Đề Cương Ôn Tập Học Kì 1 Môn Toán Lớp 11.Pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.53 MB, 61 trang )
TRƯỜNG THPT GIA VIỄN
---------
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I
MƠN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2023-2024
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 101 of 61.
Header Page of 61.
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC LƯỢNG GIÁC
TĨM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Góc lượng giác
Quy ước:
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó.
Chú ý
Cho hai tia Ou, Ov có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều
kí hiệu là (Ou, Ov).
Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360𝑜 .
2. Hệ thức Chasles:
Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
Sđ Ou, Ov sđ Ov, Ow sđ Ou, Ow k 360º k Z .
Nhận xét:
Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:
Sđ Ou, Ov sđ Ox, Ov – sđ Ox,Ou k 360o k Z .
3. Đơn vị đo góc và độ dài cung trịn
- Quan hệ giữa độ và rađian:
180
1
rad và 1rad
180
o
o
- Độ dài cung tròn.
Một cung của đường trịn bán kính R và có số đo rad thì có độ dài l R .
4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Hệ thức cơ bản:
1
π
sin 2α cos2 α 1 ,
1 tan 2 α
a kπ, k Z
2
cos α
2
1
kπ
1 cot 2 α
α kπ, k Z ,
tan α.cot α 1 α
, k Z
2
sin α
2
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
Góc đối nhau (α và α )
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
Góc bù nhau ( α và π α )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
Góc phụ nhau ( α và
π
α)
2
cos sin
2
cot tan
2
sin cos
2
tan cot
2
Góc hơn kém π ( α và π α )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 102 of 61.
1
Header Page of 61.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
A. TỰ LUẬN
1. Gọi M , N , P là các điểm trên đường trịn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác
7
OA, OM , OA, ON , OA, OP lần lượt bằng ; ; . Chứng minh rằng tam giác MNP là
2 6
6
tam giác đều.
5 19 159
2. Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225; 225; 1035; ;
.
;
3 2
4
3. Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:
a) k 2 (k ) ;
b) k (k ) ;
3
c) k (k ) ;
d) k (k ) .
2
4
4. Tính các giá trị lượng giác của góc trong mỗi trường hợp sau:
2
15
a) sin
với ;
b) cos với 0 ;
2
3
4
c) tan 3 với 0 ;
d) cot 2 với 0 .
5. Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong khơng gian. Từ vị trí A , vệ tinh bắt đầu chuyển động
quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km . Biết
rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h .
a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1h;3 h;5 h .
b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến
hàng đơn vị)?
B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO GĨC
Câu 1. Góc có số đo 108 đổi ra rađian là:
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
5
10
2
4
Câu 2. Nếu một cung trịn có số đo là a thì số đo radian của nó là:
180
a
A. 180 a .
B.
.
C.
.
D.
.
a
180
180a
Câu 3. Cho góc có số đo 405 , khi đổi góc này sang đơn vị rađian ta được
8
9
9
9
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
4
9
4
8
Câu 4. Đổi số đo của góc 10 rad sang đơn vị độ, phút, giây ta được
A. 5725728 .
B. 1800 .
C.
.
D.
18
5275728 .
7
Câu 5. Góc có số đo
thì góc đó có số đo là
4
A. 315o .
B. 630o .
C. 1o 45 .
D. 135o .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
Câu 1. Trên đường trịn bán kính 7 cm , lấy cung có số đo 54 . Độ dài l của cung tròn bằng
21
11
63
A.
B.
C.
D.
cm .
cm .
cm .
10
20
20
20
cm .
11
Câu 2. Trên đường trịn đường kính 8cm, tính độ dài cung trịn có số đo bằng 1,5rad .
A. 12cm.
B. 4cm.
C. 6cm.
D. 15cm.
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 103 of 61.
2
Header Page of 61.
Câu 3. Một đường trịn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung trịn có góc ở tâm bằng 30 là:
5
5
2
.
B.
.
C.
.
D. .
3
3
2
5
Câu 4. Một đường trịn có bán kính 10, độ dài cung tròn 40 trên đường tròn gần bằng
A. 7.
B. 9.
C. 11.
D. 13.
10
Câu 5. Một đường trịn có bán kính R , độ dài cung tròn
là
2
5
A. 5.
B. 5 .
C. .
D. .
5
DẠNG 3. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Cho góc thoả mãn 90 180 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. sin 0 .
B. cos 0 .
C. tan 0 .
D. cot 0
.
5
Câu 2. Cho 2
. Chọn mệnh đề đúng.
A.
2
A. tan 0 .
cos 0 .
B. cot 0 .
C. sin 0 .
3
, tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
2
B. cos x 0.
C. tan x 0.
3
thỏa
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
D.
Câu 3. Cho
A. sin x 0.
Câu 4. Cho góc
D. cot x 0.
2
A. cos 0 .
B. cot 0 .
C. sin 0 .
D. tan 0 .
2021
2023
Câu 5. Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x
4
4
A. sin x 0,cos 2 x 0 .
B. sin x 0,cos 2 x 0 .
C. sin x 0,cos 2 x 0 .
D. sin x 0,cos 2 x 0 .
Câu 6. Ở góc phần tư thứ nhất của đường trịn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả
sau đây.
A. sin 0 .
B. cos 0 .
C. tan 0 .
D. cot 0 .
Câu 7. Cho 2 5 . Kết quả đúng là:
2
A. tan 0;cot 0 .
B. tan 0;cot 0 .
C. tan 0;cot 0 .
D. tan 0;cot 0 .
Câu 8. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos cùng dấu?
A. Thứ II.
B. Thứ IV.
C. Thứ II hoặc IV.
D. Thứ I hoặc III.
Câu 9. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu cos 1 sin 2 .
A. Thứ II.
B. Thứ I hoặc II.
C. Thứ II hoặc III.
D. Thứ I hoặc IV.
Câu 10. Cho . Kết quả đúng là:
2
A. sin 0;cos 0 .
B. sin 0;cos 0 .
C. sin 0;cos 0 .
D. sin 0;cos 0 .
DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
1
Câu 1. Cho cos = ;
. Tính sin .
6
2
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 104 of 61.
3
Header Page of 61.
A. sin 35 .
6
35
5
.
