hướng dẫn luyện thi đại học toán 2014

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong
không gian z



r
k


r
i
O
r
j
y
x

• O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
• Các trục tọa độ:
• Ox : trục hoành.
• Oy : trục tung.
• Oz : trục cao.
• Các mặt phẳng toạ độ:
• (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.
•
, ,
r r r
i j k

là các véctơ đơn vị lần lượt
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
•
i
r
= (1;0;0),
j
r
= (0;1;0),
k
r
= (0;0;1).
•
1i j k= = =
r r r
và
2 2 2
1i j k= = =
r r r
.
•
i j⊥
r r
,
j k⊥
r r
,
k i⊥
r r
.

•
. 0i j =
rr
,
. 0j k =
r r
,
. 0k i =
rr
.
•
,i j k
 
=
 
r r r
,
,j k i
 
=
 
r r r
,
,k i j
 
=
 
r r r
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
• M

∈
Ox
⇔
M(x;0;0)
• M
∈
Oy
⇔
M(0;y;0)
• M
∈
Oz
⇔
M(0;0;z)
• M
∈
(Oxy)
⇔
M(x;y;0)
• M
∈
(Oyz)
⇔
M(0;y;z)
• M
∈
(Oxz)
⇔
M(x;0;z)
• Tọa độ của điểm:

. . . ( ; ; )
= + + ⇔
uuuuur r r r
O M x i y j z k M x y z
• Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
= + + ⇔ =
r r r r r
a a i a j a k a a a a
II. CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2
; ;
+ = + + +
r r
a b x x y y z z
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2

; ;
− = − − −
r r
a b x x y y z z
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
•
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ;= =
r
k a k x y z kx ky kz
4. Độ dài vectơ. Bằng
( ) ( ) ( )
2 2 2
hoaønh tung cao+ +
•
2 2 2
1 1 1
= + +
r
a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
•
( )
0 0;0;0
=
r
.
1

6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
•
1 2
1 2
1 2
=


= ⇔ =


=

r r
x x
a b y y
z z
7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
•
1 2 1 2 1 2
. . . .
= + +
r r
a b x x y y z z
. 0⊥ ⇔ =
r r r r
a b a b
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
•
( )

.
os a,
.
=
r r
r r
r r
a b
c b
a b
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
III. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x
A
; y
A
; z
A
) , B( x
B
, y

B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ
uuur
AB
là:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
.
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài
uuur
AB
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
= = − + − + −
uuur
B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I

A B
I
A B
I
x x
x
2
y y
y
2
z z
z
2
+

=


+

=


+

=



( )

; ;
⇒
I I I
I x y z
4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho
∆
ABC với A(x
A
; y
A
; z
A
),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của
∆
ABC là:
( )

3
; ;
3
3
+ +

=


+ +

= ⇒


+ +

=


A B C
G
A B C
G G G G
A B C
G
x x x
x
y y y
y G x y z
z z z

z
5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
. Khi đó:
•
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 
=
 ÷
 
 
r r
y z z x x y
a b
y z z x x y

• Hai vectơ
r
a
,
r
b

cùng phương
, 0
 
⇔ =
 
r r r
a b
.
2
• Hai vectơ
r
a
,
r
b
không cùng phương
, 0
 
⇔ ≠
 
r r r
a b
• Ba vectơ
, ,c
r r r
a b
đồng phẳng
, .c 0
 
⇔ =

 
r r r
a b
.
• Ba vectơ
, ,c
r r r
a b
không đồng phẳng
, .c 0
 
⇔ ≠
 
r r r
a b
IV. MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1 Dạng 2
Mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + −
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x

a
-2
he ä soá y
b
-2
he ä soá z
c
-2

=



=



=


Bán kính:
= + + −
2 2 2
R a b c d
LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU – MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2

2
x a y b z c R
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):

( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
• Bán kính R=
IA IA=
uur
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn
thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp:
3
Pt mt cu (S):
( ) ( ) ( )
+ + =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Gi I trung im AB
( )
I ; ;
Mt cu cú tõm I(a;b;c)
Bỏn kớnh R=
IA IA=

uur
hoc
2
AB
R =
.
Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*).
Loi 5: Mt cu cú tõm I(a;b;c) v tip xỳc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp:
Pt mt cu (S):
( ) ( ) ( )
+ + =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mt cu cú tõm I(a;b;c).
Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn:
( )
+ + +
= =
+ +
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C
Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*).
Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng:
2 2 2

x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ +
.
Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ +
(*)
Vỡ A, B, C, D thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)
theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*)








Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d.
Sau ú th a, ,b , c, d vo pt (*).
Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh v th tớch
khi cu ngoi tip hỡnh chúp.
Loi 2: Lp Pt mt cu qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ +

(*)
Vỡ A, B, C thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)






Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th t. Ta
gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d.
VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG
Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn.
Loi 1: Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn
( )
n A;B;C=
r
.
Phng phỏp:
4
M
n
r

P)
• Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
• Mặt phẳng (P) có VTPT
( )
n A;B;C=
r
.
• Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và song
song hoặc chứa giá của hai vectơ
a , b
r r
.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z

.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là
( ) ( )
a= , b =
r r
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n a,b
 
=
 
r r r
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
( )
P d 1 2 3
n a a ;a ;a= =
uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0

A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua A.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
.
• Pt(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai
điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
là:
Q
AB n = =
uuur uur
.

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm

( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
• Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có
VTPT
=
uur uur
P Q
n n
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
• Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.
5
a
r
b
r
,n a b
 
=
 
r r r
P)
Q)

M
Q
n
uur
M
uur
d
a
d
P)
•
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
A
B
C
B
Q
n
uur
P)
Q)
A
• Nên mp(P) có VTPT:
Q
n AB,n
 

=
 
r uuur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 6:
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm
M d∈
.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d d'
a a = =
uur uur
.
• Mp(P) có VTPT:
d d'
n a ,a
 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )

0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
• Chọn điểm M thuộc đt d.
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM a = =
uuuur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
d
n AM,a
 
=
 
r uuuur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực
của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB
⇒
( )
I =

• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB=
r uuur
.
• Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n = =
uur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n n ,n
 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp:
• Xác định tâm I của mc(S).
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n IA=
r uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
6
P)
A
I
B
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
( )
n m;n;p=
r
và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
• Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
• Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT
( )
n m;n;p=
r

mx ny pz 0⇒ + + + =D
.
• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)
⇔
( )
( )
=d I; P R

Chú ý:
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

.
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

( ,( ))d I P R
⇔ =

Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)
( , )d I d R
⇔ =

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).
• Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
• Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P):
( )
( )
d d I, P=
.
o TH1:
d r (P) (S)= .> ⇔ ∩ ∅
(hay (P) và (S) khơng có điểm chung).
o TH2:
d r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).= ⇔
o TH3:
d r (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).< ⇔
Vấn đề 5: Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P

A B C
+ + +
=
+ +

2. Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một đường thẳng.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
7
r = d(I,(P))
I
P)
• Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua tâm I và vng góc mp(P).
- Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó:
2 2 2 2 2
r' r d r' r d= − ⇔ = −
.
Cần nhớ: H là hình chiếu vng góc của I lên (P)
nên tam giác IMH vng tại H.
Với: r=IM, d=IH=
( )
( )
d I, P
và r’=MH.

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.

Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm A.
• Đường thẳng d có VTCP:
a AB=
r uuur
.
• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
d d'
a a=
uur uur
.

• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
Dạng 3: Đường thẳng d đi qua một điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d’, d’’ không song song
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
 
=
 
uur uur uur
d d' d''
a a ,a
.
• Pt tham số:
0

0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
d P
a n=
uur uur
.
• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +



= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
• Gọi H là giao điểm của d và (P).
8
• Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
= +


= +


= +



x x at
y y bt
z z ct
• Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct
(*).Giải pt (*) tìm t
⇒
x, y, z
⇒
H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).
Phương pháp:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).

• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và
vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −


+


⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x

y y
y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.
Phương pháp:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua
M và vuông góc với (P).
9
M
H
)P
d
M
H
)P
d
M
/
•
M
•

H
P)
(d)
VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −

+



⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y

y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:
Bước 1:
• Xác định điểm M thuộc d và VTCP
a
r
của d.
• Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP
a'
ur
của d’.
Bước 2:
• Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính
a,a'
 
=
 
r ur
• Nếu
a,a' 0
 
=
 

r ur r
thì
a,a'
r ur
cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
• Nếu
a,a' 0
 
≠
 
r ur r
thì
a,a'
r ur
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
=
 
r ur uuuuur
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur

thì d và d’ chéo nhau.
VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.
Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
10
M
M
/
•
H
P)
(d)
Ta làm như sau:
• Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0

A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t
⇔
d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm
⇔
d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t
⇔
d nằm trong (P).
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0⇔ ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
Phương pháp:
• Tính
AB ,AC = =
uuur uuur
• Tính
AB.AC H.H T.T C.C 0= + + =
uuur uuur
• Suy
AB AC⊥
uuur uuur
• Suy ra
AB AC⊥
.

• Kết luận tam giác ABC vuông tại A
Chú ý:
• Nếu tam giác ABC vuông tại B
BC BA BC BA.BC 0⇔ ΒΑ ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
• Nếu tam giác ABC vuông tại C
C CB CA CB CA.CB 0⇔ Α ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
Phương pháp:
• Đường thẳng d có VTCP:
a
r
=
• Đường thẳng d’ có VTCP:
a'
ur
=
• Tính
a.a H.H T.T C.C 0= + + =
r r
• Suy ra:
a a⊥
r r
.

• Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Do
d d' d d'
d d' a a a .a 0 ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ ⇔
uur uur uur uur
ta giải pt tìm được tham số.
4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường
thẳng d’.
Cần nhớ:
• Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
11
phương cùng phương với nhau.
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương
a,a'
r ur
cùng phương:
• Ta chứng minh
a,a' 0
 
=
 
r ur r
.

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là
( )
( )
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'
=
=
r
ur
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
⇔ = =
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’.
Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương
( )
( )
1 2 3
1 2 3

a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'
=
=
r
ur
.
Bước 2: Vì d //d’ nên
a,a'
r ur
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
⇔ = =
, lập pt hoặc hệ pt để tìm m.
6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
= +


= +



= +

x x at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
' ' '
' ' '
' ' '
= +


= +


= +

x x a t
y y b t
z z c t
Cách tìm:
Bước 1:
• Gọi I là giao điểm của d và d’.
• Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:
0 0
0 0
0 0

' ' ' (1)
' ' ' (2)
' ' ' (3)
+ = +


+ = +


+ = +

x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
• Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
+ = +
− =


⇔
 
+ = + − =



x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
• Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ
(*) vô nghiệm.
• Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.
7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
12
Phương pháp:
Cách 1:
• Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
r
của d.
• Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'
ur
của d’.
• Chứng minh:
a,a' 0
a,a' .MM' 0

 
≠
 

 
=


 

r ur r
r ur uuuuur
.
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.
8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.
Phương pháp:
• Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
r
của d.
• Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'
ur
của d’.
• Chứng minh:
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur
.
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
Cách tính:
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:
• Chọn điểm M thuộc (P).
•
( ) ( )

( )
( )
( )
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C
+ + +
= =
+ +
.
VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
• Chọn điểm M thuộc d.
•
( ) ( )
d d,d' d M,d'=
.
VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
0
0
0
= +


= +


= +


x x at
y y bt
z z ct
.
Cần nhớ:
• Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
• Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
( )
0 0 0
M x at;y bt;z ct+ + +
.
VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.

