Đề số 8 cánh diều

KIỂM TRA GIỮA KỲ 2
NĂM HỌC 2023- 2024
Mơn: TỐN - Lớp 10 –
DÙNG CHO BỘ SÁCH CÁNH DIỀU
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ SỐ 8

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Số cách chọn 1 quyển sách là: 5 + 6 + 8 = 19 . Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu mơi trường?
A. 23.
B. 17.
C. 40.
D. 391.
Câu 2. Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham
gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
A. 40.
B. 391.
C. 780.
D. 1560.
Câu 3.

Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ khác nhau và chia hết cho 3?
A. 36.
B. 42.
C. 82944.
D. 72.

Từ các số thuộc tập A = {1;2;3;4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số

khác nhau và chia hết cho 5?
A. 360.
B. 120.
C. 480.
D. 347.
Câu 4.

Câu 5. Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ để đá luân lưu 11 mét? (Biết rằng 11 cầu
thủ có khả năng được đá luân lưu như nhau).
A. 55440.
B. 20680.
C. 32456.
D. 41380.
3

Câu 6.

Câu 7.

3

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x +  là:
x

A. 4.
B. 9.
C. 6.
D. −4 .

Vectơ a = (−4;0) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. a = −4i + j .

Câu 8.

B. a = −i + 4 j .

C. a = −4 j .

D. a = −4i .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−1;2) đối nhau.
B. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−2; −1) đối nhau.
C. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−2;1) đối nhau.
D. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (2;1) đối nhau.

Câu 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là
A(−2;2); B(3;5) . Tọa độ của đỉnh C là:
A. (1;7) .
B. (−1; −7) .
C. (−3; −5) .
D. (2; −2) .
Câu 10. Cho hai điểm A(1;0) và B(0; −2) . Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:
A. (4; −6) .
B. (2;0) .
C. (0;4) .
D. (4;6) .

 x = −2t
Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 

Trong các vectơ sau, vectơ nào
 y = 4 + t.
là vectơ pháp tuyến của d ?
A. u = (−2;1) .
B. v = (2; −1) .
C. m = (1; −2) .
D. n = (1;2) .
Câu 12. Trong mặ̣t phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M và đường thẳng  như hình bên. Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng  . Độ dài đoạn MH là
Trang 1


A. 2.

B. 4.

C. 2 5 .

D. 10.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1.

Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A,10 học sinh khối B và 5 học sinh

khối C , cần chọn ra 15 học sinh, khi đó:
a) Số cách chọn để học sinh mỗi khối là bằng nhau là 252252
b) Số cách chọn để có 2 học sinh khối C,13 học sinh khối B hoặc khối A : có C52C1513 cách.
c) Số cách chọn để có 2 học sinh khối C,10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có C52C1010C153 cách.

d) Số cách chọn để có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C là 51861950
Câu 2.

Khai triển (3x + 1) 4 . Khi đó:

a) Hệ số của
b) Hệ số của
c) Hệ số của
d) Hệ số của

x4 trong khai triển là 81
x 3 trong khai triển là 118
x2 trong khai triển là 54
x trong khai triển là 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(−2; −1), B(1;3), C(2; −3) . Vậy:
a) A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
Câu 3.

b) Điểm I ( 0; −2) là trung điểm của AB
b) Điểm M thuộc Ox sao cho AM + BM bé nhất có hồnh độ bằng
c) Điểm N thuộc Oy sao cho BN + CN bé nhất có tung độ bằng 2
Câu 4.

5
4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (6;2) và các điểm

M (1;5), N (3;4) lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC . Biết rằng trung điểm E của cạnh CD thuộc

đường thẳng  : x + y − 5 = 0 và hoành độ của điểm E nhỏ hơn 7 . Khi đó:
a) Phương trình BC là: x − 3 = 0
b) Phương trình AB là: x + y − 6 = 0 .
c) Tọa độ điểm là A(9;5)
d) Tọa độ điểm là B(3;3)
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, sao cho mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
chữ số đứng trước?
Câu 2. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bộ ba số ( a; b; c ) phân biệt từ tập hợp X = 1;2;3;...;20 mà

a2 + b2 + c2 chia hết cho 5 ?
Trang 2


Câu 3.

