ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP - Full 10 điểm

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

ĐẶNG THỊ THÙY TRANG

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
VÀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP

GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TỔ HỢP

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
VÀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP

Sinh viên thực hiện

ĐẶNG THỊ THÙY TRANG

MSSV: 2111010158
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

KHÓA: 2011 – 2015
Cán bộ hướng dẫn

ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY
MSCB: T34-15111-26747

Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Qua 4 năm học tập và rèn luyện tại trường Đại Học Quảng Nam, dưới sự
dạy dỗ của quý Thầy Cơ giáo, tơi đã tích lũy cho mình những kiến thức và kinh
nghiệm quý báu cả về chuyên môn lẫn nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành
quả quan trọng của q trình đó. Khóa luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn
tận tình và chu đáo của Cơ giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy. Qua đây, với tất cả
sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc tơi xin được gửi đến Cô lời cảm ơn chân
thành nhất.

Tôi cũng xin được cảm ơn tồn thể q Thầy Cơ đã giảng dạy lớp ĐHSP
Tốn K11( khóa 2011-2015) trường Đại Học Quảng Nam, đặc biệt là q Thầy
Cơ khoa Tốn trường Đại Học Quảng Nam, những người không những cho tôi
kiến thức mà cịn quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi trong quá trình học
tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận.

Mặc dù, bản thân tôi đã rất cố gắng trong q trình học tập và nghiên cứu

đề tài của khóa luận tốt nghiệp, nhưng do thời gian có hạn, khả năng nghiên cứu
và kiến thức còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tơi vẫn khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành từ q
Thầy Cơ giáo để khóa luận của tơi được hồn thiện hơn nữa.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tam Kỳ, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Thùy Trang

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
1.1. Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1
1.2. Mục tiêu của đề tài. ....................................................................................... 1
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................ 1
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2
1.5. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 2
1.6. Đóng góp của đề tài . ..................................................................................... 2
1.7. Cấu trúc đề tài. .............................................................................................. 2
Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. ................................................................. 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP VÀ
NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN. ............................................................................ 3
1.1. Tập hợp và nguyên lý đếm cơ bản............................................................... 3
1.1.1. Tập hợp. ...................................................................................................... 3
1.1.2. Nguyên lý đếm cơ bản................................................................................ 3
1.1.2.1. Quy tắc cộng. ........................................................................................... 3
1.1.2.2. Quy tắc nhân............................................................................................ 4
1.2. Giải tích tổ hợp. ............................................................................................. 6

1.2.1. Hốn vị. ....................................................................................................... 6
1.2.2. Hốn vị lặp khơng hạn chế. ....................................................................... 6
1.2.3. Hốn vị lặp hạn chế.................................................................................... 7
1.2.4. Chỉnh hợp k vật từ n vật ( k ≤ n). ............................................................. 7
1.2.5. Tập con k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n). ........................................... 7
1.2.6. Tổ hợp lặp. .................................................................................................. 8
1.3. Quy nạp toán học. ......................................................................................... 9
1.4. Nguyên lý Dirichlet. ...................................................................................... 9
1.5. Nguyên lý bù trừ.......................................................................................... 10
1.5.1. Nhận xét. .................................................................................................. 10
1.5.2. Nguyên lý bù trừ....................................................................................... 10
1.6. Phân hoạch tập hợp - Số Stirling loại hai và số Bell. ............................... 12

2.1. Ứng dụng nguyên lý bù trừ giải toán. ....................................................... 15
2.1.1. Bài tốn mở rộng biểu đồ Vent phổ thơng bằng nguyên lý bù trừ...... 15
2.1.2. Bài toán đếm số......................................................................................... 20
2.1.2.1 Bài tốn đếm số thỏa mãn các tính chất số học. .................................. 20
2.1.2.2 Bài toán đếm số bộ nghiệm nguyên. ..................................................... 24
2.1.3. Bài toán Bernoulli – Euler....................................................................... 27
2.2. Ứng dụng phân hoạch tập hợp giải toán................................................... 30
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. .......................................................... 37
1. Kết luận ........................................................................................................... 37
2. Kiến nghị ......................................................................................................... 37
PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................. 38

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.

