn hệ

cần tìm là

Bài tốn 2: Trong khơng gian
, cho các điểm
Xét biểu thức
Trong đó
là các số thực cho trước.
Tìm điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho
a)

có giá trị nhỏ nhất biết
.
b) có giá trị lớn nhất biết
.
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn
(Như vậy điểm
hoàn toàn xác định, là điểm cố định.)
Ta có
(với
)
nên
Do đó
Vì
khơng đổi nên
a)
Với
thì đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất.
b)
Với
thì đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất. Mà
nên
nhỏ nhất khi điểm là hình chiếu của trên
mặt phẳng
.
Sau đây là các ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học
sinh thực hiện.
Ví dụ 1: Trong khơng gian

cho các điểm
và
mặt phẳng
. Tìm điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho:
a)
có giá trị nhỏ nhất.
b)
có giá trị lớn nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
a) Gọi trung điểm của
là
. Khi đó
Ta có

Do đó
chiếu của điểm

nhỏ nhất khi và chỉ khi
trên mặt phẳng
.

nhỏ nhất, hay

là hình

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

6

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Tọa độ điểm

Vậy điểm
b) Gọi
Ta có:

thỏa mãn hệ phương trình

cần tìm là
là điểm thỏa mãn

.

Do đó
lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất, hay
nhất, nên
là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
.
Tọa độ điểm
thỏa mãn hệ phương trình

nhỏ

Điểm
cần tìm là
.
Ví dụ 2: Trong khơng gian
cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho:
a)
có giá trị nhỏ nhất.
b)
có giá trị lớn nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
a) Gọi trọng tâm của tam giác
là
Khi đó
nên
Do đó
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất, hay
là hình chiếu của điểm trên
Ta có điểm
cần tìm là
.
b) Gọi
là điểm thỏa mãn
Ta có
Nên
lớn nhất khi là hình chiếu của điểm

trên
mặt phẳng
.
Tọa độ điểm
thỏa mãn hệ phương trình

Bài tốn 3: Trong khơng gian
và mặt phẳng
sao cho:

nhỏ nhất.

lớn nhất với
Phương pháp:

, cho các điểm
. Tìm điểm

.

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

7

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Với câu hỏi 1:

nhỏ nhất:
Bước 1: Xét vị trí tương đối của các điểm

Nếu
nằm cùng phía với mặt phẳng
.

Nếu
nằm khác phía với mặt phẳng
.
Bước 2:
nhỏ nhất
Trường hợp 1: Hai điểm
ở khác phía so
với mặt phẳng
.
nhỏ nhất bằng
khi
và chỉ khi

so với mặt phẳng
thì hai điểm

.

thì hai điểm

Trường hợp 2: Hai điểm
ở cùng phía
so với mặt phẳng

.
Gọi
đối xứng với qua mặt phẳng
. Ta có:
Vậy

nhỏ nhất bằng

khi

Với câu hỏi 2:
lớn nhất:
Trường hợp 1: Hai điểm
ở cùng phía
so với mặt phẳng
.
Vì
ở cùng phía so với mặt phẳng
nên
lớn nhất bằng
khi và chỉ khi
Trường hợp 2: Hai điểm
ở
khác phía so với
.
Gọi
đối xứng với
qua mặt
phẳng
. Khi đó

và
ở cùng phía
với
và
nên
.
Vậy
lớn nhất bằng
khi
Sau đây giáo viên có thể đưa ra ví dụ
để học sinh thực hiện giải chi tiết.
Ví dụ 1: Cho các điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho:
a)
có giá trị nhỏ nhất.
b)
có giá trị lớn nhất.
c)
có giá trị nhỏ nhất.

và mặt phẳng

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

8

download by :

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

d)

có giá trị lớn nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Ta có:
nằm cùng phía đối với
.
nằm khác phía đối với
.
a) Ta có
và
nằm khác phía so với
nhỏ nhất bằng
khi và chỉ khi
.