C. sin .
D. sin 35 .
36
6
6
3
Câu 2. Tính sin , biết cos 5 và
2 .
2
3
1
1
2
2
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3
3
2
Câu 3. Cho cos x
x 0 thì sin x có giá trị bằng
5 2
3
3
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
5
5
5
5
1
Câu 4. Cho sin biết 00 900 . Tính cos ; tan
4
A. cos 15 ; tan 15 .
B. cos 15 ; tan 15 .
4
15
4
15
C. cos 15 ; tan 15 .
D. cos 15 ; tan 15 .
4
15
4
15
2
90o 180o , khi đó tan bằng:
Câu 5. Cho cos
5
A. 21 .
B. 21 .
C. 21 .
D. 21 .
5
2
3
5
3
Câu 6. Cho sin và . Giá trị của cos là:
5
2
4
4
4
16
A. .
B. .
C. .
D.
.
5
5
5
25
3
3
Câu 7. Cho sin và
. Khi đó giá trị của cos và tan lần lượt là
5
2
4 3
4 3
4 3
3 4
A. ; .
B. ; .
C. ; .
D. ; .
5 4
5 4
5 4
4 5
4
Câu 8. Cho cos với . Tính giá trị của biểu thức M 10sin 5 cos .
5
2
1
A. 10 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
4
1
7
Câu 9. Cho cos và
4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
2
A. sin 2 2 .
B. sin 2 2 .
3
3
2
2
C. sin .
D. sin .
3
3
1
1
Câu 10. Cho góc thỏa mãn 0 và cos . Giá trị của biểu thức P sin
bằng
2
2
cos
A. 4 3 .
B. 4 3 .
C. 1 3 .
D. 1 3 .
2
2
2
2
DẠNG 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 1. Tính L tan 200 tan 450 tan 700
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 2 .
2
5
Câu 2. Tính G cos2 cos2
... cos 2
cos 2
6
6
6
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 105 of 61.
4
B. sin
Header Page of 61.
A. 0 .
B. 1 .
0
Câu 3. Tính A sin 390 2sin11400 3cos18450
2
C. 1 1 2
2
2.
A. 1 1 3 2 2 3 .
3 3
C. 2 .
D. 3 .
B. 1 1 3 2 2 3 .
2
D. 1 1 2 3 3 2 .
2
Câu 4. Giá trị đúng của biểu thức tan 225 cot 81 .cot69 bằng:
cot 261 tan 201
A.
1
.
3
Câu 5. Giá trị cot
A.
B.
89
bằng
6
3.
1
.
3
C.
3.
C.
3
.
3
D.
3.
D. 4 .
B.
3.
II. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TĨM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Công thức cộng
𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑠𝑖𝑛 (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑡𝑎𝑛 𝑎 +𝑡𝑎𝑛 𝑏
tan(𝑎 + 𝑏) =
1 −𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑏
D.
3
.
3
𝑐𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑠𝑖𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑡𝑎𝑛 𝑎 −𝑡𝑎𝑛 𝑏
𝑡𝑎𝑛 (𝑎 − 𝑏) =
1 +𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑏
*Công thức nhân đôi:
sin 2a 2sin a cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2cos 2 a 1 1 2sin 2 a
2 tan a
1 tan 2 a
* Công thức hạ bậc:
1 co2a
1 co2a
;
cos 2 a
sin 2 a
2
2
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b cos a b cos a b
2
1
sin a sin b cos a b cos a b
2
1
sin a cos b sin a b sin a b
2
Cơng thức biến đổi tổng thành tích.
𝑢+𝑣
𝑢−𝑣
𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑢+𝑣
𝑢−𝑣
𝑐𝑜𝑠 𝑢 − 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = −2𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
2
2
𝑢+𝑣
𝑢−𝑣
𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑠𝑖𝑛 𝑣 = 2𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑢+𝑣
𝑢−𝑣
𝑠𝑖𝑛 𝑢 − 𝑠𝑖𝑛 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑖𝑛
2
2
tan 2a
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 106 of 61.
5
Header Page of 61.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
A. TỰ LUẬN
3
1. Cho cos a với 0 a . Tính sin a , cos a , tan a .
5
2
6
3
4
2
2. Cho sin a
. Tính: cos 2a,cos 4a .
5
3. Cho sin a cos a 1 . Tính: sin 2a .
1
4. Cho cos 2a với a . Tính: sin a,cos a, tan a .
3
2
1
5. Cho cos 2 x . Tính: A cos x cos x ; B sin x sin x .
4
6
6
3
3
sin x sin 2 x sin 3x
6. Rút gọn biểu thức: A
.
cos x cos 2 x cos3x
7. Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m . Một sợi cáp S khác
cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m . Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với
mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 18).
a) Tính tan ,ở đó là góc giữa hai sợi cáp trên.
b) Tìm góc (làm trịn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG
Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin a – b sin a.cos b cos a.sin b.
B. cos a – b cos a.cos b sin a.sin b.
C. sin a b sin a.cos b cos a.sin b.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
tan x tan y
A. tan x y
.
tan x tan y
tan x tan y
C. tan x y
.
1 tan x tan y
Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin a b sin a.cos b cos a.sin b .
D. cos a b cos a.cos b sin a.sin b.
C. sin a b sin a.cos b cos a.sin b .
Câu 4. Phát biểu nào sau đây đúng?
tan tan
A. tan
.
1 tan .tan
tan tan
C. tan
.
1 tan .tan
Câu 5. Biểu thức sin x cos y cos x sin y bằng
D. cos a b cos a .cos b sin a.sin b .
A. cos x y .
B. cos x y .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 107 of 61.
tan x tan y
.
1 tan x tan y
tan x tan y
D. tan x y
.
tan x tan y
B. tan x y
B. cos a b cos a .cos b sin a.sin b .
1 tan .tan
.
tan tan
1 tan .tan
D. tan
.
tan tan
B. tan
C. sin x y
D. sin y x .
6
Header Page of 61.
Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. cos(a b) cos a cos b sin a sin b .
C. sin(a b) sin a cos b cos a sin b .
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
ab
a b
A. sin a sin b 2cos
.
sin
2
2
C. sin a b sin a cos b cos a sin b .
Câu 8. Biểu thức
A.
