ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN 12

ĐỀ THI THỬ
TỐT NGHIỆP THPT 

MƠN

TỐN
2023 

Sevendung Nguyen


TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
TỔ TOÁN - TIN

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 – LẦN 1
NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn: TỐN - Lớp 12 - Chương trình chuẩn
Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 6 trang)

Mã đề thi
096

Họ và tên thí sinh:.............................................................................SBD:.....................
Câu 1. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận đứng?
1
1
3
A. y = 2

.
B. y = 2
.
C. y = 4
.
x +1
x +1
x −x+2

2
.
x

D. y =

2

Câu 2. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 22 x +5 x + 4 = 4 bằng
B. −2 .
C. −1 .
A. 2 .
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình log ( x − 1) − log ( 2 x + 3) =
0 là

D. 1 .

2

D. −4;  .
3


3
2
Câu 4. Cho hàm số y = x − 3 x + x + 1 có đồ thị là ( C ) và đường thẳng ( d ) : y = 1 − x . Biết ( d ) cắt ( C ) tại

A.

{−4} .

B. ∅ .

C.

{2} .

ba điểm phân biệt có hồnh độ là x1 , x2 , x3 . Tính T = x1 + x2 + x3 ?
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .

( x − 1)
(1; +∞ ) .

Câu 5. Tập xác định của hàm số =
y
A. [1; +∞ ) .

B.

3

5

D. 2 .

là
C.

( 0; +∞ ) .

D.  \ {1} .

Câu 6. Một hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3 có diện tích tồn phần bằng:
B. 15π .
C. 24π .
D. 12π .
A. 9π .
Câu 7. Cho hàm sô y = f ( x) liên tục trên mỗi khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) và có bảng biến thiên như sau:

Tập nghiệm của bất phương trình f ( x) − 2 > 0 là:
A. 
B. ( −∞;1]

D. (1; +∞ )
( −∞;1)
=
f ′ ( x ) f ( x ) .cot x + 2 x.sin x . Biết
( 0; π ) thỏa mãn

C.

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
π  π
π 
. Tính f   .
f  =
2 4
6
2

A.

π2
36

.

B.

π2
80

.

C.

π2
54

.

π2

D.

72

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 10 để hàm số y =
khoảng ( −2; + ∞ ) ?
B. 10 .
C. 12 .
A. 11 .
Câu 10. Thể tích V của khối cầu có bán kính r = 3 bằng
A. 36 .
B. 36π .
C. 9π .

.

x −3
đồng biến trên
x + 3m

D. 9 .
D. 9 .

Câu 11. Biết F ( x ) = x3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên  . Giá trị của

2

∫ ( 2 + f ( x) ) dx

bằng

1

Trang 1/6 - Mã đề 096


15
23
.
D.
.
4
4
Câu 12. Cho các hàm số y = a x và y = b x với a, b là những số thực dương khác 1, có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a x và y = b x lần lượt tại H , M , N . Biết rằng
2 HM = 3MN , khẳng định nào sau đây đúng?
A. 7 .

B. 9 .

C.

A. a 5 = b3
B. a 2 = b3
C. 3a = 5b
D. a 3 = b5
Câu 13. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các
cạnh A′B′; BC ; CC ′ . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa điểm B có thể

tích là V1 . Tỉ số

V1
bằng
V

25
37
61
49
.
B.
.
C.
.
D.
.
144
144
144
144
Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng 2a . Khoảng cách từ B đến mặt
phẳng ( ACC ′A′ ) bằng
A.

A. 2a .
Câu 15. Nếu

∫

B. 3a .
C. 2a .
2
f ( x ) dx = 2 x + 3 x + C thì hàm số f ( x ) bằng

1 4
x + x3 + Cx .
2
1
C. f =
( x ) x 4 + x3 .
2
A. f ( x )=

Câu 16. Cho

5

∫
2

D. 2 2a .

3

B. f ( x ) = 6 x 2 + 6 x + C .
D. f (=
x ) 6 x2 + 6 x .
2

f ( x )dx = 10 . Khi đó ∫  2 − 4 f ( x ) dx bằng
5

A. 42 .
B. 34 .
C. 32 .
Câu 17. Cho một cấp số cộng có=
u2 4,=
u4 2 . Hỏi u1 bằng bao nhiêu?

D. 46 .

A. u1 = 5 .
B. u1 = −1 .
C. u1 = 6 .
D. u1 = 1 .
Câu 18. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây ?

A. y =x 4 − 2 x 2 + 3.
Trang 2/6 - Mã đề 096

B. y =x 4 − 2 x 2 − 3.

− x 4 + 2 x 2 − 3.
C. y =

D. y =x 4 + 3 x 2 − 3.


Câu 19. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , chu vi thiết diện qua trục bằng 10a . Thể tích của khối trụ đã

cho bằng.
A. π a 3 .
B. 3π a 3 .
C. 4π a 3 .
D. 5π a 3 .
Câu 20. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
B. ∫ cos =
A. ∫=
a x dx a x ln a + C ( 0 < a ≠ 1) .
xdx sin x + C .
xα +1
D. ∫ f ′ ( x=
+ C , ∀α ≠ −1 .
) dx f ( x ) + C .
α +1
Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [1;3] và có bảng biến thiên như sau

C.

