Đề số 9 kntt

ĐỀ SỐ 9

KIỂM TRA GIỮA KỲ 2
NĂM HỌC 2023 - 2024
Mơn: TỐN - Lớp 10 –
DÙNG CHO BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định là [−3;3] và có đồ thị được biểu diễn bởi hình bên.
Mệnh đề nào sau đây là SAI?
Câu 1.

A. Hàm số đồng biến trên (1;3) .
C. Tập giá trị của hàm số là [−3;3] .
Câu 2.

Cho hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có giá trị lớn nhất là 10 đạt được khi x = 2 và đồ thị hàm

số đi qua điểm A(0;6) . Tổng giá trị a + 2b là
A. 7.
B. 8.
Câu 3.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) .
D. Tập giá trị của hàm số là [−1;4] .

C. 9.

D. 10.

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c(a  0) . Khẳng định nào sau đây là SAI?

b
.
2a
B. Đồ thị của hàm số ln cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt.
b
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  − ; +  .
 2a

b
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −; −  .
2a 

A. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = −

Câu 4.

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .

B. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .

Câu 5.

Tập nghiệm của bất phương trình x2 − x − 6  0 là:

A. (−; −3)  (2; +) .
B. (−3;2) .
C. (−2;3) .
D. (−; −2)  (3; +) .

Câu 6.

Phương trình
A. x = 1 .

Câu 7.

2 x2 + 3x − 5 = x + 1 có nghiệm là
B. x = 2 .
C. x = 3 .

D. x = 4 .

Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A(−3;2) và B(1;4) .


C. (−1;2) .

B. (2; −1) .

A. (4;2) .

D. (1;2) .

Câu 8. Phương trình nào dưới đây khơng phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai

điểm O(0;0) và M (1; −3) ?
 x = 1 − 2t
B. 
.
 y = −3 + 6t
x = 1− t
D. 
.
 y = 3t

x = 1+ t
A. 
.
 y = −3 − 3t
 x = −t
C. 
.
 y = 3t

Câu 9.

Góc tạo bởi 2 đường thẳng  : y = 3 x, d : y = x là:
B. 15 .

A. 30 .

C. 45 .

Câu 10. Khoảng cách từ M (3;5) đến đường thẳng  :
A.

15
.
2

13
.
17

B.

D. 60 .

x −1 y + 2
=
là:
3
2
C.

17
.
13

D. 1.

Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 và đường thẳng
 : x + 2 y + 1 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
B.  cắt (C ) tại hai điểm.
D.  khơng có điểm chung với (C ) .

A.  đi qua tâm của (C ) .
C.  tiếp xúc với (C ) .

Câu 12. Phương trình đường trịn có tâm I (1;3) và đi qua điểm M (3;1) là
A. ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 2 2 .

B. ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = 8 .

C. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 8 .

D. ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 2 2 .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1.

Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau
a) Hàm số y = −2 x 2 + 1 là hàm số bậc hai với a = −2, b = 0, c = 1 .

(

)

b) Hàm số y = − x 3x 2 + 2 x là hàm số bậc hai với a = −3, b = 2, c = 0 .
c) Hàm số y = (−6x + 1)(8x − 2) là hàm số bậc hai với a = −48, b = 20, c = −2 .
d) Hàm số y = 0 x 2 + 6 x + 5 là hàm số bậc hai với a = 0, b = 6, c = 5 .
Câu 2.

Cho 2 phương trình

5 x + 10 = 8 − x (1) và

3x2 − 9 x + 1 = x − 2 ( 2 ) . Khi đó:

a) Phương trình (1) có 1 nghiệm
b) Phương trình (2) có 2 nghiệm
c) Phương trình (1) và (2) có chung tập nghiệm
d) Tổng các nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng 6
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(3;4) , đường trung trực cạnh BC có
phương trình 3x − y + 1 = 0 , đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình 2x − y + 5 = 0 . Khi đó:
a) Gọi M là trung điểm cạnh BC . Khi đó M ( 9;39 )
b) Phương trình đường thẳng BC là: x + 3y − 63 = 0
c) Tọa độ đỉnh C là C ( −1;3 )


 15 142 
d) Tọa độ đỉnh B là B  ;

 7 7 
Câu 4.

Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc  : 3x + y − 3 = 0 . Khi đó:

a) Có hai đường trịn (C ) thỏa mãn
b) Tổng đường kính của các đường trịn (C ) bằng: 2 10
c) Điểm M ( 3;2 ) nằm bên trong các đường trịn (C )
d) Điểm N (1;0 ) nằm trên ít nhất một đường tròn (C )
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường trịn tâm I ( −1;2 ) và đi qua điểm

M ( 2;1)
Câu 2.

Cho bất phương trình ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm

cho bất phương trình vơ nghiệm có dạng (−; a] [b; +) . Tính giá trị của a.b
Câu 3.

Một cửa hàng kinh doanh giày và giá để nhập một đôi giày là 40 đơ la.
Theo nghiên cứu của bộ phận kinh doanh thì nếu cửa hàng bán mỗi đôi giày với giá x đơ la thì
mỗi tháng sẽ bán được 120 − x đôi giày. Hỏi cửa hàng bán giá bao nhiêu cho một đơi giày để
có thể thu lãi cao nhất trong tháng?

Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngơi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần
CE 5
= .
làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m , đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài
BD 3
Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?
Câu 4.

Câu 5.

Cho ba điểm A(−1;4), B(1;1), C(3; −1) .
Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho | MA − MB | bé nhất

x = t
, d 2 : x + y + 3 = 0 . Viết phương trình tham số đường
Cho hai đường thẳng d1 : 
 y = −2 + 2t
thẳng d qua điểm M (3;0) , đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d 2 tại hai điểm A, B sao cho M là trung

Câu 6.

điểm của đoạn AB


PHIẾU TRẢ LỜI
PHẦN 1.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Chọn
PHẦN 2.
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm.

Câu 1
Câu 2
Câu 3
a)
a)
a)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
d)
d)
d)
PHẦN 3.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
Đáp án
1
2
3
4
5
6

9

10

11

12

Câu 4
a)
b)
c)
d)

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định là [−3;3] và có đồ thị được biểu diễn bởi hình bên. Mệnh
đề nào sau đây là SAI?
Câu 1.

A. Hàm số đồng biến trên (1;3) .
C. Tập giá trị của hàm số là [−3;3] .
Câu 2.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) .
D. Tập giá trị của hàm số là [−1;4] .

Cho hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có giá trị lớn nhất là 10 đạt được khi x = 2 và đồ thị hàm

số đi qua điểm A(0;6) . Tổng giá trị a + 2b là
A. 7.
B. 8.
Do đồ thị đi qua A ( 0;6 ) nên c = 6

C. 9.
Lời giải

D. 10.

 b
=2
−
Vì parabol có giá trị lớn nhất là 10 có được khi x = 2 nên  2a
4a + 2b + c = 10
Từ đó ta tính được a = −1, b = 4 thoả mãn a âm để có giá trị lớn nhất.
Câu 3.

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c(a  0) . Khẳng định nào sau đây là SAI?


b
.
2a
B. Đồ thị của hàm số ln cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt.
 b

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  − ; +  .
 2a

b 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −; −  .
2a 


A. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = −

Câu 4.

Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .
Câu 5.

B. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .

Tập nghiệm của bất phương trình x2 − x − 6  0 là:
A. (−; −3)  (2; +) .
B. (−3;2) .
C. (−2;3) .
D. (−; −2)  (3; +) .
Lời giải
Chọn C
Xét x2 − x − 6 = 0  x = −2  x = 3 .
Bảng xét dấu:

Ta có: x 2 − x − 6  0  x  (−2;3) .
Câu 6.

Phương trình
A. x = 1 .

2 x2 + 3x − 5 = x + 1 có nghiệm là

B. x = 2 .
C. x = 3 .
Lời giải

D. x = 4 .

Chọn B

x +1  0
 x  −1
2 x 2 + 3x − 5 = x + 1   2
 2
 x=2.
2
x + x − 6 = 0
2 x + 3x − 5 = ( x + 1)
Câu 7.

Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A(−3;2) và B(1;4) .
A. (4;2) .
B. (2; −1) .
C. (−1;2) .
D. (1;2) .
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đã cho có một vectơ chỉ phương là AB = (4; 2) = 2(2;1) .
Vì vậy đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n = (−1;2) .