C.
sin a b
sin a b
B. cos a b cos a cos b sin a sin b .
D. 2cos a cos b cos a b cos a b
bằng biểu thức nào sau đây?
sin a b sin a sin b
.
sin a b sin a sin b
B.
sin a b tan a tan b
.
sin a b tan a tan b
Câu 9. Cho tan 2 . Tính tan .
4
1
A. .
B. 1 .
3
Câu 10. Cho hai góc , thỏa mãn sin
giá trị đúng của cos .
16
A.
.
65
B. sin(a b) sin a cos b cos a sin b .
D. cos 2a 1 2sin 2 a .
D.
sin a b cot a cot b
.
sin a b cot a cot b
C.
2
.
3
3
và cos ,
5
2
D.
1
.
3
0 . Tính
2
18
16
.
D. .
65
65
Câu 11. Cho góc lượng giác . Xét dấu sin và tan . Chọn kết quả
2
2
đúng.
sin 0
sin 0
2
2
A.
.
B.
.
tan 0
tan 0
B.
18
.
65
5
,
13
sin a b sin a sin b
.
sin a b sin a sin b
C.
sin 0
2
D.
.
tan 0
sin 0
2
C.
.
tan 0
Câu 12. Rút gọn biểu thức: sin a –17 .cos a 13 – sin a 13 .cos a –17 , ta được:
1
1
C. .
D. .
2
2
3
12
Câu 13. Cho hai góc và thỏa mãn sin , và cos , 0 . Giá
5 2
13
2
trị của sin là
56
56
16
16
A. .
B.
.
C.
.
D. .
65
65
65
65
1
Câu 14. Tính giá trị cos biết sin , .
6
3 2
A. sin 2a .
B. cos 2a .
A. 2 2 .
3
B. 1 2 6 .
6
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 108 of 61.
C. 1 2 6 .
6
D. 1 2 6 .
6
7
Header Page of 61.
2 5
a 5 b 15
với 0 . Biết giá trị của cos
với a, b
5
2
3
10
và a, b 1 . Tính a b .
Câu 15. Cho sin
A. 4 .
B. 10 .
C. 7 .
D. 3 .
DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC
Câu 1. Đẳng thức nào không đúng với mọi x ?
1 cos 6 x
A. cos2 3x
.
B. cos 2 x 1 2sin 2 x .
2
1 cos 4 x
C. sin 2 x 2sin x cos x .
D. sin 2 2 x
.
2
Câu 2. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
2
2 tan x
A. cot 2 x cot x 1 .
B. tan 2 x
.
1 tan 2 x
2cot x
C. cos3x 4cos3 x 3cos x .
D. sin 3x 3sin x 4sin 3 x
Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. cos 2a cos2 a – sin 2 a.
B. cos 2a cos2 a sin 2 a.
C. cos 2a 2cos2 a –1.
D. cos 2a 1– 2sin 2 a.
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos 2a cos2 a sin2 a .
B. cos 2a cos2 a sin2 a .
C. cos 2a 2 cos2 a 1 .
D. cos 2a 2sin2 a 1 .
Câu 5. Cho góc lượng giác a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. cos 2a 1 2sin 2 a .
B. cos 2a cos2 a sin 2 a .
C. cos 2a 1 2cos2 a .
D. cos 2a 2cos2 a 1 .
Câu 6. Khẳng định nào dưới đây SAI?
A. 2sin 2 a 1 cos 2a .
B. cos 2a 2cos a 1 .
C. sin 2a 2sin a cos a .
D. sin a b sin a cos b sin b.cos a .
Câu 7. Chọn đáo án đúng.
A. sin 2 x 2sin x cos x .
B. sin 2 x sin x cos x .
C. sin 2 x 2cos x .
D. sin 2 x 2sin x .
4
Câu 8. Cho cos x , x ;0 . Giá trị của sin 2x là
5
2
24
24
1
1
A.
.
B. .
C. .
D. .
25
25
5
5
2
Câu 9. Cho cos , cos 2 nhận giá trị nào trong các giá trị sau
3
1
4
4
2
A. .
B. .
C. .
D. .
9
3
3
3
Câu 10. Biết cos a b cos a.cos b sin a.sin b . Với a b thì cos 2a bằng
A. cos2 a sin 2 a .
B. cos2 a sin 2 a .
C. cos2 a sin 2 a .
D. sin 2 a cos2 a .
Câu 11. Với là số thực bất kỳ, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. sin 2 2sin .cos .
B. cos 2 2cos2 1 .
C. cos 2 2sin 2 1 .
D. cos 2 sin 2 cos2 .
a b
Câu 12. Biết rằng sin18 a b 5 , với a, b, c , c 0 và , là các phân số tối giản. Giá trị
c c
c
của biểu thức S a b c là
A. S 2 .
B. S 4 .
C. S 3 .
D. S 1 .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 109 of 61.
8
Header Page of 61.
4
3
Câu 13. Cho sin 2 và
. Giá trị của sin là
5
4
2
1
A. .
B. .
C. 2 5 .
5
5
5
3
Câu 14. Cho cos ; thì sin 2 bằng
5 2
A.
24
.
25
B.
24
.
25
C.
4
.
5
D.
5
5
D.
4
.
5
Câu 15. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos3x cos x 2cos 2 x.cos x .
B. cos3x cos x 2sin 2x.sin x .
C. sin 3x sin x 2cos 2x.sin x .
D. sin 3x sin x 2sin 2x.cos x .
Câu 16. Với là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. cos 2 cos 4a 2cos 2.cos6 .
B. sin 2 sin 4a 2sin .cos3 .
C. cos 2 cos 4a 2sin 3.sin .
D. sin 2 sin 4a 2cos3.sin .
DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
1
A. cos a cos b cos a b cos a b .
B. sin a cos b sin a b cos a b .
2
2
1
1
C. sin a sin b cos a b cos a b
D. sin a cos b sin a b sin a b .
2
2
Câu 2. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
1
A. cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b .
B. cos a.cos b cos(a b) cos(a b) .
2
C. sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a
D. cos a cos b 2cos(a b).cos(a b) .
Câu 3. Công thức nào sau đây là sai?
ab
a b
ab
a b
A. cos a cos b 2cos
.
B. cos a cos b 2sin
.
.cos
.sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
C. sin a sin b 2sin
.
D. sin a sin b 2sin
.