α
dx
∫ x=

m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f ( x + 1) =2
có nghiệm trên khoảng (1; 2) ?
x − 4x + 5
B. 10 .
C. 5 .
D. 4 .

A. 0 .
Câu 22. Cho hình nón ( N ) có chiều cao bằng 2a . Cắt ( N ) bởi một mặt phẳng qua đỉnh và cách tâm của đáy
một khoảng bằng a ta được thiết diện bằng

4a 2 11
. Thể tích khối nón đã cho bằng
3

10π a 3
4π a 3 5
4π a 3 5
.
B.
.
C. 10π a 3 .
D.
.
3
3
9
Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm

A.

số đã cho trên đoạn [ −1;1] bằng bao nhiêu ?

A. 3.
B. 0.
C. 1.
Câu 24. Số cách xếp 5 người ngồi vào 6 chiếc ghế xếp hàng ngang là

A. A65 .
B. 6! .
C. C65 .

D. −2.
D. 5!.

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x 2 + mx + 9 ) với mọi x ∈  . Có bao nhiêu số
2

nguyên dương m để hàm số g (=
x ) f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) ?
A. 6 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 8 .
2
Câu 26. Cho hàm số f ( x ) =
x + sin x + 1 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) và F ( 0 ) = 1 . Khi
đó F ( x ) bằng
A. F ( x ) = x 3 − cos x + x + 2 .

B. F ( x ) =

x3
− cos x + x + 2 .
3

Trang 3/6 - Mã đề 096

x3
C. F ( x ) = + cos x + x .
3

x3
D. F ( x ) = − cos x + 2 .
3

Câu 27. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

2x −1
là đường thẳng:
−x + 2

1
B. x = .
C. y = −2.
D. x = −2.
2
Câu 28. Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vng cạnh bằng 2 , chiều cao bằng 3 . Thể tích của khối chóp
đã cho bằng
A. 4 .
B. 12 .
C. 6 .
D. 18 .
1
Câu 29. Trên khoảng ( −∞ ; − 2 ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
là
x+2

1
1
−1
+C .
A.
B. ln x + 2 + C .
C.
D. ln x + 2 + C .
+C .
2
2
x+2
( x + 2)
A. x = 2.

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguỵên của tham số m để hàm số f ( x ) =
A. 5 .
B. 4 .
C. 7 .
Câu 31. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. ( 2; +∞ ) .
B. ( −∞; −2 ) .
C. ( −2; +∞ ) .

1 3
x + mx 2 + 9 x − 3 đồng biến trên  ?
3
D. 6 .

D.

( −2;1) .

Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình m ( e x − 1) .ln(mx + 1) + 2e x = e 2 x + 1 có 2 nghiệm
phân biệt khơng lớn hơn 5.
A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 26.
3
(
)
Câu 33. Ông Nam cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích V = 8 m dạng hình hộp chữ nhật với chiều
4
lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng
dài gấp
3
2
chi phí trung bình là 980.000 đ/ m 2 và ở nắp để hở một khoảng hình vng có diện tích bằng
diện tích nắp
9
bể. Tính chi phí thấp nhất mà ơng Nam phải chi trả (làm trịn đến hàng nghìn).
A. 22.770.000 đ
B. 22.000.000 đ
C. 20.965.000 đ
D. 23.235.000 đ
Câu 34.=
Xét I

1

2
∫ 2x ( x + 2)

2022

u x 2 + 2 thì I bằng
dx , nếu đặt =

0

3

1

3

3

1
A. 2 ∫ u du .
B. ∫ u du .
C. ∫ u du .
D. ∫ u 2022 du .
22
2
2
0

Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , SA vng góc với đáy và
SA = a 6 . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng
2022

2022

2022

A. 900 .
B. 450 .
C. 600 .
D. 300 .
Câu 36. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt đáy
a 3
là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH =
và mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) . Thể
2
tích của khối chóp S . ABC bằng
3a 3
a3
a3
a3
.
B.
.
C.
.
D.
A.
.

.
.
..
8
4
16
2
Câu 37. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Trang 4/6 - Mã đề 096


A. Cnk =

k !( n − k ) !
.
n!

B. Ank =

n!
.
k !( n − k ) !

C. Cnk =

n!
.
k!

D. Ank =

n!
( n − k )!

Câu 38. Cho hai số dương a, b, a ≠ 1 , thỏa mãn log a2 b + log a b 2 =
2 . Tính log a b .
A.

8
.
5

B.

