Tiểu sử nhà toán học gauss

1

LỜI CẢM ƠN
Với những kiến thức đã học được từ bộ mơn Lịch sử Tốn học thuộc khoa sư phạm
Tốn, em đã lựa chọn đề tài “Nhà toán học Carl Friedrich Gauss” là đề tài thực hiện bài
tiểu luận. Đây là kết quả của quá trình học tập, tiếp thu kiến thức tại trường, lớp và cả
những tìm tịi, nghiên cứu riêng của bản thân em và sự chỉ dạy tận tình của các q
Thầy, Cơ thuộc tổ bộ mơn Tốn nói chung và Thầy PGS.TS Tạ Duy Phượng nói riêng người đã trực tiếp hướng dẫn em trong môn học này.
Với lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em xin cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy, cô
của trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đưa mơn Lịch sử Tốn học
vào giảng dạy, Thầy Cơ ln quan tâm, tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện cho chúng em
trong suốt quá trình học tập. Đây là một môn học rất hay và em tích luỹ được nhiều kiến
thức bổ ích. Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Giảng viên: Thầy PGS.TS
Tạ Duy Phượng - người đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm
quý báu cho em trong suốt học kì qua. Cám ơn Thầy đã ln tận tình chỉ dẫn, đưa ra
nhiều lời khun bổ ích, từ đó em có được đính hướng, triển khai và hoàn thành bài tiểu
luận này một cách tốt nhất.
Mặc dù em đã dành tất cả tâm huyết và thời gian, cố gắng hết mình với những đầu
tư nhất định trong q trình làm bài để hồn thiện một bài tiểu luận chỉnh chu nhất có
thể. Tuy nhiên, do kiến thức, năng lực của em còn nhiều hạn chế và khơng có nhiều
kinh nghiệm trên thực tiễn nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong bài làm. Em kính
mong Thầy lượng thứ, thông cảm cho em!
Em xin chân thành cảm ơn Thầy!

Sinh viên
Minh
Trần Nguyễn Bình Minh


2

MỤC LỤC
Nội dung

STT

Trang

1

Lời cảm ơn

2

2

Mục lục

3

3

Đặt vấn đề

4

4

Phần I. Cuộc đời và sự nghiệp của Gauss

5

I. Cuộc đời của Gauss
1.

Đầu đời của Gauss.

2.

Quá trình trưởng thành của Gauss.

3.

Những năm cuối đời của Gauss.

4.

Cá tính của Gauss.

5.

Gia đình của Gauss.

II. Sự nghiệp của Gauss
1. Từ 1807 về trước

5
5

9
10

11
13

2. Từ năm 1807 – năm 1855
III. Các thành tựu của Gauss
5

Phần II: Áp dụng phương pháp Gauss vào giải
các dạng bài Toán.

22

31


3

ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Tính cấp thiết của vấn đề
- Laplace, nhà tốn học Pháp nổi tiếng thời đó, nói rằng: "Nếu ai hỏi tơi ai là nhà
tốn học lớn nhất của Đức thì tơi sẽ nói rằng đó là Johann Friedrich Pfaff; cịn nếu hỏi
tơi ai là nhà tốn học lớn nhất châu Âu thì đó chính là Carl Friedrich Gauss".
- Nhà toán học người Anh Henry John Stephen Smith đã đánh giá về Gauss sau: “Nếu
chúng ta loại trừ tên tuổi vĩ đại của Newton, có thể khơng có nhà toán học ở bất kỳ độ
tuổi hay quốc gia nào từng vượt qua Gauss trong sự kết hợp của khả năng sản sinh dồi
dào phát kiến cùng sự khắt khe tuyệt đối trong việc chứng minh, mà chính người Hy Lạp
cổ đại có thể ghen tị.”
➔ Xuất phát từ đó và được sự đồng ý của giảng viên hướng dẫn, em đã thực hiện đề tài:
“Nhà toán học Carl Friedrich Gauss”

2. Mục tiêu nghiên cứu
Cuộc đời, sự nghiệp và tầm ảnh hưởng của Nhà toán học Gauss đến Khoa học nói
chung và Tốn học thế giới nói riêng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nhà toán học Carl Friedrich Gauss.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Cuộc đời của nhà toán học Carl Friedrich Gauss.


4
PHẦN I: CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CỦA GAUSS

I. Cuộc đời của Gauss.
1. Đầu đời của Gauss.
- Johann Carl Friedrich Gauss sinh ngày 30 tháng 4 năm 1777 tại thành
phố Braunschweig, bang Niedersachsen Đức và mất ngày 23 tháng 2 năm 1855.
- Ông là con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp lao động nghèo trong
xã hội Đức, mẹ của ơng thậm chí cịn khơng biết chữ và có rất ít kiến thức. Vì khơng
biết chữ, bà không thể ghi lại ngày sinh của Gauss mà chỉ nhớ rằng ông được sinh ra
vào tháng 4, trước lễ Thăng Thiên 8 ngày và sau lễ Phục Sinh 39 ngày.
- Khi còn nhỏ, nhờ vào những dữ liệu mà mẹ cho mình biết, Gauss sau đó đã giải
được câu đố về ngày sinh của mình trong khi đang dị tìm ngày diễn ra lễ Phục sinh, tìm
thấy các phương pháp để tính được ngày này từ cả năm trước đó và những năm sau
này. Ơng đã được rửa tội và cử hành lễ kiên tín trong một nhà thờ gần trường mà ơng
theo học khi cịn nhỏ.
2. Q trình trưởng thành của Gauss
- Johann Carl Friedrich Gauss có ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán

học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler và Archimedes như
là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.
- Ông được người đời ca tụng là “Hồng tử của các nhà tốn học”, thế nhưng danh
hiệu này khơng hồn tồn xuất phát từ những đóng góp của ơng cho nền tốn học mà
cịn bởi vì từ nhỏ, ơng vốn là một thần đồng có khả năng tính tốn hơn người.