.cos
.cos
2
2
2
2
sin 3x cos 2x sin x
Câu 4. Rút gọn biểu thức A
sin 2 x 0; 2 sin x 1 0 ta được:
cos x sin 2x cos 3x
A. A cot 6 x .
B. A cot 3x .
C. A cot 2 x .
D. A tan x tan 2 x tan 3x .
Câu 5. Rút gọn biểu thức P sin a sin a .
4
4
3
1
2
1
A. cos 2a .
B. cos 2a C. cos 2a . D. cos 2a .
2
2
3
2
Câu 6. Biến đổi biểu thức sin 1 thành tích.
A. sin 1 2sin cos .
B. sin 1 2sin cos .
2
2
2 4
2 4
C. sin 1 2sin cos .
D. sin 1 2sin cos
2
2
2 4
2 4
.
cos a 2 cos 3a cos 5a
Câu 7. Rút gọn biểu thức P
.
sin a 2 sin 3a sin 5a
A. P tan a .
B. P cot a .
C. P cot 3a
D. P tan 3a .
Câu 8. Tính giá trị biểu thức P sin 30o.cos 60o sin 60 o.cos30 o .
A. P 1 .
B. P 0 .
C. P 3
D. P 3 .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 110 of 61.
9
Header Page of 61.
2
4
6
Câu 9. Giá trị đúng của cos
bằng:
cos
cos
7
7
7
1
1
A. .
B. .
2
2
7
Câu 10. Giá trị đúng của tan tan
bằng:
24
24
A. 2 6 3 .
B. 2 6 3 .
C.
1
.
4
C. 2
1
D. .
4
3 2 .
D. 2
3 2 .
1
2sin 700 có giá trị đúng bằng:
0
2sin10
A. 1.
B. –1.
C. 2.
D. –2.
III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x).
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
2. Hàm số tuần hồn
Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số 𝑇 ≠ 0 sao cho với
mọi 𝑥 ∈ 𝐷 ta có:
i) 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷 và 𝑥 − 𝑇 ∈ 𝐷
ii) 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hồn
đó.
3. Hàm số 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝐱:
+ Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [−1; 1].
+ Là hàm số lẻ và tuần hồn với chu kì 2π.
+ Đồng biến trên mỗi khoảng:
π
π
(− + k2π; + k2π) , k ∈ ℤ
2
2
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng:
π
3π
( 2 + k2π; 2 + k2π) , k ∈ ℤ.
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình 𝑠𝑖𝑛.
4. Hàm số 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬 𝐱:
+ Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [−1; 1];
+ Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2𝜋.
+ Đồng biến trên mỗi khoảng: (−𝜋 + 𝑘2𝜋; 𝑘2𝜋) và nghịch biến trên mỗi khoảng (𝑘2𝜋; 𝜋 + 𝑘2𝜋),
𝑘 ∈ ℤ.
+ Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
5. Hàm số 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙:
𝜋
+ Có tập xác định là ℝ\ { 2 + 𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ} và tập giá trị là ℝ;
+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 𝜋;
+ Đồng biến trên mỗi khoảng:
𝜋
𝜋
(− 2 + 𝑘𝜋; 2 + 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ ℤ;
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
6. Hàm số 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙:
+ Có tập xác định là ℝ\ {𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ} và tập giá trị là ℝ;
+ Là hàm số lẻ và tuần hồn với chu kì 𝜋;
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng (𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ;
Câu 11. Biểu thức A
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 111 of 61.
10
Header Page of 61.
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
A. TỰ LUẬN
Bài 1. Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [2 ; 2 ] để:
a) Hàm số y sin x nhận giá trị bằng 1 ;
b) Hàm số y sin x nhận giá trị bằng 0 ;
c) Hàm số y cos x nhận giá trị bằng 1 ; d) Hàm số y cos x nhận giá trị bằng 0 .
3
Bài 2 . Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng ; để:
2
a) Hàm số y tan x nhận giá trị bằng 1 ; b) Hàm số y tan x nhận giá trị bằng 0 ;
c) Hàm số y cot x nhận giá trị bằng 1 ;
d) Hàm số y cot x nhận giá trị bằng 0 .
Bài 3. Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
9 7 21 23
a) y sin x trên khoảng ;
;
,
;
2 2
2
2
b) y cos x trên khoảng (20 ; 19 ),(9 ; 8 ) .
Bài 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) y sin x cos x
b) y tan x cot x
c) y sin 2 x .
B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH
Câu 1. Tập xác định của hàm số y sin x là
A. 1;1 .
B. 1;1 .
Câu 2. Tập xác định của hàm số y
\ 0.
A. D
C. 0; .
1
là
sin x
C. D \ k , k .
Câu 3. Tập xác định của hàm số y tan 2 x là
A. D \ k ∣ k .
2
4
C. D \ k 2 ∣ k .
2
1 sin x
Câu 4. Tập xác định của hàm số y
là
cos x
A. D
\ k , k
C. D
\ k 2 , k
.
A. x
2
\ k 2 , k
D. D
\ 0; .
B. D
D. D
B. D
.
Câu 5. Điều kiện xác định của hàm số y
B. D
D. D
2021 cos x
là
sin x
D. x
Câu 6. Tập xác định của hàm số y tan x là
\ k 2 , k
.
\ k , k .
2
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 112 of 61.
C. D
.
.
\ k ∣ k
2
4
\ k ∣ k
2
.
.
\ k , k .
2
\ k 2 , k .
2
B. x k , k .
k , k .
C. x 2k , k .
A. D
D.
k
,k .
2
B. D
\ k 2 , k .
2
D. D
\ k , k
.
11
Header Page of 61.
2
Câu 7. Tập xác định của hàm số y x 1 là
cos x
A. D
\ k , k .
2
k
D. D \ , k .
2
B. D
.
C. D \k , k
.
5sin x
là
cos x 3
B. D \ 3 .
Câu 8. Tập xác định D của hàm số y
A. D 3; .
Câu 9. Tập xác định của hàm số y
A. D
\ x k ; k
.
1 sin x
là
cos x
\ x k ; k .
2
Câu 10. Tập xác định của hàm số y cot x là
C. D
A.
\ k k
C. D ;3 .
.
D. D
.
B. D
\ x k 2 ; k
D. D
\ x k 2 ; k .
