ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ÔN TẬP KIỂM TRA MÔN BIẾN HÌNH 11

GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
CÁC BÀI TOÁN ÔN TẬP KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
( Có hướng dẫn giải )
CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ :
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm
M'(x+1; y ). Chứng minh F là 1 phép tịnh tiến.
Hướng dẫn : - Tính được
'MM
=(1;0 - Lí luận để suy ra F là phép tinh tiến
Bài 2 : Phép biến hình F biến một điểm M(x;y) thành điểm M’(ax;y)
a).Với các điểm M
1
(x
1
;y
1
), N
1
(x
2
;y
2
). Tìm ảnh M’
1
, N’
1
lần lượtc của M
1
, N
1

qua F.
b).Tìm a để F là phép dời hình.
c).Với các giá trị a tìm được ở câu b, xác định cụ thể tên của phép dời hình trong các phép
dời hình cơ bản đã học ứng với mỗi a tìm được.
Hướng dẫn : b) a = ± 1
c) a = 1, F là phép đồng nhất a = -1, F là phép đối xứng trục Oy
Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình x + 2y – 3 = 0 và điểm
A(1, 1)
a). Hãy tìm ảnh của điểm A và d qua O
b). Hãy tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm A tỉ số 3
Hướng dẫn :
a). Khi lấy đối xứng qua Ox, mọi điểm M(x, y) biến thành điểm M’(x, -y).
Do đó, A biến thành A’(2, -1) và ảnh của đ/thẳng là đường thẳng có PT 2x + y +1 = 0
b). M(x, y)
∈
dbiến M’(x’,y’)
∈
d’ sao cho:
'AM
=2
AM




+=
+=
⇔
22'
42'

yy
xx
Từ đó, ta có
012''2 =++yx
Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình ảnh của đường thẳng (d) : y = 2x - 3 và
parabol (P) y = x
2
+ x + 2 qua phép tịnh tiến theo vectơ
( )
3;0v =
r
.
Hướng dẫn :
( )
2 3y x d• = −
.
Gọi M(x; y) ∈ (d) ⇒ y = 2x - 3. (1)
( )
' 3 ' 3
'
' '
v
x x x x
M T M
y y y y
= + = −
 
= ⇒ ⇒
 
= =

 
r
.
Thay vào (1), ta được : y’ = 2(x’ - 3) - 3 = 2x’ - 9. KẾT LUẬN : y = 2x - 9.
( )
2
2y x x P• = + +
Gọi N(x, y) ∈ (P) ⇒
2
2.y x x= + +
(2)
1
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
( )
' 3 ' 3
'
' '
v
x x x x
N T N
y y y y
= + = −
 
= ⇒ ⇒
 
= =
 
r
.
Thay vào (2), ta được : y’ = (x’ - 3)

2
+ x’ - 3 +2 = x’
2
- 5x’ + 8. KẾT LUẬN : y = x
2
- 5x + 8.
Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
-2x - 4y - 4 = 0. Hãy tìm ảnh của
(C) qua phép đối xứng trục (d) : 2x - y + 1 = 0.
Hướng dẫn :
( ) ( )
2 2
2 2
x y 2x 4y 4 0 1 2 9x y+ − − − = ⇔ − + − =
( )
C⇒
có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3.
Gọi (d
1
) là đường thẳng qua I(1; 2) và vuông góc (d
0
).
⇒ (d
1
) có VTPT
( )
1;2n =

r
.
⇒ (d
1
) : 1(x - 1) 2(y - 2) = 0 ⇒ (d
1
) : x + 2y - 5 = 0.
Gọi H là giao điểm của (d) và (d
1
)
3
2 1 0
3 11
5
;
2 5 0 11
5 5
5
x
x y
H
x y
y

=

− + =


 

⇒ ⇒ ⇒
 
 ÷
+ − =
 


=


.
Gọi
( )
'
d
§=I I
. Khi đó H là trung điểm II’.
'
'
1
1 12
5
' ;
12
5 5
5
I
I
x
I

