Lịch sử các nhà toán học

Lịch sử các nhà toán học
Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel, sinh ngy 5 thỏng 8 nm
1802, mt ngy 6 thỏng 4 nm 1829, l mt
nh toỏn hc xut sc ngi Nauy. Cụng trỡnh
toỏn hc tiờu biu ca ụng l chng minh
phng trỡnh bc 5 tr lờn khụng th gii
bng phng phỏp i s v nghiờn cu tich
phõn ca nhng hm i s .
ng thi, Abel ó phi vt ln sut cuc
i ngn ngi bi kch ca mỡnh. Abel sinh gn
Stavanger (Nauy). ễng b sinh non ba thỏng,
v ngi ta n rng "thng bộ ch sng sút
nh c tm trong ru vang ". trng,
cu bộ Abel hc xong tt c cỏc mụn, tr
toỏn. Nhng tui 19, khi bc chõn vo i hc, cu ó thc s tr thnh nh toỏn
hc v i nht ca Nauy. Nm 1826, Abel sng Paris 3 thỏng hon tt mt bn
tho. Bn tho ny ó a ụng lờn nh cao vinh quang, vỡ nú ó t nn múng cho lý
thuyt v cỏc hm elip: ú l s hp nht hai b mụn hỡnh hc v i s, trong ú
ụng s dng cỏc cụng thc toỏn hc tớnh toỏn chu vi mt hỡnh elip (tng t nh
b mụn lng giỏc ngy nay).
Abel trỡnh bn tho ca mỡnh ti Vin hn lõm khoa hc Paris v ch i, ch
i mói. Sau vi thỏng khụng cú tin tc gỡ, v tin rng bn tho ó mt, u nm
1827, ụng tr v Nauy, khụng mt ng xu dớnh tỳi v mt ht nhu khớ. Hai thỏng
sau ú, Abel tip tc nghiờn cu, dy hc v c gng thc hin nhng cuc tip xỳc
cui cựng vi gii khoa hc. ễng bt u ho ra mỏu vo khong l giỏng sinh nm
1828, v ra i vỡ bnh lao tui 26.
Hai ngy sau cỏi cht ca Abel, hai lỏ th liờn tip ti nh ụng. Mt trong s ú t
Berlin, ngh ụng n lm vin hn lõm. Lỏ th th hai c gi t Paris, thụng
bỏo bn tho ca ụng ó c nhit lit hoan nghờnh.
Cauchy Augustin

Sinh tại Paris ngày 21-8-1789
Mất
ở
Sceaux ngày 23-5-1897
Cauchy là kĩ sư quân đội, vào năm 1810 ông tới Cherbourg để tham gia, phục vụ
hạm đội xâm lược của Napoleon. Năm 1813 ông trở về Paris, và dưới tác động của
Lagrage và Laplace, Cauchy đã chuyên tâm vào công việc nghiên cứu toán học.
Ông giữ nhiều chức vụ ở Paris, ở khoa nghiên cứu về khoa học, ở trường Trung học
cơ sở và trường Bách Khoa. Năm 1816 ông nhận được giải thưởng của viện Hàn
Lâm Khoa Học Pháp. Cauchy là người tiên phong trong lãnh vực nghiên cứu và
phân tích lý thuyết hoán vị.
Cauchy vào năm 1811 đã chứng minh rằng góc của 1 đa diện lồi được xác định bởi
các mặt của nó. Năm 1814 ông công bố bản báo cáo về những hàm số tích phân xác
định, đó là nền tảng của lý thuyết về những hàm số phức.
Những đóng góp khác của ông như: Sự tập trung và sự phân tán cuả những dãy số vô
tận, những phương trình vi phân, xác suất và toán học vật lý.
Có rất nhiều thuật ngữ toán học mang tên ông :”Định lý tích phân” của Cauchy (dựa
trên lý thuyết về các hàm số phức). Định lý tồn tại của Cauchy và Kovalewskaya
(dùng để giải những phương trình có đạo hàm từng phần ), những phương trình của
Cauchy-Riemann và dãy số Cauchy.
Cauchy là người đầu tiên đặt ra những điều kiện chính xác về sự tập hợp của những
dãy số vô tận và ông đã định nghĩa thế nào là tích phân. Năm 1821,cuốn “Nhóm giải
tích” ra đời,dành cho sinh viên trường Bách Khoa và được triển khai thành những
định lý nền tảng và chính xác. Bộ sách 4 quyển về “Bài tập giải tích và bài tập về
toán học trong vật lý” được công bố trong khoảng từ 1840 và 1847 là cực kì phi
thường.
Cauchy đã viết 789 chuyên đề toán học nhưng ông không được những người bạn
đồng nghiệp yêu mến. Ông đã sang Ý sau khi từ chối tuyên thệ trung thành, rời Paris
sau cuộc Cách Mạng 1830 và sau chuyến đi ngắn ngày qua Thuỵ Sĩ, ông được vua
Piémont đề nghị làm giáo sư ở Turin, nơi ông bắt đầu dạy từ năm 1832.

Năm 1833,Cauchy tới Paris để tháp tùng Charles X và để dạy dỗ con trai ông.
Cauchy quay về Paris năm 1838 và được giữ lại chức vụ cũ ở Viện Hàn Lâm, nhưng
ông không được giảng dạy vì đã từ chối tuyên thệ trung thành với chính phủ. Khi
ông bị vua Louis Philippe bãi chức, ông trở thành giáo sư dạy ở đại học Sorbonne và
tiếp tục công việc đó đến khi qua đời.
Richard Dedekind
Richard Dedekind, sinh ngày
6/10/1831, mất ngày 12/2/1916, là
một nhà tóan học người Đức được
biết đến bởi nghiên cứu của ông về
tính liên tục và định nghĩa về số
thực trong thuật ngữ của
Dedekind”cuts”- phân tích của ông
về bản tính của con số và phương
pháp quy nạp toán học, bao gồm
định nghĩa về vị trí giới hạn và
không giới hạn; và công trình Lý
thuyết số của ông đã gây nhiều ảnh
hưởng, đặc biệt là trong lĩnh vực đại
số. Trong những đóng góp đáng kể
của ông vào tóan học là việc xuất
bản các tác phẩm thu thập lại của
Peter Dirichlet, Carl Gaussvà Georg Riemann. Ngghiên cứu của Dedekind về công
trình của Dirichlet đã dẫn tới nghiên cứu của ông về lĩnh vực số đại số, cũng như sự
giới thiệu của ông về tính lý tưởng. Ông đã phát triển khái niệm này thành lý thuyết
của tính lý tưởng, là điều quan trọng cơ bản trong đại số hiện đại. Dedekind cũng
giới thiệu những khái niệm cơ bản như “Chuỗi vòng”.
Tác giả: J.W.Dauben
Cramer ( kh«ng cã h×nh)
GABRIEL CRAMER

Sinh ngày 31/7/1704 ở Geneva, Thuỵ Sĩ
Mất: 4/1/1752 ở Bangnols – sur – ceze, Pháp.
Cha của Cramer là Jean Isaac Cramer – y sĩ ở Geneva, còn mẹ là Anne Mallet.
Jean và Anne có 3 người con trai đều đạt được những thành công ở viện hàn lâm.
Ngoài Gabriel thì 2 người còn lại là Jean – giáo su nghành luật và Antione đều tiếp
nối công việc của cha mình.
Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học của ông, trong năm 1722, khi chỉ mới 18
tuổi, ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho những luận án dựa trên lý thuyết của âm
thanh. Hai năm sau, ông tham gia tranh cử chức vụ viện trưởng thiết học ở Académie
de clavin ở Geneva.
Cuộc tranh cử diễn ra giữa 3 người : người lớn tuổi nhất là Amédée de la Rive, 2
người còn lại rất trẻ là Giovanni Ludovico Calandrini – 21 tuổi và Cramer – 20 tuổi.
Ban giám khảo lúc đầu định chọn người lớn tuổi vì nghĩ rằng sẽ có nhiều kinh
nghiệm hơn nhưng họ rất ấn tượng vì sự thông minh của 2 người trẻ kia nên họ nghĩ
ra một kế hoạch để nhận cả 3 vào làm việc. Tất nhiên họ thấy rằng Cramer.
Calandrini sẽ làm nên những đóng góp to lớn cho viện hàn lâm.
Sự sắp xếp của họ là chia ghế viện trưởng triết học ra làm 2 : triết học và toán học.
De la Rive được nhật chức viện triết học vì ông ta đã nộp đơn đăng kí trước, trong
khi đó Cramer và Calandrini nhận chức viện trưởng toán học theo tinh thần là họ sẽ
chia việc làm và tiền lương cho nhau. Viện cũng đưa ra những điều kiện quy định là
Gramer và Calandrini sẽ thay phiên nhau trong 2 hay 3 năm đi du lịch, trong thời
gian đó thì người kia sẽ đảm trách mọi công việc và được hưởng đủ tiền lương. Kế
hoạch đó không những làm hài lòng cả 3 người đàn ông khi đến làm việc ở viện hàn
lâm mà còn tạo cơ hội cho Gramer đi du lịch và gặp gỡ những nhà toán học ở châu
Âu, điều đó có lợi cho vả viện hàn lâm và cả ông ta.
Cramer và Calandrini chia ra những phân môn toán học mà mỗi người sẽ dạy.
Gramer dạy hình học và cơ học, Calandrini sẽ dạy đại số và thiên văn học. Họ cùng
làm việc với nhau rất ăn ý đến nỗi họ được gọi là Castor và Pollux. Cramer được
đánh giá là rất thân thiện, hài hước, trí nhớ tốt, có khả năng xét đoán và khỏe mạnh.
Chúng ta không nên có ấn tượng là Gramer chỉ là một kiểu mẫu ông chỉ biết dạy và