4
.
5

C. 2 .

D. 4 .

−3x 2

1
< 55 x + 2 là
Câu 39. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  
5
 
A. 4 .

B. 2 .
C. 1 .
log 3 5 a=
;log 5 7 b , khi đó log 45 175 bằng.
Câu 40. Cho=

a (a + b)
2 (2 + b)
a+b
.
B.
.
C.
.
2+a
2+a
2+a
Câu 41. Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là
a3 2
a3 2
a3 3
.
B.
.
C.
.
A.
12
4
12

Câu 42. Đồ thị hàm số nào sau đây có hai điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu?
y x3 − 4 x .
A. y =x 4 − 2 x 2 − 3 .
B. =

A.

D. 3 .
D.

a (2 + b)
.
2+a

D.

a3 3
.
4

− x4 + 2 x2 − 3 .
D. y =

C. =
y x2 − 2 x .

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. x = 4.

B. x = −3.
C. x = −2.
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m trên ( −2021; 2021) thỏa mãn

(

m 2 − 2m + 4 + 1 − m

)(

D. x = 3.

)

4m + 3 − 2m ≥ 3 .

A. 2020.
B. 2021.
C. 1.
D. 0.
x
x
Câu 45. Cho a , b , c là ba số thực dương khác 1 . Đồ thị hàm số y = a , y = b , y = c x được cho ở hình vẽ
dưới đây. Mệnh nào nào sau đây đúng?

A. a < b < c .

B. c < a < b .

C. b < c < a .

D. a < c < b .

Trang 5/6 - Mã đề 096


Câu 46. Cho a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn log a2 +b2 + 20 ( 6a − 8b − 4 ) =
1 và c, d là các số thực dương
thay

đổi

thỏa

( a − c + 1) + ( b − d )
2

c
−7
c 2 + c + log 2 =
d

mãn
2

2 ( 2d 2 + d − 3 ) .

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

là

12 5 − 5
8 5 −5
.
C. 29 − 1 .
D.
.
5
5
Câu 47. Cho hàm số f ( x ) = 1 − cos x , ∀x ∈  . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. 4 2 − 1 .
A.
C.

B.

x − cosx + C .

∫ f ( x ) dx =
x sinx + C .
∫ f ( x ) dx =−

B.
D.

x + cosx + C .
∫ f ( x ) dx =
x sinx + C .
∫ f ( x ) dx =+

Câu 48. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T ) . Diện tích tồn
phần Stp của hình trụ được xác định theo cơng thức.
A. =
Stp π Rl + π R 2 .

B.=
Stp 2π Rl + 2π R 2 .

C. =
Stp π Rl + 2π R 2 .

D. =
Stp π Rh + π R 2 .

Câu 49. Hàm số f ( x ) = 2 x + 4 có đạo hàm là

4.2 x + 4
.

B. f ′ ( x ) = 4.2 x + 4.ln 2 .
ln 2
2x+4
C. f ′ ( x ) =
.
D. f ′ ( x ) = 2 x + 4.ln 2 .
ln 2
Câu 50. Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + a có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên.

A. f ′ ( x ) =

Hàm số y =
g ( x) =
f (1 − 2 x ) f ( 2 − x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

( 0; 2 ) .

Trang 6/6 - Mã đề 096

B.

1 3
C.  ;  .
2 2
------------- HẾT -------------

( 3; +∞ ) .

D.

( −∞;0 ) .


TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
TỔ TOÁN - TIN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 – LẦN 1
NĂM HỌC 2022 - 2023

Mã đề [096]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B A B C D D B B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B A A B C A C A C C

ĐÁP ÁN CÁC MÃ ĐỀ
-----------------------11
B
36
A

12
D
37
D

13
D
38

B

14
B
39
B

15
D
40
D

16
B
41
A

17
A
42
D

18
B
43
C

19
B
44

B

20
A
45
D

21
D
46
C

22
B
47
C

23
A
48
B

24
A
49
D

25
A
50

B

Mã đề [148]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D B B A B A B C A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
D C A B B B B A B C

11
D
36
C

12
C
37
B

13
C
38
D

14
B
39
B

15
B

40
B

16
D
41
C

17
D
42
C

18
D
43
D

19
C
44
D

20
B
45
C

21
C

46
A

22
B
47
A

23
A
48
B

24
D
49
C

25
B
50
D

Mã đề [182]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C B B B B C C A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
C B D B B B A B D C

11

A
36
B

12
B
37
C

13
D
38
C

14
A
39
A

15
C
40
D

16
B
41
A

17

B
42
C

18
A
43
D

19
D
44
C

20
C
45
B

21
C
46
B

22
A
47
B

23

B
48
B

24
B
49
C

25
A
50
C

Mã đề [216]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D D B B A C D D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
C A B B D C A A A A

11
C
36
A

12
D
37
A

13
D
38
B

14
D
39
B

15
D
40
B

16
A
41
A

17
C
42
A

18
D
43
A

19
B
44
A

20
A
45
C

21
C
46
A

22
D
47
C

23
C
48
D

24
C
49
D

25
D
50
A

Mã đề [257]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C A A C D D D D C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B A D B A C B D D A

