Đề Thi Hsg Toán 7 Lục Nam.doc

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LỤC NAM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN LỚP 7
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi có 02 trang
A- TRẮC NGHIỆM (6 điểm)
2

1

Câu 1. Biết  x, y  là cặp số thỏa mãn  2 x    3 y  12 0. Khi đó 12 x  4 y bằng:


6

A.  10
B. 20
C. 17
D. 16
Câu 2. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó độ dài hai đoạn
thẳng BM và CN là:
A. BM ≤ CN
B. BM > CN
C. BM < CN
D. BM = CN

  1 5  1975  1  5  1975

  .
Câu 3. Kết quả phép tính A    .
là:
 30 4  2019  30 4  2019
2
1975
A.
B. 0
C. 1
D.
3
2019
4 7
2
x 
Câu 4. Tìm x biết: 
3 9
7
 102
3
102
8
A.
B.
C.
D.
49
7
49
15

a b c  d b c d  a c d a  b d a b  c



Câu 5. Cho dãy tỉ số bằng nhau :
và
d
a
b
c
b c  c d  d a  a b 
 a  b  c  d  0 . Giá trị của biểu thức A  1 
 1
 1
 1
 bằng:
a 
b 
c 
d 

A. 81
B. -84
C. 81 hoặc -81
D. 16
Câu 6. Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số là a, thì đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại
lượng y theo hệ số là:
1
1
A. a

B. -a
C.
D. 
a
a
Câu 7. Cho biết 30 công nhân xây xong một ngôi nhà hết 90 ngày . Hỏi 15 công nhân xây ngơi nhà
đó hết bao nhiêu ngày? (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)
A. 120
B. 170
C. 180
D. 270
Câu 8 Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101. Giá trị của f(100) là:
A. -1
B. 1
C. 100
D. 101
4
4
2
a 5
Câu 9. Cho 2a  b   a  b  . Giá trị của biểu thức M  4
là:
3
b  44
625
256
256
625
A.
B.

C. 
D. 
256
625
625
256
Câu 10. Với  5 x  2 thì A= x+5 + -2-x  3 bằng:
A. 10
B. 2x + 10
C. 6
D. 5
0

Câu 11. Cho tam giác ABC vng tại A, có B 60 và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC
tại D. Kẻ DE vng góc với BC tại E. Độ dài cạnh BC bằng:
A. 10cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 5cm
2018  x
Câu 12. Cho số x  Z để B =
có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của B là :
2017  x
A. 1.
B. 4
C. 3.
D. 2.
Câu 13. Cho tam giác đều ABC độ dài cạnh là 6cm. Kẻ AI vng góc với BC. Độ dài cạnh AI là:
A. 3 3cm
B. 3cm

C. 3 2cm
D. 6 3cm


1
2
Câu 14. Cho đa thức P(x) thỏa mãn: f  x   3f   x . Giá trị của f(2) là:
x
13
 13
23
 13
A.
B.
C.
D.
24
24
34
32
Câu 15. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x + y + xy =2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
0
Câu 16. Cho góc xOy = 50 , điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song song với Ox thì số
đo của góc OAm là:
A. 500
B. 1300

C. 500và 1300
D. 800
4 2
3
2 4
Câu 17. Cho đơn thức P  2 x a xy   3 x y (a là hằng số). Hệ số của đơn thức P là:
A. 6
B. 6a 2 .
C.  6.
D. 6a.
0

 234 
Câu 18. Cho C = 2 x  2 y  13 x y  x  y   15 y x  x y  
 , biết x – y = 0. Giá trị của biểu
 216 
thức C bằng:
A. 1
B. -1
C. 2
D. 0
2
Câu 19. Nếu 2 x  1 5 thì giá trị của 2x bằng :
A. 12
B. 144
C. 288
D. 25
Câu 20. Một số tự nhiên a , sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4. Khi a chia
cho 105 có số dư là:
A. 100

