Đề ôn luyện kỳ hè năm 2014

ĐỀ 1
Câu1(5điểm)
a)Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
4 3 2
3 3x x x ax b− + + +
chia hết cho đa
thức
2
( ) 3 4B x x x= − +
b)Cho đa thức
( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + +
. Tìm số dư trong phép chia đa thức
Q

cho đa thức
2
12 32x x+ +
.
Câu2 (2điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Với
;a b
là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2 3
M

xy x y
= +
+
.
với
;x y
dương và
1x y
+ =
.
Câu 3 (6 điểm)
Giải phương trình : a)
18
1
4213
1
3011
1
209
1
222
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
b)
1 2 2 3 3 4x x x− − − + − =
Câu 4 (7điểm)

Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 60
0
quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng
minh :
a) BD.CE =
4
2
BC
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
ĐỀ 2:
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải phương trình:
a, x
3
+ 2x
2
+ 2x + 1 = 0
b, ( x
2
+ 3x +2)( x
2
+ 11x + 30) – 60 = 0
Câu 2. ( 3 điểm ) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
ĐỀ ÔN TẬP HÈ

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Câu 3 ( 5 điểm )
1. Tìm hằng số a để :
x
3
+ y
3
+ z
3
+ axyz chia hết cho x + y + z với mọi x, y, z є Q.
2. Biết đa thức f(x) chia cho x - 2013 thì dư 2012, chia cho x – 2014 thì dư 2013 và chia cho (x - 2013)
(x – 2014) thì được thương là x
2
- 1 và còn dư .
Tìm dư của phép chia f(x) cho (x - 2013)(x – 2014)
Câu 4 ( 2 điểm )
Tìm x, y thỏa mãn . Sao cho tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 ( 7 điểm )
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng
AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng: CM.DN = a
2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng:
c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
ĐỀ 3:
Câu 1 ( 6 điểm )
1. Giải các phương trình:
a, (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
b,

18
1
4213
1
3011
1
209
1
222
=
++
+
++
+
++
xxxxxx
2. Giải bất phương trình:
1
1
51
≥
−
−
x
x

Câu 2 ( 5 điểm )
1. Tìm dư của phép chia đa thức x
27
+ x

9
+ x
3
+ x cho đa thức x
2
- 1
2. Cho đa thức P(x) = x
2
+ bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x
4
+
6x
2
+ 25 và 3x
4
+ 4x
2
+ 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Câu 3 ( 2 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=
cba
111
++
biết a, b, c lớn hơn 0 và a + b + c = 1
Câu 4 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng
'CC
'HC
'BB

'HB
'AA
'HA
++
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng:
4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2
≥
++
++
.
ĐỀ 4:
Câu 1 ( 6 điểm )
2. Giải phương trình:
a,
2
3 2 1 0x x x
− + + − =
b,
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −
+ + + =
2. Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có

(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
≥
(ax + by)
2
Câu 2 ( 5 điểm )
1. Chứng minh rằng: x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho x
2
+ x + 1 với mọi số tự
nhiên m,n.
2. tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
4 3
3x x ax b− + +
chia hết cho đa
thức
2
( ) 3 4B x x x= − +
Câu 3 ( 2 điểm )
a)Chứng minh bất đẳng thức :

2≥+
x
y
y
x
(với x và y cùng dấu)
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
2 2
3 5
x y x y
y x y x
 
+ − + +
 ÷
 
(với
x 0, y 0≠ ≠
)
Câu 4 ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC vng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng
vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và
·
·
=EAD ECB
b) Cho
·
0
120BMC =

và
2
36
AED
S cm=
. Tính S
EBC
?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng
đổi.
d) Kẻ
DH BC⊥
( )
H BC∈
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
CQ PD⊥
.
ĐỀ 5 :
Bài 1: (6 điểm)
a) Giải phương trình: y
2
– 2y + 3 =
42
6
2
++ xx
b) Giải bất phương trình:
0
3011
1