11
D
36
A

12
A
37
A

13
B
38
B

14
C
39
D

15
D
40
B

16
B
41
D

17
D
42
B

18
B
43
B

19
B
44
C

20
A
45
C

21
C
46
B

22
A
47
B

23
A
48
C

24
C
49
B

25
C
50
D

Mã đề [345]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D A C D B B B A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

C C B D B C D A B B

11
C
36
C

12
D
37
A

13
B
38
D

14
B
39
C

15
A
40
D

16
C
41

B

17
B
42
D

18
B
43
D

19
D
44
C

20
D
45
B

21
A
46
C

22
C
47

A

23
B
48
D

24
B
49
D

25
C
50
B

Mã đề [437]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A D A C D A D A C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
A B B D D D D A C A

11
A
36
C

12
D

37
C

13
B
38
C

14
A
39
A

15
B
40
A

16
B
41
D

17
D
42
A

18
A

43
D

19
D
44
C

20
B
45
D

21
D
46
C

22
A
47
A

23
C
48
B

24
B

49
B

25
C
50
B

Mã đề [543]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A B D C D B A A B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
A D D C D B B B D B

11
B
36
D

12
C
37
B

13
D
38
C

14

A
39
A

15
A
40
D

16
D
41
D

17
B
42
C

18
C
43
B

19
D
44
C

20

C
45
B

21
A
46
C

22
C
47
D

23
C
48
B

24
D
49
C

25
C
50
C

Mã đề [657]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B B B B B D D B D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B C B B A C D C B D

11
A
36
C

12
C
37
A

13
B
38
B

14
B
39
C

15
C
40

C

16
A
41
A

17
A
42
A

18
C
43
B

19
A
44
C

20
B
45
D

21
A
46

C

22
C
47
C

23
D
48
D

24
D
49
A

25
A
50
B

Mã đề [789]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B A C A D A B A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
A B B D A C A C D B

11
B

36
C

12
A
37
D

13
A
38
D

14
C
39
C

15
D
40
D

16
B
41
B

17
A

42
D

18
A
43
D

19
A
44
C

20
B
45
B

21
B
46
A

22
C
47
A

23
A

48
B

24
B
49
C

25
B
50
C

Mã đề [854]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B A A C A C C A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
D D B D C C B C A A

11
B
36
A

12
D
37
B

13

C
38
A

14
B
39
C

15
A
40
A

16
A
41
A

17
D
42
D

18
A
43
B

19

B
44
B

20
D
45
D

21
C
46
C

22
C
47
A

23
C
48
D

24
A
49
C

25

C
50
A

Mã đề [914]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D B A A D B B D C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
C D C B B D D B A C

11
C
36
B

12
B
37
C

13
C
38
A

14
D
39
C

15
D
40
B

16
C
41
B

17
A
42
A

18
A
43
A

19
A
44
D

20
D
45
D

21
B
46
C

22
A
47
A

23
C
48
A

24
D
49
D

25
B
50
C

Xem thêm: ĐỀ THI THỬ MƠN TỐN
/>

SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 3

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BÀI THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
(50 câu trắc nghiệm)

Họ tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ...............................................
___________________________________________________________________________________
Câu 1: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập ?
B. y = log ( x 2 − 1)

A. y = x3 − 3x .

C. y = ( 0,9 ) .
x

Câu 2: Hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −1;1) .
B. ( −;0 ) và ( 2;+ ) . C. ( 0; 2 ) .

D. y = x3 + 3x .
D. ( −2;0 ) .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 1 .

C. x = 0 .

B. y = 1

D. x = 1 .

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm
Số điểm cực trị của hàm số đã
cho là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3
Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x − 3x + 2 trên đoạn  −2;0 bằng
A. 4 .
B. 0 .
C. 6 .
D. 1 .
2x −1
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
là
x +1
A. x = 1 .
B. x = −1 .
C. y = −1 .
D. x = 2 .
Câu 7: Cho hàm số y

f x xác định và liên tục trên

\

1 , có bảng biến thiên như sau:

1

x

y'
2

y

2

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
2.
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y
1 và tiệm cận ngang x
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
1 và tiệm cận ngang y
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x
2.
Câu 8: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
y

x


A. y = x 4 + x 2 + 1 .

B. y = x3 − 3x 2 + 2 .

C. y =

x +1
.
x −1

D. y = − x3 + 3x 2 + 2 .

Câu 9: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Số lớn nhất trong các số a, b, c, d là
A. a .
B. c .
C. d .
D. b .
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới:

Số nghiệm của phương trình f ( x ) −1 = 0 là
A. 1
B. 2

C. 3
D. 4
x −1
Câu 11: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
tại điểm có hồnh độ bằng 2 là:
2x − 3

y = −5 x + 11
y = −x + 2
y = −5 x + 7
A. y = − x + 3
B.
C.
D.
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) = x2 − 4x + 3 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để phương trình: f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm
thực phân biệt.
B. 4 .
C. 1 .
D. 3.
1 3
Câu 13.
Cho hàm số f ( x ) = x + ax 2 + bx + c (a, b, c  ) thỏa mãn
6
f ( 0) = f (1) = f ( 2) . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để
A. 2 .

