bài giảng về ổn định và động lực học của các công trình xây dựng dân dụng và công nghiệp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 104 trang )

1
ĐộNG LựC HọC CÔNG TRìNH
Mở ĐầU
i1 . KHáI NIệM Về MÔN ĐộNG LựC HọC CÔNG TRìNH
Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nửa
thế kỷ thứ XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút đợc sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến những năm thứ 30 của thế
kỷ XX, môn Động lực học công trình mới đợc coi nh một phần riêng biệt trong lĩnh
vực cơ học kết cấu.
Quá trình phát triển của lý thuyết dao động công trình liên quan mật thiết đến
quá trình phát triển của lý thuyết dao động nói chung và gắn liền với yêu cầu phát triển
của nền kinh tế quốc dân.Đặc biệt là trong mấy chục năm gần đây, sự phát triển nhảy vọt
trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng cơ bản, chế tạo máy, hàng không đã thể
hiện rõ sự thành công rực rỡ trong lĩnh vực nghiên cứu lý luận và thực nghiệm của môn
Động lực học các công trình.
Bài toán đơn giản đầu tiên về động lực học công trình là nghiên cứu cách tính dao
động cho sơ đồ kết cấu dầm; tiếp đó là các loại kết cấu hệ thanh phức tạp hơn nh dàn,
vòm, khung, dầm liên tục. Đặc biệt là trong khoảng mời năm gần đây, việc nghiên
cứu dao dộng của tấm và vỏ đã đợc chú ý đến nhiều. Trong thực tế ta thờng phải giải
quyết các bài toán về dao động công trình khi thiết kế xây dựng các công trình nh các
công trình nhà công nghiệp chịu tải trọng động, công trình cầu chịu tải trọng di động,
công trình cầu và các công trình cao chịu tải trọng khí động, các công trình thủy công
chịu tác dụng của sóng biển
Đến nay, đã có rất nhiều công trình lớn nghiên cứu về dao động công trình;
trong đó các nhà khoa học của các nớc XHCN nh Liên Xô (xem [3],[26]) Ba Lan,
Tiệp Khắc, CHDC Đức (xem [15], [12], [3]) đã đóng góp nhiều công trình nghiên cứu
xuất sắc. Bên cạnh việc nghiên cứu đề xuất ra lý luận tính toán, các tác giả cũng đã
nghiên cứu tìm biện pháp làm giảm ảnh hởng động của tải trọng động tác dụng lên
công trình.
Hiện nay một trong những phơng hớng mới đợc quan tâm nhiều, khi nghiên cứu
dao động công trình là áp dụng phơng pháp thống kê; phơng hớng này áp dụng có

hiệu quả đặc biệt đối với những loại dao động chịu các ngoại lực có tính chất ngẫu nhiên
(xem chơng III của tài liệu [3]).Bên cạnh đó việc xuất hiện các công cụ tính toán mới
nh máy tính điện tử, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên cứu dao động của các công trình
cũng nh trong cơ học kết cấu nói chung (xem chơng IV của tài liệu [3]).
Trong khuôn khổ của tài liệu giáo khoa, giáo trình này sẽ chỉ đề cập đến những vấn
đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình; dao động của hệ có một số bậc tự do, dao
động của hệ có vô cùng bậc tự do, sau đó vận dụng để tính toán một số loại kết cấu
thờng gặp nh dầm, vòm, khung, dầm liên tục. Tài liệu cũng đề cập đến một số vấn đề
cơ bản trong lý thuyết tính dao động của dầm chịu tải trọng di động và khái niệm về lý
thuyết dao động có thông số. Toàn bộ giáo trình này trình bày hạn chế trong phạm vi của
lý thuyết dao động tuyến tính, vật liệu làm việc tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ
đồ không biến dạng.
2

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Tài liệu tham khảo:

1. Ổn định và động lực học công trình - Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng
Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình.
2. Dynamics of structures - Ray W. Clough, Josept Penzien 1993.
3. Dynamics in engineering structures - Vladimir Kolosek 1995.
4. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах - Н.
И. Безухов, И. В. Лужин, Н. И. Колкунов 1987.

3
i2 CáC DạNG TảI TRọNG Và NHIệM Vụ CủA BàI TOáN
DAO ĐộNG CÔNG TRìNH

Trong các phần trên của giáo trình cơ học kết cấu, chúng ta đã nghiên cứu cách
tính các công trình chịu tải trọng tác dụng tĩnh. Trong phân này chúng ta sẽ nghiên cứu
các công trình chịu tải trọng tác dụng động. Nh trong giáo trình cơ học lý thuyết và sức bền
vật liệu, ta đã biết tải trọng động là tải trọng gây ra lực quán tính.
Trong thực tế ta thờng gặp một số dạng tải trọng động chủ yếu nh sau:
1. Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t).

Ví dụ : Mô-tơ có phần quay không cân bằng vì khối lợng đặt lêchị tâm (hình 1a).
Môtơ đặt trên dầm sinh ra lực quán tính ly tâm (hình 1c).

2
mrP =

Trong đó : m -khối lợng phần quay

-độ lệch tâm của khối lợng m
r-vận tốc góc của môtơ
Nếu gọi n là số vòng quay của môtơ
trong một phút, ta có:
)/1(
60
2
s
n
r

=

Khi môtơ chạy, dầm sẽ bị dao động
ngang do thành phần đứng của lực quán tính
ly tâm:
rtPtP sin)(
=

Đó là loại tải trọng động có trị số biến
thiên theo chu kỳ.

2. Tải trọng di động có trị số không đổi
P(z). Ví dụ nh tải trọng của đoàn xe chạy
trên cầu.
3. Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t). Ví dụ nh tải trọng động gây ra bởi
đầu máy xe lửa chạy trên công trình. Phần khối lợng không cân bằng do đối trọng đặt tại

các bánh xe đầu máy gây ra lực quán tính ly tâm; thành phần thẳng đứng của lực này tác
dụng trên công trình theo dạng tải trọng di động có trị số thay đổi. Chu kỳ biến thiên của
tải trọng di động phụ thuộc vào tốc độ đầu máy.
4. Lực địa chấn, xuất hiện khi có động đất.
5. Lực khí động, do gió tác dụng vào công trình.
6.Tải trọng va chạm :Loại tải trọng này xuất hiện khi có vật rơi hoặc đập trên công trình.
Ví dụ quai búa lên đe, bánh xe đi qua các ổ gà do đờng không bằng phẳng, bánh xe lửa
chạy qua các đầu nối đờng ray, sóng vỗ vào đập.
7. Tải trọng động phức tạp. Dạng tải trọng này
là tổ hợp của các dạng tải trọng kể trên. Chẳng hạn
nh tải trọng di động va chạm, đồng thời thay đổi
trị số. Đầu máy xe lửa chạy trên cầu là một Ví dụ
về dạng tải trọng vừa di động vừa thay đổi trị số,
đồng thời còn gây ra va chạm khi qua các khe hở ở
chỗ nối đờng ray (hình 2).
P(t)=P.sinrt
m
m
a)
b)
c)