209
1
127
1
65
1
2222
≥
+−
+
+−
+
+−
+
+− xxxxxxxx
Bài 2: (5 điểm)
2.1) Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích ra
các thừa số bậc nhất
2.2) Cho đa thức: P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3

+ cx
2
+ dx + e
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25. Tính P(6), P(7)?
Bài 3: (2 điểm)
Cho a, b, c ∈ [0; 1] và a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2

Bài 4: (7 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H,
K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
a) Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: ∆CHK ∆BCA
c) Chứng minh: AC
2
= AB. AH + AD.AK
ĐỀ 6
Câu 1(6điểm)
1. Giải phương trình sau:
a.
2 2 2 2 2 2
(2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012)x x x x x x x x+ − + − − = + − − −
b.
431 =++− xx
2. Chứng minh bất đẳng thức sau:
x

2
+ y
2
+ z
2
≥
xy + xz + yz với mọi x , y ,z
Câu 2 (5điểm)
1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho
2x
+
dư 10, f(x) chia cho
2x
−
dư 24, f(x) chia
cho
2
4x −
được thương là
5x−
và còn dư.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
x
2
– xy = 6x – 5y – 8
Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = (1 +
1
a
)

2
+ ( 1 +
1
b
)
2

Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH
(H
∈
BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt
AC tại E .
1. Chứng minh rằng
∆
BEC đồng dạng
∆
ADC .Tính độ dài đoạn BE theo
m = AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng
∆
BHM đồng dạng
∆
BEC .
Tính số đo của góc AHM.
3. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh :
GB HD
BC AH HC
=
+
ĐỀ 7:

Câu 1 : (6 điểm)
1) Giải bất phương trình :
0935
23
>−++ xxx
2) Giải phương trình
121 =−+− xx
Câu 2 : (5 điểm)
1) Tìm đa thức dư khi chia x
6
cho
1
2
−− xx
2) Cho đa thức P(x) =
dcxbxaxx ++++
234
Biết P
(1)
= 10 , P
(2)
= 20 , P
(3)
= 30. Tính P
(12)
+ P
(-8)
Câu 3 : (3 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh :

4
1
111
≤
+
+
+
+
+ b
ca
a
bc
c
ab
Câu 4 : (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao
cho CE = À. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N.
a) Chứng minh : CM . DN = a
2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng
NKM
ˆ
= 90
0
.
c) Các điểm E và F có vị trí thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất.
ĐỀ 8:
Câu 1: Tìm x(6đ)
a)x
4

+ 2014x
2
+ 2013x + 2014 =0.
b)
2x−
= 4x + 18
Câu 2:(5đ)
Cho P(x) = x
4
– 3x
3
+ 5x
2
– 9x +6
a)Cho x
∈
N
*
chứng minh rằng P(x)
M
6
b)Giải phương trình P(x) = 0
Câu 3(2đ) Cho
2,,1 ≤≤ cba
thỏa mãn a +b +c
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức A = a
2
+ b
2
+c

2
Câu 4(7đ) Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng
vuông góc với AB.Lấy điểm C trên Ax,điểm D trên tia By sao cho
·
0
90COD =
.
a)Chứng minh
ACO BDO
∆ ∆
:
.
b)Chứng minh CD = AC + BD.
c)Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O đến CD .Xác định vị trí của M để CD nhỏ nhất .
ĐỀ 9:
Bài 1: (3.5đ) Tìm x biết:
a)
2544 =+− x
2
x
b)
4
1008
2
1993
21
1997
17
=
+

+
−
+
− xxx
c)
0322.124 =+−
xx
Bài 2: (3đ)Xác định đa thức f(x) thoả mãn khi chia cho x-1 thì dư 4; khi chia cho x+2 thi dư 1; khi chia cho
(x-1)(x+2) thì được thương là 5x
2
và còn dư.
Bài 3: (3.5)cho x,y,z đôi một khác nhau và
0
111
=++
zyx
Tính giá trị của biểu thức A =
xyz
xy
xzy
xz
yzx
yz
222
222
+
+
+
+
+