dạy. Bằng chứng là ông đã đề xuất những sự đỗi mới và được viện hàn lâm chấp
nhận là thay vì dạy bằng tiếng Latinh thì ông sẽ dạy bằng tiếng Pháp mặc dù tiếng
Latinh là tiếng thông dụng của các vị học giả lúc bấy giờ.
Năm 1724, Cramer tiếp tục theo đuôi những điều kiện về quy định của mình và bắt
đầu 2 năm du lịch – 1727. Ông đến thăm những đất nước có những nhà toán học ở
các thành phố và nước ở châu Âu. Ông đến Basel nơi mà những nhà toán học đó
đang làm việc, ông trải qua 5 tháng cùng hợp tác với Joham Bernoulli và Fuler người
mà sau đó đến St. Petersburg để làm việc với Daniel Bernoulli. Cramer sau đó đến
Anh để gặp Halley, de Moivre, Stirling và những nhà toán học khác. Cuộc thảo luận
này và sự giữ mối quan hệ của Cramer với họ đã ảnh hưởng rất nhiều đến công việc
của ông khi ông đã trở về Geneva.
Từ Anh Quốc, Cramer đi đến Leiden nơi ông đã gặp ’s Gravesande, sau đó ông lại
tiếp tục cuộc hành trình đến Paris để có cuộc thảo luận với Fontenelle, Maupertuis,
Buffon, Clairaut... 2 năm du lịch đó đã làm cho mọi nhà toán học gặp Gramer đều
phải cảm phục ông, ông vẫn giữ mối quan hệ với họ suốt cuộc đời ông và ông được
giao nhiệm vụ hết sức quan trọng là biên soạn tất cả các tác phẩm, các công trình của
họ.
Năm 1729 ở Geneva, Cramer cố gắng hết sức để tham gia vào một giải được trao bởi
viện hàn lâm Pháp – 1730 là “Quelle est la cause de la figure elliptique des phanètes
et de la mobilité de leur aphélies ?” Viện hàn lâm đánh giá cao Cramer, cho rằng ông
là người giỏi nhất thứ hai mà họ từng nhận được, giải này từng được trao cho Johann
Bernoulli.
Năm 1734, Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học.
Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học,
ông ta còn thú vui khác là viết sách, mặc dù những bài báo đó thường không có nhà
toán học nào viết cả, Cramer phát hành sách với các môn học ở phạm vi rất rộng như
những khó khăn khi giải toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn
Đông. Ông phát hành một bài báo về bắc cực quang và một về pháp luật mà ông có
thể ứng dụng khả năng để chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2,3
nhân chứng so với một nhân chứng.

Cramer không chỉ làm việc cho viện hàn lâm mà ông còn tham gia như một thành
viên của “The Council of Two Hundred” – 1734 và “The Council of Seventy” –
1749. Công việc của ông ở đây đã tạo điều kiện cho ông sử dụng những kiến thức về
khoa học và toán học, nên ông đã nhận công việc có liên quan đến pháo, sự củng cố
và xây dựng lại các toà nhà, sự khai quật và ông được mọi người xem như là một
“chuyên viên lưu trữ” vì ông quá giỏi.
Cramer còn nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài: “Johann Bernoulli’s Complete
Works” đã được Cramer xuất bản trong 4 tập sách của ông năm 1742. Điều đó thể
hiện sự tin tưởng của Bernoulli dành cho Cramer và Berounlli khẳng định rằng
không có sự biên tập nào về các tác phẩm của ông được xuất bản bởi những nhà biên
soạn khác ngoài Cramer. Năm 1754, cùng với Johann Castillon, Cramer phát hành
sách nói về mối quan hệ giữa Johann Beroulli và Leibniz. Cramer cũng biên soạn
một tác phẩm 5 cuốn bởi Christian Woff.
Cuốn sách nổi tiếng nhất của Cramer là “Introduction à l’analyse des lignes courbes
algébraique”. Nó dựa trên hồi kí của Newton về thể tích của đường cong. Chương
mở đầu là định nghĩa những loại đường cong và kĩ năng vẽ đồ thị, chương 2 là
những sự biến đổi để đơn giản hoá những đường cong chương 3 thảo luận về sự
phân loại đường cong và trong chương này còn có cả quy tắc. Cramer rất nổi tiếng.
Sau khi đưa ra một loạt các hằng số tuỳ ý vào một phương trình bậc n dạng n(n + 3)/
2, ông ta suy luận rằng một phương trình bậc n có thể đi qua n điểm. Ông ta lấy n = 5
làm ví dụ tìm ra 5 hằng số liên quan đến việc hình thành một phương trình bậc 2 qua
5 điểm. Nó dẫn đến 5 phương trình đường thẳng trong 5 ẩn số và ông muốn mọi
người đọc phần phụ lục có ghi quy tăc của Cramer để giải quyết đề đó. Nhưng chúng
ta tất nhiên nên lưu ý rằng Cramer không phải là người đầu tiên tìm ra quy tắc này.
Tên của Cramer thỉnh thoảng gắn liền với một vấn đề khác tên là vấn đề Castillon –
Cramer. Vấn đề này được Cramer xuất trình với Castillon, là làm cách nào để khắc
một tam giác trong một vòng tròn mà nó đi qua 3 điểm cho trước.
Castillin giải quyết được vấn đề này sau 25 năm Cramer chết, và vấn đề này vẫn tiếp
tục được tổng quát hoá bằng những cách khác nhau về việc khắc các ngũ giác trong
một mặt cắt hình nón. Cramer cũng được biết đến là ông đã tự làm nghịch đi định

luật của mình
** Năm 1734, “cặp song sinh Calandrini – Cramer” không còn làm việc chung với
nhau nữa khi Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học.
Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học,
Cramer còn viết sách báo, mặc dù thường thì không có nhà toán học nổi tiếng nào
viết chúng cả, Ông phát hành các bài báo ở nhiều địa điểm khác nhau bao gồm hồi kí
viện hàn lâm Pháp năm 1734, viện hàn lâm Berlin năm 1748, 1750 và 1752. Cramer
phát hành sách báo với cá môn học ở phạm vi rất rộng như những khó khăn khi giải
toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn Đông. Ông phát hành
PhilosophicalP một bài báo về bắc cực quang ở trong và mộtmTransactions of the
Royal Society of London bài báo về pháp luật mà ông có thể ứng dụng khả năng để
chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2 hay 3 nhân chứng hơn là một
nhân chứng.
Cramer không chỉ làm việc cho viện hàn lâm mà ông còn tham gia như một thành
viên của “The Council of Two Hundred” – 1734 và “The Council of Seventy” –
1749. Công việc của ông ở đây đã tạo điều kiện cho ông sử dụng những kiến thức về
khoa học và toán học, nên ông đã nhận công việc có liên quan đến pháo, củng cố và
xây dựng lại các toà nhà, sự khai quật và ông được mọi người xem như là một
“chuyên viên lưu trữ”. Ông ta đi du lịch nước ngoài lần II vào năm 1747, lần này ông
chỉ đến Paris để thắt chặt hơn tình bạn của mình với Fontenelle và để gặp
d’Alembert.
Có 2 lĩnh vực về công việc toán học của Cramer mà chúng ta cần chú ý. Đó là công
việc biên soạn mà ông đảm nhận và tác phẩm toán học “Introduction à l’analyse des
lignes courbes algébraique” được xuất bản năm 1750.
Johann Bernoulli mất năm 1748, chỉ 3 hay hơn trước khi Cramer mất, nhưng
Bernoulli đã sắp xếp cho Cramer xuất bản tác phẩm “Complete Works” của mình
trước khi chết. Điều đó thể hiện sự tin tưởng của Bernoulli dành cho Cramer và ông
cũng khẳng định rằng, không có sự biên tập nào về các tác phẩm của ông được xuất
bản bởi những nhà biên soạn khác ngoài Cramer. “Complete Works” của Johann
Bernoulli được Cramer xuất bản trong 4 cuốn vào 1742. Johann Bernoulli không

những chỉ sắp xếp cho Cramer xuất bản “Complete Works” của mình mà còn yêu
cầu Cramer biên soạn những tác phẩm của Jacob Bernoulli. Jacob mất năm 1705 và
Cramer xuất bản “Works” của Jacob thành 2 cuốn vào năm 1744. Chúng không được
hoàn thành kể từ khi “Ars conjectandi” bị bỏ sót, nhưng những tập sách đó chứa
đựng những tài liệu chưa được công bố trước đó, và những sự kiện toán học. Năm
1745, cùng với Johann Castillon, Cramer phát hành sách nói về mối quan hệ giữa
Johann Beroulli và Leibniz. Cramer cũng biên soạn tác phẩm gồm 5 tập bởi
Christian Woff, được xuất bản lần đầu tiên giữa năm 1732 và 1741 cùng với tái bản
vào giữa năm 1743 và 1752.
Cuối cùng ta nên tìm hiểu cuốn sách nổi tiếng nhất của Cramer là “Introduction à
l’analyse des lignes courbes algébraique”. Nó dựa trên hồi kí của Newton về thể tích
của đường cong và ông đánh giá cao lời bình luận về hồi kí của Newton của Stirling.
Cramer cũng nói thêm rằng nếu ông được đọc “Introductio in analysin infinitorum”
của Euler sớm hơn thì ông sẽ tham khảo và sử dụng nó. Tấn nhiên cuốn sách của
Euler chỉ được xuất bản vào năm 1748 khi mà hầu hết lúc đó sách của Cr mer có lẽ
đã được viết rất hay, rất tốt. Jones viết:
- Ông sử dụng rất ít tác phẩm của Euler, việc đó được sự khuyến khích bởi một sự
thật đáng ngạc nhiên là xuyên suốt cuốn sách của mình Cramer không sử dụng
những phép tính cực nhỏ dưới bất cứ dạng hay hình thức nào của cả Leibniz và
Newton, mặc dù ông đã giải quyết được những đề tài như là tiếp tuyến, tối đa và tối
thiểu, độ cong, và sự trích dẫn, Maclaurin và Taylor ở phần chú thích. Có người đã
đoán rằng ông không bao giờ chấp nhận và nắm được những phép tính.
Các ý kiên cho rằng Cramer không nắm được các phép tính không có cơ sở, đặc biệt
là khi ông nhận được sự tôn trọng của Johann Bernoulli.
Sau chương giới thiệu định nghĩa các loại đường cong và kĩ năng vẽ đồ thị, chương 2
là những sự biến đổi để đơn giản hoá những đường cong, chương 3 thảo luận về sự
phân loại đường cong và trong chương này còn có cả định luật, Cramer rất nổi tiếng.
Sau khi đưa ra một loạt các hằng số tuỳ ý vào một phương trình bậc n dạng n2/2 +
3n/2, ông ta suy luận rằng một phương trình bậc n có thể đi qua n điểm. Ông ta lấy n
= 5 làm ví dụ tìm ra 5 hằng số liên quan đến việc hình thành một phương trình bậc 2