2
B.
.
\ k 2 k .
2
\ k k .
D. \ k 2 k .
2
DẠNG 2. TÍNH CHẴN LẺ
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y sin x.
B. y cos x.
C. y tan x.
D. y cot x.
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y sin x.
B. y cos x sin x.
C.
C. y cos x sin x.
D. y cos x sin x.
Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y sin 2 x.
B. y x cos x.
2
C. y cos x.cot x.
D. y tan x .
sin x
Câu 4. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y 2 x cos x .
C. y x 2 sin x 3 .
B. y cos3x .
cos x
D. y 3 .
x
Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y cot x là hàm số chẵn.
B. Hàm số
C. Hàm số y tan x là hàm số chẵn.
D. Hàm số
Câu 6. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số y sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số
C. Hàm số y tan x là hàm số lẻ.
D. Hàm số
Câu 7. Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số y sin x , y cos x , y cot x đều là hàm số chẵn.
B. Các hàm số y sin x , y cos x , y cot x đều là hàm số lẻ.
C. Các hàm số y sin x , y cot x , y tan x đều là hàm số chẵn.
D. Các hàm số y sin x , y cot x , y tan x đều là hàm số lẻ.
Câu 8. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn ?
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 113 of 61.
y sin x là hàm số chẵn.
y cos x là hàm số chẵn.
y cos x là hàm số lẻ.
y cot x là hàm số chẵn.
12
Header Page of 61.
A. f ( x) sin x .
B. f ( x) sin 2 x .
C. f ( x) sin x .
D. f ( x) x sin x2 .
Câu 9. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ?
A. y cos x .
B. y sin 2 x .
C. y cot 2 x .
D. y tan x .
Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
x
A. y sin 3x.
B. y tan .
C. y sin x.cos x.
D. y sin 2 x.cos x.
2
DẠNG 3. TẬP GIÁ TRỊ - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Câu 1. Tập giá trị của hàm số y sin 2 x là:
A. 2;2 .
B. 0;2 .
C. 1;1 .
D. 0;1 .
Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y sin 2 x bằng
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 1 .
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y sin x là
A. T
1; 1 .
C. T
1; 0 .
B. T (1; 1) .
D. T 0; 1 .
Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số y 3sin x trên tập xác định
là?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos x là
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
Câu 120. Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 sin x 1 3 là
A. 2 3 2 .
B. 2 3 2 .
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Phương trình sinx = a
Nếu |a| > 1 : Phương trình vơ nghiệm
C. 2 3 3 .
D. 3 .
D. 2.
D. 3 2 .
x k2
sinx = sin
(k )
x k2
- Trường hợp a không phải giá trị đặc biệt để sinα = a.
x arcsin a k2, k
Neáu 2
2 thì arcsina Khi đó pt s inx a
x arcsin a k2, k
sin a
Nếu |a| 1: Phương trình có cơng thức nghiệm
x 0 k 3600
- Trường hợp (α cho là độ) khi đó: s inx sin 0
(k )
0
0
0
x
180
k
360
f ( x) g ( x) k 2
- Tổng quát: s inf ( x) sin g ( x)
k
f ( x) g ( x) k 2
Trường hợp đặc biệt
sinx = 1 x k2 k sinx = 1 x k2 k sinx = 0 x k k
2
2
;
;
b) Phương trình cosx = a
Nếu |a| > 1 : Phương trình vơ nghiệm
Nếu |a| 1 : Phương trình có CT nghiệm là
- Trường hợp a khơng có giá trị đặc biệt để
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 114 of 61.
x k2, k
cosx = cos
x k2, k
cosα = a.
13
Header Page of 61.
0
Nếu
thì arccosa
cos a
Khi đó pt: cosx = a có nghiệm
x arccosa k2,k
x 0 k 3600
cosx cos
(k )
0
0
x k 360
- Trường hợp (α cho là độ) khi đó
0
f ( x) g ( x) k 2
(k )
f ( x) g ( x) k 2
- Tổng quát: cosf ( x) cosg ( x)
Trường hợp đặc biệt:
cosx = 1 x k2 k
;
cosx = 1 x k2 k
c) Phương trình tanx = a: Điều kiện: cosx 0 hay x
;
cosx = 0 x
+k .
2
k k
2
tanx = tan x k,k
- Tổng quát: t an f(x) = tan g(x) f(x) = g(x) + k , k
- Vậy khi tanα = a thì
- Trường hợp giá trị a khơng đặc biệt: Nếu 2
2 thì arctan a
ta n a
Khi đó
tan x a x arctan a k,k
- Trường hợp cho dạng độ PT:
d) Phương trình cotx = a:
tan x tan 0 x 0 k1800 , k
Điều kiện: sinx 0 hay x k, k .
- Nghiệm của phương trình cot α = a là
cotx = cot x k,k
- Tổng quát cot f(x) = cot g(x) f(x) = g(x) + k , k
0
- TH giá trị a khơng đặc biệt khi đó nếu
thì
cot a
Khi đó: cot x a x arccot a k,k
- TH phương trình cho dạng độ:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
A. TỰ LUẬN
1. Giải phương trình:
cot x cot 0 x 0 k1800 , k
3
;
3
2
3
x
c) cos
;
2 4 2
a) sin 2 x
e) 3tan x 3 ;
2. Giải phương trình
a) sin 2 x
arccot a
sin x ;
4
3
a) sin 2 x
;
6
2
c) sin 3x cos5x 0 ;
e) sin x 3cos x 0 ;
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 115 of 61.
b) sin 3x
1
;
4
2
d) 2cos3x 5 3 ;
g) cot x 3 3 1 cot x .
b) sin 2 x cos3x ;
3x 1
b) cos ;
2 4 2
1
d) cos 2 x ;
4
g) sin x cos x 0 .
14
Header Page of 61.
3. Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sau h (m) của mực nước
trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày 0 t 24 cho bởi công thức
t
h 3cos 1 12 (Nguồn: Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021).
6
Tìm t để độ sâu của mực nước là:
a) 15 m;
b) 9 m;
c) 10,5 m.
B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH sin x = m
Câu 1. Tất cả các nghiệm của phương trình sin x sin
x 3 k 2
A.
x k 2
3
C. x
3
k
Câu 2. Nghiệm của phương trình 2sin x 1 0 là
7
k 2 ; x
k 2 .
