Tiểu luận Đại số giao hoán

[linecolor=black,skipabove=skipbelow=leftmargin=-5pt,rightmargin=-5pt, innerleftmargin=5pt,innerrightmargin=5pt]mybox

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN HỌC
——————– * ———————

ĐẠI SỐ GIAO HOÁN
BÀI TIỂU LUẬN CUỐI KỲ

CÁC ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN
Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Trần Tuấn Nam
Nhóm thực hiện: Nhóm 3

Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 14 Tháng 6 năm 2022


Mục lục
1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN

5

2 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ CẦN KHẢO SÁT

7

3 PHÂN CÔNG VÀ ĐÁNH GIÁ

9

4 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4.1

11

Vành giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.1.1

Mở rộng và thu hẹp của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.2.1

Môđun và môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.2.2

Tổng và giao của các môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.2.3

Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2.4

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.2.5

Môđun sinh bởi tập hợp, môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2.6

Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.3

Vành và môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.4

Vành các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.5

Môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.6

Phân tích nguyên sơ của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2

5 CÁC ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN

35

5.1

Các điều kiện hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2

Điều kiện dây chuyền trên môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.3

Vành giao hoán Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6 Bổ sung lý thuyết môđun

83
1


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

7 TỔNG KẾT

93

8 TÀI LIỆU THAM KHẢO

95

Nhóm 3

Trang 2


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn đến giảng viên bộ mơn Đại số giao hốn - PGS.
TS. Trần Tuấn Nam đã truyền dạy những kiến thức cũng như định hướng, tạo điều kiện cho
chúng tơi có cơ hội thực hiện bài tiểu luận này.
Bước đầu tham gia nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã đọc và nghiên cứu các tài liệu, bài báo khoa học
trong nước, ngoài nước với mục đích am hiểu hơn về nội dung, tìm kiếm các kiến thức liên quan để
hoàn thành bài tiểu luận này. Dù đã dành nhiều thời gian, công sức, nỗ lực nhưng việc nghiên cứu
ắt hẳn sẽ có những sai sót khơng thể tránh khỏi. Chúng tơi rất mong nhận được góp ý, nhận xét từ
PGS. TS. Trần Tuấn Nam cũng như các bạn sinh viên khác để bài tiểu luận hồn thiện hơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, 19 tháng 6 năm 2022.
Nhóm thực hiện.

Nhóm 3

Trang 3


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

Nhóm 3

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

Trang 4


Chương 1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN
1. Phạm Hoàng Duy - 4501101011
2. Trần Minh Khơi - 4501101043
3. Phạm Bích Ngọc - 4501101059
4. Nguyễn Huỳnh Thảo Nhi - 4501101068 (NT)
5. Hồ Tuyết Nhung - 4501101069
6. Tạ Quốc Văn - 4501101135

5


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

Nhóm 3

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

Trang 6


Chương 2

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ CẦN KHẢO SÁT
Đại số giao hoán là ngành học nghiên cứu về vành giao hoán. Hiện nay, ngành học này phát triển
theo hai hướng: Hình học đại số và lý thuyết số đại số. Do đó, Đại số giao hốn đóng vai trị quan
trọng trong các chương trình đại học và sau đại học.
Đơi khi để đi xa hơn trong lý thuyết của môn học này ta phải áp đặt một số điều kiện liên quan đến
sự hữu hạn. Do đó, trong bài tiểu luận này chúng tôi chú trọng làm rõ về các điều kiện hữu hạn, các
môđun và vành đặc biệt.
Trong thời gian làm bài tiểu luận, chúng tơi có gặp nhiều khó khăn về cơ sở lí thuyết, hạn hẹp về
thời gian do phải học nhiều môn khác cùng lúc nên không thể tránh khỏi những sai sót, kính mong
nhận được sự góp ý của Thầy qua email:
Bài tiểu luận gồm 5 nội dung như sau:
• Phân cơng và đánh giá Đánh giá tinh thần làm việc và sản phẩm thu được của từng thành
viên trong thời gian vừa qua.
• Kiến thức chuẩn bị trang bị cho người đọc những kiến thức nền tảng của đại số giao hốn
để có thể tiếp nhận nội dung chính của tiểu luận.
• Các điều kiện hữu hạn trình bày 3 nội dung: các điều kiện hữu hạn, điều kiện dây chuyền
trên môđun, và vành giao hốn Noether.
• Tổng kết xác định những gì đã làm được và cịn gì chưa thể giải quyết trong quá trình nghiên
cứu.