5

- Thiên tài của Gauss thể hiện từ lúc nhỏ. Một vài giai thoại đã kể lại rằng, khi Carl
Friedrich Gauss lên 3 tuổi, ông đã phát hiện lỗi sai trong bảng tính lương của ba ơng và
đã sửa nó. Ơng đã từng nói đùa rằng: “Tơi học tính trước khi học nói”. Một hơm, ơng
giáo trường làng bắt học trị làm phép tính cộng các số từ 1,2,3,… đến 100. Trong khi
các bạn trong lớp loay hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Gauss đã có
đáp số. Thầy giáo ngạc nhiên, và cậu bé Gauss giải thích 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …
=50 + 51 nên kết quả là 50.101 = 50500, lúc này Gauss mới 9 tuổi.

- Năm 14 tuổi, Gauss nhận được sự giúp đỡ về tài chính từ Karl Wilhelm Ferdinand,
một cơng tước vùng Braunschweig. Vì thế, từ năm 1792 đến 1794, ơng đã theo học tại
trường Collegium Carolinum, một trong những trường học dành cho những học sinh có
năng khiếu đặc biệt. Trong những năm học tại đây, Gauss vẫn đam mê số học và cạnh
đó cũng rất giỏi về cổ ngữ và sinh ngữ. Thời gian này Gauss còn khám phá ra qui luật
Bode (tỉ lệ gần đúng khoảng cách đến mặt trời của các hành tinh trong Thái dương hệ)
một cách độc lập và mở rộng định lý nhị thức cho các số mũ hữu tỉ.
- Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Gottingen. Đây là khoảng thời gian mà
tài năng của ông mới bắt đầu được những người xung quanh chú ý đến, mặc dù vẫn chưa
dứt khoát sẽ chuyên ngành về toán học hay ngữ văn. Gauss khám phá ra một số định lý
toán học quan trọng một cách độc lập. Vào năm 1796, khi Carl Friedrich Gauss chưa
đầy 19 tuổi, ơng đã có đột phá toán học đầu tiên khi chứng minh mọi đa giác đều với số
cạnh bằng số nguyên tố Fermat, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số

nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2. Ông là người đầu tiên phát hiện ra cách
dựng hình thất thập giác đều. Đây là hình đa giác có 17 cạnh, chỉ dựng bằng thước kẻ


6

và compa. Gauss vẽ trong sự trầm trồ của người thầy, sau khi hồn tất, người thầy nói
rằng: “Em có biết đây là bài tốn trước giờ chưa ai có thể giải được, kể cả Archimedes
hay Isaac Newton không? Bài tốn này đã có niên đại hơn 2000 năm, và em chỉ giải nó
trong một đêm, em thật sự là một thiên tài!”. Đây là một khám gây phá giật gân. Do từ
thời cổ đại cho đến thời điểm đó, chưa một ai có thể giải được bài tốn này một cách
trọn vẹn nhất. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài tốn đã
làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Khoảnh khắc ấy cũng đã đánh
dấu một cột mốc lớn của huyền thoại tốn học. Gauss bất ngờ vì những gì người thầy
nói với mình, ơng sung sướng và hạnh phúc. Hình đa giác đều 17 cạnh và bài tốn dựng
hình của nó trở thành một trong những cơng trình mà Gauss tâm đắc nhất cuộc đời mình.

Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ơng đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này
một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ
thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trơng giống một hình trịn.
Về sau, Gauss chia sẻ và nói lại rằng “Nếu có ai đó nói với tơi rằng đó là một bài tốn
khó, đã có 2000 năm lịch sử và chưa có ai giải được, thì có lẽ tơi đã bỏ cuộc và khơng
thể hồn thành đó”. Câu nói này cũng là bài học cho đời, có lẽ nếu chúng ta khơng biết
vấn đề mà chúng ta đang đối mặt khó khăn như thế nào, có lẽ là chúng ta sẽ thực hiện
nó tốt hơn là vạch ra rất nhiều thử thách rồi bng xi.
- Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho
ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ơng tìm thấy cách dựng hình thất thập giác.
Sau đó ông tiếp tục nâng cấp phát triển số học module, một khám phá giúp cho việc

7

giải tốn trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi rất nhiều thao tác. Cơng thức nghịch
đảo tồn phương của ơng được tìm thấy ngày 8 tháng 4, ơng trở thành người đầu tiên
chứng minh thành công định luật tương hỗ bậc hai. Định luật khá tổng quát này cho
phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong
số học mơ-đun. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một
cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10
tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng mọi số nguyên dương đều có thể được biểu diễn dưới
dạng tổng của nhiều nhất là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của
mình "Heureka! num = Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về
các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát
biểu Weil 150 năm sau.
- Năm 1798, Gauss trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ơng cho ra đời tác
phẩm Disquisitiones arithmetica
- Ơng rất thích thú với phát hiện mới của mình đến nỗi mà ơng muốn khắc hình thất
thập giác đều lên trên bia mộ của mình. Nhưng người điêu khắc đã từ chối u cầu ấy
vì khơng ai đủ kỹ thuật để làm. Kỹ thuật khơng tốt sẽ khiến hình nhiều cạnh chẳng khác
gì hình trịn. Cũng nhờ nghiên cứu này, Carl Friedrich Gauss đã quyết định chọn theo
đuổi sự nghiệp toán học thay vì triết học. Ơng tập trung vào con đường tốn học của
mình. Năm 1799, ơng tốt nghiệp đại học tại Helmstedt.
- Gauss thích cuộc sống trầm lặng, bình thường khơng tham gia hội hè đình đám
nhiều ở Gottingen, mà chỉ thích đi dạo và vào thư viện trường đọc sách. Thời bấy giờ
tình hình chính trị khá bất ổn và kinh tế suy sụp nhưng ngược lại, khoa học lúc đó phát
triển khá mạnh. Người ta mở rộng các trường đại học, việc trao đổi thảo luận với các
nhà khoa học trong ngoài nước trở nên phổ biến, ngay cả ngành thiên văn cũng được dư
luận chú ý tới. Gauss chăm sóc việc xây đài thiên văn mới ở ngoại thành Gưttingen và
từ năm 1816 trở đi ơng sống và làm việc ln ở đó (chuyện này cũng có lợi về vệ sinh,
vì khi bùng nổ bệnh dịch tả, ông bảo là "đài thiên văn của tôi là nơi bảo đảm sức khỏe
nhất ở Gottingen).

