Bài 3 ptđt dang 5 điểm tm đk cho trước

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hình học 12|

DẠNG 5A: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Ví DỤ 1
 x  1 t

Tìm giao điểm của đường thẳng    :  y  2  2t với mặt phẳng   : x  y  z  4  0 .
 z  3t



x  1 t
1

 y  2  2t  2 
.

3
z

3

t



 x  y  z  4  0  4


Thay 1 ,  2  ,  3 vào  4  ta được 1  t  2  2t  3  t  4  0  t  1 .

x  2

Với t  1   y  4 . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là  2; 4; 2  .
z  2


Ví DỤ 2
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng  d  :

x y 1 z  2
và mặt cầu  S  có phương trình


2
2
3

x2  y 2  z 2  8x  2 y  3  0 . Tìm giao điểm của đường thẳng  d  với mặt cầu  S  .
Lời giải
 x  2t

Phương trình tham số của đường thẳng  d  là  y  1  2t , với t là tham số.
 z  2  3t

Xét phương trình  2t   1  2t    2  3t   8.2t  2 1  2t   3  0
2

2

2

 t0
 17t  28t  0  
.
t  28
 17
Với t  0  tọa độ giao điểm là  0;1; 2  .
2

Với t 

28
 56 73 50 
 tọa độ giao điểm là  ; ;  .
17
 17 17 17 

1 | Strong Team Tốn VD–VDC

STRONG TEAM TỐN VD–VDC

Lời giải
Tọa độ giao điểm của đường thẳng    và mặt phẳng   là nghiệm của hệ phương trình :


| Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Ví DỤ 3

Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

 x  1 t
 d  :  y  2  3t và  d  : x  2  y  2  z  1 .
2
1
3
 z  3t

Lời giải
 x  2  2t 

Phương trình tham số của đường thẳng  d   là  y  2  t  .
 z  1  3t 

 1  t  2  2t  1

Xét hệ phương trình 2  3t  2  t   2  .
 3  t  1  3t   3


 t  2t   1
t  1

Từ 1 và  2  ta có 
.
 t  1
3t  t   4

Thay vào  3 ta thấy thỏa mãn.
t  1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
.
 t  1
Suy ra tọa độ giao điểm là  0; 1; 4  .

Ví DỤ 5

Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A

1;1;6 và đường thẳng

Tìm hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng
Lời giải

Ta có AM
Có AM

.

t ;1 2t ;2t là hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng

Gọi M 2

3

u

6 và véc tơ chỉ phương của đường thẳng

t ; 2t ;2t

AM .u

0

3

t

4t

4t 12

0

x 2 t
: y 1 2t .
z 2t

t

1

.
là u

1; 2; 2 .

M 3; 1; 2 .

Strong Team Toán VD–VDC | 2


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hình học 12|

Ví DỤ 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1; 2; 2  và đường thẳng

d:

x  6 y 1 z  5


.
2
1
1

Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua d .
Lời giải
Từ phương trình đường thẳng d ta có véc tơ chỉ phương của d là u  2;1;1 
Gọi H là hình chiếu của A trên d , suy ra H  6  2t ;1  t ;5  t   AH  5  2t ;  1  t ;3  t  . Khi đó
Với t  2 thì H  2;  1;3 .
Gọi B là điểm đối xứng với A qua d thì H là trung điểm AB  B  3;  4; 4  .

Ví DỤ 7

Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d :

 P  : x  2 y  2z  3  0 .

x y 1 z  2


và mặt phẳng
1
2
3

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  bằng 2 .
Lời giải
x  t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y  1  2t
 z  2  3t

Vì M  d nên tọa độ của M có dạng M  t; 1  2t; 2  3t  .
Vì khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  bằng 2 nên

t  2  1  2t   2  2  3t   3
1  2   2 
2



2

2 

t  2  4t  4  6t  3
1 4  4

2

t  1  M  1; 3; 5 
5t
5  t  6
 2  5t  6  

3
5  t  6
t  11  M 11; 21;31

3 | Strong Team Tốn VD–VDC

STRONG TEAM TỐN VD–VDC

AH  u  AH .u  0  2  5  2t    1  t    3  t   0  t  2 .


| Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Ví DỤ 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;  1; 2  , B  1; 2; 3 và đường thẳng
x 1 y  2 z 1
d:



.
1
1
2
Tìm điểm M thuộc d sao cho MA2  MB 2  28 .
Lời giải
Ta có : M  d nên t  : M 1  t; 2  t; 1  2t  .
MA2  MB 2  28   t    3  t   1  2t    2  t    t    2  2t   28
2

2

2

2

2

2

t  1
 12t  2t  10  0  
t   5
6


STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

2

5
1 7 2
Với t   , ta có M1  ; ;   .
6
6 6 3

Với t  1 , ta có M 2  2;3;3 .
VÍ DỤ 9
Ví
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;1;1 , B 1; 2;1 và đường thẳng

x y 1 z  2


. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB có giá trị nhỏ
1
1
2
nhất.
d:

Lời giải
Điểm M  d nên M  t; 1  t; 2  2t  . Suy ra AM   t ; 2  t ;1  2t  , AB  1;1;0  .
Ta có  AM , AB    2t  1;1  2t; 2t  2  .

1
1
1
6

2
2
2
AM , AB  
 2t  1  1  2t    2t  2   12t 2  6  .

2
2
2
2
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi t  0 . Khi đó: M  0; 1; 2  .
Do đó SMAB 

Strong Team Toán VD–VDC | 4


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hình học 12|

VÍ DỤ 10
Ví
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  2;1; 1 , B  3; 0;1 ,
C  2; 1; 3  . Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5 .

Lời giải

Ta có: D  Oy  D  0; y ; 0  .

AB   1; 1; 2  , AC   0; 2; 4    AB, AC    0; 4; 2  , AD   2; y  1;1



 AB, AC  .AD 4 y  2
4 y  2
 y  7


VABCD 

, VABCD  5 
5 
6
6
6
y  8
VÍ DỤ 11
Ví
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn

CD  2 AB và diện tích bằng 27; đỉnh A  1; 1;0  ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là
x  2 y 1 z  3


. Tìm tọa độ các điểm C; D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A.
2
2
1

Lời giải
Đường thẳng CD qua M  2; 1;3 có vec tơ chỉ phương u   2; 2;1

Gọi H  2  2t; 1  2t;3  t  là hình chiếu của A lên CD, ta có:

AH .u  2  3  2t )  2.2t  1.(3  t   0  t  1  H  0; 3; 2  , d  A, CD   AH  3
Từ giả thiết ta có: AB  CD  3 AB 

2S ABCD
 18  AB  6; DH  3; HC  9
AH

Đặt AB  tu   2t ; 2t ; t   t  0  xB  x A   t 
9
AB   6;6;3  C  6;3;5 
6
3
HD   AB   2; 2; 1  D  2; 5;1
6
HC 

5 | Strong Team Toán VD–VDC

AB
u

 2  AB  4; 4; 2   B  3;3; 2

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Tọa độ điểm D là : D  0; 7; 0  ; D  0; 8; 0 

| Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 12
Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0;1;9  và mặt cầu

 S  :  x  3

2

  y  4    z  4   25 . Gọi  C  là giao tuyến của  S  với mặt phẳng  Oxy  . Lấy
2

2

hai điểm M , N trên  C  sao cho MN  2 5 . Biết tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất, tìm tọa độ

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

điểm D là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng  Oyz  .

Lời giải
Mặt cầu  S  có tâm I  3; 4; 4  , bán kính R  5 . Gọi rC là bán kính đường trịn  C  .
Gọi H là tâm đường tròn  C   H  3; 4;0  , IH   Oxy  , d  I ,  Oxy    4 .

rC  52  42  3 , OH  5  O nằm ngồi đường trịn  C  , d  A,  Oxy    9

1
1
VOAMN  d  A,  Oxy   .SOMN  3SOMN  3. d  O, MN  .MN  3 5.d  O, MN 
3

2
Suy ra Vmax  d  O, MN max

M
K
N

M'

H

O
Mà d  O, MN   OH  HK  5  32 

N'

 5

2

 7 . (Với K là trung điểm MN )

Strong Team Toán VD–VDC | 6


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hình học 12|

Dấu bằng xảy ra khi OH  MN . Khi đó MN có 1 véc tơ chỉ

OH ; k    4; 3;0  , OH   3; 4;0  , k   0;0;1 và đi qua trung điểm K của MN .


