Hsg T7 - 004 - Đề_Đáp.án - Thái Thụy.docx

PHỊNG GD -ĐT THÁI THỤY
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi này gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (4 điểm)
Q
a. Thực hiện phép tính:

16
6
 20210 
25
5

b. So sánh 144 và 37  26  1
2020  x  2020  x
c. Tìm x biết
Bài 2: (4,5 điểm)
3 4  7 4 7  7
A 
  : 
 :
7
11
11
7
11  11




a. Thực hiện phép tính:
22 32 42
202
B .
...
1.3 2.4 3.5 19.21
b. Tính giá trị biểu thức:
10
9
8
7
c. Cho đa thức f ( x )  x  101x  101x  101x  ...  101x  2021. Tính f (100)
Bài 3: (2,25 điểm)
2

A 1 

3

4

3  3
 3  3
 3
          ...   
4  4
 4  4

 4

2019

Cho
a. Tính A .
b. Chứng minh A không là số nguyên.
Bài 4: (3,0 điểm)

 3
 
 4

2020

x
x 2
270
a. Tìm x biết: 3  3

2 x  3 y 5 y  2 z 3z  5 x


5
3
2
b. Cho các số x, y , z khác 0 thỏa mãn
12 x  5 y  3 z
B
x  3y  2z

Tính giá trị biểu thức

Bài 5: (5,0 điểm)
BC
2 , trên tia đối
Cho tam giác cân ABC , AB  AC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
của CB lấy điểm E sao cho BD CE . Đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D cắt cạnh AB
tại M , đường thẳng vng góc với BC tại E cắt AC tại N ; MN cắt BC tại I .
BD 

a. Chứng minh: DM  EN .
b. Chứng minh: I là trung điểm của MN và BC  MN .
c. Chứng minh: Đường thẳng vuông góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên BC .
Bài 6: (1,25 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x  1  x  2  x  3  ...  x  2019  x  2020

.
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
(Đề thi có 01 trang)

Trang 1


HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Mơn: Tốn 7
Bài 1: (4 điểm)
Q
a. Thực hiện phép tính:

16
6
 20210 
25
5

b. So sánh 144 và 37  26  1
2020  x  2020  x
c. Tìm x biết
Lời giải
Q
a.

16
6
 20210 
25
5

4
6
Q  1 
5
5
 4 6
Q 1    
 5 5  1  2 3

b. Ta có

37  36 6
26  25 5
37  26  1  36  25  1 6  5  1 12
144 12

Vậy 144  37  26  1
c.

2020  x  2020  x  x  2020 2020  x

(1)

Xét x 2020 (1)  x  2020 2020  x

*

2 x 4040
x 2020
*Xét x  2020 (1)  2020  x 2020  x đúng với mọi x
Vậy x 2020

2020  x  2020  x  x  2020 2020  x
Cách khác:
 x  2020 0  x 2020
Bài 2: (4,5 điểm)
3 4  7 4 7  7
A 
  : 
 :

 7 11  11  7 11  11
a. Thực hiện phép tính:

22 32 42 202
B .
...
1.3 2.4 3.5 19.21
b. Tính giá trị biểu thức:
10
9
8
7
c. Cho đa thức f ( x )  x  101x  101x  101x  ...  101x  2021. Tính f (100)
Lời giải

Trang 2


a.

3 4  7 4 7  7
A 
  : 
 :
 7 11  11  7 11  11
  3 4  11   4 7  11

 .  
 .
 7 11  7  7 11  7

11    3 4    4 7  
 
  
 
7   7 11   7 11  
11    3  4   4 7  
 
     
7  7
7   11 11  
11   7 11 
 
 
7  7 11 
11
   1  1 0
7
Vậy A 0

22 32 42 202
B .
...
1.3 2.4 3.5 19.21
b. Ta có
2.2 3.3 4.4 20.20

.
.
...

1.3 2.4 3.5 19.21
(2.3.4...20).(2.3.4...20)

(1.2.3...19)(3.4.5...21)
20.2 40


21
21
`

40
21
Vậy
c. Từ x 100  101  x  1
B

f  100  x10   x  1 x 9   x  1 x8   x  1 x 7  ...  ( x  1) x  2021
 x10  x10  x9  x9  x8  x8  x 7  ...  x 2  x  2021

 x  2021  100  2021 1921
f  100  1921
Vậy
Bài 3: (2,25 điểm)
2

3

4

3  3
 3  3
 3
A 1            ...   
4  4
 4  4
 4
Cho
a. Tính A .
b. Chứng minh A khơng là số nguyên.
Lời giải
3
3
A 
4
a. 4

2

3

4

 3
 3  3
 3
         ...   
 4
 4  4
 4

3
 3
 A  A  
4
 4

2020

2019

 3
 
 4

 3
 
 4

2020

2021

2021

1

Trang 3

2021

2021

 3
 3
1  
 
4
4
 A  
 
3
7
1
4
4

 3
 
b. Ta có  4 

Nên

 3
 
 4

2021

2021



1

4  3 
  
7  4 


2021


 1


3
4

2021
 4 7
3
7
4  3
1  1   .  
 1  . 1
 7 4
4
4

7  4



Suy ra A  1 , mà A  0 (do tử và mẫu đều dương). Nên 0  A  1
Vậy A khơng thể là số ngun
Bài 4: (3,0 điểm)
x
x 2
270
a. Tìm x biết: 3  3

b. Cho các số x, y , z khác 0 thỏa mãn
12 x  5 y  3 z
B
x  3y  2z
Tính giá trị biểu thức