Tìm hệ số x 2 trong khai triển ( x + 1)2 + ( x + 1)3 + ( x + 1) 4 + ( x + 1)5

Câu 4.

Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1;1), B(2;4), C(10; −2) . Tính diện tích tam giác ABC

Câu 5.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A ( 2;3) , B ( 5;0 ) và

C ( −1;0) . Điểm M ( a; b ) thuộc cạnh BC thỏa mãn diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam
giác MAC . Tính a3 + b3 .
Câu 6. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cách đều các điểm P, Q với

M (2;5), P(−1;2), Q(5;4)

PHIẾU TRẢ LỜI
PHẦN 1.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chọn
PHẦN 2.
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
a)
a)
a)
b)
b)

b)
c)
c)
c)
d)
d)
d)
PHẦN 3.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
Đáp án
1
2
3
4
5
6

10

11

12

Câu 4
a)
b)
c)
d)

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Số cách chọn 1 quyển sách là: 5 + 6 + 8 = 19 . Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu mơi trường?
A. 23.
B. 17.
C. 40.
D. 391.
Lời giải
Chọn C
Theo quy tắc cộng, có 23 + 17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu mơi
trường.
Câu 2. Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham
gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
A. 40.
B. 391.
C. 780.
D. 1560.
Lời giải
Trang 3


Chọn B
Giai đoạn 1: Chọn một học sinh nữ: có 23 cách chọn.
Giai đoạn 2: Chọn một học sinh nam: có 17 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 23.17 = 391 cách chọn thỏa mãn.
Câu 3.

Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ khác nhau và chia hết cho 3?
A. 36.

B. 42.
C. 82944.
D. 72.
Lời giải
Chọn A
Số tự nhiên gồm ba chữ số có dạng abc .
Ta có abc 3  (a + b + c ) 3 (*) .
Trong E có các bộ số thỏa mãn (*) là: (0;1;2),(0;1;5),(0;2;4),(1;2;3) , (1;3;5),(2;3;4),(3;4;5) .
Có bốn bộ số khơng chứa chữ số 0. Mỗi bộ đều có thể viết được 3  2 1 = 6 số tự nhiên thỏa
mãn.
Có ba bộ số có chứa chữ số 0. Mỗi số đều có thể viết được 2  2 1 = 4 số tự nhiên thỏa mãn.
Vậy ta có: 6  4 + 4  3 = 36 số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3.

Từ các số thuộc tập A = {1;2;3;4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số
khác nhau và chia hết cho 5?
A. 360.
B. 120.
C. 480.
D. 347.
Lời giải
Chọn B
Số tự nhiên cần lập có dạng abcd .
Số này chia hết cho 5 nên d = 5 , ta có 1 cách chọn d .
Chọn 3 trong 6 chữ số còn lại sắp xếp vào các vị trí a, b, c : có A63 (cách).
Câu 4.

Vậy có tất cả 1  A63 = 120 số thỏa mãn.
Câu 5. Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ để đá luân lưu 11 mét? (Biết rằng 11 cầu
thủ có khả năng được đá luân lưu như nhau).
A. 55440.

B. 20680.
C. 32456.
D. 41380.
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ để sắp xếp đá luân lưu là A115 = 55440 .
3

Câu 6.

Câu 7.

3

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x +  là:
x

A. 4.
B. 9.
C. 6.
D. −4 .
Lời giải
Chọn B
3
2
3
3

3
0

3
1
2 3
2
33
Ta có:  x +  = C3 ( x ) + C3 ( x )  + C3 ( x )    + C3   .
x
x

 x
 x
3
Số hạng không chứa x là C31 ( x )2  = 9 .
x

Vectơ a = (−4;0) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. a = −4i + j .

