Giao trinh full giao trinh xac suat thong ke hutech

lOMoARcPSD|30548700

Giáo trình full - Giáo trình Xác Suất Thống Kê HUTECH
Xác suất thống kê (Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh)

Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

Chu’ ong
’ 1

˜’
’ VE
ˆ´
´ NIE
ˆ. M CO’ BAN
ˆ` XAC
´ SUAT
NHUNG
KHAI
1.
1.1

’ HO’ P
’ TUC
’ T´ICH TO
ˆ
´ VE

ˆ` GIAI
ˆ
BO
.
˘´c nhˆ
Qui ta
an

Gia’ su’’ mˆo.t cˆong viˆe.c n`ao d¯´o d¯u’o.’c chia th`anh k giai d¯oa.n. C´o n1 c´ach thu.’c hiˆe.n giai
d¯oa.n thu´’ nhˆa´t, n2 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ hai,...,nk c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’
k. Khi d¯´o ta c´o
n = n1 .n2 . . . nk
c´ach thu.’c hiˆe.n cˆong viˆe.c.
`’ kh´ac
’ d¯i qua d¯iˆe’m B. C´o 3 d¯u’ong
• V´ı du. 1 Gia’ su’’ d¯ˆe’ d¯i tu`’ A d¯ˆe´n C ta ba˘´t buˆo.c phai
’
’
`’ kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu`’ B d¯ˆe´n C. Vˆa.y c´o n = 3.2 c´ach
nhau d¯ˆe d¯i tu`’ A d¯ˆe´n B v`a c´o 2 d¯u’ong
’
´
`
kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu’ A d¯ˆen C.
A

1.2

B

C

’
Chinh
ho.’p

’ ho.’p chˆa.p k cua
’ n phˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 1 Chinh
a`n tu’’ (k ≤ n) l`
a mˆo.t nh´om (bˆo.) c´o thu´’ tu.’
a`n tu’’ d¯a˜ cho.
gˆ
o`m k phˆa`n tu’’ kh´ac nhau cho.n tu`’ n phˆ
’ ho.’p chˆa.p k cua
’ n phˆ
Sˆ
o´ chinh
a`n tu’’ k´ı hiˆe.u l`
a Akn .
´’ t´ınh:

Cˆ
ong thuc

Akn =

n!
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(n − k)!

`’ tham du.’. Hoi
’ c´o mˆa´y c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a
• V´ı du. 2 Mˆ
o.t buˆo’i ho.p gˆo`m 12 ngu’oi
v`a mˆo.t thu’ k´y?
’
Giai
`’ 12 ngu’oi
`’ tham du.’ buˆo’i ho.p l`a mˆo.t
Mˆo˜i c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v`a mˆo.t thu’ k´
y tu
’’
’ ho.’p chˆa.p k cua
’ 12 phˆa`n tu.
chinh
1 ()
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát


lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´

ac suˆ
a´t

2

Do d¯´o sˆo´ c´ach cho.n l`a A212 = 12.11 = 132.
´’ c´ac chu˜’ sˆo´ 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe’ lˆa.p d¯u’o.’c bao nhiˆeu sˆo´ kh´ac nhau gˆo`m 4
• V´ı du. 3 Voi
chu˜’ sˆ
o´.
’
Giai
’ l`a sˆo´ gˆo`m 4 chu˜’ sˆo´.
C´ac sˆo´ ba˘´t d¯ˆa`u ba˘`ng chu˜’ sˆo´ 0 (0123, 0234,...) khˆong phai
’ cho.n trong c´ac chu˜’ sˆo´ 1,2,3,4,5. Do d¯´o c´o 5 c´ach cho.n chu˜’ sˆo´
Chu˜’ sˆo´ d¯ˆa`u tiˆen phai
d¯ˆa`u tiˆen.
Ba chu˜’ sˆo´ kˆe´ tiˆe´p c´o thˆe’ cho.n t`
uy y
´ trong 5 chu˜’ sˆo´ c`on la.i. C´o A35 c´ach cho.n.
Vˆa.y sˆo´ c´ach cho.n l`a 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300

1.3

’
Chinh
ho.’p l˘
a.p

’ ho.’p l˘

’ n phˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 2 Chinh
a.p chˆa.p k cua
a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆo`m k
phˆ
a`n tu’’ cho.n tu`’ n phˆa`n tu’’ d¯a˜ cho, trong d¯´o mˆ
o˜i phˆ
a`n tu’’ c´o thˆe’ c´o m˘
a.t 1,2,...,k lˆa`n trong
nh´om.
’ ho.’p l˘
’ n phˆa`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u Bnk .
Sˆ
o´ chinh
a.p ch˘
a.p k cua
´’ t´ınh

Cˆ
ong thuc
Bnk = nk
’ c´o bao nhiˆeu c´ach xˆe´p ?
• V´ı du. 4 Xˆe´p 5 cuˆo´n s´ach v`ao 3 ng˘
an. Hoi
’
Giai
’ ho.’p l˘
’ 3 (Mˆo˜i lˆa`n
Mˆo˜i c´ach xˆe´p 5 cuˆo´n s´ach v`ao 3 ng˘
an l`a mˆo.t chinh

a.p chˆa.p 5 cua
xˆe´p 1 cuˆo´n s´ach v`ao 1 ng˘
an xem nhu’ cho.n 1 ng˘
an trong 3 ng˘
an. Do c´o 5 cuˆo´n s´ach nˆen
´
`
viˆe.c cho.n ng˘
an d¯u’o.’c tiˆen h`anh 5 lˆan).
Vˆa.y sˆo´ c´ach xˆe´p l`a B35 = 35 = 243.

