luận văn thạc sỹ toán:Khai thác mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn hình học ở trường phổ thông”

MỞ ĐẦU
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1.1.Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
PPDH là một trong những yếu tố quan trọng của quá trình dạy học. Cùng
với sự bùng nổ thông tin, sự phát triển nhanh chóng của khoa học giáo dục-
công nghệ đã đặt ra thách thức mới cho ngành giáo dục và đào tạo, vì giáo
dục và đào tạo cùng với khoa học công nghệ là một trong những nhân tố
quyết định tăng trưởng kinh tế và phát triển xã hội.
Nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản
Việt Nam khoá VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và
Đào tạo là : “Phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho sinh viên những năng lực tư duy sáng tạo, năng
lực giải quyết vấn đề ”.
Nghị quyết TW2, khoá VIII tiếp tục khẳng định:” Đổi mới phương pháp
giáo dục, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng
tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương
tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự
nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên Cao đẳng Đại học”.
Định hướng trên được thể chế hoá tại điều 24.2, luật GD: “Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X cũng nêu rõ : “Đổi mới tư
duy giáo dục một cách nhất quán, từ mục tiêu, chương trình, nội dung,
phương pháp đến cơ cấu và hệ thống tổ chức, cơ chế quản lý để tạo được
chuyển biến cơ bản và toàn diện của nền giáo dục nước nhà , khắc phục cách
đổi mới chắp vá, thiếu tầm nhìn tổng thể, thiếu kế hoạch đồng bộ ”.
1
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để
giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng dạy

học ở nước ta hiện nay.
1.2. Vai trò, nhiệm vụ đào tạo của trường ĐHSP.
Yêu cầu về nội dung giáo dục đại học được nêu ở điều 36.Luật giáo dục
như sau: “ Đào tạo trình độ đại học phải bảo đảm cho sinh viên có những
kiến thức khoa học cơ bản và chuyên ngành tương đối hoàn chỉnh, có phương
pháp làm việc khoa học, có năng lực vận dụng lý thuyết vào công tác chuyên
môn.”
Nội dung đào tạo giáo viên của các trường sư phạm thường có hai mảng
lớn, đó là khoa học cơ bản và khoa học giáo dục. Hai mảng này hỗ trợ cho
nhau, hướng vào việc hình thành ở người học trình độ chuyên môn, nghiệp
vụ.
Thực trạng, đào tạo khoa học cơ bản phần nhiều nhằm mục đích tự nó, chỉ
ra cho người học thấy những kiến thức khoa học cơ bản mà họ được trang bị
sẽ được sử dụng như thế nào trong khi việc đào tạo về khoa học giáo dục
chưa liên hệ được nhiều với nội dung các môn được học trong trường sư
phạm với các hoạt động mà họ phải thực hiện trong công việc sau này.
Về điều này, GS.TS Trần Bá Hoành nhận xét: “ Trong ngành sư phạm có
thói quen phân biệt đào tạo về chuyên môn với đào tạo về nghiệp vụ. Thực ra,
phần chuyên môn cũng chính là nghiệp vụ, vì nghiệp vụ chính của giáo viên
là dạy các môn học Phải làm cho việc giảng dạy các bộ môn khoa học thấm
nhuần tính nghiệp vụ sư phạm từ mục tiêu đến nội dung, phương pháp
”(xem [1])
Vì vậy, cần tích hợp đào tạo chuyên môn ( khoa học cơ bản) và đào tạo
nghiệp vụ ( khoa học giáo dục) làm cho hai mảng này làm thành một thể
thống nhất : đào tạo chuyên môn phải đảm bảo tính nghiệp vụ , còn đào tạo
nghiệp vụ phải đồng thời và dựa trên nền của đào tạo chuyên môn.
2
Nhiệm vụ chính của trường ĐHSP là đào tạo giáo viên cho các trường
THPT nên việc đào tạo sinh viên trong trường ĐHSP đòi hỏi phải định hướng
đến nhiệm vụ dạy học ở trường phổ thông sau này , vì vậy việc khai thác

những yếu tố nghiệp vụ sư phạm trong dạy học các môn khoa học cơ bản ở
trường sư phạm góp phần chuẩn bị nghề cho sinh viên là một trong những vấn
đề cần được quan tâm trong đào tạo ở trường sư phạm. Nó không những được
thể hiện ở hành động của sinh viên trên lớp mà còn cả ở việc biên soạn giáo
trình một cách hệ thống, khoa học, mang ý nghĩa sư phạm.
Theo giáo sư Đoàn Quỳnh , việc viết giáo trình khoa học cơ bản theo định
hướng sư phạm là rất quan trọng. Điều đó giúp sinh viên hiểu sâu hơn những
kiến thức liên quan đến việc giảng dạy của họ ở trường phổ thông cũng như là
cơ hội tốt để mở rộng tầm nhìn toán học cho họ. Nhiều vấn đề toán học phổ
thông sẽ được hiểu một cách chính xác và đúng bản chất khi nhìn chúng
từ toán học hiện đại.Do đó việc tăng cường định hướng sư phạm thông qua
giảng dạy các môn khoa học cơ bản không những giúp cho sinh viên sư phạm
thấy được những kiến thức về toán học cao cấp sẽ là một công cụ hữu hiệu
trong việc định hướng tìm lời giải một số bài toán sơ cấp mà còn giúp sinh
viên hiểu được sâu sắc hơn kiến thức toán phổ thông trong quá trình học tập,
rèn luyện để trở thành người giáo viên toán vững vàng cả về chuyên môn và
nghiệp vụ .(xem [2])
1.3. Tình hình dạy và học bộ môn hình học xạ ảnh ở trường sư phạm.
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học bắt buộc dành cho sinh viên
năm thứ 2 của các trường ĐHSP, chiếm thời lượng 4 đơn vị học trình.
Nội dung chương trình hình học xạ ảnh được biên soạn với mục đích
ngoài việc truyền đạt kiến thức khoa học cơ bản nhằm nâng cao và phát triển
tư duy toán học cho người học, còn có dụng ý sư phạm mà thông qua việc học
tập bộ môn này, người học tìm thấy được mối liên hệ qua lại giữa nội dung
kiến thức hình học xạ ảnh với nội dung hình học được giảng dạy ở các trường
3
phổ thông.
Hiện nay, ở các trường sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học đang từng
bước được tiến hành để phù hợp với mục tiêu giáo dục đào tạo. Các phong
trào như thi đua giảng dạy tốt: sinh viên học tập , rèn luyện vì ngày mai lập

