Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

1

Mục lục

1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 3

1.1. Lý thuyết số 3

1.1.1. Khái niệm đồng dư Modulo 3

1.1.2. Định lý về đồng dư thức 3

1.1.3. Khái niệm phần tử nghịch đảo 4

1.1.4. Thuật toán Euclide 4

1.1.5. Phần tử nguyên thủy và logarith rời rạc 4

1.1.6. Thặng dư bậc hai và ký hiệu Legendre 5

1.1.7. Một số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố 6

1.2. Lý thuyết về độ phức tạp tính toán 6

1.2.1. Độ phức tạp tính toán 6

1.2.2. Các lớp phức tạp 7

1.3. Hàm một phía và hàm cửa sập một phía 8

2. GIỚI THIỆU VỀ MÃ HÓA 9

2.1. Các thuật ngữ 9

2.2. Định nghĩa hệ mật mã. 9

2.3. Những yêu cầu đối với hệ mật mã 10

2.4. Các phương pháp mã hoá 10

2.4.1. Mã hoá đối xứng khoá bí mật 10

2.4.1.1. Nơi ứng dụng 11

2.4.1.2. Các vấn đề đối với phương pháp mã hoá đối xứng 11

2.4.2. Mã hoá phi đối xứng khoá công khai 12

2.4.2.1. Nơi ứng dụng 12

2.4.2.2. Điều kiện hệ mã hóa khóa công khai 12

2.5. Các hệ mã hóa đơn giản 13

2.5.1. Mã dịch vòng 15

2.5.2. Mã thay thế 17

2.5.3. Mã Apphin 18

2.5.4. Mã Vigenère 19

2.5.5. Mã HILL 21

2.5.6. Mã hoán vị 23

3. HỆ MÃ HÓA DES 24

3.1. Mô tả DES 24

3.1.1. Thuật toán DES 25

2

3.1.2. Mô tả một vòng của DES 25

3.1.3. Mô tả hàm f 25

3.1.4. Mô tả chi tiết các hàm trong DES 27

3.1.5. Tính toán bảng khóa từ khóa K 30

3.2. Ví dụ 34

3.3. Tranh luận về DES 37

3.4. DES trong thực tế 38

3.5. Ứng dụng của DES 42

4. MÃ HÓA KHÓA CÔNG KHAI 43

4.1. Bài toán Logarit rời rạc (DL) 43

4.2. Các thuật toán cho bài toán Logarit rời rạc 43

4.3. Hệ mật RSA 45

4.3.1. Định nghĩa hệ mật RSA 46

4.3.2. Ðộ an toàn của hệ RSA 48

4.3.3. Một số tính chất của hệ RSA 48

4.3.4. Ứng dụng của RSA 50

4.4. Hệ mật Elgamal 50

4.5. CÁC PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LỚN 51

4.5.1. Kiểm tra Miller-Rabin 51

Kiểm tra Miller-Rabin lặp 53

4.5.2. Kiểm tra Fermat 54

4.5.3. Kiểm tra Solovay-Strassen 55

5. CHỮ KÝ ĐIỆN TỬ 57

5.1. Định nghĩa 57

5.2. Hàm băm 58

5.3. Phân loại các sơ đồ chữ ký điện tử 60

5.3.1. Sơ đồ chữ ký kèm thông điệp 61

5.3.2. Sơ đồ chữ ký khôi phục thông điệp 62

5.4. Sơ đồ chữ ký RSA 63

5.5. Sơ đồ chữ kí ELGAMAL 64

5.5.1. Định nghĩa 65

5.5.2. Độ an toàn của chữ ký Elgamal 66

5.6. Chuẩn chữ ký số DSS (Digital Signature Standard) 69

5.6.1. Giới thiệu 69

5.6.2. Các giải thuật cơ bản của DSS 70

5.6.3. Tính chất của chữ ký của DSS 72

3

5.6.4. Lựa chọn sơ đồ ký khả thi 73

5.7. Tấn công chữ ký điện tử 74

5.8. Kết luận 75

6. ỨNG DỤNG 76

7. BÀI TẬP, CHỦ ĐỀ THẢO LUẬN 77

8. TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

9. PHỤ LỤC: MÃ NGUỒN 80

9.1. Mã hóa dịch chuyển 80

9.2. Mã hóa thay thế 83

9.3. Mã hóa RSA 88

9.4. Chữ ký số Elgamal 93



Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 1

AN TOÀN DỮ LIỆU TRÊN MÁY TÍNH
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin việc ứng dụng các
công nghệ mạng máy tính trở nên vô cùng phổ cập và cần thiết. Công nghệ mạng máy
tính đã mang lại những lợi ích to lớn.
Sự xuất hiện mạng Internet cho phép mọi người có thể truy cập, chia sẻ và khai thác

thông tin một cách dễ dàng và hiệu quả. Các công nghệ E-mail cho phép mọi người có
thể gửi thư cho người khác cũng như nhận thư ngay trên máy tính của mình. Gần đây
có công nghệ E-business cho phép thực hiện các hoạt động thương mại trên mạng máy
tính. Việc ứng dụng các mạng cục bộ trong các tổ chức, công ty hay trong một quốc
gia là rất phong phú. Các hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng hàng ngày có thể
chuyển hàng tỷ đôla qua hệ thống của mình. Các thông tin về kinh tế, chính trị, khoa
học xã hội được trao đổi rông rãi.
Tuy nhiên lại nảy sinh vấn đề về an toàn thông tin. Đó cũng là một quá trình tiến
triển hợp logic: khi những vui thích ban đầu về một siêu xa lộ thông tin, bạn nhất định
nhận thấy rằng không chỉ cho phép bạn truy nhập vào nhiều nơi trên thế giới, Internet
còn cho phép nhiều người không mời mà tự ý ghé thăm máy tính của bạn.
Thực vậy, Internet có những kỹ thuật tuyệt vời cho phép mọi người truy nhập, khai
thác, chia sẻ thông tin. Những nó cũng là nguy cơ chính dẫn đến thông tin của bạn bị
hư hỏng hoặc phá huỷ hoàn toàn.
Có những thông tin vô cùng quan trọng mà việc bị mất hay bị làm sai lệch có thể
ảnh hưởng đến các tổ chức, các công ty hay cả một quốc gia. Các thông tin về an ninh
quốc gia, bí mật kinh doanh hay các thông tin tài chính là mục tiêu của các tổ chức
tình báo nước ngoài về chính trị hay công nghiệp hoặc kẻ cắp nói chung. Bọn chúng
có thể làm mọi việc có thể để có được những thông tin quý giá này. Thử tưởng tượng
nếu có kẻ xâm nhập được vào hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng thì ngân hàng
đó sẽ chịu những thiệt hại to lớn như mất tiền có thể dẫn tới bị phá sản. Chưa kể nếu
hệ thông thông tin an ninh quốc gia bị đe doạ thì hậu quả không thể lường trước được.
Theo số liệu của CERT(Computer Emegency Response Team - “Đội cấp cứu máy
tính”), số lượng các vụ tấn công trên Internet được thông báo cho tổ chức này là ít
hơn 200 vào năm 1989, khoảng 400 vào năm 1991, 1400 vào năm 1993, và 2241 vào
năm 1994. Những vụ tấn công này nhằm vào tất cả các máy tính có mặt trên Internet,
các máy tính của tất cả các công ty lớn như AT&T, IBM, các trường đại học, các cơ
quan nhà nước, các tổ chức quân sự, nhà băng Một số vụ tấn công có quy mô khổng
lồ (có tới 100.000 máy tính bị tấn công). Hơn nữa, những con số này chỉ là phần nổi
của tảng băng. Một phần rất lớn các vụ tấn công không được thông báo, vì nhiều lý do,

