Đề thi HSG Toán 7 Năm 2010( huyện Mỹ Hào - HY)

Uỷ ban ND huyện Mỹ Hào
Phòng GD & ĐT
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7
Môn: Toán
Năm học: 2009 2010
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm) Tìm x biết.
a.
3 2
x 1
4 3
+ =
c.
6 1
: 2x 2
7 7
+ =
b.
4 2
x. 2
9 7

=
ữ

d.
5x 7 8 =
Câu 2: (1 điểm) Cho biểu thức .
+
=

2 2
2 2
5x 3y
P
10x 3y
Tính giá trị của biểu thức P với
=
x 3
y 5
Câu 3:(2 điểm) Cho hai đa thức một biến:
2
f(x) 4x 3x 1= + +
2
g(x) 3x 2x 3=
a. Tính h(x) = f(x) g(x)
b. Chứng tỏ rằng - 4 là nghiệm của h(x)
c. Tìm tập nghiệm của h(x)
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đờng trung trực của AC
cắt đờng thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a. Chứng minh rằng: Tam giác MAC cân
b. Chứng minh rằng: CM = CN
c. Muốn cho
CM CN

thì tam giác cân ABC cho trớc phải có thêm điều kiện gì?
Câu 5: (1 điểm)
a. Cho
S abc bac cab= + +
. Chứng minh rằng S không phải là số chính phơng

b. Cho hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc R. Biết rằng với mọi x ta đều có:
2
1
f(x) 3.f x
x

+ =
ữ

. Tính f(2).
Đáp án và thang điểm
Câu Đáp án T. điểm
1
a.
1
x 1
12
=
0,5 điểm
N
M
C
B
A
b.
1
x 5
7
=
0,5 điểm

c.
1
x
40
=
0,5 điểm
c. x = 3 hoặc
1
x
5
=
0,5 điểm
2
- Đặt
=

= =

=

x 3k
x 3 3k
(k 0)
y 5 5k y 5k
-
+
= = = =

2 2 2
2 2 2

45k 75k 120k 120
P 8
90k 75k 15k 15
1,0 điểm
3
a.
2
h(x) f(x) g(x) x 5x 4= = + +
1,0 điểm
b.
h( 4) 0 4 =
là nghiệm của h(x) 0,5 điểm
c.
Cách 1:
2
h(x) 0 x 5x 4 0= + + =

2
x 4x x 4 0
x(x 4) (x 4) 0
(x 4)(x 1) 0
x 4;x 1
+ + + =
+ + + =
+ + =
= =
Vậy tập nghiệm của h(x) là
{ }
S 1; 4=
Cách 2:

Vì tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên
h(x) có nghiệm là -1.
Vì h(x) là đa thức bậc 2 nên có không quá hai nghiệm
Vậy tập nghiệm của h(x) là
{ }
S 1; 4=
0,5 điểm
4
Vẽ hình, GT và KL 0,5 điểm
a.
M
đờng trung trực của
AC MA MC MAC =
cân tại M
1,0 điểm
b. *
MAC

cân tại M
ã
ã
=MAC ACB
(1)

ABC

cân tại A
ã
ã
ABC ACB =

(2)
0,5 điểm
B
C
M
N
*Từ (1) và (2)
ã
ã
MAC ABC =
*Ta có:
ã
ã
ABM CAN=
(kề bù với hai góc bằng nhau)

ABM CAN =
(c.g.c)

AN CN =
(3)
Mà AM = MC (4)
Từ (3) và (4)
CM CN =
1,0 điểm
c.
CMN
cân tại C
ã
o

CM CN MCN 90 =

ã
ã
o
o
AMC 45
BAC 45
=
=
1,0 điểm
5
a. Ta có

S 111(a b c)
S 37.3(a b c)
= + +
= + +
Vì
0 a b c 27 a b c< + + + +
không chia hết 37
Mặt khác ( 3 ; 37 ) = 1
3(a b c) + +
không chia hết 37
Suy ra S không là số chính phơng
0,5 điểm
b. Với

= + =
ữ

1
x 2 f(2) 3.f 4
2
(1)
Với

= + =
ữ

1 1 1
x f 3.f(2)
2 2 4
(2)
Từ (1) và (2)
=
13
f(2)
32
0,5 điểm