7


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

• Tài liệu tham khảo trình bày những tài liệu mà nhóm đã tham khảo.

Nhóm 3

Trang 8


Chương 3

PHÂN CÔNG VÀ ĐÁNH GIÁ
Sau đây là bảng đánh giá của nhóm trưởng Nguyễn Huỳnh Thảo Nhi cho quá trình làm việc của cả
nhóm khi thực hiện bài tiểu luận.
• Bạn Phạm Hồng Duy: Đã hồn thành tốt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày các nội dung Các
điều kiện hữu hạn, Điều kiện dây chuyền trên môđun và kiến thức chuẩn bị Vành giao hốn.
• Bạn Trần Minh Khơi: Đã hồn thành tốt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày các nội dung Điều kiện
dây chuyền trên mơđun, kiến thức chuẩn bị Vành giao hoán và kiến thức chuẩn bị về Mơđun.
• Bạn Phạm Bích Ngọc: Đã hồn thành tốt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày các nội dung Điều
kiện dây chuyền trên mơđun, Vành giao hốn Noether và kiến thức chuẩn bị về Mơđun, hỗ trợ
nhóm trưởng trong việc tổ chức, phân công nhiệm vụ cho các thành viên.
• Bạn Nguyễn Huỳnh Thảo Nhi: Đã hồn thành tốt vai trị của một nhóm trưởng, tổ chức kế
hoạch để thực hiện bài tiểu luận. Tổng hợp và chỉnh sửa các lỗi đã được các bạn góp ý cũng
như trình bày lại những phần cho phù hợp với độ dài bài tiểu luận. Hoàn thành tốt nhiệm vụ
được phân công trong nội dung Điều kiện dây chuyền trên mơđun và Vành giao hốn Noether.
• Bạn Hồ Tuyết Nhung: Đã hồn thành tốt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày các nội dung Vành
giao hoán Noether và kiến thức chuẩn bị về Mơđun, và Vành và mơđun các thương.
• Bạn Tạ Quốc Văn - Đã hoàn thành tốt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày các nội dung Vành giao
hoán Noether và kiến thức chuẩn bị về Vành và mơđun các thương và Phân tích ngun sơ của
iđêan.

9


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

Nhóm 3

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

STT

Họ và Tên

MSSV

Đánh giá

1

Phạm Hồng Duy

4501101011

16%

2

Trần Minh Khơi

4501101043

16%

3

Phạm Bích Ngọc

4501101059

17%

4

Nguyễn Huỳnh Thảo Nhi

4501101068

19%

5

Hồ Tuyết Nhung

4501101069

16%

6

Tạ Quốc Văn

4501101135

16%

Trang 10


Chương 4

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4.1

Vành giao hoán

Định nghĩa 4.1.1. Tập hợp A cùng với hai phép toán cộng (+) và nhân (·), ký hiệu (A, +, ·), được
gọi là vành nếu thỏa các điều kiện sau:
(i) (A, +) là nhóm Aben;
(ii) (A, ·) là nửa nhóm;
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là: Với mọi phần tử x, y, z ∈ A ta có:
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz.
Nếu thêm các điều kiện sau thì A được gọi là vành giao hốn có dơn vị:
(iv) Phép nhân có tính giao hốn;
(v) Có 1 ∈ A thỏa mãn 1x = x với mọi x ∈ A ( 1 được gọi là phần tử đơn vị của vành A ). Dễ thấy
phần tử đơn vị 1 của vành A là duy nhất.
Định nghĩa 4.1.2. Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu S là nhóm con của
nhóm cộng A, kín đối với phép nhân và chứa phần tử đơn vị 1 của A.
Định nghĩa 4.1.3. Cho hai vành (A, +, ·) và (B, +, ·). Ánh xạ f : A → B được gọi là đồng cấu
vành nếu thỏa các điều kiện:
(i) f (x + y) = f (x) + f (y)
11

ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

(ii) f (xy) = f (x)f (y);
(iii) f (1) = 1.
Định nghĩa 4.1.4. Một tập con a của vành A được gọi là iđêan của A nếu thỏa các điều kiện:
(i) a là nhóm con của nhóm (A, +);
(ii) Nếu x ∈ A và y ∈ a, thì xy ∈ a.
Định lý 4.1.5. Cho đồng cấu vành f : A → B. Ta có đơn cấu vành
f¯ : A/ Ker f → B, x + Ker f 7→ f (x).
Đặc biệt, A/ Ker f ∼
= Im f .
Định nghĩa 4.1.6. Vành A được gọi là trường nếu mọi phần tử khác 0 của nó đều khả nghịch.
Nếu A là một trường, thì tập hợp A∗ gồm tất cả các phần tử khác 0 của A tạo thành một nhóm
Aben.
Định lý 4.1.7. Cho vành A. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) A là môt trường.
(ii) A chỉ có các iđêan tầm thường ( 0 và A).
(iii) Mọi đồng cấu từ A vào một vành tùy ý là đơn cấu.
Định lý 4.1.8. Cho họ (ai )i∈I các iđêan của vành A. Khi đó, giao

T

i∈I

ai của họ các idêan (ai )i∈I

cũng là một iđêan của vành A.

Định nghĩa 4.1.9. Cho S là một tập hợp con của vành A. Iđêan sinh bởi S là iđêan nhỏ nhất của
A chứa S. Ký hiệu (S).
iđêan sinh bởi tập hợp rỗng là iđêan 0. Trong trường hợp tập S gồm hữu hạn phần tử, thì (S)
gồm hữu hạn phần tử, thì (S) được gọi là iđêan hữu hạn sinh. Nếu S = {s1 , ..., sn }, ta viết (S) =
(s1 , ..., Sn ). Nếu S = {a} là tập hợp gồm một phần tử, iđêan (a) được gọi là iđêan chính. Ta thấy
(a) = {axkx ∈ A} = aA.
Định nghĩa 4.1.10. Vành A được gọi là miền iđêan chính nếu A là miền nguyên và mọi iđêan của
A đều là iđêan chính.
Định nghĩa 4.1.11. Tổng
Nhóm 3

P

i∈I

ai của họ các iđêan (ai )i∈I là iđêan sinh bởi tập hợp

S

i∈I

ai . Trong
Trang 12


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

trường hợp I = {1, . . . , n}, ta có thể viết

n
X

ai = a1 + . . . + an

i=1

Trường hợp đặc biệt I = ∅, ta quy ước

P

i∈∅

ai = 0.

Định nghĩa 4.1.12. Định nghĩa 1.3.8. Tích của họ các iđêan a1 , . . . , an là iđêan sinh bởi tất cả các
tích x1 . . . xn (x1 ∈ a1 , . . . , xn ∈ an ). Ký hiệu a1 . . . an .
Định nghĩa 4.1.13. Hai iđêan a và b của vành A được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu a + b = A.
Bổ đề 4.1.14. Cho a, b là các iđêan của vành A. Ta có:
(i) Nếu a và b nguyên tố cùng nhau, thì a

T

b = ab.

(ii) Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và a, c nguyên tố cùng nhau, thì a và bc nguyên tố cùng nhau.
Bổ đề 4.1.15. Cho a , b, c là các iđêan của vành A . Ta có:
(i) a + b = b + a
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c.
(iii) ab = ba ⊆ a

T

b.

(iv) a(bc) = (ab)c.
(v) a(b + c) = ab + ac.
Cho vành A và các iđêan a1 , a2 , . . . , an của A. Ta định nghĩa đồng cấu vành
Φ : A −→

n
Y

A/ai , x 7→ (x + a1 , x + a2 , . . . , x + an )

i=1

Định lý 4.1.16. Cho vành A và các iđêan a1 , a2 , . . . , an của A.
(i) Nếu các iđêan ai và aj (i 6= j) nguyên tố cùng nhau tùng đơi một, thì

Qn

i=1

ai =

Tn

i=1

ai .

(ii) Φ là toàn cấu nếu và chỉ nếu các iđêan ai và aj (i 6= j) nguyên tố cùng nhau từng đôi một.
(iii) Φ là đơn cấu nếu và chi nếu

Tn

i=1

ai = 0.

Định nghĩa 4.1.17. Định nghĩa 1.3.16. Iđêan (a : a) được gọi là iđêan chia của vành A.
Đặc biệt (0 : b) được gọi là linh hóa tử của b và ký hiệu là (0 : b) = Ann(b). Tập hợp tất cả các ước
Nhóm 3

Trang 13


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

của 0 trong vành A là
D=

[

Ann(x).

x6=0

Bổ đề 4.1.18. Cho các idêan a, b, c, (ai )i∈I của vành A. Ta có:
(i) (a : A) = a.
(ii) (a : b) = A khi và chi khi b ⊆ a.
(iii) Nếu b ⊆ c thì (a : c) ⊆ (a : b).
(iv) (a : b)b ⊆ a
(v) ((a : b) : a) = (a : bc) = ((a : c) : b)


T
a
: b = i∈I (ai : b).
i
i∈I

T

(vi)

(vii) a :

P

i∈I

ai





=

T

i∈I

(a : ai ).