( )
a.a'
cos = cos a,a'
a . a'
α =
r ur
r ur
r ur
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤
.
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

( )

n.n'
cos = cos n,n'
n . n'
α =
r ur
r ur
r ur
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤
.
13
3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

( )
a.n
sin = cos a,n
a . n
α =
r r
r r
r r
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤
.


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2012
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:

= + −
= −
= − +
uuuur r r r
uuuur r
uuuur r r
1. OM 5i 2j 7k.
2. OM 3k.
3. OM i 3j.
= + −
= −
= − − −
uuuur r r r
uuuur r r
uuuur r r r
4. AM i 3j k , A(1;-1;2).
5. AM i k , A(-1;-1;3).
6. AM i 2j k , A(0;-1;-2)
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M biết:
1. MA 2MB=
uuuur uuur
với A(2;1;0), B(-2;0;1).
2. -3MA 2MB=
uuuur uuur
với A(2;1;4), B(-2;3;1).
2 1
3. MA MB
3 2
= −
uuuur uuur

với A(2;1;0), B(-2;0;1).
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ:
( ) ( ) ( ) ( )
1. a 2;1;4 , b 6;0;3 . 2. a 0;0;1 , b 2;0;2= = − = =
r r r r
.
Bài 4a: Xét sự cùng phương của các vectơ sau.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1. a 1;1;1 , b 2;2;2 , a 4;4;4 , b 3;3;3
2. a 2;4;6 , b 2;4;0 a 1;3;0 , b 2; 6;0
3. a 1;3;1 , b 2;7;2 a 1; 3; 1 ,
= = = =
= = = = −
= = = − −
r r r r
r r r r
r r r
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b 2; 7; 2
4. a 1;2;0 , b 2;4;0 a 0;4; 8 , b 0; 2;4
5. a 0;1;2 , b 0;4;8 a 0; 1;3 , b 0;2;6
6. a 1;2;9 , b 0;3;1 a 5;6;9 , b 0;3;3
= − − −
= = = − = −
= = = − =

= − = = − =
r
r r r r
r r r r
r r r r
Bài 4b: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).
1. Tính góc giữa hai vectơ
AB, AC
uuur uuur
.
2. Tính góc giữa hai vectơ
BA, BC
uuur uuur
.
3. Tính góc giữa hai vectơ
CA, CB
uuur uuur
.
Bài 5: Cho
( ) ( )
a m;6; 5 , b m; m; 1= − = − −
r r
. Tìm m để
a b⊥
r r
.
Bài 6: Cho
( ) ( )
a m;3; 2 , b m; m; 1= − = − −
r r

. Tìm m để
a b⊥
r r
.
Bài 7: Cho
( ) ( )
a m;1;6 , b m; m;1= = −
r r
. Tìm m để
a b⊥
r r
.
Chứng minh tam giác vuông
Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Chứng minh tam giác cân.
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2).
14
1. Chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A.
2. Tính chu vi tam giác ABC.
3. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2).
1. Chứng minh tam giác ABC cân.
4. Tính chu vi tam giác ABC.
5. Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng minh tam giác đều
Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

MẶT CẦU
Xác định tâm và bán kính mặt cầu
Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ − + − =
+ + + + =
+ + + =
2 2 2
2 2 2
2 2
2
1. x-1 y 2 z 3 4
2. x+1 y 2 z 3 9
3. x-2 y z 1 2
( ) ( )
( ) ( )
+ − + + =
+ − + =
+ + =
2 2
2
2 2
2
2 2 2
4. x y 3 z 3 36
5. x+2 y 3 z 16
6. x y z 3
Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

+ + − − − − =
+ + + + + − =
+ + − + + + =
+ + − − − =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1. x y z 2x 4y 6z 2 0
2. x y z 2x 4y 6z 1 0
3. x y z 4x 2y 4z 2 0
4. x y z x y z 0
+ + − + − − =
+ + − − =
+ + − + + =
+ + − − =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
5. x y z 3x y 5z 2 0
6. x y z 2x 4z 0
7. x y z 4y 2z 1 0
8. x y z 2x 2 0
Viết phương trình mặt cầu:
Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Bài 20: Viết phương trình mặt cầu:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3.
2. Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm là điểm A và bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC.