4
Nhiệm vụ chủ yếu của bài toán động lực học công trình bao gồm:

a) Kiểm tra hiện tợng cộng hởng của các công trình chịu tải trọng động tránh
khả năng xảy ra hiện tợng cộng hởng làm h hỏng công trình.
b) Kiểm tra độ bền : xác định nội lực động do tải trọng động gây ra để căn cứ vào đó
mà kiểm tra khả năng chịu đựng của công trình.
c) Kiểm tra độ cứng : xác định các chuyển vị động để kiểm tra công trình theo
điều kiện cứng, bảo đảm cho công trình không có chuyển vị lớn. Mặt khác, tìm các
biện pháp xử lí đối với các công trình bị rung động lớn, nghiên cứu cách giảm
rung động có hiệu quả nhất.
Trên thực tế để đơn giản việc tính toán, trong nhiều trờng hợp ngời ta dùng mô hình
tải trọng động dới dạng hàm thay đổi điều hòa. Do đó trong giáo trình này, cũng chỉ
nghiên cứu công trình chịu các tải trọng động thay đổi điều hòa là chủ yếu.

i3 . CáC DạNG DAO ĐộNG
Do tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau, đồng thời cấu tạo của kết cấu cũng có
nhiều hình thái khác nhau nên dao động của công trình cũng có thể có nhiều hình dạng
khác nhau.
Tùy theo cách quan niệm ta có thể phân loại dao động theo nhiều cách khác nhau
nh sau:
1. Theo dạng biểu đồ dao động:
Dao động hình sin (hình 3a).
Dao động phức tạp có chu kỳ (hình 3b)
Dao động có lực cản (hình 3c)
Dao động tăng dần (hình 3d)
Dao đông rối loạn (hình 3e)
2. Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động. Chia thành các loại dao động
nh sau:
Dao động tự do (hay dao động riêng) là dao động sinh ra bởi lực kích động đột ngột,
hoặc lực bất kỳ rồ bỏ ra tức thời.
Dao động cỡng bức là dao động sinh ra bởi các ngoại lực tác động theo một
quy luật nào đó, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao động.

Các lực động này có thể là lực thay đổi theo chu kỳ hoặc không theo chu kỳ, có thể là
lực thay đổi đột ngột v.v.
Tự dao động hay còn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất hiện bởi các
lực do bản thân chuyển động gây ra và tắt đi khi ngừng chuyển động. Ví dụ, xét khối lợng m
gắn liền với lò xo có điểm cố định A, đặt yên trên mặt phẳng nằm ngang. Khi mặt phẳng ngang
chuyển động theo nhiều mũi tên với vận tốc đều (hình 4). Khối lợng m sẽ dao động theo
phơng ngang.
Dao động ngẫu nhiên là laọi dao động xuất hiện do các nguyên nhân bên
ngoài tác động có tính chất ngẫu nhiên.

5

3. Theo sự tồn tại hay không tồn tại của lực cản.
Dao động có lực cản là dao động bị mất một số năng lợng do ảnh hởng cản của
môi trờng dao động, do ma sát của các liên kết, do ma sát nội.
4. Theo số bậc tự do của hệ (Xem khái niệm về bậc tự do trong 5 chơng này ):
Theo cách phân loại này ngời ta chia các hệ thành ba loại: hệ có một bậc tự do (hình 5a),
hệ có một số bậc tự do (hình 5b), hệ có vô số bậc tự do (hình 5c).
5. Theo loại biến dạng khi dao động.
Dao động ngang khi dao động này gây chuyển vị thẳng góc với phơng ban đầu
của trục kết cấu, dao động dọc khi dao động này gây chuyển vị dọc theo trục kết cấu.
c)

a)

y

t

r

t

b)

O
O

T

t

y

d)

t

t

y

e)

O

O

O

H
ì
nh 3

6
m
A
m
m
1
m
n
a)
b)
c)

6. Theo dạng của phơng trình vi phân mô tả dao động.
Dao động tuyến tính khi phơng trình vi phân mô tả dao động là tuyến tính, dao động
phi tuyến khi phơng trình vi phân mô tả dao động là phi tuyến.
7. Theo khả năng thay đổi của các thông số của hệ. Các thông số đó là các đại lợng
liên quan đến việc biểu diễn phơng trình dao động của hệ, có thể là độ cứng. Nếu các
thông số của hệ không đổi trong quá trình chuyển động thì dao động đợc gọi là dao động
không có thông số. Nếu các thông số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào đó,
thì dao động đợc gọi là Dao động có thông số. Bài toán ổn định của kết cấu dới tác dụng
của tải trọng động (xem chơng 8) cũng thuộc loại bài toán dao động có thông số.
i4. KHáI NIệM Về CáC PHƯƠNG PHáP TíNH TOáN CƠ BảN
TRONG DAO ĐộNG CÔNG TRìNH

Trong dao động công trình có hai phơng pháp tính cơ bản là phơng pháp tính cơ bản
là phơng pháp tĩnh và phơng pháp năng lợng.

1. Phơng pháp tĩnh.
Phơng pháp này dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của tĩnh lực học trong đó
chỉ bổ sung thêm các lực quán tính viết theo nguyên lý Đalămbe. Nh vậy các phơng trình
cân bằng tĩnh sẽ trở thành các phơng trình cân bằng động. Đối với hệ phẳng, các phơng trình
cân bằng động có dạng:
0
)(
0
)(
.
0
)(
.
2
2
)(
2
2
2
2
=
=
=

dt
td
JM
dt

tYd
mY
dt
tXd
mX
u
umu

Trong đó :
X(t), Y(t) - lần lợt là chuyển vị tịnh tiến của khối lợng m theo phơng của trục x và trục y.

u
(t) - Chuyển vị xoay của khối lợng m quanh trục u là trục vuông góc với mặt phẳng xy.

2
2
)(
dt
tXd
m
;
2
2
)(
dt
tYd
m

lần lợt là thành phần theo phơng x và phơng y của các
lực quán tính của khối lợng m khi chuyển động.

=
m
uum
dmJ
2
)(

-mômen quán tính của khối lợng m đối với trục u; là khoảng cách
từ phân tố khối lợng dm đến trục u.
Đối với bài toán không gian, ta có thể thiết lập các điều kiện cân bằng theo nguyên tắc
tơng tự nh trên, nhng khi đó sẽ có 6 phơng trình cân bằng động.
7
2. Phơng pháp năng lợng
Phơng pháp năng lợng đợc xây dựng trên cơ sở áp dụng định luật bảo toàn năng lợng:
Tổng thế năng và động năng của hệ trong quá trình dao động là một lợng không đổi.
K+U=const Trong đó: K - động năng của hệ khi dao động
U- thế năng của hệ.
Trong các chơng dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn nội dung các phơng pháp tính.

i5. BậC Tự DO CủA Hệ ĐàN HồI
Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí của tất cả
các khối lợng trên hệ đó. Ta có thể xác định số bậc tự do bằng tổng số các liên kết tối
thiểu cần thiết đặt thêm vào hệ tại vị trí các khối lợng để sao cho tất cả các khối lợng
đó trở thành bất động.
Chúng ta hãy khảo sát số bậc tự do của một số hệ cho dới đây để làm thí dụ.
Những hệ trên hình 6a, b, c có một bậc tự do. Thật vậy, muốn cho các khối lợng đó

bất động ta chỉ cần đặt thêm vào hệ mới một liên kết (đờng đứt nét trên hình vẽ 6).
1
2
y
y
2
1

Hệ trên hình 7 và 8 có hai bậc tự do, vì chỉ cần đặt thêm vào các khối lợng hai liên kết
(đờng đứt nét) là đủ bảo đảm cho các khối lợng này trở thành bất động.
Khung trên hình 9 có bốn khối lợng, nhng chỉ có ba bậc tự do. Hệ không gian trên
hình 10 có ba bậc tự do. Đối với những hệ có khối lợng phân bố, ta thấy rõ ràng là có vô
cùng bậc tự do.
y
2
y
1
2
1
3
4

8
Chơng 1: DAO ĐộNG CủA Hệ Có MộT BậC Tự DO
i 1. PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TổNG QUáT CủA DAO ĐộNG
Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lợng tập trung M, đặt trên dầm AB.
Dầm này đợc xem là vật thể đàn hồi không có khối lợng (khối lợng phân bố của dầm
xem nh không đáng kể và tạm thời cha xét tới).
Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi
theo thời gian là P(t) (hình 1-1a).