Bài 4: (3đ)Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( y – 2 ) x
2
+ (y
2
– 6y + 8) x = y
2
– 5y + 62
Bài 5: (4đ)Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
a) Chứng minh tam giác AB’C’ đồng dạng với tam giác ABC.
b) Tính tổng
'
'
'
'
A'
'
CC
HC
BB
HB
A
HA
++
c) AI là phân giác của góc BAC ; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB, chứng minh
rằng : AN.BI.CM= BN.IC.AM
d) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
( )
222
2

''A' CCBBA
CABCAB
++
++
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 6 (3đ) Cho x,y,z là các số dương thoả mãn :
zxyzxyxyz ++≥
Chứng minh rằng :
( )
zyxxyz ++≥ 3
.

ĐỀ 10:
Câu I. Giải phương trình
1.
- =
2. 2x(8x -1)
2
(4x -1) = 9
Câu II. Giải bất phương trình
|x
2
– 1| > x + 1.
Câu III.
1. Tìm số dư trong phép chia đa thức (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2014 cho đa thức
x
2
+10x +21.
2. Tì m đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho (x – 3) thì dư 7, f(x) chia cho
(x – 2) thì dư 5, f(x) chia cho (x

2
- 5x + 6) thì được thương là 3x và còn dư.
Câu IV. Tìm GTNN của biểu thức:
M = (x ≠ -1)
Câu V. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H €BC). Trên tia HC
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chng minh rng hai tam giỏc BEC v ADC ng dng. Tớnh di on thng BE
theo m = AB.
2. Gi M l trung im ca on BE. Chng minh hai tam giỏc BHM v BEC ng
dng. Tớnh s o ca gúc AHM/
3. Tia AM ct BC ti G. Chng minh :
11 :
Cõu 1: (6)
a) Tỡm x,y,z tho món phng trỡnh:
9x
2
+ y
2
+ 2z
2
18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Gii phng trỡnh :
18
1
4213
1
3011
1
209
1

222
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
Cõu 2: (5)
Cho biu thc
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
+

+ +
ữ
+ +

a) Rỳt gn P
b) Tỡmh giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr nguyờn
Cõu 3: (2)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2
2010x 2680
A

x 1
+
=
+
.
Cõu 4: (7)
Cho hỡnh vuụng ABCD. M l mt im trờn ng chộo BD. K ME v MF vuụng gúc vi
AB v AD.
a) Chng minh hai on thng DE v CF bng nhau v vuụng gúc vi nhau.
b) Chng minh ba ng thng DE, BF v CM ng quy.
c) Xỏc nh v trớ ca im M t giỏc AEMF cú din tớch ln nht.
12
Câu 1: (6 điểm): Giải các phơng trình sau:
a.
2 2 3 2
7 8 37 9
1 2 1 1
x
x x x x x x

+ =
+ +
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 14

2000 2001 2001 2002 2013 2014 15x x x x x x
+ + + =
+ + + + + +
c. x

2
(x+4,5) = 13,5
Câu 2: (5điểm)
a. Tìm phần d khi chia đa thức f(x) cho đa thức x
2
- x
Biết rằng khi chia f(x) cho x; cho x-1 thì các số d lần lợt là 1 và 2.
b. Xác định a, b để đa thức f(x) = 2x
3
+ax + b chi cho x+ 1 d -6 chia cho x-2 d 21.
Câu 3: (2 điểm). Cho a, b, c>0 và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
1 1 1
a b c
+ +
Câu 4 (7 điểm):
1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O kẻ đờng thẳng song
song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J chứng minh rằng:
a.
1 1 1
OI AB CD
= +
b.
2 1 1
IJ AB CD
= +
2. Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON sao cho M

AB, O

BC và N

AC. Biết S
MOB
= a
2
;
S
NOC
=b
2
; Tính diện tích hình bình hành AMON.
13
Cõu 1 ( 4 im )
3. Gii phng trỡnh:
a, 2x
2
+ 11x +12 =0
b, 6x
4
- 5x
3
- 38x
2
- 5x + 6 = 0
Cõu 2 (2im )
. Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc. Chng minh rng :
a
2
+ b