1.4

Ho´
an vi.

’ m phˆ
a.t m phˆa`n
2 ¯Di.nh nghi˜a 3 Ho´an vi. cua
a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆo`m d¯u’ m˘
’
tu’ d¯a˜ cho.
’ m phˆa`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u l`
Sˆ
o´ ho´an vi. cua
a Pm .
´’ t´ınh

Cˆ
ong thuc

Pm = m!
’ c´o mˆ
• V´ı du. 5 Mˆ
o.t b`an c´o 4 ho.c sinh. Hoi
a´y c´ach xˆe´p chˆ
o˜ ngˆ
o`i ?
’
Giai
’’ Do d¯´o sˆo´
’ 4 ho.c sinh o’’ mˆo.t b`an l`a mˆo.t ho´an vi. cua
’ 4 phˆa`n tu.
Mˆo˜i c´ach xˆe´p chˆo˜ cua
c´ach xˆe´p l`a P4 = 4! = 24.
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

’ t´ıch tˆ
1. Bˆ
o’ t´
uc vˆ
e` giai
o’ hop
.’

1.5

3

Tˆ
o’ ho.’p

’ n phˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 4 Tˆo’ ho.’p chˆa.p k cua
a`n tu’’ (k ≤ n) l`
a mˆo.t nh´om khˆong phˆan biˆe.t
´
’
’
`
`
`
`
thu’ tu.’, gˆom k phˆan tu’ kh´ac nhau cho.n tu’ n phˆ
an tu’ d¯a˜ cho.
’
´
’
`
’ n phˆan tu’ k´ı hiˆe.u l`a Cnk .
Sˆ
o tˆo ho.’p chˆa.p k cua
´’ t´ınh

Cˆ
ong thuc
Cnk =

n!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
k!(n − k)!
k!


Ch´
uy
´
´’ 0! = 1.
i) Qui u’oc
k
ii) Cn = Cnn−k .
k−1
k
.
iii) Cnk = Cn−1
+ Cn−1
´’ Hoi
’ lˆ
’ cho tru’oc.
’ c´o thˆe’ lˆa.p
• V´ı du. 6 Mˆo˜i d¯ˆe` thi gˆo`m 3 cˆau hoi
a´y trong 25 cˆau hoi
nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe` thi kh´ac nhau ?

3
Sˆo´ d¯ˆe`thi c´o thˆe’ lˆa.p nˆen l`a C25

’
Giai
25!
25.24.23
=
=
= 2.300.
3!.(22)!
1.2.3

`’ d¯iˆe’m bˆa´t k`y mˆo˜i cˆo’ng ho˘
• V´ı du. 7 Mˆ
o.t m´ay t´ınh c´o 16 cˆ
o’ng. Gia’ su’’ ta.i mˆ
o˜i thoi
a.c
trong su’’ du.ng ho˘
a.c khˆong trong su’’ du.ng nhung
a.c khˆong thˆe’ hoa.t
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng ho˘
’
´
’ c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach cho.n) trong d¯´o 10 cˆ
d¯ˆo.ng. Hoi
ong trong su’’ du.ng, 4 khˆong
trong su’’ du.ng nhung
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng v`a 2 khˆong hoa.t d¯ˆo.ng?
’
Giai
’

´’
¯Dˆe x´ac d¯.inh sˆo´ c´ach cho.n ta qua 3 bu’oc:
10
´’ 1: Cho.n 10 cˆo’ng su’’ du.ng: c´o C16
Bu’ oc
= 8008 c´ach.
´’ 2: Cho.n 4 cˆo’ng khˆong trong su’’ du.ng nhung
Bu’ oc
’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng trong 6 cˆo’ng c`on
la.i: c´o C64 = 15 c´ach.
´’ 3: Cho.n 2 cˆo’ng khˆong thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng: c´o C22 = 1 c´ach.
Bu’ oc
10
Theo qui ta˘´c nhˆan, ta c´o C16
.C64 .C22 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach.

1.6

´’ Newton
Nhi. thuc
´’ d¯´ang nho´’
O’’ phˆo’ thˆong ta d¯a˜ biˆe´t c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc
a + b = a1 + b 1
(a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3

´’ trˆen c´o thˆe’ x´ac d¯.inh tu
`’ tam gi´ac Pascal
C´ac hˆe. sˆo´ trong c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()

lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

4

1
1
1
1

1
2
3
4

1
3
6

1
4

1

Cn0

Cn1

Cn2

Cn3

Cn4

. . . Cnn−1

Cnn

´’ minh d¯u’o.’c cˆong thuc
´’ tˆo’ng qu´at sau (Nhi. thuc
´’ Newton):
Newton d¯a˜ chung
(a + b)n =

n
X

Cnk an−k bk

k=o

= Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn
(a,b l`a c´ac sˆo´ thu.’c; n l`a sˆo´ tu.’ nhiˆen)