Vị trí của khối lợng M khi dao động đợc
xác định bởi hàm số y(t). Giả thiết chuyển vị đứng
y(t) hớng xuống dới là dơng và vị trí xuất phát
của khối lợng M là vị trí cân bằng ban đầu tơng
ứng với khi y = 0.
Dới tác dụng của lực kích thích P(t),
khối lợng M dao động và trên dầm chịu tác dụng
của những lực sau đây:
1.Lực tác dụng P(t)
2.Lực quán tính của khối lợng

.
yMZ =
.Theo nguyên lý Đalămbe lực này đặt tại khối lợng M và có chiều hớng
theo chiều của chuyển động tức là hớng xuông dới, vì chiều của gia tốc của khối lợng M
luôn luôn hớng về vị trí cân bằng.
3.Lực cản R - Lực này phụ thuộc môi trờng chuyển động. Đa số các trờng hợp
trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc:
.
yR

=

R có chiều ngợc với chiều chuyển động tức là hớng lên trên.
Trong đó:
.
y
là vận tốc của khối lợng M.
làhệ số tỷ lệ đặc trng cho sự cản, có đơn vị là

s
cm
kN

Gọi
11

là chuyển vị theo phơng chuyển động tại điểm đặt khối lợng M
do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra.

1p
là chuyển vị tại điểm đặt khối lợng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại
điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra.
Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì tao có thể áp dụng đợc nguyên lý cộng tác dụng.
Lúc này chuyển vị y(t) của khối lợng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, do
lực kích thích P(t) và lục cản R cùng tác dụng gây ra.
Do đó ta có phơng trình sau:
RZtPty
P
)(.)(
11111

+
=

Hay

yytPty
P

)(.)(
11111

+
=

Chia cả hai vế cho
11

M
và sau khi biến đổi ta đợc:

)(.2
1
22
tPyyy
P

=++

(1-1)
Trong đó:
MM

== 2;
1
11
2
(1-2)
Đó là phơng trình vi phân tổng quát của dao động cỡng bức có kể đến lực cản.
Trong các mục dới đây ta sẽ vận dụng phơng trình vi phân tổng quát này để
nghiên cứu dao động của hệ có một bậc tự do tơng ứng với các trờng hợp cụ thể khác nhau.
c)
x
P
(t)
m
(t)
y
a)
b)
1
1
R
Z=-My
y>0

1
p
11
9
i 2. DAO ĐộNG Tự DO KHÔNG Có LựC CảN
Nh ta đã biết, dao động tự do của hệ là dao động sinh ra bởi môt kích động bất kỳ
tác dụng trên hệ rồi cất đi tức thời.Trong trờng hợp này, theo (1-1) phơng trình vi phân
của dao động tự do không có lực cản có dạng:
0.
2

=+ yy

(1-3)
m
y(t)
x
y

Đây là phơng trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số.
Nghiệm của phơng trình (1-3) có dạng:
tBtAcoy

sin
+
=
(1-4)
Trong đó: A, B là những hằng số tích phân.
Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của

khối lợng M.
t
B
t
A
v
t
y

cos
sin
)
(
+

=
=

(1-5)
Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) đợc xác định theo các điều kiện ban đầu:
Khi t=0 ;
0
yy =
và v=v
0
. Thay các điều kiện này vào các phơng trình (1-4) và (1-5)
ta xác định đợc:

0
yA =
;

0
v
B =

Nh vậy phơng trình dao động có dạng:
t
v
tcoyy

sin
0
0
+=

Dao động vừa nêu ở trên là dao động điều hoà. Ta hãy xác định chu kỳ và tần số
của dao động:

Nh ta đã biết chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lợng M thực hiện
đợc một dao động toàn phần và đợc ký hiệu là T: Với
)(
2
sT

=

Tần số dao động là số lần dao động trong một giây:
)/1(
2
1
s
T
f

==

Do đó suy ra:
f.2

=
là số lần dao dao động trong

2
giây.

còn gọi là tần số vòng của
dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng

tần số vòng nên thờng gọi tắt

là tần số dao

động riêng. Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định đợc các đại lợng trên nh sau:
1.Tần số vòng của dao động riêng:
)/1(

1
1111
s
y
g
P
g
M
t
===

Trong đó: g-gia tốc trọng trờng
y(t) chuyển vị của khối lợng M do lực P=Mg tác dụng tĩnh tại chỗ
đặt tại khối lợng M gây ra (hình 1-3a,b).
Đối với hệ trên hình 1-3b, nếu kể đến hiện tợng uốn dọc, ta có:

P
P
P
EJ
l
Py
Ole
t

.
1
3
1
.
3
11

==

Suy ra
Mg
P
Mg
EJ
l
y
Ole
t
)1(3
3

=

10
(t)
y
P=M.g
P=M.g

(t)
y

2.Tần số dao động riêng:
t
y
g
f

2
1
2
==

3.Chu kỳ dao động:

g
y
T
t

2
2
==

Ví dụ 1-1:
Xác định tần số vòng và chu kỳ dao động riêng của dầm chịu tác dụng bởi lực

P=0,75kN (hình 1-4). Cho biết l=1m, dầm có tiết diện vuông mỗi cạnh là 4cm;
g=981
242
/10.1,2. cmkNEscm =
. Độ võng của điểm c dới tác dụng tĩnh của lực P đợc
xác định theo công thức sau:
P
EJ
l
y
t
3
.
256
3
=

Theo công thức (1.11) ta có:
1
3
4
6,70
75,0.100.3
3,21.10.1,2.256
.981

=== s
y
g
t

o
y

L/4 3L/4
P
c
1
V
o

Chu kỳ dao động riêng, theo (1.13):
sT 089,0
6,70
14,3.22
===

Ví dụ 1-2:
Xác định tần số, chu kỳ dao động và các giá trị giới hạn chuyển động của thanh thép
không trọng lợng chịu lực theo hình 1-7. Cho biết: P= 3,50kN (tải trọng tác dụng ở đầu thanh);
l=1,50m; J=2140
4
cm
; E=2,1.
4
10
kN/

2
cm
. Tại thời gian đầu (lúc t=
0
t
) trọng tâm của khối
lợng lệch về bên trái một khoảng
0
y
=1,2cm đối với trục cân bằng của thanh và có vận
tốc chuyển động
smyv /8,1
00
=
=

, chuyển vị tĩnh tại đầu thanh do lực bằng đơn vị tác dụng
(bỏ qua ảnh hởng của uốn dọc):
kNcm
EJ
l
/025,0
2140.10.1,2.3
150
3
4
33
===