nghiệp; phong trào nói không với bệnh thành tích và tiêu cực trong thi cử đã
làm cho chất lượng giảng dạy và học tập các môn học nói chung; môn hình
học xạ ảnh nói riêng ngày càng thực chất và nâng cao.Bên cạnh đó vẫn tồn tại
một thực tế là:
Do ảnh hưởng của cách dạy truyền thống, một số giảng viên còn chú trọng
tới việc truyền đạt kiến thức cơ bản mà xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng và
đào tạo nghề cho sinh viên, chưa thể hiện rõ dược mối liên hệ giữa khoa học
cơ bản và khoa học giáo dục. Cùng với đó là quan niệm của một bộ phận
không nhỏ các sinh viên là học bộ môn hình học xạ ảnh với quan điểm học
chỉ để thi cho qua.
Với cách dạy và học đó đã làm mất đi dụng ý sư phạm- một yêu cầu không
nhỏ của bộ môn. Sinh viên chưa thấy rõ được mối liên hệ giữa hình học
xạ ảnh với công việc chính của họ sau này: giảng dạy Toán ở trường PTTH.
Qua trao đổi với các đồng nghiệp là các giáo viên đang giảng dạy toán ở
các trường THPT ở Hà Nam tôi nhận thấy phần lớn họ đã quên kiến thức về
hình học xạ ảnh đã được học trước đó và hệ quả hiển nhiên là giáo viên không
thể hoặc khó khăn rất nhiều khi vận dụng kiến thức toán cao cấp nói chung
và hình học xạ ảnh nói riêng vào việc dạy hình học ở các trường phổ thông.
Đã có những đề tài nghiên cứu về mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hình
học sơ cấp song còn rất ít những đề tài nghiên cứu,khai thác mối liên hệ giữa
hình học xạ ảnh với nội dung hình học được giảng dạy ở các trường PTTH .
Từ những lý do phân tích ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Khai thác
mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu
quả dạy học môn hình học ở trường phổ thông”.
4
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu để thấy được mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ
cấp đồng thời đề xuất cách khai thác,vận dụng mối liên hệ đó nhằm nâng cao
hiệu quả dạy học môn hình học ở trường THPT.
3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu chương trình, nội dung môn hình học xạ ảnh ở trường sư
phạm và nội dung hình học ở trường phổ thông nhằm phân tích mối liên hệ
giữa chúng.
Khai thác ,vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp
ở trường phổ thông vào việc học tập môn hình học xạ ảnh ở trường sư phạm
(của sinh viên) và vào việc giảng dạy môn hình học ở trường phổ thông (của
giáo viên).
4.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.
Nếu biết cách khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh
và hình học sơ cấp vào việc giảng dạy bộ môn hình học ở trường phổ thông
thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục.
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu những tài liệu liên quan đến đề tài.
Phương pháp điều tra: Điều tra, thăm dò,lấy ý kiến sinh viên sư phạm và
của các đồng nghiệp.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm rút ra từ thực
tế giảng dạy của tác giả và đồng nghiệp.
6.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN.
Ngoài phần mở đầu và kết luận , luận văn gồm 3 chương:
Chương I : Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương II : Nhắc lại một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh.
Chương III: Các ví dụ minh hoạ.
5
Chương I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1.Nội dung hình học được giảng dạy ở trường phổ thông và nội dung
hình học xạ ảnh ở trường Đại Học Sư Phạm.
1.1.1.Nội dung hình học được giảng dạy ở trường phổ thông trung học.
Theo phương pháp dạy học môn toán - phần hai: Dạy học những nội
dung cơ bản (Nguyễn Bá Kim chủ biên: NXBGD - 94) thì nội dung hình học
được giảng dạy ở trường PTTH gồm các nội dung chính sau:

1.1.1.1.Chương trình hình học không gian ở trường PTTH.
Trong chương trình hình học ở trường phổ thông trung học, hình học
không gian được nghiên cứu bằng ba phương pháp: Phương pháp tiên đề (hay
phương pháp tổng hợp) (lớp 11) , phương pháp véc tơ và phương pháp toạ độ
(lớp 12).
Những kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm vững là:
- Hệ tiên đề của hình học không gian. Các cách xác định mặt phẳng. Vị trí
tương đối của hai đường thẳng, của một đường thẳng và một mặt phẳng, của
hai mặt phẳng.
- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng song song, hai đường thẳng
chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
- Tính chất của phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc.
- Các loại khoảng cách: Khoảng các giữa điểm và đường thẳng, giữa hai
đường thẳng chéo nhau, giữa điểm và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt
phẳng.
- Các loại góc : Góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt
phẳng, giữa hai mặt phẳng:
- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện , hình
nón, hình trụ, hình tròn xoay.
6
- Định nghĩa vectơ, các phép toán trên véctơ, điều kiện để hai vectơ cùng
phương, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng, góc giữa hai vectơ.
- Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian, biểu thức toạ độ của các
phép toán trên các vectơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,
các công thức để tính góc và khoảng cách, phương trình mặt cầu.
1.1.1.2. Vectơ và toạ độ trong chương trình phổ thông.
Ở trường PTTH hiện nay (trường PTTH phân ban trong các năm tới), học
sinh học vectơ và toạ độ từ lớp 10 đến lớp 12. Theo chương trình hiện hành, ở