- Tuy suốt đời làm việc với khoa học, nhưng Gauss cũng thích văn chương, nhất là
đọc các tác phẩm của Jean Paul, một nhà văn nổi tiếng đương thời mà ông rất hâm mộ.
Gauss đọc và học nhiều. Ơng có thể đọc thơng viết thạo 3 thứ tiếng: La tinh, tiếng Pháp,
tiếng Anh; đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens (Anh),


8

Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ...), những năm cuối
cuộc đời ơng cịn học thêm thành thạo tiếng Nga.
3. Những năm cuối đời
- Về già, Johann Carl Friedrich Gauss vẫn khá minh mẫn và tỉnh táo, mặc dù ông
bị hội chứng suy tim và mất ngủ, ngay cả khi phải chống chọi với bệnh gout và cuộc
sống không hạnh phúc. Tới tuổi 62, ông vẫn dành thời gian tự học tiếng Nga.
- Gauss mất ở Gottingen, Hannover (nay thuộc Hạ Saxony, Đức) năm 1855 và được
chôn cất tại nghĩa trang Albanifriedhof.
- Sau khi Gauss mất, một người bạn ông là giáo sư sinh học Robert Heinrich Wagner
được chấp thuận bảo quản và tìm hiểu, nghiên cứu bộ óc thiên tài này - nó nặng 1.492
gam và có diện tích vỏ não rộng 219.588 xentimét vng. Trên vỏ não cũng tìm thấy
nhiều nếp cuộn, một đặc điểm được nhiều người vào đầu thế kỷ 20 cho là lời giải thích
cho trí tuệ đặc biệt của ơng (Dunnington, 1927). Tuy nhiên, ngày nay môn não học này
được cho là giả khoa học.
- Đến nay bộ óc của Gauss vẫn còn được giữ nguyên vẹn ở trường đại học Gottingen.

Bia mộ của Gauss hiện tại


9
4. Cá tính

- Johann Carl Friedrich Gauss là người cuồng nhiệt theo chủ nghĩa hoàn hảo và
một người lao động cần cù. Có giai thoại kể rằng một lần, lúc Gauss đang giải một bài
tốn, có người đến báo với ơng rằng vợ ơng sắp mất. Ơng đã nói "Bảo cơ ấy đợi chút
cho đến lúc tơi xong việc".
- Ơng không phải là người xuất bản nhiều tác phẩm khoa học, từ chối việc đăng các
cơng trình của ơng khi chúng chưa được ơng cho là hồn hảo hay cịn nằm trong tranh
luận. Khẩu hiệu của ông là pauca sed matura (ít, nhưng chín chắn). Một nghiên cứu
nhật lý của ông cho thấy ông đã khám phá ra nhiều khái niệm toán học quan trọng nhiều
năm hoặc nhiều thập kỷ trước khi chúng được xuất bản bởi các đồng nghiệp đương thời.
Một nhà viết lịch sử toán học, Eric Temple Bell, ước đốn rằng nếu Gauss xuất bản hết
mọi cơng trình của ơng, tốn học có thể tiến nhanh hơn 50 năm.
- Một phê bình khác về Gauss là ơng khơng hỗ trợ các nhà tốn học trẻ tiếp bước
ơng. Ông rất hiếm khi hợp tác với các nhà toán học khác và bị nhiều người cảm thấy
tách biệt và khắt khe. Mặc dù ơng có một số học trị, Gauss có vẻ khơng thích dạy học
(có người nói ơng chỉ dự duy nhất một hội thảo khoa học, ở Berlin năm 1828). Tuy
nhiên, một số học trị của ơng sau này cũng trở thành các nhà toán học lớn, như Richard
Dedekind và Bernhard Riemann.
- Gauss là người theo đạo và bảo thủ. Ơng ủng hộ hồng gia và chống lại Napoleon
Bonaparte người mà ông cho rằng là sản phẩm của cách mạng.
5. Gia đình
- Cuộc sống riêng của Johann Carl Friedrich Gauss bị ảnh hưởng nghiêm trọng bởi
cái chết của người vợ đầu, Johanna Osthoff (1809), và một đứa con, Louis ít lâu sau.
- Ơng lập gia đình lần thứ hai với Friederica Wilhelmine Waldeck (thường gọi là
Minna), một người bạn gái của vợ cũ, nhưng Minna lại mất vào năm 1831 sau một thời
gian dài đau ốm. Từ đó người con gái Therese của ơng phải chăm lo cho gia đình cho
đến khi ơng mất. Mẹ của Gauss cũng sống trong cùng mái nhà từ năm 1812 đến khi bà
mất vào năm 1839.
- Gauss có 6 con. Với vợ thứ nhất Johanna (1780-1809), các con là Joseph(18061873),Wilhelmina(1808-1846)vàLouis(1809-1810);trong đó Wilhelmina được coi là có
có trí tuệ giống cha nhất nhưng cô lại mất sớm. Với người vợ thứ hai, Minna Waldeck,
ơng cũng có ba con: Eugen (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) và Therese (1816-1864).