nên

Phương trình đường thẳng
Ta có

mà

Vậy điểm

nên:

cần tìm là

b) Ta có
và
nằm cùng phía so với
lớn nhất bằng
khi và chỉ khi
Tọa độ điểm
thỏa mãn hệ phương trình

Vậy điểm
c) Gọi
Ta có

cần tìm là
là hình chiếu của điểm
và
(

Tọa độ điểm

Vì
ở cùng phía so với
Ta có:
bằng
khi và chỉ khi
Do

Vì

) nên tọa độ

qua mặt phẳng
nên

.
thỏa mãn

là

ở khác phía so với
.
nên
đạt giá trị nhỏ nhất

.

nên

Vậy điểm
d) Gọi

trên mặt phẳng

là véc tơ pháp tuyến của

đối xứng với

nên

cần tìm là

đối xứng với

qua

ở khác phía so với

nên

ở cùng phía so với

.

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

9

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Ta có
khi và chỉ khi

nên

đạt giá trị lớn nhất bằng

.

Do

nên

Vậy tọa độ điểm

cần tìm là

2.3.2. Bài tốn: Tọa độ điểm và đường thẳng.
Bài tốn 1: Trong khơng gian
, cho các điểm

và

đường thẳng
Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho
Câu hỏi 1: Độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ
nhất với
là các số thực cho trước thỏa mãn
;
Câu hỏi 2: Biểu thức
 Có giá trị nhỏ nhất biết
 Có giá trị lớn nhất biết
Câu hỏi 3: Diện tích tam giác
nhỏ nhất (Trong trường hợp
và
chéo nhau)

Phương pháp:
Vì
nên
Đối với câu hỏi 1: Tính
Đối với câu hỏi 2: Tính
Đối với câu hỏi 3: Tính diện tích tam giác
. Sau khi tính ta được
các biểu thức phụ thuộc . Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một tam thức bậc hai ẩn t.
Giáo viên đửaa các ví dụ để học sinh thực hiện,
Ví dụ 1: Cho

và

Tìm điểm
a)
b)
c)
a)

thuộc đường thẳng sao cho:
nhỏ nhất.
nhỏ nhất.
Diện tích tam giác
nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện giải chi tiết:
Vì điểm
nên
Ta có
Nên

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

10

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Vậy điểm
b) Ta có:

cần tìm là

do đó

Vậy giá trị nhỏ nhất của
điểm

là

, đạt được khi

có tọa độ

c) Ta có
nên
Vì thế diện tích tam giác

là

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác

Ví dụ 2: Cho các điểm
. Tìm điểm
a)
b)

là

, xảy ra khi

và đường thẳng
thuộc đường thẳng

sao cho:

lớn nhất.

Vì
a) Ta có

nhỏ nhất.
nên
và

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

11

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Giá trị nhỏ nhất của
b) Ta có

khi

hay

nên

Vì vậy

Do đó giá trị nhỏ nhất của

là

đạt được khi điểm

có

tọa độ
Bài tốn 2: Trong khơng gian

cho các điểm

và đường thẳng

Tìm điểm
thuộc đường thẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Phương pháp:
Vì
nên
. Tính
.
Lập tổng
Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa tham số
.
Áp dụng bất đẳng thức
học sinh sẽ đánh giá được bài
tốn.
Ví dụ: Cho đường thẳng
. Tìm điểm

và các điểm
thuộc đường thẳng

sao cho:

a)
b)

nhỏ nhất.

nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện giải chi tiết như sau:
a) Gọi
ta có

Do đó
skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

12

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Hay giá trị nhỏ nhất của
cần tìm là
.
b) Gọi
Ta có

là

khi

hay tọa độ điểm

Xét hai véc tơ
Ta có

nên

Hay
Dấu đẳng thức có khi
hay
vậy điểm cần tìm là
2.3.3. Bài tốn: Tọa độ điểm và mặt cầu.
Bài tốn 1: Trong khơng gian
cho mặt cầu
kính . Tìm điểm
sao cho véc tơ
độ nhỏ nhất.
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn:
Ta có

tâm

và bán
có tọa

Vậy
Xét vị trí của với mặt cầu
 Nếu nằm ngồi
Học sinh sẽ tìm được hai điểm
 Nếu

với là tâm mặt cầu
.
, cần phải thử để loại nghiệm.

nằm trong
với

mặt cầu

là tâm

.