đi qua 5 điểm. Nó dẫn đến 5 phương trình đường thẳng trong 5 ẩn số và ông muốn
mọi người đọc phần phụ lục có ghi quy tăc của Cramer để giải quyết vấn đề đó.
Nhưng chúng ta tất nhiên nên lưu ý rằng Cramer không phải là người đầu tiên tìm ra
quy tắc này.
Cramer cũng được biết đến vì đã tự làm nghịch các định luật của mình ông phát biểu
một định lý bởi Maclaurin : một phương trình bậc n giao với một phương trình bậc m
thành n.m điểm. Khi lấy m = n = 3 thì 2 khối 3 chiều sẽ giao nhau tại 9 điểm, công
thức tính của Cramer lúc đó là n2/2 + 3n/2 với n = 3 tạo thành 9 nên một khối 3
chiều chỉ duy nhất được xác định bởi 9 điểm. Cramer gọi đó là một nghịch lý nhưng
sự cố gắng của ông để giải thích nghịch lý bên là hoàn toàn sai.
Tên tuổi của Cramer thỉnh thoảng được gắn liền với một vấn đề khác tên là vấn đề
Castillon – Cramer. Vấn đề này được Cramer xuất trình với Castillon, là làm cách
nào để khắc một tam giác trong một vòng tròn mà nó đi qua 3 điểm cho trước.
Castillin giải quyết được vấn đề này sau 25 năm Cramer chết, và vấn đề này vẫn tiếp
tục được tổng quát hoá bằng những cách khác nhau về việc khắc các đa giác trong
một mặt cắt hình nón.
Cramer làm việc cật lực để viết cuốn “Introduction à l’analyse” và đảm nhận biên
soạn các tác phẩm với số lượng rất lớn ngoài công việc bình thường của mình.
Sức khỏe của ông ngày càng đi xuống với chiều hướng không tốt. Ông trải qua 2
tháng nằm trên giường và bác sĩ yêu cầu ông nên nghỉ ngơi ở phía nam nước Pháp để
phục hồi sức khỏe.
Rồi Geneva ngày 21/12/1751, ông bắt đâu cuộc hành trình của mình nhưng ông đã
chết 2 tuần sau đó khi vẫn chưa kết thúc cuộc hành trình.
* article by : J J O’ Connor & E F Robert son.
Euler
Leonhard Euler sinh ngày 15/4/1707, mất ngày 18/9/1783 là nhà toán học có nhiều
phát minh nhất trong lịch sử. 866 quyển sách và bài báo của ông đã chiếm 1/3 trong
toàn bộ nghiên cứu về toán học, lý thuyết vật lý và cơ khí kỹ thuật được xuất bản vào
giữa những năm từ 1726 đến 1800. Trong tóan học thuần túy, ông đã hợp nhất phép
vi phân của Leibniz với công thức vi phân của Newton thành những phân tích tóan

học, làm tinh tế hơn lý thuyết hàm số, có những lời ghi chú toán học chung, bao gồm
những kí hiệu: e, I, số Pi và sigma, tạo nền tảng cho lý thuyết về những hàm số đặc
biệt, giới thiệu hàm số siêu việt beta và gamma.
Ông cũng góp phần tìm ra nguồn gốc của phép tính biến đổi, nhưng giấu đi vì tôn
trọng J.L LAGRANGE. Ông là người tiên phong trong lĩnh vực địa hình học và đem
lý thuyết số vào khoa học, phát biểu định lý số đầu tiên và quy tắc tính phương trình
bậc 4. Trong vật lý, ông đã làm rõ động lực học của Newton và tạo nền tảng cho cơ
giới học dùng phép giải tích, đặc biệt là trong lý thuyết về sự vận động của thể rắn
(1765). Cũng như thầy của mình là Johann Bernoulli (xem Bernoulli, Jacques) ông
đã thảo lý cơ giới học tiên tiến, nhưng ông cũng đặt ra lý thuyết động lực của những
chât khí với mẫu phân tử. Với Alexis Clairaut, ông nghiên cứu cơ bản về tính co
giãn, khoa học nghiên cứu về âm thanh, lý thuyết sóng của ánh sáng và cơ học chất
nước của tàu thủy.
Euler sinh ra ở Besel, Thụy Sĩ. Cha ông - 1 mục sư - muốn con mình đi theo con
đường của mình và đã gửi ông đến đại học Basel để chuẩn bị cho thánh chức, nhưng
Euler lại yêu thích nhất bộ môn hình học. Nhờ sự can thiệp của Bernoulli, Euler đã
được cha đồng ý cho chuyển ngành chính sang toán học. Năm 1727, ông gia nhập
vào Hàn Lâm Viện khoa học ở St.Petersburg. Khi quỹ nhà nước bị từ chối cho Hàn
Lâm viện, ông đã phục vụ với vai trò đại úy hải quân Nga từ năm 1727 đến năm
1730. Ở St.Peterburg, ông sống ở nhà của con trai Bernoulli là Daniel. Ông trở thành
giáo sư vật lý ở Hàn lâm Viện vào năm 1730 & giáo sư toán học vào năm 1733 khi
ông kết hôn và rời nhà Bernoulli. Danh tiếng của ông lan rộng khắp công chúng qua
những bài báo và quyển Mechanica của ông (1736-1737)- lần đầu tiên đã bao quát
động lực học của Newton
Euclide
Euclide là nhà toán học của Hy Lạp cổ đại. Euclide sinh ra ở thành thị Athens, là học
trò của Platon. Thời cổ đại, Athens là một quốc gia thành thị dân chủ và văn minh
của Hy Lạp, ở đây đã tập trung nhiều nhà bác học và văn nghệ sĩ nổi tiếng. Euclide
học Platon, một nhà triết học duy tâm, có trình độ học vấn uyên bác. Tiếng tăm của
ông đã được vua Ai Cập Ptoleme biết đến và nhà vua đã mời ông tới kinh đô

Alexandra để làm vẻ vang cho nhà vua. Thành phố Alexandra là một trung tâm khoa
học, nơi tập họp nhiều nhà bác học nổi tiếng trên thế giới. Nơi đây có một thư viện
lớn tập trung nhiều sách vở của thế giới Đông - Tây. Euclide đã đến đây nghiên cứu,
học tập, bổ sung kiến thức toán học.
Thời Euclide, những kiến thức toán học của Hi Lạp còn rất tản mạn. Euclide là người
hệ thống hóa những kiến thức đó thành một bộ sách toán học gồm 13 tập, đặt tên là
Những nguyên lý. Bộ sách toán học của Euclide có thể coi là cơ sở cho sự phát triển
hình học sơ cấp. Nhiều thế kỷ, bộ sách này được coi là cuốn sách giáo khoa duy nhất
về toán ở Châu Âu.
“Những nguyên lí” là một tập tuyển những thành tựu cơ bản của hình học và là hạt
nhân nòng cốt của toán học trong suốt hai nghìn năm .Không một ai có thể đưa ra
những nội dung kết quả như trong cuốn “Nguyên lí” của Euclide cấu tạo đề mục và
sự trình bày của họ vẫn còn những thiếu sót.
Cuốn “Nguyên lí” mở đầu bằng những định nghĩa và những tiền đề, định đề thứ năm
về đường song song nổi tiếng và đặc biệt nhất, định đề này khẳng định việc tồn tại
duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng đã cho.
Sự lựa chọn định đề trên của Euclide đã dẫn đế sự xuất hiện sau này của hình học phi
Euclide vào thế kỉ XIX là sửa đổi định đề này.
“Nguyên lí” bao gồm 13 cuốn . Từ cuốn một đến cuốn 6 là hình học phẳng, từ cuốn
7 đến 9 là luận về tỉ số, cuốn 10 thuyết về số vô tỉ của Eudoxe , và cuối cùng từ cuốn
11 đến 13 là về hình học không gian. Cuốn sách cuối cùng viết sự nghiên cứu những
tính chất của ngũ giác đều và việc chứng minh về sự tồn tại của nó. “Nguyên lí” có
một vài trò rất quan trọng bởi sự sáng suốt của nó mà các định lý được làm sáng tỏ
và được chứng minh sự đòi hỏi về độ chính xác cao đã trở thành đích đến của những
nhà khoa học ở các thế kỉ tương lai.
Hơn 100000 cuốn sách “Nguyên lí” đã được xuất bản cho đến lúc nó được in ấn lần
đầu tiên vào năm 1482.
Ngoài ra, Euclide còn là tác giả của một số tác phẩm khác về quang học, hình học
cao cấp .v.v..
Pierre Fermat

Tuổi trẻ của Pierre Fermat được ít người biết đến ;nhưng người ta biết rằng Pierre de
Fermat sinh năm 1601 ở Beaumont de Lomagne, gần Montauban, trong một gia đình
khá giả.
Khoảng năm 1629, sau khi hoàn tất chương trình học ở trường (tiếng La Tinh, ti6éng
Hy Lap, tiếng Ý, tiếng Tây Ban Nha, văn học), rồi nghiên cứu Pháp Luật ở
Toulouse, ông lui tới với giới khoa học ở Bordeaux. Năm 30 tuổi, ông lấy bằng tú tài
khoa dân quyền của Đại học Orléans. Ông làm quan toà và ở lại luôn tại quê hương
ông (ông mất năm 1665 tại Castres), Năm 1631, ông được bổ nhiệm chức cố vấn
nghị viện Toulouse & ủy viên tái thẩm, và được tham gia một cách bình đẳng vào
Nghị Viện Sắc Lệnh của Castres (một nghị viện tư pháp bao gồm những nghị viện
công giáo và tin lành). Fermat có một cuộc sống lặng lẽ và âm thầm.
Ông cưới cô em họ và là cha của năm đứa trẻ. Ông bị thu hút bởi văn học và khoa
học – mà cụ thể là toán học – như trò tiêu khiển, thế nhưng ông là một trong những
người sáng lập ra môn hình học giải tích, phép tính vi tích phân , phép tính xác suất
và thuyết các con số. Fermat không công bố bất cứ điều gì vì ông đã có việc làm, đó
hoàn toàn chỉ là sự liên lạc thư từ – đáng kể nhất là những lá thư ông gửi ông bạn
Marin Mersnne của mình. Ông ta không hề viết ra những bài chứng minh, ông chỉ
cho một vài dấu hiệu hoặc viết kết quả một cách đơn giản những kết quả trên những
trang sách mà ông đọc.
Ở cuối đời, ông đã cố gắng in những nghiên cứu của mình, nhưng chính con trai cả
của ông Samvel de Fermat đã gánh vác việc này sau khi ông qua đời.
Khi nghiên cứu thuyết tiết diện hình nón (chùy , xuyên tâm) của nhà hình học , nhà
toán học, nhà thiên văn học Hy Lap Apollonies de Perga, Fermat đã đặt ra một
phương pháp giải tích của cá tiếp tuyến đường cong, trở thành người khai sáng cho
phép tính vi phân. Khi Descartes biết được phương pháp này, ông tuyên bố rằng nó
không khái quát đúng, điều này dẫn đến một cuộc cạnh tranh dữ dội về thành công
của Fermat. Hơn nữa, Fermat đã sáng lập ra hình học giải tích vào năm 1636, trước
Descartes nhưng “Le Loci” của Fermat chỉ được công bố sau cái chết của ông, và
như vậy Descartes được xem như là người sáng lập duy nhất. Cũng như thế, Fermat
đã phản đối thuyết kính quang học của Descartes, và khoảng năm 1657 ông ta lại