Tổ hợp có một vị trí đặc biệt trong tốn học khơng chỉ là những đối tượng
để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị như một cơng cụ đắc lực của các mơ hình rời
rạc của giải tích, đại số… Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh
viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic khu vực và quốc tế các bài
toán tổ hợp xuất hiện là một thách thức lớn cho các thí sinh. Rất nhiều bài tốn
hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng kiến thức về tổ
hợp.

Dù bao gồm nhiều bài tốn hóc búa nhưng bản chất của lý thuyết tổ hợp
chỉ quy về 4 dạng cơ bản : bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài
toán tối ưu tổ hợp. Tất cả các bài tập đều được nằm trong 4 bài tốn chính này.
Để giải 4 dạng tốn cơ bản này ta có thể sử dụng rất nhiều các nguyên lý và
phương pháp đếm chẳng hạn: nguyên lý bù trừ, nguyên lý quy nạp và đếm số
lượng phần tử của một tập hợp hữu hạn … Nhưng phù hợp và gần gũi với
chương trình tốn ở phổ thơng là nguyên lý bù trừ và phương pháp phân hoạch
tập hợp. Áp dụng tốt hai phương pháp này học sinh có thể giải được một số bài
tốn khó và thường có dạng khơng mẫu mực của giải tích tổ hợp.

Cho đến nay, ngoài một số tài liệu và sách tham khảo chuyên sâu về toán
rời rạc chủ yếu để phục vụ cho tin học, việc giải bài toán tổ hợp theo phương
pháp gần gũi với phổ thơng chưa có nhiều tài liệu đề cập đến một cách trọn vẹn
và chi tiết. Vì các lý do trên tôi xin chọn đề tài “Ứng dụng nguyên lý bù trừ và
phân hoạch tập hợp giải một số bài tốn sơ cấp” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
1.2. Mục tiêu của đề tài.

- Làm rõ thế nào là nguyên lý bù trừ và phân hoạch tập hợp.
- Thể hiện được những ứng dụng của nguyên lý bù trừ và phân hoạch tập

hợp vào giải một số bài toán ở phổ thông.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng nguyên lý bù trừ và phân hoạch tập hợp
giải một số bài toán tổ hợp.

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập trong chương trình phổ thơng, trong đề
thi học sinh giỏi các cấp.

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về nguyên lý bù trừ và phân hoạch tập hợp, từ đó đưa ra

những ứng dụng vào giải một số bài toán tổ hợp.
1.5. Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.
1.6. Đóng góp của đề tài .

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo giúp học sinh
giải các bài tốn giải tích tổ hợp khó và thường có dạng khơng mẫu mực .
1.7. Cấu trúc đề tài.

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương:
- Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về tập hợp và các nguyên lý đếm cơ

bản.

- Chương 2: Ứng dụng nguyên lý bù trừ và phân hoạch tập hợp giải một số

bài toán tổ hợp.

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP VÀ

NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN.
1.1. Tập hợp và nguyên lý đếm cơ bản.
1.1.1. Tập hợp.

Trong tốn học, tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một
số gọi là các phần tử của tập hợp. Tập hợp là một khái niệm nền tảng và quan
trọng của toán học hiện đại. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là lý thuyết
tập hợp.

Trong lý thuyết tập hợp, người ta xem tập hợp là một khái niệm nguyên
thủy, không định nghĩa. Nó tồn tại theo các tiên đề được xây dựng một cách chặt
chẽ. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác
như số, hình, hàm số... trong toán học.
1.1.2. Nguyên lý đếm cơ bản.
1.1.2.1. Quy tắc cộng.

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , m2 cách chọn đối tượng thứ x2 ,…, mn
cách chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ

cách chọn đối tượng x j nào ( i  j,i, j  1, n ) thì có m1  m2  ...  mn cách chọn một

trong các đối tượng đã cho.

