Bài Tập Ltxs.pdf

BÀI TẬP ÔN TẬP: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Bài 1. Điều tra sở thích xem chương trình thể thao của các cặp vợ chồng cho thấy 60% các

ông chồng thường xem, tỉ lệ này ở các bà vợ là 30%; nếu thấy vợ xem thì tỷ lệ chồng xem

cùng là 60%. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một cặp vợ chồng thì

a) Cả hai vợ chồng đều thường xem chương trình thể thao.

b) Nếu chồng xem chương trình thể thao thì vợ xem cùng.

Bài 2. Một công ty cần tuyển nhân viên với 2 vịng độc lập, ứng viên sẽ được nhận vào

cơng ty nếu vượt qua được cả hai vòng. Một người tham gia tuyển với xác suất qua ở các

vòng lần lượt là 0,6 và 0,7.

a) Tính xác suất để người đó được nhận vào cơng ty.

b) Biết rằng người đó khơng được nhận vào cơng ty, tìm xác suất người đó bị trượt

vịng 1.

Bài 3. Một cơng ty có 3 ơ tơ hoạt động độc lập với xác suất hỏng trong tuần làm việc lần

lượt là 0,1; 0,2; 0,4.

a) Tính xác suất để trong tuần làm việc có đúng 1 xe hỏng.

b) Biết rằng trong tuần làm việc có đúng 1 xe hỏng, tìm xác suất để đó là xe thứ nhất.

Bài 4. Một hộp đựng ba loại linh kiện bên ngoài giống hệt nhau; loại I chiếm 35%, loại II

chiếm 25% và loại III chiếm 40%. Xác suất hỏng trong khoảng thời gian làm việc T tương

ứng là 0,1; 0,2 và 0,05.

a) Lấy ngẫu nhiên một linh kiện để kiểm tra, tính xác suất để linh kiện đó bị hỏng.

b) Nếu linh kiện đó bị hỏng, tính xác suất để linh kiện đó là linh kiện loại I.

Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

 
3/2

X

kx khi 1 x 4
f x

0 khi x (0;4).

  
 




a) Tìm k và hàm phân bố xác suất của X.

b) Tìm hàm mật độ xác suất của
1

Y
X

 và kì vọng của Y.

c) Tìm P(Y<1/2).

Bài 6. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ



 
 

 

kx(1 x) khi x 0;1
f x

0 khi x 0;1

  
 



a) Tìm k và hàm phân bố xác suất của X.

b) Xét biến ngẫu nhiên Y 2 X . Hãy tìm mật độ xác suất của Y và
1 3

P Y
2 2

 
  

 
.

c) Tìm kì vọng và phương sai của Z=X2+1

Bài 7. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là

  2
X

4
khi x (0,1)

f x (1 x )

0 khi x (0,1)





  
 

a) Tìm hàm phân bố của X.

b) Tìm xác suất để trong 5 lần quan sát X thì có ít nhất một lần X nhận giá trị

trong khoảng
1

(0, )
3

.

c) Tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 2Y 3X .

Bài 8. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Tìm hàm mật độ xác suất của U X Y. 

trong các trường hợp:

a) X có phân phối mũ với tham số 1  , Y có phân phối mũ với tham số
1

2
  .

b) X có phân bố đều trên [0;3] và Y có phân bố đều trên [0;5].

c) X và Y cùng có phân bố đều trên [0;2].

Bài 9. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Tìm hàm mật độ của U X 2Y. 

trong các trường hợp:

a) X có phân phối mũ với tham số 2  , Y có phân phối mũ với tham số
1

2
  .

b) X có phân bố đều trên [0;2] và Y có phân bố đều trên [0;5].

c) X và Y cùng có phân bố đều trên [0;3].



Bài 10. a) Cho (X, Y) có mật độ f(x,y), chứng minh rằng hàm mật độ của X.Y được xác

định bởi

a) XY

1 u
f (u) f (v, )dv.

| v | v




 

b) Từ đó, nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, cùng có phân bố đều trên [0;1].

Tìm phân bố và mật độ của XY.




Bài 11. Giả sử vectơ ngẫu nhiên  X,Y có hàm mật độ xác suất đồng thời

  2 (x y)
(x 0,y 0)f x,y e .I , 0. 
    

a) Chứng minh rằng X, Y độc lập.

b) Tìm hàm phân bố xác suất của X+Y.

Bài 12. Cho  nX là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc xác định như sau:

   n n
1

P X ln n P X ln n , (n 1,2,...).
2

     

a) Với mỗi n, hãy tìm n nE(X ), V(X ).

b) Chứng minh rằng dãy biến ngẫu nhiên nX tuân theo luật yếu số lớn.

Bài 13. Cho 1 2 30X ,X ,...,X là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có i iEX 1, VX 8  , với mọi

i. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev tìm các hằng số a, b sao cho

30

i
i 1

P a X b 0,98


 
    

 
 .

Bài 14. Cho  nX là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc xác định như sau:

   n n

1
P X ln(n 1) P X ln(n 1) , (n 1,2,...).

2
       

a) Với mỗi n, hãy tìm n nE(X ), V(X ).

b) Chứng minh rằng dãy biến ngẫu nhiên nX tuân theo luật yếu số lớn.