tranh luận với những người theo học phái Desvartes về những định luật về khúc xạ
ánh sáng.
Năm 1654, Blaise Pascal viết thư cho Fermat để hỏi ông bằng cách nào chi lời khi
một trò chơi bị cắt ngang nửa chừng; sáu bức thư trao đổi của hai nhà toán học xoay
quanh vấn đề đó là nguồn gốc của phép tính xác suất, Fermat còn đam mê thuyết các
con số; để nhấn mạnh những bài chứng minh của mình, ông đã sáng chế ra kỹ thuật
“giảm vô hạn” (descente infinie) , đó chính là phương pháp mà ông dùng để chứng
minh rằng không có một số nguyên khác không : định lý này được nhiều người biết
như định lý cuối cùng của Fermat hay “định lí lớn của Fermat”. Những lần thứ
chứng minh định lí này đã giúp thuyết các con số của ông đạt được nhiều tiến bộ lớn,
nhưng phải đợi đến ngày 26/06/1993 , ba thế kỉ sau cái chết của fermat, Andrew
Wiles, giáo sư trường Đại học Princeton ở Hoa Kì, công bố ở Cambridge (Anh) rằg
ông đã chứng minh được hoàn chỉnh định lí Fermat, nhưng còn một phần chưa đầy
đủ, và Wiles đã kết thúc công việc của mình ngày 19/09/1994 với sự giúp đỡ của
người cộng sự Richard Taylor, trường Đại học ở Cambridge.
Định lí Fermat :
an + bn = cn
Định lí vĩ đại Fermat được đề ra bởi Pierre de Fermat “Với mọi n > 3, không tồn tại
một số nguyên a, b, hay c nào khác không sao cho an + bn + cn”
Khi nghiên cứu Số học, tác phẩm lớn của nhà toán học Hy Lap Diophante , ông quan
tâm những chương liên quan tới định lí Pythagore, tức là những tập hợp của ba con
số a, b, c (ví dụ : 3, 4 và 5), nghiệm đúng bất đẳng thức a2 + b2 = c2
Theo Fermat, phương trình an + bn = cn không có nghiệm nguyên nào khi những giá
trị n lớn hơn 2. Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên dương a, b, c sao cho
a3 + b3 = c3.
Trước đó, vì không chứng minh, các nhà toán học đã tự hài lòng việc kiểm nghiệm
với những giá trị đặt ra cho n. Các mày tính cho phép kiểm tra đến số mũ 4000000.
Vào những năm 1980, Yoichi Miyaokaune , một người Nhật, đưa ra cách chứng
minh nhưng đã sai, vào tháng 12 năm 1994, ông ta nhận thấy nó không hoàn chỉnh
và đã đưa lại một cách chứng minh khác vào tháng 10 năm 1994. Ngày 23/06/1993 ở

Cambridge , một người Anh tên là Andrew Wiles (1931) làm một bài chứng minh
(1000 trang) nhưng vẫn không đầy đủ, rồi sau đó vào năm 1995, bài chứng minh thứ
hai của Andrew Wiles đã giúp ông nhận giải thưởng Fermat về nghiên cứu toán học.
Giải thưởng Fermat:
Giải thưởng FERMAT về những nghiên cứu toán học được sáng lập bởi trường ĐH
Paul Sabatien và được đỡ đầu bởi ASTRIUM SAS.
Giá của giải thưởng FERMAT cho năm 2001 là 100000 FF.
Giải thưởng FERMAT được trao cho những công việc nghiên cứu của một hoặc
nhiều nhà toán học trong những lãnh vực mà Pierre Fermat đã cống hiến như :
- Phát biểu về nguyên tắc biến thiên.
- Lập các phép tính xác suất và hình học giải tích
- Thuyết các số
Giải thưởng được tổ chức đều đặn mỗi hai năm ở Toulouse (từ năm 1987) và lần thứ
7 này diễn ra vào năm 2001 sắp tới.
Leonardo Pisano Fibonacci
Sinh năm 1170 và mất năm 1250
Leonardo Pisano được biết đến nhiều hơn bởi cái tên Fibonacci. Ong là con trai của
Guilielmo và một thành viên của gia đình Bonacci. Chính Fibonacci cũng thỉnh
thoảng dùng cái tên Bigollo, nghĩa là tốt vì không có gì hay có nghĩa là người thích
đi đây đó.
Như đã nói, thì phải chăng cái tên này là từ mà những người đồng hương của ông
dùng để chỉ sự khinh thị của họ đối với một người luôn quan tâm tới những câu hỏi
không có giá trị thực tiễn, hay cái từ trong tiếng Tuscan nghĩa là người thích ngao du
thiên hạ, ông ta mang nghĩa nào?
Fibonacci được sinh ra ở Ý nhưng được giáo dục ở Bắc Phi, nơi cha ông ta,
Guilielmo, điều hành một nhiệm sở ngoại giao. Công việc của cha ông là đại diện
cho các thương gia ở nước Cộng Hòa Pisa đang giao dịch thương mại ở Bugia, sau
này được gọi là Bougie và ngày nay được gọi là Bejaia. Bejaia là một thành phố cảng
thuộc biển Địa Trung Hải, ở phía Đông Bắc nước Algeria. Tỉnh này nằm ở cửa đổ ra
biển của con suối cạn Soummam gần dãy núi Gouraya và mũi than đá (Cape

Carbon). Fibonacci được dạy tóan ở Bugia và đi du lịch nhiều nơi với cha ông và
nhận ra những lợi ích to lớn của hệ thống toán học được sử dụng ở những nước mà
họ đặt chân đến. Fibonacci đã viết những đều này trong cuốn sách Liber abaci nổi
tiếng của ông vào năm 1202 : “ Khi cha tôi được đất nước bổ nhiệm như một công
chứng viên của công chúng tại các hải quan ở Bugia, hoạt động cho các thương nhân
Pisa đến đó, ông mang tôi theo đến đó trong khi tôi vẫn còn là một đứa trẻ, và vì thấy
trước sự thuận lợi hữu ích và lâu dài, ông muốn tôi ở đó và nhận sự dạy dỗ trong một
trường học kế toán. Ơ đó, khi tôi được giới thiệu về nghệ thuật của chín biểu tượng
của người An Độ qua một bài giảng phi thường, những kiến thức về nghệ thuật làm
tôi hứng thú hơn tất cả những thứ khác rất nhanh và tôi rất muốn hiểu được chúng, vì
mọi thứ đều được nghiên cứu bởi nghệ thuật của Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily, và
Provence, trong tất cả các hình thức phong phú của nó.”
Fibonacci kết thúc các chuyến đi của ông khoảng năm 1200 và trong thời gian đó
ông quay trở lại Pisa. Ơ đó, ông đã viết mọt số văn bản quan trọng đóng một vai trò
quan trọng trong việc làm sống lại những kỹ năng toán học cổ đại và ông đã có
những đóng góp quan trọng của chính mình. Fibonacci sống trong những ngày trước
khi có việc in ấn, vì thế những cuốn sách của ông đều là bản viết tay và cách duy
nhất để có bản sao của một trong các cuốn sách của ông là phải viết tay lại một bản
khác. Trong những cuốn sách của ông, chúng tôi vẫn còn những bản sao của cuốn
Liber abaci (1202), Practica geometriae (Thực tiễn hình học) (1220), Flos (1225) và
Liber quadratorum (bản ghi chép về số chính phương). Một vài bản sao chép tay
được cho rằng từng được sản sản xuất, chúng tôi may mắn có được nguồn vào những
bản viết tay của ông trong các công trình này. Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng ông đã
viết một vài văn bản khác mà không may đã bị thất lạc.
Cuốn sách của ông về số học thương mại Di minor guisa bị mất cũng như những lời
bình về cuốn sách những cái sai của các nguyên tố Euclid (Book X of Euclid’s
Elements), cuốn sách chứa đựng một phương pháp diễn đạt bằng số về những con số
không hợp lý mà Euclid đã giải quyết trước đó từ quan điểm hình học.
Người ta có thể đã nghỉ rằng vào thời điểm mà châu Au không ưu đãi về học bổng,
Fibonacci hẳn sẽ bị lờ đi như bình thường. Tuy nhiên điều này không phải thế và sự

quan tâm trên diện rộng về các công trình của ông rõ ràng đã đóng góp mạnh mẽ vào
sự quan trọng của ông. Fibonacci là một người cùng thời với Jordanus nhưng ông lại
là một nhà toán học tinh tế hơn nhiều và các thành quả của ông được c6ong nhận
hoàn toàn, mặc dù nó là những ứng dụng thực tiễn hơn là những định lý trừu tượng
lý thuyết, cái đã làm cho ông nổi tiếng trong những người cùng thời với ông.
Frederick đệ nhị được tôn làm vua nhườc Đức năm 1212 và sau đó được tôn làm đức
Giáo Hòang Roma bởi Giáo Hòang (Pope) ở nhà thánh St Peter ở Rome vào tháng
11/1220. Frederick II ủng hộ Pisa trong cuộc xung đột trên biển với Genoa và trên
đất liền với Lucca, Florence, và ông ta trải qua nhiều năm đến 1227 để củng cố
quyền lực tại Ý. Tình hình cai trị được đưa vào việc thông thương và sản xuất, và
những người dân thường giúp việc để trông coi độc quyền được đào tạo tại trường
đại học Naples, trường được Frederick thiết lập vì mục đích này vào năm 1224.
Frederick nhận thấy công trình của Fibonacci qua các học trò tại cung điện của ông,
những người đã giao thiệp với Fibonacci qua thư từ kể từ khi ông quay trở về Pisa
(1200). Những học trò, bao gồm Micheal Scotus – nhà chiêm tinh hòang cung,
Theodorus Physicus – nhà triết học hòang cung và Dominicus Hispanus, đã gợi ý với
Frederick rằng anh ta đã gặp Fibonacci khi toà án của Frederick được tập hợp ở Pisa
khoảng năm 1225.
Johannes của phía Palermo, một thành viên khác của toà án Frederick II, thuyết trình
một số vấn đề như những thách thức đối với nhà toán học vĩ đại Fibonacci. Ba trong
số những vấn đề này được Fibonacci giải quyết và đưa ra những giải pháp trong cuốn
Flos mà ông gửi cho Frederick II. Chúng tôi đưa ra một vài chi tiết của những vấn đề
này dưới đây.
Sau năm 1228 chỉ có một tài liệu được biết liên quan đến Fibonacci. Đây là một nghị
định của chính quyền cộng hòa Pisa năm 1240, thưởng một mức lương cho nhà toán
học tài ba và thực thụ Leonardo Bigollo.
Mức lương này được đưa cho Fibonacci vì những gì ông đã làm cho xã hội, cố vấn
những vấn đề về tính toán và dạy học.
Cuốn sách Liber abaci, được xuất bản năm 1202 sau sự trở về Ý của ông, được hiến
cho Scotus. Cuốn sách dựa trên nền tảng số học và đại số mà Fibonacci đã thu thập