Định lý 1.1. Cho n tập hữu hạn Xi (i  1, n) với Xi  mi , Xi  X j  ,i  j . Khi đó

n n n n
số cách chọn một phần tử thuộc tập  Xi là  Xi và  Xi   Xi . (1.1)

i 1 i 1 i 1 i 1

Chứng minh.
Ta chứng minh quy nạp theo n với n  2 .
Nếu n  2 thì X1  X 2  X1  X 2  X1  X 2  X1  X 2 ,(vì Xi  X j   ) .

k k
Giả sử (1.1) đúng với n  k,(k  2) , tức là  Xi   Xi .
i 1 i 1

k 1 k 1
Ta sẽ chứng minh (1.1) đúng với n  k 1, nghĩa là  Xi   Xi
i1 i1

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Thật vậy, ta có:
X1  X 2  ...  X k  X k1  ( X1  X 2  ...  X k )  X k1 .

Vì Xi  X j  ,i  j , nên:
( X1  X 2  ...  X k )  X k1  ( X1  X k1 )  ( X 2  X k1 )  ...  ( X k  Xk1 )


Vậy X1  X 2  ...  X k  X k1  ( X1  X 2  ...  X k )  X k1

 ( X1  X 2  ...  X k )  X k1

k

=  Xi  X k1
i1

k 1

  Xi
i1

k 1 k 1
Suy ra  Xi   Xi .
i1 i1

Theo nguyên lý quy nạp toán học, quy tắc cộng là đúng với mọi n  Գ,

n2.

1.1.2.2. Quy tắc nhân.

Nếu tồn tại tương ứng 1-1 giữa các cặp phần tử của các tập hữu hạn X và

Y thì X và Y có cùng số phần tử.

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , sau đó với mỗi cách chọn đối tượng x1

như thế có m2 cách chọn đối tượng thứ x2 , sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như

thế có m3 cách chọn đối tượng x3 ,…, cuối cùng, với mỗi cách chọn x1, x2,...xn1

như thế có mn cách chọn đối tượng xn , thì có m1m2...mn cách chọn dãy các đối

tượng “ x1 rồi x2 rồi x3 … rồi xn ”.

Định lý 1.2. Giả sử có n tập hữu hạn Xi , i  1, n , Xi  mi , Chọn một bộ phận n

phần tử ( a1, a2,..., an ) với ai  Xi . Khi đó số cách chọn khác nhau là

X1  X 2 ... X n và n (1.2)

X1  X 2 ... X n =  mi .
i1

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Chứng minh.
Ta chứng minh (1.2) bằng phương pháp quy nạp theo n với n  2 như sau.

Với n  2 ta có X1  m1, X 2  m2 . Giả sử X1  a1, a2,..., am1 và

X 2  b1, b2,..., bm2  thì: X1  X 2  (ai , b j ) :1  i  m1,1  j  m2, ai  X1,bj  X 2 .

Ta viết X1  X 2 dưới dạng bảng như sau:

(a1, b1) (a1, b2 )...(a1, bm2 )

(a2, b1) (a2, b2 )...(a2, bm2 )

… … …

(am1 , b1) (am1 , b2 )...(am1 , bm2 )

Đặt Ei  (ai , b1), (ai , b2 ),...,(ai , bm2 ) :1  i  m1  Ei  m2 .

Ta có X1  X 2  E1  E2 ... Em1 với Ei  E j  ,i  j . Theo quy tắc

cộng ta có: m1

X1  X 2  E1  E2  ...  Em1   Ei  m1m2 .
i1

Vậy công thức (1.2) đúng cho trường hợp n  2 .

Giả sử (1.2) đúng với trường hợp n  k, (k  2) tức là

X1  X 2 ... X k  m1.m2...mk . Ta chứng minh (1.2) đúng với trường hợp n  k 1 ,
nghĩa là:

X1  X 2 ... X k  X k1  m1.m2...mk mk1 .

Thật vậy, xét một phần tử bất kỳ a1, a2,..., ak , ak1 của tích Descarter

X1  X 2 ... X k  X k1. Đặt   a1, a2,..., ak , ak1  . Rõ ràng giữa tập hợp các bộ có

dạng a1, a2,..., ak , ak1  và tập hợp các cặp có dạng  , ak1  có tương ứng 1-1.