(

)

hàm số g ( x ) = f f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) là
B. 1 − 3.

A. 1.

Câu 14: Cho b là một số thực dương, biểu thức b

2
9

1
3

B. b .
A. b .
x +3
Câu 15: Cho hàm số y = e . Tính y '(−3)
B. 1 .

A. 3 .
Câu 16: Biểu thức A = 4
A. 12

log 2 3

B. 3

C. 3.
1
3 3

b 2 viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
1
3

7
6

C. b .

D. b .

C. e3 .

D.

có giá trị là :
C. 16

D. 1 + 3.

D. 9

1
.
e3


Câu 17: Tập xác định của hàm số y
A. (
C. (2;

;2)

(2;

log(x

2) là:

B. 2;

).

.

D.

).

2021x
. Tính tổng S = f  (1) + f  ( 2) + ... + f  ( 2021) .
x +1
2023
2021
B. S = 2021!.
C. S =
.
D. S =
.
2022
2022

Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = ln
A. S = ln 2022 .

Câu 19: Tập nghiệm của phương trình e x

A. 

2

+1

= e3− x là

B. 1

C. −2;1

D. −1; 2

2

Câu 20: Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình 2 x + 2 x  8 là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .

D. 5 .

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f ( x ) = log2 m có hai nghiệm phân biệt.

A. m  0 .
B. 0  m  1 , m = 16 .
C. m  1 , m = 16
2

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình ln x + ln x = 0 là
1 
A. 1;e .
B.  ;1 .
C. 1 .
e 

D. m = 4 .
D. 1; e 2  .

Câu 23: Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng
của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư
đó nhận được sau 6 năm làm việc.
A. 635.520.000 .
B. 696.960.000 .
C. 633.600.000 .
D. 766.656.000 .
2m
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x log3 ( x + 1) = log9 9 ( x + 1)  có


hai nghiệm thực phân biệt.
A. m ( −1;0) .
B. m ( −2;0 ) .
C. m ( −1; + ) .
D. m  −1;0) .
Câu 25: Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = −1 và u2 = 2 . Cơng sai của cấp số cộng đã cho là:
A. 1 .

B. 2 .

C. −2 .

D. 3 .

Câu 26: Lớp 11A1 có 25 đồn viên trong đó 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để
tham dự hội trại ngày 26 tháng 3. Tính xác suất để 3 đồn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ
7
27
3
9
A.
B.
C.
D.
920
92
115
92
Câu 27: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n + 1
A. un =
B. un = n3 − 1
C. un = n 2
n −1

D. un = 2n

Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x 2 là:
A. x 3+ C .

B. x3 + C .

C. 3x 2 + C .

D. 6x + C .


Câu 29: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
A. 8 .

và

2

2

0

0

 ( f ( x ) + 2x ) dx = 10 . Tính  f ( x)dx .

B. 14 .

C. 6 .

D. 4 .

2

Câu 30: Tính tích phân I =  (2 x − 1)dx
0

A. I = 6 .
B. I = 4 .
C. I = 2 .
D. I = 1 .
3
Câu 31: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x − 2x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 .

x4
5
A. F ( x ) = − x 2 + 5 x − .
4
4
1
5
C. F ( x ) = 4 x 4 − x 2 + x − .
5
4
2

Câu 32: Biết


0

5

f ( x)dx = 3,  f ( x)dx = 4 , khi đó
0

A. −1 .

x4
− x2 + 5x − 3 .
4
1
D. F ( x ) = 4 x 4 − x 2 + x + 3 .
5
B. F ( x ) =

5

 f ( x)dx

bằng

2

D. 1 .

C. 7 .

B. 5 .

Câu 33: Xét I =  x 7 ( 4 x 4 − 3) dx bằng cách đặt t = 4 x 4 − 3 , khẳng định nào sau đây đúng?
5

1
t 2 + 3t ) dt .
(

4
1
C. I =  t 5 dt .
4

1
t 6 + 3t 5 ) dt .
(

64
1
t 2 + 3t ) dt .
D. I =
(

64

A. I =

B. I =

Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn

x 0;1 và f (1) = 2 . Tính

( f  ( x ))

2

+ 4 f ( x ) = 8x 2 + 4 ,

1

 f ( x ) dx .
0

A.

1
.
3

B. 2 .

C.

Câu 35: Số đỉnh của một bát diện đều là
A. 12 .
B. 10 .

4
.
3

D.