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

13

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Tương tự trường hợp trên, học sinh cũng tìm được 2 điểm
thử lại để loại nghiệm.

Ví dụ: Trong khơng gian
cho mặt cầu
và các điểm
điểm
trên
sao cho véc tơ
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Gọi

là điểm thỏa mãn
Ta có

Nên
Suy ra
Đường thẳng

cắt

đi qua

tại 2 điểm

và tâm

cần phải

. Tìm
có độ dài nhỏ nhất.

của mặt cầu

.

và

Ta có
Vậy
Vậy điểm
thỏa mãn là

Bài tốn 2: Trong hệ trục tọa độ
, cho mặt cầu
tâm
và
bán kính .
Mặt cầu
Mặt phẳng
Tìm điểm
thuộc mặt cầu
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
mặt phẳng
là lớn nhất, khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
là nhỏ
nhất.
Phương pháp:
Xét vị trí tương đối của mặt cầu
và mặt phẳng
bằng cách so
sánh khoảng cách
và .
 Nếu
thì
và
khơng
có điểm chung. Khi đó
và là giao của đường
thẳng với
. Trong đó, là đường thẳng đi qua

và vng góc với
. Tìm
ta sẽ có
hai điểm. Tính khoảng cách từ hai điểm đó đến
,
khoảng cách nào lớn hơn thì điểm đó là điểm ,
điểm cịn lại là điểm .
skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

14

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian



Nếu
thì
tiếp
xúc với
. Giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi
là tiếp điểm của
và
. Giá trị lớn
nhất bằng
khi
đối xứng với
qua

tâm .
 Nếu

thì
là một đường

tròn.
Giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi nằm
trên đường trịn
. Tìm
sẽ
có hai điểm. Tính khoảng cách từ
hai điểm đó đến
, khoảng cách
nào lớn hơn thì điểm đó tương ứng
là điểm M.
Ví dụ: Trong khơng gian
cho
mặt
cầu
Tìm các điểm
trên
sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là lớn nhất, khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
là nhỏ nhất, với:
a)
b)
c)
Học sinh thực hiện giải chi tiết sau:

a) Ta có
Do đó
và
khơng có điểm chung.
Gọi là đường thẳng đi qua tâm
góc với
.

của mặt cầu

và

vng

Phương trình
Gọi

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

15

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Suy ra hai điểm thỏa mãn

và

.

Ta có

Vậy các điểm cần tìm là
b) Ta có

Gọi

và

tiếp xúc với
.
là đường thẳng đi qua

và vng góc với

Giao điểm của và
là hai điểm
Do
và
nên:
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu
nhất là 0, đạt được tại
.
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu
nhất là 6, đạt được tại
.
c) Ta có

và

.

đến mặt phẳng

nhỏ

đến mặt phẳng

lớn

nên
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu
đến
nhỏ nhất là 0, đạt
được tại
với
là đường tròn giao tuyến của
và
.
Điểm thuộc mặt cầu
đến mặt phẳng
lớn nhất là điểm có khoảng
cách đến
lớn hơn trong các giao điểm của và
.
Trong đó là đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu
và vng góc
với

.

