BTL GIẢI TÍCH 2: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

----------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 09: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN
GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

GVHD:
Lớp:
Nhóm:

ThS. Lê Nguyễn Hạnh Vy
DT07
19

TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

----------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 09: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN
GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

GVHD:
Lớp:
Nhóm:

ThS. Lê Nguyễn Hạnh Vy
DT07
19

TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022


DANH SÁCH THÀNH VIÊN

STT

Họ và tên

MSSV

Email

1

Trần Hồng Lam

2110309

3

Nguyễn Văn Nguyên

2114233



4

Nguyễn Lê Thái Tuấn

2014950



5

Lê Quang Huy

2113486



i

LỜI CẢM ƠN
Sau giai đoạn dịch Covid – 19 diễn biến khó khăn thì nhóm rất vui vì đã
được Cơ hướng dẫn và đã hoàn thành Báo cáo cuối kỳ.
Đầu tiên, nhóm xin cám ơn Cơ – ThS. Lê Nguyễn Hạnh Vy trong suốt thời
gian qua đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt những kiến thức môn học đến với chúng
em. Và nhờ như vậy mà nhóm có thể hồn thành được Báo cáo Bài tập lớn lần
này. Đây không chỉ là nền tảng vững chắc cho quá trình học tập, nghiên cứu mà
còn là hành trang quý báu để nhóm ứng dụngvào thực tiễn khi làm việc.
Trong q trình làm bài, dù đã cố gắng và nỗ lực tìm hiểu rất nhiều nhưng
cũng không thể nào tránh khỏi những sai sót, những thiếu hụt về mặt kỹ năng,
kiến thức. Do đó nhóm rất mong sẽ được đón nhận những ý kiến, góp ý từ Cơ để
bài làm được hồn thiện hơn cả về nội dung lẫn hình thức.
Lời cuối cùng, nhóm xin kính chúc Cơ ln có nhiều sức khỏe, hạnh phúc
bên gia đình, thành cơng trong cuộc sống lẫn sự nghiệp của mình.

Nhóm xin trân trọng cám ơn!

ii


LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích là một bộ mơn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vơ cùng
vĩ đại của văn minh lồi người. Nhắc đến Tốn học thì khơng thể khơng nhắc đến
Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa
vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của
bộ môn Đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích khơng tập trung thiết lập và
thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ
phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp
dụng những cơng thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng

những cơng thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là
trong các bài tốn kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần
không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ
thuật.
Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại
nghiêng về tính tốn tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những
cơng cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh
học,...
Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Tốn học, từ đó phát triển thành
nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã
được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các mơn đại cương, nhờ có những mơn
học cơ đọng như này mà góp phần có được cơng nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc
biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.

iii


MỤC LỤC
DANH SÁCH THÀNH VIÊN ........................................................................... I
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………....... II
LỜI NĨI ĐẦU ................................................................................................. III
MỤC LỤC ........................................................................................................ IV
DANH MỤC HÌNH ẢNH…………………………………………..………..VI
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................. 1
1.1. TÍCH PHÂN KÉP .....................................................................................1
1.2. TÍCH PHÂN BỘI BA ...............................................................................3
1.3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ..............................................................................5
1.4. TÍCH PHÂN MẶT ....................................................................................5
CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TỐN VỚI KHỐI VẬT THỂ .................... 7
GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG.............................................. 7

