Hsg T7 - 006 - Đề_Đáp.án - Huyện Gia Viên.docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phút

HUYỆN GIA VIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (4,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính:

A

7
 18 4 19 4

  
 25 25 23 23 7


 0, 4 
B 
 1, 4 


2 2
1
1 

 0, 25 
9 11  3

5  : 2020

7 7
1

1  0,875  0, 7  2021
9 11
6


x 1,5; y  0, 75
2) Cho biểu thức P x  4 xy  y . Tính giá trị của P với
Bài 2: (4,0 điểm)
a b  c b c  a c a  b


c
a
b
1) Cho a , b , c là ba số thực khác 0, thỏa mãn
. Hãy tính
 b  a  c 
M  1    1    1  
 a  c  b 
giá trị của biểu thức
2) Cho Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử.
2
8
4
Trong đó, 3 số học sinh của nhóm I bằng 11 số học sinh của nhóm II và bằng 5 số học

sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và
nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
Bài 3: (4,5 điểm)
39
15
 3x2 
2
1) Tìm x biết: 2

2) Tìm x , y nguyên biết: xy  3 x  y 6
42  x
P
x  15 . Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nhỏ nhất.
3) Cho
Bài 4: (6,5 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn, AB  AC  BC , các tia phân giác của góc A và góc
C cắt nhau tại O . Gọi F là hình chiếu của O lên BC , H là hình chiếu của O trên AC . Lấy
điểm I trên đoạn FC sao cho FI  AH , gọi K là giao điểm của FH và AI
1) Chứng minh FCH cân
2) Qua I vẽ IG // AC ( G thuộc FH ). Chứng minh AK KI
3) Chứng minh: 3 điểm B, O, K thẳng hàng.
Bài 5 ( 1,0 điểm )
Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 đoạn thẳng
đó ln tìm được 3 đoạn thẳng để ghép thành một tam giác.
 HẾT 

Trang 1


Trang 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

MÔN TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (4,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính:

A

7
 18 4 19 4

  
 25 25 23 23 7


 0, 4 
B 
 1, 4 


2 2
1
1 

 0, 25 
9 11  3
5  : 2020


7 7
1

1  0,875  0, 7  2021
9 11
6


x 1,5; y  0, 75
2) Cho biểu thức P x  4 xy  y . Tính giá trị của P với
Lời giải
1) Tính đúng mỗi biểu thức 1,5 điểm
7
 18 4 19 4   7  18   4 19  4
A

   

  
 25 25 23 23 7  25 25   23 23  7
4
A   1  1 
7
4
A
7
2 2
1
1 


 0, 25 
 0, 4  9  11
5  : 2020
B 
 3

 1, 4  7  7 1 1  0,875  0, 7  2021
9 11
6





B 



2

5
7

5

2 2

9 11 
7 7


9 11

 1
 2 5 
B  
 7 1 
 5
 

1 1 1 
 
3 4 5  : 2020
7 7 7  2021
 
6 8 10 

1 1
1 1 1 
 
 
 2020
9 11 
 3 4 5 :
1 1  7  1 1 1   2021
 
   
9 11  2  3 4 5  

 2 2  2020
B    :

0
 7 7  2021
2) (1 điểm)
 x 1,5
x 1,5  
 x  1,5
Ta có:

Với x 1,5; y  0, 75 thay vào biểu thức, ta được: P x  4 xy  y ,ta được:
P 1,5  4.1,5.   0, 75     0,75  5, 25

Trang 3


Với x  1,5; y  0, 75 thay vào biểu thức P x  4 xy  y , ta được:
P  1,5  4.   1,5  .   0, 75     0, 75   6, 25
Vậy

P 5, 25 với x 1,5; y  0, 75
P  6, 25 với x  1,5; y  0, 75

Bài 2: (4,0 điểm)
a b c b c  a c a  b


c
a
b
1) Cho a , b , c là ba số thực khác 0, thỏa mãn
. Hãy tính

 b  a  c 
M  1    1    1  
c  b 
 a 
giá trị của biểu thức
2) Cho Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử.
2
8
4
Trong đó, 3 số học sinh của nhóm I bằng 11 số học sinh của nhóm II và bằng 5 số học
sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và
nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
Lời giải

1) (2 điểm)
a b  c b c  a c a  b
a b
bc
ca



 1
 1
1
c
a
b
c
a

b
Ta có:
a b b c c a


c
a
b .
TH1: Nếu a  b  c 0 ; áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:


a  b b  c a  c 2 a  b  c



2  a  b 2c; b  c 2a; a  c 2b.
c
a
b
a b c
 b   a   c   a  b   c  a   b  c  2c 2b 2a
M  1    1    1   

8.
abc
abc
 a  c  b

a  b  c


a  b  c 0  b  c  a
c  a  b


TH2: Nếu
 b  a  c  a b c a b c  c  b  c
M  1    1    1   
.
.
 . .  1
c  b
a
c
b
c b a
 a 
Vậy

M    1; 8

2) (2 điểm)
Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x , y , z (em) ( x , y , z nguyên dương)
y  z  x 18
Theo đề bài, ta có :

Trang 4


2
8

4
x y z
3
11
5
2
8
4
x y z
11
5 chia các tỉ số trên cho BCNN  2, 4,8 8 ta được
Vì 3
2.x 8. y 4.z
x
y
z



 
3.8 11.8 5.8 12 11 10
Mặt khác: y  z  x 18
x
y
z
yz x
18
  
 2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 12 11 10 11  10  12 9

 x 12.2 24

  y 11.2 22
 z 10.2 20

Vậy số học sinh: Nhóm I là 24 em; nhóm II là 22 em, nhóm III là 20 em.