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 2

trong đó có thể kể đến nỗi lo bị mất uy tín, hoặc đơn giản những người quản trị hệ
thống không hề hay biết những cuộc tấn công nhằm vào hệ thống của họ.
Không chỉ số lượng các cuộc tấn công tăng lên nhanh chóng, mà các phương pháp
tấn công cũng liên tục được hoàn thiện. Điều đó một phần do các nhân viên quản trị hệ
thống được kết nối với Internet ngày càng đề cao cảnh giác. Cũng theo CERT, những
cuộc tấn công thời kỳ 1988-1989 chủ yếu đoán tên người sử dụng-mật khẩu (UserID-
password) hoặc sử dụng một số lỗi của các chương trình và hệ điều hành (security
hole) làm vô hiệu hệ thống bảo vệ, tuy nhiên các cuộc tấn công vào thời gian gần đây
bao gồm cả các thao tác như giả mạo địa chỉ IP, theo dõi thông tin truyền qua mạng,
chiếm các phiên làm việc từ xa (telnet hoặc rlogin).
Để vừa bảo đảm tính bảo mật của thông tin lại không làm giảm sự phát triển của
việc trao đổi thông tin quảng bá trên toàn cầu thì một giải pháp tốt nhất là mã hoá
thông tin. Có thể hiểu sơ lược mã hoá thông tin là che đi thông tin của mình làm cho
kẻ tấn công nếu chặn được thông báo trên đường truyền thì cũng không thể đọc được
và phải có một giao thức giữa người gửi và người nhận để có thể trao đổi thông tin, đó
là các cơ chế mã và giải mã thông tin.
Ngày nay thì việc mã hoá đã trở nên phổ cập. Các công ty phần mềm lớn trên thế
giới đều có nghiên cứu và xây dựng các công cụ, thuật toán mã hoá để áp dụng cho
thực tế. Mỗi quốc gia hay tổ chức đều có những cơ chế mã hoá riêng để bảo vệ hệ
thống thông tin của mình.

Một số vấn đề an toàn đối với nhiều mạng hiện nay:
 Một người dùng chuyển một thông báo điện tử cho một người sử dụng khác.
Một bên thứ ba trên cùng mạng LAN này sử dụng một thiết bị nghe trộm gói để
lấy thông báo và đọc các thông tin trong đó.
 Cũng trong tình huống trên bên thứ ba chặn thông báo, thay đổi các thành phần

của nó và sau đó lại gửi cho người nhận. Người nhận không hề nghi ngờ gì trừ
khi nhận ra thông báo đó là vô lý, và có thể thực hiện vài hành động dựa trên
các thành phần sai này đem lại lợi ích cho bên thứ ba.
 Người dùng log vào một server mà không sử dụng mật khẩu được mã hoá. Một
người khác đang nghe trộm trên đường truyền và bắt được mật khẩu logon của
người dùng, sau đó có thể truy nhập thông tin trên server như người sử dụng.
 Một người quản trị hệ thống không hiểu về khía cạnh an toàn và yêu cầu của hệ
thống và vô tình cho phép người dùng khác truy nhập vào thư mục chứa các
thông tin hệ thống. Người dùng phát hiện ra họ có thể có được các thông tin hệ
thống và có thể dùng nó phục vụ cho lợi ích của mình.
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 3


1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong phần này sẽ trình bày về một số cơ sở toán học của mã hóa, điều này sẽ giúp
ta nắm được một cách chi tiết hơn về các phương pháp mã hóa.
1.1. Lý thuyết số
1.1.1. Khái niệm đồng dư Modulo
Định nghĩa 1: Giả sử a và b là các số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi đó
ta viết a
≡
b(mod m) nếu b-a chia hết cho m. Mệnh đề a
≡
b(mod m) được gọi là “a
đồng dư với b theo mođun m”.
Giả sử chia a và b cho m và ta thu được thương nguyên và phần dư, các phần dư
nằm giữa 0 và m-1, nghĩa là a = q
1*

m + r
1
và b = q
2*
m + r
2
trong đó 0 ≤ r
1
≤ m-1 và 0
≤ r
2
≤ m-1. Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng a ≡ b(mod m) khi và chỉ khi r
1
= r
2
.
Ta sẽ dùng ký hiệu a mod m để xác định phần dư khi a được chia cho m (chính là
giá trị r
1
ở trên). Như vậy: a≡b(mod m) khi và chỉ khi (a mod m) = (b mod m). Phép rút
gọn, thay a bằng a mod m thì ta nói rằng a được rút gọn theo modulo m.
Nhận xét: Nhiều ngôn ngữ lập trình của máy tính xác định a mod m là phần dư
trong dải -m+1,…,m-1 có cùng dấu với a. Ví dụ -18 mod 7 sẽ là –4, giá trị này khác
với giá trị 3 là giá trị được xác định theo công thức trên. Tuy nhiên, để thuận tiện ta sẽ
xác định a mod m luôn là một số không âm.
Bây giờ ta có thể định nghĩa số học modulo m: Z
m
được coi là tập hợp {0,1,…,m-1}
có trang bị hai phép toán cộng và nhân. Việc cộng và nhân trong Z
m

được thực hiện
giống như cộng và nhân các số thực ngoại trừ một điểm là các kết quả được rút gọn
theo mođun m.
1.1.2. Định lý về đồng dư thức
Định lí 1: Đồng dư thức ax
≡
b (mod m) chỉ có một nghiệm duy nhất x
∈
Z
m
với
mọi b
∈
Z
m
khi và chỉ khi UCLN(a,m) = 1.
Ta giả sử rằng, UCLN(a,m) = d >1. Khi đó, với b = 0 thì đồng dư thức ax ≡ 0 (mod
m) sẽ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong Z
m
là x = 0 và x = m/d.


Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 4

1.1.3. Khái niệm phần tử nghịch đảo
Định nghĩa 2: Giả sử a
∈
Z

m
. Phần tử nghịch đảo (theo phép nhân) của a là phần
tử a
-1

∈
Z
m
sao cho aa
-1

≡
a
-1
a
≡
1 (mod m).
Ví dụ Z
10
, a=5, suy ra a
-1
=9.
Bằng các lý luận tương tự như trên, có thể chứng tỏ rằng. a có nghịch đảo theo
mođun m khi và chỉ khi UCLN(a,m) = 1, và nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó phải là
duy nhất. Ta cũng thấy rằng, nếu b = a
-1
thì a = b
-1
. Nếu m là số nguyên tố thì mọi
phần tử khác không của Z

m
đều có nghịch đảo.
1.1.4. Thuật toán Euclide
Cho hai số tự nhiên a, n. Ký hiệu (a,n) là ước số chung lớn nhất của a,n;
φ
(n) là số
các số nguyên dương < n và nguyên tố với n, không mất tính tổng quát giả sử n > a.
Thuật toán Euclide tìm UCLN (a,n) được thực hiện bằng một dãy các phép chia liên
tiếp sau đây:
Đặt r
0
= n, r
1
= a,
r
0
= q
1
r
1
+ r
2
, 0 < r
2
< r
1
r
1
= q
2

r
2
+ r
3
, 0 < r
3
< r
2

………………………
r
m-2
= q
m-1
r
m-1
+ r
m
, 0 < r
m
< r
m-1
r
m-1
= q
m
r
m
Thuật toán phải kết thúc ở một bước thứ m nào đó. Ta có:
(n,a)