2.1. DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MÔ TẢ BẰNG PHẦN MỀM
GEOGEBRA ..........................................................................................................7
2.2. TÍNH TỐN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ
(PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO Ở MỤC 1) ...............................................................9
2.2.1. Thể tích ..............................................................................................9
2.2.2. Diện tích các mặt giới hạn .............................................................10
CHƯƠNG 3: MỢT SỐ MƠ HÌNH TRONG THỰC .................................... 12
TẾ VÀ TÍNH TỐN ........................................................................................ 12
3.1. CHIẾC NĨN BẢO HIỂM ....................................................................12
3.1.1. Tính thể tích .....................................................................................12
3.1.2. Tính diện tích xung quanh ...............................................................13
3.2. QUẢ BĨNG NỞI TRÊN MẶT NƯỚC ...............................................13
3.2.1. Tính thể tích .....................................................................................14
3.2.2. Tính diện tích các mặt xung quanh ..................................................15
3.3. CÁI GÁO DỪA .....................................................................................15
3.3.1. Tính thể tích .....................................................................................15
3.3.2. Tính diện tích vỏ bát ........................................................................16
iv


3.4. CÁI CHỤP ĐÈN HÌNH BÁN CẦU .....................................................16
3.4.1. Tính thể tích .....................................................................................17
3.4.2. Tính diện tích vỏ mây tre .................................................................17
3.5. MỢT SỐ CÁC VÍ DỤ THỰC TẾ KHÁC ...........................................17
CHƯƠNG 4: NHẬN XÉT……………………………………………………19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 20

v

DANH MỤC HÌNH ẢNH
CHƯƠNG 1.
Hình 1.1. Hình minh họa bài tốn tích phân kép .................................................1
Hình 1.2. Hình minh họa lời giải tích phân kép ...................................................1
Hình 1.3. Hình minh họa cơng thức tích phân kép ..............................................2
Hình 1.4. Hình minh họa tích phân kép trong tọa độ cực ....................................2
Hình 1.5. Hình minh họa bài tốn tích phân bội ba .............................................3
Hình 1.6. Hình minh họa lời giải tích phân bội ba ...............................................4
Hình 1.7. Biểu đồ bài tốn tích phân đường ........................................................5
Hình 1.8. Hình minh họa bài tốn tích phân mặt .................................................5
CHƯƠNG 2.
Hình 2.1. Hình vẽ cái lồng bàn có đáy bởi hàm surface trong Geogebra ............7
Hình 2.2. Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz ...............................................8
Hình 2.3. Hình vẽ Geogebra khi thay cận của góc θ............................................8
Hình 2.4. Hình vẽ đáy của vật thể ........................................................................9
Hình 2.5. Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng Oxy ........................................10
Hình 2.6. Hình của vật thể khi thay cận của θ ...................................................11
CHƯƠNG 3.
Hình 3.1. Ảnh minh họa chiếc nón bảo hiểm.....................................................12
Hình 3.2. Ảnh minh họa trái bóng nổi trên nước ...............................................13
Hình 3.3. Hình chiếu quả bóng lên mặt phẳng Oxy ...........................................14
Hình 3.4. Hình minh họa cái gáo dừa ................................................................15
Hình 3.5. Hình minh họa cái chụp đèn ..............................................................16
Hình 3.6. Vẩy ốc sà cừ, ốc mặt trăng ...........................................................17
Hình 3.7. Cái ca bằng gáo dừa. ..........................................................................18
Hình 3.8. Miếng chanh bị cắt ra. ........................................................................18
Hình 3.9. Phần nón của một cây nấm ................................................................18

vi

BẢNG PHÂN CHIA CƠNG VIỆC

Họ và tên

Cơng việc được giao

MSSV

Mức độ
hồn
thành

Trần Hồng Lam

2110309

Trình bày, chỉnh sửa; lời nói đầu;
chương 1, 2

Đạt

Nguyễn Văn Nguyên

2114233

Tổng hợp nội dung; chương 2, 3

Đạt

Nguyễn Lê Thái Tuấn

2014950

Trích dẫn phụ lục; chương 3, 4

Đạt

Lê Quang Huy

2113486

Khơng tham gia

vii

Không đạt


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. TÍCH PHÂN KÉP

Hình 1.1. Hình minh họa bài tốn tích phân kép.