Bài 3: (4,5 điểm)
39
15
 3x2 
2
1) Tìm x biết: 2
2) Tìm x , y nguyên biết: xy  3 x  y 6
42  x
P
x  15 . Tìm số nguyên để P nhận giá trị nhỏ nhất.
3) Cho

Lời giải
1) ( 1,5 điểm )
15
 39
2

3
x


39

15
2
 3x 2    2
39
2
2
  3 x 2  15
 2
2
39
15
39 15
 3x 2   3x 2  
 3 x 2 12
2
2
2
2
Nếu
 x 2 4  x 2

39
15
39 15
 3 x 2 
 3 x 2    3 x 2 27
2
2 2
Nếu 2
 x 2 9  x 3

Vậy

x   2; 3
2) ( 1,5 điểm )
xy  3 x  y 6  x  y  3   y  3 6  3

Ta có:

  x  1  y  3 3
Mà x; y  Z  x  1  Z ; y  3  Z

Trang 5


  x  1  y  3 3 1.3 3.1   1   3   3    1
Ta có bảng giá trị:

Vậy

x 1

1

3

1

3

y 3

3

1

3

1

x

2

4

0

2

y

0

2

6

4

 x; y    2;0  ;  4;  2  ;  0;6  ;   2;  4  

3) ( 1,5 điểm )
42  x
27
27
P
 1 

x  15
x  15 đạt GTNN
x  15 nhỏ nhất
Ta có:
27
0
Xét x  15  0 thì x  15
27
0
Xét x  15  0 thì x  15
27
Do đó x  15 nhỏ nhất khi x  15  0
27
27
Phân số x  15 có tử dương mẫu âm, khi đó x  15 nhỏ nhất khi là x  15 số nguyên âm lớn nhất
hay x  15  1  x 14

Vậy x 14 thì P nhỏ nhất và P  28
Bài 4. ( 6,5 điểm )
Cho ABC có 3 góc nhọn, AB  AC  BC , các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O .
Gọi F là hình chiếu của O lên BC , H là hình chiếu của O trên AC . Lấy điểm I trên đoạn FC

sao cho FI  AH , gọi K là giao điểm của FH và AI
1) Chứng minh FCH cân
2) Qua I vẽ IG // AC ( G thuộc FH ). Chứng minh AK KI
3) Chứng minh: 3 điểm B, O, K thẳng hàng.
Lời giải

Trang 6


A

H
E
K
O
G
B

F

I

C

1) ( 2 điểm)
o


Ta có CHO FHO 90 ( vì OH  AC , OF  BC )
Xét CHO vuông tại H và CFO vng tại F có:

OC chung



HCO
FCO
( OC là phân giác ACB )
Vậy CHO = CFO ( cạnh huyền – góc nhọn )

 CH CF ( hai cạnh tương ứng )
HFC cân tại C
Vậy
2) ( 2 điểm)


Ta có HFC cân tại C (cmt)  CHF CFH (1)


Mà CHF FGI ( đồng vị, IG // AC ) (2)




Từ (1) và (2)  CFH FGI hay IFG I GF , vậy IFG cân tại I
 FI GI mặt khác: FI IH nên GI  AH  FI 




Ta lại có: IGK  AHK ; HAK GIK ( so le trong, IG // AC )

AHK IGK



GIK
 cmt  ; AH GI  cmt  ; HAK
 cmt 
Xét AHK và IGK có:
 AHK IGK  g  c  g   AK KI
(Đpcm)
3) ( 2 điểm)

Vẽ OE  AB tại E , có BO là tia phân giác của ABC (*)
Chứng minh được OBE OBF (ch  gn)  BE BF
Chứng minh được OAE OAH (ch  gn)  AE  AH  AE FI ( AH )
Chứng minh được AB BI
ABK IBC  c.c.c   ABK IBK

Chứng minh được

Từ đó suy ra BK là tia phân giác của ABC (**)

Trang 7


Từ (*) và (*) suy ra tia BK , BO trùng nhau.
Hay B, O, K là ba điểm thẳng hàng.
Bài 5 ( 1,0 điểm )
Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 đoạn thẳng
đó ln tìm được 3 đoạn thẳng để ghép thành một tam giác.

Lời giải
Ta xếp các đoạn thẳng theo thứ tự có độ dài tăng dần: a1 a2 ... a8 .
Nếu tồn tại 3 đoạn thẳng ak ; ak 1 ; ak 2 thỏa mãn ak  ak 1  ak 2 thì ba đoạn thẳng này có thể ghép
thành tam giác.
Giả sử ngược lại:
a1  a2 a3
a2  a3 a4
a3  a4 a5
a4  a5 a6
a5  a6 a7
a6  a7 a8
Khi đó, theo giả thiết:
a1  10; a2  10  a3  20  a4  40  a5  50  a6  80  a7  130  a8  210
mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng ak ; ak 1 ; ak 2 mà ak  ak 1  ak 2 do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để có thể ghép
thành tam giác.

Trang 8