Định nghĩa 4.1.19. Cho a là một iđêan của vành A. Căn của a ký hiệu
√
a = {x ∈ A | tồn tại số nguyên dương n thỏa xn ∈ a}.

√
a, được xác định bởi:

Bổ đề 4.1.20. Cho a, b là các iđêan của vành A. Ta có:
1.
2.

√

a = A khi và chỉ khi a = A.

p√
√
a= a
√

√
a với mọi số nguyên dương n.
»√
√
√

4. a + b =
a + b.
3.

an =

5. a + b = A khi và chi khi
6.

√

ab =

√

a∩b=

Bổ đề 4.1.21. D =

a+

√
b = A.

√ T√
a
b.

S

Định nghĩa 4.1.22.

√

x6=0

p
Ann(x).

1. Iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu p 6= A và nếu xy ∈ p,

thì x ∈ p hay y ∈ p.
2. Iđêan m của vành A được gọi là iđêan cực đại nếu m 6= A và khơng có iđêan m nào thỏa mãn
m ( a ( A.
Nhóm 3

Trang 14


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

Bổ đề 4.1.23. Cho p, a là các iđêan của vành A trong đó p là iđêan nguyên tố. Nếu a ⊆ p, thì
√
√
a ⊆ p. Đặc biệt p = p.
Định lý 4.1.24. Cho a1 , . . . , an , b là các iđêan của vành A.
(i) (Tránh nguyên tố) Nếu b ⊆

Sn

i=1

ai và có nhiều nhát là hai trong số các iđêan a1 , . . . , an không

nguyên tố, thì b được chứa trong một iđêan ai nào đó (1 ≤ i ≤ n).
T
(ii) Nếu b là iđêan nguyên tố chứa ni=1 ai , thì b chứa một iđêan ai nào đó (1 ≤ i ≤ n). Đặc biệt,
T
nếu b = ni=1 ai , thì b = ai vớ một iđêan ai nào đó.
Định lý 4.1.25. Trong một miền iđêan chính, mọi iđêan nguyên tố khác 0 đều là iđêan cực đại.
Định nghĩa 4.1.26. Cho tập hợp X. Một quan hệ hai ngôi trên X là tập con < của tập hợp
X 2 = X × X. Nếu (x, y) ∈ < ta nói x có quan hệ < với y và ta viết xĐịnh nghĩa 4.1.27. Quan hệ hai ngôi < trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba
tính chất sau:
(i). Tính chất phản xạ: x(ii). Tính chất phản đối xứng: x(iii). Tính chất bắc cầu: xTập hợp X được trang bị một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp thú tự. Ta thường dùng ký hiệu
≤ (đọc là bé hơn hay bằng) thay cho <. Trong trường hợp x ≤ y và x 6= y, ta có thể viết x < y.
Định nghĩa 4.1.28. Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự.
(i). Cận trên của một tập con T ⊆ X là phần tử a ∈ X thỏa mãn x ≤ a với mọi x ∈ T .
(ii). Tập con T ⊆ X gọi là tập được sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi x, y ∈ T ta có x ≤ y hoặc
y ≤ x.
(iii). X gọi là tập được sắp thứ tự quy nạp nếu mỗi tập con được sắp thứ tự tồn phần của X đều
có cận trên.
(iv). Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực đại của X nếu với bất kỳ phần tử x ∈ X, a ≤ x thì
a = x.
Bổ đề sau đây của lý thuyết tập hợp đóng vai trị quan trọng trong việc chỉ ra sự tồn tại của iđêan