Bài 21: Viết phương trình mặt cầu:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16.
2. Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC.
Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).
Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9).
Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ.
Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1).
Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1).
Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0.
Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0.
Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa
độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0.
Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng
(P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2).
15
Bài 32: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng
(P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0).
Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Bài 35: Viết Pt mc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;1).
Bài 35a(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ
hoặc trục tọa độ.
Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P): x+y+z-3=0.

Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0.
Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0.
Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt
phẳng (Oxy).
Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc
mặt phẳng (Oxz).
Bài 41: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.
Bài 42: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến
Bài 43: Viết pt mp (P) qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đt BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3).
Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0). Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại A.
Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết pt mp (P) qua A và vuông góc với BC.
Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 49: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
= −


= +


= −


.
Bài 50: Viết pt mp (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng
d:
x t
y 1
z 1 2t
=


=


= −

, biết A(1;2;3), B(3;2;1).
Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng
tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d:
x 1 y z 1
2 1 2
− +
= =
− −
.
Bài 52: Viết pt mp (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 53: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.
Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của
đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng
16
tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.

Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A,
B, C.
Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A,
B, C.
Bài 60: Viết pt mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1).
Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B
Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng
tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A .
Mặt phẳng qua một điểm và có hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
= −


= +


= −

.
Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d:
x 1 y z 1
2 1 2
− +
= =

− −
.
Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz.
Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.
Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:
x 2 x 2 2t
y 2t , d': y 4
z 1 2t z 3 t
= = − −
 
 
= = −
 
 
= − = −
 
.
Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau
d:

x 1 t
x 1 y 2 z 4
, d': y t
2 1 3
z 2 3t
= − +

− + −

= = = −

−

= − +

.
Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 1 y 2 z 3
1 2 3
− − −
= =
và song song với
đường thẳng d’:
x 1 t
y t
z 1 t
= −


=



= +

.
17
Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 1
y 4 2t
z 3 t
=


= − +


= +

và song song với đường
thẳng d’:
x 3 3t
y 1 2t
z 2
= −


= +


= −


.
Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 2 2t
y 1 t
z 1
= +


= − +


=

và song song với đường
thẳng d’:
x 1
y 1 t
z 3 t
=


= +


= −

.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
Bài 78: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0
4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0
Bài 79: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0
Bài 80: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 ,
với A(1;0;2),B(-1;2;4).
Bài 81: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0.
Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 82: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mp(P): 2x-2y-z=0.
1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P).
3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P).
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
Bài 83: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1).
Bài 84: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1).
Bài 85: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 86: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 87: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ.
Bài 88: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3).
Bài 89: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15).
Bài 90: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27).
Bài 91: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ.
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 92: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4).
1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.
2/ Viết phương trình mặt phẳng
( )α
đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN.

Bài 93: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-
3y+6z+35=0 .
18
1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P) .
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P) .
3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) .
Bài 94: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình
là :
1 2
z 1 3
x t
y t
t
= +


=


= − +

và mp(P) có phương trình là 2x-y+z=0 .
1/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
2/ Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) .
Bài 95: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
: 2x+2y+z-7=0 .
1/ Viết phương trình đường thẳng MN.

2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
Bài 96: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-
10=0.
1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
Bài 97: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) .
1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 98: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình
2x-2y+z-1=0 .
1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) .
2/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-
1).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng d có
phương trình:
1 2
3
z 6
x t
y t
t
= +


= − +



= −

.
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
3/ Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N.
Bài 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương
trình: x+y-2z-4=0.
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P).
2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Tìm
tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 102: Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7).
1/ Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E.
2/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF.
Bài 103: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6).
19
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
1/ Tìm tọa độ trọng tâm G.
2/ Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.
Bài 104: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có
phương trình x+2y-2z+6=0.
1/ Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với mp(P).
Bài 105: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình
2x+2y+z+6=0 .
Bài 106: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x-
2y+2z+12=0 .
Bài 107: Cho mặt cầu (S) có pt :
2 2 2