= (r
0,
r
1
) = (r
1,
r
2
) = …… = (r
m-1,
r
m
) = r
m

Vậy ta tìm được r
m
= (n,a). Mở rộng thuật toán Euclide bằng cách xác định thêm
dãy số t
0
, t
1
,…,t
m
:
t
0
= 0,
t

1
= 1,
t
j
=

t
j-2
–

q
j-1
t
j-1
mod r
0
, nếu j ≥ 2 ,
ta dễ chứng minh bằng qui nạp rằng: r
j
≡ t
j
r
1
(mod r
0
)
Do đó, nếu (n,a) = 1, thì t
m
= a
-1

mod n

1.1.5. Phần tử nguyên thủy và logarith rời rạc
Cho số n nguyên dương. Ta biết rằng tập các thặng dư thu gọn theo mođun n (tức là
tập các số nguyên dương < n và nguyên tố với n) lập thành một nhóm với phép nhân
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 5

mod n, ta ký hiệu là Z
n
*
. Nhóm đó có cấp (số phần tử) là
φ
(n). Một phần tử g ∈ Z
n
*
có
cấp m, nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho g
m
= 1 trong Z
n
*
.
Theo một định lý đại số, ta có m |
φ
(n) (ký hiệu m là ước số của
φ
(n)) vì vậy với mọi
b ∈ Z

n
*
ta luôn có: b
φ
(n)
≡ 1 (mod n)
Nếu p là số nguyên tố, thì do
φ
(p) = p-1, nên ta có với mọi b nguyên tố với p
b
p-1
≡ 1 (mod p) (1)
Nếu b có cấp p-1, thì p-1 là số mũ bé nhất sao cho có công thức (1), do đó các phần
tử b, b
2
,…, b
p-1
đều khác nhau, và lập thành Z
p
*
. Nói cách khác, b là một phẩn tử sinh,
hay như thường gọi là phần tử nguyên thủy của Z
p
*
; và khi đó Z
p
*
là một nhóm cyclic.
Trong lý thuyết số, người ta đã chứng minh đươc các định lý sau đây:
• Với mọi số nguyên tố p, Z

p
*
là nhóm cyclic, và số các phần tử nguyên thủy của
Z
p
*
bằng
φ
(p-1)
• Nếu g là phần tử nguyên thủy theo mođun p, thì β = g
i
, với mọi i mà (i,p-1) = 1,
cũng là phần tử nguyên thủy theo mođun p

1.1.6. Thặng dư bậc hai và ký hiệu Legendre
Cho p là một số nguyên tố lẻ, và x là một số nguyên dương ≤ p-1. x được gọi là một
thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu phương trình: y
2
≡ x (mod p) có nghiệm.
Ta có tiêu chuẩn Euler sau đây: x là thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu và chỉ nếu
x
(p-1)/2
≡ 1 (mod p)
Tiêu chuẩn đó được chứng minh như sau: Giả sử có x

≡ y
2
(mod p). Khi đó có:
x
(p-1)/2

≡ (y
2
)
(p-1)/2
≡ y
p-1
≡ 1 (mod p) ;
Ngược lại, giả sử rằng x
(p-1)/2
≡ 1 (mod p). Lấy b là một phần tử nguyên thủy (mod
p), ta có x ≡ b
i
(mod p) với số i nào đó.
Ta có:
x
(p-1)/2
≡ (b
i
)
(p-1)/2
(mod p)
≡ b
i(p-1)/2
(mod p)
Vì b có cấp p-1, do đó p-1 phải là ước số của i(p-1)/2, suy ra i phải là số chẵn, và
căn bậc hai của x là ±b
i/2
.
Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Với mọi a ≥0, ta định nghĩa ký hiệu









p
a
Legendre
như sau:


đasad








p
a
=
0 nếu a
≡
0 (mod p)
1 nếu a là thặng dư bậc hai theo mod p
-1 nếu a không là thặng dư bậc hai theo mod p

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 6




Ta có tính chất quan trọng sau đây: nếu p là số nguyên tố lẻ thì với mọi số nguyên a
≥0, ta có:
≡ a
(p-1)/2
(mod p).

1.1.7. Một số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố
Ta phát biểu một số tính chất sau đây, chúng là cơ sở cho việc phát triển một số
thuật toán xác suất thử tính nguyên tố của các số nguyên.
Solovay_Strassen :
Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi 1 ≤ a ≤ n-1:






n
a
≡ a
(n-1)/2
(mod n).
Nếu n là hợp số thì:

|{a: 1 ≤ a ≤ n-1,






n
a
≡ a
(n-1)/2
(mod n)}| ≤ (n-1)/2

Solovay_Strassen (cải tiến bởi Lehmann):
Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi 1 ≤ a ≤ n-1:
a
(n-1)/2
≡ ±1 (mod n);
Nếu n là hợp số thì:
|{a: 1 ≤ a ≤ n-1, a
(n-1)/2
≡ ±1(mod n)}| ≤ (n-1)/2

1.2. Lý thuyết về độ phức tạp tính toán
1.2.1. Độ phức tạp tính toán
Lý thuyết thuật toán và các hàm tính ra đời từ những năm 30 đã đặt nền móng cho
các nghiên cứu về các vấn đề “tính được”, “giải được”, và đã thu được nhiều kết quả
rất quan trọng. Nhưng từ cài “tính được” một cách trừu tượng, tiềm năng đến việc tính
được trong thực tế của khoa học tính toán bằng máy tính điện tử là một khoảng cách
rất lớn. Lý thuyết về độ phức tạp tính toán được nghiên cứu bắt đầu từ những năm 60

đã bù đắp cho khoảng trống đó, cho ta nhiều tri thức cơ bản, đồng thời có nhiều ứng
dụng thực tế rất phong phú.




p
a

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 7

Độ phức tạp (về không gian hay thời gian) của một quá trình tính toán là số ô nhớ
hay số các phép toán được thực hiện trong quá trình tính toán đó.
Độ phức tạp tính toán của một thuật toán được hiểu là một hàm số f, sao cho với
mỗi n, f(n) là là số ô nhớ hay số các phép toán tối đa mà thuật toán thực hiện quá trình
tính toán của mình trên các dữ liệu vào có độ lớn n.
Độ phức tạp tính toán của một bài toán (của một hàm) được định nghĩa là độ phức
tạp của một thuật toán tốt nhất có thể tìm được để giải bài toán (hay tính hàm) đó.
Một bài toán được cho bởi:
• Một tập các dữ liệu vào Y
• Một câu hỏi dạng R(I)? với I ∈ Y, lời giải bài toán là đúng hay không
Ví dụ:
• Bài toán đồng dư bậc hai
o Dữ liệu: Các số nguyên dương a,b,c
o Câu hỏi: Có hay không số x < c sao cho x
2
≡ a mod b ?
• Bài toán hợp số

o Dữ liệu: Số nguyên dương N
o Câu hỏi: Có hay không hai số m,n > 1 sao cho N = m×n ?