trong suốt các chuyến đi của ông. Cuốn sách mà tiếp tục được sao chép và mô phỏng
rộng rãi giới thiệu về Hệ thống số Thập phân giá trị của Hindu – Ả rập và ứng dụng
của những số Ả rập vào châu Au (tựa gốc : the Hindu-Arabic place-valued decimal
system and the use of Arabic numerals into Europe. Thực ra, mặc dù cuốn sách chủ
yếu nói về ứng dụng của những con số Ả rập mà được biết đến như lời luận lý toán
học, nhưng những phương trình đường thẳng cùng xảy ra cùng lúc cũng được nghiên
cứu trong công trình này. Chắc chắn nhiều vấn đề mà Fibonacci quan tâm đến trong
cuốn Liber abaci thì giống như những gì xuất hiện trong các nguồn thông tin của Ả
rập.
Phần thứ hai của Liber abaci bao gồm một bộ sưu tầm lớn các bài toán tập trung vào
các nhà buôn. Chúng liên quan đến giá hàng hoá, cách tính lợi nhuận trong các cuộc
giao dịch, cách qui đổi các loại tiền tệ thông hành khác nhau ở các nước Địa Trung
Hải, và những bài toán bắt nguồn từ Trung quốc.
Một vấn đề trong phần thứ ba của cuốn Liber abaci là những con số Fibonacci và trật
tự Fibonacci – một vấn đề được nhớ đến nhiều nhất ngày nay:
“Một nguời đặt một đôi thỏ vào một nơi bao quanh là những bức tường. Hỏi có bao
nhiêu đôi thỏ đuợc sản xuất từ đôi thỏ đó trong một năm nếu giả sử rằng mỗi tháng
mỗi đôi thỏ sinh ra một đôi thỏ mới kể từ tháng thứ hai trở đi?”
Kết quả lần lượt sẽ là 1,1,2,3,5,8,13,21,24,55,... (Fibonacci đã bỏ trong lời nói đầu
cuốn Liber abaci). Trật tự kế tiếp nhau này, trật tự mà các con số là tổng của hai số
đứng trứơc nó, đã tỏ ra cực kỳ có lợi và xuất hiện trong nhiều lĩnh toán học và khoa
học khác. Tạp chí định kỳ Fbonacci là một tạp chí hiện đại dành cho việc nghiên cứu
toán học liên quan đến trật tự này :
Nhiều bài toán khác được đưa ra trong phần thứ ba này, bao gồm các loại này và
nhiều nhiều hơn nữa:
“ Một con nhện leo quá cao lên trên một bức tường mỗi ngày vàtrượt xuống một
khỏang bằng một số cố định mỗi tối, hỏi bao nhiêu ngày thì con nhện đó leo hết bức
tường.
Một con chó săn có tốc độ tăng theo cách số học đuổi một con thỏ rừng cũng có tốc
độ tăng theo cách số học. Hỏi chúng đi được bao xa trước khi con chó bắt kịp con

thỏ?
Tính khoảng tiền hai người có được sau khi một khoảng tiền chuyển đến tay và tỉ lệ
tăng giảm cho trước.”
Cũng có những bài toán bao gồm những con số hoàn hảo, những bài toán gồm những
định lý còn lại của Trung quốc và những bài toán về tính tổng các loạt số hình học và
số học.
Fibonacci đối với những con số như điểm 10 trong phần thứ tư, cả với những sự gần
đúng hợp lý và với các công trình hình học.
Một phiên bản thứ hai của cuốn Liber abaci được sản xuất bởi Fibonacci vào năm
1228 với một lời mở đầu, điển hình như nhiều phiên bản sách khác, nói rằng :
“...những điểm mới đã được bổ sung tử những cái không cần thiết đã được bỏ đi…”
Một cuốn sách khác của Fibonacci là cuốn Thực tiễn Hình học (Practica geometriae),
được viết vào năm 1220, được đề tặng cho Dominicus Hispanus, người mà chúng tôi
đã đề cập ở trên. Cuốn sách bao gồm một bộ sưu tầm lớn các bài toán hình học được
sắp xếp theo 8 chương dựa trên các yếu tố Euclid (Euclid’s Elements) và các phép
chia Euclid (Euclid’s On Divisions). Ngoài những định lý hình học với những chứng
minh chính xác, cuốn sách còn bao gồm các thông tin thực tế cho những người làm
khảo sát, gồm một chương về cách tính chiều cao của các vật thể bằng cách sử dụng
các hình tam giác tương tự. Chương cuối cùng nói về cái mà Fibonacci gọi là sự tính
huyền ảo hình học:
“Một trong những sự tính toán đó là sự tính toán các cạnh của hình ngũ giác và hình
thập giác từ đường kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp; cách tính ngược
lại cũng được đưa ra, như những cách tính các cạnh từ các bề mặt . (…) đến phần cắt
hoàn chỉnh thành các tam giác đều, một hình chữ nhật và một hình vuông nội tiếp
trong một tam giác như thế, các cạnh của chúng được tính theo cách đại số…”
Trong cuốn Flos, Fibonacci đưa ra một sự gần đúng chính xác về nghiệm của
phương trình 10x + 2x2 + x3 = 20, là một trong những bài toán mà ông bị thách thức
giải bởi Johannes của viện Palermo. Bài toán này không được làm ra bời Johannes,
mà ông ta lấy nó trong cuốn sách đại số của Orma Khayyam, trong cuốn sách này bài
toán đuợc giải bằng các giao điểm của một đường tròn với một đường Hyperbola ( là

một đường cong được tạo thành khi một hình nón bị cắt bởi một mặt phẳng tại một
góc dốc hơn các cạnh của nó so với đáy hình nón). Fibonacci chứng minh rằng
nghiệm của phương trình không phải là một số nguyên cũng không phải là một phân
số, cũng không phải là nghiệm chính phương của một phân số. Ong ta tiếp tục :
“Và bởi vì nó không thể thoã phương trình này theo cách nào ở trên, tôi đã làm việc
để giảm phương pháp xuống một số gần đúng”
Không giải thích phương pháp của mình, Fibonacci đưa ra giải pháp gần đúng là kí
hiệu số có phân số dạng 60 là 1.22.7.42.33.4.40 ( số này được viết như sau : 1 +
22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Kí hiệu này lật ngược lại là số thập phân
1.3688081075 chính xác đến chín chữ số thập phân, một kết quả đáng kinh ngạc.
Cuốn sách Bản ghi chép về số chính phương (Liber quadratorum), đuợc viết năm
1225, là “mẩu” công trình ấn tượng nhất của Fibonacci, mặc dù không phải là công
trình mà ông nổi tiếng nhất. Tên cuốn sách có nghĩa là cuốn sách của bình phương và
nó là một cuốn sách có nhiều lý thuyết kiểm chứng các phương pháp để tìm ra bộ ba
Pythagore. Đầu tiên Fibonacci viết rằng các số bình phương có thể được xây dựng
như tổng của các số lẻ để miêu tả một cách cần thiết một sự xây dựng quy nạp dùng
công thức n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. Fibonacci viết :
“Tôi nghĩ về nguồn gốc của các số bình phương và khám phá ra rằng chúng xuất
hiện từ tăng dần có quy tắc của các số lẻ. Ta có số chính phương đầu tiên là 1, cộng
thêm 3 vào ta được số chính phương thứ hai là 4 (22), nếu thêm vào tổng này một số
lẻ là 5 thì số chính phương thứ ba ta được là 9 (32), và vì thế trật tự kế tiếp và các
loạt số chính phương luôn luôn xuất hiện thông qua cách cộng quy tắc các số lẻ.”
Để xây dựng bộ ba Pythagore, Fibonacci đã làm như sau :
“Vì thế khi tôi muốn tìm hai số bình phương mà tổng của chúng lại cho ra một số
chính phương, thì tôi lấy bất kì một số lẻ nào là số chính phương và tìm số thứ hai
bằng cách cộng các số lẻ đứng trước nó ngoại trừ số chính phương lẻ đó. Ví dụ như,
tôi lấy 9 như một trong hai số bình phương được đề cập đến; số còn lại sẽ thu được
bằng cách thêm vào 9 các số lẻ trước 9 là 1,3,5,7, tổng số sẽ được là 16, một số chính
phương, số này sau khi thêm 9 sẽ được 25, một số chính phương.”
Fibonacci cũng chứng minh nhiều kết quả thú vị theo lý thuyết như là :