Câu 8. Phương trình nào dưới đây khơng phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai
điểm O(0;0) và M (1; −3) ?

x = 1+ t
A. 
.
 y = −3 − 3t

 x = 1 − 2t
B. 
.
 y = −3 + 6t


x = 1− t
D. 
.
 y = 3t
Lời giải

 x = −t
C. 
.
 y = 3t

Chọn D
Trong phương án D , khi thay tọa độ điểm O : x = y = 0 vào phương trình tham số đường
0 = 1 − t
t = 1

 t  .
thẳng, ta có 
t = 0

0 = 3t
Câu 9.

Góc tạo bởi 2 đường thẳng  : y = 3 x, d : y = x là:
B. 15 .

A. 30 .

C. 45 .
Lời giải

D. 60 .

Chọn B .
Ta có thể dùng cơng thức tính cos của góc tạo bởi 2 đường thẳng nhưng ở đây ta có thể tính
nhẩm như sau: đường thẳng  hợp với trục Ox một góc 60 , d hợp với trục Oy một góc 45 .
Vậy  hợp với d một góc 15 .
Câu 10. Khoảng cách từ M (3;5) đến đường thẳng  :
A.

15
.
2

13
.
17

B.

x −1 y + 2
=
là:
3
2
C.

17
.
13

D. 1.

Lời giải
Chọn C
x −1 y + 2
17
.
:
=
 2 x − 3 y − 8 = 0.d ( M ,  ) =
3
2
13
Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 và đường thẳng
 : x + 2 y + 1 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
B.  cắt (C ) tại hai điểm.
D.  khơng có điểm chung với (C ) .

A.  đi qua tâm của (C ) .

C.  tiếp xúc với (C ) .

Câu 12. Phương trình đường trịn có tâm I (1;3) và đi qua điểm M (3;1) là
A. ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 2 2 .

B. ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = 8 .

C. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 8 .

D. ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 2 2 .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1.

Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau
a) Hàm số y = −2 x 2 + 1 là hàm số bậc hai với a = −2, b = 0, c = 1 .

(

)

b) Hàm số y = − x 3x 2 + 2 x là hàm số bậc hai với a = −3, b = 2, c = 0 .
c) Hàm số y = (−6x + 1)(8x − 2) là hàm số bậc hai với a = −48, b = 20, c = −2 .
d) Hàm số y = 0 x 2 + 6 x + 5 là hàm số bậc hai với a = 0, b = 6, c = 5 .
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai

2
a) y = −2 x + 1 là hàm số bậc hai với a = −2, b = 0, c = 1 .

(

)

b) y = − x 3x 2 + 2 x không là hàm số bậc hai.
c) y = (−6x + 1)(8x − 2) là hàm số bậc hai vì y = (−6 x + 1)(8 x − 2) = −48 x 2 + 20 x − 2 với
a = −48, b = 20, c = −2 .
d) y = 0 x 2 + 6 x + 5 không là hàm số bậc hai vì a = 0 .


Câu 2.

Cho 2 phương trình

5 x + 10 = 8 − x (1) và

3x2 − 9 x + 1 = x − 2 ( 2 ) . Khi đó:

a) Phương trình (1) có 1 nghiệm
b) Phương trình (2) có 2 nghiệm
c) Phương trình (1) và (2) có chung tập nghiệm
d) Tổng các nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng 6
Lời giải
a) Đúng
b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

(1) 5 x + 10 = 8 − x .
Cách giải 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:

x = 3
5 x + 10 = 64 − 16 x + x 2  x 2 − 21x + 54 = 0  
.
 x = 18
Thay x = 3 vào phương trình đã cho: 25 = 5 (thỏa mãn).
Thay x = 18 vào phương trình đã cho: 100 = −10 (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình:
S = {3} .
Cách giải 2:
8 − x  0
Ta có: 5 x + 10 = 8 − x  
2
5 x + 10 = 64 − 16 x + x
x  8
x  8
 2

 x=3
 x − 21x + 54 = 0  x = 3  x = 18
Vậy tập nghiệm phương trình: S = {3} .
(2) 3x2 − 9 x + 1 = x − 2 .
Cách giải 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:

1
3x 2 − 9 x + 1 = x 2 − 4 x + 4  2 x 2 − 5 x − 3 = 0  x = 3  x = − .
2
Thay x = 3 vào phương trình đã cho, ta được: 1 = 1 (thỏa mãn). Thay x = −