1.2.2. Các lớp phức tạp
Ta định nghĩa P là lớp các bài toán có độ phức tạp thời gian là đa thức tức lớp các
bài toán mà đối với chúng có thuật toán giải bài toán đó trong thời gian đa thức.
Một lớp quan trọng các bài toán đã được nghiên cứu nhiều là lớp NP, tức các bài
toán mà đối với chúng có thuật toán không đơn định để giải trong thời gian đa thức.
Thuật toán không đơn định là một mô hình tính toán trừu tượng, được giả định là sau
mỗi bước có thể có một số hữu hạn bước được lựa chọn đồng thời tiếp sau.
Nhiều bài toán được chứng tỏ là thuộc lớp NP, nhưng chưa ai chứng minh được là
chúng thuộc lớp P hay không. Và một vấn đề cho đến nay vẫn còn mở, chưa có lời giải
là: NP = P ?
Một cách trực giác, lớp NP bao gồm các bài toán khó hơn phức tạp hơn các bài toán
thuộc lớp P, nhưng điều có vẻ hiển nhiên trực giác đó vẫn chưa được chứng minh hay
bác bỏ.
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 8

Giả sử NP ≠ P, thì trong NP có một lớp con các bài toán được gọi là NP_đầy đủ , đó
là những bài toán mà bản thân thuộc lớp NP, và mọi bài toán bất kỳ thuộc lớp NP đều
có thể qui dẫn về bài toán đó bằng một hàm tính được trong thời gian đa thức.
Cho đến nay, người ta đã chứng minh được hàng trăm bài toán thuộc nhiều lĩnh vực
khác nhau là NP_đầy đủ. Bài toán đồng dư bậc hai kể trên là NP_đầy đủ, bài toán hợp
số không là NP_đầy đủ, nhưng chưa tìm được một thuật toán làm việc trong thời gian
đa thức giải nó.
1.3. Hàm một phía và hàm cửa sập một phía
Hàm f(x) được gọi là hàm một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, nhưng việc tính ngược
x=f

-1
(y) là rất khó. Có thể hiểu “dễ” là tính được trong thời gian đa thức (với đa thức
bậc thấp), và “khó” là không tính được trong thời gian đa thức.
Ví dụ: Hàm f(x) = g
x
(mod p) (p là số nguyên tố, g là phần tử nguyên thủy
theo mođun p) là hàm một phía. Vì biết x tính f(x) là khá đơn giản, nhưng biết
f(x) để tính x thì với các thuật toán đã biết hiện nay đòi hỏi một khối lượng tính
toán cỡ O(exp(lnp lnlnp)
112
) phép tính (nếu p là số nguyên tố cỡ 200 chữ số thập
phân, thì khối lượng tính toán trên đòi hỏi một máy tính 1 tỷ phép tính/giây làm
việc không nghỉ trong khoảng 3000 năm)

Hàm f(x) được gọi là hàm cửa sập một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, tính x = f
-1
(y) là
rất khó, nhưng có cửa sập z để tính x = f
z
-1
(y) là dễ
Ví dụ: Cho n = p×q là tích của hai số nguyên tố lớn,a là số nguyên, hàm
f(x)=x
a
(mod n) là hàm cửa sập một phía, nếu chỉ biết n và a thì tính x = f
-1
(y) là
rất khó, nhưng nếu biết cửa sập, chẳng hạn hai thừa số của n, thì sẽ tính được
f
-1

(y) khá dễ.

Trên đây là hai thí dụ điển hình, và cũng là hai trường hợp được sử dụng rộng rãi về
hàm một phía và hàm cửa sập một phía. Vì đây là những điểm then chốt của lý thuyết
mật mã khóa công khai, nên việc tìm kiếm các loại hàm một phía và cửa sập một phía
được nghiên cứu rất khẩn trương, và đến nay tuy có đạt được một số kết quả, nhưng
việc tìm kiếm vẫn tiếp tục, đầy hứng thú nhưng cũng đầy khó khăn.


Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 9

2. GIỚI THIỆU VỀ MÃ HÓA
2.1. Các thuật ngữ
1. Hệ mật mã là tập hợp các thuật toán và các thủ tục kết hợp để che dấu thông tin
cũng như làm rõ nó.
2. Mật mã học nghiên cứu mật mã bởi các nhà mật mã học, người viết mật mã và các
nhà phân tích mã.
3. Mã hoá là quá trình chuyển thông tin có thể đọc gọi là bản rõ thành thông tin
không thể đọc gọi là bản mã.
4. Giải mã là quá trình chuyển ngược lại thông tin được mã hoá thành bản rõ.
5. Thuật toán mã hoá là các thủ tục tính toán sử dụng để che dấu và làm rõ thông tin.
Thuật toán càng phức tạp thì bản mã càng an toàn.
6. Một khoá là một giá trị làm cho thuật toán mã hoá chạy theo cách riêng biệt và
sinh ra bản rõ riêng biệt tuỳ theo khoá. Khoá càng lớn thì bản mã kết quả càng an
toàn. Kích thước của khoá được đo bằng bit. Phạm vi các giá trị có thể có của khoá
được gọi là không gian khoá.
7. Phân tích mã là quá trình hay nghệ thuật phân tích hệ mật mã hoặc kiểm tra tính
toàn vẹn của nó hoặc phá nó vì những lý do bí mật.

8. Một kẻ tấn công là một người (hay hệ thống) thực hiện phân tích mã để làm hại hệ
thống. Những kẻ tấn công là những kẻ thọc mũi vào chuyện người khác, các tay
hacker, những kẻ nghe trộm hay những các tên đáng ngờ khác, và họ làm những
việc thường gọi là cracking
2.2. Định nghĩa hệ mật mã.
Hệ mật mã: là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các tính chất
sau
P ( Plaintext ) là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.
C ( Ciphertext ) là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.
K ( Key ) là tập hợp các bản khoá có thể.
E ( Encrytion ) là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể.
D ( Decrytion ) là tập hợp các qui tắc giải mã có thể.
Chúng ta đã biết một thông báo thường được tổ chức dưới dạng bản rõ. Người gửi
sẽ làm nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu được gọi là bản mã. Bản mã này được gửi
đi trên một đường truyền tới người nhận sau khi nhận được bản mã người nhận giải mã
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 10

nó để tìm hiểu nội dung. Dễ dàng thấy được công việc trên khi sử dụng định nghĩa hệ
mật mã :
E
K
( P) = C và D
K
( C ) = P
2.3. Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về độ tin cậy, tính toàn vẹn, sự không từ chối và sự xác
thực.
 Độ tin cậy: cung cấp sự bí mật cho các thông báo và dữ liệu được lưu bằng việc

che dấu thông tin sử dụng các kỹ thuật mã hóa.
 Tính toàn vẹn: cung cấp sự bảo đảm với tất cả các bên rằng thông báo còn lại
không thay đổi từ khi tạo ra cho đến khi người nhận mở nó.
 Tính không từ chối: có thể cung cấp một cách xác nhận rằng tài liệu đã đến từ ai
đó ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó.
 Tính xác thực: cung cấp hai dịch vụ: đầu tiên là nhận dạng nguồn gốc của một
thông báo và cung cấp một vài sự bảo đảm rằng nó là đúng sự thực. Thứ hai là
kiểm tra đặc tính của người đang logon một hệ thống và sau đó tiếp tục kiểm tra
đặc tính của họ trong trường hợp ai đó cố gắng đột nhiên kết nối và giả dạng là
người sử dụng
2.4. Các phương pháp mã hoá
2.4.1. Mã hoá đối xứng khoá bí mật
Thuật toán đối xứng hay còn gọi thuật toán mã hoá cổ điển là thuật toán mà tại đó
khoá mã hoá có thể tính toán ra được từ khoá giải mã. Trong rất nhiều trường hợp,
khoá mã hoá và khoá giải mã là giống nhau. Thuật toán này còn có nhiều tên gọi khác
như thuật toán khoá bí mật, thuật toán khoá đơn giản, thuật toán một khoá. Thuật toán
này yêu cầu người gửi và người nhận phải thoả thuận một khoá trước khi thông báo
được gửi đi, và khoá này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của thuật toán này vẫn
phụ thuộc vào khoá, nếu để lộ ra khoá này nghĩa là bất kỳ người nào cũng có thể mã
hoá và giải mã thông báo trong hệ thống mã hoá.
Sự mã hoá và giải mã của thuật toán đối xứng biểu thị bởi :
E
K
( P ) = C và D
K
( C ) = P
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 11