6
6
C. x k 2 ; x k 2 .
8
A. x
2
k , k .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 116 of 61.
k .
7
k 2 ; x
k 2 .
6
6
5
D. x k 2 ; x
k 2 .
6
6
5
x 2 k 2
B.
, k .
x 2 k 2
x 2 k 2
D.
, k .
x 2 k 2
là
x 5 k
, k, l
A.
x 4 l
5
x 5 k 2
, k, l .
C.
x l 2
5
Câu 5. Phương trình sin 2 x 0 có nghiệm là
3
C. x
k .
B. x
Câu 3. Nghiệm của phương trình sin x sin 2 là:
A. x k , k .
là
x 3 k
D.
x 2 k
3
k .
Câu 4. Họ nghiệm của phương trình sin x sin
3
x 3 k 2
B.
x 2 k 2
3
k .
x 2 k 2
A.
, k .
x 2 k 2
x 2 k
C.
, k .
x 2 k
x 5 k 2
, k, l .
B.
x 4 l 2
5
x 5 k
, k, l .
D.
x l
5
B. x
D. x
6
3
k
,k .
2
k , k
.
15
Header Page of 61.
5
Câu 6. Tập nghiệm của phương trình sin x sin
là
3
2
5
A. S k 2 ;
k 2 ; k
3
3
5
5
C. S k 2 ;
k 2 ; k .
3
3
Câu 7. Phương trình sin x sin80 có tập nghiệm là
A. S 80 k 360,100 k 360, k .
C. S 40 k 360,140 k 360, k
7
5
B. S k 2 ;
k 2 ; k .
3
3
2
5
D. S k ;
k ; k .
3
3
B. S 80 k 360, 80 k 360, k
.
D. S 80 k180,100 k180, k
Câu 8. Tập nghiệm của phương trình sin 2 x 1 là
A. S k 2 , k .
4
C. S k , k .
4
1
Câu 9. Họ nghiệm của phương trình sin x là
2
x 3 k 2
,k .
A.
x 2 k 2
3
B. S k , k
2
D. S k , k
4
A. x k 4 , k .
x
1 là
2
B. x k 2 , k .
C. x k 2 , k .
D. x
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình sin x sin 30 là
A. S 30 k 2 | k 150 k 2 | k .
C. S 30 k 360 | k
Câu 12. Phương trình sin x 3 có nghiệm là:
2
A. x
3
k 2 .
B. x
3
k .
2
k 2 , k .
B. S 30 k 2 | k
D. S 30 360 | k
.
.
.
x 6 k 2
,k .
B.
x 5 k 2
6
1
x 2 k 2
,k .
D.
x 1 k 2
2
C. x k , k .
Câu 10. Nghiệm của phương trình sin
.
150 360 | k .
x k
6
C.
.
5
x k
6
x k 2
3
D.
.
2
x k 2
3
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH cosx = m
Câu 1. Nghiệm của phương trình cos x
A. x
2
k 2 .
B. x
Câu 32. Giải phương trình cos x
3
1
là
2
k 2 .
C. x
4
k 2 .
D. x
6
k 2 .
3
2
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 117 of 61.
16
Header Page of 61.
3
k 2 k .
2
C. x k 2 k .
B. x
A. x
D. x
6
Câu 3. Nghiệm của phương trình cos x cos
x 12 k 2
A.
k, l
x 11 l 2
12
12
.
A. x k k
C. x
2
.
k k
6
3
k k
.
k 2 k
.
là
k 2 k .
12
Câu 4. Nghiệm của phương trình cos 2 x 0 là
C. x
x 12 k 2
B.
k, l .
x l 2
12
11
D. x
k 2 k .
12
B. x
.
4
D. x k
k
2
2
k .
k .
Câu 5. Phương trình cos x 3 có tập nghiệm là :
2
A. x k ; k .
B. x k ; k .
3
6
5
C. x
D. x k 2 ; k .
k 2 ; k .
6
3
1
Câu 6. Phương trình cos x có các nghiệm là
2
2
A. x
B. x k , k .
k 2 , k .
3
6
C. x k 2 , k .
D. x k 2 , k .
3
6
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A. cos x 3 .
B. sin 2 x
2.
C. cos 2 x
1.
3
Câu 8. Phương trình nào sau đây có nghiệm?
A. sin 2021x 2 0 .
D. cos 2 x 1 7 .
2
B. cos 2 x 2021 3 .
C. sin 2 x 1 0 .
D. cos 2 x 2021 1 .
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH tanx = m
Câu 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x m , m .
A. x arctan m k hoặc x arctan m k , k
C. x arctan m k 2 , k
.
.
B. x arctan m k , k
D. x arctan m k , k
.
.
Câu 2. Phương trình tan x 3 có tập nghiệm là
A. k 2 , k .
B. .
C. k , k .
D. k , k .
3
3
6
Câu 3. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình tan 2 x 1 trên đường tròn lượng giác là
A. 6 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 4 .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 118 of 61.
17
Header Page of 61.
Câu 4. Nghiệm của phương trình tan x 1 1 là
A. x 1 k k
C. x k k
.
B. x 1
.
D. x 1
Câu 5. Nghiệm của phương trình tan 3x tan x là
k
A. x
B. x k , k .
, k .
2
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH cotx = m
Câu 1. Giải phương trình co t x 3.
A. x .
C. x arccot 3 k k
.
4
4
k k
.
k.180 k
.
k
, k .
6
C. x k 2 , k . D. x
B. x 3 k k
D.
.
x arccot 3 k 2 k .
Câu 2. Nghiệm của phương trình cot x 2 1 là:
A. x 2
4
C. x 2
k 2 , k .
k , k .
4
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình cot x 3
5
A.
k ; k .
6
C. k ; k .
3
Câu 4. Giải phương trình cot 3x 1 3
A. x
4
4
4
k , k .
k , k .
B. k ; k
6
D. k 2 ; k
6
.
.
B. x
2x
3.
3
k ( k ) .
2k
(k ) .
4
3
3k
D. x
(k ) .
2
2
B. x
k 3
(k ) .
4
2
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào vơ nghiệm?
C. x
D. x 2
5 k
,k .
8
3
1 5 k
D. x
,k .