C. 8 .

21
.
4

D. 6 .

Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 3a .
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
A. 3a 3 .

B. a 3 .

C.

a3 3
.
3

D.

a3
.
4

Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông; AB
A ' A = a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' .

BC

a , cạnh bên

3 2a 3
2a 3
3a 3
2 2a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
3
3
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S.ABCD tăng lên bao nhiêu lần?
A. 6 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD . Gọi S là
giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
S .BCDM và S.ABCD .

A.

A.

2
.
3

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D.

3
.
4


Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

SC = a . Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp
S.CEF .
A. VSCEF =

2a 3
.
36

B. VSCEF =

a3
.
18

C. VSCEF =

a3
.
36

D. VSCEF =

2a 3
.
12

Câu 41: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện
tích xung quanh của hình nón đó là:
1
3
A.  a 2 .
B. 2 a 2 .
C.  a 2 .

D.  a 2
2
4
Câu 42: Thể tích của khối trụ có bán kính bằng R = 3 và đường sinh l = 6 bằng
A. 108 .
B. 36 .
C. 18 .
D. 54 .
Câu 43: Diện tích của mặt cầu bán kính 2a bằng
A. 4 a 2 .

B.

4 a 2
.
3

D. 8 a 2 .

C. 16 a 2 .

Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, BC = 3a . Góc
giữa đường chéo AB ' của mặt bên B ' A ' AB với mặt đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình lăng trụ.
3 10a
10a
10a
5 10a
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
4
4
5
4
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (1;2;1) , N ( 2;3;0). Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
A. MN = i + k − j.
B. MN = j + k − i.
C. MN = −i − j + k.
D. MN = i + j − k.
Câu 46: Trong không gian Oxyz , vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 3 = 0 có tọa độ là
A. (1; −2;1) .

B. (1;1; −3) .

C. (1; −2; −3) .

D. ( −2;1; −3) .

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; −2; 2) và N (1; 2;0) . Toạ độ trung điểm của đoạn
thẳng MN là
A. (2; 2;1) .
B. (2; 0; 2) .
C. (1;0;1) .

D. (1;1;1) .
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 25 . Tọa độ tâm I và
2

2

2

bán kính R của ( S ) là:
A. I ( 2; −1;1) , R = 25 .

B. I ( 2; −1;1) , R = 5 .

C. I ( −2;1; −1) , R = 25 .

D. I ( −2;1; −1) , R = 5 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vng góc của A ( 2; −3;1) lên các
mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là
x y z
+ + = 1.
2 3 1
x y z
C. − + = 0 .
2 3 1

B. 3x − 2 y + 6 z = 6 .

A.

D. 3x − 2 y + 6 z − 12 = 0 .

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2;6) , B ( 0;1;0) và mặt cầu

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

= 25 . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 2 = 0 đi qua A, B và cắt ( S ) theo
giao tuyến là đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c
A. T = 3
B. T = 4
C. T = 5
D. T = 2
----------- HẾT ---------2

2

2


1
D

2
C

3
C

4
B

5
A

6
B

7
D

8
B

9
D

ĐÁP ÁN
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A D A B B D C D C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C B A C D B A B C C A D B C D B A C B C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C D C B D A C D D A
HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 9: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Số lớn nhất trong các số a, b, c, d là
A. a .
HDG

Ta có :

B. c .

C. d .

D. b .

c, d  0
a  0; xCD + xCT = −

2b
3a
= −1  b =
a
3a
2

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) = x2 − 4x + 3 có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để phương trình: f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm
thực phân biệt.
A. 2 .

B. 4 .

C. 1 .

HDG
+) Ta có đồ thị hàm số: y = f ( x ) = x2 − 4x + 3 như hình vẽ:

+) Đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 4 x + 3 như sau:
2

D. 3.


+) Ta có:
f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0. (1) .

 x = −2
 f ( x ) = −1

.

 x = 2
 f ( x ) = m − 5 (2)

 f ( x ) = m − 5 (2)
Phương trình (1) có 6 nghiệm thực phân biệt thì phương trình (2) có 4
nghiệm thực phân biệt x  2 .
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: −1  m − 5  3  4  m  8 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m .
1
Câu 13.
Cho hàm số f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c (a, b, c  ) thỏa mãn
6
f ( 0) = f (1) = f ( 2) . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để

(

)

hàm số g ( x ) = f f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) là
A. 1.
HDG

B. 1 − 3.

C. 3.

D. 1 + 3.


 f ( 0) = c

1

Ta có :  f (1) = a + b + c +
.
6

4

 f ( 2 ) = 4a + 2b + c + 3

−1
1


a + b = 6

a = − 2
Theo giả thiết f (0) = f (1) = f (2)  
.

1
−
4
4a + 2b =
b =


3
3
1
1
1
Suy ra : f ( x ) = x3 − x 2 + x + c .
6
2
3
Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0;1) khi

g ' ( x ) = 2 xf ' ( x 2 + 2 ) f '  f ( x 2 + 2 )  0 , x  ( 0;1) .
1
1
3
3
 x  1+
Ta có: f ' ( x ) = x 2 − x +  f ' ( x )  0  1 −
.