ˆ´ CO
ˆ´ VA
` QUAN HE
ˆ. GIUA
´ BIEN
ˆ´ CO
ˆ´
˜’ CAC
BIEN

2.
2.1

’’ v`
Ph´
ep thu
a biˆ
e´n cˆ
o´

’ d¯ˆe’ quan s´at mˆo.t hiˆe.n tu’o.’ng n`ao d¯´o
Viˆe.c thu.’c hiˆe.n mˆo.t nh´om c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n co’ ban
’’ C´ac kˆe´t qua’ c´o thˆe’ xay
’ ra cua

’ ph´ep thu’’ d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ (su.’
d¯u’o.’c go.i mˆo.t ph´ep thu.
kiˆe.n).
• V´ı du. 8
’’ l`a mˆo.t
’’ ¯Dˆ
o`ng tiˆe`n lˆa.t m˘
a.t n`ao d¯´o (xˆa´p, ngua)
i) Tung d¯ˆo`ng tiˆe`n lˆen l`a mˆo.t ph´ep thu.
biˆe´n cˆ
o´.
’’ Viˆe.c viˆen d¯a.n tr´
ii) Ba˘´n mˆo.t ph´at s´
ung v`ao mˆo.t c´ai bia l`a mˆo.t ph´ep thu.
ung (trˆa.t)
´
´
bia l`
a mˆ
o.t biˆen cˆo.

2.2

˜’ c´
ac biˆ
e´n cˆ
o´
C´
ac biˆ
e´n cˆ

o´ v`
a quan hˆ
e. giua

i) Quan hˆ
e. k´
eo theo
’ ra th`ı B xay
’
Biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a k´eo theo biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u A xay
ra.
ii) Quan hˆ
e. tu’ ong
d
¯u’ ong
’
’
´’ nhau nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u
Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a tu’ong
’ d¯u’ong
’ voi
A = B.
iii) Biˆ
e´n cˆ
o´ so’ cˆ
a´p
˜’ d¯u’o.’c nua.
Biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p l`a biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ phˆan t´ıch d¯u’o.’c nua
’
˘´c cha

˘´n
iv) Biˆ
e´n cˆ
o´ cha
’’ K´ı hiˆe.u Ω.
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh s˜
e xay
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

˜’ c´
2. Biˆ
e´n cˆ
o´ v`
a quan hˆ
e. giua
ac biˆ
e´n cˆ
o´

5

o´ m˘
a.t con x´
uc xa˘´c c´o sˆo´ chˆa´m b´e hon
• V´ı du. 9 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c. Biˆe´n cˆ

’ 7 l`a
´
´
´
´
biˆen cˆ
o cha˘c cha˘n.
v) Biˆ
e´n cˆ
o´ khˆ
ong thˆ
e’
’’ K´ı hiˆe.u ∅.
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh khˆong xay
⊕ Nhˆ
a.n x´
et Biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ ∅ khˆong bao h`am mˆo.t biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao, nghi˜a l`a
khˆong c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo´ khˆong thˆe’.
vi) Biˆ
e´n cˆ
o´ ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’’ Ph´ep thu’’ m`a
’ ra hoa˘. c khˆong xay
’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´ep thu.
L`a biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay
’ n´o l`a c´ac biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a ph´ep thu’’ ngˆa˜u nhiˆen.
c´ac kˆe´t qua’ cua

vii) Biˆ
e´n cˆ
o´ tˆ
o’ng
’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u C = A + B, nˆe´u C xay
’
Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a tˆo’ng cua
’ ra.
ra khi v`a chi’ khi ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong hai biˆe´n cˆo´ A v`a B xay
`’
`’ tho.’ s˘
u. Nˆe´u go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi
• V´ı du. 10 Hai ngu’oi
an c`
ung ba˘´n v`ao mˆo.t con th´
´
´
´
´
´
´
´
`’ thu’ hai ba˘n tr´
ung con th´
u th`ı C = A+B
ung con th´
u v`a B l`a biˆen cˆ
o ngu’oi
thu’ nhaˆt ba˘n tr´
´

´
´
˘
l`
a biˆen cˆo con th´
u bi. ban tr´
ung.

Ch´
uy
´
´’ da.ng tˆo’ng cua
’ mˆo.t sˆo´ biˆe´n cˆo´
i) Mo.i biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen A d¯ˆe`u biˆe’u diˆe˜n d¯u’o.’c du’oi
so’ cˆa´p n`ao d¯´o. C´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p trong tˆo’ng n`ay d¯u’o.’c go.i l`a c´ac biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho
biˆe´n cˆo´ A.
’ mo.i biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p c´o thˆe’, nghi˜a l`a mo.i biˆe´n cˆo´
ii) Biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n Ω l`a tˆo’ng cua
so’ cˆa´p d¯ˆe`u thuˆa.n lo.’i cho Ω. Do d¯´o Ω c`on d¯u’o.’c go.i l`a khˆong gian c´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p.
• V´ı du. 11 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c. Ta c´o 6 biˆe´n cˆ
o´ so’ cˆ
a´p A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong
´
´
´
d¯´o Aj l`
a biˆen cˆo xu´at hiˆe.n m˘
a.t j chˆ
am j = 1, 2, . . . , 6.