Kông có số x, y nào như x2 + y2 và x2 – y2 cùng là số chính phương
Và số x4 – y4 không thể là một số chính phương.
Ong định nghĩa quan điểm về một congruum, một số có dạng ab(a + b)(a – b), nếu a
+ b không đổi, và 4 lần số này nếu a + b là số lẻ. Fibonacci chứng minh rằng một
congruum phải có thể chia được bởi 24 và ông cũng chỉ ra rằng nếu hai số x, c sao
cho x2 + c và x2 – c đều là số chính phương, thì c là một congruum. Ong cũng chứng
minh rằng số chính phương kông phải là một congruum.
Có người nói rằng : “cuốn sách Liber quadratorum một mình đưa Fibonacci lên như
một người đóng góp quan trọng trong lý thuyết số”
Anh hưởng của Fibonacci hạn chế hơn là người ta có thể hi vọng ngoại trừ vai rtò
của ông trong việc trải rộng ứng dụng con số Hindu – Ả rập và những bài toán về thỏ
của ông, đóng góp của Fibonacci vào toán học đã đang được nhìn lại rộng rãi. Như
đã được giải thích : “
“Anh hưởng trực tiếp được sử dụng một cách mạnh mẽ chỉ có những phần của cuốn
“Liber abaci” và của cuốn “Practica”, những cái làm nhiệm vụ giới thiệu các con số
An độ – Ả rập và các phương pháp và đóng góp vào việc làm chủ các vấn đề trong
cuộc sống hàng ngày. Ơ đây, Fibonacci trở thành bậc thầy của bậc thầy của tính toán
và những người làm công việc khảo sát, trong khi người ta biết được từ cuốn
“Summa” của Luca Pacioli …Fibonacci cũng là thầy của “Cossist”, người lấy tên
của họ từ từ “causa” được sử dụng đầu tiên ở phương Tây bởi Fibonacci thay cho
“res” hay “radix”. Chữ cái tên ông ta mang nghĩa là số tự nhiên hay hệ số được cải
thiện đầu tiên bởi Viète …”
Công trình của Fibonacci về lý thuyết số hầu như bị phớt lờ và không đuợc biết đến
suốt những thập kỹ trung niên. 300 nam sau chúng tôi tìm thấy kết quả tương tự xuất
hiện trong công trình của Maurolico.
Bài viết của J J O’Connor and E F Robertson
Evariste Galois
Được sinh ra ở Bourg-la-Reine, Evariste là con trai thứ hai của Nicolas–Gabriel
Galois và Adélaðde-Marie Demante.
Cha ông là thị trưởng, quản lý một nhà trẻ từ hồi Cách Mạng, để lại cho ông những

kiểu mẫu về lòng yêu nước tự do và theo chủ nghĩa Von-te. Mẹ ông dạy ông tiếng hy
lạp và tiếng latinh với một truyền thống thuần thiên chúa giáo và chính thống chủ
nghĩa đặc trưng của một gia đình quan viên và luật gia. Vào năm 12 tuổi, được nhận
học bổng của trường trung học hoàng gia Louis-Le-Grand, Galois đã hiểu được cùng
một lúc những lời ca tụng của thế hệ ông cũng như sự kìm hãm của nó. Ở tuổi 15,
chán chường với những bài học văn học, ông chuyển qua môn toán – môn học được
xem là môn phụ – mà nay đã được ông chú tâm hoàn toàn vào! Ông thích tìm tòi và
khinh thường những bài tập ở trường. Khát khao được vào học tại trường Bách Khoa
– nơi có thầy Augustin Cauchy giảng dạy, ông tự giới thiệu và trượt lần đầu tiên.
Năm 1828, được một người thầy giúp đỡ, ông có những phát minh mang tính thời
đại. Ông sát nhập những khái niệm và phương pháp được trình bày bởi Gauss và
Cauchy và đến năm 1829, ông trình bày những nghiên cứu về lý luận phương trình
của mình.
Bị từ chối khỏi trường Bách Khoa năm 1829 bởi một câu hỏi nhỏ mà ông coi thường
không chịu bàn về (ông sai nhưng ngoan cố không nhận). Sau đó, ông thi và đậu vào
trường dự bị (trường chuyên chất lượng cao bình thường – Trường Cao đẳng sư
phạm). Tại đây, ông thực hiện bản luận văn khoa học đầu tiên nhắm đến Giải thưởng
lớn về toán học của Viện hàn lâm khoa học năm 1830 nhưng những bản báo cáo của
ông sau đó được thông báo là bị biến mất. Một năm sau đó, bản báo cáo khoa học
thứ hai của ông bị đánh giá là khó hiểu (không thể hiểu được!). Vào thời điểm này,
cha của ông tự sát sau một chuỗi những âm mưu làm loạn chính trị của phó linh mục
vùng Bourg-La-Reine và ông bị đuổi khỏi trường sau khi gửi một lá thư cho tờ báo
“La Gazette des écoles” (Báo của các trường) mà nội dung là ông đã tố cáo thái độ
của thầy hiệu trưởng trong “Ba ngày vinh quang” (27-28-29) của cuộc Cách mạng tư
sản Pháp vào tháng 7.
Ông tham gia vào nhóm “les Amis du peuple” (“Bạn dân”) và vào cuộc khởi nghĩa –
cuộc cách mạng tư sản Pháp. Tháng 4 năm 1831, trong một bữa tiệc của người Cộng
Hoà, một tay nâng cốc, một tay cầm con dao bỏ túi mở lưỡi, Galois hô lớn :”A
Louis-Philippe” và ông bị bắt nhưng rồi được thả trắng án. Hai tháng sau, tại cầu
Mới, trong trang phục pháo binh, ông dẫn đầu đoàn người biểu tình và bị bắt. Bị

giam tại nhà tù ở Sainte-Pélagie, Galois nghiên cứu về tích phân những hàm số đại
số và về “Lý thuyết mới về số ảo”. Năm 1832, bệnh dịch tả hoành hành và tàn sát
dân cư thành Paris, ông được chuyển về một nhà điều dưỡng của ông Fautrier. Tại
nơi đây, ông kiếm lại được một chút tự do nhưng lại vướng vào một mối tình bị lừa
dối và cuốn vào một cuộc đấu tay đôi đầy miễn cưỡng. Trên thực tế,ông đem lòng
yêu Stéphanie Dumotel, con gái một bác sĩ trong nhà điều dưỡng đó. Vào đêm trước
ngày quyết đấu, Galois viết một cách rất vội v cho người bạn thân Auguste Chevalier
một lá thư (di chúc) mà ông tin tưởng giao cho một bản tóm tắt những cơng trình
nghin cứu chính của mình, đó là hai bản báo cáo khoa học, một bài tựa (mở đầu),
nhiều bài tiểu luận và nhiều bản nháp. Được tìm thấy bên bờ ao Glacière với một vết
thương bị xuyên thủng ở bụng, Galois qua đời vì viêm màng bụng vào ngày 31 tháng
5 năm 1832. Những người bạn cộng hoà của ông đã mang thi hài ông từ bệnh viện
Cochin đến hố chung của nghĩa địa Nam Montparnassse vào ngày 2 tháng 6, phần
lớn đã ngã xuống bên những vật chắn nằm trên đường Cloitre-Saint-Méry. Những
suy nghĩ của Galois được nuôi dưỡng từ những nghiên cứu của Lagrange, Gauss,
Cauchy, Abel và Jacobi. Trong một luận văn khoahọc nổi tiếng xuất bản năm 1770,
Lagrange đã trình bày những quan điểm của mình trong lĩnh vực hàm số đại số. Ông
phác thảo lý thuyết về sự biến đổi của hàm số và chứng minh bằng thực nghiệm tầm
quan trọng của khái niệm hoán vị. Ông tìm được ở đó những công thức cần thiết cho
việc giải nghiệm cho hàm căn thức từ bậc 2 đến bậc 4. Thế nhưng, còn hàm bậc 5
tổng quát lại chống lại quy luật đó của ông như ở các bậc tiền bối. Đến năm 1801,
Gauss soạn ra một nghiên cứu về hàm nhị thức x
n
-a=0 và nghiệm nguyên thủy thống
nhất và sau này Galois đã đề cập lại về vấn đề này mà trứơc đó cả Niels Abel cũng
đã bỏ qua: nghiệm của hàm căn thức bậc 5. Ông đã làm rõ khái niệm số hữu tỉ trong
mối liên hệ với các đại lượng khác, đạt đến gần khái niệm tập hợp được sinh ra bởi
một nhóm giới hạn các số đại số đại số. Ông còn chứng minh được rằng tập hợp sinh
ra bởi hàm căn của một hàm số đại số là một sự mở rộng đơn giản tập hợp các hệ số
và đưa ra một số khái niệm;

• Trường mở rộng của Galois : sự mở rộng giới hạn L của tập K, lũy thừa n, sẽ tuân
theo quy luật của Galois khi và chỉ khi tập hợp LG những bất biến của nhóm Galois
G=G(L/K) đượ rút gọn về K. Nhóm Galois khi đó theo thứ tự n.
• Sự tương ứng của Galois : trường mở rộng Galois L của tập hợp K được cho trước,
áp dụng cho một nhóm các phân nhóm Galois G (L/G) trong tập hợp những tập hợp
con L chứa K mà trong phân nhóm H của G(L/G), kết hợp tập hợp những bất biến
L
H
, sẽ bijective.
Suy nghĩ của Galois đã chứng tỏ (bằng thực nghiệm) những đẳng cấu nhóm của tập
hợp này.
Ta có a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+a
n-2
x
n-2
+...+a
0
=0 hàm số bất khả quy mà tất cả hàm căn khác nhau
là x
1
,x
2

,x
3
...x
n
, và ð là đại lượng mà bắt đầu từ đó, hàm căn của chúng được diễn tả
một cách hữu tỷ hoá sau kết quả của công thức trên, chúng ta sẽ có, với mỗi số
nguyên i<=n x
i
= O
i
(ð) Bằng cách thay thế liên tiếp O
i
(ð) biến đổi lẫn nhau và những
hoán vị thu được lập thành một phân nhóm của nhóm những hoán vị của hàm căn
bậc n. Galois gọi đây là nhóm con chuẩn tắc. Ông làm một phép tương ứng, đến mỗi
phần tử, K trung gian giữa phần tử A những hệ số và phần tử B sinh ra bởi hàm căn
của đẳng thức, phân nhóm của nhóm các đẳng thức.
Như vậy, tính chất đó được sinh ra bằng tất cả những hàm căn của một đẳng thức bổ
trợ (mở rộng một cách bình thường tập hợp của những hệ số) tương ứng với tính chất
được trình bày bởi một phân nhóm phân biệt của nhóm đẳng thức. Với một đẳng
thức đại số mà giải được bằng căn thức, nhóm C của nó phải giải được, lập thành
một dãy cấu tạo:{1}=G
0
G
1
G
2
..... G
n
=G sao cho với tất cả các thương G