2
3
3
3


2 x  0
Ta thấy x  ( 0;1) thì 
.
2
 f ' ( x + 2 )  0
Suy ra x  ( 0;1) , g ' ( x )  0  f '  f ( x 2 + 2 )   0
Xét 0  x  1  2  x 2 + 2  3 , vì f ' ( x )  0 , x  ( 2;3) nên f ( x ) đồng
biến trên ( 2;3) .

Do đó : f ( 2 )  f ( x 2 + 2 )  f ( 3) .
3
 f ( 2 )  f ( 3)  1 +
3

3
 f ( 2)  1 −
3

3
 1−
c

3
 f 3  1+ 3

 ( )
3
Vậy min c + max c = 1.

Suy ra 1 −

3
.
3
3
.
3

2021x
. Tính tổng S = f  (1) + f  ( 2) + ... + f  ( 2021) .
x +1
2023
2021
B. S = 2021!.
C. S =
.
D. S =
.
2022
2022

Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = ln
A. S = ln 2022 .
HDG

1
x( x + 1)
1
2021
=
S= 1 −
2022 2022
f '( x) =

Câu 23: Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng
của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư
đó nhận được sau 6 năm làm việc.
A. 635.520.000 .
B. 696.960.000 .
C. 633.600.000 .
D. 766.656.000 .
HDG
+) Lương khởi điểm của anh kĩ sư B là A = 8.000.000 đồng/tháng.
11
+) 2 năm sau, lương của anh B là A1 = A + A.10% = A. (1 + 10% ) = A.
đồng/tháng.
10
2

 11 
+) 2 năm tiếp theo, lương của anh B là A2 = A1. (1 + 10% ) = A.   đồng/tháng.
 10 
+) Tổng số tiền T (đồng) kĩ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc là
 11  11 2 
T = 24. A + 24. A1 + 24. A2 = 24. A. 1 + +    = 635.520.000 .

 10  10  


2m
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x log3 ( x + 1) = log9 9 ( x + 1)  có


hai nghiệm thực phân biệt.
A. m ( −1;0) .
B. m ( −2;0 ) .
C. m ( −1; + ) .
D. m  −1;0) .
HDG
Điều kiện: x  −1.
Nhận thấy với x = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0 = 1 (vơ lí), nên x = 0 khơng là nghiệm
của phương trình với mọi m .
Xét −1  x  0 ta có:


2m
x
m
x log3 ( x + 1) = log 9 9 ( x + 1)   log 3 ( x + 1) = log 3 3 ( x + 1) 




ln 3
x−m
 ( x + 1) = 3  x − m =

ln ( x + 1)

ln 3
ln ( x + 1)
ln 3
Đặt f ( x ) = x −
với −1  x  0
ln ( x + 1)
ln 3
 f '( x) = 1+
 0, x  ( −1; + ) \ 0.
( x + 1) ln 2 ( x + 1)
Ta lập được bảng biến thiên:
 m= x−

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình m = x −

ln 3
có hai nghiệm thực phân biệt khi
ln ( x + 1)

m ( −1; + ) .
Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn

x 0;1 và f (1) = 2 . Tính

( f  ( x ))

2

+ 4 f ( x ) = 8x 2 + 4 ,

1

 f ( x ) dx .
0

1
A. .
3
HDG

B. 2 .

C.

4
.
3

D.

21
.
4

Gt: Dự đoán f ( x ) là hàm đa thức bậc 2.
Giả sử f ( x ) = ax2 + bx + c ( a  0)  f  ( x ) = 2ax + b .
Ta có: ( f  ( x ) ) + 4 f ( x ) = 8x2 + 4 , x 0;1
2

 ( 2ax + b ) + 4 ( ax2 + bx + c ) = 8x2 + 4 , x 0;1
2

 ( 4a 2 + 4a ) x 2 + ( 4ab + 4b ) x + b 2 + 4c = 8 x 2 + 4 , x 0;1

  a =1
  a =1
 a = 1
 
 a = −2
 


2
 4a + 4a = 8
 a = −2

  a = −2

 b=0



  4ab + 4b = 0   
 b=0  b=0 .
 b 2 + 4c = 4
b 2 + 4 c = 4
 c =1
  a = −1




b 2 + 4 c = 4





a = 1

Mà f (1) = a + b + c = 2 suy ra b = 0  f ( x ) = x2 + 1 . Do đó,
c =1


1


0

1

f ( x ) dx =  ( x 2 + 1) dx =
0

4
.
3

Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD . Gọi S là
giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
S .BCDM và S.ABCD .
A.

2
.
3

1
.
2

B.

C.

1
.
4

D.