Y

=


 
⇒ ⇒

 ÷
 

=


Vậy PT đường tròn cần tìm là :
2 2
1 12
9.
5 5
x y
   
− + − =
 ÷  ÷
   
Bài 6 : Cho đường tròn (C) : (x + 3 )
2
+ y
2
= 9. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) qua
phép quay tâm O(0; 0) , góc quay

2
π
−
.
Hướng dẫn :
•
Tìm tọa độ
( )
' '; 'M x y
là ảnh của
( )
;M x y
qua phép quay
( )
0;Q
α
.
Đặt
( )
Ox,OM ; .OM a
β
= =
Ta có :
( )
; 'OM OM
α
=
( )
( )
' . os +

. os
y = a.sin
y' = a.sin +
x a c
x a c
α β
β
β
α β

=
=


⇒
 



( )
( )
' os .cos -sin .sin
' sin .cos os .sin
x a c
y a c
α β α β
α β α β

=


⇔

= +



' . os -y.sin
' .sin y. os
x x c
x x c
α α
α α
=

⇒

= +

( ) ( )
2
2
: 3 9C x y• + + =
( )
C
có tâm
( )
3;0I −
; bán kính R = 3.
2
y

O
x
x
M
α
β
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Gọi
( ) ( )
0;
2
' 3. os - 0.sin 0
2 2
' ' 0;3
' 3.sin - 0. os 3
2 2
x c
I Q I I
y c
π
π π
π π
 
−
 ÷
 

   
= − − − =
 ÷  ÷


    
= ⇒ ⇒

   

= − + − =
 ÷  ÷

   

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm
( ) ( )
2
2
' : 3 9C x y+ − =
.
(Bài tập tự giải ) :
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ
(1; 2)v = −
r
và đường tròn (C) có phương
trình:
2 2
4 4 1 0x y x y+ − + − =
1). Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy
2). Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến
v
T
r

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + 1 = 0, đường
tròn (C ) có tâm I(1; -2) và đi qua điểm M(1; 0).
1). Viết phương trình đường tròn (C ) .
2). Viết phương trình các đường thẳng (d
1
) ; (d
2
) lần lượt là ảnh của (d) qua phép đối xứng
trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2. Viết phương trình đường tròn (C
1
) , (C
2
) là ảnh của
(C) qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2.
3). Viết phương trình của đường tròn (C
3
) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đồng dạng là
hợp thành của phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ
OB
với B(-1;3).
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2). Gọi A'B'C'
là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số 2. Tính chu vi và diện tích của tam
giác A'B'C'.
Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' bằng 2 lần chu vi tam giác ABC
Diện tích tam giác A'B'C' bằng 4 lần diện tích tam giác ABC
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THÔNG THƯỜNG :
Bài 1. Cho tam giác đều ABC, tâm O, ba đường cao AA
1
,BB
1

,CC
1
. Hãy tìm xem có những
phép biến hình nào biến ∆ABC thành chính nó.
Hướng dẫn :
Phép đồng nhất - Phép đối xứng trục : D
AA
1
; D
BB
1
; D
CC
1

- Phép quay :
Q
O
O )120,( +
;
Q
O
O )240,( +
Bài 2 : Cho 2 đường tròn (O,R) và (O’,R). Tìm các phép dời hình biến (O) thành (O’)
Hướng dẫn +
)'()(
'
OOT
oo
=

+ Đ
I
(O) = (O’) ( I là trung điểm của OO’
+ Đ
d
(O) = (O’) ( d là đường trung trực của OO’)
Bài 3 Cho hai điểm A,B và đường tròn (O ) không có điểm chung với đường thẳng AB.Qua
mỗi điểm M chạy trên (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh rằng điểm N thuộc
một đường tròn xác định.
Hướng dẫn :
ABMN =
không đổi . Suy ra : Phép tịnh tiến theo
AB
biến M thành N
3
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Vì M chạy trên (O ) nên N chạy trên (O’) là ảnh của (O ) qua
AB
T
Bài 4 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB.Một đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) và
AB lần lượt tại C và D.Đường thẳng CD cắt (O,R) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm
của cung AB.
Hướng dẫn :
-C là tâm vị tự của (O ) và (O’)
- D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên
)
'
,(
R
R