B. 53
C. 52
D. 10
B. TỰ LUẬN (14 điểm)
Bài 1. (4.0 điểm)
3 3 

 1,5  1  0, 75 0,375  0, 3  11  12  1890

:
 100 .
1. Thực hiện phép tính: A 
5
5 5  2005
 2,5   1, 25  0, 625  0,5 


3
11 12 

ab  ac bc  ba ca  cb
a b c


2. Cho dãy tỉ số:
. Chứng minh:   .
2
3
4
3 5 15

Bài 2. (5.0 điểm)
1 1 1
1
   ... 
200  1
1. Tìm x biết:  x  10  2 3 4
1
2
199 200

 ... 
199 198
1
x
,
y
2. Tìm
nguyên thỏa mãn : 2 xy  y 4 x  3
3

2



2

2



2

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2 x  5 y )2   15 y  6 x   xy  40
Bài 3. (4.0 điểm)
 600 . Kẻ AH  BC ( H  BC ) Trên HC lấy điểm D sao cho
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có B
HD = HB. Từ C kẻ CE vng góc với AD.
a) Chứng minh tam giác ADB đều.
b) Chứng minh: DA = DC và EH vng góc với AB.

2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho DAE
 ABD


(E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng DAE
.
ECB
Bài 4.(1.0 điểm)
Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + 3c = 2018 và a + 2b = 2019.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a  b  c
--------------- Hết ---------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


(Bản hướng dẫn chấm có 4 trang)
Phần I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)
Mỗi câu đúng cho 0,3 điểm
Câu
Đáp án
Câu
1

C
11
2
C
12
3
B
13
4
C
14
5
A
15
6
A
16
7
C
17
8
B
18
9
A
19
10
C
20

Đáp án
A
D
A
D
C
C
B
A
C
B

Phần I. TỰ LUẬN (14,0 điểm)

Câu
Câu 1

a
(2 điểm)

Hướng dẫn, tóm tắt lời giải

(4.0 đ)
3 3 

 1,5  1  0, 75 0,375  0,3  11  12  1890

 100 .
a. Thực hiện phép tính: A 
:

 2,5  5  1.25  0, 625  0,5  5  5  2005
3
11 12 

3 3 3 3 3 3 3 

 
  
 378
A  2 3 4  8 10 11 12  :
 100
 5  5  5  5  5  5  5  401
 2 3 4 8 10 11 12 
378
 3 3  378
   :
 100 0 :
 100 100
401
 5  5  401
b. Cho dãy tỉ số: Cho

b
(2 điểm)

ab  ac bc  ba ca  cb
. Chứng minh:


2

3
4

ab  ac bc  ba ca  cb ab  ac   bc  ba   ca  cb



.
2
3
4
2  34
ab  ac  bc  ba   ca  cb    ab  ac   ba  bc  ca  cb
.


2 3 4
 2 3  4



2ac
2bc
2ab 
.
3
5

2ac
c

c b a b c
2ab  b và  . ;  
3
3
15 5 3 5 15
Câu 2
a
(2 điểm)

Điểm

1 1 1
1
   ... 
200  1
a.Tìm x biết:  x  10  2 3 4
1
2
199 200

 ... 
199 198
1

1

1

a b c
  .

3 5 15

0.5
0.5
0.5
0.5
(5.0 đ)


1 1 1
1
   ... 
2 3 4
200
Đặt A 
.
1
2
199

 ... 
199 198
1
200 200
200 200
 1
  2

 198 
 1  

 1  ...  
 1  1 

 ... 

Ta có mẫu của A là 
199 198
2 200
 199   198 
 2

1 1 1
1
   ... 
2 3 4
200  1
Khi đó A 
1  200
1 1
200    ... 

200 
2 3

Như vậy ta có:  x  10  .