2
+ c
2
< 2( ab + bc + ca)
Cõu 3 (5im )
1. Tỡm cỏc hng s a, b a thc A (x) chia ht cho a thc B (x) :
A (x) = 2x
3
+7x
2
+ ax + b ; B (x)= x
2
+ x 1 vi mi x Q.
2. Tỡm s d trong phộp chia ca biu thc
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x
+ + + + +
cho a
thc
2
10 21x x
+ +
.
Cõu 4 ( 2 im )
Cho x, y tha món : x
2
+ y
2
= 1.
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : A = x

6
+ y
6
Cõu 5 ( 7 im )
Cho tam giỏc ABC cõn ti A . v M l trung im ca BC . Ly cỏc im D v E
theo th t thuc cỏc cnh AB , AC sao cho = . Chng minh rng:
a, BDM ng dng vi CME
b, BD . CE khụng i.
c, DM l phõn giỏc ca
14:
Bi 1: (6)
a). Gii phng trỡnh
|x 4| + 3x = 5
b) Gii bt phng trỡnh v biu din tp nghim trờn trc s
5
23
3
2 xx
<

Bi 2 (5) Cho a thc
F(x) = 4x
2
6x + m
a. Tỡm phn d ca phộp chia f(x) cho x 3
b. Tỡm m a thc f(x) chia ht cho a thc x-3
Bi 3 (2): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
4
143
2

2
+
+
=
x
x
A
Bi 4 (7): Cho

ABC vuụng ti A. ng cao AH. Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng
BH, AH.
CMR:
a. Tam giỏc ABH v Tam giỏc CAH ng dng
b.
ABP
ng dng
CAQ
c. AP

CQ
15
Câ u 1 : (6 điểm)
a) Giải phơng trình :
18
1
4213
1
3011
1
209

1
222
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b
acb
a
Câu 2 : (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng
của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm số nguyên n dể n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
Cõu 3 . (3 im )

a. Cho 3 s dng a, b, c cú tng bng 1. Chng minh rng:
1 1 1
9
a b c
+ +
b. Cho a, b dơng và a
2000
+ b
2000
= a
2001
+ b
2001
= a
2002
+ b
2002

Tinh: a
2011
+ b
2011
Bài 4 : ( 6 im )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đờng thẳng
vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng :
a ) OA.OB = OC.OH
b ) Góc OHA có số đo không đổi
c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
16
Câu 1( 3 im)

Giải phơng trình sau:
6 x 1
x 3 x
1 .
3 2
2 4
x 3
2 2


+


ữ

=

Câu 2: ( 3 điểm )
Chứng minh đẳng thức: x
2
+y
2
+1 ≥ x.y + x + y ( với mọi x ;y)
C©u 3( 5 điểm)
a) T×m sè d trong phÐp chia cđa biĨu thøc
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x
+ + + + +
cho ®a thøc
2

10 21x x
+ +
.
b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
4 3
3x x ax b− + +
chia hết cho đa thøc
2
( ) 3 4B x x x= − +
Câu 4: ( 2 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
9
1227
2
+
−
x
x
Câu 5 : (7điểm).
Cho Tam giác ABC vng cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vng góc
với AB, kẻ MF vng góc với AC ( E
∈
AB ; F
∈
AC )
a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB
2

b. Chứng minh chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí của M.
c. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.