Bài tốn: Cho z = f(x, y) > 0 là hàm hai biến xác định trên miền đóng D =
(x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi:Ω =

(x, y, z) ∈ D : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D.
Giải
Chia miền D bằng cách chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ ∆xi và đoạn [c, d]
thành các đoạn nhỏ ∆yi. Chúng ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y.

Hình 1.2. Hình minh họa lời giải tích phân kép.

Ta có thể xấp xỉ được thể tích V cần tìm bằng cách tính tổng các thể tích hình
hộp chữ nhật nhỏ với đáy là Dij có diện tích ∆Dij = ∆xij.∆yij và chiều cao làf (xij ∗ ,

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 1

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

yij ∗ ). Khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, ta sẽ xấp
xỉ được thể tích V cần tìm:

Khi m, n → ∞, V dần đến một đại lượng tích phân gọi là tích phân kép:

Hình 1.3. Hình minh họa cơng thức tích phân kép.

Định lý Fubini: Cho f (x, y) ≥ 0∀(x, y) ∈ D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤
y ≤ d.

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực:

Hình 1.4. Hình minh họa tích phân kép trong tọa độ cực.
GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 2

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Hệ tọa độ cực (r, φ) xác định một điểm có tọa độ (x, y) như sau:
r 2 = x2 + y2
x = r cos φ
y = r sin φ
Chuyển từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực: Nếu hàm z = f(x, y) liên
tục và xác định trên miền D có 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ φ ≤ β, khi đó:

Ứng dụng của tích phân kép:
• Tính diện tích miền D:

• Tính khối lượng mảnh phẳng:
với ρ(x, y)là hàm mật độ khối lượng.
• Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = f(x, y) và z = 0 bao quanh
là các mặt trụ song song với trục Oz:

1.2. TÍCH PHÂN BỢI BA

Hình 1.5. Hình minh họa bài tốn tích phân bội ba.

Cho hàm 3 biến f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không
gian Oxyz. Chia V thành n phần khơng giẫm lên nhau V1, V2, ..., Vn có thể tích
tương ứng là ∆V1, ∆V2, ..., ∆Vn.
GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 3

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Hình 1.6. Hình minh họa lời giải tích phân bội ba.

Ta có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ. Khi ấy mỗi
miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz.
Khi đó ta xấp xỉ thể tích V bằng tổng thể tích của các miền nhỏ và đại lượng
này khi có số khoảng chia càng lớn thì tiến dần đến đại lượng tích phân gọi là tích
phân bội ba. Định nghĩa:

Định lý Fubini cho tích phân bội ba: hàm f(x, y, z) xác định và liên tục trên
miền B = [a, b]x[c, d]x[r, s], khi đó:

Ứng dụng của tích phân bội ba:

• Tính thể tích khối Ω:

• Tính khối lượng vật thể:

với ρ(x, y, z) là hàm mật độ khối lượng.
GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 4

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

1.3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Bài tốn dẫn đến tích phân đường loại 1: Cho một cung C: y = y(x), a ≤ x
≤ b có khối lượng riêng theo độ dài ρ(x, y). Tìm khối lượng của cung C.
Giải
• Chia C ra làm rất nhiều đoạn nhỏ bởi các điểm chia P0, P1, ..., Pn. Khi ta
chia đủ nhỏ thì mỗi cung xem như một đoạn thẳng và khối lượng trên mỗi
đoạn dây là không đổi.

Hình 1.7. Biểu đồ bài toán tích phân đường.

• Khối lượng của mỗi cung nhỏ là ρ(xi, yi).∆li với ∆li là độ dài cung [Pi−1, Pi]
và

• Từ đó, tổng khối lượng cung C được xấp xỉ bởi cơng thức:

• Khi n → ∞, ∆li → 0, Sn dần đến một đại lượng tích phân:

Ý nghĩa hình học: Tích phân đường loại một ∫c f(x, y)dl,(f(x, y) ≥ 0) là phần
diện tích giới hạn bởi đường cong C trong hệ trục tọa độ Oxy, các đường sinh song
song với trục Oz và hình chiếu của đường cong C lên mặt cong z = f(x, y).
1.4. TÍCH PHÂN MẶT
Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại 1: Cho mặt cong S : z = z(x; y) có
mật độ khối lượng là ρ(x, y, z). Tính khối lượng mặt cong này.