Giao điểm của
Ta có

với

là

và

nên điểm cần tìm là
Ngồi hai bài tốn tổng qt trên, trong bài tốn điểm và mặt cầu cịn
gặp một số bài tốn đặc biệt. Trong đó, muốn có lời giải ngắn gọn và chi tiết
cần kiểm tra các tính chất đặc biệt có trong đề bài. Học sinh có thể được tìm
hiểu thơng qua hai ví dụ sau:
skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

16

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

Ví dụ 1: Trong khơng gian

cho mặt cầu
và hai điểm
. Tìm

điểm
trên
sao cho biểu thức
có giá trị nhỏ nhất.
Học sinh giải chi tiết sau:
Kiểm tra dữ liệu đề bài bằng cách thay tọa độ
và vào
ta được
Như vậy
và nằm ngoài
Gọi là trung điểm của

.
nằm ngồi

Trong đó

khơng đổi nên

Lập

là tâm mặt cầu

với
Tìm

Vậy
Ví dụ 2: Trong khơng gian
cho mặt cầu
. Tìm điểm

trên
thức
đạt giá trị lớn nhất với
Học sinh thực hiện giải chi tiết sau:
Ta có

sao cho giá trị biểu
.

Ta có
Như vậy qua cách kiểm tra dữ liệu đề bài ta thấy điểm
Điểm

tồn tại

Khoảng cách

(Với

nằm trên

là bán kính mặt

cầu).

Vậy

đạt được khi
tiếp xúc với
tại .

Ta có
với
Vậy

với

( là số thực).
là véc tơ pháp tuyến của
là điểm cần tìm.

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

17

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ
đạo học sinh yếu kém, tơi đã tích lũy được một số kinh nghiệm tìm tọa độ
điểm trong bài tốn cực trị của hình học khơng gian, đặc biệt tôi đã áp dụng
cụ thể trong việc giảng dạy bộ mơn hình học lớp 12. Đây thực sự là một tài
liệu hữu ích đã được tơi kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt.
Thường thì các em học sinh có học lực khá và giỏi sẽ giải quyết tương
đối tốt bài tốn đặt ra, tuy nhiên lời giải cịn chưa ngắn gọn, xúc tích. Dựa vào
học sinh giỏi, giáo viên có thể tổng kết thành các bước làm cụ thể. Thơng qua
hoạt động nhóm các em có học lực tốt sẽ giúp đỡ các bạn có học lực yếu kém

và trung bình. Các bài tốn tổng qt với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối”
cho các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:
Kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 12 A1 năm học 2018 – 2019 thu
được kết quả sau:
Thơng hiểu(có thể vận
Vận dụng linh hoạt
dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài
toán)
tập đưa ra)
Số
Số
Số
Phần trăm
Phần trăm
Phần trăm
học sinh
học sinh
học sinh
45
100%
40
88,9%
35
77,8%
Về thời gian thu được kết quả sau:

Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)

1,8 phút / 1 bài

Từ 2 phút/ 1 bài

Từ 5 phút/ 1 bài

Trên 10 phút / 1

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

18

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

đến 5 phút/ 1 bài
Số
học
sinh
15

Phần
trăm
33,3%

Số
học
sinh
20

Phần
trăm
44,4%

đến 10 phút/ 1
bài
Số
Phần
học
trăm
sinh
5
11,15%

bài
Số
học
sinh
5

Phần
trăm
11,15%

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp tìm tọa độ điểm trong
bài tốn cực trị của hình học khơng gian. Tơi đã áp dụng trực tiếp đối với học
sinh mà mình dạy, thấy học sinh thực hiện lời giải nhanh hơn và kết quả tính

tốn chính xác hơn.
3.2. Kiến nghị.
Tuy nhiên vì thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp và quy
định hạn hẹp của số trang trong một sáng kiến kinh nghiệm nên khơng tránh
được những sai sót khi thực hiện để tài. Mong được sự góp ý của các bạn
đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Hà Thị Thu Hồng

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

19

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian

skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gianskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.tim.toa.do.diem.trong.bai.toan.cuc.tri.cua.hinh.hoc.khong.gian