Tần số vòng:
1
1111
.5,104
35,0.50,3
9811

==== s
P
g
M

11
Chu kỳ dao động:
sT 0602,0
5,104
14,3.22
===

Tần số dao động:
6,16
0602,0
11
===
T
f

Biên độ dao động:
cm
v
yay
m
1,2
5,104
180
2,1
2
2
2
0
2
0
=

+=

+==

Theo công thức (1-10) ta có:
697.0
180
5,104.2,1
.
0
0
=

==
v
y
tg

Do đó pha ban đầu của dao động:

00
8,34'5334 ==

hoặc
rad61,0

=

Phơng trình dao động của thanh theo công thức (1-6) hoặc (1-9):
y=-1,2cos104,5+1,72sin104,5t
hay y=2,1sin(104,5t-0,61)
theo (1-15)
scmv
m
/2205,104.1,2 ==

theo (1-16)
22

/229505,104.1,2 scmy
ma
==

Lực quán tính:
kNy
g
P
yMZ
ma
ma
ma
00,845,104.1,2.
981
50,3
2

====

Nếu xem lực quán tính là lực tác dụng tĩnh ở đầu thanh thì lực này sẽ gây ra chuyển
vị cực đại của khối lợng khi dao động là:
cmZmy
ma
1,284.025,0.)(
=
=
=

. Kết quả phù
hợp với giá trị a tìm đợc ở trên.

i3. DAO ĐộNG Tự DO Có CảN
Trong phần khảo sát sau này, ta sẽ thấy vấn đề dao động đợc đơn giản đi rất nhiều
nếu giả thiết giảm chấn tỷ lệ với vận tốc. Cho nên trong phần sau ta sẽ chỉ nghiên cứu kỹ
trờng hợp dao động tắt dần do sức cản nhớt gây ra, còn các trờng hợp khác sẽ không đề cập
tới ở đây. Theo (1-1) phơng trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng:
0.2
2

=++ yyy

(1-17)
Trong đó
M

=2

và
11
2
.
1

M
=

Phơng trình đặc trng của phơng trình vi phân (1-17) có dạng:

02
22
=++

SS

Nghiệm của phơng trình đặc trng này là:

22
2
22
1

=
+=
S
S

Vậy nghiệm của phơng trình (1-17) có dạng tổng quát sau:

)(
2222
21
ttt
eCeCey

+=
(1-18)
Ta thấy nghiệm của phơng trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa

và

.
Nếu

<

(lực cản nhỏ) thì nghiệm của phơng trình đặc trng có số ảo.
Nếu

>

(lực cản lớn) thì nghiệm là số thực.
12
Ta lần lợt khảo sát các trờng hợp sau:
a)Trờng hợp lực cản nhỏ (

<

)
Các nghiệm của phơng trình đặc trng:

22
2
22
1

=
+=
iS
iS

nếu gọi
22
1

=

thì phơng trình (1-18) có dạng:
)(
11
21
titi
t
eCeCey

+=

Hay có thể viết dới dạng khác nh sau:
Aey
t
(

=
cos
t
1

+Bsin
t
1

) (1-19)
Chu kỳ dao động này là:
)(
22
22
1
1
sT

=

=

Tần số dao động:
)/1(
2
1
22
1
s
T
f

==

b) Trờng hợp lực cản lớn (

>

): Ta đặt
2
22

=

Nghiệm của phơng trình (1-3) có dạng:

)()(
2221
)
21
22
tshCtchCeeeey
t
tt
t

+=+=

Hay có thể viết khác nh sau:

)(
22
1

+=

tsheay
t
(1-20)
Sau khi xác định
1
c
và
2
c
theo điều kiện ban đầu ta đợc:

)(
2
2
00
20
tsh
yv
tchyey
t

+
+=

(1-21)

Ta thấy chuyển động của khối lợng không tuần hoàn. Tuỳ theo điều kiện ban đầu, có
thể xảy ra một trong ba dạng chuyển động sau đây:
t
Cey

=
1

)sin(.
1

+
=

teCy
t

1
T

t
Cey

=

1

n
y

1+n
y

2
m

3
m

1
m
H
ình
1
-
6

13
+ Khối lợng bắt đầu dao động từ
0
y
với vận tốc
0
v
hớng ra ngoài vị trí cân bằng

(hình 1-7a). Do lực cản lớn, khối lợng chuyển động đến M rồi quay trở lại và tiệm cận
dần tới vị trí cân bằng ban đầu.
+ Khối lợng bắt đầu dao động từ
0
y
với vận tốc
0
v
hớng về vị trí cân bằng. Khối
lợng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới
1
M
thì quay lại và tiệm cận dần tới vị trí
cân bằng (hình 1-7b).

+ Khối lợng đợc thả từ
0
y
không có vận tốc ban đầu. Lúc này chuyển động sẽ
giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-7c).
c)Trờng hợp

=

.
Phơng trình đặc trng có nghiệm kép

=
=

21
SS
.Vậy nghiệm của bài toán có dạng:
)(
21
CtCey
tt
+=

(1-22)
Chuyển động cũng không tuần hoàn và ta cũng có thể gặp một trong ba dạng
chuyển động nh trên.
ở
trên ta đã khảo sát dao động của khối lợng có lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc.
Các loại lực cản khác thờng ít gặp trong thực tế nên không nghiên cứu ở đây.

Hình 1-7

t

y

t

O

0
0
0
=v
y
c)

0
y

O

y

a)

y

0
0
v
y

m
y

m
t

b

O

0
0
y
v

1
M

14
i4. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC TRONG TRƯờNG HợP TổNG QUáT
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tròng hợp dao động có lực cản chịu kích thích bất kỳ
P(t) nào đó. Theo (1-1) phơng trình vi phân thiết lập cho trờng hợp tổng quát có dạng:

)( 2
1
22

tPyyy
p

=++

Trớc tiên ta hãy nghiên cứu trờng hợp lực cản yếu (

<

) là trờng hợp hay gặp
trong thực tế.
Tơng tự nh
i
3, nghiệm của phơng trình vi phân trên nhng không có vế phải có dạng:

(
0
t
eyy

=
cos
)sin)sin
1
1
0
1
1
1
te
v
tt
t

++
(1-23)
Phơng trình chuyển động (1-23) gồm hai số hạng: Số hạng đầu là dao động lệch
0
y

so với vị trí cân bằng, số hạng sau là dao động do ảnh hởng của vận tốc ban đầu
0
v
.
Nếu ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hởng của lực kích thích P(t)
thì lực này sẽ làm cho chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa.
Hay có thể biểu diễn duới dạng tơng tự nh công thức (1-21), ta có:

++=

t
t
P
t
dtePtaey
0
1
)(
1
1

2
1
)(sin)()sin(

(1-24)
Trong đó:
00
10
2
1
2
00
2
0
;
)(
yv
y
tg
yv
ya

+
=
+
+=

Phơng trình (1-24) thích hợp với truờng hợp lực cản nhỏ (

<

). Đối với trờng hợp
lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-21); (1-23) ta có thể thiết lập đợc các phơng trình
chuyển động nh sau:
+Khi

<

. (Lực cản lớn)