Vậy có bao nhiêu bộ a1, a2,..., ak , ak1  thì có bấy nhiêu cặp  , ak1  . Nếu

ta ký hiệu tập hợp tất cả các  là X thì ta có thể nói rằng tập hợp
X1  X 2 ... X k  X k1 có bao nhiêu phần tử thì tập hợp X Xk1 có bấy nhiêu
phần tử, tức là:

X1  X 2 ... X k  X  X k1 .

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Theo chứng minh cho trường hợp n  2 ta có:
X  X k1  X X k1 .

Theo cách dựng thì X chính là tích Descarter X1  X 2 ... X k . Áp dụng
giả thiết quy nạp ta có:

X  X k1  X X k1  X1  X 2 ... X k  X k1  m1.m2...mk mk1
Vậy X1  X 2 ... X k  X k1  m1.m2...mkmk1 .
Theo ngun lý quy nạp tốn học, cơng thức (1.2) đúng với mọi n  Գ,
n2.
1.2. Giải tích tổ hợp.
1.2.1. Hoán vị.

Định nghĩa 1.1. Cho tập hữu hạn X  a1, a2,...anvà một số tự nhiên k  n . Khi

đó:

i. Bộ k phần tử ai1, ai2,..., aik , aij  X được gọi là bộ thứ tự nếu đổi vị trí các

phần tử ta được bộ một bộ mới. Ngược lại, bộ k phần tử

ai1, ai2,..., aik , aij  X được gọi là bộ khơng có tính thứ tự.
ii. Bộ k phần tử ai1, ai2,..., aik , aij  X được gọi là bộ không lặp nếu

aij  ail ,j,l 1,..., k, j  l . Ngược lại, bộ k phần tử ai1, ai2,..., aik , aij  X

được gọi là bộ có lặp.
Định nghĩa 1.2. Một hoán vị của m phần tử đã cho là một bộ có thứ tự gồm m
phần tử, trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần.

Số tất cả các hoán vị của một tập hợp gồm m phần tử cho trước kí hiệu Pm .
Theo quy tắc nhân, ta có: Pm  m!
1.2.2. Hốn vị lặp khơng hạn chế.

Nếu muốn sắp xếp m vật từ k loại vật khác nhau (các vật cùng loại giống
hệt như nhau) thì sẽ có k cách chọn vật thứ nhất, k cách chọn vật thứ hai,… , k
cách chọn vật thứ m . Do đó có km cách khác nhau.

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

1.2.3. Hoán vị lặp hạn chế.
Có k loại vật khác nhau, loại 1 có m1 vật, loại 2 có m2 vật,…, loại k có

mk vật; và tầng số vật sẽ là m  m1  m2  mk  . Nếu coi m vật này là khác nhau thì

sẽ có m! cách sắp xếp, nhưng trong mỗi cách sắp xếp như vậy m1 phần tử loại 1

có thể hốn vị theo m1 ! cách, m2 phần tử loại 2 có thể hốn vị theo m2 ! cách, … ,

mk phần tử loại k có thể hốn vị theo mk ! cách.

Do đó, số cách sắp xếp chỉ còn m!
m1 !m2 !...!mk !

1.2.4. Chỉnh hợp k vật từ n vật ( k ≤ n).
Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là một bộ có
thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được
lặp lại.

Ta thường ký hiệu Ank để chỉ số chỉnh hợp không lặp chập k của n phần

tử. Chỉnh hợp không lặp thường được gọi tắt là chỉnh hợp.
Để xây dựng một chỉnh hợp không lặp, ta xây dựng từ thành phần đầu tiên.

Thành phần này có n khả năng chọn. Mỗi thành phần tiếp theo, số khả năng
chọn giảm đi một so với thành phần đứng trước. Từ đó, theo quy tắc nhân, số
chỉnh hợp không lặp chập k của n là Ank  n(n1)...(n k 1)  n! (n k)! .