3
.
4

S

S'

D
A

M
G

B

Gọi G

BM

AC . AM //BC  AGM

( SAC ) ( S BM )
( SAC )
Do đó:

C

SG

S G //SA

SA, SA//( S BM )
d ( S , ( ABCD )
d ( S , ( ABCD))

Ta có S ABM

S BCDM

SC
SC

1
d ( M , AB ). AB
2
S ABCD

Do vậy: VS . BCDM

1
S ABCD
4

CGB 
S C
SC

AG AM 1
=
=
GC BC 2
2
.
3

GC
AC

2
.
3
1 1
. d ( D, AB ). AB
2 2

1
S ABCD
4

3
S ABCD .
4

1
d ( S ', ( ABCD).S BCDM
3

1 2
3
. d ( S , ( ABCD)). S ABCD
3 3
4

1 1
. d ( S , ( ABCD)).S ABCD
2 3

1
VS . ABCD
2

VS ' BCDM
VSABCD

1
.
2

Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

SC = a . Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp
S.CEF .
A. VSCEF =

2a 3
.
36

B. VSCEF =

a3
.
18

C. VSCEF =

a3

.
36

D. VSCEF =

2a 3
.
12

HDG
Từ C hạ CF ⊥ SB, ( F  SB ) , CE ⊥ SA, ( E  SA)
S

Ta
có
AB
⊥
AC

 AB ⊥ ( SAC )  AB ⊥ CE  CE ⊥ ( SAB )  CE ⊥ SB

 AB ⊥ SC

F

a

Vậy mặt phẳng qua C và vng góc SB là mặt ( CEF ) .
E
B

C

a

a
A


Ta có

VSCEF SE SF
=
.
VSCAB SA SB

Tam giác vng SAC vng tại C ta có: SA = SC 2 + AC 2 = a 2
và

SE SC 2
a2
SE 1
=
=

=
2
2
SA SA
SA 2

2a

Tam giác vng SBC vng tại C ta có: SB = SC 2 + BC 2 = a 3

SF SC 2
a2
SF 1
và
=
= 2 
=
2
SB SB
SC 3
3a
Do đó

VSCEF 1 1 1
1
1 1
1
= . =  VSCEF = VSABC = . SA.S ABC = a3 .
VSCAB 2 3 6
6
6 3
36

Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 3a . Góc
giữa đường chéo AB ' của mặt bên B ' A ' AB với mặt đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình lăng trụ.

A.

10a
.
4

B.

3 10a
.
4

C.

10a
.
5

D.

5 10a
.
4

Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp hai đáy.
+ Vì tam giác ABC vng tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy là trung điểm O1
của cạnh huyền AB , tương tự ta có O2  Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp
lăng trụ, bán kính mặt cầu là IB
+Góc của đường AB ' và ( ABC ) :


 AB ' ( ABC ) = A
 AB ';( ABC ) = AB '; AB = B ' AB = 600


 B ' B ⊥ ( ABC ) = B

(

) (

)

BC 2
9a 2 3 2 a
=
=
2
2
2
BB '
3 2a 3 6
 BB ' = 3.
=
a
+ ABB ' :tan 600 =
AB
2
2
+ ABC : 2 AB 2 = BC 2  AB =

2

 BC   BB ' 
+ IBO1 : IB = IO + BO = 
 +

 2   2 
2
1

2
1

2

2

2
3 10a
 3a   3 6 
a  =
.
  + 
4
 2   4 


Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2;6) , B ( 0;1;0) và mặt cầu

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

= 25 . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 2 = 0 đi qua A, B và cắt ( S ) theo
giao tuyến là đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c
A. T = 3
B. T = 4
C. T = 5
D. T = 2
HDG
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2; 3 ) và bán kính R = 5
2

2

2

 A  ( P ) 3a − 2b + 6c − 2 = 0
 a = 2 − 2c


Ta có 
b − 2 = 0
b = 2
B  ( P )

(

)

(

)

Bán kính của đường tròn giao tuyến là r = R2 − d I ; ( P )  = 25 − d I ; ( P ) 
2

(

2

)

Bán kính của đường trịn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi d I ; ( P ) lớn nhất

(

)

Ta có d I , ( P ) =

Xét f ( c ) =

a + 2b + 3c − 2
a +b +c
2

(c + 4)

2

2

5c 2 − 8c + 8

2

=

2 − 2c + 4 + 3c − 2

( 2 − 2c )

2

+2 +c
2

=

2

(c + 4)

2

5c 2 − 8c + 8

−48c 2 − 144c + 192

 f (c) =

( 5c

2

− 8c + 8

)

(c + 4)

2

2

5c 2 − 8c + 8

c = 1
f (c) = 0  
c = −4
Bảng biến thiên
4

x
y'

y

0
1

1

0
5

5

0

1
5

(

)

Vậy d I ; ( P ) lớn nhất bằng

5 khi và chỉ khi c = 1  a = 0, b = 2  a + b + c = 3 .

----------- HẾT ----------