i+1
/G
i
phải giao hoán với nhau. Như vậy, đẳng thức chung bậc 4 trở lên sẽ không giải được
bằng hàm căn thức tại vì số nhóm những hoán vị của n phần tử là không giải
được.
Johann Carl Friedrich Gauss
Sinh ngày 30/4/1777 tại Brunswick
Mất ngày 23/2/1855 tại Gottingen, Hanover
Vào năm bảy tuổi ,Carl Friedrich Gauss bắt dầu học tiểu học và tài năng của ông ta
được chú ý ngay lập tức. Thầy Buttner và trợ giảng Martin Martels đã rất ngạc nhiên
khi Gauss cộng các số nguyên từ 1 đến 100 ngay tức thì bằng cách cộng 50 cặp số có
tổng là 101.
Năm 1788 Gauss bắt đầu học tiếng Đức và tiếng Latin tại trường Gymnasium và
nhận được sự giúp đỡ nhiệt ting của Buttner và Bartels. Sauk hi nhận được khoảng
tiền từ công tước vùng Brunswick –ngài Wolfenbuttel, năm 1792 Gauss vào học
trường cao đẳng Brunswick Collegium Carolinum. Tại đây Gauss đã độc lập khám
phá ra định luật của Bode, định lí về nhị thức và ý nghĩa giữa số học và hình học,
cũng như định luật về tính nghịch đảo của phương trìng bậc 2 và định lí về số
nguyên tố.
Năm 1795 Gauss rời Brunswick để học ở trường đại học Gottingen.Gaus thường chế
nhạo thầy Kastner của mình. Người bạn duy nhất của Gauss là Farkas Bolyai. Họ
gặp nhau vào năm 1799 và giao thiệp với nhau trong nhiều năm.
Gauss đã không nhận được bằng tốt nghiệp khi rời Gottingen, nhưng vào lúc nay
Gauss đã khám phá ra một dịnh luật rất quan trọng, đó là việc xây dựng 17-gon bình
thường bằng thước và compa. Đây là sự tiến bộ vĩ đại nhất trong lĩnh vực này từ thời
toán học Hi Lạp và được xuất bàn trong chương 7 của cuốn Disquisitiones
Arithmeticae, cuốn sách về những công trình nổi tiếng của Gauss.
Gauss trở về Brunswick và nhận chứng chỉ vào năm 1799. Sau khi đồng ý trả tiền
công cho Gauss, công tước vùng Brunswick yêu cầu Gauss phải đệ trình luận án tiến

sĩ cho trường đại học Helmstedt. Gauss đã quen biết được Pfaff, và người này được
chọn làm cố vấn cho Gauss. Luận an của Gauss là một bài thảo luận về định lí cơ bản
của môn đại số.
Với khoảng tiền thù lao này, Gauss không phải kiếm việc làm. Vì thế Gauss có thể
cống hiến trọn vẹn cho việc nghiên cứu. Gauss đã cho xuất bản cuốn Disquisitiones
Arithmeticae vào mùa hè năm 1801. Cuốn sách này gồn 7 chương và chương cuối
cùng có rất nhiều định lí.
Vào tháng 6 năm 1801, Zach, người mà Gauss đã gặp 2 hoặc 3 năm trước, công bố
những vị trí quỹ đạo của Ceres, một hành tinh nhỏ mới được khám phá bởi nhà thiên
văn học Ý G.Piazzi vào tháng 1 năm 1801. Không may, Piazzi chỉ quan sát được 9
góc độ của hàng tinh này trước khi nó bị Mặt Trời che khuất. Zach công bố một vài
dự đoán về vị trí của nó, bao gồm cả vị trí được Gauss công bố nhưng nó khác xa
những vị trí khác mà Zach tiên đoán. Tháng 7 năm 1801, Ceres được khám phá một
lần nữa bởi Zach, và lần này nó đã ở đúng vị trí mà Gauss đã tiên đoán trước đó.
Gauss đã sử dụng phương pháp tính gần đúng, nhưng Gauss không chỉ ra phương
pháp của mình.
Tháng 6 năm 1802, Gauss đến thăm Olber, người đã khám phá ra thiên thể Pallas
vào tháng 3 năm đó và Gauss đã điều tra về quỹ đạo của nó.Olbers đề nghị Gauss
phải làm việc ở đài thiên văn mới ở Gottingen, nhưng Gauss đã không có hành động
gì. Gauss bắt đầu liên lạc với Bessel và sophei Germain. Cho tới năm 1825 Gauss
mới gặp mặt Bessel.
Gauss cưới Johanna Ostoff vào 9 tháng 10 năm 1805. Mặc dù có cuộc sống cá nhân
hạnh phúc lần đầu nhưng ân nhân của Gauss, công tước vùng Brunswick đã hi sinh
trong cuộc chiến chống quân Phổ. Năm 1807 Gauss rời Brunswick để nhận chức
giám đốc đài thiên văn Gottingen.
Gauss tới Gottingen vào cuối năm 1807. Năm 1808 cha của Gauss qua đời và một
năm sau vợ của Gauss cũng qua đời sau khi sinh đứa con trai thứ hai. Ngay sau đó,
đứa bé cũng qua đời. Gauss trở nên suy sụp và viết thư cho Olbers xin được ở nhà
ông ta trong vài tuần.
Năm sau thì Gauss tái hôn với Minna, một người bạn thân của Johanna và họ có

thêm ba đứa con. Cuộc hôn nhân này đã tạo nhiều thuận lợi cho Gauss.
Công việc của Gauss bị trì trệ bởi vì bi kịch này. Ông cho xuất bản cuốn sách thứ hai
của mình,cuốn Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem
ambientium vào năm 1809. Đây là hai tuyển tập luận án về sự chuyển động của các
thiên thể. Trong tuyển tập thứ nhất Gauss đề cập đến bất phương trình, các tiết diện
hình nón và quĩ đạo elip. Tuyển tập thứ hai là phần chính của công trình. Gauss đã
chỉ ra cách để ước tính và cách chọn lọc những ước tính về quỹ đạo của các hành
tinh. Gauss đã ngưng thu thập của Gauss về thiên văn học sau năm 1817, mặc dù ông
còn làm việc quan sát thiên văn cho đến năm 70 tuổi.
Ông dành hầu hết thời gian của mình làm việc ở đài thiên văn cho đến năm 1816
nhưng ông vẫn dành thời gian để nghiên cứu những chủ đề khác . Trong thời gian
này ông cho xuất bản cuốn Disquisitiones generales circa seriem infinitam – cuốn
sách về vệc xử lí chặc chẽ các chuỗi toán học và giới thiệu về chức năng của hình
học cao cấp; cuốn Methodus nova integralium valores per approximationem
inveniendi – đây là một bài thảo luận về đánh giá thống kê và cuốn Theoria
attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova
tractata. Công việc sau này của Gauss được truyền cảm hứng từ những vấn đề về đo
đạc và đựơc quan tâm cùng với tài năng lí luận. Sự thật Gauss đã nhận thấy sự hứng
thú của mình về sự đo đạc vào mhững năm 1820.
Vào năm 1818, Gauss đã được mời làm việc ở cục đo lường thuộc bang Hanover để
kết nối với đường dây hiện tại của Đan Mạch. Gauss đã rất vui vẻ nhận nhiệm vụ cá
nhân ở cục đo lường. Ông .làm công việc đo lường ngày đêm với tinh thần lao động
hăng say cho việc tính toán. Gauss thường viết thư cho Schumacher, Olbers, Besssel,
báo cáo tình hình và thảo luận những vấn đề.
Bởi vì cục đo lường này, Gauss đã khám phá ra được đá heliotrope. Viên đá này
được dùng để phản chiếu lại những tia nắng mặt trời dùng trong việc thiết kế nhửng
tấm gương và kính viễn vọng nhỏ. Tuy nhiên, những giới hạn không chính xác này
được sử dụng cho cục đo lường và những hệ thống không thỏa đáng của tam giác.
Gauss rất vui nếu ông nhận được những lời khuyên hữu ích để theo đuởi những nghề
nghiệp khác nhưng ông ta đã cho xuất bản hơn 70 bài báo vào khoảng giữa năm

1820 và1830.
Năm 1822, Gauss nhận được giải thưởng của đại học Copenhagen với cuốn Theoria
attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova
tractata cùng với ý tưởng từ việc lập bản đồ bề mặt trên một bề mặt khác để cả hai
giống nhau từ phần nhỏ nhất.Bài luận này dược xuất bản vào năm 1825 và dẫn đền
việc xuất bản sau này của một cuốn sách khác. Bài thuyết trình Thoeria
combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae cùng với phần bổ sung đã
đóng góp rất nhiều cho thống kê toán học, trong chi tiết của phương pháp bình
phương.
Từ đầu những năm 1800 Gauss đã bắt đầu thích thú với những câu hỏi về sự tòn tại
của môn hình học phi Euclide. Ông đã thảo luận chủ đề này với Farkas Bolyai và
Gerling và Schumacher. Trong cuốn sách tái bản ông thảo luận về những bằng chứng
có thể chứng minh được tiên đề về sự song song từ những tiên đề khác của Euclic.
Ông đã đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của môn hình học phi Euclic, mặc dù ông khá
mơ hồ. Gauss đã giải báy tâm sực với Schumacher, rằng thanh danh của ông sẽ bị
tổn hại nếu ông thừa nhận ông tin tưởng vào sự tồn tại của môn này.
Năm 1831 Farkas Bolyai công trình của con trai,Lanos Bolyai, ông ta về đề tài
này.Gauss đáp lại: khen ngợi nó có nghĩa là khen ngợi chính mình. Mười năm sau,
khi cung cấp tài liệu cho Lobachevsky về đề tài này, một lần nữa ông đã khen ngợi
về “môn hình học thiên tài này”, trong khi lá thư ông viết cho Schumacher vào năm
1864 thể hiện ông cũng có sức thuyết phục giống vậy trong 54 năm và nói rắng ông
đã nhận biết được sự tồn tại của môn hình học phi Euclic từ khi ông 15 tuổi.
Gauss rất thích môn vi phân hình học, và ông đã xuất bản nhiều bài thuyết trình về
đề tài này. Disquisitiones generales circa superficies curva (1828) là công trình nổi
tiếng nhất của ông về lĩnh vực này. Sự thật bài luận này được khơi nguồn từ sự yêu
thích đo đạc của ông. Nhưng nó cũng chứa đựng cả một ý tưởng hình học như là
thuyết đường cong của Gauss.
Những năm 1818-1832 là khỏang thời gian đau buồn nhất của Gauss . Ông đã lừa gạt
người mẹ đau ốm của ông (1817) và cứ như thế cho đến khi bà qua đời năm 1839,
trong khi Gauss cãi nhau với vợ ông và gia đình vợ về việc liệu ông có nên đi Berlin.