´’ sˆ
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t voi
o´ chˆ
a´m cha˘˜n th`ı A c´o 3 biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i l`a
A2 , A 4 , A 6 .
Ta c´o A = A2 + A4 + A6
´’ sˆ
Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t voi
o´ chˆ
a´m chia hˆe´t cho 3 th`ı B c´o 2 biˆe´n cˆo´ thuˆa.n
lo.’i l`
a A3 , A6 .
Ta c´o B = A3 + A6
viii) Biˆ
e´n cˆ
o´ t´ıch
’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u AB, nˆe´u C xay
’ ra khi v`a
Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a t´ıch cua
’ ra.
chi’ khi ca’ A lˆa˜n B c`
ung xay
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

˜’

’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

6

`’ c`
o.t con th´
u.
• V´ı du. 12 Hai ngu’oi
ung ba˘´n v`ao mˆ
`’ thu´’ nhˆa´t ba˘´n tru’o.’t, B l`a biˆe´n cˆ
`’ thu´’ hai ba˘´n tru’o.’t th`ı
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi
o´ ngu’oi
ung.
C = AB l`
a biˆe´n cˆo´ con th´
u khˆong bi. ba˘´n tr´
ix) Biˆ
e´n cˆ
o´ hiˆ
e.u
’ biˆe´n cˆo´ A v`a biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A \ B l`a biˆe´n cˆo´ xay

’ ra khi v`a chi’ khi A
Hiˆe.u cua
’ ra nhung
’ ra.
xay
’ B khˆong xay
˘´c
x) Biˆ
e´n cˆ
o´ xung kha
`’
Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c nˆe´u ch´
ung khˆong d¯ˆo`ng thoi
’
’ ra trong mˆo.t ph´ep thu.
xay
’
• V´ı du. 13 Tung mˆ
o.t d¯ˆo`ng tiˆe`n.
’’ th`ı AB = ∅.
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t xˆa´p, B l`
a biˆe´n cˆ
o´ xuˆ
a´t hiˆe.n m˘
a.t ngua
xi) Biˆ
e´n cˆ
o´ d
¯ˆ

o´i lˆ
a.p
´’ biˆe´n cˆo´ A. K´ı hiˆe.u A.
’ ra biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ d¯ˆo´i lˆa.p voi
Biˆe´n cˆo´ khˆong xay
Ta c´o
A + A = Ω,

AA = ∅

⊕ Nhˆ
a.n x´
et
´’ voi
´’
Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta thˆa´y c´ac biˆe´n cˆo´ tˆo’ng, t´ıch, hiˆe.u, d¯ˆo´i lˆa.p tu’ong
’ ung
’ l´
tˆa.p ho.’p, giao, hiˆe.u, phˆa`n b`
u cua
y thuyˆe´t tˆa.p ho.’p. Do d¯´o ta c´o thˆe’ su’’ du.ng c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆa.p ho.’p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆe´n cˆo´.
Ta c´o thˆe’ d`
ung biˆe’u d¯ˆo` Venn d¯ˆe’ miˆeu ta’ c´ac biˆe´n cˆo´.
Ω

Ω

Bc cha˘´c cha˘´n
Ω

Ω

Ω

Ω
A

B

A=⇒B

AB

A+B

A

B

A,B xung kha˘´c

A

A

¯Dˆo´i lˆa.p A

Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()

lOMoARcPSD|30548700

3. X´
ac suˆ
a´t

7

ˆ´
´ SUAT
XAC

3.
3.1

ac suˆ
a´t theo lˆ
o´i cˆ
o’ d
¯iˆ
e’n
¯Di.nh nghi˜a x´

’ ra, trong d¯´o
2 ¯Di.nh nghi˜a 5 Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
o`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
’

´
´
´
´
`
’ m biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p
c´o m biˆen cˆo d¯ˆong kha’ n˘
ang thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆ
o A (A l`a tˆong cua
´’ sau:
’ biˆe´n cˆ
n`
ay). Khi d¯´o x´ac suˆa´t cua
o´ A, k´ı hiˆe.u P (A) d¯u’o.’c d¯.inh nghi˜a ba˘`ng cˆong thuc
P (A) =

`’ ho.’p thuˆ
Sˆ
o´ tru’ong
a.n lo.’i cho A
m
=
n
`’ ho.’p c´o thˆe’ xay
’ ra
Sˆ
o´ tru’ong

o´i, d¯ˆ
o`ng chˆ

a´t. T´ınh x´ac suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t
• V´ı du. 14 Gieo mˆo.t con x´
uc xa˘´c cˆan d¯ˆ
cha˘˜n.
’
Giai
Go.i Ai l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t i chˆa´m v`a A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘
a.t cha˘˜n th`ı
A = A2 + A4 + A6
’ ra trong d¯´o c´o 3
Ta thˆa´y ph´ep thu’’ c´o 6 biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A.
3
1
P (A) = =
6
2
`’ go.i d¯iˆe.n thoa.i nhung
’ sˆo´ d¯iˆe.n thoa.i cˆa`n
• V´ı du. 15 Mˆ
o.t ngu’oi
o´ cuˆo´i cua
’ la.i quˆen 2 sˆ
’
`’ d¯´o quay ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t
go.i m`a chi’ nho´’ l`a 2 sˆo´ d¯´o kh´ac nhau. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe ngu’oi

´
`
`
lˆ
an tr´
ung sˆo cˆan go.i.
’
Giai
`’ d¯´o quay ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆa`n tr´
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi
ung sˆo´ cˆa`n go.i.
’ ra (sˆo´ c´ach go.i 2 sˆo´ cuˆo´i) l`a n = A210 = 90.
Sˆo´ biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a m = 1.
Vˆa.y P (A) =