Hình 1.8. Hình minh họa bài tốn tích phân mặt.
GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 5

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Giải
• Chia mặt S thành nhiều mảnh nhỏ Sij với diện tích là ∆Sij và khối lượng riêng
tương ứng là ρij = ρ(xij; yij; zij).
• Khối lượng mặt S được xấp xỉ bởi:

• Khi n, m → ∞, S dần đến một đại lượng tích phân:

• Giả sử một mảnh nhỏ dS có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là một hình chữ

nhật có diện tích dx.dy và tạo với mặt phẳng Oxy một góc φ. Ta có:

Ta chuyển tích phân mặt về tích phân kép:

Tính chất:
• Diện tích mặt S được tính bởi cơng thức:

•
• Khối lượng mặt cong:

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 6

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TỐN VỚI KHỐI VẬT THỂ
GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
2.1. DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MÔ TẢ BẰNG PHẦN MỀM
GEOGEBRA
• Đầu tiên ta vẽ tồn bộ hình cầu và mặt phẳng để quan sát sự giao nhau một
cách trực quan nhất:
+ Dùng hàm surface để vẽ các mặt cầu, mặt phẳng.
+ Dùng hàm curve để vẽ giao tuyến.
Cụ thể trong bài tốn này ta lấy phương trình mặt cầu 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒

và phương trình mặt phẳng 𝒛 = 𝟏.
•

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃
Tham số hóa phương trình mặt cầu: { 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃 , (0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤
𝑧 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋)

𝑥=𝑢
• Tham số hóa phương trình mặt phẳng: {𝑦 = 𝑣 (∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑹)
𝑧=1
• Hiện thực hóa các phương trình trên bằng hàm surface() trong Geogebra ta
được phần vật thể bị giới hạn giống “một cái lồng bàn có đáy”:

Hình 2.1. Hình vẽ cái lồng bàn có đáy bởi hàm surface trong Geogebra.

➢ Lệnh trong Geogebra:
a = Surface(2 sin(t) cos(k) , 2 sin(𝑡 ) sin(k) , 2 cos(t) , t, 0, π, k, 0, 2π
b = Surface(u, v, 1, u, −3, 3, v, −3, 3)
GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 7

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Chiếu vật thể lên mặt phẳng Oyz (x=0):

Hình 2.2. Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz.

𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒.
Đườ ng trò n 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 giao với đường 𝑧 = 1 tại 2 điểm A và B.
̂ = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐷 = 1
cos 𝛼 = cos 𝐵𝑂𝐶
𝑂𝐵

𝑅

2

⇒ 𝛼=

𝜋
3

⇒ 0≤𝜃≤

𝜋
3

• Từ đó vẽ được phần trên của “cái lồng bàn” bằng cách thay cận của góc θ:

Hình 2.3. Hình vẽ Geogebra khi thay cận của góc θ.

➢ Lệnh trong Geogebra:

𝜋
a = Surface(2 sin(𝑡 ) cos(k) , 2 sin(𝑡 ) sin(k) , 2 cos(t) , t, 0, , k, 0, 2π)
3

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 8

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

• Cuối cùng vẽ đáy của khối vật thể:
Xét mặt z=1:
𝑧 = 1 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 3 ⇒ Giao tuyến là đường trịn có R = √3
 Đáy là hình tròn bán kính bằng √3

Hình 2.4. Hình vẽ đáy của vật thể.