++=

t
t
P
t
dtshePtsheay
0
22)(

22
1
2
22
1
)(.)()(

(1-25)
+Khi

=

++=

t
t
P
t
dtePBtAey
0
)(
1
2

22
).()()(

(1-26)
i5. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC KHÔNG Có LựC CảN
CHịU LựC KíCH thíCH P(t)=Psinrt

1. Phơng trình dao động
Theo (1-1) phơng trình vi phân dao động có dạng:

)(
1
22

tPyy
p

=+

Trong 4 ta đã thiết lập công thức tổng quát của phơng trình dao động chịu lực kích
thích bất kỳ. Khi lực kích thích thay đổi tuần hoàn P(t)=Psinrt
Và không có lực cản; trong (1-26) thay P(t)=Psinrt và cho

=0 đồng thời chú ý là

=
1
ta sẽ đợc phơng trình dao động là nghiệm của phơng trình vi phân(1-17):

Ay
=
cos

dinrstPtBt
p

++
1
0
1
)(sin.sin

15
Tính tích phân của biểu thức trên:

=
ttt
drtdrtdrt
000
sinsincossincossinsin)(sin

=

)sin(sin)sinsin(
1
2222
t

r
rt
r
rttr
r

=

=

Thay kết quả này vào phơng trình trên và theo(1-26) ta đợc:

)sin(sin
1
.
sin
2
2
1
0
0
t
r

rt
r
P
t
v
tcoyy
p

++=

Hay
rt
r
P
t
r
r
P
t
v
tcoyy
pp

sin
1
.
sin
1
.
sin
2
2
1
2
2
1
0
0

+

++=
(1-27)
Tần số trong ba số hạng đầu của công thức (1-27) đều giống tần số dao động tự do của hệ,

cho nên đều là dao động tự do, nhng hai số hạng đầu phụ thuộc vào điều kiện ban đầu
của hệ. Lúc chuyển vị y
0
= 0 và vận tốc ban đầu
0
v
= 0 thì hai số hạng này sẽ không tồn tại.
Số hạng thứ 3 dù điều kiện ban đầu thế nào nó cũng xuất hiện cùng với dao động cỡng bức,
còn gọi la dao động tự do bán sinh. Còn số hạng cuối cùng tần số lực kích thích là tần số
dao động nên gọi là dao động thuần cỡng bức.
Nếu tại thời điểm t=0;
0;0
00
== vy

Ta có:
)sin(sin
1
2
2
1
t
r
rt
r
P
y
p

=
(1-28)
Ta thấy P.
p1

=
*
y
(hình1-12) là chuyển vị tại khối lợng M do biên độ P của lực
kích thích tác dụng tĩnh gây ra, nên:
)sin(sin
1
1
2
2
*
t
r
rt
r
yy

=
(1-29)
Ta thấy phơng trình dao động (1-29) gồm hai phần: một phần dao động với tần số
của lực kích thích r và một phần với tần số của dao động tự do

P =Psinrt
(t)
P
(t)
y

Nh đã trình bày ở trong 3 trong thực tế các dao động đều bị cản và lực cản nhỏ,
nên lực cản gây ảnh hởng không đáng kể đến tần số dao động riêng. Nhng khi đã có
lực cản thì mặc dù là nhỏ cũng đủ làm mất dần phần dao động riêng (số hạng thứ hai của
16
vế phải trong công thức (1-29) sau một thời gian dao động. Sau đó là chuyển sang thời kỳ ổn định
dao động theo chu kỳ và tần số hoàn toàn nh chu kỳ và tần số của lực kích thích:

rt
r
yy sin
1
1
2
2
*

=
(1-30)

2. Hệ số động.
Từ (1-29) ta suy ra:
)sin(sin
1
1
2
2
*
t
r
rt
r
y
y
K
d

==
(1-31)
Ta hãy nghiên cứu hệ số động
d
K
trong trờng hợp giới hạn khi

=

r
. Lúc này
xuất hiện hiện tợng cộng hởng. Thực vậy, áp dụng qui tắc Lôpitan để tìm giới hạn của
hệ số động khi

=
r
, ta có:

)cos(sin
2
1
2
sin
1
cos.
2
ttt
r
trtt
LimK
r
r
d

=

=
=

Hình 1-9
Ta thấy hệ số động sẽ tăng lên vô hạn theo thời gian; đờng biểu diễn của hàm này
vẽ trên hình 1-9. Qua đồ thị ta thấy ngay trong trờng hợp không kể đến lực cản, khả
năng tăng biên độ dao động lên vô hạn không xả ra tức thời mà đòi hỏi phải có thời gian
nhất định. Nh vậy, đối với máy đợc thiết kế để làm việc trên miền cộng hởng sẽ
không gặp trở ngại gì khi cho máy tăng tốc qua miền cộng hởng nếu thời gian vợt qua
đủ nhanh để sao cho hiện tợng rung động lớn do công hởng cha kịp xảy ra theo (1-30),
biên độ lớn nhất của chuyển vị động xuất hiện khi

;1sin =rt

do đó:
2
2
*
1
1
.

r
yy
d

=
(1-32)
Trong trờng hợp này hệ số động:
2
2
*
1
1

r
y
y
K
d
d

==
(1-33)

t

0

tt

cos
2
1

t

sin
2
1

d
K

t

2
1

2

17
Đờng biến thiên của hệ số động

d
K
theo tỷ số

r
nh trên hình 1-10.
Khi

r
ta thấy hệ số
d
K
biến đổi rất nhạy, nghĩa là chỉ cần thay đổi tỷ số

r

một chút cũng đủ làm cho
d
K
biến thiên rất lớn. Sở dĩ có hiện tợng đó vì ta cha xét đến tác dụng
rất quan trọng của lực cản. Lực cản làm cho
d
K
giảm đi rất nhiều, đặc biệt là lúc gần
cộng hởng và cộng hởng. Vấn đề này sẽ thấy rõ hơn trong phần sau. Nhng dù thế nào
chăng nữa, lúc r =

hoặc

r
thì hệ số
d
K
cũng rất lớn, nên thờng phải hết sức tránh.
Để tránh hiện tợng cộng hởng ta phải thiết kế công trình để sao cho các tần số

và r
sai kém nhau tố thiểu là 25%.

i 6. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC Có LựC CảN CHịU LựC KíCH THíCH P
(t)=P.Sinrt
1. Phơng trình dao động
Trong trờng hợp này hệ dao động với
0

, nên có thể dùng nghiệm là dới dạng
tổng quát.

drte
P
tBtAey
t
t

p
t
sin)(sin.