3 18 3
1
A. x k , k .
3 6
1 k
C. x
,k .
3 18 3
Câu 5. Giải phương trình cot
B. x 2
A. tan x
99 .
C. cot 2018x
B. cos 2 x
2017 .
D. sin 2 x
2
3
.
4
2
.
3
Câu 2. Phương trình sin x cos x có số nghiệm thuộc đoạn ; là:
A. 3
B. 5
C. 2
x
x
Câu 3. Giải phương trình 2cos 1 sin 2 0
2
2
2
A. x
B. x k 2 , k
k 2 , k
3
3
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 119 of 61.
D. 4
18
Header Page of 61.
2
C. x k 4 , k
D. x
k 4 , k
3
3
Câu 4. Phương trình 8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x 2 có nghiệm là
x 32 k 4
x 16 k 8
A.
B.
k .
k .
5
3
x
x
k
k
32
4
16
8
x 8 k 8
x 32 k 4
C.
D.
k .
k .
x 3 k
x 3 k
8
8
32
4
Câu 5. Tìm số nghiệm của phương trình sin cos 2 x 0 trên 0; 2 .
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 6. Trong khoảng 0; , phương trình cos 4 x sin x 0 có tập nghiệm là S . Hãy xác định S .
2 3 7
3
A. S ; ; ; .
B. S ; .
3 3 10 10
6 10
7
5 3 7
C. S ; ; .
D. S ; ; ; .
6 10 10
6 6 10 10
Câu 7. Phương trình sin 2 x cos x có nghiệm là
k
k
x 6 3
x 6 3
A.
B.
k .
k .
x k 2
x k 2
3
2
k 2
x 6 k 2
x 6 3
C.
D.
k .
k .
x k 2
x k 2
2
2
Câu 8. Phương trình sin x cos x có bao nhiêu nghiệm x 0;5 ?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x cos x là
A. x k ; x k .
B. x k ; x k .
2
8
2
4
C. x k 2 ; x k 2 .
D. x k ; x k .
2
4
Câu 10. Phương trình sin 2 x cos x 0 có tổng các nghiệm trong khoảng 0; 2 bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 6 .
CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
I. DÃY S
TểM TT Lí THUYT C BN:
Xét tính đơn điệu của dÃy số
Ph-ơng pháp chung:
* Cách 1: Thực hiện theo các b-íc:
+ LËp hiƯu H = un+1 – un
+ Khi ®ã: NÕu H > 0 n N* th× d·y sè (un) tăng. Nếu H < 0 n N* thì dÃy số (un) giảm
* Cách 2: Nếu un > 0 n N*
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 120 of 61.
19
Header Page of 61.
u
+ LËp tØ sè P = n 1 , từ đó so sánh P với 1.
un
+ Khi ®ã: NÕu P > 1 n N* th× d·y số (un) tăng. Nếu P < 1 n N* thì dÃy số (un) giảm
3. Xét tính bị chặn của một dÃy số (un)
Ph-ơng pháp chung: Sử dụng định nghĩa
(un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*.
(un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*.
(un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*.
Chú ý: + Mọi dÃy số giảm luôn bị chặn trên bởi u1
+ Mọi dÃy số tăng luôn bị chặn d-ới bởi u1
BI TP RẩN LUYN:
A. T LUN
1. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau:
(1) n
2n
1
a) un 2n 1
b) un
;
c) un
d) un 1 .
2n 1
n
n
2. Gọi un là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1 . Dự đốn cơng thức của số hạng tổng quát cho dãy
n
2
số un . Gọi vn là tổng diện tích của các hình tơ màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ơ
vng nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đốn cơng thức của số hạng tổng quát cho dãy số
vn .
3. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số un , biết:
n
3n
n3
b. un n
c. un 1 2n 1 .
2 .n !
n2
4. Trong các dãy số un được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn
a. un
a. un n2 2 .
b. un 2n 1 ;
1
.
n n
là dãy số tăng khi và chỉ khi
c. un
5. Cho dãy số thực dương un . Chứng minh rằng dãy số un
2
un 1
1 với mọi n * .
un
6. Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu
đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân
hàng là 0,5% một tháng. Gọi Pn (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.
a. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c. Dự đốn cơng thức của Pn tính theo n .
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 121 of 61.
20
Header Page of 61.
B. TRẮC NGHIỆM
D1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QT
Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
n
A. un
B. un 10n 1 .
C. un 9n
D. un 9n
n 1
1 3 2 5
Câu 2. Cho dãy số , , , ,... . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho?
2 5 3 7
n
n
n 1
A. un
B. un n n * . C. un
D.
n * .
n * .
2
n 1
n3
2n
un
n * .
2n 1
Câu 3. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un 5(n 1) .
B. un 5n .
C. un 5 n .
D. un 5.n 1 .
Câu 4. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un 7n 7 .
B. un 7.n .
C. un 7.n 1 .
D. un : Không viết được dưới dạng cơng
thức.
Câu 5. Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A. un
n 1
.
n
B. un
n
.
n 1
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
C. un
n 1
.
n
D.
n2 n .
n 1
Câu 6. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A.
.
B.
.
un
C.
.
D. un 1n1 .
u1 1
Câu 7. Cho dãy số un xác định bởi
n 1 . Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy
un 1 3un
số trên.
A. un 3n .
B. un 3n1 .
C. un 3n1 2 .
D. un 3n 2 .
Câu 8. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát của dãy số
này có dạng?
1
1
A. un 0.00...01 .
B. un 0.00...01 .
C. un n 1 .
D. un n 1 .
n sè 0
n 1 sè 0
10
10
u1 1
Câu 9. Cho dãy số un xác định bởi:
n 1 . Xác định công thức của số hạng tổng
un 1 un 2
quát.
A. un 2n 1 .
B. un 3n 2 .
C. un 4n 3 .
D.
un 8n 7 .
1 1 1 1 1
Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 3 3 3 3
1 1
1
1
1
A. un . n 1
B. un n 1 .
C. un n .
D. un n 1
3 3
3
3
3
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
2n 2 1
Câu 1. Cho dãy số un , biết un
. Tìm số hạng u5 .
n2 3
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 122 of 61.
21
Header Page of 61.