10

II. Sự nghiệp và thành tựu của Gauss.

1. Từ 1807 về trước
- Ơng là một nhà tốn học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều
đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi
phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học và quang học. Ơng đã khám phá
ra một số định lý tốn học. Nổi tiếng nhất là bài toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng
thước kẻ và compa - một bài toán làm đau đầu các nhà toán học trong hơn 2.000 năm.
- Một năm sau khi trở về Braunschweig, 1799, Ga trình luận án tiến sĩ tại đại học
Helmstedt (thuộc Braunschweig), trong đó ơng đưa ra chứng minh đầu tiên cho Định lý
cơ bản của đại số học (đa thức bậc n trên trường đại số đóng như số phức chẳng hạn có
đúng n nghiệm trong đó). Bên cạnh rất nhiều chứng minh khác của các nhà toán học đời
sau, chính Ga đã đưa ra thêm 3 cách chứng minh khác (lần cuối vào dịp kỷ niệm 50
năm luận án của ơng). Cũng nên nói thêm rằng chính cơng trình này của Ga từ đó đã
đưa các số phức và cách biểu diễn số phức (mặt phẳng Gauß) vào ứng dụng rộng rãi
trong khoa học kỹ thuật.
- Được tiếp tục giúp đỡ tài chính bởi cơng tước Karl Wilhelm mà Ga rất biết ơn và
gắn bó, ơng lưu lại nghiên cứu toán học ở Braunschweig một cách độc lập. Thời gian
này Ga hồn thành bộ Disquisitiones arithmeticae, một cơng trình tốn học sâu rộng
nhất của thời bấy giờ. Trong đó ơng trình bày tất cả các kết quả tìm được một cách có
hệ thống và cơ đọng, chứng minh và giải đáp các vấn đề then chốt, cùng lúc lại phác họa


11

nhiều chiều hướng nghiên cứu mà đôi khi đến tận ngày nay vẫn cịn là thử thách. Nhiều

tên tuổi tốn học như Jacobi và Abel chẳng hạn, nhìn nhận là đã phát triển lý thuyết hàm
số elliptic của họ chỉ nhờ một lời gợi ý nhỏ trong Disquisitiones.

- Trong cuốn Disquisitiones Arithma Gauss đã trích dẫn 29 bài báo của Euler, 8 bài
báo của Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813) và 2 bài báo của Adrien – Marie
Legendre (1752 – 1833). Disquisitiones Arithm'etiques đã được dịch: Recherches
arithm'etiques
(Paris 1807). Bản dịch này là của Antoine-Charles Marcel
Poullet-Delisle (1778-1849), giáo viên toán tại Lyc'ee d'Orl'eans.
Tuy nhiên, bản dịch đã được khởi xướng bởi Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827). Cùng năm 1807, quán rượu Louis Poinsot (1777-1859) đã đưa ra một
đánh giá sâu rộng


12



Chính bản dịch tiếng Pháp này đã làm cho Gauss trở nên phổ biến trong giới

Các nhà toán học người Pháp. Và nhận xét của Poinsot chứng tỏ sự nổi tiếng của
Gauss ở Pháp. Ở Đức gần như khơng có nhà tốn học nào có thể đánh giá cao cơng
việc khó khăn của Gauss.
2. Từ năm 1807 đến năm 1855
- Năm 1807, khi mới 30 tuổi, Gauss được mời về đại học Gottingen nhận chức giáo
sư thiên văn học. Thật ra, thoạt đầu ông cũng lưỡng lự, nhưng vào đúng lúc này vị công
tước chuộng khoa học xưa nay giúp đỡ ơng lại tử trận trong chiến tranh Napoleon nên
vì sinh kế ông đã nhận lời. Rất nhiều lần trước và sau đó Ga được các trường đại học
lớn (và dồi dào tài chính) hơn như Berlin, St.Petersburg, Wien hay Leipzig mời làm giáo
sư, nhưng ông từ chối tất cả, ở lại Gottingen giảng dạy và nghiên cứu cho đến khi lìa

trần. Ở đó, sau này ơng cịn làm giám đốc đài thiên văn Gottingen mới được xây dựng.
- Vào mùa thu năm 1807 Gauss cùng gia đình chuyển đến Găottingen. Ln u tiờn
trong i, anh cú i quan sỏt của riêng mình, mặc dù nó vẫn là đài thiên văn cũ của
Tobias Mayer (1723-1762). Nhưng đã có chiến tranh giữa các nước Đức và Napoléon.
Năm 1808 Gottingen bị chiếm đóng và tất cả những người có chức vụ đều phải đóng
góp chiến tranh. Gauss nhờ Laplace và Lagrange giúp đỡ và cả hai đều đề nghị anh ta
tiền. Đồng nghiệp thiên văn học của Gauss, Ludwig Harding cũng vậy (1765-1834),
đã có thể hưởng lợi từ thái độ rộng lượng của Laplace
và Lagrange.
- Năm 1809 là một thảm họa đối với Gauss. Sự khởi đầu đầy hứa hẹn, bất chấp
chiến tranh, thiên văn học của Gauss - tác phẩm chính Theoria motus corporum
coelestium insectionibus conicis solem ambientium (Lý thuyết chuyển động của các
thiên thể chuyển động về mặt trời theo hình nón) xuất hiện ở Hamburg vào đầu mùa
hè năm 1809. Nhưng vào tháng 10, vợ của Gauss là Johanna (1780-1809) sinh đứa
con thứ ba rồi qua đời. Giải pháp duy nhất cho một người đàn ơng lúc này có con nhỏ
là phải lấy chồng lần nữa. Và cái này xảy ra vào mùa hè năm 1810, người vợ thứ hai
của Gauss là Minna Waldeck (1788-1831).
a) Tại trường đại học Gottingen.
- Khi Gauss đi đến Göttingen, Ludwig Harding là giáo sư thiên văn học tại trường
đại học (ông được bổ nhiệm sau khi phát hiện ra hành tinh nhỏ thứ ba, Juno, năm
1805). Vì vậy khi Gauss đến, có hai nh thiờn vn hc Găottingen.