)sincos(
1
0
)(
2
1
1
2
11
++=

(1-34)
Ta cũng có thể tìm đợc nghiệm này bằng cách giải trực tiếp phơng trình vi phân
cân bằng (1-1). Trong trờng hợp này (1-1) có dạng:

rtPyyy
p
sin 2
1
22

=++
(1-35)
Nghiệm toàn phần: y=

21
yy
+
(1-36)

Trong đó
1
y
là nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất và cũng là
nghiệm của phơng trình vi phân trong trờng hợp dao động tự do.
Khi lực cản nhỏ, nghiệm này có dạng:
Aey
t
(

=
cos
t
1

+Bsin
t
1

) (1-37)
với
22
1

=
;
2
y
là nghiệm riêng của phơng trình vi phân có vế phải

rtDrtCy sincos
2
+
=
(1-38)
Sau khi lấy đạo hàm và thay kết quả vào phơng trình (1-35) ta đợc:

(
)
[
]
[
]
rtPrtCrrDrtCrDr
p
sin cos)(2sin.2
1
22222

=++

So sánh hai vế của phơng trình ta có:

0)(2

2)(
22
1
222
=+
=
CrrD
PCrDr
p

Suy ra:
22222
)22
1
2
22222
1
2
4)(
(.
4)(
2
rr
rP
D
rr
tP
C

p
p

+

=
+
=
(1-39)

Nh vậy nghiệm chung của phơng trình (1-55) có dạng:
Aey
t
(

=
cos
t
1

+Bsin
t
1

)+
rtDrtC

sincos
+

Số hạng thứ nhất của vế phải chứ nhân tử
t
e

, biểu diễn dao động tự do tắt dần, đã đợc
khảo sát ở trên. Hai số hạng còn lại có cùng tần số với lực kích động, biểu diễn dao động
cỡng bức. Ta có thể viết nghiệm dới dạng tổng quát:

Aey
t
(

=
cos
t
1

+Bsin
t
1

)+

rta sin(

) (1-40)
18
Đối chiếu kết quả ( 1-40) với phơng trình (1-58) ta thấy số hạng đầu của
phơng trình (1-34) mới chỉ biểu thị phần dao động riêng khi tồn tạ các sơ kiện
0
y
và
0
v
;
còn một phần dao động riêng nữa xuất hiện khi có P(t) thì chứa ở số hạng có dấu tích phân.
Nhng trong công thức (1-40) tấ cả dao động riêng đều chứa ở trong số hạng đầu.
Ta thấy phơng trình dao động gồm hai thành phần, một phần dao động riêng với
tần số
1

, còn một phần dao động cỡng bức với tần số r của lực kích Vích. Vì toàn bộ
ảnh hởng của dao động riêng đều nhân với hàm số mũ giảm
t
e

nên sau một thời gian
ảnh hởng này sẽ tắt dần và chỉ còn:

)sin(
4
1
4
22

2
2
2
*

+

= rt
rr
y

y
t
(1-41)
Đây là phơng trình dao động cỡng bức trong thời kỳ đã ổn định. Hình(1-11) biểu diễn
dao động trong quá trình chuyển tiếp, tức là quá trình xảy ra từ lúc bắt đầu dao động đến
khi bớc sang thời kỳ dao động ổn định (không còn ảnh hởng của dao động riêng).
Chuyển động toàn phần của hệ trong thời gian này là kết quả của sự phối hợp giữa hai
dao động điều hoà khác nhau về biên độ, về tần số và về pha nên rất phức tạp. Quá trình
chuyển tiếp này là giai đoạn đầu của chuyển động, chỉ tồn tại trong một thời gian ngắn
sau vài chu trình đầu.
Nếu trong (1-40) và (1-41) ta cho

=0 thì sẽ đợc kết quả hoàn toàn giống nh
(1-3); (1-4) đã thiết lập trong trờng hợp dao động không có lực cản.

t

Dao
độn
g t
ự
do

t

Dao
động
c
ỡng

b
ức

Dao
động
to
àn
ph
ần

t

H
ình
1
-
11

19
2. Hệ số động

Từ phơng trình (1-40) ta có:

++

+
==

)sin
cossin.
cos(sin)sin(.
)1(
1
1
1
1
2
2
22
2
2
*
t
r
tert
rr
y
y
K
t
t
d

(1-42)
Trong đó:

2
=

Gọi: T- chu trình dao động riêng không kể lực cản

=
2
T

P
T
-chu kì của lực kích thích
r
T
P

=
2

Ta có:

++
+
=

)sin
cossin
cos(sin)sin(
)()1(
1
1
1
1
2
2
22
2
2
t
r
tert

T
T
T
T
K
t
PP
d

(1-43)
Trong thời kỳ ổn định không còn dao động riêng, hệ số động có dạng:

)sin(
)()1(
1
2
2
22
2
2

+

= rt
T
T
T
T
K
PP
d
(1-44)
Hệ số động có trị số lớn nhất khi
1)sin(
=

rt

)()1(
1
2
2
22
2
2
PP
d
T
T
T
T
K

+
=

(1-45)
i
7.
DAO ĐộNG CƯỡNG BứC CủA Hệ MộT BậC Tự DO
CHịU LựC KíCH THíCH Có CHU Kì

Trong các phần khảo sát trớc đây về dao động
cỡng bức, ta đã giả thiết lực kích thích là đơn điều hoà
và tỷ lệ với sinrt. Trong trờng hợp chung lực kích
thích có thể là một hàm phức tạp hơn của thời gian.
Trên hình 1-28 cho ta một Ví dụ về lực kích thích P(t)
có chu kỳ. Trong kỹ thuật thờng hay gặp lực kích
thích có chu kỳ, cho nên việc nghiên cứu trờng hợp
này có ý nghĩa quan trọng. Ta có thể biểu diễn lực
kích thích có chu kỳ T dới dạng chuỗi lợng giác:

2sinsin 2coscos)(
21210
+
+
+
+

+
+
=
rtbrtbrtartaatP

(1-46)
Hay:
)cos()(
1
0
inirtsbirtaatP
i
ii

=
++=

P
(t)
t
20
Trong đó
T
r

2
=
là tần số cơ bản của lực kích thích. Nếu cho biết hàm lực P(t),
ta có thể xác định các hệ số của chuỗi (1-18) nh sau:

=
=
T
T
dttP
T
a
irtdttP
T
a
0
0
0
1
)(
1
cos).(
2

Thay lực P(t) vào phơng trình vi phân tổng quát (1-1) của chuyển động:

=
++=++
1
1

2
01
22

)sincos(2
i
iiPP
irtbirtaayyy

(1-47)
Để giải phơng trình vi phân này, ta không dùng nghiệm với P(t) tổng quát ở
i
4,
mà giải trực tiếp. Nghiệm toàn phần có dạng:
21
yyy
+
=

1
y
là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất:

02
2

=++ yyy

khi

<

(trờng hợp lực cản nhỏ).

)sincos(
111
tBtAey
t

+=

. Trong đó
22
1

=
tần số dao động khi có lực cản.
Nghiệm riêng của phơng trình có vế phải có dạng:

=
++=
1
02
)sincos(
i
ii
irtDirtCCy

ii
DCC
;;
0
là các hằng số xác định. Sau một số tính toán ta đợc:

[ ]
[ ]

+
+
=
+

=
=
2222222
1
2222
2222222

1
2222
010
4)(
2)(
4)(
.2)(
riri
irabri
D
riri
irbari
C
aC
Pii
i
Pii
i
P

(1-48)
Vậy nghiệm toàn phần của phơng trình vi phân của dao động cỡng bức một bậc
tự do khi lực cản nhỏ, viết dới dạng:

=

++++=
1
110
)sincos()sincos(
i
ii
t
irtDirtCtBtAeCy

Trong đó các hằng số tích phân A và B đợc xác định theo các sơ kiện.
Ta có thể biểu diễn phơng trình vi phân (1-47) dới một dạng khác để viết nghiệm
của nó đợc gọn gàng hơn:

=
++=++
1
0
2

)sin(2
i
ii
irthhyyy

(1-49)

Trong đó:
01
2
0
ah

=
;
22
1
2
iiPi
bah +=

;
i
i
i
b
a
tg =

Lúc này, nghiệm của (1-49) có dạng:

=

++++=

1
10
)sin()sin(
i
ii
t
irtateCCy

(1-50)
21
Trong đó:
22
BAC +=
;
22
iii
DCa +=
;
B
A
tg =

;
i
i
i
D
C
tg =

Các phơng trình (1-84); (1-85) gồm có 3 số hạng; số hạng đầu là hằng số chuyển vị
gây ra bởi trị số trung bình
0
a
của lực kích thích so với vị trí cân bằng của hệ. Số hạng
thứ hai biểu thị ảnh hởng của dao động tự do có lực cản. Số hạng thứ ba biểu thị ảnh hởng
của lực kích thích có chu kỳ đã đợc phân tích thành các lực điều hoà riêng rẽ. Khi dao động
đã ổn định, ta chỉ cần xét số hạng cuối biểu thị ảnh hởng của dao động cỡng bức:

=
+=
1
*
)sin(
i
ii
irtay

(1-51)
Trong đó
)(;
*
ii
irta

+

là biên độ và pha dao động cỡng bức tơng ứng với tần số
dao động
)2,1(
=
=
iirr
i

Phơng trình dao động gây ra bởi lực kích thích:

=

=
+=+=
1 1
1
2
)sin(.)sin(
1
)(
i i
iiii
P
irtHirthtP

(1-52)
Trong đó: H

i
; (ir.t+

i) là biên độ và pha của lực kích thích ứng với tần số ri=ir (i=1,2 )
của lực đó. Sau đây ta tìm biên độ của dao động
*
i
a
và độ lệch pha giữa lực kích thích với
dao động cỡng bức:
2222222
22*
4)( riri
h
DCa
i
iii

+
=+
(1-53)

iiii
iiii
ii
ii
iii
DbCa
CbDa
tgtg

tgtg
tgtg
+
+
=
+

==

1
)(
(1-54)
+
Trờng hợp không có cản:
Thay

=0;

1
=

vào (1-48) ta đợc:

222
1
2

222
1
2
010
;
r
i
b
D
r
i
a
C
aC
iP
i
iP
i
P

=

=
=

Lúc này phơng trình dao động có dạng:

++

+++= )sincos(sincos
11
22
1
2
01
tbta
r
tBtAay
P
P

)3sin3cos(
)3(
)2sin2cos(
)2(
33
22
1
2
22

22
1
2
++

++

+ rtbrta
r
rtbrta
r
PP

Khi có lực cản dù chỉ là rất nhỏ phần dao động riêng sẽ tắt dần theo thời gian, nên
thực tế có thể bỏ qua.
Rõ ràng là nếu tần số dao động riêng

trùng với tần số của một trong số những
bậc điều hoà riêng rẽ của lực kích thích thì số hạng tơng ứng của y(t) sẽ tăng lên vô cùng và
xảy ra hiện tợng cộng hởng. Vậy khi lực kích thích biến đổi có chu kỳ, nhng không theo
luật điều hoà, thì sự cộng hởng không những sảy ra khi

= r mà cả khi

là bội của r.

22
Chơng 2. DAO ĐộNG CủA Hệ Có MộT SÔ BậC Tự DO
i 1. PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TổNG QUáT CủA DAO ĐộNG
Ta hăy nghiên cứu dao động của dầm có n khối lợng tập trung. Giả thiết không để ý
đến kích thớc của khối lợng và bỏ qua trọng lợng bản thân. Nh vậy hệ có n bậc tự do.
Hệ này dao động dới tác động của các lực:

P
(t)
m
1
m
k
m
n
(t)
y
(t)
y
(t)
y
1
k
n
M
(t)
(t)
q

Các lực kích thích q(t), P(t), M(t);
Các lực quán tính do các khối lợng m
k
dao động: Z
k
= - m
k
y
k
(t);
Các lực cản đặt tại các khối lợng: R
k
(t) (hình 2-1).
Theo nguyên lý đalămbe, ta viết đợc phơng trình chuyển động của các khối lợng:
y
k
(t) =

k1
[Z
1
(t) R
1
(t)] +

k2
[Z
2
(t) R
2

(t)] +

+

kn
[Z
n
(t) R(t)] +
kP
(t) (2-1)
( k = 1,2, ,n)

Trong đó:

ki
- Chuyển vị của khối lợng m
k
do lực đơn vị đặt theo phơng của chuyển vị y
i

(chuyển vị tại khối lợng m
i
) gây ra trong hệ.

kP
(t) - chuyển vị của khối lợng m
k
do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với
giả thi ết m

k
= 0 (coi nh bài toán tĩnh).
Thay biểu thức của các lực quán tính v ào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có:
y
k
(t) -

k1
[- m
1
y
1
- R
1
(t) ] -

k2
[- m
2
y
2
- R
2
(t) ] -

kn
[- m
n

y
n
- R(t)] -
kP
(t) = 0 (2-2)
Hay: y
k
(t) +

k1
[ (m
1
y
1
(t)+R
1
(t)] +

k2
[m
2
y
2
+ R
2
(t)]+

+

kn

[m
n
y
n
(t) + R
n
(t)] -
kP
(t) = 0
(k = 1,2, ,n)
Đó là phơng trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phơng trình
chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển v ị độn.
Nếu không kể tới lực cản, hệ phơng trình (2-2) có dạng:
y
k
(t) +

k1
m
1
y
1
(t)+

k2
m
2
y
2
(t) +

+

kn
m
n
y
n
(t) -
kP
(t) = 0 (2-3)
(k= 1,2 ,3

,n )
Khi xét dao động tự do, vì không có lực kích thích nên trong các ph ơng trình
vi phân (2-2) và (2-3) ta chỉ cần cho
kP
(t) =0.
Ngoài ra, ta cũng có thể thiết lập phơng trình vi phân của dao động bằng cách
khảo sát sự cân bằng động đối với từng khối lợng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các
lực quán tính và lực cản bằng phản lực của c ác liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang
khối lợng, sau đó áp dụng các phơng pháp tính đã nghiên cứu trong phần kết cấu tĩnh
(xem [11 ], [19 ], [8 ]).

23
i
2. DAO ĐộNG RIÊNG CủA Hệ Có MộT Số BậC Tự DO
1. Phơng trình cơ bản của dao động riêng.
Khi không kể lực cản (R
k

= 0), từ phơng trình (2-3) ta suy ra phơng trình vi phân
của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do nh sau:
y
k
(t) + m
1

k1
y
1
(t) +

+

kn
m
n
y
n
(t) -
kP
(t) = 0 (k= 1,2,

,n) (2-4)
Giả sử nghiệm tổng quát của hệ (2-4) có dạng:
y
k
(t) =

=

n
i
1
ki
(t)y
(2-5)
với các nghiệm riêng viết dới dạng: y
ki
(t)=y
ki
.F
i
(t) (i = 1,2,

,n) (2-6)
Trong đó: y
ki
- Các hằng số cha biết;
F
i
(t) - Các hàm số theo thời gian t, cha xác định.
Ta xét một nghiệm riêng thứ i tơng ứng với các khối lợng:
y
1i
(t) = y
1i
. F
i
(t)
y