Trong hình vẽ trên thì :
K
1
có thể trùng K
2
, hoặc
K
1
có thể tính toán từ K
2
, hoặc
K
2
có thể tính toán từ K
1
.
2.4.1.1. Nơi ứng dụng
Sử dụng trong môi trường mà khoá đơn dễ dàng được chuyển như là trong cùng
một văn phòng. Cũng dùng để mã hoá thông tin để lưu trữ trên đĩa.
2.4.1.2. Các vấn đề đối với phương pháp mã hoá đối xứng
 Các phương mã hoá cổ điển đòi hỏi người mã hoá và người giải mã phải cùng
chung một khoá. Khi đó khoá phải được giữ bí mật tuyệt đối, do vậy ta dễ dàng xác
định một khoá nếu biết khoá kia.
 Hệ mã hoá đối xứng không bảo vệ được sự an toàn nếu có xác suất cao khoá người
gửi bị lộ. Trong hệ khoá phải được gửi đi trên kênh an toàn nếu kẻ địch tấn công
trên kênh này có thể phát hiện ra khoá.
 Vấn đề quản lý và phân phối khoá là khó khăn và phức tạp khi sử dụng hệ mã hoá
cổ điển. Người gửi và người nhận luôn luôn thống nhất với nhau về vấn đề khoá.

Việc thay đổi khoá là rất khó và dễ bị lộ.
 Khuynh hướng cung cấp khoá dài mà nó phải được thay đổi thường xuyên cho mọi
người trong khi vẫn duy trì cả tính an toàn lẫn hiệu quả chi phí sẽ cản trở rất nhiều
tới việc phát triển hệ mật mã cổ điển.


Bản rõ Mã hoá Giải mã Bản rõ
B
ản m
ã

Khoá
Hình
2
.1. Mã hoá v
ới khoá m
ã và khoá gi
ải giống nhau

K
1

K
2

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 12

2.4.2. Mã hoá phi đối xứng khoá công khai

Vào những năm 1970 Diffie và Hellman đã phát minh ra một hệ mã hoá mới được
gọi là hệ mã hoá công khai hay hệ mã hoá phi đối xứng.
Thuật toán mã hoá công khai khác biệt so với thuật toán đối xứng. Chúng được thiết
kế sao cho khoá sử dụng vào việc mã hoá là khác so với khoá giải mã. Hơn nữa khoá
giải mã không thể tính toán được từ khoá mã hoá. Chúng được gọi với tên hệ thống mã
hoá công khai bởi vì khoá để mã hoá có thể công khai, một người bất kỳ có thể sử
dụng khoá công khai để mã hoá thông báo, nhưng chỉ một vài người có đúng khoá giải
mã thì mới có khả năng giải mã. Trong nhiều hệ thống, khoá mã hoá gọi là khoá công
khai (public key), khoá giải mã thường được gọi là khoá riêng (private key).

Trong hình vẽ trên thì :
K
1
không thể trùng K
2
, hoặc
K
2
không thể tính toán từ K
1
.
Đặc trưng nổi bật của hệ mã hoá công khai là cả khoá công khai (public key) và bản
tin mã hoá (ciphertext) đều có thể gửi đi trên một kênh thông tin không an toàn.
2.4.2.1. Nơi ứng dụng
Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet khi mà khoá chuyển tương
đối khó khăn.
2.4.2.2. Điều kiện hệ mã hóa khóa công khai
Diffie và Hellman đã xác đinh rõ các điều kiện của một hệ mã hoá công khai như
sau:

Bản rõ Mã hoá Giải mã Bản rõ
B
ản m
ã

Khoá giải mã k
2
Hình
2
.2. Mã hoá v
ới khoá m
ã và khoá gi
ải khác nhau

Khoá mã hóa k
1
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 13

1. Việc tính toán ra cặp khoá công khai K
A
và bí mật K
B
dựa trên cơ sở các điều
kiện ban đầu phải được thực hiện một cách dễ dàng, nghĩa là thực hiện trong
thời gian đa thức.
2. Người gửi A có được khoá công khai của người nhận B và có bản tin P cần gửi
đi thì có thể dễ dàng tạo ra được bản mã C.
C = E

KA
(P)
Công việc này cũng trong thời gian đa thức.
3. Người nhận B khi nhận được bản tin mã hóa C với khoá bí mật k
B
thì có thể
giải mã bản tin trong thời gian đa thức.
P = D
kB
(C) = D
KB
[E
KA
(P)]
4. Nếu kẻ địch biết khoá công khai K
A
cố gắng tính toán khoá bí mật thì khi đó
chúng phải đương đầu với trường hợp nan giải, trường hợp này đòi hỏi nhiều
yêu cầu không khả thi về thời gian.
5. Nếu kẻ địch biết được cặp (K
A
,C) và cố gắng tính toán ra bản rõ P thì giải quyết
bài toán khó với số phép thử là vô cùng lớn, do đó không khả thi.
2.5. Các hệ mã hóa đơn giản
Đối tượng cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh không mật
cho hai người sử dụng (tạm gọi là Alice và Bob) sao cho đối phương (Oscar) không
thể hiểu được thông tin được truyền đi. Kênh này có thể là một đường dây điện thoại
hoặc một mạng máy tính. Thông tin mà Alice muốn gửi cho Bob (bản rõ) có thể là một
văn bản tiếng Anh, các dữ liệu bằng số hoặc bất cứ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý. Alice
sẽ mã hoá bản rõ bằng một khóa đã được xác định trước và gửi bản mã kết quả trên

kênh. Oscar có bản mã thu trộm được trên kênh song không thể xác định nội dung của
bản rõ, nhưng Bob (người đã biết khoá mã) có thể giải mã và thu được bản rõ.
Ta sẽ mô tả hình thức hoá nội dung bằng cách dung khái niệm toán học như sau:
Định nghĩa:
Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
) thoả mãn các điều kiện sau:
P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.
C là một tập hữu hạn các bản mã có thể.
K (không gian khoá) là tập hữu hạn các khoá có thể.
Đối với mỗi k∈ K có một quy tắc mã e
k
: P → C và một quy tắc giải mã tương ứng
d
k
∈ D. Mỗi e
k
: P → C và d
k
: C → P là những hàm mà:
d
k
(e
k
(x)) = x với mọi bản rõ x
∈

P.