13

- Gauss khơng chỉ xứng đáng là ơng hồng của toán học như các nhà toán học đương
thời và đời sau xưng tụng mà cịn un bác và có những phát hiện đột phá trong nhiều
ngành khoa học khác nữa - như cổ kim chỉ có Archimedes, Galilei và Newton trước ơng.
- Thật vậy, ngồi tốn học Gauss cịn nghiên cứu về trắc địa, vật lý (điện từ, từ
trường, địa từ), thiên văn và quang học. Năm 24 tuổi ông đã nổi tiếng vì tính được chính

xác quỹ đạo của thiên thể Ceres. Trong thời gian thiên thể này bị che khuất nhiều nhà
thiên văn tên tuổi đã dự đoán nơi tái xuất hiện của Ceres trên bầu trời nhưng đều sai.
Phương pháp tính quỹ đạo này của Ga được công bố năm 1809 (lý thuyết chuyển
động của các thiên thể nhỏ chịu ảnh hưởng hấp dẫn của các thiên thể lớn hơn) và được
sử dụng cho đến ngày nay (chỉ sửa đổi đơi chút để đem vào máy tính). Cùng lúc ơng cịn
đưa ra cách tính bình phương cực tiểu và phân bố Gauss để giảm ảnh hưởng sai sót trong
số liệu, giờ vẫn cịn là căn bản cho các ngành khoa học thực nghiệm. (Nhờ cơng trình
thiên văn này Gauss được trao tặng giải thưởng Lalande của viện Hàn lâm khoa học
Pháp, sau đó ơng cịn được Nga hoàng mời về làm giám đốc đài thiên văn của viện Hàn
Lâm Petrograd, cũng như các đại học Berlin và Wien mời cộng tác, nhưng ông đều chối
từ.)
b) Thiên văn học và Toán học
- Mặc dù Gauss bây giờ là giáo sư thiên văn học nhưng ông không bao giờ qn
tốn học, trái lại, tốn học đóng vai trị quan trọng nhất, ngay cả khi ông làm việc
trong các lĩnh vực khác. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các nghiên cứu thiên văn học
của ông, chủ yếu là việc xác định quỹ đạo của các hành tinh.
Như chính Gauss và các đồng nghiệp của ông đã thường chỉ ra, ngun nhân chính
các chương trong Theoria motus của ơng là đoạn 99 và 100. Ở đây ông xác định quỹ
đạo bằng phương trình siêu việt. Đó là khơng mới vào thời điểm này, kết quả này
cũng đã được các nhà thiên văn học khác đạt được. Nhưng Gauss đã giải được phương
trình siêu nghiệm này bằng phương pháp liên tục các phân số và chúng hội tụ rất
nhanh. Vì vậy Gauss đã có thể đạt được một kết quả rất tốt nhờ một số lượng nhỏ các
thuật ngữ.
- Ngược lại, công cuộc trắc địa cho vương quốc Hannover đã dẫn dắt Gauss phát
triển thêm phân bố Gauss và nhất là nghiên cứu về hình học vi phân trong tốn học. Ông
nghiên cứu các đường geodesics (đường ngắn nhất trên các bề mặt cong), đưa ra khái


14

niệm độ cong của một bề mặt (độ cong Gauss) và chứng minh là độ cong này là một
tính chất nội thể của bề mặt, không phụ thuộc vào cách lồng bề mặt ấy vào một khơng
gian nào đó. Những năm cuối đời Ga cịn đặt nền mống cho ngành tốn bảo hiểm mà
lúc ấy cịn phơi thai. Ơng cũng theo dõi và nghiên cứu về tài chính, và khác với hầu hết
các nhà khoa học đương thời, biết đầu tư rất khéo léo vào các dự án kinh tế thời bấy giờ
(Nga hồng có lần ngỏ ý mời Ga sang làm bộ trưởng tài chính nhưng ơng cũng từ
chối).
Ngồi tốn học ra - tên ơng cịn lưu lại trong rất nhiều định luật, phương pháp và cả
hằng số hay đơn vị nữa.
Ngồi ra, Gauss cịn có ý tưởng nghiên cứu hình học phi Euklid rất sớm, tuy khơng cơng
bố rộng rãi. Tương truyền, khi nghe Wolfgang Bolyai, bạn học từ những ngày Göttingen,
loan báo về khám phá của con mình là János Bolyai về hình học phi Euklid, ơng thành
thực bảo là "đã tự nghĩ đến từ lâu" nên đã làm tình bạn sứt mẻ một thời gian. Chắc vì
bài học đó, sau này, khi theo dõi nghiên cứu khác của Lobachevsky về hình học phi
Euklid, Gauss rất quan tâm ủng hộ. Đến những năm cuối đời, học trò cuối cùng của ông
là Bernhard Riemann đưa ra quan điểm kết hợp các loại hình học (ở mỗi nơi có thể mang
tính chất khác nhau nhưng kết hợp với nhau thành một khối mà sau này là cơ sở toán
học cho thuyết tương đối của Einstein), Gauss đã tích cực khuyến khích Riemann đệ
trình làm luận án Habilitation.
Gauss có khả năng làm việc có một khơng hai. Ngay cả trong những lúc khó khăn nhất
như khi bà vợ đầu của ông (và đứa con thứ ba) mất năm 1809 hay những năm tháng đi
đo đạc lãnh thổ Hannover, ông vẫn nghiên cứu và đăng tải hàng chục bài nghiên cứu và
trao đổi với các khoa học gia khác. Tuy vậy ông rất thận trọng, chỉ công bố kết quả
nghiên cứu khi đã thật sự chắc chắn, có khi cả chục năm sau khi bắt đầu tìm ra lời giải.
Do đó mà các nhà tốn học đồng thời đơi khi cảm thấy ơng có vẻ khơng hợp tác tích
cực. Nhật ký và bản thảo làm việc của ơng cịn ghi lại vơ số kết quả chưa ai biết đến
(hình học phi Euklid đã đề cập là một thí dụ). Tuy vậy, Ga vẫn có ảnh hưởng rất lớn
đến khắp các nhà toán học thời bấy giờ. Nhà toán học trẻ tuổi Galois, trước buổi đọ kiếm
quyết định cuộc đời, đã khẩn khoản u cầu chuyển bản thảo cơng trình của mình cho
Ga.