7
 21 28 
OK  OH  K  ; ;0 
5
 5 5 
21

 x  5  4t

28

 3t
Phương trình đường thẳng MN :  y 
5

z  0


 28 
D  MN   Oyz   D  0; ;0  .
 5 



STRONG TEAM TỐN VD–VDC



phương là

7 | Strong Team Tốn VD–VDC


| Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

DẠNG 5B: BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG
THẲNG

Ví dụ 13
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có

A 1;0; 1 , B  2;1;3 , C  2;1; 1 . Tìm tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng  ABC  sao cho
d  M , AB   d  M , AC  .

STRONG TEAM TỐN VD–VDC

Lời giải
Ta có M   ABC  và d  M , AB   d  M , AC   M   là đường phân giác góc A của tam giác
ABC .
+)TH1: Phân giác trong góc A
AB  1;1; 4  , AC  1;1;0  , AB  3 2; AC  2 .

AB AC  4
4
4 
4



;
;

1;1;1 là véc tơ chỉ phương của đường phân giác

AB AC  3 2 3 2 3 2  3 2
trong góc A , ta chọn: u  1;1;1

Véc tơ

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC :

x 1 y z 1
 
.
1
1
1

+)TH 2: Phân giác ngồi góc A
AB  1;1; 4  , AC  1;1;0  , AB  3 2; AC  2 .
Véc tơ

AB  AC  2 2
4  2


;
;


1;1; 2  là véc tơ chỉ phương của đường phân giác
AB AC  3 2 3 2 3 2  3 2

trong góc A , ta chọn: u  1;1; 2 
Vậy phương trình đường phân giác ngồi góc A của tam giác ABC :

x 1 y z 1
 
.
1
1
2

Vậy tập hợp điểm M là 2 đường thẳng có phương trình:
x 1 y z 1
x 1 y z 1
và  2 :
1 :
 
 
.
1
1
1
1
1
2

Ví dụ 14

Tim tập hợp các điểm cách đều 3 điểm A(1;1;1), B(1; 2;0) , C (2; 3; 2) .
Lời giải
Gọi M ( x; y; z) là điểm cần tìm. M cách đều 3 điểm A,B,C khi và chỉ khi.

 MA2  MB 2
 ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  ( x  1) 2  ( y  2) 2  z 2


 2
2
2
2
2
2
2
2
( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  ( x  2)  ( y  3)  ( z  2)
 MA  MC
4 x  2 y  2 z  2  0
2 x  y  z  1  0


 2 x  8 y  2 z  14  0
 x  4y  z  7  0
Strong Team Toán VD–VDC | 8


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hình học 12|

Vậy tập hợp điểm M trong không gian là đường giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta được đường
thẳng có phương trình là:
 x  8  3t

 y t
 z  15  7t


Ví dụ 15
Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox,Oy và điểm A(1;1;0) .
Lời giải
Gọi M ( x; y; z) , MA  ( x  1)  ( y  1)  z
2

2

2

, d ( M ;Ox)= y 2  x 2 , d ( M ;Oy)= z 2  x 2 .

theo đề ta có :  d ( M ;Ox) =  d(M ;Oy)  =MA2
2


 x2  y 2
y 2  z 2  x2  z 2
(1)
 2 2


 2
2
2
2
 y  z  x  y  z  2( x  y )  2  x  2( x  y)  2  0 (2)
 x y
(1)  
x   y
x  2  2
Với x  y thay vào (2) ta được : x 2  4 x  2  0  
 x  2  2
x  2  2
x  2  2



Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng có phương trình :  y  2  2 hoặc  y  2  2
 z t
 z t





Với x   y thay vào (2) ta được : x2  2  0 (vô nghiệm).
x  2  2

Vậy tập hợp điểm M là các đường thẳng có phương trình:  y  2  2
 z t




9 | Strong Team Toán VD–VDC

và

x  2  2


y  2 2

z t



.

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

2