( 1) ( 1) (z 5) 25x y− + − + − =

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;1;10).
Bài 108: Cho mặt cầu (S) có pt :
2 2 2
4 2 21 0x y z x y+ + + − − =

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;-3;1).
Bài 109: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 110: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm I(1;0;2)và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 111: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm
M(-1;0;2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 112: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm A(1;2;-2) và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 113: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1/ d:
1
3
2
x t
y t
z t
= +



= −


= +

và mp(P): 2x+y+2z=0. 2/ d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.
Bài 114: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1/ d:
3 1 3
2 1 1
x y z+ + −
= =
và mp(P): x+2y-z+5=0. 2/ d:
2 3
1 2 2

x y z+ +
= =
−
và mp(P): 2x+y-z-5=0.
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 115: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +


= +


= − +

và d’:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +



= +


= +

2/ d:
1 2 4
2 1 3
x y z− + −
= =
−
và d’:
1
2 3
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

3/ d:
0
1
1

x
y
z t
=


=


= −

và d’:
2 2 '
1
0
x t
y
z
= − +


=


=

4/ d:
2 1 1
1 2 1
x y z− − −

= =
và d’:
1 2 '
2 '
1 3 '
x t
y t
z t
= +


= +


= − +

TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 116: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
20
1/ d:
1
3
2
x t
y t
z t
= +


= −



= +

và mp(P): 2x+y+2z=0. 2/ d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.
TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 117: Tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +



= +


= − +

và d’:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= +


2/ d:
1 2 4
2 1 3
x y z− + −
= =
−
và d’:

1
2 3
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 118: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0
2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0.
3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0.
CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU.
Cách giải: Ta đi giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:
3 2
2 3
6 4
x t
y t
z t
= − +



= − +


= +

và d’:
5 '
1 4 '
20 '
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

cắt nhau .
Giải
- Xét hệ phương trình:
3 2 5 ' (1)
2 3 1 4 ' (2)
6 4 20 ' (3)
t t
t t
t
− + = +



− + = − −


+ = +

.
- Từ (1) và (2) suy ra
2 ' 8 3
3 4 ' 1 ' 2
t t t
t t t
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
.
- Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn .
- Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18).
Bài 119: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau:
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t

= +


= +


= − +

và d’:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= +


2/ d:
1 2 4
2 1 3
x y z− + −
= =
−

và d’:
1
2 3
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

3/ d:
0
1
1
x
y
z t
=


=


= −

và d’:

2 2 '
1
0
x t
y
z
= − +


=


=

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
21
Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau ta chứng minh:
, ' . ' 0a a MM
 
≠
 
r uur uuuuur
.
Với M thuộc d và M’ thuộc d’ .
Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:
3
1
2 2
x t
y t

z t
= +


= −


= +

và d’:
'
2 3 '
2 '
x t
y t
z t
= −


= +


=

chéo nhau
Giải
- Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương
( )
1' 1'2a = −
r

.
- Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ chỉ phương
( )
' 1;3;2a = −
uur
.
- Tính
, ' ( 8; 4;2), ' ( 3;1; 2)a a MM
 
= − − = − −
 
r uur uuuuur
- Tính
, ' . ' 24 4 4 16 0a a MM
 
= − − = − ≠
 
r uur uuuuur
.
- Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Bài 120: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau:
1/ d:
2
5 3
4
x t
y t
z
= −



= − +


=

và d’:
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
− −
2/ d:
1
2 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


=

và d’:
1
3 2

1
x t
y t
z
= +


= −


=

III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Cách giải : Chứng minh
. 'a a
r uur
=0 (chứng minh tích vô hướng bằng 0)
Bài 121: Chứng minh hai đường thẳng d:
1
2 3
3
x t
y t
z t
= +


= +



= −

và d’:
2 2 '
2 2 '
1 4 '
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

vuông góc với nhau
Bài 122: Chứng minh hai đường thẳng d:
5
3 2
4
x t
y t
z t
= −