- Ơng là người đặt nền móng cho bộ mơn Lý thuyết số với những cơng trình: đồng
dư, nghịch đảo toàn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm của đa thức... Ơng đóng góp


15

cho đại số các cơng trình Định lý cơ bản của đại số. Ơng góp phần phát triển số phức
nhằm hồn thiện dần mơn đại số như ngày nay. Ơng cũng là người tuyên bố đã khám
phá ra hình học phi Euclite.
- Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ơng chưa bao giờ
xuất bản các cơng trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một cuộc cách mạng trong
tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà tốn học khỏi giả thuyết rằng các tiên
đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học khơng tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu
về hình học này, cùng với các ý tưởng khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của
Albert Einstein, miêu tả vũ trụ trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của
Gauss, người mà Gauss đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng
minh định đề song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của
Bolyai, Janos Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản cơng
trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của Janos Bolyai, Gauss đã viết cho
Farkas Bolyai: "Nếu khen cơng trình này thì tức là tự khen tơi. Tồn bộ nó ... trùng hồn
tồn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm năm qua." Câu nói
khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với János Bolyai (người đã nghĩ
rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).
- Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành tinh
nhỏ, đặt tên là Ceres. Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và Sao Mộc. Nhưng
sau đó thì các nhà Thiên Văn khơng tìm thấy Ceres nữa, dùng kính viễn vọng cũng vơ
ích. Gauss bèn dùng một phương pháp Tốn học mới, dựa trên Lý thuyết các bình
phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành tinh nhỏ Ceres. Cuối năm 1801 người
ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y chỗ mà Gauss đã tính tốn, ta thấy Gauss tài
giỏi biết là dường nào. Bằng thành tích này Gauss đã mở ra một con đường mới trong

tính tốn Thiên văn: phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn. Tên tuổi ông
bắt đầu vang dội. Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc nặng vì
thất tình. Ơng chán ghét nghề dạy học. Ơng nghĩ một cách sai lầm rằng ơng khơng có gì
để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng những cơng trình sáng tạo Tốn học của
ơng như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một mặt không đáng giá gì so với những
sáng tạo, tìm tịi của ông về Thiên văn-Trắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám
đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807. Năm 1809, một tai hoạ giáng xuống gia đình
ơng: vợ ông, bà Johanna từ trần. Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông


16

trở nên thô bạo với các con. Quay về với Trắc địa, ơng bỏ rơi Tốn học, chú ý đến Thiên
văn. Nhưng ơng đã có bạn tâm giao mới là Wilhelm Weber đã mời Gauss cùng nghiên
cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học. Nhưng sự hợp tác khoa học này khơng
lâu vì năm 1837 Weber đã từ chối phục vụ chế độ mới, thế là hai nhà Khoa học phải
chia tay. Tuy vậy Gauss cũng đạt được nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao
dẫn, tinh thể học... Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng Gauss về cuối
đời vẫn đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi như Eisenstein, Riemann và Dedekind.
- Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang
Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia,
đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính tốn phi
thường của ơng. Ơng thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich
Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề.
Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope sử dụng hệ thống
gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.
- Một thời gian sau ông lại tiếp tục sử dụng lý thuyết này và vào năm 1812 ông
đã xuất bản một bài viết rất quan trọng về cái gọi là siêu hình học series: Allgemeine
Untersuchungen uber die unendliche Reihe:
1+

𝛼𝛽
1.𝛾

x+

𝛼(𝛼+1)𝛽(𝛽+1)
1 . 2 . 𝛾(𝛾 + 1)

xx +

𝛼(𝛼+1)(𝛼+2)𝛽(𝛽+1)(𝛽+2)
1 . 2 . 3 . 𝛾(𝛾+1)(𝛾+2)

x3 + etc.

c) Khảo sát và Toán học
- Năm 1820, Vua Hannover và Vương quốc Anh, George IV (ơng trị vì từ 18201830) đã đưa ra để khảo sát vương quốc Hannover. Gauss bắt đầu ngay lập tức
và trình bày những kết quả đầu tiên vào năm 1823.20 Nhưng trong khi khảo sát ông
cũng các bài báo lý thuyết hoặc toán học thuần túy được xuất bản bắt nguồn từ
cơng việc thực tế của mình.
- Năm 1825 ơng cụng b kt qu toỏn hc u tiờn: Allgemeine Auflăosung
der Aufgabe die Theile einer gegebnen Flăache so abzubilden, dass die Abbildung
dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ăahnlich wird (Gii tng quát cho bài toán
làm thế nào để biểu diễn các phần của một hình cho trước bề mặt trên một bề mặt cho
trước khác, sao cho các phần nhỏ nhất của biểu diễn tương tự với các phần tương ứng
của bề mặt được biểu diễn lại).21 Ở đây Gauss lần đầu tiên giới thiệu thuật ngữ “con
formal” và phát triển một lý thuyết về “bản đồ phù hợp”. Sau công việc này, ông đã
được trao huy chương của Học viện Đan Mạch ở Copen hagen.