B. a = −i + 4 j .

C. a = −4 j .
Lời giải

Chọn D
Ta có: a = (−4;0)  a = −4i + 0 j = −4i .
Câu 8.

Trang 4

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−1;2) đối nhau.
B. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−2; −1) đối nhau.

D. a = −4i .


C. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (−2;1) đối nhau.
D. Hai vectơ u = (2; −1) và v = (2;1) đối nhau.
Câu 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là
A(−2;2); B(3;5) . Tọa độ của đỉnh C là:
A. (1;7) .
B. (−1; −7) .
C. (−3; −5) .
D. (2; −2) .
Lời giải

x A + xB + xC
−2 + 3 + xC

0
=
 xO =

 x = −1
3
3

 C
Ta có: 
. Vậy C(−1; −7) .

y
=
−
7
y
+
y
+
y
2
+
5
+
y
C

A
B
C
C
y =
0 =
O

3
3

Câu 10. Cho hai điểm A(1;0) và B(0; −2) . Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:
A. (4; −6) .
B. (2;0) .

C. (0;4) .
D. (4;6) .
Lời giải
Chọn D

 x − x A = −3 ( x B − x A )
Ta có: AD = −3 AB   D

 y D − y A = −3 ( y B − y A )
 x − 1 = −3(0 − 1)
x = 4
 D
 D
. Vậy D(4;6) .
 yD − 0 = −3(−2 − 0)
 yD = 6

 x = −2t
Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 
Trong các vectơ sau, vectơ nào
 y = 4 + t.
là vectơ pháp tuyến của d ?
A. u = (−2;1) .
B. v = (2; −1) .
C. m = (1; −2) .
D. n = (1;2) .
Câu 12. Trong mặ̣t phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M và đường thẳng  như hình bên. Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng  . Độ dài đoạn MH là

C. 2 5 .

D. 10.
Lời giải
Ta có M (2;4) , phương trình tổng qt của đường thẳng  là 3x + 4 y −12 = 0 .
| 3  2 + 4  4 − 12 |
=2.
Độ dài đoạn MH là MH = d ( M ; ) =
32 + 42
A. 2.

B. 4.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1.

Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A,10 học sinh khối B và 5 học sinh

khối C , cần chọn ra 15 học sinh, khi đó:
a) Số cách chọn để học sinh mỗi khối là bằng nhau là 252252
b) Số cách chọn để có 2 học sinh khối C,13 học sinh khối B hoặc khối A : có C52C1513 cách.
Trang 5


c) Số cách chọn để có 2 học sinh khối C,10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có C52C1010C153 cách.
d) Số cách chọn để có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C là 51861950
Lời giải:
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối ( A, B, C) lần lượt là: C155 , C105 , C55 .
Vậy số cách chọn thỏa mãn là C155  C105  C55 = 756756 (cách).
d) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:
13
Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối C,13 học sinh khối B hoặc khối A : có C52C25
cách.
Xét bài tốn 2: Chọn 2 học sinh khối C,13 học sinh khối B và khối A không thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C,10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có C52C1010C153 cách.
- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C,9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có C52C109 C154 cách.
13
10 3
− C10
C15 − C109 C154 = 51861950 (cách).
Vậy số cách chọn thỏa mãn là C52C25

Khai triển (3x + 1) 4 . Khi đó:

Câu 2.

a) Hệ số của
b) Hệ số của
c) Hệ số của
d) Hệ số của

x4 trong khai triển là 81
x 3 trong khai triển là 118
x2 trong khai triển là 54
x trong khai triển là 1
Lời giải

a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
4
3
2
2
3
4
4
3
2
(3x + 1) = (3x) + 4  (3x) 1 + 6  (3x) 1 + 4  3x 1 + 1 = 81x +108x + 54x + 12x + 1.
4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(−2; −1), B(1;3), C(2; −3) . Vậy:
a) A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
Câu 3.