1
.
90

• V´ı du. 16 Trong hˆo.p c´o 6 bi tra˘´ng, 4 bi d¯en. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ lˆa´y tu`’ hˆo.p ra d¯u’o.’c
i) 1 viˆen bi d¯en.
ii) 2 viˆen bi tra˘´ng.
’
Giai
`’ hˆo.p ra d¯u’o.’c 1 viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu
`’ hˆo.p ra 2
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu
´

viˆen bi tra˘ng.
Ta c´o
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

8

i) P (A) =

C41
2
=
1
C10
5

C62

1
ii) P (B) = 2 =
C10
3
o˜ b`ai t´
u lo’ kho’ 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac suˆa´t sao
• V´ı du. 17 R´
ut ngˆa˜u nhiˆen tu`’ mˆo.t cˆ
cho trong 5 l´a r´
ut ra c´o
a) 3 l´a d¯o’ v`a 2 l´
a d¯en.
b) 2 con co,
’ 1 con rˆo, 2 con chuˆo`n.
’
Giai
ut ra d¯u’o.’c 3 l´a d¯o’ v`a 2 l´a d¯en.
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ r´
´
´
B l`a biˆen cˆo r´
ut ra d¯u’o.’c 2 con co,’ 1 con rˆo, 2 con chuˆo`n.
5
’ ra khi r´
Sˆo´ biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay
ut 5 l´a b`ai l`a C52
.
3
2
a) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a C26

.C26
.

P (A) =

2
3
845000
.C26
C26
=
= 0, 3251
5
C52
2598960

2
1
2
.C13
.C13
b) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho B l`a C13

P (B) =

2
1
2
79092
.C13

C13
.C13
=
= 0, 30432
5
C52
2598960

`’ T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o ´ıt
• V´ı du. 18 (B`
ai to´
an ng`
ay sinh) Mˆ
o.t nh´om gˆ
o`n n ngu’oi.
`’ c´o c`
nhˆ
a´t hai ngu’oi
ung ng`ay sinh (c`
ung ng`ay v`a c`
ung th´ang).
’
Giai
`’ v`a E l`a biˆe´n cˆo´ c´o ´ıt
’ n ngu’oi
Go.i S l`a tˆa.p ho.’p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe’ cua
`’ trong nh´om c´o c`
nhˆa´t hai ngu’oi
ung ng`ay sinh trong n˘
am.

`’ bˆa´t k`
Ta c´o E l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o hai ngu’oi
y trong nh´om c´o c`
ung ng`ay sinh.
`’ ho.’p cua
’ S l`a
Sˆo´ c´ac tru’ong
n
n(S) = |365.365
{z. . . 365} = 365
n

`’ ho.’p thuˆa.n lo.’i cho E l`a
Sˆo´ tru’ong
n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
[365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)!
=
(365 − n)!
365!
= (365−n)!
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

3. X´
ac suˆ
a´t

9

V`ı c´ac biˆen cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang nˆen
365!

365!
n(E)
(365−n)!
P (E) =
=
=
n
n
n(S)
365
365 .(365 − n)!
`’ c´o c`
ung ng`ay sinh l`a
Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ ´ıt nhˆa´t c´o hai ngu’oi
P (E) = 1 − P (E) = 1 −
`’ trong nh´
So
ˆ´ ngu’oi
om
n
5
10
15
20
23

30
40
50
60
70

365!
(365−n)!
365n

=

365!
365n .(365 − n)!

`’ c´
X´
ac sua
ˆ´t c´
o ´ıt nha
ˆ´t 2 ngu’oi
o c`
ung ng`
ay sinh
P (E)
0,027
0,117
0,253
0,411
0,507

0,706
0,891
0,970
0,994
0,999

’ b`
Bang
ai to´
an ng`
ay sinh

Ch´
uy
´ ¯Di.nh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i cˆo’ d¯iˆe’n c´o mˆo.t sˆo´ ha.n chˆe´:
˜’ ha.n c´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p.
i) N´o chi’ x´et cho hˆe. huu
’ l´
’ ra.
ii) Khˆong phai
uc n`ao viˆe.c ”¯
dˆo`ng kha’ n˘
ang” c˜
ung xay

3.2

ac suˆ
a´t theo lˆ
o´i thˆ

o´ng kˆ
e
¯Di.nh nghi˜a x´

2 ¯Di.nh nghi˜a 6 Thu.’c hiˆe.n ph´ep thu’’ n lˆ
a`n. Gia’ su’’ biˆe´n cˆo´ A xuˆa´t hiˆe.n m lˆa`n. Khi
’ biˆe´n cˆ
d¯´o m d¯u’o.’c go.i l`a tˆa`n sˆo´ cua
o´ A v`a ty’ sˆ
o´ m
d¯u’o.’c go.i l`a tˆa`n suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n biˆe´n
n
’’
cˆ
o´ A trong loa.t ph´ep thu.
ang lˆen vˆo ha.n, tˆ
a`n suˆ
a´t xuˆ
a´t hiˆe.n biˆe´n cˆo´ A dˆa`n vˆe` mˆo.t sˆo´ x´ac
Cho sˆo´ ph´ep thu’’ t˘
’ biˆe´n cˆo´ A.
d¯.inh go.i l`
a x´ac suˆa´t cua
P (A) = lim

n→∞

m
n

a´p xi’ 50 viˆen tr´
ung bia. Khi
• V´ı du. 19 Mˆ
o.t xa. thu’ ba˘´n 1000 viˆen d¯a.n v`ao bia. C´o xˆ
50
’
´
´
’
d¯´o x´ac suˆat d¯ˆe xa. thu ba˘n tr´
ung bia l`a 1000 = 5%.
´’ kha’ n˘
`’
ang xuˆ
a´t hiˆe.n m˘
a.t sˆ
a´p khi tung mˆo.t d¯ˆo`ng tiˆe`n, ngu’oi
• V´ı du. 20 ¯Dˆe’ nghiˆen cuu
´’ d¯ˆay:
’ du’oi
ta tiˆe´n h`anh tung d¯ˆo`ng tiˆe`n nhiˆe`u lˆ
a`n v`a thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho o’’ bang
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong

’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

10

`’ l`am Sˆo´ lˆa`n Sˆo´ lˆa`n d¯u’o.’c Tˆa`n suˆa´t
Ngu’oi
th´ı nghiˆe.m tung
m˘
a.t sˆa´p
f (A)
Buyffon
4040
2.048
0,5069
Pearson
12.000
6.019
0,5016
Pearson
24.000
12.012
0,5005

3.3

ac suˆ
a´t theo quan d
¯iˆ
e’m h`ınh ho.c
¯Di.nh nghi˜a x´

2 ¯Di.nh nghi˜a 7 X´et mˆo.t ph´ep thu’’ c´o khˆong gian c´ac biˆe´n cˆ
o´ so’ cˆa´p Ω d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n
’’ miˆe`n h`ınh ho.c Ω c´o d¯ˆo. d¯o (¯
˜’ ha.n kh´ac 0, biˆe´n cˆo´ A
boi
dˆo. d`ai, diˆe.n t´ıch, thˆe’ t´ıch) huu
’’ miˆe`n h`ınh ho.c A. Khi d¯o´ x´ac suˆ
’’
’ biˆe´n cˆ
d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n boi
a´t cua
o´ A d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi:
’ miˆe`n A
Dˆo d¯o cua
P (A) = ¯ .
’ miˆe`n Ω
¯Dˆo. d¯o cua

a˜u nhiˆen hai d¯iˆe’m B v`a C c´o to.a d¯ˆo. tu’ong
• V´ı du. 21 Trˆen d¯oa.n tha˘’ ng OA ta gieo ngˆ
’
´
´

’
ung
at sao cho d¯ˆo. d`ai cua d¯oa.n BC b´e hon
’ d¯ˆo.
’ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`ım x´ac suˆ
’ d¯oa.n OB.
d`ai cua
’
Giai
’
Gia’ su’’ OA = l. C´ac to.a d¯ˆo. x v`a y phai
’ m˜
thoa
an c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n:
0 ≤ x ≤ l,

0 ≤ y ≤ l,

y≥x

(*)

y
I

Q

Biˆe’u diˆe˜n x v`a y lˆen hˆe. tru.c to.a d¯ˆo. vuˆong
’ m˜
g´oc. C´ac d¯iˆe’m c´o to.a d¯ˆo. thoa

an (*) thuˆo.c
’
tam gi´ac OM Q (c´o thˆe xem nhu’ biˆe´n cˆo´ cha˘´c
cha˘´n).

M

y=2x

O

x

˜’ d¯iˆe’m
’ c´o y − x < x hay y < 2x (**). Nhung
M˘
a.t kh´ac, theo yˆeu cˆa`u b`ai to´an ta phai
´
´
’ m˜
c´o to.a d¯ˆo. thoa
an (*) v`a (**) thuˆo.c miˆe`n c´o ga.ch. Miˆe`n thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo cˆa`n t`ım
l`a tam gi´ac OM I. Vˆa.y x´ac suˆa´t cˆa`n t´ınh
p=

diˆe.n t´ıch OM I
1
=
diˆe.n t´ıch OM Q
2

`’ g˘
• V´ı du. 22 (B`
ai to´
an hai ngu’oi
a
.p nhau)
`’ he.n g˘
`’
’ tu`’ 19 gio`’ d¯ˆe´n 20 gio.
Hai ngu’oi
a.p nhau o’’ mˆo.t d¯.ia d¯ıˆe’m x´ac d¯.inh v`ao khoang
`’ d¯ˆe´n (cha˘´c cha˘´n s˜
`’ gian trˆen mˆo.t c´ach d¯ˆo.c
’ thoi
Mˆ
o˜i ngu’oi
e d¯ˆe´n) d¯iˆe’m he.n trong khoang
´
´
´
`’ kia d¯ˆe´n s˜
e bo’ d¯i. T`ım x´ac suˆa´t
lˆ
a.p voi
ut, nˆeu khˆong thˆ
ay ngu’oi
’ nhau, cho`’ trong 20 ph´
`’ g˘
d¯ˆe’ hai ngu’oi

a.p nhau.

Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

3. X´
ac suˆ
a´t

11

’
Giai
`’ gian d¯ˆe´n d¯iˆe’m he.n cua
`’
’ mˆo˜i ngu’oi
Go.i x, y l`a thoi
´
´
`’ g˘
v`a A l`a biˆen cˆo hai ngu’oi
a.p nhau. R˜
o r`ang x, y
’
˜
’
l`a mˆo.t d¯iˆem ngˆau nhiˆen trong khoang [19, 20], ta
c´o 19 ≤ x ≤ 20;

19 ≤ y ≤ 20.

y
20
D

’
`’ g˘
a.p nhau th`ı
¯Dˆe hai ngu’oi
`’
|x − y| ≤ 20 ph´
ut = 13 gio.