CV
biến O thành O’,I thành D
-OI song song với O’D nên OI vuông góc với AB
-Kết luận: I là trung điểm của cung AB
Bài 5 :
Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CA, AB.
a) Phép vị tự nào biến A thành A’; biến B thành B’; biến C thành C’.
b) Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác
A',B',C'.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh
GHGO
2
1
−=
.
Hướng dẫn
a)
GAGA
2
1
'
−=
⇒ V ( G;
2
1
−
): A → A'
Tương tự : V ( G;
2

1
−
): B → B' , C → C'
Kết luận
b) Ta có OA' ⊥ BC và BC // B'C' nên OA' ⊥ B'C'
Tương tự cm OB' ⊥ A'C' ⇒ đpcm
c) Ta có V ( G;
2
1
−
): ∆ ABC → ∆ A'B'C'
H là trực tâm tam giác ABC, O là trực tâm tam giác A'B'C' nên V ( G;
2
1
−
): H → O
⇒ đpcm
Bài 6: Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định
hai điểm M thuộc (O
1
) và N thuộc (O
2
) sao cho A là trung điểm của MN.
Hướng dẫn : - Nêu được cách xác định vị trí 2 điểm M và N - Vẽ hình đúng
KKKK
Bài 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) , bán kính khác nhau và tiếp xúc ngoài tại A. Từ A vẽ

hai tia AM, AM’ vuông góc với nhau .
)(OM ∈
,
)'(' OM ∈
và A’ là giao điểm thứ hai của (O’) với đường nối tâm OO’.
a). Chứng minh rằng AM//A’M’
4
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
b). Chứng minh đường thẳng MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn (O) và (O’)
Hướng dẫn
a). MA//M’A’ vì
0
90''
ˆ
'
ˆ
== AMAMAM
b). I là giao điểm MM’ và OO’ vì MA//M’A’ (cùng vuông góc với M’A) nên
OAMOAM '
ˆ
'
ˆ
=
do đó
OMA∆
đồng dạng với
''' AMO∆
và
''//''
ˆ

'
ˆ
MOOMAOMAOM ⇒=
do
đó I là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn
Bài 8 : Cho tam giác ABC, trung điểm M của BC di động trên đường tròn (O;R) cố định.
a). Vẽ ảnh tam giác A’B’C’ của tam giác ABC qua phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3
b). Khi M di động trên (O;R), A cố định, trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên đường
nào ?
Hướng dẫn
a) Vẽ đúng, đầy đủ
b) Chỉ ra phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3 biến M thành G
Kết luận G chạy trên đường tròn tâm O’, bán kính r = 2/3 R(là ảnh của đường tròn (O;R) qua
phép vị tự nói trên
Bài 9 :
Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy 2 hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung
điểm của cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của đoạn FH.
a). Xác định ảnh của 2 vectơ
AB
và
BP
qua phép quay tâm B, góc 90
0
b). CMR DF = 2BP và DF vuông góc với BP
Hướng dẫn :
a). Ta có
( )




=
==
0
90;
)(
BHBA
BDBHBA
( )
HAQ
B
=⇒
0
90
và
( )
BHBAQ
B
=⇒
0
90
Vì
( )
HAQ
B
=
0
90
;
( )
FCQ

B
=
0
90
nên
( )
HFACQ
B
=
0
90
b). Vì P là trung điểm của AC nên theo tính chất
của phép quay, ta có ảnh của P qua phép quay trên là
trung điểm M của HF
( )



⊥
=
⇒=
BMBP
BMBP
BMBPQ
B
0
90
mà
DPBM
BFBM

//
2
1
=
Do đó,
BPDF
DFBP
⊥
=
2
1
Bài 10 : Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’. Gọi C
1
và C
2
lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA’ và BB’.
5
A
B
C
H
P
M
F
K
D
E
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Chứng minh rằng : ∆OC

1
C
2
đều.
Hướng dẫn :
Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng góc lượng giác
( )
;OA OB
α
=
. Rõ ràng
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0;
0;
0;
' '
' '
Q A B
Q AA BB
Q A B
α
α
α

=


⇒ =

=


Do C
1
: C
2
lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ nên
( )
( )
1 2
0;
Q C C
α
=
.
·
·
2
0
1 2
60
OG OC
C OC AOB
=



⇒

= =



1 2
⇒ ∆OC C
đều (đpcm).
Bài 11: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCIJ,
ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
1/ Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.
2/ Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ.
Hướng dẫn :
1/
−
Phép quay
0
( ,90 )C
Q
biến MB thành AI, nên MB bằng và vuông góc với AI.