2 x  3 y 5 y  2 z 3z  5 x


5
3
2

Lời giải
x
x 2
270
a. Ta có 3  3

 3x .(1  32 ) 270
 3x.10  270
 3x 27 33

 x 3
x 3
Vậy
5  2 x  3 y  3  5 y  2 z  2  3z  5 x 


25
9
4
b.
10 x  15 y  15 y  6 z  6 z  10 x

0
25  9  4
x y
3 2
2 x 3 y

 
5 y 2 z
y z
 
2 5
x y z
   m

3 2 5
 x 3m; y 2m; z 5m



12 x  5 y  3 z 12.3m  5.2m  3.5m 31m 31
 B



x  3y  2z
3m  3.2m  2.5m
7m
7
31
B
7
Vậy
Bài 5: (5,0 điểm)

Trang 4


BC
2 , trên tia đối
Cho tam giác cân ABC , AB  AC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
của CB lấy điểm E sao cho BD CE . Đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D cắt cạnh AB
BD 

tại M , đường thẳng vng góc với BC tại E cắt AC tại N ; MN cắt BC tại I .

a. Chứng minh: DM  EN .
b. Chứng minh: I là trung điểm của MN và BC  MN .
c. Chứng minh: Đường thẳng vng góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên BC .
Lời giải
a) Chứng minh: MDB NEC




Ta có ABC  ACB (gt) mà ACB ECN
(đđ)




Nên ABC ECN hay DBM ECN
Xét MDB và NEC có:


DBM
ECN
(cmt)
BD CE (gt)
 E
 900
D
(gt)

Suy ra MDB NEC (g-c-g)

 DM EN (cạnh tương ứng)

 MB NC (cạnh tương ứng)
0


b) Ta có MDI vuông tại D nên DMI  MID 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vng)


NEI vng tại E nên ENI
 NIE
900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)




Mà MID  NIE (đđ) nên DMI ENI
Xét MDI và NEI có



DMI
ENI
(cmt)

DM EN (cm câu a)
 E
 900
D
(gt)

Suy ra MDI = NEI (g-c-g)

 IM IN (cạnh tương ứng)
Vậy I là trung điểm của MN.
Xét MDI vng tại D có DI  MI
NEI vng tại E có EI  NI
 DI  EI  MI  NI
 DI  IC  CE  MN
 DI  IC  BD  MN
BD CE
Vì
 BC  MN
c) Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC .
Xét AHB và AHC có

Trang 5


AB  AC ( gt )
 H
 900
H
1
2

HB HB (vì ABC cân tại A)
Nên AHB = AHC (cạnh huyền- cạnh góc vng)


 HAB

HAC
(góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I .
Xét OAB và OAC có
AB  AC ( gt )


OAB
OAC

(vì ABC cân tại A)

OA cạnh chung
Nên OAB = OAC (c-g-c)


 OBA
OCA
(góc tương ứng) (1)
 OB OC (cạnh tương ứng)
Xét OIM và OIN có
IM IN ( I là trung điểm MN )
I I 900
1

2

OI cạnh chung
Nên OIM = OIN (c-g-c)
 OM ON (cạnh tương ứng)

Xét OMB và OCN có
OM ON (cmt )

OB OC (cmt )
MB NC (cm câu a)
Nên OMB = OCN (c-c-c)


 OBM
OCN
(góc tương ứng) (2)
0


Từ (1);(2) suy ra OAC OCN 90 do đó OC  AC  O là điểm cố định.
Vậy đường thẳng vng góc với MN tại I luôn đi qua điểm cố định là O khi thay đổi trên cạnh

BC
Bài 6: (1,25 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x  1  x  2  x  3  ...  x  2019  x  2020

.

Lời giải

A  x  1  2020  x    x  2  2019  x   ...  ( x  1010  1011  x )
B x a  b x
 b  a  0
Xét biểu thức
M M

Ta có
dấu bằng xảy ra khi M 0
x  a x  a
Áp dụng ta có
dấu bằng xảy ra khi x  a 0  x a
b  x b  x
Tương tự ta có
dấu bằng xảy ra khi b  x 0  x b

Trang 6


 B  x  a  b  x  x  a  b  x b  a m  0

dấu bằng xảy ra khi a  x b

Áp dụng ta lại có

 x  1  2020  x   x  1  2020  x 2019 Dấu bằng xảy ra khi 1  x 2020
 x  2  2019  x   x  2  2019  x 2017 Dấu bằng xảy ra khi 2  x 2019
………………………………………………………………………………………

 x  1010  1011  x   x  1010  2011  x 1 Dấu bằng xảy ra khi 1010  x 1011
A  x  1  2020  x    x  2  2019  x   ...  ( x  1010  1011  x ) 1  3  5  ...  2017  2019
... 10102

Dấu bằng xảy ra khi

1  x 2019
 2  x  2017

.....................

1010  x 1011



  1010  x 1011



2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1010 dấu bằng xảy ra khi 1010  x 1011
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 7