ĐỀ 17
Câu 1. (3,0 điểm)Giải phương trình .
=
Câu 2. (3,0 điểm) giải bất phương trình sau :

Câu 3. (5,0 điểm)
a)Tìm những giá trị ngun của x để giá trị của biểu thức :
x
3
– 3x
2
– 3x -1 chia hết cho giá trị của biểu thức x
2
+ x + 1
b) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n sao cho 2
m
– 2
n
= 448
Câu 4. (7,0 điểm)
Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF.
Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC =
2EF.
3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
= +
AD AM AN

.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho
, ,a b c
l ba s dng tho món
1abc
=
. Chng minh rng :

3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
.
18 :
Bi 1: (6 im)
a) Gii phng trỡnh: y
2
2y + 3 =
42
6
2
++ xx
b) Tỡm cỏc s nguyờn a v b a thc A(x) =
4 3 2
3 3x x x ax b + + +
chia ht cho a
thc
2

( ) 3 4B x x x= +
Bi 2: (4im)
a) Cho các số dơng a, b, c và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
1 1 1
a b c
+ +
b) Gii phng trỡnh:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23

+ + + =
Bi 3: (2 im) Gii bt phng trỡnh:
1
1
51



x
x

Bi 4: (6 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, im E thuc cnh BC, im F thuc cnh AD sao
cho CE = AF. Cỏc ng thng AE, BF ct ng thng CD theo th t M, N.
a) Chng minh : CM . DN = a
2
b) Gi K l giao im ca NA v MB. Chng minh rng
NKM

= 90
0
.
c) Cỏc im E v F cú v trớ th no thỡ MN cú di nh nht.
Bi 5: (2 im)
Tìm số nguyên n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
19
Cõu1( 6 im):
1.Gii phng trỡnh:
a. (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) = 12
b.
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3

2007
2
2008
1
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
xxxxxx

2. Gii bt phng trỡnh:

x x 2
2
x 2 x
+
+ >

Cõu2( 5 im)
1.Tỡm cỏc hng s a,b :
3 2
ax bx 5x 50+ +
chia ht cho

2
x 3x 10+
2.Cho a, b, c

0. Tớnh giỏ tr ca D = x
2011
+ y
2011
+ z
2011
Bit x,y,z tho món:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2

z
c
Cõu 3(2 im) : Cho a,b,c,d > 0
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A=
a d
d b

+
+
d b
b c

+
+
b c
c a

+
+
c a
a d

+
Cõu 4( 7 im):
Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc tõm, O l giao im
ca cỏc ng trung trc ca
ABC
, M l trung im ca BC, N l trung im ca AC
a. Tớnh tng
'CC

'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
++
b. Chng minh
AHB
ng dng vi
MON
v AH = 2.OM
c. Gi G l trng tõm ca
ABC
. Chng minh 3 im H, G, O thng hng.
20
Bi 1: (6 im)
a) Gii phng trỡnh: y
2
2y + 3 =
42
6
2
++ xx
b) Tỡm cỏc s nguyờn a v b a thc A(x) =
4 3 2
3 3x x x ax b + + +
chia ht cho a
thc
2
( ) 3 4B x x x= +

Bi 2: (4im)
a) Cho các số dơng a, b, c và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
1 1 1
a b c
+ +
b) Gii phng trỡnh:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23

+ + + =
Bi 3: (2 im) Gii bt phng trỡnh:
1
1
51



x
x

Bi 4: (6 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, im E thuc cnh BC, im F thuc cnh AD sao
cho CE = AF. Cỏc ng thng AE, BF ct ng thng CD theo th t M, N.
a) Chng minh : CM . DN = a
2
b) Gi K l giao im ca NA v MB. Chng minh rng
NKM

= 90
0
.
c) Cỏc im E v F cú v trớ th no thỡ MN cú di nh nht.
Bi 5: (2 im)
Tìm số nguyên n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
__________________________________________________________________________________
__________________________________


Câu1 (5điểm)
a)(3điểm)
Ta cú: A(x) =B(x).(x
2
-1) + ( a – 3)x + b + 4
(2điểm)
Để
( ) ( )A x B xM
thì
{
{
3 0 3
4 0 4
a a
b b

− = =
+ = = −
⇔
(1điểm)
b)(2điểm)
Ta có
2 2
( 12 27)( 12 35) 2014Q x x x x= + + + + +

(0,5điểm)
Đặt
2
12 32t x x= + +
ta có
( 5)( 3) 2014Q t t= − + +

(0,5điểm)
Lập luận để tìm số dư: chính là số dư trong phép chia :