A

19

Do d¯´o
Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20}
1
A = {(x, y) : |x − y| ≤ }
3
’ miˆe`n Ω ba˘`ng 1.
Diˆe.n t´ıch cua
’ miˆe`n A ba˘`ng 1 − 2. 12 . 32 . 32 =
Diˆe.n t´ıch cua

o

19

20

x

5
9

5/9
diˆen t´ıch A
=
= 0, 555.
Vˆa.y P (A) = .
diˆe.n t´ıch Ω
1

3.4

ac suˆ
a´t theo tiˆ
en d
¯ˆ
e`
¯Di.nh nghi˜a x´
’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n
’ Ω thoa
Gia’ su’’ Ω l`a biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n. Go.i A l`a ho. c´ac tˆa.p con cua

sau:

´’ Ω.
i) A chua
ii) Nˆe´u A, B ∈ A th`ı A, A + B, AB thuˆo.c A.
’ c´ac tiˆen d¯ˆe` i) v`a ii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l`
Ho. A thoa
a d¯a.i sˆ
o´.
’ A th`ı tˆo’ng v`a t´ıch vˆo ha.n A1 + A2 +
iii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An , . . . l`a c´ac phˆa`n tu’’ cua
. . . + An v`a A1 A2 . . . An . . . c˜
ung thuˆo.c A.
’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n i), ii), iii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l`a σ d¯a.i sˆo´.
Nˆe´u A thoa
2 ¯Di.nh nghi˜a 8 Ta go.i x´ac suˆ
a´t trˆen (Ω, A) l`
a mˆo.t h`am P sˆo´ x´ac d¯.inh trˆen A c´o gi´a
`
’ m˜
tri. trong [0,1] v`a thoa
an 3 tiˆen d¯ˆe sau:
i) P (Ω) = 1.
´’ A, B xung kha˘´c).
ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi
iii) Nˆe´u d˜
ay {An } c´o t´ınh chˆ
a´t A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v`a A1 A2 . . . An . . . = ∅ th`ı
lim P (An ) = 0.
n→∞
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()

lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

12

3.5

’ a x´
C´
ac t´ınh chˆ
a´t cu
ac suˆ
a´t

´’ mo.i biˆe´n cˆo´ A
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi
ii) P (Ω) = 1
iii) P (∅) = 0
iv) Nˆe´u A ⊂ B th`ı P (A) ≤ P (B).

v) P (A) + P (A) = 1.
vi) P (A) = P (AB) + P (AB).

ˆ. T SO
ˆ´ CONG
ˆ
´ SUAT
ˆ´
´’ T´INH XAC
MO
THUC

4.
4.1

´’ cˆ
Cˆ
ong thuc
o.ng x´
ac suˆ
a´t

´’ 1

Cˆ
ong thuc
Gia’ su’’ A v`a B l`
a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c (AB = ∅). Ta c´o
P (A + B) = P (A) + P (B)
´’ minh

Chung
’ ra, trong d¯´o c´o mA biˆe´n cˆo´
Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
ang c´o thˆe’ xay
thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A v`a mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B. Khi d¯´o sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n
lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a m = mA + mB .
Do d¯´o
P (A + B) =

mA + mB
mA mB
=
+
= P (A) + P (B)
n
n
n

2 ¯Di.nh nghi˜a 9
`’
i) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , . . . , An d¯u’o.’c go.i l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
a`y d¯u’ xung kha˘´c tung
’
`’ d¯ˆoi v`a tˆ
’ ch´
ong cua
ung l`
a biˆe´n cˆ
o´ cha˘´c cha˘´n. Ta c´o

d¯ˆoi nˆe´u ch´
ung xung kha˘´c tung
A1 + A2 + . . . + An = Ω,

Ai Aj = ∅

ii) Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆo.c lˆa.p nˆe´u su.’ tˆo`n ta.i hay khˆong tˆo`n
´
´
´
’
`
’ biˆen cˆo n`ay khˆong anh
’ hu’ong
’ biˆe´n cˆo´ kia.
ta.i cua
on ta.i hay khˆong tˆ
o`n ta.i cua
’ d¯ˆen su.’ tˆ
iii) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , . . . , An d¯u’o.’c go.i d¯ˆo.c lˆa.p to`an phˆ
a`n nˆe´u mˆo˜i biˆe´n cˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p
’
´’ t´ıch cua
’ mˆ
voi
o.t tˆo ho.’p bˆa´t k`y trong c´ac biˆe´n cˆ
o´ c`on la.i.
4 Hˆ
e. qua’ 1

`’ d¯ˆoi th`ı
i) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`
a biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c tung
P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

13

`’ d¯ˆoi th`ı
ii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`
a nh´om c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆ
a`y d¯u’ xung kha˘´c tung
n
X

P (Ai ) = 1

i=1

iii) P (A) = 1 − P (A).
´’ 2

Cˆ
ong thuc
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
´’ minh
Chung
’ ra, trong d¯´o c´o mA biˆe´n cˆo´
ang c´o thˆe’ xay
Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘
thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A, mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B v`a k biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho
biˆe´n cˆo´ AB. Khi d¯´o sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a mA + mB − k.
Do d¯´o
P (A + B) =

mA + mB − k
mA mB
k
=
+
− = P (A) + P (B) − P (AB).
n
n
n
n

4 Hˆ
e. qua’ 2

i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) =

n
X

P (Ai ) −

X
i
i=1

X

P (Ai Aj ) +

P (Ai Aj Ak ) + . . . +

i
(−1)n−1 P (A1 A2 . . . An ).
ii) Nˆe´u A1 , A2 , . . . , An l`
a c´ac biˆe´n cˆ
o´ d¯ˆo.c lˆ
a.p to`an phˆ
a`n th`ı
P (A1 + A2 + . . . + An ) = 1 − P (A1 ).P (A2 ) . . . P (An ).