b) Điểm I ( 0; −2) là trung điểm của AB
b) Điểm M thuộc Ox sao cho AM + BM bé nhất có hồnh độ bằng
c) Điểm N thuộc Oy sao cho BN + CN bé nhất có tung độ bằng 2
Lời giải:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai

5
4

d) Sai

3 4

 AB, AC không cùng phương.
4 −2
Vậy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
 1 
Trung điểm AB có tọa độ  − ;1
 2 
Do y A  yB = −1.3  0 nên hai điểm A, B nằm khác phía so với trục Ox . Vì M thuộc Ox mà AM + BM
Ta có : AB = (3; 4), AC = (4; −2) ; vì

bé nhất nên A, M , B thẳng hàng hay AB , AM cùng phương.
Gọi M ( x;0)  Ox  AM = ( x + 2;1) .
x+2 1
5
=  4x + 8 = 3  x = − .
Ta có : AB, AM cùng phương 
3
4
4
 5 
Vậy M  − ;0  .
 4 
Do xB  xC = 1.2  0 nên hai điểm B, C nằm cùng phía so với trục Oy . Lấy C΄ đối xứng với C qua Oy ,
suy ra C΄(−2; −3) (lúc này C΄ và B khác phía so với trục Oy) .

Trang 6

Vì N thuộc Oy nên CN = C΄N . Do vậy BN + CN = BN + C΄N ; tổng này bé nhất khi và chỉ khi B, N , C΄
thẳng hàng hay BC΄, BN cùng phương.
Gọi N (0; y )  Oy  BN = (−1; y − 3), BC΄ = (−3; −6) .
−1 y − 3
=
 6 = −3 y + 9  y = 1 .
Ta có : BC΄, BN cùng phương 
−3
−6
Vậy N (0;1) .
Câu 4.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (6;2) và các điểm

M (1;5), N (3;4) lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC . Biết rằng trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng  : x + y − 5 = 0 và hoành độ của điểm E nhỏ hơn 7 . Khi đó:
a) Phương trình BC là: x − 3 = 0
b) Phương trình AB là: x + y − 6 = 0 .
c) Tọa độ điểm là A(9;5)
d) Tọa độ điểm là B(3;3)
Lời giải
a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Gọi P đối xứng với M(1;5) qua I (6;2) suy ra P(11; −1) và P thuộc đường thẳng CD . Ta có E thuộc 
nên giả sử E(t;5 − t) . Khi đó IE = (t − 6;3 − t) , PE = (t − 11;6 − t).
Vì E là trung điểm CD nên IE ⊥ PE . Do đó ta có:

IE  PE = 0  (t − 6)(t − 11) + (3 − t)(6 − t) = 0  t 2 − 13t + 42 = 0
Suy ra t = 6 hoặc t = 7 . Vì hồnh độ của E nhỏ hơn 7 nên E(6; −1) .
BC đi qua N (3;4) và vng góc với CD nên phương trình BC là: x − 3 = 0
AB đi qua M(1;5) và song song với CD nên phương trình AB là: y − 5 = 0 .
Từ phương trình các cạnh tìm được ta có: A(9;5), B(3;5), C(3; −1), D(9; −1) .
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, sao cho mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
chữ số đứng trước?
Lời giải
Vì chữ số đầu tiên của số tự nhiên phải khác 0, các chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
nên số 0 không thể xuất hiện trong số tự nhiên cần lập.
Xét dãy các số đã được sắp thứ tự là 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .
Mỗi cách lấy 5 chữ số từ 9 chữ số này (không thay đổi thứ tự) sẽ cho ra số tự nhiên thỏa mãn
đề bài, vậy ta có C95 = 126 số tự nhiên thỏa mãn.
Câu 2.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bộ ba số ( a; b; c ) phân biệt từ tập hợp X = 1;2;3;...;20 mà