17

- Cuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra phân bố
Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ơng đến một lĩnh vực mới
là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các đường cong và bề mặt.
Ơng đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này, theorema egregrium xây dựng
một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng
độ cong của một bề mặt có thể được đo hồn tồn bởi góc và khoảng cách trên bề mặt
đó; nghĩa là, độ cong hồn tồn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào
trong không gian (ba chiều) bao quanh.

Phân bố Gauss trong thống kê
- Ba năm sau, vào năm 1828, ơng trình bày đóng góp chính của mình cho hình học
vi phân Disquisitiones generices circa superficies curvas (Nghiên cứu tổng quát về bề
mặt cong), nơi ông giới thiệu một phương pháp mới định nghĩa về thước đo độ cong
và định nghĩa mới về bề mặt tương đương với đa tạp hai chiều:
Khi một bề mặt được coi không phải là ranh giới của một vật rắn mà là dẻo, mặc dù
không thể mở rộng được, một chiều của nó được cho là biến mất, khi đó các tính chất
của bề mặt phụ thuộc một phần dựa trên hình thức mà chúng ta có thể cho rằng nó
giảm xuống, và một phần là tuyệt đối và khơng thay đổi, bất kể hình thức mà nó mang
vào là gì bề mặt bị uốn cong. Đối với những tính chất sau này, việc nghiên cứu chúng
mở ra cho hình học một lĩnh vực mới và màu mỡ, thuộc về thước đo độ cong và độ
cong tích phân, theo nghĩa mà chúng ta đã đưa ra đến những biểu thức này. Lý thuyết
về đường ngắn nhất cũng thuộc về lý thuyết này, và một phần lớn những gì chúng ta
dành để xử lý sau. Từ đây, quan điểm: một bề mặt phẳng và một bề mặt có thể phát
triển trên một mặt phẳng.


18

Ví dụ: các bề mặt hình trụ, bề mặt hình nón, v.v., được coi là về cơ bản giống hệt
nhau; và phương pháp chung để xác định một cách tổng quát cách thức mà bản chất
của các bề mặt được xem xét luôn dựa trên theo công thức:
√𝐸𝑑𝑝 2 + 2𝐹𝑑𝑝𝑑𝑞 + 𝐺𝑑𝑝 2
(nối phần tử tuyến tính với hai phần tử vơ định p, q)
d) Vật lý và tốn học.
- Khi Wilhelm Weber (1804-1891) trở thành giáo sư vật lý ti trng i hc
Găottingen vo nm 1831, mt Thiờn văn học Abhandlungen, Heft 3, 1825, tr. 1-30.
Trong: Gauss Werke 4, tr.189-216.
- Thời kỳ mới bắt đầu trong cuộc đời Gauss. Anh ấy có hứng thú với vật lý, đặc
biệt là điện và từ, từ lâu, nhưng anh ấy cần sự giúp đỡ trong tạo ra các thí nghiệm. Bộ
đơi Gauss và Weber thật đặc biệt, vì mối quan tâm của Gauss thiên về lý thuyết hơn
và Weber đã có thể bổ sung them những kiến thức thực tế. Năm 1833 Gauss hoàn
thành cuốn Intensitas vis mag neticae terrestris ad mensuram absolutam revocata
(Cường độ của lực từ mặt đất giảm đến mức đo tuyệt đối). Trái Đất từ tính đã trở
thành một cuộc điều tra quốc tế trên toàn thế giới mà trái tim của nó được đặt tại
Gottingen. Gauss đưa ra thuật ngữ “tiềm năng” và đã sử dụng thành cơng các chức
năng hình cầu trong cơ thể của mình trong quá trình điều tra.
- Hệ thống quang học mà Gauss áp dụng trong các kính viễn vọng thiên văn hay trắc
địa chính là nguyên tắc của ống kính máy ảnh chúng ta vẫn dùng. Ông mở đường cho
khoa trắc địa với nhiều đóng góp quan trọng và đã tự thực hiện công cuộc đo đạc vương
quốc Hannover. Trong dịp này ông phát minh thiết bị heliotrope cho phép đo chính xác
góc và một điểm ở xa, và đưa ra cách dùng tọa độ cong (curvilinear coordinates). Cùng
với Wilhelm Weber, một nhà vật lý và là bạn đồng hành nghiên cứu về điện từ và từ
trường trái đất trong nhiều năm, ông đã phát minh và thực hiện hệ thống điện tín đầu
tiên trên thế giới. 2 người khám phá ra định luật Kirchhoff trong vật lý. Ngoài ra Gauss
còn phát triển hệ thống đơn vị từ trường, mở rộng định luật hấp dẫn Newton cho các lực
điện từ và đặt nền móng cho lý thuyết thế vị (potential theory), mở đầu cho ngành vật
lý toán.

19

- Vì những đóng góp của Gauss được vinh danh trên toàn thế giới, và đặc biệt là ở quê
hương nước Đức của ông. Từ năm 1989 đến 2001, Đức đã in hình ơng và phân bố Ga
do ơng tìm ra trên tờ tiền 10 mark. Đồng thời nước này cũng in các con tem kỉ niệm tròn
100 và 200 năm ngày sinh của ơng. Một học trị lâu năm của ơng cũng viết rất nhiều về
thầy của mình, và xem ông như người khổng lồ của khoa học.