Ông được mời giữ một chức vụ ở trường Đại học Berlin và Minna và gia đình rất
muốn được dời về đó. Tuy nhiên Gauss không thích thay đổi và quyết định ở lại
Gottingen. Vào năm 1831 người vợ thứ 2 của Gauss qua đời sau khi bệnh nặng trong
một thời gian dài.
Năm 1831 Wilhelm Weber đến Gottingen đảm đương chức giáo sư vật lí thay ông
Tobias Mayer. Gauss quen biết với Weber từ năm 1828 và hỗ trợ cho công việc của
ông ta. Gauss đã làm việc trên lĩnh vực vật lý trước năm 1831, xuất bản cuốn Uber
ein allbemeines Grundgesetz der Mechanik, bao gồm cả nguồn gốc của sự bắt buộc ,
và cuốn Principia generalia t heorae figurae fluidorum in statu aequilibrii thảo luận
về lực hấp dẫn. Bài luận này dựa trên khả năng lí luận của Gauss, và đã chứng minh
được sự quan trọng của Gauss trên lĩnh vực vật lý.
Năm 1832 gauss và Weber bắt đầu nghiê cứu về lí thuyết về hiện tượng từ trường
trái đất sau khi Alexander von Humboldt cố gắng tìm kiếm sự giúp đỡ của Gauss
trong việc thiết lập hệ thống nghiên cứu từ tính vòng quanh trái đất.Gauss rất thích
thú với công việc này và trước năm 1840 ông đã viết ba luận án quan trọng về đề tài
này. Tất cả những luận án này đều liên quan đến những lí thuyết hiện tại về từ trường
trái đất , bao gồn cả ý kiến của Poisson , sự đo đạc chính xác lực từ và kinh nghiệm
về định nghĩa từ trường trái đất.
Một trong ba cuốn sách trên chỉ ra có hai cực trên trái đất và chứng minh bằng một
định lí quan trọng, liên quan tới sự xác định cừng độ của từ trường, của lực từ phụ
thuộc vào gáo lệch. Gauss sử dụng phương trình của Laplace để hổ trợ ông trong
việc tính toán, và đưa ra vị trí chính xác của cực nam của nam châm.
Humboldt chế ra loại lịch để quan sát độ lệch của từ trường trái đất. Tuy nhiên khi
trạm quan sát từ trường của Gauss dược xây dựng, ông tiếp tuc sử lại nhiều thủ tục
của Humboldt, làm mất lòng ông ta. Tuy vậy Gauss cũng đạt được nhiều kết qua
chính xác.
Gauss và Weber đã thành công rất nhiều trong sáu năm làm việc cùng nhau. Họ đã
tìm ra định luật Kirchhoff bằng máy điện báo sơ khai có thể gửi tin nhắn trong phạm
vi hơn 5000 bộ. Tuy nhiên đây chỉ là trò tiêu khiển của Gauss. Ông còn thích thù hơn
trong việc thiết lập một mạng lưới trạm đo từ tính trê toàn trái đất. Việc này đã gây

ra nhiều kết quả cụ thể. Magneticischer Verein đuợc thiết lập và bản đồ về địa từ
trường được vẽ ra, trong khi tạp chí riêng của Gauss va Weber dược xuất bản vào
năm 1836 đến 1841.
Năm 1837 Weber bị bắt phải rời khỏi Gottingen khi ông dính liếu tới một cuộc tranh
luận về chính trị và cũng từ lúc này những họat động của Gauss dần dần sa sút. Ông
vẫn đưa ra những bài luận phản ứng lại những lại những khám phá của những nhà
khoa học sau này và thương lưu ý rằng ông đã biết những phương pháp từ nhiếu năm
trước nhưng chưa bao giờ thấy cần thiết để công bố. Đôi khi ông cũng rất vui vì sự
tiến bộ của những nhà toán học khác, đặc biệt là Eisenstein và Lobachevsky.
Gauss dành thời gian từ năm 1845 đến 1851 cho quỹ quả phụ của trường Đại hoc
Gottingen. Công việc này giúp ông có những kinh nghiệm thưc tiễn về vấn đề tài
chính. Ông đã thử vận may của mình bằng việc mở một công ty tư nhân.
Gauss tổ chức một buổi kỉ niệm vàng về văn học vào năm 1849, 50 năm sau khi ông
nhận được băng tốt nghiệp của trường Đai học Helmstedt. Đó là sự thay đổi trong sự
nghiệp của ông vào năm 1799, Gauss đã nhận được rất nhiếu vinh quang.
Từ năm 1850 công việc của Gauss đã tiến triển trở lại một cách tự nhiên ămc dù ông
đã chứng minh nhiều luận án tiến sĩ của Reimann và nghe văn chương tập sự của ông
ta.Sự thay đổi trong nghiên cứu khoa học cuối cùng của ông là với Gerling.Ông con
dự định mở tuyến đường xe lửa mới nối liền Hanover với Gottingen nhưng không
thể thực hiện được. Gauss dần dần trở nên đau yếu và đã qua đời trong khi đang ngủ
vào buổi sáng ngày 23 tháng 2 năm 1855.
Georg Faber ( kh«ng cã h×nh)
( sinh ngày 5/4/1877, mất ngày 7/3/1966 ở Đức).
Georg Faber học tóan và vật lý tại trường đại học Munich và Gottingen từ năm 1896
đến năm 1901. Năm 1902, ông nhận bằng tiến sĩ của đại học Munich cho dự án về
khai triển cấp số của hàm số dùng phép giải tích . Ong nhận được tư cách dạy học từ
đại học Wrzburg năm 1905 cũng với luận án trên . Sau khi làm việc ở một số đại
học, ông được giữ một vị trí ở Technische Hochschule ở Munich năm 1916 và giữ
chức này cho đến khi nghỉ hưu năm 1946.
Công trình quan trọng nhất của ông là khai triển đa thức của hàm số. Đây là vấn đề

về khai triển hàm số giải tích trong một phần được qui định bởi một đường cong
phẳng như là tổng của các đa thức, các đa thức được xác định trong phần này. Các đa
thức này được biết như “Đa thức Faber”. Hầu hết các tác phẩm của ông là lý thuyết
hàm số.
Ong cũng biên sọan một bộ các tác phẩm của Christoffel và các tập 14, 15, 16 của bộ
các tác phẩm của Euler. Ong thích việc dạy toán và đã cùng làm việc với von Dyck ở
Munich. Faber còn diễn thuyết về phép phân tích phức tạp, lý thuyết về xác suất, tính
tương đối và cơ học giải tích. Khi Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1945,
Faber được chính phủ chỉ định làm hiệu trưởng của trường Technische Hochschule ở
Munich. Ong đã tổ chức việc giảng dạy lại ở trường đại học trước khi về hưu vài
năm sau đó. Ong còn có nhiều sở thích khác bên cạnh toán học, ông là nhà ngôn ngữ
học, yêu nhạc, họa và đi bộ đường dài.
Tác giả: JJ O’ Connor và EF Robertson.
Guillaume Francois Antoine Marquis De
L’Hopital
Sinh năm 1161 – Mất năm 1704
Guillaume de L’Hôpital từng phục vụ trong quân đoàn kỵ binh cho đến khi từ chức
vì cận thị. Từ đó, ông bắt đầu quan tâm đến Toán học. Ông được học các phép toán
từ người thầy Johann Bernoulli học từ cuối năm 1691 đến tháng 7 năm 1692.
L’Hôpital là một nhà toán học rất có năng lực và ông đã bắt đầu giải bài toán về
đường cong ngắn nhất trên đồ thị. Trước đây có nhiều nhà toán học đã độc lập giải
bài toán này như Newton, Leibniz và Jacob Bernoulli và điều đó đã tạo nhiều điều
kiện thuận lợi cho L’Hôpital. L’Hôpital được biết đến với cuốn sách “Phân tích giá
trị nhỏ nhất của những đường cong đồ thị” (“Analyse des infiniment pour
l’intelligence des lignes courbes”) (1696), được xem là văn bản đầu tiên viết về phép
tính vi phân. Trong phần mở đầu, L’Hôpital thừa nhận sự biết ơn đối với những nhà
toán học đi trước Leibniz, Jacob Bernoulli và Johann Bernoulli nhưng cũng khẳng
định những công trình mới trong sách là sự tìm tòi của bản thân ông.
Cuốn sách này nói về một định lý, gọi là định lý L’Hôpital, về việc tìm giới hạn của
hàm số mà tử số và mẫu số tiến tới 0 tại một điểm.

Johannes Kepler
Sinh năm 27/11/1571 – Mất năm 15/12/1630
Ngày nay Kepler được ghi nhớ nhiều nhất cho việc đã khám phá ra 3 định luật về sự
chuyển động của các hành tinh được xuất bản năm 1609 và 1619, mà đã tạo nên tên
tuổi của ông. Ông cũng có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực khoa học (năm
1604, 1611), khám phá 2 khối đa diện mới (năm 1619), đưa ra phương pháp toán học
mới của những close packing of equal spheres.
(điều này đã đưa đến một sự lý giải cho hình dạng của những ô trong “cấu trúc tổ
ong” năm 1611), đặt ra những nền tảng đầu tiên của hệ logarit (năm 1624) và sáng
chế một phương pháp of finding the volumes of solids of revolution that (với nhận
thức muộn màng) có thể được xem như một phần đóng góp cho sự phát triển của
phép tính hơn nữa, ông là người đã tính toán những biểu đồ thiên văn chính xác nhất
cho đến ngày nay, và sự chính xác này đã tiếp tục củng cố chân lý của ngành thiên
văn học nhật tâm (theo Rudolphine Tables, Ulm, 1627)
Một số lượng lớn những thư từ của Kepler vẫn còn được lưu giữ. Nhiều lá thư của
ông hầu như tương đương với một tờ báo khoa học (bởi vì thời đó chưa có những tạp
chí khoa học chuyên môn) và các phóng viên dường như đã lưu giữ chúng vì chúng
thật sự thú vị. Chính vì vậy chúng ta biết khá nhiều về cuộc đời của Kepler và nhất là
những tính cách của ông. Điều này một phần bởi vì đã có những điều về sự nghiệp
của Kepler ít nhiều giống một nhân vật hư cấu (qua lời ghi chép sử)
* Thời thơ ấu:
Kepler sinh ra trong một thị trấn nhỏ ở Weilder Stadt, Swabia và dọn đến sống gần
Leonberg với cha mẹ năm 1576. Cha ông là lính đánh thuê và mẹ là con gái của một
chủ quán trọ. Johannes là con trai đầu lòng của họ. Người cha đã bỏ nhà ra đi khi
Johannes mới 7 tuổi và người ta cho rằng ông ta đã chết trong triến tranh ở Hà Lan.
Thuở nhỏ, Kepler sống với mẹ trong căn hộ nhỏ của ông ngoại để lại. Cậu đã giúp
phục vụ ở nhà trọ. Nhiều khách hàng đôi khi rất ngạc nhiên bởi khả năng đặc biệt
của đứa trẻ đối với môn số học.
Đầu tiên Kepler học tại một trường địa phương và sau đó tại một trường dòng gần
nhà, từ đó như một điều được sắp đặt, ông tiếp tục nhập học trường Đại học

Tubingen, và rồi (như hiện nay) trở thành một thành trì của những người theo thuyết
Lu-ti chính thống.
* Quan điểm của Kepler: