Giáo trình toán học cao cấp (trọn bộ 2 tập) tập 1

Giớo trình

TỐN

HỌC

CAO CAP

VIEN CAC TRUONG CAO DANG)

NHA XUAT BAN GIAO DUC


eg,

NGUYEN BINH TRI (Chủ biên)

LÊ TRỌNG VINH - DƯƠNG THỦY VY

Giáo trình

TỐN HỌC CAO cấp
TAPI
(Sách dùng cho các trường Cao đẳng)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


se

me

LỜI NÓI ĐẦU
đẳng thường
Sinh viên mới vào năm học thứ nhất các trường đại học, cao

có nhiều
gặp khó khăn do phương pháp dạy, phương pháp học ở bậc học này

là một môn học
điều khác biệt so với ở bậc Trung học. Tốn học cao cấp lại
cao đẳng kĩ
khó với thời lượng lớn của năm thứ nhất các trường đại học,
cụ toán học để sinh
thuật, nhằm rèn luyện tư duy khoa học, cung cấp công
lực để tiếp tục tự
viên học các môn khoa học kĩ thuật khác và xây đựng tiềm
học sau này.
cứ vào chương
Bộ giáo trình "Tốn học cao cấp” này được biên soạn căn
đẳng của một
trình khung đã được ban hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao
Toán hiện nay
số trường đại học Kĩ thuật và căn cứ vào chương trình mơn

cao đẳng
của các trường Trung học Phổ thông. nhằm giúp cho sinh viên hệ

học tốt môn học này.

của toán học cao

Do yêu cầu đào tạo hiện nay của hệ cao đẳng, một số phần

thuộc tham số, tích
cấp như cấu trúc đại số, dạng tồn phương, tích phân phụ
được đưa vào giáo trình
phân ba lớp, tích phân mặt, chuỗi Fourier,... khơng
pháp cơ bản, những
này. Những khái niệm tốn học cơ bản, những phương

Một số định lí
kết quả cơ bản của các chương đêu được trình bày đầy đủ.

lí quan trọng được
không được chứng minh, nhưng ý nghĩa của những định
Nhiều ứng dụng của lí
giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh hoạ được đưa ra.

những kiến thức về
thuyết vào tính gần đúng được trình bày ở đây. Riêng với
trình này chỉ
giải tích mà sinh viên được học ở Trung học Phổ thông, giáo
kiến thức nâng
nhắc lại một cách hệ thống các điểm chính và trình bày các
sinh viên học tập và
cao. Phân câu hỏi ôn tập ở cuối mỗi chương nhằm giúp
tập để ra ở cuối mỗi
tự kiểm tra kết quả học tập cia minh. Lam những bài

niệm toán học, rèn
chương sẽ giúp người học hiểu sâu sắc hơn các khái

ấy. Các bài tập
luyện kĩ năng tính tốn và khả năng vận dụng các khái niệm
đó sẽ được giải trong bộ bài tập kèm theo bộ giáo trình này.

thể của ba nhà
Bộ giáo trình này được viết thành 2 tập và là cơng trình tập
Thủy Vỹ. Ơng
giáo: Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Lê Trọng Vinh và Dương
Thủy Vỹ viết các
Lê Trọng Vinh viết các chương I, H, IV, V. Ông Dương
các chương VII, X, XL
chương HI, VI, VHI, IX. Ơng Nguyễn Đình Trí viết


Khi xay dung dé cương cho bộ giáo trình
này cũng như khi biên soạn giáo

trình, chúng tơi đã tham khảo kinh nghiệm của
nhiều nhà giáo đã giảng day

nhiều năm môn Toán học cao cấp cho
hệ cao đẳng các trường đại học kĩ
thuật. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn
các bạn đồng nghiệp đã đọc bản

thảo và cho nhiều ý kiến quý báu,

Bộ giáo trình này được viết lần đầu, chắc khôn
g tránh hết được những khiếm

khuyết. Chúng tôi chân thành cảm ơn mọi
ý kiến đóng góp của bạn đọc. Thư

góp ý xin gửi vẻ Công tỉ Cổ phần Sách Dai học
- Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên,
Hà Nội

Các tác giả


Lời nói đầu

MỤC LỤC

Chương I. Tập hợp và ánh xạ.
Số thực và số phức
§1. Nhắc lại về mệnh đề tốn
học và kí hiệu lơgic

§2. Tap hợp

§3. Ánh xạ
§4. Số thực

12
16

§5. Số phức

18

Câu hỏi ôn tập

32

Bài tập

33

Đáp số

36

Chương II. Hàm số một biến
số. Giới hạn và liên tục.
Đạo hàm và vị phan

$1. Các khái nệm cơ bản về hàm
Số một biến số

§2. Phan loại hàm số

$3. Giới hạn của đãy số

$4. Giới hạn của hàm số
§5. Vơ cùng bé và vơ cùng
lớn

$6. Hàm số liên tục

§7. Đạo hàm

.§8. Vị phân
Câu hỏi ôn tập
Bài tập
Đáp số
Chuong III. Cac dinh li vé gid
tri trung bình và ứng dụng

§1. Các định lí về giá trị trung bình

§2. Cơng thức Taylor

§3. Quy tác L'Hospita]
Š4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát
hàm số

39
39
44
50
59
69
77
84
86
88
95
99
99

102
107
lãi


§5. Đường cong cho bởi phương
trình tham số
$6. Đường cong trong hệ toa độ
cực
Câu hôi ôn tập

123
128
133

Bài tập

134

Đáp số

137

Chương IV, Định thức - Ma
trận - Hệ phương trình tuyến
tính
§1. Khái niệm mở đầu về ma
trận

141

141

§2. Định thức

143

§3. Ma trận

147

§4. Hệ phương trình tuyến tính

155

Câu hỏi ơn tập

162

Bài tập

163

Đáp số

168

Chương V. Khơng gian vectơ

§1. Khái niệm về khơng gian vec
tơ

§2. Khơng gian con, Hệ sinh

§3. Hạng của một họ vectơ
$4. Bài tốn đổi cơ sở

§5. Ánh xạ tuyến tính

Câu hồi ơn tập
Bài tập
Đáp số

Chương VI. Phép tính tích phân
của hàm số một biến số
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định

§3. Một số ứng dụng hình học của tích
phân xác định

§4, Tích phân Suy rộng
Câu hỏi ơn tập

Bài tập

Đáp số

Tài liệu tham khảo

6

171

171
174

183
184

188
198
199
205
207 207
226

237
250
257

260
266

271


CHƯƠNG I. TAP HOP VA ANH XA - SỐ THỰC VÀ
SỐ PHUC
MUC DICH YEU CAU

về tập hợp và ánh xạ,
Chuong I dành để ôn tập và bổ sung những kiến thức
trình bày những kiến
về số thực đã được học ở bậc Trung học Phổ thông,

thức cơ bản về số phức, các phép tính về số phức.

số phức, làm tính thành
Sinh viên cần hiểu Kĩ các kiến thức đó, làm quen với
của số phức.
thạo đối với các số phức, biết sử dụng dạng lượng giác

LƠGIC
§1. NHẮC LẠI VỀ MỆNH ĐỂ TỐN HỌC VÀ KÍ HIỆU
.1.1. Mệnh để tốn học

học chỉ có thể đúng hoặc sai,
Mệnh đề toán học là một khẳng định tốn
khơng sai.
khơng thể vừa đúng vừa sai, vừa khơng đúng vừa

Ví dụ Ì:

2 < 4 là mệnh đề tốn học đúng;
5 >7 là mệnh để tốn học sai.

1.2. Kí hiệu logic

sau:
Trong suy diễn toán học, người ta dùng các kí hiệu

Giả sử có hai mệnh dé A va B.
mệnh để B”.
e Kí hiệu A —= B đọc là “từ mệnh để A suy ra
đương với mệnh đề B”. Điều đó
e Kí hiệu A «> B đọc là “mệnh để A tương
có nghĩa là A => B, đồng thời B = A.

để có B, cịn B là điều kiện cần có
e Nếu A = B thì ta nói A là điều kiện đủ

và đủ của B, đồng thời B cũng
được từ A. Nếu A œ B thì A là điều kiện cần
là điều kiện cần và đủ của A.


bx +¢=0(a40)
Ví dụ 2: Điêu kiện cần và đủ để phương trình bậc hai: ax? +
có hai nghiệm thực phân biệt là A = bỶ — 4ac > 0, Ta viết:
[phương

trình: ax? + bx + ¢ = 0 (a # 0) có hai nghiém

thực phân biệt]

<b - fac > 0.
« Kí hiệu : = đọc là “được định nghĩa là”.
«e Kí hiệu Vx doc là “với mọi x”.

e Kí hiệu 3 y đọc là “tồn tại y”.
Ví dụ 3: Vx ta đều có X” + x + 1>0;

3y đểy°-5y+4=0.

§2. TẬP HỢP
2.1. Tập hợp và các phân tử của tập hợp
được định nghĩa cũng như đối
Tap hợp là một khái niệm ngun thuỷ, khơng
nói tập hợp sinh viên của
với các khái niệm điểm, đường, mặt. Ta thường
kính don vi,... Nhu vậy, tap
một lớp, tập hợp các điểm trong hình trịn có bán

nào đó. Mỗi
hợp bao gồm các đối tượng có chung một tính chất
trong tập hợp gọi là một phan ti của tập hợp.
... dé chi cdc tap
Người ta thường dùng các chữ hoa như A,B,C,
tập hợp.
chữ thường như x, y, Z, t,... để chỉ các phân tử của
(đọc là “x thudc
Nếu x là phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu xe A
B (đọc là “y khơng
khơng phải là phần tử của tập hợp B, ta kí hiệu y ¢

đối tượng

hop và các

A”). Nếu y
thuộc Bì).

hợp hữu hạn. Người ta cho
Tập hợp gồm một số hữu hạn phần tử gọi là tập
tử của nó. Tập hợp gồm vơ
một tập hợp hữu hạn bằng cách liệt kê các phần
g có phần tử nào gọi là rập
số phần tử gọi là ráp hợp vơ hạn. Tập hợp khơn
rỗng (tập trống), kí hiệu là Ø.
# ta viết: A = [x|x có
Nếu A là tập hợp gồm những phần tử x có tính chat
tính chất 7}.


Vi du 1: A=

{x|x? — 1 = 0} doc là “A là tập hợp các 86 x sao cho x?— 1 = 0”.

Đó chính là tap hop hitu han (—1; 1}.
Các tập hợp thường gặp trong tốn học là:
Đ = {0, 1,2,...} là tập hợp các số tự nhiên.

N* = (1, 2, 3, ...} là tập hợp các số nguyên đương.
Z,= {0, +1, +2,... } là tập hợp các số nguyên.

Q= lội

q #0} là tập hợp các số hữu tỉ.
p.qe Z,

R la tap hợp các số thực.

là tập hợp các số thực khác không.

R = 1x e R| x0}

1R,= {x e RỊ x>0} là tập hợp các số thực không âm.
R_= {x € R| x $0} 1a tap hợp các số thực không dương.

"Tập hợp vô hạn được gọi là đếm được nếu có thể đánh số các phần tử của nó
theo thứ tự tự nhiên. Trong trường hợp trái lại, tập hợp được gọi là không đếm

được. Các tập hợp Ñ, Ñ”, Z„ Q là những tập hợp đếm được. Chẳng hạn, ta có thể
đánh số các phần tử của Z, (tập hợp các số nguyên) theo các mũi tên như sau?
0

©

1

ý

2

Z

-l

+
-2

3

Z

Ý

”

—3

Các tập hợp R, R”, ïR,, R_ là những tập hợp không đếm được.
2.2. Tập hợp con. Tập hợp bằng nhau

Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phan tir cha A đêu là phần tử của B, ta nói

rằng A là tập hợp con của B, hay A bao hàm trong B, hay tập hợp B chứa tập

A C B hay B2 A.
hợp A, kí hiệu


Như vậy, ta cũng có A C A.

Với các tập hợp đã liệt kê ở trên, ta cé ÑN'CNÑC ZC QC R.
Ta quy ước : Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu A C B và BC A, kíhiệu : A =
B.

2.3. Các phép tốn về tập hợp

Để dễ hình dung tập hợp và các phần tử của nó,
người ta thường dùng cách biểu diễn hình học, xem

mỗi phần tử của tập hợp là một điểm nằm trong một

hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín, gọi là
biểu dé Ven (hinh 1.1).

Hinh 1.1

2.3.1. Phép hop

Hợp của hai tap hop A và B là tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A,
hoặc tập hợp B, kí hiệu A L) B.
AUB=(xlxe

AhoặcA


(hình 1,2).

Phép hợp các tập hợp có các tính chất sau:
AU (BUC) =(AUB)UC (tinh chat kết hợp);
AUB=BUA

(tinh chat giao hoán).

2.3.2. Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm những phân tử vừa thuộc A vừa
thuộc B, kí hiệu A đ B.

AQB= {x|x

€ A vax

e B }(hinh 1.3).

$

Phép giao của các tập hợp có các tính chất sau :

An(Bn@=(AnB)ncC:;
ANB=BNA.
10

Hình 1.3


Hai phép toán trên được liên hệ với nhau bởi luật phân phối :
AU(BNO

=(AUB)N(AUC),

AN(BUC)=(ANBU(ANC).
2.3.3. Phép trừ

Hiệu của tập hợp A va tap hop B 1a tap hop gdm
những phần tử thuộc tập hợp À nhưng khơng thuộc

()

tập hợp B, kí hiệu A \B,

AXB=(x|xe
A,x £B) (hình 1.4).

Hình

1.4

2.3.4. Tập hợp bù (phần bù)
Xét tập hợp E. A là tập hợp con của E. Tập
E\

A,kihigu A, A=E\A

hợp bù của A trong E là tập hợp

(hình 1.5).

Nhu vay ACE>E-A=A=A.
Vi du 2:

A= {x|x?3x +2=0) = {1,2}
B=

Khi đó

{x|x?
+ 4x —5=0}

= {-5,1}.

Hinh 1.5

AUB={-5,1,2},ANB=
{1};

A\

B= (2}, (AUB)\A=

[-5}.

2.4. Tích đề - các của các tập hợp
"Tích đề - các của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các cặp (a, b),a ¢ A,be B
theo thứ tự a trước b sau, ki hiéu A x B,

Ax B= {(a,b)lae
A, be B}.
Vi du 3. Néu
A=

{1,2}, B=

Nếu A = B thì A xB=A

{5, x} thi

Ax B=

{(1, 5), (1, x), (2, 5), (2, xD}.

x A, kí hiệu A'.

Néu A,=A,=...=A,=A thi

ki hiéu A’.
A,xA,x..xA, =AXAX...
BRAK ARE xA,
nlần

Chú ý: Tích đê-các của hai tập hợp khơng có tính chất giao hốn : A x B#Bx A.
iW


§3. ANH XA
3.1. Các định nghĩa
Dinh nghial. Cho hai tập hợp
X ,Y khác Ø. Ta BỌI ánh x
ƒạ
từ X vào Y là
một

quy luật cho ứng với

y€ Y, kí hiệu:

mỗi phần tử xe

FIX SY, xr y= f(x),

X một và chỉ một phần tử

X duoc goi la rap hợp nguồn,
Y được gọi là tập hợp đích. Phâ
n tử y được gọi
là ảnh của x và x được gọi là ngh
ịch ảnh của y.
Định nghĩa 2, Nếu A c x
thì tập hợp các ảnh qua ánh
xạ f của tất cả các
phần tử x e A gọi là ảnh của
tập hợp A qua f, kí hiệu f(A).
Vậy

f(A) = ty ly = #0), xe A},

Dinh nghia 3. Néu Bc Y thi
tap hop {xe X | f(x) = ye B}
gọi là nghịch ảnh của tập hợp
B trong ánh xạ f, kí hiệu là f—!
(B),
Vid I: Chof:R
R,,x-+ y= f(x) =x? Đó là một
ánh xạ vì với mỗi x eR,

ta duge mot va chi mot y = x2,

HA)

Hinh 1.6
Nế
A =[—
u
!,2] CIR thi f(A) = (yly=x®⁄x

Nếu B=[
2]C1R,
,thì fˆ'{B)= [xÍx e ÉĐ; x?

€ [-1,2]} =[0, 4]C R,

[1,2]] = {x|xlR,1
= ÍxI~⁄2[1,V2]

12

(hinh 1.6),

đình LD.


3.2, Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Định nghĩa 4. Cho ánh xạ f: X —› Y,
1) Anh xa f gọi là đơn ánh néu: Vx,, x, EX, X, #X, => f(x,)

# f(x;), điều đó

tương đương với: VX,, x; 6 X, f(X,) = £0) > x)= x».

,

2) Anh xa f goi la todn dnh néu £(X) = Y, điều đó có nghĩa là với
mọi y eY, tồn
tại ít nhất một phần tử x e X sao cho y = f(x). Khi 46, ta ndi ring
f: XK > Y là
ánh xạ từ X /én Y.
3) Ánh xạ f gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là tồn
ánh.
Mơ tả hình học của đơn ánh, tồn ánh, song ánh được cho ở hinh
1.8.

đơn ánh

tồn ánh

song ánh

Hình 1.8
Vi du 2: Cho anh xa f: R > R, xdc định bởi x > f(x) = x*+1,
Néu f(x,) = f(x,) hay xP +1 = xì +1, ta suy ra xì = xì, vay X, =
x;. Do đó,

f là đơn ánh.

Lấy bất kì y e IR, phuong trinh f(x) = x? + 1 = y hay x`+

nghiệm

l— y= 0 có

x= Ÿy—I.

Vậy 3x = Yy-TeR dé f(x) =x +1=(fy-1
+1 )=y hay f là toán ánh.
f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh nên f là song ánh.

Vi du 3: Cho ánh xạ f: IR —› IR, xác định béi x + f(x) = x2,
Néu f(x,) = f(x,) hay x; = x3, ta suy ra (x, — X;)( Xị + X;) = Ö hay x,
= x, va

x, = —x,. Vay f khong phai 14 don ánh.

13


ung
yer

“og,

= y chỉ có nghiệm x= ty,
Lay bat ki ye IR, phuong trinh x?
Vậy f cũng khơng phải là tồn ánh.
định bởi x >
Tuy nhiên, ánh xạ f: R —> IR, xác

(y >0), ta ln CĨ X= ify

khi y 2 0.

x? là tồn ánh vì V y e Đ,

déchox’=y.

ấy là một
định bởi x > x?. Rõ ràng ánh xạ
Lai xét énh xa fi Ro > R, xác
song ánh.
ánh
3.3. Ánh xạ ngược của một song

ảnh
Khi đó, mỗi phần tử x e X có một
Giả sử f: X —> Y là một song ánh.
nghịch
phần tử y e Y có một và chỉ một
mỗi
lại,
ợc
Ngư
Y.
e
f(x)
định
xác
% lên Y là một

ảnh x e X. Vì vậy, song ánh f từ
X và Y. Ánh xạ
phép tương ứng l — 1 hai chiều giữa

-1
X sao cho f@œ) = y gọi là ánh
biến y e Y thành x
:
là fˆ'. Vay f'là
xã ngược của song ánh f, kí hiệu
1.9
một song ánh (hình 1.9). Hình
một ánh xạ từ Y lên X, nó cũng là
song ánh
định bối x + Ÿ(X) = x2 + I là một
xác
R
—>
IR
:
f
xạ
Ánh
4:
dụ
Ví

đó là:
(xem ví dụ 2). Nó có ánh xạ ngược †f—,
f8 —>RR xác định bởi y > Ÿy —Ldinh bởi :

Ví dụ 5 : Xét anh xa f: R? > RB’ xac
(x,y)

f(x y) = (3x + 2y, 7x + 5y).

Gia sir f(x), y,) = Xa, Ya), tate là:

52).
(3X,+ 2yps TH+ 5y) = Ơa+ 2ý» TXị?

Khi đó

3x, +2y, = 3x, +2y2 ha
TXị tÕyi = TX; +5Ÿ2

Mi
Hx, - Xa) +5

—y,)=9.

X,= X33 ¥i = ¥2
18 x,— %. = 9, ¥1 — ¥2* 0. Vay
Nghiệm của hệ phương trình d6

Do do (x,
14

4nh tir R? vao R?.
91) = Kp, Yo). Suy raf la mot don

Lay (u, v) € R’, cần chỉ ra tồn tại cặp (x, y) sao cho :
3x+2y=
xư=
7x+5y =V.

f(x, y) = (3x + 2y, 7x + Sy) = (u,v) >

_

a

AK ARS

ae

.

„JX=5u~2v

Giải hệ phương trình đó đối với x, y, ta được một nghiệm duy nhất

y=3v-7u.

Vay f là một toàn ánh từ JR? lên IR?, Do f vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh nên
là một song ánh . Do đó, nó có ánh xạ ngược f~' xác định bởi :

(u,v)

f ~' (u, v) = (ấu ~ 2v, 3v — 7u).

Chú thích: Nếu f: X —> Y là một đơn ánh thì f là một song ánh từ X lên f(‹).

Vi vậy, tồn tại ánh xạ ngược fˆ”' : fŒX) —> X.
3.4. Tích (hợp) của hai ánh xạ
Cho ba tập hợp X, Y, Z và hai ánh xạ f: X —> Y; g: Y —> Z. Như vậy, ứng với

mỗi phần tử x e X, có một và chỉ một phần tử y = f(x) e Yvà ứng với mỗi
phần tử y e Y, có một và chỉ một phần tử z = g(y) e Z. Như vậy, ứng với

mỗi phần tử x œ X, qua trung gian y, có một và chỉ một phần tử z = g(y) =
gữŒ)] e Z. Ánh xạ từ X tới Z xác định bởi: x e X => z = g[f(x)]< Z.

Gọi là đích (hay hợp) của các ánh xạ f và g, kí hiệu là g o f. Vậy g of: X —> 2,

x'>(gsÐ() = g[f+)] (hình 1.10).
Vi du 6: Cho f: R > [-1, 1]: x sinx;

£

`

g:R>(0,+œ),xi>€”,

Ta có (§o Ð(x) = gif] =e";
(fs gGœ) = f[gG)] = sin e`.

gai
Hình 1.10

15


Shgv!
ak

§4. SỐ THỰC
4.1. Khái niệm về số thực
Ta biết rằng số hữu r là số có dạng 1,

q

trong đó p, q e Z, q

0. Mọi số hữu

tỉ đều có thể viết được đưới đạng số thập phân
hữu hạn, hay số thập phân vơ
hạn tuần hồn. Chẳng hạn : ; =05;

; = 0,333333333 ... = 0,(3).

Ngồi các số thập phân vơ hạn tuần hồn,
ta cịn gặp những số thập phân vơ

hạn khơng tuần hồn như các số :
m= 3,1415926..;

V2

= 1,4142136...;

V3

= 1,718281825...

Các số thập phan vơ hạn khơng tuần hồn Bọi là
các số vô rý. Như vậy, số vô
tỉ là những số không viết được dưới dạng tỉ số của
hai số nguyên.
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ gọi là tập hợp
các số /zc, kí hiệu là IR,
4.2. Trục số thực
Người ta thường biểu dién các số thực trên một
đường thẳng, trên đó đã chọn

một điểm O làm gốc, một chiều đương và một đơn
vị dài (hình 1.11). Mỗi
điểm M trên đường thẳng đó được ứng với số thực
a bằng độ dài đại số của

vectơ OM. Đảo lại, nếu cho trước một số thực
a, ta tìm được một điểm duy
nhất M trên đường thẳng sao cho độ đài đại số của
vectơ OM bằng a. Như

Vậy, giữa tập hợp các số thực IR và tập hợp các điểm trên
đường thẳng có một

phép tương ứng một - một hai chiều. Đường

thẳng đó gọi là rực số thực. Ta đùng kí hiệu
M(x) dé chi diém M ting voi s6 thực x.
4.3. Khoang, doan, khoang vo han

M(a)
0

1

x
Hinh

1.11

Sau đây là các tập hợp số thực thường gặp. Giả sử a, b là
hai số thực, a < b.
16


suy,

wage,
Ki

{x € Rlalà một khoảng mở.
{xe R[a
b} được kí hiệu là [a, b], gọi là một khoả
ng đóng hay đoạn.

{xe Rl a
b} duoc kí hiệu là (a, b].

{xe Rla<

x
được kí hiệu là [a, b).

{x € R[x {x € R|x < a} được kí hiệu là (— œ, a].
{x @ R|x > a} được kí hiệu là (a, + 0),
{x © Rx 2a} duoc kí hiéu 1a [a, + 00).
Con R

= (— co, +0).

Các khoảng (~ ©, a), (— 0, a], (a, +00), [a,
+00), (-00, +00) JA những khoảng

vô hạn.

4.4, Gia trị tuyệt đối
Số thực x có thể là dương, âm hay bằng 0. Người
ta gọi trị số tuyệt đối của
Số thực x là một số, kí hiệu là |x|, được xác định
như sau:
|

x

nếu

x>0

—x

nếu

x<0.

Chẳng hạn, |7| = 7; |— 5|
= 5.

M(x)
ệ
<---|x|~~~>

5

Hình 1.12

Nếu số thực x biểu diễn điểm M trên trục số thì số |x| là
độ dài hình học của
đoạn OM (hình 1.12).

Giả sử a là một số thực dương. Nếu số thực x biểu diễn
điểm M trên trục số

thì bất đẳng thức |x| < a chứng tỏ ràng khoảng cách hình
học từ gốc O tới M
nhỏ hơn a. Vậy: |x|[< ac> —aMột cách tổng quát : [x xp] Saco x, -aSx2.THCC-T1-A

17


»

ee.
nh

4.5. Các tính chất của giá trị tuyệt đối

lx+yl<

|al+ ly|;

|x—y|> lx| ~ ly|;
Ixy|
= ]x|.ly|;
x]_ Rị

yl ly

Voi
y #0;

Ixll= |xƑ.
Bạn đọc tự chứng minh các cơng thức này.

§5. SỐ PHỨC
Nếu chỉ tính tốn với các số thực thì những phương
trình đại số như

phương

trình x” + 1 = 0 hay x” = —1 vơ nghiệm vì bình phương của
mọi số thực đều

khơng

âm.

Vì vậy, cần phải xây dựng những

số mới

sao cho số thực là

trường hợp riêng của những số mới và các phương trình
đại số đều có
nghiệm. Những số mới đó là số phức.
Š.1. Các định nghĩa

Người ta gọi đơn vị đo là số ¡ thoả mãn

đẳng thức ¡? = —1. Như vậy, phương

trình x” = ~1 có hai nghiệm x = ¡ và š = —i,

Người ta gọi số piưức là số có dang z= a+ ib,

d.1)

trong d6 a,b € R, a gọi là phdn thuc ca sé phức z,
kí hiéu 1A Rez, b gọi là

phân ảo của z, kí hiệu là Imz,
Nếu b=0, ta có z = a e IR. Vậy số thực là trường hợp riêng
của số phức.

Nếu a = 0, ta có z= ¡b. Ta nói z = ib là một số ảo
thuận tuý.
Nếu a =b=O
ta viết ,
z= 0.
Tap hợp tất cả các số phức được kí hiệu là C. Vậy
IRC ©.
18

2.THCC-T1-B


Hai số phức z, = a, + ib,; 2, = 4, + ib, gọi là bằng
nhau nếu a, =a, vab,
ki higu 1a z, = 2,,

=b,,

Néu z= a+ ib thi ~a— ib gợi là Số phức đối của z, kí
hiệu là —z, còn a — ib

gọi là số phức liên hợp của z, kí hiệu là Z. Chẳng
hạn, nếu z = 3 + 5¡ thì

—#=-3—51;

Z =3-~ 5ï.

5.2. Các phép tính về số phức
3.2.1. Pháp công các số phức
Cho hai số phức z, = a, + ib,; 2 =a, + ib). Ngudi ta goi
tổng của hai số phức z,
và z„ là số phức, kí hiệu là Z¡ + Z2, xác định bởi z, +
z¿ = (4, + a;) + i(b, +b).

Từ đồ suy ra các tính chất sau:
8) Œ¡ 2 22) +2 =2 +

+ 2;) (tính chất kết hợp);

b) z, +z, = z¿ + z¡ (tính chất giao hốn);
€)z+0=z;

đ)zi ~ 22 =2 +(— 22).

Chẳng hạn, nếu z, = 3 ~ Ái, z = — 2 + 7i thì :

Zz+7+=(3—~2)+i—4+7)=l
+ 3ï;

zi~Z
4Ù +2=
(2 ~ 7Ù(~
= 5 — 1]ï.

3.2.2. pháp nhân các số phức
Tích của hai số phức z, = a, + ib, va 2, = a, + ib; là
số phức có được bằng
cách nhân chúng như nhân hai nhị thức thông thường
với chú ý #=-l, kí
hiệu là z¡.z; „
21.2) = (a, + ib,).(a, + ib,) = a,(a, + ib,) + ib,(a, + ib,)

= a,a, + ia,b,+ ib,a, + i°b,b,
= aiA; — bịb; + (a,b,+ a;b,).

19


d

3
oxy

Néu z, = z,=z thi z.z duoc ki hiệu là z?. Cịn

z.z........2 được kí hiệu là z".

Phép nhân số phức có các tính chất sau:
A) (Z4.Z2).Z: = Z,.(Z.Z5) (tinh chất kết hợp).
b) z,.2, = Z;.z, (tính chất giao hốn).
€)z.l=z.

đ) Nếu z z 0 thì tồn tại số phức, kí hiệu là z”' sao cho z.z”
' = 1. Số phức z !

gọi là số nghịch đảo của z.

Thật vậy, giả sửz = a + ¡b# 0, tức là a + b?z 0. Ta cần tìm số phức
z`' = x + iy
sao cho z.z ' 1 = 1, hay (a + ib)(x+ iy) = 1 © ax — by + i(ay
+ bx) = 1 +03.

Hai số phức bằng nhau khi phần thực của chúng bằng nhau và phần
ảo của

chúng bằng nhau. Do đó:
Giải

x=

hệ
a

hai

vee

phương

Yaa

-b

aap

ax—by=1

bx +ay =0.
trình

Vay

YY

đó,

77

“|

=

ta

được

a

ath

1

Chú thích: Trong thực hanh, ta cé thé tinh z7! =
và mẫu số với (a— ib), ta được zˆ! BO

một

.

nghiệm

duy

a?+b? .
a+i

—

a-ib

(a+ibXa-ib)

bằng cách nhân tử số
a-ib

a”-ib°

a-ib
eS.

a?+b?

5.3. Cae vi du
Vi du 1 : Tim cc s6 thyc x, y sao cho

nhất

b

(1 + 2i)x + (3 - 5Sijy = 1-31.

Giải. Do x, y 6 TR nên phương trình đã cho có thể viết:

x + 3By + i(2x - 5y) = 1 —3i.


Vidu 2: Tinh A= (x~1- iy

Gidi.

- 1+)

T1-D(Œ~1+i)=(x=

ĐỂ

ŒX+l+j@x+l-D=

(414i)

(41-3),

IẺ= Œ=H}P+1=x2— 2+2;
Œ&%+1}Ẻ-i?=x?+2x+2

= A= (8 +2 — 2x)(x? 42+ 2x) = (x?
+ 2)? — 4x?
= xt 44x? 44 — 4x? =xt+4,
2i
Vi du 3: Tim phan thực và phần ảo
của số phức A = 342i

1-V3i"

Giả.

.

A<.3121_ B+20+V3i) _ GB-2V3) 4102439)
1-V3i a —-V3nd
+ V3iy
1-(V3i??

_G- 2N3)+i(2 +33) _ 3-2.
3~
¡2+33

1+3

4

4

0

Vay Rea = 3-243. ImA = 2S
Vi du 4: Cho z =a + ib. Tinh 2’,
Gidi. z = (a+ ib)’ = a*+ 4atib + 6a°(ib)?
+ 4a(iby + (iby!

=a‘+ 4a*bi — 6a?b?— 4abÖi + b
=( a*— 6a’b? + b*) + dab(a?— bội.
Ch
ý ú
rằng:

P =~ 1, P=-i
i=;1,
;ì9

Ví đụ 5 : Tính A-=drD.

di

Gidi,

9

4 = OAV Osi a7 _

(+i)

q-)#qd+Ð

[d-d~+p]

- 16

TT

;\l6

q-i)

:

2

=[d+i ifs ay.
21


5.4. Dạng lượng giác của số phức
3.4.1. Mặt phẳng phức

Vì số phức z = a + ïb ứng với cặp số thực (a, b) nên ta
có thể biểu diễn nó bởi điểm M trong mặt phẳng toạ

độ Oxy

sao cho M

có toạ độ (a, b). Số phức z gọi là

tog vi cla điểm M. Như vậy, ta được một song ánh

Hình 1.13

giữa tập hợp tất cả các số phức C va mat phẳng toa do Oxy. Ta gọi mặt
phẳng đó là mặt phẳng phúc (hình
1. 13),
Những điểm trên trục Ox là ảnh của các số phức có dang z=a © R nén trac
Óx gọi là trực thực. Những điểm trên trục Oy là ảnh của những số phức có

dạng z = ib, đó là những số phức thuần tuý ảo, nên trục Oy gọi là rrực đo.
3.4.2. Dạng lượng giác của số phúc
Giả sử M là ảnh của số phức z trong mặt phẳng phức.
Nếu z z 0 thì M khơng trùng với gốc O, vectơ OM
hồn tồn xác định. Đặt:

p=©M; 0=(Ox,OM),

Hình 1.14

p là một số dương gọi là mơđun của z, kí hiệu là| zÌ ;
6 là góc định hướng mà vectơ OM làm với trục Ox, nó được xác định sai
khác 2km, k e Z và được goi lA agumen chaz
(hình 1.14).

Nếu z có mơđun

p và agumen

6 thì Z có

médun p và agumen -9, cịn -z có mơđun p
và agumen

8Ð +z (hình 1.15).

Từ hình 1.14 ta suy ra :
a= p cosÐƠ, b= p sin0,

Hinh 1.15

Do đó, số phức z = a + ïb có thể viết được dưới dang z = p(cosÐ + isinÔ).

(1.2)

22


]) gọi là dạng chính tác.
Đó là dạng lượng giác của số phức. Cịn đạng (1.
en 8 của nó tuỳ ý.
Nếu z= 0 thì M trùng với O, ta có p = 0, agum
Cũng từ hình 1.14, ta suy r2 :

p=

a? +b";

a.

teo=2.

a

3)

»
b
1 os, tg@, =tg~, =—of
ọ là
shai
Chọn
2
mãn
thoả
0;
1,
goc
Trong khoang [0; 27) c6 hai
a
.
với b. Khi đó 9 = @ + 2km.
một trong hai góc đó sao cho sing cing dau

3, vậy
Ví dụ 6 : Cho z=1+A3i, ta có a= l; b=+4
(0; 2n), phương trình

Trong khoảng

sin

tg@= V3

p=v1+3=2

tgọ = V3.

5

va =. Vi

có hai nghiệm

dạng lượng giác của zlà
>0 cùng dấu với b= A3 nên @= q- Vậy

nm

.

z=2(cos—+isin—).
(
3

>
Ta có a = 1, b=-N3,
z=1—\ãi.

Vi du7: Cho
đó
b=

hoặc
V3 . Vay

@ = =.

z= 2e

p=2

igp=-V3. Do

<0

cùng dấu với

p=y(-27

=27, số phức

vi sin

==

Ta chọn
tin)

vay

.

b= 0, vay
Ví dụ 8 : Cho ø= — 21. Ta có a = — 27,

. Vậy z= 27(CoSTt + i sin).
này nằm trên phía âm của trục thực nên @ =

,p
Vi du 9: Cho z = 3i. Ta c6a=0,b=3

=3. Số phức này nằm trên phía

s> +isin 2) .
đương của trục ảo nên @= 5 . Vậy z= Xeo
1

T
Tt
@=—.
in—
+is
os—
3(c

a Ta).có p =3; omy
z=
i
Cho
:
vr
10
(
đu
Ví U
10
23


Vay a=pcoso~3V2.
2

b=psinp— 2/2.
2

Vậy easy,
2

5.4.3. Phép nhan va phép chia céc số phúc dưới dạng lượng
giác
Cho z, = p,(coso, + isino,); 2) = p;(CoS@; + isino,). Ta có
21-22 = ÐịÐ; (COS@, + ising, )(cos@, + ising) =
= PiP2 {(Cosp,cose, ~ sing, sing,) + i(cose,sing, + cos@,s
ing,)}
=> ZZ,

= Pip, {cos(M, + 0;) + isin(g, + @,)}.

q.

Vậy tích của hai số phức dưới dạng lượng giác là số phức có
mơđun
tích các mơđun và agumen bằng tổng các agumen.
Gọi z là số thương *
25

4)
bằng

với z¿ # 0, tức là p; # 0. Gọi R và œ là môdun và

agumen cla z. Vi z,=z.z, nén ta có Bị =R.p; và 0, = œ +Ọ¿,

Do đó R =ÊL và ơ =ọ, TQ,
Po

Vậy thương của hai số phức là số phức có mơđun bằng thương các mơđưn
và

agumen bằng hiệu các apumen.

2 Py cos(9, ~ 9) +isin(g, ~9;)}.
22

Py

ad.

5)

q.

6)

Dac biét néu z = p(cose + ising), p #0 thi
z

a

1

=> =- [eos(~@) +isin(~@)].

zp

Ví dụ 11: Cho z, =1+v3i, Z =1- Mãi.

Trong các ví dụ 6 và 7, ta đã thấy

z, =2cost-+isin2),2,=2(¢08°E
Do đó, theo các cơng thức (l.

24

4) và (l.

5), ta có:

isin),


2,24 = 4[ cov

3

zn = cos)

= cos

a

tr

+58) +isineS +

+ isin

2n...

+ isin

2m

= 4(cos2m+isin2n) = 4;

-=) = cos(— SF)

1

isin

2)

.

= _=q - iv3).

$.4.4. Luỹ thừa của số phức ở dạng lượng giác. Công thức Moivre
Cho z = p(coso + ¡ sino). Theo(l.4)

ta có

2 = p*(cos2o + i sin2@);

P=7.z=p'(cos3g + i sin3o).
Tổng quát: — z"= p°(cosno + ¡ sinno).
Đặc biệt nếu p = l, z = cos@ + isine, thì Vn e Đ, ta có
z` = (cosọ + Ï sing)" = cosng + isinng.
Cơng thức (I.

Œq.

7)

7) gọi là cơng thức Moivre. Ta có thể dùng cơng thức đó để

tinh cosnx va sinnx theo cosx va sinx.

Vi du 12: Cho z =1~ 3i. Tính z, z2.
sac

2

5n...

Giải. Ta có z= 2(cos—+

Ze 2 (eas

5n

isin 3?

+ tin

„

„

(xem ví dụ 7), do đó :

= 2"(¢08 0

+ isin);

2? =2? [cosa2.% + isina2. 5] =2"(cos20n+isin20n) =2".
Ví dụ 13 : Hãy biểu diễn cos3x, sin3x theo sinx và cosx.

Giải. Theo công thức Moivre ta có

25