➢ Lệnh trong Geogebra:
b = Surface(r cos(t) , r sin(t) , 1, t, 0, 2π, r, 0, √3 )
2.2. TÍNH TỐN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ (phương trình đã
cho ở mục 1)
2.2.1. Thể tích
• Thể tích của vật thể được tích bằng tích phần bội ba trong tọa độ cầu.
𝑥 = 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜋

• Đặt: { 𝑦 = 𝜌. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃 , (0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ ).
3
𝑧 = 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜃
1
• Xét mặt phẳng 𝑧 = 1: 𝑧 = 1 ⇔ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 ⇔ 𝜌 =
.
•

1

Suy ra 𝜌 có cận từ

𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝜋

𝑐𝑜𝑠𝜃

đến 2.
𝜋
3

𝜋
3

2𝜋

2

1
1

⇒ 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃 (8 −
) 𝑑𝜃
3
cos 3 𝜃
𝛺

2𝜋

0

𝜋
3

1

1
𝑐𝑜𝑠𝜃

0

𝜋
3

= ∫ 𝑑𝜑. . ∫ 8𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 + ∫
0

3

(

0

0

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

0

1
cos3 𝜃

𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)

)

TRANG 9

=

0

𝜋
3

2𝜋

1
2

∫ 8𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫

3

0

(

1
𝑡3

𝑑𝑡

1

)

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

=

GIẢI TÍCH 2

2𝜋
𝜋
4−1
5𝜋
(8 cos(0) − 8 cos ( ) +

)=
(đvtt)
3
3
−2
3

2.2.2. Diện tích các mặt giới hạn
❖ Diện tích xung quanh (phần bên trên vật thể):
Ta có phần trên vật thể là phương trình 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4.
• Vì 𝑧 > 0 ∶ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 .
•

𝑆𝑥𝑞 = ∬ 1𝑑𝑆
𝑆

• Mà:

−𝑥

𝑑𝑆 = √1 + 𝑧 ′ (𝑥)2 + 𝑧 ′ (𝑦)2 = √1 + (

√4−𝑥 2 −𝑦

=

2
√4 − 𝑥 2 − 𝑦 2

2

) +(
2

−𝑦

√4−𝑥 2 −𝑦

2

) 𝑑𝑥𝑑𝑦
2

𝑑𝑥𝑑𝑦

• Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng Oxy là hình trịn tâm O, bán kính
R = √3.

Hình 2.5. Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng Oxy.

• Khi đó:
𝑆𝑥𝑞 = ∬
𝐷𝑥𝑦

•

2
√4 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑑𝑥𝑑𝑦

Chuyển sang tọa độ cực:

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 10

NHÓM 19


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2
√3

2𝜋

𝑆𝑥𝑞 = ∫

𝑑𝜑 ∫

0

0

1

= −2𝜋 ∫

❖ Diện tích mặt đáy:

4

2
√4 − 𝑟 2
1
√𝑡

√3

. 𝑟𝑑𝑟 = −2𝜋. ∫
0

1
√4 − 𝑟 2

𝑑(4 − 𝑟 2 )

𝑑𝑡 = −2𝜋. 2(1 − 2) = 4𝜋 (đvdt)

• Dễ dàng ta thấy mặt đáy là một hình trịn có bán kính bằng √3.
• Suy ra: 𝑆Đ = 𝜋𝑅Đ2 = 3𝜋 (đvdt).
Khi cho mặt cầu giao nhau với mặt phẳng, thay vì lấy phần phía bên trên
ta lấy phần bên dưới (hình giống cái gáo dừa).
𝜋
Bằng cách thay cân của 𝜃 thành từ đến 𝜋 ta được vật thể như sau:
3

Hình 2.6. Hình của vật thể khi thay cận của θ.

Ta dễ thấy rằng: 𝑽dưới = 𝑽hình cầu − 𝑽trên và 𝑺dưới = S𝒎ặt cầu − 𝑺trên .

GVHD: THS. LÊ NGUYỄN HẠNH VY

TRANG 11

NHÓM 19