= − +



=

và d’:
9 2
13 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= −

vuông góc với nhau
Bài 123: Chứng minh hai đường thẳng d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
và d’:
5 4
2 3 1
x y z+ −
= =

− −
chéo nhau
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP

Bài 124: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7).
1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S).
2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A.
3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B.
Bài 125: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + − + − =
và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.
1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P).
3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 126: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O,A,B,C.
22
Bài 127: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7).
Bài 128: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện.
b/ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện.
Bài 129: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b/ Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
Bài 130: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD).
c/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).
Bài 130: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3).
a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC).
d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
e/ Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 131: Cho hai đường thẳng d:
1x t
y t
z t
= −


=


= −

và d’:
2 '
1 '
'
x t
y t
z t
=



= − +


=

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.
Bài 132: Cho hai đường thẳng d:
1 3
1 2
3 2
x t
y t
z t
= − +


= +


= −

và d’:
'
1 '
3 2 '
x t
y t

z t
=


= +


= − +

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc một mặt phẳng.
b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 133: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC.
Bài 134 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0.
a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P).
d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q).
Bài 135: Cho đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −



= +


= −

và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0.
a/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d.
c/ Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 136: Lập phương trình tham số của đường thẳng d.
a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0).
23
b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

.
c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0.

Bài 137: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P).
a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0).
b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −


biết A(1;2;3), B(1;-2;-3).
c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0.
d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1).
e/ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3).
f/ Chứa đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −



= +


= −

và song song đường thẳng d’:
1
2 2
3
x t
y t
z
= −


= −


=

.
g/ Chứa hai đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t

= −


= +


= −

và d’:
1
2 2
3
x t
y t
z
= −


= −


=

.
h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0.
Bài 138: Cho hai đường thẳng d:
1
2
3
x t

y t
z t
= +


=


= −

và d’:
2 2 '
3 4 '
5 2 '
x t
y t
z t
= +


= +


= −

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 139: Cho hai đường thẳng d:
1

2 3
3
x t
y t
z t
= +


= +


= −

và d’:
2 2 '
2 '
1 3 '
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d và d’.

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 140: Cho hai đường thẳng d:
5
3 2
4
x t
y t
z t
= −


= − +


=

và d’:
9 2 '
13 3 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= −


.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. .
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 142: Cho hai đường thẳng d:
1 2
1 3
5
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

và d’:
1 3 '
2 2 '
1 2 '
x t
y t
z t
= +


= − +



= − +

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d.
Bài 143: Cho điểm A(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0.
1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P).
24
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
3/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). Xác định hình chiếu vuông góc
của A lên (P).
Bài 144: Cho điểm M(-2;1;0) và đường thẳng d:
1 2
2
x t
y t
z
= −


= −


= −

.
1/ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M và song với d.

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d. Xác định hình chiếu vuông góc của
M lên d.
Bài 145: Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5). Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác
ABC.
1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm G, I.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I và qua G.
3/ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại G.
4/ Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 146: Cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) và đường thẳng d:
1 1
2 1 1
x y z− −
= =
−
.
1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.Tìm giao điểm H của (P) và d. Tính độ
dài đoạn AH.
3/ Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng OI.
Bài 147: Cho điểm A(0;-1;2) và mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0.
1/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Tính độ dài đoạn AH.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P).
3/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 148: ĐHBK năm 96. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
1. Chứng minh rằng ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
2. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
3. Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 149: CĐSP Hà Nội 97. Cho mặt cầu (S) có pt:

2 2 2
x y z 2x 4y 4z 0+ + − − − =
.
1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox,
Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
3. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ
điểm H.
Bài 150: ĐHGTVT 99. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P).
2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
3. Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P)
Bài 151: ĐH Huế 96. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu (S). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S).
Bài 152: ĐH GTVT 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0+ + − − − − =
và song song với mặt phẳng
(Q): 4x+3y-12z+1=0.
25