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 14

Trong tính chất 4 là tính chất chủ yếu nhất. Nội dung của nó là nếu một bản rõ x
được mã hoá bằng e
k
và bản mã nhận được sau đó được giải mã bằng d
k
thì ta phải thu
được bản rõ ban đầu x. Alice và Bob sẽ áp dụng thủ tục sau dùng hệ mật khoá riêng.
Trước tiên họ chọn một khoá ngẫu nhiên k
∈

K
. Điều này được thực hiện khi họ ở
cùng một chỗ và không bị Oscar theo dõi hoặc khi họ có một kênh mật trong trường
hợp họ ở xa nhau. Sau đó giả sử Alice muốn gửi một thông báo cho Bob trên một kênh
không mật và ta xem thông báo này là một chuỗi:
x = x
1
,x
2
,. . .,x
n

với số nguyên n ≥ 1 nào đó. Ở đây mỗi ký hiệu của mỗi bản rõ x
i

∈

P
, 1 ≤ i ≤ n.
Mỗi x
i
sẽ được mã hoá bằng quy tắc mã e
k
với khoá k xác định trước đó. Bởi vậy Alice
sẽ tính y
i
= e
k
(x
i
), 1 ≤ i ≤ n và chuỗi bản mã nhận được:
y = y
1
, y
2
,. . ., y
n

sẽ được gửi trên kênh. Khi Bob nhận đươc y
1
,y
2
,. . .,y
n
anh ta sẽ giải mã bằng hàm
giải mã dk và thu được bản rõ gốc x
1

,x
2
,. . .,x
n
. Hình dưới là một ví dụ về một kênh
liên lạc

Hình 3.3. Kênh liên lạc

Rõ ràng là trong trường hợp này hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh ( tức là ánh xạ 1-
1), nếu không việc giải mã sẽ không thực hiện được một cách tường minh. Ví dụ
y = e
k
(x
1
) = e
k
(x
2
)
trong đó x
1
≠ x
2
, thì Bob sẽ không có cách nào để biết liệu sẽ phải giải mã có x
1
hay
x
2
. Chú ý rằng nếu

P
=
C
thì mỗi hàm mã hoá là một phép hoán vị, tức là nếu tập các
bản mã và tập các bản rõ là đồng nhất thì mỗi một hàm mã sẽ là một sự sắp xếp lại
(hay hoán vị ) các phần tử của tập này.
Oscar

B
ộ giải m
ã

B
ộ m
ã hoá

Bob

Alice
Kênh an toàn

Nguồn khoá

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 15

Do các ví dụ của chúng ta xét trên tập dữ liệu là bảng chữ cái nên chúng ta coi bảng
chữ cái tiếng Anh là tập hợp gồm 26 giá trị như sau.
A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2.5.1. Mã dịch vòng
Mã dịch vòng được xác định trên Z
26
(do có 26 chữ cái trên bảng chữ cái tiếng Anh)
mặc dù có thể xác định nó trên Z
m
với modulus m tuỳ ý. Dễ dàng thấy rằng, MDV sẽ
tạo nên một hệ mật như đã xác định ở trên, tức là d
k
(e
k
(x)) = x với mọi x∈ Z
26
.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
)
Giả sử
P = C = K =
Z
26
với 0 ≤ k ≤ 25 , định nghĩa:
e
k

(x) = x +k mod 26
và d
k
(y) = y + (-k) mod 26 (x,y ∈ Z
26
)
-k là phẩn tử đối với k trong Z
26
, ví dụ phần tử đối của 3 là 23, phần tử đối của
15 là 11 xét trong Z
26
.
Nhận xét: Trong trường hợp k = 3, hệ mật thường được gọi là mã Caesar đã từng
được Julius Caesar sử dụng.
Ta sẽ sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông
thường bằng cách thiết lập sự tương ứnggiữa các kí tự và các thặng dư theo modulo 26
như sau: A ↔ 0,B ↔ 1, . . ., Z ↔ 25.
Ví dụ 1:
Giả sử khoá cho MDV là K = 11 và bản rõ là: wewillmeetatmidnight
Trước tiên biến đổi bản rõ thành dãy các số nguyên nhờ dùng phép tương ứng trên.
Ta có:
22 4 22 8 11 11 12 4 4 19
0 19 12 8 3 13 8 6 7 19
sau đó cộng 11 vào mỗi giá trị rồi rút gọn tổng theo modulo 26
7 15 7 19 22 22 23 15 15 4
11 4 23 19 14 24 19 17 18 4
Cuối cùng biến đổi dãy số nguyên này thành các kí tự thu được bản mã sau:
HPHTWWXPPELEXTOYTRSE
Để giả mã bản mã này, trước tiên, Bob sẽ biến đổi bản mã thành dãy các số nguyên
rồi trừ đi giá trị cho 11 (rút gọn theo modulo 26) và cuối cùng biến đổi lại dãy này

thành các ký tự.
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 16


Nhận xét: Trong ví dụ trên , ta đã dùng các chữ in hoa cho bản mã, các chữ thường
cho bản rõ để tiện phân biệt. Quy tắc này còn tiếp tục sử dụng sau này.
Nếu một hệ mật có thể sử dụng được trong thực tế thì nó phảo thoả mãn một số tính
chất nhất định. Ngay sau đây sẽ nêu ra hai trong số đó:
1. Mỗi hàm mã hoá e
K
và mỗi hàm giải mã d
K
phải có khả năng tính toán được
một cách hiệu quả.
2. Đối phương dựa trên xâu bản mã phải không có khả năng xác định khoá K
đã dùng hoặc không có khả năng xác định được xâu bản rõ x.
Tính chất thứ hai xác định (theo cách khá mập mờ) ý tưởng ý tưởng "bảo mật". Quá
trình thử tính khoá K (khi đã biết bản mã y) được gọi là mã thám (sau này khái niệm
này sẽ đực làm chính xác hơn). Cần chú ý rằng, nếu Oscar có thể xác định được K thì
anh ta có thể giải mã được y như Bob bằng cách dùng dK. Bởi vậy, việc xác định K
chí ít cũng khó như việc xác định bản rõ x.

Nhận xét: MDV (theo modulo 26) là không an toàn vì nó có thể bị thám theo
phương pháp vét cạn. Do chỉ có 26 khoá nên dễ dàng thử mọi khoá dK có thể cho tới
khi nhận được bản rõ có nghĩa. Điều này được minh hoạ theo ví dụ sau:
Ví du 2: Cho bản mã
JBCRCLQRWCRVNBJENBWRWN
ta sẽ thử liên tiếp các khoá giải mã d0 ,d1 . và y thu được:

j b c r c l q r w c r v n b j e n b w r w n
i a b q b k p q v b q u m a i d m a v q v m
h z a p a j o p u a p t l z h c l z u p u l
g y z o z i n o t z o s k y g b k y t o t k
j x y n y h m n s y n r j e x f a j x s n s j
e w x m x g l m r x m q i w e z i w r m r i
d v w l w f k l q w l p h v o d y h v q l q h
c u v k v e j k p v k o g u c x g u p k p g
b t u j u d i j o u j n f t b w f o j o f
a s t i t c h i n t i m e s a v e s n i n e
Tới đây ta đã xác định được bản rõ và dừng lại. Khoá tương ứng K = 9.
Trung bình có thể tính được bản rõ sau khi thử 26/2 = 13 quy tắc giải mã. Như đã
chỉ ra trong ví dụ trên , điều kiện để một hệ mật an toàn là phép tìm khoá vét cạn phải
không thể thực hiện được; tức không gian khoá phải rất lớn. Tuy nhiên, một không
gian khoá lớn vẫn chưa đủ đảm bảo độ mật.
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 17


2.5.2. Mã thay thế
Một hệ mật nổi tiếng khác là hệ mã thay thế. Hệ mật này đã được sử dụng hàng
trăm năm. Trò chơi đố chữ "cryptogram" trong các bài báo là những ví dụ về MTT.
Trên thực tế MTT có thể lấy cả
P
và
C
đều là bộ chữ cái tiếng anh, gồm 26 chữ cái.
Ta dùng Z
26

trong MDV vì các phép mã và giải mã đều là các phép toán đại số. Tuy
nhiên, trong MTT, thích hợp hơn là xem phép mã và giải mã như các hoán vị của các
kí tự.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
)
Cho
P
=
C
= Z
26
.
K
chứa mọi hoán vị có thể của 26 kí hiệu 0,1, . . . ,25
Với mỗi phép hoán vị π ∈
K
, ta định nghĩa:
e
π
(x) = π(x)
và d
π
(y) = π
-1
(y)
trong đó π
-1
là hoán vị ngược của π.