lớp 10 đề cập đến vectơ và mở đầu về toạ độ trong mặt phẳng. Tiếp đó, sử
dụng công cụ này và phương pháp vectơ để khảo sát các hệ thức lượng đối
với tam giác, đối với đường tròn và ứng dụng một phần để nghiên cứu một số
phép biến hình (phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép vị tự…).
Đến lớp 11, học sinh học hình học không gian bằng phương pháp tổng
hợp.
Ở lớp 12 học sinh được tiếp tục nghiên cứu hình học phẳng và hình học
không gian bằng phương pháp toạ độ với các đối tượng như đường thẳng,
đường tròn, ba đường cônic (Elip; parabol; hypebol), đường thẳng trong
không gian, mặt phẳng trong không gian,mặt cầu.
Như vậy, trong chương trình hình học ở trường phổ thông hiện nay,
phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ được xem là những phương pháp
toán học cơ bản được kết hợp cùng với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu
những đối tượng và quan hệ hình học ở trên mặt phẳng và trong không gian.
Chương trình hình học của trường PTTH phân ban đang và sẽ triển khai
trong vài năm tới tuy có sắp xếp lại một số nội dung để đảm bảo rõ nét hơn
tính hệ thống nhưng vẫn thể hiện quan điểm cơ bản nêu trên.
1.1.2 Nội dung hình học xạ ảnh ở trường Đại Học Sư Phạm.
Chương trình hình học xạ ảnh được giảng dạy ở khoa Toán, ĐHSP Hà
Nội bao gồm những vấn đề sau:
7
-Không gian xạ ảnh.
-Ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh.
-Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh.
Với các nội dung cụ thể như:
Không gian xạ ảnh, toạ độ xạ ảnh và mục tiêu xạ ảnh, phương trình của
mặt phẳng, ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh, tỷ số kép, mô hình xạ ảnh của
không gian afin, nguyên tắc đối ngẫu, siêu mặt bậc hai và phân loại xạ ảnh
của chúng, một số định lý quan trọng trong P
2

, mô hình xạ ảnh của không
gian Ơclit.
Ta nhận thấy nội dung hình học xạ ảnh được học ở trường đại học sư
phạm và nội dung hình học được giảng dạy ở trường PTTH có mối liên hệ
chặt chẽ,thể hiện ở những điểm sau:
1.2.Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp.
1.2.1.Mối liên hệ thể hiện trong quan điểm biên soạn giáo trình.
Nội dung đào tạo giáo viên của các trường sư phạm thường có hai mảng
lớn, đó là khoa học cơ bản và khoa học giáo dục. Hai mảng này được lồng
ghép đan xen và hỗ trợ cho nhau, hướng vào việc hình thành ở người học
trình độ chuyên môn,nghiệp vụ.
Nhiệm vụ chính của trường Đại học sư phạm là đào tạo giáo viên giảng
dạy ở các trường phổ thông trung học nên việc đào tạo sinh viên trong các
trường đại học sư phạm đòi hỏi phải định hướng đến nhiệm vụ dạy học ở
trường phổ thông sau này, vì vậy việc khai thác những yếu tố nghiệp vụ sư
phạm trong khi dạy học các môn khoa học cơ bản ở trường sư phạm góp phần
chuẩn bị nghề cho sinh viên.
Theo giáo sư Đoàn Quỳnh, việc viết giáo trình khoa học cơ bản theo định
hướng sư phạm là rất quan trọng. Nó giúp sinh viên hiểu sâu hơn những kiến
thức liên quan đến việc giảng dạy của họ ở trường phổ thông cũng như mở
rộng tầm nhìn về toán học cho họ. Giáo trình “ hình học xạ ảnh” là giáo trình
8
khoa học cơ bản, thể hiện được định hướng sư phạm. Bởi vì:
Giáo trình hình học xạ ảnh được học tiếp theo giáo trình hình học afin và
hình học Ơclit- hai môn hình học gần gũi với hình học sơ cấp được trình bày
ở trường phổ thông.
Không gian Ơclit hai chiều E
2
và ba chiều E
3

đã học ở trường PTTH là
những không gian Aphin theo thứ tự liên kết với các không gian vec tơ (tự
do) hai chiều V
2
và ba chiều V
3
với định nghĩa vec tơ, phép cộng véc tơ, phép
nhân vec tơ với một số thực đã được trình bày trong sách giáo khoa PTTH.
Ở đó 0 - phẳng; 1 - phẳng; 2 - phẳng chính là điểm; đường thẳng và mặt
phẳng.
Đơn hình 0 chiều là một điểm; đơn hình một chiều; hai chiều; ba chiều
lần lượt là đoạn thẳng; tam giác; tứ diện.
Hình hộp 0 chiều là một điểm; hình hộp 1 chiều là đoạn thẳng; hình hộp2
chiều là một hình bình hành; hình hộp 3 chiều là hình hộp theo nghĩa thông
thường.
Elip; hypebol; parabol; cặp đường thẳng cắt nhau, song song; trùng nhau
là các đường bậc hai, cặp mặt phẳng cắt nhau; cặp mặt phẳng song song; cặp
mặt phẳng trùng nhau là các mặt bậc hai…
Các tính chất thẳng hàng hay không thẳng hàng của hệ điểm; tính chất
song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; của
đường thẳng và mặt phẳng và tính chất tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với một
họ hệ số là tính chất A fin.(Các tính chất bất biến đối với nhóm A fin).
Không gian Ơclit ba chiều E
3
được học trong chương trình toán học ở bậc
phổ thông. Trong không gian này; mặt phẳng Ơclit là không gian Ơclit hai
chiều E
2
.
Các không gian

3
E

và
2
E

là các không gian vec tơ tự do ba chiều và hai
chiều. Tích vô hướng trong
3
E

và
2
E

được định nghĩa
( )
bababa




.cos
=
.
Theo định nghĩa, không gian Ơclit cũng là một không gian A phin nên
9
trong không gian Ơclit vẫn có các khái niệm và các tính chất của không gian
Afin. Mặt khác trong không gian Ơclit còn có các tính chất và khái niệm

không có trong không gian Afin như sự vuông góc của hai đường thẳng; hai
mặt phẳng; của đường thẳng và mặt phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớn
góc… do được trang bị thêm khái niệm và các tính chất của tích vô hướng.
Các phép dời hình của E
2
và E
3
là các phép Afin đặc biệt có tính chất
không làm thay đổi khoảng cách giữa hai diểm bất kì.
Hình học Ơclit nghiên cứu những tính chất không thay đổi qua các phép
dời hình (tức là những tính chất nếu có ở một hình này thì cũng có ở những
hình bằng nó).
Hình học xạ ảnh nghiên cứu những tính chất bất biến qua nhóm các phép
biến đổi xạ ảnh. Những tính chất được nghiên cứu trong hình học xạ ảnh được
gọi là những tính chất xạ ảnh. Thí dụ như phép biến đổi xạ ảnh f biến một m-
mặt phẳng thành một m- phẳng, tính chất thẳng hàng của ba điểm; tính chất
đồng quy của các đường thẳng…
Hình học xạ ảnh đã ra đời từ việc nghiên cứu các bất biến qua phép chiếu
xuyên tâm trong không gian hai chiều và ba chiều thông thường.
Trong các giáo trình hình học xạ ảnh, các tác giả đều trình bày mối liên
hệ giữa hình học Afin và hình Ơclit với hình học xạ ảnh.
Từ không gian Afin A
n
ta có thể xây dựng mô hình của không gian xạ
ảnh P
n
bằng cách thêm vào A
n
những điểm vô tận. Ngược lại, từ không gian
xạ ảnh P

n
có thể bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình của
không gian Afin.
Gọi K
n
là nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của P
n
và khi đó hình học xạ
ảnh là hình học của nhóm K
n
.
Nếu trong P
n
ta chọn một siêu phẳng P
n-1
làm siêu phẳng vô tận thì các
phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên P
n-1
làm thành một nhóm con của nhóm K
n
,
nhóm con này đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi Afin A
n
của không gian
10
Afin A
n
= P
n
\ P

n-1
.
Nếu xét tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên P
n-1
và giữ nguyên
cái tuyệt đối T thì tập hợp đó làm thành một nhóm con đẳng cấu với nhóm các
phép đồng dạng của không gian Ơclit E
n
. Tóm lại ta có:
Nhóm xạ ảnh
⊃
nhóm Afin
⊃
nhóm đồng dạng
⊃
nhóm dời.
Hình học xạ ảnh
⊂
hình học Afin
⊂
hình học đồng dạng
⊂
hình học Ơclit.
Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm giúp chúng ta thấy được
sự liên quan giữa các thứ hình học: xạ ảnh, Afin và Ơclit.
Lại do hình học sơ cấp có mối liên hệ gần gũi với hình học Afin và Ơlit
nên thông qua việc làm này, chúng ta sẽ hiểu rõ nội dung và cấu trúc của
chương trình hình học ở các trường phổ thông hiện nay.
Theo [3] ( trang 207) Hiện nay, nhiều phân môn toán ở bậc cao đẳng và
đại học được xây dựng trên cơ sở vec tơ như hình học giải tích, đại số tuyến

tính, hình học vi phân, hình học xạ ảnh… Vì thế, nắm vững khái niệm vectơ ở
trường phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiếp tục một cách
không đột ngột chương trình toán ở các trường Cao đẳng; Đại học…
Với lí luận trên; ta khẳng định: Giữa hình học xạ ảnh được giảng dạy ở
các trường Đại học sư phạm và hình học sơ cấp ở trường PTTH có mối
liên hệ với nhau. Giáo trình “ hình học xạ ảnh” ở trường Đại học sư phạm
được biên soạn ngoài mục đích trang bị kiến thức khoa học cơ bản cho
sinh viên còn có dụng ý sư phạm là đào tạo nghiệp vụ sư phạm, định
hướng đến nhiệm vụ dạy học ở trường phổ thông sau này.
1.2.2 .Mối liên hệ thể hiện trong nội dung và hình thức.
1.2.2.1. Về nguyên tắc xây dựng chương trình:
Hình học cao cấp ở trường Đại học sư phạm nói chung, hình học xạ ảnh
nói riêng được trình bày một cách có hệ thống, khoa học theo phương pháp
tiên đề, với lý luận chặt chẽ theo phương thức suy diễn , logic.
Trong khi đó, nội dung hình học ở trường phổ thông được xây dựng tuân
11
thủ theo những nguyên tắc sau:
+ Coi mục tiêu giáo dục của môn toán ở trường phổ THPT là điểm xuất phát
để xây dựng chương trình.
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCHTW ĐCSVN ( Khoá VII, 1993) đã chỉ
rõ:
Mục tiêu giáo dục đào tạo phải định hướng vào đào tạo những con lao
động, tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua
đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giầu,
nước mạnh, xã hội công bằng dân chủ, văn minh.
Nhiệm vụ dạy học môn toán là: [xem 4]
-Trang bị những tri thức (bao gồm cả tri thức phương pháp) cơ bản, cần
thiết cho học sinh.
-Rèn luyện kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh .

- Bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh.
-Bảo đảm trình độ phổ thông đồng thời chú trọng bồi dưỡng những học
sinh có năng khiếu về toán.
+ Đảm bảo tính hệ thống, chỉnh thể của chương trình môn toán trong nhà
trường phổ thông.
+ Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức
toán học trong chương trình, hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có
ý nghĩa lý thuyết thuần tuý và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không
phù hợp với đại đa số học sinh. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều
kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ năng tính toán và
vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác.
1.2.2.2. Về hình thức thể hiện nội dung.
Do những quan điểm khác biệt trên dẫn đến có sự khác biệt về hình thức
thể hiện nội dung .
12
Như đã biết:Trong mặt phẳng xạ ảnh, hai đường thẳng phân biệt luôn có
một điểm chung.Trong khi ở hình học phổ thông, hai đường thẳng phân biệt
trong mặt phẳng có thể cắt nhau hoặc song song .
Trong hình học xạ ảnh cũng có các khái niệm đồng quy của các đường
thẳng, sự thẳng hàng của các điểm, khái niệm đường bậc hai nhưng lại không
có các khái niệm song song (dẫn đến không có khái niệm hình bình hành;
hình thang), không có khái niệm khoảng cách, vuông góc…(dẫn đến không có
khái niệm về đường tròn; tam giác vuông; tam giác cân; hình lập phương…)
như trong hình học ở trường phổ thông.
Trong mặt phẳng xạ ảnh, mục tiêu xạ ảnh được biểu diễn bởi tam giác toạ
độ A
1
A
2
A

3
và một điểm đơn vị E với A
1
(1,0,0), A
2
(0,1,0) , A
3
(0,0,1) và
E(1,1,1).
Trong khi đó ở hình học phổ thông, mục tiêu toạ độ được biểu diễn bởi hệ
toạ độ trực chuẩn Oxy ( trong hình học phẳng) hoặc Oxyz trong không gian…
Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học ở trường phổ thông còn
được thể hiện ở nội dung chương II và chương III của luận văn này.
1.3.Tình hình dạy học hình học ở trường phổ thông và hình học xạ ảnh ở
trường Đại học sư phạm.
1.3.1 Tình hình dạy học ở trường phổ thông.
Qua trao đổi trực tiếp với các đồng nghiệp – các giáo viên giảng dạy Toán
ở một số trường PTTH ở tỉnh Hà Nam- tôi được biết phần lớn giáo viên cảm
thấy rất khó khăn khi vận dụng kiến thức hình học cao cấp đã được học ở
trường Đại học sư phạm vào việc giảng dạy hình học ở phổ thông, nhất là
kiến thức về hình học xạ ảnh. Mặc dù trong đó, có nhiều giáo viên dạy giỏi,
có kinh nghiệm và có nghiệp vụ sư phạm.
Trao đổi kỹ hơn, tôi được biết, nhiều giáo viên đã quên hoặc nhớ không rõ
về kiến thức của hình học xạ ảnh (như nhầm lẫn giữa các khái niệm xạ ảnh
với các khái niệm có trong hình học Afin và hình học Ơclit…). Nhưng phần
13
lớn thừa nhận: Có mối liên hệ nhất định giữa hình học xạ ảnh với nội dung
hình học phổ thông và nếu khai thác, vận dụng tốt mối liên hệ này thì hiệu
quả giảng dạy sẽ còn cao hơn nữa.
Chẳng hạn khi giải bài toán sau: “ Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần

lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC: BR
=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PQR). CMR : AS = 2SD”
(BT6, trang 27,SGK hình học 11) thì việc kẻ thêm đường phụ như hướng dẫn
giải là không tự nhiên và gây khó khăn cho học sinh, nhưng nếu áp dụng định
lý Menelaus dạng sơ cấp (có thể giới thiệu cho học sinhm, kể cả cách chứng
minh sơ cấp) thì việc chứng minh bài toán trên là đơn giản hơn,mà định lý
Menelaus đã được trình bày trong hình học xạ ảnh…
Theo chúng tôi thì nguyên nhân của tình trạng trên một phần do thời
lượng dành cho phần hình học ở trường phổ thông theo phân phối chương
trình chỉ đủ để truyền đạt những kiến thức cơ bản mà không đủ thời gian cho
phép giáo viên mở rộng kiến thức cho học sinh,nó cũng phụ thuộc vào đối
tượng học sinh mà giáo viên đang giảng dạy và một nguyên nhân nữa là giáo
viên PTTH chưa được trang bị tốt về kiến thức của hình học xạ ảnh, nói cách
khác, việc “ chuẩn bị nghề ” khi còn là sinh viên sư phạm chưa thực sự tốt.
1.3.2 Tình hình dạy và học hình học xạ ảnh ở trường ĐHSP.
Hình học cao cấp nói chung- hình học xạ ảnh nói riêng là một trong
những môn khoa học cơ bản nhưng lại có tính nghiệp vụ cao.
Việc khai thác tính nghiệp vụ trong quá trình dạy học hình học cao cấp là
một trong những nhiệm vụ cần thiết trong mục tiêu dạy học các môn khoa học
cơ bản ở trường Đại học sư phạm.
Hiện nay, việc tổ chức đào tạo khoa học cơ bản và khoa học giáo dục được
thực hiện theo một trong hai phương thức:
- Đào tạo “kế tiếp” , tức là đào tạo xong về chuyên môn rồi mới đào tạo tiếp
về nghiệp vụ sư phạm , hình thức này thường được thực hiện trong các trường
14
đại học đa lĩnh vực.
- Đào tạo “đồng thời” là đào tạo song song về chuyên môn và nghiệp vụ
trong suốt khoá đào tạo, hình thức này được thực hiện trong các trường đại
học sư phạm.
Một trong những ưu thế của phương thức đào tạo “đồng thời” là thuận lợi

cho việc tích hợp đào tạo hai mặt chuyên môn và nghiệp vụ, có đủ thời gian
cho sinh viên tập dượt, nắm vững kĩ năng giáo dục dạy học. Mức độ dễ dàng
thực hiện nhất là tích hợp, lồng ghép những kiến thức cơ bản trong chương
trình phổ thông vào phần thích hợp trong nội dung môn khoa học cơ bản,
cách này không những không làm ảnh hưởng đến hệ thống kiến thức khoa học
mà còn giúp cho sinh viên nắm vững những kiến thức có liên quan sẽ phải
dạy ở trường phổ thông sau này. Đó chính là sự “ chuẩn bị nghề” cho sinh
viên ngay từ khi sinh viên đang học trong trường sư phạm.
Theo giáo sư tiến sĩ Phan Ngọc Liên thì ” Tính nghiệp vụ trong đào tạo ở
trường đại học sư phạm đòi hỏi chúng ta phải nhanh chóng giải quyết mối
quan hệ, sự liên kết giữa các môn khoa học cơ bản và khoa học giáo dục” và
đó chính là sự khác biệt giữa trường sư phạm với các trường đại học khác.
(xem [5])
Vậy thực trạng dạy và học hình học xạ ảnh ở trường đại học sư phạm là
gì?
Dù biết việc khai thác tính nghiệp vụ trong quá trình dạy học hình học xạ
ảnh là một trong những nhiệm vụ và mục tiêu của bộ môn song thời lượng
giành cho phần hình học cao cấp theo phân phối chương trình còn hạn chế (60
tiết),chỉ đủ để truyền đạt những kiến thức cơ bản, không đủ thời gian cho
phép giảng viên phân tích, khai thác sâu sắc tính nghiệp vụ của môn học.
Hơn nữa, đặc trưng của giáo dục đại học là dạy “cách tự học”, các giảng
viên đã khắc phục vấn đề thời lượng bằng cách lồng ghép kết hợp việc giảng
dạy trực tiếp với hướng dẫn sinh viên tự học, tự đọc và nghiên cứu tài liệu…
15
Với cách giảng dạy này, giảng viên với vai trò cố vấn, điều khiển quá trình
học tập của sinh viên, có tác dụng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo
của người học. Tuy nhiên kết quả còn phụ thuộc nhiều vào thái độ, ý thức và
phương pháp học tập của mỗi sinh viên.
Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy bên cạnh những sinh viên học tập tích cực,
chăm chỉ đúng với khẩu hiệu “ Học tập , rèn luyện vì ngày mai lập nghiệp”

còn không ít sinh viên chưa hoàn thành nhiệm vụ của mình. Còn tồn tại quan
điểm học chỉ để đối phó với các kì thi, có thể quên khi đã thi xong… Nhiều
sinh viên sư phạm cho rằng hình học cao cấp chỉ đơn thuần là môn học nhằm
nâng cao kiến thức khoa học cơ bản mà chưa thấy được ý nghĩa của việc học
hình học cao cấp đối với nghề nghiệp của họ sau này.
Điều đó, một phần giải thích cho sự đánh giá từ phía cán bộ giảng dạy hình
học cao cấp về mức độ nhận thức của sinh viên: Phần lớn sinh viên đại học sư
phạm chỉ dừng ở mức độ nắm được các khái niệm, tính chất của hình học cao
cấp mà chưa hiểu thấu đáo nội dung kiến thức này. Chỉ có một số ít sinh viên
biết áp dụng một số kiến thức đã được học của hình học cao cấp vào việc soi
sáng các kiến thức liên quan ở chương trình PTTH…
1.4.Khai thác, vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với hình học sơ
cấp vào việc giảng dạy nội dung hình học ở trường phổ thông.
Từ một không gian Afin ta có thể xây dựng một mô hình của không gian
xạ ảnh (gọi là mô hình afin) bằng cách thêm vào không gian afin những
“điểm vô tận”.
Ngược lại, nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêu
phẳng nào đó (xem như một siêu phẳng vô tận ) ta có thể xây dựng phần còn
lại thành một mô hình xạ ảnh của không gian afin hoặc mô hình xạ ảnh của
không gian Ơclit.
Như vậy giữa không gian afin, không gian Ơclit và không gian xạ ảnh có
sự liên quan mật thiết.Bởi vậy, giữa hình học afin, hình học Ơclit và hình học
16
xạ ảnh cũng có những sự liên quan.
Không gian Ơclit hai chiều E
2
(mặt phẳng Ơclit) và ba chiều E
3
(không
gian ba chiều thông thường) được trình bày ở trường PTTH là những không

gian afin theo thứ tự liên kết với các không gian vectơ Ơclit hai chiều
2
V

và
ba chiều
3
E

.
Bởi vậy, nghiên cứu, khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học
xạ ảnh 1 chiều và 2 chiều với hình học afin và hình học Ơclit tương ứng là
nghiên cứu, khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với
hình học sơ cấp được giảng dạy ở trường phổ thông.
Khai thác - vận dụng mối liên hệ này có thể theo các phương diện sau:
1.4.1. Từ một kết quả của hình học afin có thể suy ra một kết quả của
hình học xạ ảnh.
Giả sử ta có một định lý về các đối tượng nào đó của không gian afin.
Bằng cách thêm vào không gian afin đó những điểm vô tận, ta được một
không gian xạ ảnh , những đối tượng của không gian afin trở thành đối tượng
của không gian xạ ảnh và định lý đã cho trở thành một định lý của hình học
xạ ảnh.Vì ta chỉ có một phương pháp thêm các điểm vô tận nên từ một định lý
afin ta sẽ chỉ suy ra được duy nhất một định lý của hình học xạ ảnh.
Bằng cách này ta có thể suy ra một kết quả của hình học xạ ảnh nhờ một
kết quả đã biết của hình học afin.
Ví dụ : Ta đã biết định lý sau của hình học sơ cấp:
“ Trong một hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
chúng ”.
Nếu thêm các điểm vô tận vào mặt phẳng afin thì các cạnh song song của
hình bình hành đều có điểm chung (là điểm vô tận) và bởi vậy hình bình hành

trở thành hình bốn cạnh toàn phần của mặt phẳng xạ ảnh. Trung điểm của một
đoạn thẳng sẽ trở thành điểm cùng với điểm vô tận ( trên đường chứa đoạn
thẳng đó) liên hiệp điều hoà với hai đầu mút của đoạn thẳng. Bởi vậy định lý
17
nói trên về hình bình hành sẽ trở thành một định lý của hình học xạ ảnh về
hình bốn cạnh toàn phần mà ta đã biết: “Trong một hình bốn cạnh toàn phần,
các đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo và cặp giao điểm của đường chéo
đó với hai đường chéo còn lại liên hiệp điều hoà với nhau.”
Cũng bằng cách này , ta có thể đưa việc giải một bài toán của hình học sơ
cấp bằng việc giải một bài toán tương ứng theo kiến thức của hình học xạ ảnh.
Nói cách khác, ta có thể dùng hình học xạ ảnh “ soi sáng” hình học sơ cấp.
Ta lấy ví dụ :
Trên một tiếp tuyến t của một đường tròn (O) lấy hai điểm A và B đối
xứng qua tiếp điểm T. Từ A và B kẻ cát tuyến APQ, BRS cắt đường tròn (O)
lần lượt ở P,Q và R,S. Gọi M, M’, N, N’ tương ứng là các giao điểm của
PR,QS,PS,QR với t.
Chứng minh rằng T là trung điểm chung của các đoạn MM’,NN’.
Một lời giải thông thường của bài toán này là:
Dựng cát tuyến AR’S’ đối xứng với BRS qua OT.Nối MS’.
Do tính chất của phép đối xứng trục OT ta có SS’//AB (cùng vuông góc với
OT) và AS =BS’
(1)
⇒
Tứ giác ABS’S là hình thang cân nên cũng có
'' MBSASM ∠=∠
(2)
.
Do
PMSSBSABS '''
∠=∠=∠

nên giác MAPS’ là tứ giác nội tiếp
⇒

ASMSQSPQSAMS '''' ∠=∠=∠=∠
(3)
.
T ừ (1),(2) v à (3)
⇒
∆
M’S’A=
∆
MSB (g.c.g).
Suy ra MA’=BM
⇒
M’T=MT hay T là trung điểm MM’.
18
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có T là trung điểm NN’(đpcm).
Ta có thể đưa ra lời giải của bài toán trên dưới góc độ kiến thức của hình
học xạ ảnh như sau:
Bốn điểm phân biệt P,Q,R,S là các điểm chung của một chùm đường cong
bậc hai , nói khác đi chúng xác định một chùm đường cong bậc hai (C).Trong
chùm này có một đường cong không suy biến là đường tròn (O) và ba đường
cong suy biến, đó là ba cặp đường thẳng ( PQ, RS); (PR ,QS) và (PS, QR)
chứa ba cặp cạnh đối diện của hình tứ điểm { P,Q,R,S}.
Theo định lý Đơdac II thì : đường tròn (O) và ba cặp đường thẳng nói trên
xác định trên tiếp tuyến t tại T của (O) các cặp điểm tương ứng (T,T), (A,B),
(M,M’) và (N,N’) của một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp loại hypebolic trên
t.Vì
),,,(1),,,( ∞=−=∞ TABTBA
do đó ta có:

.1),,,(),,,(),,,(
''
−=∞=∞=∞ TBATNNTMM
Điều này có nghĩa là T chính là trung điểm chung của các đoạn MM’ và
NN’.Bài toán được chứng minh.
1.4.2.Từ một kết quả của hình học xạ ảnh có thể suy ra những kết quả
hình học sơ cấp.
*Giả sử có một định lý về đối tượng nào đó trong không gian xạ ảnh. Bằng
cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó ta sẽ được không gian afin và định lý nói
trên sẽ trở thành định lý của hình học afin.
Bởi vì có thể bỏ đi bất kỳ một siêu phẳng nào, nên bằng cách nào đó ta có thể
thu được nhiều định lý afin khác nhau.
Ta lấy một ví dụ :
19
Xét định lý Briăngsông trong trường hợp tam giác:
“ Nếu tam giác ABC ngoại tiếp một đường conic S thì các đường thẳng nối
đỉnh của tam giác với tiếp điểm trên cạnh đối diện sẽ đi qua một điểm.”
Trên hình vẽ ta có các đường thẳng AA’,BB’,CC’đi qua O
- Nếu ta chọn đường thẳng B’C’ là đường thẳng vô tận thì đường conic sẽ trở
thành một hypebol với hai đường tiệm cận là AB và AC.
Khi đó hai đường thẳng AB và OC song song, AC và OB song song.
VậyABOC là hình bình hành với A’ là điểm gặp nhau của hai đường chéo.
Dođó
CAAB

=
.Vậy ta đi đến kết quả sau của hình học afin:
“ Hai đường tiệm cận của một Hypebol chắn trên một tiếp tuyến bất kỳ một
đoạn thẳng nào mà tiếp điểm chính là trung điểm.”
Nếu ta chọn đường thẳng BC làm đường thẳng vô tận thì conic bây giờ lại trở

thành một parabol mà AA’ là một đường kính, còn AB’OC’ là một hình bình
hành.
20
-
Bởi vậy ta có kết quả sau: “ Nếu từ một điểm A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC
với một parabol thì đường kính của parabol liên hợp với phương xác định bởi
vectơ BC sẽ phải đi qua A.”
* Cũng do từ một bài toán của hình học xạ ảnh có thể suy ra nhiều bài toán
afin nên bằng cách chọn siêu phẳng vô tận một cách thích hợp ta có thể
chuyển một bài toán xạ ảnh thành một bài toán afin mà cách giải dễ thực hiện
hơn.
Ta lấy một ví dụ khác:
Chứng minh rằng:Trong một hình bốn cạnh toàn phần, trên mỗi đường chéo
hai đỉnh đối diện và hai điểm chéo liên hiệp điều hoà với nhau.
Ta có thể giải bài toán này bằng công cụ của hình học xạ ảnh, bây giờ ta
dùng mô hình afin của không gian xạ ảnh để giải bài toán này.
Chọn siêu phẳng vô tận P
n-1
đi qua hai điểm C, C’ và không đi qua một đỉnh
nào khác nữa của hình bốn cạnh toàn phần. Khi đó ta có hai đường thẳng AB
và A’B’ song song với nhau. Hai đường thẳng AB’ và A’B cũng song song
với nhau. Tứ giác ABA’B’ là một hình bình hành của không gian afin A
n
.
21
Theo kết quả của hình học afin ta có điểm chéo D là trung điểm của AA’ và
BB’.
Vì vậy điểm D cùng với điểm E vô tận liên hiệp điều hoà với hai điểm A,A’.
Trên đường chéo BB’, điểm D cùng với điểm vô tận F liên hiệp điều hoà với
hai điểm B,B’. Do đó ta có:

(AA’DE) = (DAA’) = -1 và (BB’DF) = (DBB’) = -1 ( đpcm).
* Nắm vững kiến thức hình học xạ ảnh, vận dụng mối quan hệ giữa hình
học xạ ảnh với hình học afin ta có thể định hướng cho lời giải sơ cấp của
những bài toán afin.
Xét bài toán :
Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Qua C dựng các tiếp tuyến CP,
CQ với đường tròn (O), đường kính AB (P, Q là các tiếp điểm). Chứng minh
rằng P,Q,H thẳng hàng.
Lời giải 1: (Nhìn theo góc độ của hình học xạ ảnh).
Gọi D= BC
∩
AH, E = CA
∩
BH, F =DE
∩
AB,I = BE
∩
CF, K = AD
∩
CF
Xét tứ giác toàn phần ABDECF có:
[ADHK] =[CFKI] =[BEIH]= -1
Suy ra H liên hợp điều hoà với I và K đối với (O) ,do đó IK là đối cực của H,
nên C liên hợp với H đối với (O).
Mặt khác, PQ là đối cực của C, suy ra H thuộc PQ hay P,Q,H thẳng hàng.
(đpcm).
Ta thấy, PQ là đường thẳng đối cực của C, mà C liên hợp với H đối với
22
đường tròn (O), nên H thuộc PQ, suy ra H,P,Q thẳng hàng.
Vậy để chứng minh H,P,Q thẳng hàng, ta chứng minh H thuộc đường thẳng

PQ. Điều đó gợi ý cho ta thấy H nằm trên trục đẳng phương PQ của hai
đường tròn nào đó và ta có thể đưa ra lời giải sơ cấp bài toán trên.
Lời giải 2:
Các điểm C,P,F,O,Q nằm trên đường tròn (
ω
)đường kính OC, ta có :
P (H) / (
ω
) =
HFHC.
P (H) / (O) =
HEHBHDHA =
.
Mặt khác H là trực tâm tam giác ABC nên
HFHCHEHBHDHA ==
.
Suy ra P(H)/(
ω
) = P(H)/(O) nên H thuộc trục đẳng phương PQ của (
ω
) và
(O) . Vậy P,Q,H thẳng hàng.
1.4.3. Sáng tạo các bài toán mới:
Từ một bài toán afin ta có thể suy ra một bài toán xạ ảnh bằng cách bổ
sung thêm vào không gian afin này những điểm vô tận thuộc một siêu phẳng
vô tận.
Ngược lại: Từ một bài toán xạ ảnh, bằng cách chọn các siêu phẳng khác nhau
đóng vai trò siêu phẳng vô tận, ta có thể có nhiều bài toán afin khác mà các
kết quả ta có thể suy ra từ những kết quả đã biết trong hình học xạ ảnh.
Kết hợp cả hai cách làm này ta có thể từ một bài toán sơ cấp suy ra nhiều

bài toán sơ cấp khác.
23
Nắm vững kiến thức hình học xạ ảnh, người giáo viên toán PTTH có một
mảnh đất màu mỡ để sáng tạo các bài toán cho học sinh của mình luyện tập.
Như vậy, một giáo viên PTTH với kiến thức về hình học xạ ảnh được trang
bị khi còn là sinh viên ở trường đại học sư phạm có thể dễ dàng đưa một số
bài toán hình học sơ cấp ở trường phổ thông về bài toán của hình học xạ ảnh,
dùng kiến thức hình học xạ ảnh soi sáng, định hướng cho lời giải sơ cấp của
bài toán đã cho, hơn thế nữa từ bài toán xạ ảnh tương ứng, giáo viên đó có thể
tạo ra được nhiều bài toán sơ cấp có mối liên hệ với bài toán ban đầu theo con
đường :Từ bài toán trong E
2

 →
ho¸Afin
bài toán trong A
2

 →
ho¸nh¶x¹
Bài toán trong P
2

 →
ho¸fin A
Các bài toán trong A
2

 →
ho¸chuÈn Trùc

Các bài toán trong E
2
.
Đó là sự thể hiện của mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học phổ thông với toán
học cao cấp theo các con đường :
Toán học đại học sư phạm
→
Toán học phổ thông.
hoặc : Toán học phổ thông
→
Toán học đại học sư phạm
→
Toán học phổ
thông.
Tất nhiên, những người có thể đi theo con đường này chỉ phù hợp là những
sinh viên sư phạm- những người thầy trong tương lai và những giáo viên đang
trực tiếp giảng dạy ở các trường phổ thông. Làm được như thế, sinh viên sẽ
nắm sâu sắc các kiến thức toán cao cấp, thấy được mối liên hệ với toán học
phổ thông, góp phần làm tốt khâu chuẩn bị nghề nghiệp sau này và chắc chắn
sẽ có kết quả tốt trong các kì thi của mình. Còn đối với những giáo viên phổ
thông , đi theo con đường đó là một cách để nâng cao trình độ chuyên môn
nghiệp vụ của mình, nâng cao hiệu quả dạy học và tất nhiên những học sinh
được học những người thầy như vậy sẽ có nhiều cơ hội được luyện tập, khắc
sâu và được khai thác, mở rộng kiến thức từ một dạng toán đã cho.
Từ những lập luận và phân tích trên, ta có thể kết luận:
24
Giữa hình học xạ ảnh ở trường đại học sư phạm và hình học sơ cấp ở
trường phổ thông có mối quan hệ mật thiết.
Và nếu biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt mối quan hệ đó vào việc
giảng dạy hình học ở phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy - học .

Ở chương II,chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm, định lí,tính chất
và các kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh , đặc biệt là các kết quả trong
mặt phẳng xạ ảnh P
2
với dụng ý đưa về những kết quả gần gũi và dễ dàng hơn
trong việc liên hệ với hình học ở trường phổ thông ,tiện lợi cho việc tra cứu
các khái niệm cơ bản của hình học xạ ảnh (đối với giáo viên THPT đã quên
nhiều về hình học xạ ảnh) và cả chuẩn bị cho việc trình bày nội dung chương
III của đề tài này.
25