Nhóm 3

Trang 15


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

cực đại của vành A.
Bổ đề 4.1.29. (Bỗ đề Zorn) Nếu tập hợp X khác rỗng được sắp thứ tự quy nạp thì X có phần tử
cực đại.
Định lý 4.1.30. Mỗi iđêan a thật sự của vành A đều chứa trong một iđêan cực đại.
Hệ quả 4.1.31. Mọi phần tử không khả nghịch của vành A đều nằm trong một iđêan cực đại.
Bổ đề 4.1.32. Cho S là một tập hợp con của vành A và a là iđêan của A sinh bởi S. Khi đó a a
nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại m có một phần tử x ∈ S − m.
Chú ý 4.1.33. Có những vành chỉ có một iđêan cực đại (duy nhất), chẳng hạn các trường có iđêan
cực đại duy nhất là iđêan 0 . Vành A có một iđêan cực đại duy nhất m được gọi là vành địa phương,
khi đó A/m được gọi là trường thạng dư của A, ký hiệu k(m) = A/m. Vành A chỉ có một số hữu
hạn các iđêan cực đại được gọi là vành nửa địa phương.
Chúng ta có các tính chất sau liên quan đến vành địa phương:
Bổ đề 4.1.34.

(i). Nếu (A, m) là vành địa phương thì mọi phần tủ của m không khả nghịch và

mọi phần tử của A − m là khả nghịch.
(ii). Nếu m là một iđêan thật sự của vành A thỏa mãn mọi phần tử x ∈ A − m khả nghịch thì A là
vành địa phương và m là idêan cực đại.
(iii). Nếu m là một iđêan cực đại của vành A thỏa mãn mọi phần tử có dạng 1 + x với x ∈ m đều
khả nghịch thì A là vành địa phương.

Hệ quả 4.1.35. Trong vành A, các điều kiện sau là tương đương:
(i). A là vành địa phương.
(ii). Tồn tại một iđêan thưc sự a của A sao cho mỗi phần tử của A − a đều khả nghịch.
(iii). Các phần tử không khả nghịch của A lập thành một iđêan.
Hơn nữa, nếu các điều kiện này được thỏa mãn thì các iđêan trong (ii) (tương ứng (iii)) là iđêan cực
đại duy nhất của A.
Định lý và Định nghĩa 4.1.36. Tập hợp N tất cả các phần tử lũy linh của vành A là một iđêan
và A/N khơng có phần tủ lũy linh nào khác 0. Iđêan N được gọi là căn Khơng của A.

Nhóm 3

Trang 16


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

Chú ý 4.1.37. Từ định nghĩa của căn Khơng, ta có ngay N =

√
0. Phần tử cực tiểu (theo quan hệ

thứ tự "bao hàm") trong tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành A được gọi là iđêan nguyên tố cực
tiểu của A.
Định lý 4.1.38. Căn Không N của A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của A và do đó N cũng
là giao của tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của A.
Hệ quả 4.1.39.

√

a là giao của tất cả các iđêan nguyên tố chứa iđêan a.

Định nghĩa 4.1.40. Giao tất cả các iđêan cực đại của vành A được gọi là căn Jacobson của A. Ta
dùng J(A) để ký hiệu căn Jacobson của vành A.
Định lý 4.1.41. Trong vành A ta có
J(A) = {x ∈ A | 1 + xy khả nghịch với mọi y ∈ A}.
4.1.1

Mở rộng và thu hẹp của iđêan

Cho đồng cấu vành f : A → B. Chúng ta đã biết nếu b là một iđêan của B thì f −1 (b) cũng là một
iđêan của A. Trong khi đó, nếu a là một iđêan của A thì f (a) nói chung khơng phải là một iđêan
của B.
Định nghĩa 4.1.42. Cho đồng cấu vành f : A → B, a là một iđêan của A và b là một iđêan của B.
Iđêan Bf (a) sinh bởi f (a) trong B được gọi là iđêan mở rộng của a. Iđêan f −1 (b) được gọi là iđêan
thu hẹp của b. Ta ký hiệu bc = f −1 (b) và ae = Bf (a).
Chú ý 4.1.43.

(i). Nếu b là iđêan nguyên tố thì bc cũng là iđêan nguyên tố. Tuy nhiên, nếu a là

iđêan nguyên tố thì ae khơng nhất thiết là iđêan ngun tố, chẳng hạn: với f : Z ,→ Q và a 6= 0
thì ae = Q khơng phải là iđêan ngun tố.
(ii). Iđêan ae là tập hợp tất cả các tổng

P

yi f (xi ) với xi ∈ a và yi ∈ B.

Mệnh đề 4.1.44. Cho đồng cấu vành f : A → B, a là một iđêan của A và b là một iđêan của B.

Khi đó:
(i). a ⊆ aec , b ⊇ bce
(ii). bc = bcec , ae = aece .
(iii). Nếu C là tập hợp các iđêan thu hẹp trong A và E là tập hợp các iđêan mở rộng trong B thì
C = {a | aec = a} , E = {b | bce = b} và ta có song ánh ϕ : C → E, a 7→ ae với ánh xạ ngược là
Nhóm 3

Trang 17


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

ϕ−1 : E → C, b 7→ bc .
Bạn đọc tự chứng minh mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 4.1.45. Cho a1 , a2 là các iđêan của A và b1 , b2 là các iđêan của B. Khi đó:
(i) (a1 + a2 )e = ae1 + ae2 ,
(ii) (b1 + b2 )c ⊇ bc1 + bc2 .
(iii) (a1

T

a2 )e ⊆ ae1

T

ae2 ,

(iv) (b1 ∩ b2 )c = bc1 ∩ bc2 .

(v) (a1 a2 )e = ae1 ae2 , (b1 b2 )c ⊇ bc1 bc2
(vi) (a1 : a2 )e ⊆ (ae1 : ae2 ), (b1 : b2 )c ⊆ (bc1 : bc2 ).
(vii)

√

ae ⊆

√

ae

√
√
bc = bc

(viii) Nếu a1 , a2 ∈ E thì a1 + a2 , a1 a2 ∈ E.
√
Nếu b1 , b2 ∈ C thì b1 ∩ b2 , b1 : b2 , b1 ∈ C.

4.2

Mơđun

4.2.1

Mơđun và mơđun con

Cho vành A và nhóm cộng Aben M . Ta xác định phép toán A × M → M, (a, x) 7→ ax và gọi là phép
nhân vơ hướng.

Định nghĩa 4.2.1. Nhóm cộng Aben M cùng với phép nhân vơ hướng A × M → M, (a, x) 7→ ax
được gọi là một A− môđun nếu thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi a, b ∈ A, x, y ∈ M
(i). a(bx) = (ab)x;
(ii). a(x + y) = ax + ay;
(iii). (a + b)x = ax + bx;
(iv). 1x = x.
Từ định nghĩa A−môđun, ta có ngay các tính chất sau đây:
Nhóm 3

Trang 18


ĐẠI SỐ GIAO HỐN

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

Hệ quả 4.2.2. Trong A−mơđun M ta có các tính chất sau: với mọi phần tử a, b ∈ A và x, y ∈ M
(i). a0 = 0 = 0a;
(ii). (−1)x = −x;
(iii). (−a)x = a(−x) = −ax;
(iv). (a − b)x = ax − bx;
(v). a(x − y) = ax − by
Ở đây, để tránh rườm rà, ta có thể ký hiệu 0 dùng để chỉ phần tử Không cả trong A và M mà khơng
gây nhầm lẫn gì.
Định nghĩa 4.2.3. Cho M là một A−môđun. Một tập con N của M được gọi là môđun con
(A − môđun con ) của M nếu N cùng với phép cộng là nhóm con của M và đóng với phép nhân vơ
hướng các phần tử của A và M
Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra các điều kiện tương đương trong bổ đề sau đây:
Bổ đề 4.2.4. Cho M là một A−môđun và N 6= ∅ là một tập con của M. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương:

(i) N là A−môđun con của M .
(ii) N đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng.
(iii) ax + by ∈ N với mọi a, b ∈ A và x, y ∈ M .
4.2.2

Tổng và giao của các môđun con

P
Cho A−môđun M và (Mi )i∈I là một họ các môđun con của M . Tổng i∈I Mi là tập hợp tất cả
P
phần tử có dạng các tổng hữu hạn i∈I xi với xi ∈ Mi , i ∈ I, tức là trong tổng này chỉ một số hữu
P
hạn các phần tử khác 0 còn đều bằng 0. Dễ dàng kiểm tra được i∈I Mi là môđun con bé nhất của
M chứa tất cả các môđun con Mi với i ∈ I.
Định nghĩa 4.2.5. Môđun M được gọi là tổng trực tiếp (trong) của họ môđun con (Mi )i∈I nếu
P
P
M = i∈I Mi và Mj ∩ j6=i∈I Mi = 0 với mọi j ∈ I.
L
Ta ký hiệu M = i∈I Mi .
Chú ý 4.2.6. Giả sử họ môđun con (Mi )i∈I của môđun M thỏa mãn M =
Nhóm 3

P

i∈I

Mi . Khi đó điều kiện
Trang 19