1
1

 x  10 1  x 1  10  9

200 200

0.75

0.5
0.5

Vậy x = -9
b. Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
2 xy  y 4 x  3  2 xy  4 x  y  2 5
 2 x( y  2)  ( y  2) 5  (2 x  1)( y  2) 5

0.25
0.5

 (2 x  1)( y  2) 5
b
(1.5 điểm)

0.25

=> 2 x  1 và y  2 thuộc Ư(5) ={-5; -1; 1; 5}
y -2
2x - 1
x
y
Vậy :

5
1

1
7

1
3
2
3

-1
-3
-1
1

-5
-1
0
-3

0.5
0.25
2

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2 x  5 y )2   15 y  6 x   xy  40
2

Ta có P (2 x  5 y ) 2   15 y  6 x   xy  40
2

(2 x  5 y ) 2   6 x  15 y   xy  40

(2 x  5 y ) 2  9.(2 x  5 y ) 2  xy  40
  8.(2 x  5 y ) 2  xy  40 
Ta thấy (2 x  5 y ) 2 0 với mọi x, y nên 8.(2 x  5 y ) 2 0 với mọi x, y
xy  90 0 với mọi x, y
2
Khi đó 8.(2 x  5 y )  xy  40 0 với mọi x, y

0.5

0.5

2

c
(1.5 điểm)

Suy ra   8.(2 x  5 y )  xy  40  0 với mọi x, y
Hay P ≤ 0 với mọi x, y
Dấu‘‘=’’ xảy ra khi (2 x  5 y ) 2 0 và xy  40 0
+ Với (2 x  5 y ) 2 0 thì 2 x 5 y 

x y

5 2

+ Với xy  40 0 thì xy = 40
Đặt

x y
 k ta được x = 5k ; và

5 2

y = 2k

Mà xy = 90 nên 5k .2k = 40
Tìm được k = 2 hoặc k = -2
+ Nếu k = 2 thì x = 10 ; y = 4
+ Nếu k = -2 thì x = -10 ; y = - 4
Kết luận : Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 10 ; y = 4
hoặc x = -10 ; y = - 4

0.5


Câu 3
1

(4.0đ)

GT
KL
B
E

H

0.25

D

C

A

a
(1.5 điểm) a. Chứng minh tam giác ADB đều

b
(1.5
điểm)

C/m được hai tam giác vuông bằng nhau: AHB AHD ( hai cạnh góc vng)
 AB  AD  ABD cân tại A.
Mặt khác Bˆ 600 . Vậy tam giác ADB đều
b. Chứng minh: DA = DC và EH vng góc với AB


HS chứng minh được tam giác ADC cân ( Góc ACD
 CAD
 300 )  DA DC
(Đpcm)
CEA AHC (ch  gn); HS suy ra AH = CE
AHD CED (ch  gn); suy ra DH = DE

 suy ra: EH // AC.
Hai tam giác cân ADC và EDH có góc ở đỉnh bằng nhau nên ta có: AEH EAC
(sl)

0.75
0.5

0,5
0,5
0,5

Mà AC  AB( gt )  EH  AB (Đpcm)

2
A

F

2
(1điểm)

G

D

E
H
B

C

Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE. Ta có
ABF CAH (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra: AF = CH.
ADF CDG (ch  gn) suy ra AF = CG.
Từ đó ta có CH = CG.



 ; CEH

  ECA
 ;


CEH CEG (ch  cgv)  CEH
CEG
; Mà CEG
EBC
 ECB
EAC








Do đó: EBC
 ECB
EAC
 ECA
; (1);Măt khác: EBA
 EBC
ECB
 ECA
; (2)







lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: ECB
 EBA
EAC
 ECB
EBA
 ECB


 EBA
ECB



Mà DAE
.
ECB
 ABD nên DAE

0,5

0,5


Câu 4

(1.0 đ)
Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + 3c = 2018 và a + 2b = 2019.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a  b  c

Ta có: a + 3c = 2018 (1) và a + 2b = 2019 (2)
Từ (1)  a = 2018 – 3c
1
(1điểm)

1  3c
.
2
1   6c  3c  2c
1 c
1  3c

2018  .
Khi đó:P = a + b + c = (2018 – 3c) +
+ c =  2018   
2
2
2 2
2

1 c
1
1
Vì a, b, c không âm nên P = 2018   2018 => MaxP = 2018  c = 0
2
2 2

2
1
Vậy MaxP = 2018 khi c = 0
2

Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1  b =

Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với Câu 3, nếu học sinh khơng vẽ hình thì khơng chấm.

0,5

0,5