−
DP song song và bằng nửa BM, DO song song và bẳng nửa AI.

−
Suy ra DP bằng và vuông góc với DO
2/
−
Phép quay

0
( ,90 )D
Q
biến OA thành PQ

−
Suy ra OA bằng và vuông góc với PQ
Bài 12 Cho hai phép quay
A
Q
và
B
Q
có tâm quay là A và B ( phân biệt ) và có cùng góc quay
90
0
. Gọi F là hợp thành của
A
Q
và
B
Q
, F' là hợp thành của
B
Q
và
A
Q
. Hãy chứng tỏ F và F' là
những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó.

Hướng dẫn Lấy điểm O sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân với góc (AO,AB) =
(BA,BO) =
0
45
Khi đó,
A
Q
là hợp tành của hai phép đối xứng trục
AO
Đ
và
AB
Đ
, còn
B
Q
là hợp thành của hai
phép đối xứng trục
AB
Đ
và
BO
Đ
. Vậy F là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo thứ tự :
AO
Đ
,
AB
Đ
,

AB
Đ
,
BO
Đ
, tức cũng là hợp thành của hai phép đối xứng trục
AO
Đ
và
BO
Đ
. Vì AO
vuông góc với BO nên F là phép quay tâm O góc quay
0
180
, tức là phép đối xứng qua điểm
O. Chú ý rằng có thể xác định điểm O bởi điều kiện :
Tam giác OAB vuông cân và (OB,OA) =
0
90
6
O
A
C
1
A’
B’
B
C
2

GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Tương tự , F' là phép đối xứng qua tâm O' , sao cho O'AB là tam giác vuông cân mà
(OA,OB) =
0
90
Bài 13 Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và
O'.
a). Chứng minh khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn
luôn đi qua một điểm cố định.
b). Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng IOO' là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn
a) Xét
,
A B
Q Q
lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC, BN ) = 90
0
.
Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định . Vì phép đối xứng tâm H
biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là đường thẳng NQ luôn đi qua
điểm H cố định
b) Cách 1 : Gọi
'
,
O O
Q Q
là các phép quay có góc quay 90
0
với tâm quay tương ứng là O và O'
thì phép hợp thành F của chúng biến B thành A, Nhưng vì F là phép đối xứng tâm , nên

tâmđối xứng là trung điểm I của AB. Suy ra tam giác IOO' vuông cân tại đỉnh I
Cách 2 : Phép quay tâm C góc quay 90
0
biến A thành P và biến M thành B. Bởi vậy, ta có
AM = PB và
AM PB⊥
. Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO' là
đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO' là tam giác vuông cân
Bài 14 : Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O). Tìm tập hợp điểm D.
Hướng dẫn : Nêu được: tồn tại
D)C(T
BA
=
→

'O)O(T
BA
=⇒
→
mà
)'O(D)O(C ∈⇒∈
Bài 15: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b, còn hai đỉnh A, B
cố định . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.
1. Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.
2. Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi.
Hướng dẫn :
1/ Chọn
u DC=
r uuur

, với
u
r
cố định.
−
Phép tịnh tiến theo
u
r
biến D thành C
−
Kết luận
2/
−
Chứng minh:
AB
AI AC
AB b
=
+
uur uuur


−
Kết luận
Bài 16: Cho đường tròn (O;R). Một điểm A cố định thuộc đường tròn, B và C di động trên
đường tròn sao cho góc
·
BAC
α
=

không đổi (0
0
< α < 180
0
), .
a). Tìm tập hợp trung điểm M của BC khi α quay quanh điểm A.
b). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi α quay quanh điểm A.
7
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Hướng dẫn :
a).Vì α không đổi nên độ dài đoạn không đổi : BC = 2Rsinα . Từ đó ta có: OM= Rcosα
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (O,Rcosα)
α
G
M
O
B
C
A

b). Ta có:
→→
= AM
3
2
AG
2
( , )
3
( )

