Phân Bố Maxwell.docx

Phân bố Maxwell

BTL nhóm 31- Lớp PH1009

Sample of Report:

Phân bố Maxwell
Thơng tin nhóm
Nhóm: 31
Lớp: PH1009
Phạm Anh Khoa
MSSV: 2211641
Huỳnh Văn Linh- GVHD

Ngày hoàn thành: 5/12/2023

Giới Thiệu
Phân bố Maxwell là một phân bố xác suất cụ thể được sử dụng để mô tả tốc độ hạt trong khí lý
tưởng, nơi các hạt chuyển động tự do bên trong một vật chứa đứng yên mà không tương tác với
nhau, ngoại trừ những va chạm rất ngắn trong đó chúng trao đổi năng lượng và động lượng với
nhau hoặc với môi trường nhiệt của chúng. Thuật ngữ "hạt" trong ngữ cảnh này chỉ các hạt ở thể
khí (nguyên tử hoặc phân tử), và hệ thống các hạt được cho là đã đạt đến trạng thái cân bằng
nhiệt động lực học. Phân bố Maxwell về cơ bản áp dụng cho vận tốc của hạt trong không gian ba
chiều, nhưng chỉ phụ thuộc vào tốc độ (độ lớn của vận tốc) của các hạt. Phân bố xác suất tốc độ
hạt cho biết tốc độ nào có nhiều khả năng xảy ra hơn: một hạt sẽ có tốc độ được chọn ngẫu nhiên
từ phân bố và có nhiều khả năng nằm trong một dải tốc độ hơn một tốc độ khác. Sự phân bố
thống kê của tốc độ này được suy ra bằng cách cân bằng năng lượng hạt với động năng.
Giả thiết
1) Phân bố Maxwell được biễu diễn là hàm của nhiệt độ của hệ, khối lượng của hạt, và tốc độ
chuyển động của hạt trong chất khí đó:

√(

)

2

−m v
BT

3
(2k
m
f ( v )=
4 π v2 e
2 π kB T
T : nhiệt độ khối khí (K)

)
v: độ lớn vận tốc

k B: hằng số Boltzmann =1.38 ×10−23 J / K

( ms )

π : 3.14159
e : 2.71828

m: khối lượng của 1 nguyên tử (Kg)
M
=m

NA
M: khối lượng mol (kg/mol)
N A : hằng số Avogadro=6.022 ×1023
2) Tỉ lệ tìm thấy hạt ở một khoảng vận tốc đã cho được biểu diễn bằng công thức:
v2

∫
v1

√(

m
2 π kB T

3

) 4πv

2

(
e

2

−m v
2 k BT

) dv

m
v1 < v 2 :khoảng vận tốc cần tìm( )
s
3) Tốc độ mà tại đó xác suất tìm thấy hạt là cao nhất được biểu diễn bằng công thức:
2 k BT
v prob =
m
v prob : tốc độ của các hạt chiếm tỉ lệ lớn nhất về số lượng (m/s)

√

trang 1


Phân bố Maxwell

BTL nhóm 31- Lớp PH1009

MATLAB Code và giải thích
Xét khối khí Nitơ ở nhiệt độ 0 o C , ta có:
0.0280
m=
=4.65 ×10−26 (kg)
23
6.022× 10
T =273 K
Gắn các giá trị vào cơng thức, ta có:
f ( v )=

√(

m
2 π kB T

3

) 4πv

2

(
e

2

−m v
2 kB T

)
−4.65 ×10

−26

v

2

( 2 ×1.38 ×10 ×300 )
4.65× 10−26
→ f (v )=

4 π v2 e
−23
2 π ×1.38 ×10 ×300
Code Matlab giải quyết bài toán
% Các hằng số và các biến cần nhập
m = 465e-26;
% Khối lượng hạt phân tử Nito
k = 1.38e-23;
% Hằng số Boltzmann
T = input(‘nhập nhiệt độ của hệ (Kelvin): ');
C1 = 4*pi*(m/(2*pi*k*T))^(3/2);
C2 = m/(2*k*T);
a = input(‘Nhập giá trị thấp nhất của khoảng vận tốc (m/s): ');
b = input (‘Nhập giá trị cao nhất của khoảng vận tốc (m/s): ');
% Vẽ đồ thị
vprob=sqrt(2*k*T/m);
% m/s
v=[0:4444:4*vprob]; % Khoảng giá trị vận tốc
f=C1*4*pi*((v).^2).*exp(((v).^2)*C2);
f1=C1*4*pi*((a).^2).*exp(((a).^2)*C2);
f2=C1*4*pi*((b).^2).*exp(((b).^2)*C2);
figure;
plot(v,f,'r');
title('Phân bố Maxwell-Boltzmann');
xlabel('Vận tốc [m s^{-1}]');
ylabel('Xác suất');
hold on
plot([a a],[0 f1],'--b');
hold on
plot([b b],[0 f2],'--b');

% Xác suất tìm thấy hạt phân tử ở khoảng vận tốc
NSum = 300;
% Tổng số hạt của hệ
DeltaV = (b - a)/(NSum - 1);
% Delta v
Xs= 0.0; % Đặt khả năng ban đầu là 0
for iSum=1:NSum
% Lặp cho đến khi đạt giá trị Nsum
v = a + (iSum-1)*DeltaV;
c= C1* v^2 *exp(-C2*v^2);
Xs = Xs+ c*DeltaV;
end

√(

3

)

−23

trang 2


Phân bố Maxwell

BTL nhóm 31- Lớp PH1009

Kết quả

1) Hình ảnh cửa sổ câu lệnh

2) Ảnh biểu đồ kết quả
Đường nét gạch biểu thị xác suất tìm thấy hạt trong khoảng vận tốc cho trước.
Kết luận
Phân bố Maxwell được biểu diễn là 1 phương trình bao gồm các hằng số và các biến nằm trong 1
phương trình gồm hàm mũ và hàm lũy thừa, ngồi ra có thể thực hiện các phép tính như lấy tích
phân 1 hoặc nhiều lần để tìm ra xác suất tồn tại, vận tốc trung bình của hạt,… Việc tính tốn có
thể khó thực hiện và cần nhiều thời gian và cơng sức để hồn thành. Tuy nhiên, BTL được hoàn
thành đã cho thấy chúng ta có thể giải quyết các vấn đề về phân bố Maxwell thông qua việc sử
dụng Matlab chỉ với việc nhập các thông số điều kiện mà không cần giải quyết các phương trình
và phép tính phức tạp. Có thể thấy với việc áp dụng các cơng cụ máy tính nói chung và Matlab
nói riêng vào trong tính tốn phương trình của phân bố Maxwell, chúng ta có thể giải quyết các
vấn đề phức tạp hơn trong những điều kiện bất ổn định hơn.
trang 3


Phân bố Maxwell

BTL nhóm 31- Lớp PH1009

3) Mơ phỏng phân bố Maxwell

Nguồn
A. L. Garcia and C. Penland, MATLAB Projects for Scientists and Engineers, Prentice Hall,
Upper Saddle River, NJ, 1996. />27.3: The Distribution of Molecular Speeds is Given by the Maxwell-Boltzmann Distribution.
/>Physical_Chemistry_(LibreTexts)/27%3A_The_Kinetic_Theory_of_Gases/
27.03%3A_The_Distribution_of_Molecular_Speeds_is_Given_by_the_MaxwellBoltzmann_Distribution
2.4 Distribution of Molecular Speeds.
/>%20)%20%3D%204%20%CF%80,2%20k%20B%20T%20)%20)%20.

Phân bố Maxwell. />
trang 4