1
vào phương trình đã cho,
2

25
5
= − (khơng thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: S = {3} .
4
2
Cách giải 2:
x − 2  0
Ta có: 3x 2 − 9 x + 1 = x − 2   2
2
3x − 9 x + 1 = x − 4 x + 4 = 0

x  2
x  2

 2

1  x=3
x
=
3


x
=
−
2
x
−
5
x
+
3
=
0


2

Vậy tập nghiệm phương trình: S = {3} .

ta được:

Câu 3.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(3;4) , đường trung trực cạnh BC có

phương trình 3x − y + 1 = 0 , đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình 2x − y + 5 = 0 . Khi đó:
a) Gọi M là trung điểm cạnh BC . Khi đó M ( 9;39 )
b) Phương trình đường thẳng BC là: x + 3y − 63 = 0
c) Tọa độ đỉnh C là C ( −1;3 )

 15 142 
d) Tọa độ đỉnh B là B  ;

 7 7 
Lời giải
a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Gọi M là trung điểm cạnh BC . Vì M nằm trên đường trung trực cạnh BC nên giả sử M(t;3t + 1) .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì G nằm trên đường trung tuyến kẻ từ C nên giả sử G(s;2s + 5) .
Ta có: AM = (t − 3;3t − 3), AG = (s − 3;2s + 1). Khi đó


3

 15
t − 3 = (s − 3)

3

2t − 3s = −3 t =
2
AM = AG  



2
2
3t − 3 = 3 (2s + 1)
 6t − 6 s = 9
 s = 6.



2
 9 39 
Suy ra M  ; 
2 2 

 9 39 
Đường thẳng BC đi qua M  ;  và vng góc với đường thẳng 3x − y + 1 = 0 nên ta có phương trình
2 2 


9
39 
đường thẳng BC là: 1   x −  + 3   y −  = 0  x + 3y − 63 = 0
2
2 




48
x=



 x + 3 y − 63 = 0

7
Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ phương trình: 

2 x − y + 5 = 0
 y = 131 .



7


 48 131 
 15 142 
Suy ra C  ;
 . Vì M là trung điểm BC nên B  ;

 7 7 
 7 7 
Câu 4.

Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc  : 3x + y − 3 = 0 . Khi đó:

a) Có hai đường trịn (C ) thỏa mãn
b) Tổng đường kính của các đường tròn (C ) bằng: 2 10
c) Điểm M ( 3;2 ) nằm bên trong các đường tròn (C )
d) Điểm N (1;0 ) nằm trên ít nhất một đường tròn (C )
Lời giải

a) Đúng

c) Đúng

b) Sai

Gọi tâm đường trịn là I (a; b) , ta có: d ( I , ) =

| 3a + b − 3 |
.
10

 IA2 = IB 2
Theo giả thiết  2
2
 IA = (d ( I , ))
(a − 1) 2 + (b − 2) 2 = (a − 3) 2 + (b − 4) 2


(3a + b − 3) 2
2
2
(
a
−
1)
+
(
b
−

2)
=

10

a + b = 5
(1)
 2
2
( 2)
a − 2a + 9b − 34b + 41 − 6ab = 0
Thay (1) vào (2) : (5 − b) 2 − 2(5 − b) + 9b2 − 34b + 41 − 6(5 − b)b = 0

d) Đúng


b = 1  a = 4  R = 10

 4b − 18b + 14 = 0  
7
3
10 .
b
=

a
=

R
=


2
2
2
2

2

2

7 
3 5

Vậy có hai đường trịn thỏa mãn:  x −  +  y −  = và ( x − 4)2 + ( y − 1) 2 = 10
2 
2
2


Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn tâm I ( −1;2 ) và đi qua điểm

M ( 2;1)
Lời giải
Đường trịn có tâm I ( −1;2 ) và đi qua M ( 2;1) thì có bán kính là R = IM = 32 + ( −1)2 = 10
Khi đó, đường trịn có phương trình là ( x + 1) + ( y − 2 ) = 10  x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 5 = 0 .
2

Câu 2.