a2 + b2 + c2 chia hết cho 5 ?
Lời giải
Trang 7


Chú ý rằng với mọi số nguyên a thì a 2 chia cho 5 có số dư là 0,1, 4 . Ta phân tập X thành ba

tập con
+ A = 5;10;15;20 (tập gồm các số chia hết cho 5 ),
+ B = 1;4;6;9;11;14;16;19 (tập các số mà bình phương của nó chia 5 dư 1 )
+ B = 2;3;7;8;12;13;17;18 (tập các số mà bình phương của nó chia 5 dư 4 )
Vậy tập A có 4 phần tử, tập B có 8 phần tử và tập C có 8 phần tử.
Để a2 + b2 + c2 chia hết cho 5 thì
Trường hợp 1. a, b, c  A , suy ra có A43 bộ ba ( a; b; c ) thỏa yêu cầu.
Trường hợp 2. Có đúng một trong ba số a, b, c thuộc A , một số thuộc B và một số thuộc C ,
suy ra có 3! C41  C81  C81 bộ ba ( a; b; c ) thỏa yêu cầu.
Vậy có A43 + 3! C41  C81  C81 = 1560 bộ ba thỏa yêu cầu.
Câu 3.

Tìm hệ số x 2 trong khai triển ( x + 1)2 + ( x + 1)3 + ( x + 1) 4 + ( x + 1)5
Lời giải
Hệ số của x trong khai triển chính là tổng các hệ số của x 2 trong các khai triển thành phần.
Vậy hệ số của x 2 trong khai triển trên là C20 + C31 + C42 + C53 = 20
2

Câu 4.

Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1;1), B(2;4), C(10; −2) . Tính diện tích tam giác ABC
Lời giải
Ta có: AB = (1;3), AC = (9; −3), AB  AC = 1.9 + 3(−3) = 0  AB ⊥ AC .
Vậy tam giác ABC vng tại A .
Ta có: AB = 12 + 32 = 10, AC = 92 + (−3) 2 = 3 10 ;
1
1
3
Diện tích tam giác ABC : SABC = AB  AC =  10  3 10 = .
2

2
2

Câu 5.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A ( 2;3) , B ( 5;0 ) và

C ( −1;0) . Điểm M ( a; b ) thuộc cạnh BC thỏa mãn diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam
giác MAC . Tính a3 + b3 .
Lời giải
1
1
Ta có SABM = d ( A, BM ) .BM , SACM = d ( A, CM ) .CM .
2
2
Theo đề bài, diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam giác MAC
1
1
 d ( A, BM ) .BM = 2. d ( A, CM ) .CM .
2
2
Mà d ( A, BM ) = d ( A, CM ) = d ( A, BC ) nên ta có BM = 2CM .
2
BC .
3
Ta có BM = ( a − 5; b ) , BC = ( −6;0 ) .

M ( a ; b ) thuộc cạnh BC  BM =

2


a − 5 = ( −6 )

a = 1
2

3
BM = BC  

.
3
b = 0
b = 2 .0

3
Vậy M (1;0) . Khi đó a3 + b3 = 1

Trang 8


Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cách đều các điểm P, Q với
M (2;5), P(−1;2), Q(5;4)
Lời giải:
Gọi n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  cần tìm.
 qua M (2;5)   : a( x − 2) + b( y − 5) = 0   : ax + by − 2a − 5b = 0 .
| −a + 2b − 2a − 5b | | 5a + 4b − 2a − 5b |
=
Ta có: d ( P, d ) = d (Q, d ) 
a 2 + b2
a 2 + b2

−3a − 3b = 3a − b
3a = −b
| −3a − 3b |=| 3a − b | 

.
b = 0
 −3a − 3b = −3a + b
Với 3a = −b ; chọn a = 1  b = −3  d : x − 3 y + 13 = 0 .
Với b = 0 ; chọn a = 1  d : x = 2 .
Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:
d : x − 3y +13 = 0 hay d : x = 2 .

Câu 6.

Trang 9