A
V M G⇒ =
Suy ra G
∈
đường tròn ảnh
)R,'O()cosR,O(V
)
3
2
,A(
=α
, với
α==
→→
cosR
3
2
'R,AO
3
2
'AO
Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ
là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần
lượt tại M, N.
a). Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b).Tìm quỹ tích các điểm M, N khi đường kính PQ thay đổi.
Hướng dẫn : a)
- Chứng minh đúng QB//AP
- Từ đó chứng minh được Q là trung điểm của CM
- Chứng minh tương tự N là trung điểm của CQ

b)
- Tìm ra đúng phép vị tự
)()(
)2,(
MQV
C
=
- Lý luận đúng quỹ tích của điểm M
- Lý luận tương tự đưa ra đúng quỹ tích của N
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại B. Với
đường kinh MN thay đổi của đường tròn ( MN khác AB), gọi P và Q lần lượt là giao điểm
của d với các đường thẳng AM và AN. Đường thẳng đi qua M, song song với AB cắt đường
thẳng AN tại H.
1). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MPQ.
2). Chứng minh rằng ABMH là hình bình hành.
3). Tìm quĩ tích điểm H.
4). Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ.
Hướng dẫn : a)
,MH PQ QH PM⊥ ⊥
nên H là trực tâm tam giác MPQ
b) AB//HM và AH//BM nên ABMH là hình bình hành
c) Từ câu b) có
MH BA=
uuuur uuur
. Suy ra :
BA
T
uuur
biến M thành H
Quỹ tích H là ảnh của (O) qua

BA
T
uuur
- trừ hai điểm là ảnh của A và B
8
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Nếu ta lấy điểm C sao cho A là trung điểm của BC, thì quỹ tích H là đường tròn đường kính
AC trừ đi hai điểm A và C.
d) Điểm N đóng vai trò hoàn toàn tương tự như điểm M , nên quĩ tích trực tâm của tam giác
NPQ cũng trùng với quĩ tích điểm H
Bài 19 Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó. Với mỗi điểm A thay
đổi trên đường tròn , dựng hình vuông ABCD có tâm là I.
1). Tìm quỹ tích điểm C.
2). Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D.
3). Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên ?
Hướng dẫn
1) Phép đối xứng tâm Đ
I
với tâm I biến điểm A thành điểm C . Vậy quĩ tích C là đường tròn
1
( )O
, ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng đó.
2) Phép quay Q tâm I góc quay
2
π
biến điểm A thành điểm B và phép quay Q' tâm I góc
quay
2
π
−

biến điểm A thành điểm D. Suy ra quĩ tích B và D lần lượt là các đường tròn
2
( )O
,
3
( )O
: ảnh của đường tròn (O) qua các phép quay Q và Q'
3) Khi I trùng với O thì
1
( )O
,
2
( )O
,
3
( )O
cũng trùng với (O) nên ba quĩ tích nói trên đều là
đường tròn (O)
Bài 20. Cho hai đường tròn (O) và (O
’
) bằng nhau và cắt nhau tại A,B. Một cát tuyến di
động qua A cắt hai đường tròn đó lần lượt tại P và Q.
a). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn PQ.
b). I là trung điểm của đoạn PQ. Tìm tập hợp của điểm M trên PQ sao cho :
( )
2
k
AM AP AQ
= +
uuuur uuur uuur

, với k
1
≠
c). Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆ABI
Hướng dẫn
a) Lập luận đến ∆PBQ cân tại B Lập luận đến
·
0
90AIB =

Kết luận, Vẽ hình
b)
=AI
)(
2
1
AQAP +
Suy ra
=AM
AIk
Kết luận, Vẽ hình
c) Gọi N là trung điểm của AB Lập luận đến
GI
V
N
→:
3
1
Kết luận, Vẽ hình
Bài 21 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua

A cắt (O) ở A và C, cắt (O’) ở A và D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD.
a). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN
b). Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn CD.
Hướng dẫn
a)
/ / '
'
OM MN
OM O N
O N MN
⊥