’ phˆ
• V´ı du. 23 Mˆ

o.t lˆo h`ang gˆo`m 10 san
a’m, trong d¯´o c´o 2 phˆe´ phˆa’m. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen
’ phˆ
khˆong ho`an la.i tu`’ lˆo h`ang ra 6 san
a’m. T`ım x´ac suˆ
a´t d¯ˆe’ c´o khˆong qu´a 1 phˆe´ phˆa’m
’
’ phˆam d¯u’o.’c lˆa´y ra.
trong 6 san
’
Giai
Go.i

’ phˆa’m lˆa´y ra.
A l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o phˆe´ phˆa’m trong 6 san
B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u
´ng 1 phˆe´ phˆa’m.
´
´
C l`a biˆen cˆo c´o khˆong qu´a mˆo.t phˆe´ phˆa’m

th`ı A v`a B l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c v`a C = A + B.
Ta c´o
P (A) =

28
2
C86
=
=

6
C10
210
15

Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

˜’
’ vˆ
Chu’ong
’ 1. Nhung
kh´
ai niˆ
e.m co’ ban
e` x´
ac suˆ
a´t

14

P (B) =

C21 .C85
8
112
=
=

6
C10
210
15

Do d¯´o
P (C) = P (A) + P (B) =

8
2
2
+
=
15 15
3

´’ c´o 100 sinh viˆen, trong d¯´o c´o 40 sinh viˆen gioi
’ ngoa.i ngu,
˜’ 30 sinh
• V´ı du. 24 Mˆ
o.t lop
˜
’ ´ıt nhˆa´t
’ tin ho.c, 20 sinh viˆen gioi
’ ca’ ngoa.i ngu˜’ lˆ
an tin ho.c. Sinh viˆen n`ao gioi
viˆen gioi
’ ho.c k`y. Cho.n ngˆa˜u
mˆ
o.t trong hai mˆon s˜

e d¯u’o.’c thˆem d¯iˆe’m trong kˆe´t qua’ ho.c tˆa.p cua
´’ T`ım x´ac suˆ
nhiˆen mˆ
o.t sinh viˆen trong lop.
a´t d¯ˆe’ sinh viˆen d¯´o d¯u’o.’c t˘
ang d¯iˆe’m.
’
Giai
Go.i

A l`a biˆe´n cˆo´ go.i d¯u’o.’c sinh viˆen d¯u’o.’c t˘
ang d¯iˆe’m.
’ ngoa.i ngu.
˜’
N l`a biˆe´n cˆo´ go.i d¯u’o.’c sinh viˆen gioi
´
´
’ tin ho.c
T l`a biˆen cˆo go.i d¯u’o.’c sinh viˆen gioi

th`ı A = T + N .
Ta c´o
P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) =

4.2

30
40
20
50

+
−
=
= 0, 5
100 100 100
100

´’ nhˆ
X´
ac suˆ
a´t c´
od
¯iˆ
e`u kiˆ
e.n v`
a cˆ
ong thuc
an x´
ac suˆ
a´t

a) X´
ac suˆ
a´t c´
od
¯iˆ
e`u kiˆ
e.n
´’ d¯iˆe`u kiˆe.n biˆe´n cˆ
’ biˆe´n cˆ

’ ra d¯u’o.’c go.i l`a
2 ¯Di.nh nghi˜a 10 X´ac suˆa´t cua
o´ A voi
o´ B xay
’ biˆe´n cˆo´ A. K´ı hiˆe.u P (A/B).
x´ac c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua
• V´ı du. 25 Trong hˆo.p c´o 5 viˆen bi tra˘´ng, 3 viˆen bi d¯en. Lˆ
a´y lˆa`n lu’o.’t ra 2 viˆen bi
’
(khˆong ho`an la.i). T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe lˆa`n thu´’ hai lˆ
a´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng biˆe´t lˆa`n thu´’ nhˆa´t
d¯a˜ lˆ
a´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng.
’
Giai
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa`n thu´’ hai lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng
B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa`n thu´’ nhˆa´t lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng.
Ta t`ım P (A/B).
’ ra) nˆen trong ho.’p c`on 7 viˆen
Ta thˆa´y lˆa`n thu´’ nhˆa´t lˆa´y d¯u’o.’c viˆen bi tra˘´ng (B d¯a˜ xay
´
˘
bi trong d¯ ´o c´o 4 viˆen bi trang. Do d¯´o
P (A/B) =

C41
4
=
1
C7

7

Downloaded by Nguy?n Ti?n Phát ()


lOMoARcPSD|30548700

´’ t´ınh x´
4. Mˆ
o. t sˆ
o´ cˆ
ong thuc
ac suˆ
a´t

15

´’