1
17
7
A. u5 .
B. u5 .
C. u5 .
4
12
4
n
Câu 2. Cho dãy số un , biết un
1 .2n. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. u1
2.
B. u2
Câu 3. Cho dãy số un , biết un
A. u3
u3
8
.
3
B. u3
4.
n
1 .
C. u3
D. u5
6.
D. u4
2.
D.
71
.
39
8.
2n Tìm số hạng
u3 .
.
n
2.
C. u3
8
.
3
n
. Chọn đáp án đúng.
2n
1
1
1
1
A. u4 .
B. u5 .
C. u5 .
D. u3 .
4
16
32
8
n
Câu 5. Cho dãy số un , biết un n( 1)n sin( ) . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:
2
A. 0.
B. 9.
C. 1.
D. 9.
1
Câu 6. Cho dãy số un , biết un
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số
n1
nào dưới đây?
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
A. ; ; .
B. 1; ; .
C. ; ; .
D. 1; ; .
2 3 4
2 3
2 4 6
3 5
2n 1
Câu 7. Cho dãy số un , biết un
. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
n2
3
7
3
11
5
7
3
11
A. u1 1, u2 , u3 , u4 , u5 .
B. u1 1, u2 , u3 , u4 , u5
4
5
2
7
4
5
2
7
.
5
8
3
11
5
7
7
11
C. u1 1, u2 , u3 , u4 , u5
D. u1 1, u2 , u3 , u4 , u5
4
5
2
7
4
5
2
3
.
n
Câu 8. Cho dãy số un , biết un n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
3 1
1 1 3
1 1 1
1 1 1
1 2 3
A. ; ; .
B. ; ; .
C. ; ; .
D. ; ; .
2 4 26
2 4 16
2 4 8
2 3 4
8
n 1
Câu 9. Cho dãy số un , biết un
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
2n 1
15
A. 8.
B. 6.
C. 5.
D. 7.
2n 5
7
Câu 10. Cho dãy số un , biết un
là số hạng thứ mấy của dãy số?
. Số
5n 4
12
A. 6.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 1. Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng?
A. 1;1;1;1;... .
B. 1;3;5;7;... .
C. 2;4;6;8;... .
D.
1 3
;1; ;2;...
2 2
Câu 2. Cho dãy số (un ) biết un 5n 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 4. Cho dãy số un , biết un
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng, không giảm
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 123 of 61.
B. Dãy số giảm
D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
22
Header Page of 61.
Câu 3. Cho dãy số (un ) biết un
1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3n 2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
10
Câu 4. Cho dãy số (un ) biết un n . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
2
Câu 5. Cho dãy số (un ) biết un 2n 3n 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
n
2
Câu 6. Cho dãy số (un ) biết un 1 n 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số là dãy hữu hạn
2
Câu 7. Cho dãy số (un ) biết un n 400n . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Mọi số hạng đều âm
Câu 8. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?
A. un
1
.
3n
B. un
1
.
2n 1
C. un
n 1
.
3n 2
D.
4n 2
.
n3
Câu 9. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm?
un
n
A. un 4 .
3
C. un 3n.
B. un 1 5n 1 .
n
D. un n 4.
Câu 10. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không
giảm?
1
A. un n .
B. un 5n 3n.
n
C. un 3n.
D. un 3n . n2 1
II. CẤP SỐ CỘNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
*
(1)
Nếu dãy số (u ) là cấp số cộng với công sai d, ta có cơng thức truy hồi un1 un d , n
n
Cấp số cộng (un ) biết u1 và cơng sai d ta có số hạng tổng qt: un u1 (n 1).d , n 2 (2)
uk 1 uk 1
, k 2 (3)
2
n(u1 un )
(4)
Cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+un Khi đó: Sn
2
n(n 1)
d (4' )
Chú ý: Sn có thể tính theo công thức. Sn nu1
2
Mỗi số hạng của cấp số cộng trừ số hạng đầu và số hạng cuối uk
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
A. TỰ LUẬN
Bài 1.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?
1 5 11 7
a) 10, 2, 14, 26, 38 ;
b) , , 2, , ;
2 4
4 2
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 124 of 61.
23
Header Page of 61.
c) 1, 2, 3, 4, 5 ;
d) 1, 4,7,10,13 .
Bài 2.
Trong các dãy số un với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp
Bài 3.
số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d .
3n 7
a) un 3 2n ;
b) un
c) un 3n .
5
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 , công sai d 5 .
Bài 4.
a) Viết công thức của số hạng tổng quát un .
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?
Cho cấp số cộng un có u1 4, u2 1 . Tính u10 .
Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi
xn 75 5 n 1
cơng thức:
a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
b) Dãy số xn có là một cấp số cộng khơng? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ
phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?
Bài 6.
Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương
án trả lương nhử sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm
tiền lương được tăng 18 triệu.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền
lường được tăng 1,8 triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. 1; 2; 4; 6; 8 .
B. 1; 3; 6; 9; 12.
C. 1; 3; 7; 11; 15.
D. 1; 3; 5; 7; 9 .
Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?
1 3 5 7 9
A. ; ; ; ; .
B. 1;1;1;1;1 .
2 2 2 2 2
C. 8; 6; 4; 2;0 .
D. 3;1; 1; 2; 4 .
Câu 3. Cho cấp số cộng un với un 5 2n . Tìm cơng sai của cấp số cộng
Bài 5.
A. d 3 .
B. d 2 .
C. d 1 .
Câu 4. Trong các dãy số có cơng thức tổng qt sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un 2021n .
B. un 2n 2021 .
2
C. un
.
D. un n2 2 .
n 2021
Câu 5. Trong các dãy số sau, dãy nào là một cấp số cộng?
A. 1; 3; 6; 9; 12 .
B. 1; 3; 7; 11; 15 .
C. 1; 3; 5; 7; 9 .
D. 1; 2; 4; 6; 8 .
Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un 3n .
B. un 3
n 1
.
C. un 3n 1 .
D. d 2 .
D. un 2n1 .
Câu 7. Trong các dãy số un sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
u1 3
A.
.
un 1 2un 1
u1 1
B.
.
un 1 un 2
tai lieu, luan van, khoa luan, tieu luan 125 of 61.
u1 1
C.
.
3
un 1 un 1
u1 1
D.
.
un 1 un n
24