2i
(t) = y
2i
. F
i
(t) (2-7)
y
ni
(t) = y
ni
. F
i
(t)

m
2
m
1
m
n
m
i
y
y
y
1
k
n
k
i

i

Từ (2-7) ta thấy tại một thời điểm, tỉ số giữa chuyển vị của các khối lợng không đổi
(không phụ thuộc thời gian). Đờng đàn hồi của dầm không xác định bởi các đại lợng
không đổi y
1i
, y
2i, ,
y
ni
gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng (hình 2-2)
Thay (2-7) vao (2-4) ta có: y
ki
F
i
(t) + [m
1

k1
y
1i
(t) +. .+ m
n

kn
y
ni
] . F

i
(t) = 0
Hay:
(t)F
)(F
i
i
t

= -
niknnkii
ki
ymym
y

+
11
(2-8)
Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phụ thuộc vị trí và trị số của các khối lợng.
Nh vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lợng không đổi và đợc ký hiệu là

w
i
2
.
vì dao động riêng là dao động điều hòa nên ở đây phải đặt là - w
i
2
. Do đó từ (2-8)

ta rút ra đợc hai phơng trình:
1)

F

i
(t) + ù
i
2
F
i
(t) = 0 (2-9)
2)

m
1

k1
y
1i
(t) +

+ m
n

kn
y

ni
- y
ki
(2-10)
Phơng trình (2-9) có dạng nh phơng trình vi phân dao động của hệ có một bậc
tự do (xem chơng 1) nên có nghiệm: F
i
(t) = A
i
sin

i
t + B
i
cos

i
t
Hay F
i
(t) = A
i
*
sin (

i
t =

i
) (2-11)

Trong đó: A
i
*
=
2
i
2
i
B A +
; tg

i
=
i
i
A
B

24
Nh vậy, nghiệm riêng thứ i của phơng trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần hoàn
có tần số vòng thứ nhất i của dao động riêng là

i
và pha ban đầu của dao động là

i.

Từ phơng trình (2-10) lần lợt cho k = 1,2,,n ta đợc n phơng trình chính tắc để
xác định mẫu số chuyển vị y
ki

:
m
1

11

i
2

y
1i
+ m
2

12

i
2
y
2i
+

+ m
n

1n

i
2

y
ni
- y
1i
= 0
m
1

21

i
2

y
1i
+ m
2

22

i
2
y
2i
+

+ m
n

2n

i
2

y
ni
- y
2i
= 0

.
m
1

n1

i
2

y
1i
+ m
2

n2

i
2
y
2i
+

+ m
n

nn

i
2

y
ni
- y
1i
= 0

hay: (m
1

11

i
2
- 1)

y
1i
- m
2

12

i
2
y
2i
+

+ m
n

1n

i
2

y
ni

= 0
m
1

11

i
2
y
1i
+ (m
2

22

i
2
- 1) y
2i
+

+ m
n

2n

i

2
y
ni
= 0 (2-12)

.
m
1

n1

i
2
y
1i
+ m
2

n2

i
2
y
2i
+

+ (m
n

nn

i
2
-1)

y
ni
= 0
Chia tất cả các phần tử trong hệ (1-12) cho

i
2
và đặt u
i
=
2
1
i

, ta có:
(m
1

11
- u
i

)

y
1i
+ m
2

12
y
2i
+

+ m
n

1n
y
ni
= 0
m
1

21
y
1i
+ (m
2

22 -
u
i
) y
2i
+

+ m
n

2n
y
ni
= 0 (2-13)

.
m
1

21
y
1i
+ (m
2

22
- u
i
) y
2i
+

+ m
n

2n
y
ni
= 0
Hệ phơng trình (2-12) và (2-13) là hệ phơng trình thuần nhất đối với các ẩn số chuyển vị
y
1i
, y
2i
,

, y
ni
.
Đó là phơng trình cơ bản của dao động riêng. Tự hệ này ta xác định đợc trị số
của các tần số dao động riêng và phơng trình dao động riêng. Ta thấy ngay nghiệm tầm thờng
với y
1i
= y

i
=

= y
ni
= 0 không thịch hợp với bài toán ở đây. Vậy điều kiện tồn tại nghiệm
(tức la tồn tại dao động) là định thức của hệ số các ẩn số bằng không:

(m
1

11

i
2
- 1) m
2

12

i
2

m
n

1n

i
2

D = m
1

21

i
2
(m
2

22

i
2
- 1)

m
n

2n

i
2

= 0 (2-14)

.
m
1

n1

i
2

m
2

n2

i
2
+

.+ m
n

nn

i
2

(m
1

11
- u
i
) m
2

12

m
n

1n

hay D = m
1

21

(m
2

22
-u
i
)

.m
n

2n
= 0 (2-15)

m
1

n1

m
2

n2

. (m
n

nn
- u
i
)

Định thức này chính là phơng trình bậc n đối với u
i
. Từ phơng trình này ta xác định
đợc n nghiệm thực u
1
,u
2
, ,u
n
; tơng ứng với các nghiệm đó .Ta đã suy ra một phổ của
các tần số dao động riêng:

1,

2,
,

n

. Xếp thứ tự các

từ trị số nhỏ đến lớn và gọi

1

là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản.
Phơng trình (2-14) hay (2-15) gọi là phơng trình tần số hay phơng trình thế kỷ.
Phơng trình này tìm đợc đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển động
của các hành tinh đo bằng thế kỷ. Việc giải phơng trình này khá phức tạp, mức độ phức tạp
càng tăng khi số bậc càng lớn.Trong thực tế, thờng chỉ cần tần số thấp, nên sau này ta
sẽ nghiên cứu các cách tính gần đúng đơn giản để xác định

1
(xem chơng 4). Nh vậy,
đối với hệ n bậc tự do ta xác định đợc n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số
dao động riêng

i
, ta có một dạng chính của dao động. Đến đây ta đã giải quyết xong
25
một nhiệm vụ cơ bản của phần nghiên cứu dao động riêng. Nhiệm vụ tiếp theo là xác định
phơng trình chuyển động tổng quát của các khối lợng. Theo (2-7) và (2-11), phơng trình
chuyển động của các khối lợng ứng với tần số

i
có dạng:
y
1i
(t) = y

1i
A
i
*
sin (

i
t +

i
)
y
2i
(t) = y
2i
A
i
*
sin (

i
t +

i
)

(2-16)
y
ki
(t) = y

ki
A
i
*
sin (

i
t +

i
)

y
ni
(t) = y
ni
A
i
*
sin (

i
t +

i
)

Thay (2-16) vào nghiệm (2-5), ta đợc phơng trình dao động tổng quát của khối lợng m
k
:

y
k
(t) =

=
+
m
i
iiiki
tAy
1
*
)sin(.

(2-17)
Đặt
à
ki =
i
ki
y
y
1

(2-18)
Trong đó k = 1,2, ,n chỉ thứ tự khối lợng (m
k
) i = 1,2, ,n chỉ thứ tự tân số riêng

i

Lúc này, phơng trình (2-17) có dạng:
y
k
(t) =

=

n
i
ii
t
1
*
11i
i
k
)sin(Ayà

(2-19)
y
k
(t) =
iC
n
i
ki

=
1

à
sin(
ii
t

+
) (2-20)
C
i
= y
1i
.A
i
*

Đó là phơng trình tổng quát của dao động tự do tại khối lợng m
k
; trong đó các
đại lợng
iiki
C

,,
xác định nh sau:
a)

Xác định các tỷ số chuyển vị
à
ki
=