20

III. Một số thành tựu nổi bật của Carl Friedrich Gauss
3.1 Chứng minh và đóng góp vào sự phát triển của hình học phi Euclid.

Điều này đã giúp các nhà toán học loại bỏ giả thuyết rằng các tiền đề Euclid là cách duy
nhất để xây dựng hình học khơng tự mâu thuẫn. Từ nghiên cứu này cùng với các ý tưởng
nghiên cứu khác, thuyết tương đối rộng của Albert Einstein ra đời, miêu tả vũ trụ trong
hình học phi Euclid.
3.2 Định lý phân bố số nguyên tố và bình phương tối thiểu:

Định lý phân bố số nguyên tố cho phép ước định sự phân bố số nguyên tố bằng cách sử
dụng logarit. Mối liên hệ giữa số nguyên tố và logarit đã được Carl Friedrich Gauss nghi
ngờ vào lúc ông 15 tuổi. Nhưng định lý này lại được xuất bản lần đầu bởi Adrien-Marie
Legendre năm 1805. Điều này đã làm xảy ra cuộc tranh chấp về sự phát hiện ra chúng.
Phương pháp bình phương tối thiểu được dùng trong đại đa số các ngành khoa học nhằm
giảm thiểu sự sai số đo.
3.3 Sự giới thiệu về các hàm Elip:

Vào năm 1796, Carl Friedrich Gauss đã chú ý đến độ dài vòng cung của đường
Lemniskate phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm thuộc đường cong đến điểm gốc. Với
hàm sin, ông đã đưa ra hàm elip đầu tiên trong lịch sử. Nhưng ông chưa bao giờ công
bố những ghi chú của mình về nó. Nghiên cứu này của ơng cũng liên quan tới việc
nghiên cứu về phương pháp hình học và số học. Sự phát triển thực tế của lý thuyết hàm
elip và hàm ngược của tích phân hàm elip đã thành công nhờ Niels Henrik Abel và Carl
Gustav Jacobi.
3.4 Định lý cơ bản của đại số và sự đóng góp vào cách sử dụng số phức.

Carl Friedrich Gauss đã sớm phát hiện ra cách sử dụng số phức. Trong luận án tiến sĩ
của ông vào năm 1799, ông đã chứng minh về định lý cơ bản của đại số. Ông phát biểu
định lý này như sau: với mọi phương trình đại số có bậc lớn hơn 0 đều có ít nhất một
nghiệm thực hoặc nghiệm phức. Điều này đã được nhiều nhà toán học giả thiết là đúng
nhưng chưa ai chứng minh được. Trong khi đó, Carl Friedrich Gauss đã chứng minh
được định lý trên là đúng với 4 cách chứng minh khác nhau.
3.5 Sự đóng góp vào lý thuyết thế năng

Định lý Gauss (1835, được xuất bản năm 1867) là cơ bản trong lý thuyết thế năng và vật
lý. Theo wikipedia, định lý này nói lên sự liên quan giữa dịng chảy của một trường
vectơ thơng qua một mặt với hành vi của trường vectơ đó bên trong mặt đó.


21

4. Các tác phẩm nổi tiếng
Một số tác phẩm tiêu biểu của Carl Friedrich Gauss có thể kể đến như:
•

1799: luận án tiến sĩ về định lý cơ bản của đại số học với tiêu đề Demonstratio

nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis
in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (“Bằng chứng mới của định lý
rằng mọi hàm đại số tích phân của một biến có thể được giải thành các thừa số thực
(nghĩa là đa thức) bậc nhất hoặc bậc hai”)
•

1801: Disquisitiones Arithmeticae (dịch: Những nghiên cứu số học) được viết

bằng tiếng Latin.
•

1809: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem

ambientium (dịch: Lý thuyết về sự chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt
hình nón xoay quanh mặt trời).
•

1810: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis

•

1823: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (dịch:

Lý thuyết về sự kết hợp của các quan sát có sai số nhỏ nhất).
•

1828: Theoria residuorum biquadratorum (dịch: lý thuyết về thặng dư trùng

phương)
•

1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhọltnis des

Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoòungskrọfte.
ã

1843/44: Untersuchungen ỹber Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste

Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in
Gưttingen. Zweiter Band, pp. 3–46
•

1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite

Abhandlung, Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften in
Göttingen. Dritter Band, pp. 3–44
•

Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Verlag Harri

Deutsch 2005, mit Anmerkungen von Neumamn. (Bản dịch tiếng Anh với chú thích của
Jeremy Gray: Expositiones Math. 1984)
5. Biểu tượng kỷ niệm Carl Friedrich Gauss
•

Bức tượng Gauss tại Gaussberg, Braunschweig


22

•

Tượng đài Gauss-Weber ở Gưttingen

•

Tượng Gauss làm bằng thạch cao thuộc sở hữu của viện thiên văn Gưttingen

•

Tượng bán thân Gauss trong đài tưởng niệm Walhalla

•

Tượng đài Gauss ở Berlin

•

Chân dung của Gauss được in trên mặt trước tờ tiền giấy 10 mark của Đức cùng

với đường cong phân phối chuẩn và các tồ nhà quan trọng của Gưttingen.


23

•
•

Ba con tem bưu chính đã được phát hành nhằm tôn vinh Gauss
- Từ năm 1989 đến 2001, Đức đã in hình ơng và phân bố Ga do ơng tìm ra

trên tờ tiền 10 mark.
•

- Nhờ các đóng góp về thiên văn học, tên của ông cũng được đặt cho một

miệng hố trên Mặt trăng và tiểu hành tinh 1001 Gaussia.


24


25