2
( 5)( 3) 2014 2 1999Q t t t t= − + + = − +
cho t.
⇒
dư 1999
(1điểm)
C âu 2 : (mỗi ý 1 điểm)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
HƯỚNG DẤN CHẤM OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Ta có:
2 2
2a b ab+ ≥
với mọi a,b
⇔
2 2 2
2 4 ( ) 4a b ab ab a b ab+ + ≥ ⇔ + ≥
(1)
(0,5điểm)
Vì a,b dương
⇒

0; . 0a b a b+ > >
nên từ (1) suy ra:
4
.
a b
a b a b
+
≥
+
hay
1 1 4
a b a b
+ ≥
+

Dấu “=” xẩy ra

⇔
a = b
(0,5điểm)
2 2
1 3 3
( )
2 2
M
xy xy x y
= + +
+
Do x; y dương và x + y =1
⇒
1 =
2
( ) 4x y xy+ ≥
( được suy ra từ (x – y)
2

≥
0)
1 1
2 2
2 2
xy
xy
⇔ ≤ ⇔ ≥
Dấu “=” xẩy ra
⇔
x = y =

1
2
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên:
2 2 2 2 2
3 3 4 4
( ) 3 3 12
2 2 ( )xy x y xy x y x y
+ ≥ × = × =
+ + + +
(2)
(0,5điểm)
Dấu “=” xẩy ra
⇔
2 2
1
2
2
xy x y x y= + ⇔ = =
Vậy từ (1) và (2) ta có :
2 12 14M ≥ + =
.
Giá trị nhỏ nhất Min
M
= 14 đạt được khi x = y =
1
2

(0,5điểm)
Câu 3 : (2điểm)

a) x
2
+9x+20 =(x+4)(x+5);
x
2
+11x+30 =(x+6)(x+5);
x
2
+13x+42 =(x+6)(x+7);
ĐKXĐ :
7;6;5;4 −≠−≠−≠−≠ xxxx
(0,5điểm)
Phương trình trở thành :

18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
=
++
+
++
+
++ xxxxxx

18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+ xxxxxx

18
1
7

1
4
1
=
+
−
+ xx

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Vậy x=-13; x=2. (0,5điểm)
b)
1 2 2 3 3 4x x x− − − + − =
(II)
+ Nếu x <1 ta có (II)
⇔
- 2x + 6 = 4
⇔
x =1 (loại)
+ Nếu 1
≤
x<2 ta có (II)
⇔
0.x +4 = 4 Phương trình nghiệm đúng với 1
≤
x<2 (0,5điểm)
+Nếu 2
≤
x<3 ta có (II)
⇔

- 4x = - 8
⇔
x = 2 ( thỏa mãn)
+ Nếu 3
≤
x ta có (II)
⇔
2x = 10
⇔
x = 5 ( thỏa mãn)
Vậy nghiệm của (II) là x =5 hoặc 1
≤
x
≤
2
(0,5điểm)
Câu 4 (7 điểm)
(0,5điểm)
a)
Trong tam giác BDM ta có:
1
0
1
ˆ
120
ˆ
MD −=
Vì
2
ˆ

M
=60
0
nên :
1
0
3
ˆ
120
ˆ
MM −=
(1 điểm)
Suy ra
31
ˆˆ
MD =
(0,5điểm)
Chứng minh
BMD
∆
:

CEM∆
(1) (1 điểm)

Suy ra
CE
CM
BM
BD

=
hay BD.CE=BM.CM (0,5 điểm)
Vì BM=CM=
2
BC
nên BD.CE=
4
2
BC
(0,5 điểm)

b) Từ (1) suy ra
EM
MD
CM
BD
=
mà BM=CM
nên
EM
MD
BM
BD
=
(0,5 điểm)
Chứng minh
BMD∆

:

MED∆
(c.g.c) (1 điểm)
suy ra
21
ˆˆ
DD =
, do đó DM là tia phân giác của góc BDE (0,5 điểm)
Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED (1 điểm)

3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
C
B
A