⇒

⊥


⇒
OO' NM là hình thang vuông tại M và N
Gọi K là trung điểm của OO' thì K cố định
9
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Ta có :
·
1KI IA KIA V⊥ ⇒ =
, mà K và A cố định . Suy ra : Tập hợp điểm I là đường tròn (C )
đường kính AK
b) Ta có J là trung điểm của đoạn CD nên có được :
AC AD 1 1
AJ AC AD AM AN 2AI

2 2 2
+
= = + = + =
uuur uuur
uur uuur uuur uuuur uuur uur
( do I là trung điểm của MN )
Vậy :
AJ 2AI=
uur uur

⇒
J là ảnh của I qua phép vị tự tâm A tỉ số 2
Mà I chạy trên đường tròn ( C )
Do đó : Tập hợp J là đường tròn (C ') , với (C') là ảnh của (C ) qua phép vị tự tam A tỉ số 2
Bài 22 Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay
đổi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho
PM PA PB= +
uuuur uuur uuur
Hướng dẫn
Gọi I là trung điểm của AB thì
2
PA PB
PI
+
=
uuur uuur
uur
bởi vậy
2PM PA PB PI= + =
uuuur uuur uuur uur

Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k = 2 thì V biến điểm I thành điểm M
Vì I là trung điểm của AB nên
OI AB⊥
suy ra quĩ tích của điểm I là đường tròn (C) đường
kính PO
Vậy quĩ tích của điểm M là đường tròn (C') ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O' sao
cho
' 2PO PO=
uuuur uuur
thì (C') là đường tròn đường kính PO'.
Bài 23 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn
đó.Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Hướng dẫn
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho : AM = AB = AD
Khi đó, ta có
2
2
AM AB
AC AC
= =
Ngoài ra (AM, AB) =
0
45
và (AM, AD) = -
0
45
Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số k =
2
2
biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A

góc quay
0
45
biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F
biến C thành B. Vì quĩ tích của C là đường tròn (O) nên quĩ tích của B là ảnh của đường tròn
đó qua phép đồng dạng F.
Đường tròn quỹ tích của B có thể xác định như sau : Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là
đường kính của (O) vuông góc với AR ( ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR,AP) =
0
45
).
Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là đường tròn
đường kính AP.
Tương tự , ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ.
Bài 24 Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vuông. Tìm các
điểm N, P nằm trên cạnh của hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
10
GV : Lê Thừa Thành THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng
Hướng dẫn
Giả sử đã dựng được tam giác đều MNP thỏa mãn điều kiện của bài toán. Nếu dùng phép
quay Q tâm M góc quay 60
0
thì N biến thành P và hình vuông ABCD biến thành hình vuông
A'B'C'D' mà P cũng nằm trên hình vuông này. Từ đó suy ra cách dựng.
Bài 25 Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, B
nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn.
Hướng dẫn
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện của bài toán . Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của
DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN

thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD.
Cách dựng
Dựng hình vuông PQMN . Lấy giao điểm C và C' của đường thẳng IM và đường tròn , lấy
giao điểm D và D' của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai điểm C,D nằm về một phía
đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B',A' lần lượt là hình chiếu của các điểm
C,D,C',D' trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vuông ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn điều
kiện của bài toán.
Bài 26 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm B cố định nằm trên đường
thẳng d, d không đi qua A.Hãy xác định trên d một điểm C sao cho tam giác ABC có trọng
tâm nằm trên (O) .
Hướng dẫn
Giả sử đã dựng được tam giác ABC với trọng tâm G thuộc (O). Gọi I là trung điểm của BC
thì
2
3
AG AI=
uuur uur
. Như vậy , phép vị tự
2
( , )
3
A
V
sẽ biến I thành G và biến đường thẳng d thành
đường thẳng d' đi qua G. Vậy G là giao điểm của (O) và d' suy ra cách dựng :
Dựng đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm A, tỉ số
2
3
Lấy G là giao điểm của (O) và d'
Lấy I là giao điểm của đường thẳng AG và d

Xác định điểm C sao cho I là trung điểm của BC
* Số nghiệm hình là số giao điểm G của (O) và d' mà đường thẳng AG không đi qua B.
Hết
11