2

Cho bất phương trình ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm

cho bất phương trình vơ nghiệm có dạng (−; a] [b; +) . Tính giá trị của a.b
Lời giải
Xét bất phương trình ( m − 4 ) x + (m − 2) x + 1  0
2

2

m = 2
- Truờng hợp 1: m 2 − 4 = 0  
 m = −2
- Với m = 2 thì (1)  1  0 : vô nghiệm. Vậy m = 2 thỏa mãn.
1
- Với m = −2 thì (1)  −4 x + 1  0  x  . Vậy m = −2 không thỏa mãn.
4
- Truờng hợp 2: m  2
Bất phương trình (1) vơ nghiệm  ( m 2 − 4 ) x 2 + (m − 2) x + 1  0 x  R


m  2


10


 m  −2
a = m 2 − 4  0
m−



 
3
10  
2
2
 Δ = (m − 2) − 4(m − 4)  0
m  −
m  2
3



  m  2
20
10 

Từ hai trường hợp trên ta có m   −; −   [2; +) . Vậy a  b = − .
3
3


Câu 3.

Một cửa hàng kinh doanh giày và giá để nhập một đôi giày là 40 đơ la.

Theo nghiên cứu của bộ phận kinh doanh thì nếu cửa hàng bán mỗi đôi giày với giá x đơ la thì
mỗi tháng sẽ bán được 120 − x đôi giày. Hỏi cửa hàng bán giá bao nhiêu cho một đơi giày để
có thể thu lãi cao nhất trong tháng?
Lời giải
Gọi x (đôla) là giá mỗi đôi giày bán ra thì số tiền lãi tương ứng là x − 40 (đô la) Số tiền lãi thu
được mỗi tháng là f ( x) = ( x − 40)(120 − x) = − x 2 + 160 x − 4800 .
b
= 80 .
Đây là hàm số bậc hai với a = −1, b = 160, c = −4800  −
2a


Vì a = −1  0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng f (80) = −802 + 160.80 − 4800 = 1600 , ứng
với x = 80 .
Vậy, để tối ưu hóa lợi nhuận, cửa hàng cần đưa ra giá bán 80 đô la mỗi đôi giày, khi đó lợi
nhuận tối đa trong tháng là 1600 đơ la.
Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngơi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần
CE 5
làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m , đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài
= .
BD 3
Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?
Câu 4.

Lời giải:
Đặt AB = x  0 . Xét tam giác ABC vuông tại B có: AC = x2 + 4 .
AC CE
x 2 + 16 5
=


=
AB BD
x
3

x  0
5 x  0
 3 x 2 + 16 = 5 x   2
 2
 x = 3.
2

16 x = 144
9( x + 16) = 25 x
Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m .

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có:

Câu 5.

Cho ba điểm A(−1;4), B(1;1), C(3; −1) .
Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho | MA − MB | bé nhất
Lời giải
y
y
=
4.1

0


A
,
B
Ta thấy: A B
nằm cùng phía so với trục Ox . Ta có: | AM − BM | AB nên
| AM − BM |max = AB .
Giá trị lớn nhất này đạt được khi A, B, M thẳng hàng ( M nằm ngoài AB) . Gọi
M ( x;0)  Ox  AM = ( x + 1; −4), AB = (2; −3) .
x + 1 −4
5
8 
=
 3( x + 1) = 8  x = hay M  ;0  .
Ta có: AM , AB cùng phương 
2
−3
3
3 

x = t
, d 2 : x + y + 3 = 0 . Viết phương trình tham số đường
Cho hai đường thẳng d1 : 
 y = −2 + 2t
thẳng d qua điểm M (3;0) , đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d 2 tại hai điểm A, B sao cho M là trung

Câu 6.

điểm của đoạn AB
Lời giải:
Xét đường thẳng d 2 : x + y + 3 = 0 ; thay x = t   y = −3 − t  , ta có phương trình tham số

x = t
d2 : 
.

 y = −3 − t


Gọi A = d  d1  A(t ; −2 + 2t ) ; gọi B = d  d 2  B ( t  ; −3 − t  ) .


t + t
 11
t=
3
=



t + t = 6

3
2


Vì M (3;0) là trung điểm của đoạn AB nên 
. Ta


 2t − t = 5 t  = 7

0 = −2 + 2t − 3 − t



3
2
2
 11 16 
 2 16 
có A  ;   AM =  − ; −  = − u với u = (1;8) là một vectơ chỉ phương của d .
3
3
3 3
 3
x = 3 + t
Phương trình tham số của d là 
 y = 8t