LTDH_Chuyen de Dai so to hop doc

Trường THPT Tân Quới
Chuyên đề
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
( )
!
!
kn
n
A
k
n
−
=
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
( )
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton

( )
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−−−− 11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
−
+
=
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18
5
1
2








+
x
x
, (x>0).
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 

. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
3. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.
ĐS: 3320
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng

14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên
dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
=M
5. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4

3
1








+
x
x
với x>0.
ĐS: 35
6. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n

.
Tìm n để a
3n
−
3
=26n.
ĐS: n=5
7. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
2048242
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC 
.
ĐS: n=5
8. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111

2
1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1
Trường THPT Tân Quới
9. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10

trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)

n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
10. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
11. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12

1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
ĐS:
1
23
11
+
−
++
n
nn

12. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
,
tìm n.
ĐS: n=8
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1

x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.
ĐS: a

8
=126720
14. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12
12
2
1
6
1
4
1
2
1
n
n
n
nnnn
C

n
C
n
CCC
+
−
=++++
−

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
15. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
7

4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
16. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33

12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
17. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
ĐS: 238
18. (ĐH_Khối A 2003)
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

2
Trường THPT Tân Quới
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n

n
n
n
,
(n nguyên dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x

x
CCCC








+
















++

















+








=









+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1

22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
−o0o−
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
3