Sau đây là một ví dụ về phép hoán vị ngẫu nhiên π tạo nên một hàm mã hoá (cũng
như trước, các kí hiệu của bản rõ được viết bằng chữ thường còn các kí hiệu của bản
mã là chữ in hoa).
a b c d e F g h i j k l m
X N Y A H P O G Z Q W B T
n o p q r S t u v w x y z
S F L R C V M U E K J D I
Như vậy, e
π

(a) = X, e
π

(b) = N,. . . . Hàm giải mã là phép hoán vị ngược. Điều này
được thực hiện bằng cách viết hàng thứ hai lên trước rồi sắp xếp theo thứ tự chữ cái.
Ta nhận được:
A B C D E F G H I J K L M
d l r y v O h e z x w p t
N O P Q R S T U V W X Y Z
b g f j q N m u s k a c i
Bởi vậy d
π

(A) = d, d
π
(B) = 1, . . .
Bài tập: giải mã bản mã sau bằng cách dùng hàm giải mã đơn giản:
M G Z V Y Z L G H C M H J M Y X S S F M N H A H Y C D L M H A.
Mỗĩ khoá của MTT là một phép hoán vị của 26 kí tự. Số các hoán vị này là 26!, lớn
hơn 4 ×10

26 là một số rất lớn. Bởi vậy, phép tìm khoá vét cạn không thể thực hiện
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 18

được, thậm chí bằng máy tính. Tuy nhiên, sau này sẽ thấy rằng MTT có thể dễ dàng bị
thám bằng các phương pháp khác.

2.5.3. Mã Apphin
MDV là một trường hợp đặc biệt của MTT chỉ gồm 26 trong số 26! các hoán vị có
thể của 26 phần tử. Một trường hợp đặc biệt khác của MTT là mã Affine được mô tả
dưới đây. trong mã Affine, ta giới hạn chỉ xét các hàm mã có dạng:
e(x) = ax + b mod 26,
a,b ∈ Z
26
. Các hàm này được gọi là các hàm Affine (chú ý rằng khi a = 1, ta có
MDV).
Để việc giải mã có thể thực hiện được, yêu cầu cần thiết là hàm Affine phải là đơn
ánh. Nói cách khác, với bất kỳ y ∈ Z
26
, ta muốn có đồng nhất thức sau:
ax + b ≡ y (mod 26)
phải có nghiệm x duy nhất. Đồng dư thức này tương đương với:
ax ≡ y+(-b) (mod 26)
Lưu ý: -b là phần tử đối của b trong Z
26
.
Vì y thay đổi trên Z
26

nên y+(-b) cũng thay đổi trên Z
26
. Bởi vậy, ta chỉ cần nghiên
cứu phương trình đồng dư:
ax ≡ y (mod 26) (y∈ Z
26
).

Ta biết rằng, phương trình này có một nghiệm duy nhất đối với mỗi y khi và chỉ khi
UCLN(a,26) = 1 (ở đây hàm UCLN là ước chung lớn nhất của các biến của nó).
Trước tiên ta giả sử rằng, UCLN(a,26) = d >1. Khi đó, đồng dư thức ax ≡ 0 (mod 26)
sẽ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong Z
26
là x = 0 và x = 26/d. Trong trường hợp
này, e(x) = ax + b mod 26 không phải là một hàm đơn ánh và bởi vậy nó không thể là
hàm mã hoá hợp lệ.
Giải thích theo một cách khác như sau:
Phép lập mã được cho bởi một hàm apphin dạng:
e(x) = ax + b mod 26
Để có được phép giải mã tương ứng, tức là để cho phương trình sau có nghiệm:
ax + b = c mod 26
có lời giải đối với x (với bất kỳ c cho trước), theo một định lý số học, điều kiện cần
và đủ là a nguyên tố với 26, tức là UCLN(a,26) = 1. Khi UCLN(a,26)=1 thì có:
a-1
⊆
Z
26
sao cho a.a
-1
=a

-1
.a=1 mod 26.
và do đó nếu y=ax+b mod 26 thì x=a
-1
(y-b) mod 26 và ngược lại

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 19

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
)
Cho
P = C
= Z
26
và
K
= { (a,b) ∈ Z
26
× Z
26
: UCLN(a,26) =1 }
Với k = (a,b) ∈
K
, ta định nghĩa:
e
k
(x) = ax +b mod 26

và d
k
(y) = a
-1
(y-b) mod 26, x,y ∈ Z
26


Ví dụ: Giả sử k = (7,3). Như đã nêu ở trên, 7
-1
mod 26 = 15. Hàm mã hoá là
e
K
(x) = (7x+3) mod 26
Và hàm giải mã tương ứng là:
d
K
(x) = 15(y-3) mod 26 = (15y -19) mod 26=(15y +7) mod 26
7 là phần tử đối của 19.
Ở đây, tất cả các phép toán đều thực hiện trên Z
26
. Ta sẽ kiểm tra liệu d
K
(e
K
(x)) = x
với mọi x Z
26
không? Dùng các tính toán trên Z
26

, ta có :
d
K
(e
K
(x)) =d
K
(7x+3) =15(7x+3)-19 = x +45 - 19 = x.
Để minh hoạ, ta hãy mã hoá bản rõ "hot". Trước tiên biến đổi các chữ h, o, t thành
các thặng du theo modulo 26. Ta được các số tương ứng là 7, 14 và 19. Bây giờ sẽ mã
hoá:
7x7 +3 mod 26 = 52 mod 26 = 0
7 x14 + 3 mod 26 = 101 mod 26 =23
7 x19 +3 mod 26 = 136 mod 26 = 6

Bởi vậy 3 ký hiệu của bản mã là 0, 23 và 6 tương ứng với xâu ký tự AXG. Việc giải
mã sẽ do bạn thực hiện như một bài tập.

2.5.4. Mã Vigenère
Trong cả hai hệ MDV và MTT (một khi khoá đã được chọn) mỗi ký tự sẽ được ánh
xạ vào một ký tự duy nhất. Vì lý do đó, các hệ mật còn được gọi hệ thay thế đơn biểu.
Bây giờ ta sẽ trình bày một hệ mật không phải là bộ chữ đơn, đó là hệ mã Vigenère nổi
tiếng. Mật mã này lấy tên của Blaise de Vigenère sống vào thế kỷ XVI.
Sử dụng phép tương ứng A ⇔ 0, B ⇔ 1, . . . , Z ⇔ 25 mô tả ở trên, ta có thể gắn
cho mỗi khóa K với một chuỗi kí tự có độ dài m được gọi là từ khoá. Mật mã Vigenère
sẽ mã hoá đồng thời m kí tự: Mỗi phần tử của bản rõ tương đương với m ký tự.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
)
Cho m là một số nguyên dương cố định nào đó. Định nghĩa P = C = K =

(Z
26
)
m
. Với khoá K = (k
1
, k
2
, . . . ,k
m
) ta xác định :
e
K
(x
1
, x
2
, . . . ,x
m
) = (x
1
+k
1
, x
2
+k
2
, . . . , x
m
+k

m
)
Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 20

và
d
K
(y
1
, y
2
, . . . ,y
m
) = (y
1
-k
1
, y
2
-k
2
, . . . , y
m
-k
m
)
trong đó tất cả các phép toán được thực hiện trong Z
26

Ví dụ: Giả sử m =6 và từ khoá là CIPHER. Từ khoá này tương ứng với dãy số K =
(2,8,15,7,4,17). Giả sử bản rõ là xâu: thiscryptosystemisnotsecure
Ta sẽ biến đổi các phần tử của bản rõ thành các thặng dư theo modulo 26, viết
chúng thành các nhóm 6 rồi cộng với từ khoá theo modulo 26 như sau:

Bởi vậy, dãy ký tự tương ứng của xâu bản mã sẽ là:
V P X Z G I A X I V W P U B T T M J P W I Z I T W Z T
Để giải mã ta có thể dùng cùng từ khoá nhưng thay cho cộng, ta trừ cho nó theo
modulo 26.
Ta thấy rằng các từ khoá có thể với số độ dài m trong mật mã Vigenère là 26
m
, bởi
vậy, thậm chí với các giá trị m khá nhỏ, phương pháp tìm kiếm vét cạn cũng yêu cầu
thời gian khá lớn. Ví dụ, nếu m = 5 thì không gian khoá cũng có kích thước lớn hơn
1,1 × 10
7
. Lượng khoá này đã đủ lớn để ngaen ngừa việc tìm khoá bằng tay( chứ
không phải dùng máy tính).
Trong hệ mật Vigenère có từ khoá độ dài m,mỗi ký tự có thể được ánh xạ vào trong
m ký tự có thể có (giả sử rằng từ khoá chứa m ký tự phân biệt). Một hệ mật như vậy
được gọi là hệ mật thay thế đa biểu (polyalphabetic). Nói chung, việc thám mã hệ thay
thế đa biểu sẽ khó khăn hơn so việc thám mã hệ đơn biểu.

19 7 8 18 2 17 24 15 19 14 18 24
2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17
21 15 23 25 6 8 0 23 8 21 22 15

18 19 4 12 8 18 13 14 19 18 4 2

2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17
20 1 19 19 12 9 15 22 8 15 8 19

20 17 4
2 8 15
22 25 19

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 21

2.5.5. Mã HILL
Trong phần này sẽ mô tả một hệ mật thay thế đa biểu khác được gọi là mật mã Hill.
Mật mã này do Lester S.Hill đưa ra năm 1929. Giả sử m là một số nguyên dương, đặt
P = C = (Z
26
)
m
. Ý tưởng ở đây là lấy m tổ hợp tuyến tính của m ký tự trong một phần
tử của bản rõ để tạo ra m ký tự ở một phần tử của bản mã.
Ví dụ nếu m = 2 ta có thể viết một phần tử của bản rõ là x = (x
1
,x
2
) và một phần tử
của bản mã là y = (y
1
,y
2
). Ở đây, y

1
cũng như y
2
đều là một tổ hợp tuyến tính của x
1
và
x
2
. Chẳng hạn, có thể lấy
y
1
= 11x
1
+ 3x
2

y
2
= 8x
1
+ 7x
2

Tất nhiên có thể viết gọn hơn theo ký hiệu ma trận như sau
1 2 1 2
11 8
( y ) ( )
3 7
y x x
 

=
 
 

Nói chung, có thể lấy một ma trận K kích thước m × m làm khoá. Nếu một phần tử
ở hàng i và cột j của K là k
i,,j
thì có thể viết K = (k
i,,j
), với x = (x
1
, x
2
, . . . ,x
m
) ∈ P và
K ∈K , ta tính y = e
K
(x) = (y
1
, y
2
, . . . ,y
m
) như sau:
1,1 1,1
1 1
,1 ,

( , , y ) ( , , )

m m
m m m
k k
y x x
k k
 
 
=
 
 
 

Nói một cách khác y = xK.
Chúng ta nói rằng bản mã nhận được từ bản rõ nhờ phép biến đổi tuyến tính. Ta sẽ
xét xem phải thực hiện giải mã như thế nào, tức là làm thế nào để tính x từ y. Bạn đã
làm quen với đại số tuyến tính sẽ thấy rằng phải dùng ma trận nghịch đảo K
-1
để giả
mã. Bản mã được giải mã bằng công thức y K
-1
.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (
P,C,K,E,D
)
Cho m là một số nguyên dương cố định. Cho P = C = (Z
26
)
m
và cho

K = { các ma trận khả nghịch cấp m × m trên Z
26
}
Với một khoá K ∈K ta xác định
e
K
(x) = xK
và d
K
(y) = yK
-1

Tất cả các phép toán được thực hiện trong Z
26

Ví dụ:
Giả sử có khóa
11 8
3 7
K
 
=
 
 

Lý thuyết mật mã và an toàn dữ liệu

Trang 22

Từ các tính toán trên ta có:

1
7 18
23 11
K
−
 
=
 
 

Giả sử cần mã hoá bản rõ "July". Ta có hai phần tử của bản rõ để mã hoá: (9,20)
(ứng với Ju) và (11,24) (ứng với ly). Ta tính như sau:
11 8
(9,20) (99 60,72 140) (3, 4)
3 7
 
= + + =
 
 

Và
11 8
(11,21) (121 72,88 168) (11, 22)
3 7
 
= + + =
 
 

Bởi vậy bản mã của July là DELW. Để giải mã Bob sẽ tính:

7 18
(3,4) (9,20)
23 11
 
=
 
 
và
7 18
(11,22) (11,24)
23 11
 
=
 
 

Như vậy Bob đã nhận được bản đúng.
Cho tới lúc này ta đã chỉ ra rằng có thể thực hiện phép giải mã nếu K có một nghịch
đảo. Trên thực tế, để phép giải mã là có thể thực hiện được, điều kiện cần là K phải có
nghịch đảo. ( Điều này dễ dàng rút ra từ đại số tuyến tính sơ cấp, tuy nhiên sẽ không
chứng minh ở đây). Bởi vậy, chúng ta chỉ quan tâm tới các ma trận K khả nghich. Tính
khả nghịch của một ma trận vuông phụ thuộc vào giá trị định thức của nó. Để tránh sự
tổng quát hoá không cần thiết, ta chỉ giới hạn trong trường hợp 2×2.
Định nghĩa : Định thức của ma trận A = (a
,i j
) cấp 2
×
2 là giá trị
det A = a
1,1

a
2,2
- a
1,2
a
2,1

Một ma trận thức K là có nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tuy
nhiên, điều quan trọng cần nhớ là ta đang làm việc trên Z
26
. Kết quả tương ứng là ma
trận K có nghịch đảo theo modulo 26 khi và chỉ khi UCLN(det K,26) = 1.
Định lý: Giả sử A = (a
i j
) là một ma trận cấp 2 × 2 trên Z
26
sao cho det A = a
1,1
a
2,2
-
a
1,2
a
2,1
có nghịch đảo. Khi đó
2,2 1,2
1 1
2,1 1,1
(det )

a a
A A
a a
− −
−
 
=
 
−
 

Trở lại ví dụ đã xét ở trên . Trước hết ta có:
11 8
3 7
Det
 
 
 
=(11.7-8.3) mod 26 = 77 - 24 mod 26 = 53 mod 26 =1
Vì 1
-1
mod 26 = 1 nên ma trận nghịch đảo là
1
11 8 7 8 7 18
3 7 3 11 23 11
−
−
     
= =
     

−
     
(do theo modulo 26)
Đây chính là ma trận đã có ở trên.