Để tồn tại chỉnh hợp cần phải thỏa mãn k  n . Ta quy ước Ank  0 nếu

k n.
1.2.5. Tập con k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n).
Định nghĩa 1.4. Một tổ hợp chập k của n phần tử cho trước là một bộ khơng có
thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho ( k  n ).

Từ định nghĩa ta thấy rằng một tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n
phần tử cho trước chính là một tập con gồm k phần tử của tập gồm n phần tử
cho trước. Như vậy số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho chính là số
cách chọn ra k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử cho trước theo cách chọn

k n
không lặp và không thứ tự. Ký hiệu: Cn hoặc   .
k

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Ta có nhận xét rằng với mỗi tổ hợp chập k của n phần tử, có thể thành
lập được k ! chỉnh hợp chập k của n phần tử. Suy ra:

Cnk  1k ! Ank  n! k !(n  k)!

Nếu cho tập hữu hạn X có X  n . Khi đó số tập con có k phần tử

( 0  k  n ) của X sẽ là Cnk .

Từ định nghĩa ta suy ra được bốn tính chất của tổ hợp:

k Ank

 Cn 

k!

 Cn0  Cnn  1

 Cnk  Cnnk (0  k  n)

 Cnk  Cn1 k1  Cn1 k .

1.2.6. Tổ hợp lặp.

Giả sử có một tập k phần tử gồm k1 phần tử thuộc loại 1, k2 phần tử thuộc

loại 2,…, kn phần tử thuộc loại n (k1  k2  ...  kn  k, n  k) . Tập hợp này có thể

biểu diễn trên đường thẳng bằng k điểm ngăn cách bởi n– 1 dấu | (để phân cách

các phần tử khác loại nhau): bắt đầu bằng k1 điểm (biểu thị các phần tử loại 1) đi

theo bởi 1 dấu |, kế đến k2 điểm (biểu thị các phần tử loại 2) đi theo bởi 1 dấu

|, …., rồi sau cùng là kn điểm (biểu thị các phần tử loại n). Có thể có một vài

k  0 nên có thể cũng sẽ xảy ra trường hợp một số dấu | đi liền với nhau.

• • • •…• • | • • • •…• | • …… | • • •…• •

k1 điểm k2 điểm …… kn điểm

Những cách chọn khác nhau tập k phần tử sẽ cho ra các cách sắp xếp khác

nhau k điểm và n 1 dấu | trên đường thẳng. Do đó số các tập k phần tử thuộc

nhiều nhất n loại khác nhau ( n  k ) sẽ bằng số cách sắp xếp k  n 1 phần tử

trong đó k phần tử cùng một loại và n 1 phần tử thuộc loại khác. Theo hoán vị

lặp hạn chế số này bằng: (k  n 1)! k !.(n 1)! hay bằng Ckn1 k .

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

1.3. Quy nạp toán học.

Định lý 1.3. Cho no là một số nguyên dương và P n là một mệnh đề có nghĩa

với mọi số tự nhiên n  no . Nếu:

(1) P no  là đúng.
(2) Nếu P k  đúng thì P k 1 cũng đúng với mọi số tự nhiên k  no .
Thì mệnh đề P n đúng với mọi số tự nhiên n  no .

Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, mệnh đề khẳng

định P n trong định lí khơng đúng với một số tự nhiên n  no nào đó.
Nghĩa là tồn tại số tự nhiên m  no , P m đúng. Ta lấy số tự nhiên m nhỏ

nhất mà P m không đúng (điều này thực hiện được do tiên đề thứ tự). Theo

điều kiện (1) ta có bất đẳng thức m  no , từ đó suy ra m 1  no .

Từ bất đẳng thức vừa lập và cách chọn số tự nhiên m suy ra P m 1 là
đúng, nhưng nó khơng kéo theo được P m đúng cho số tiếp theo

m  ( m 1) 1 .
Điều này trái với giả thiết (2). Như vậy, điều giả sử là sai và định lí được

chứng minh.
1.4. Nguyên lý Dirichlet.
Định lý 1.4. Nếu phân phối hết m đồ vật vào n cái hộp thì ln tồn tại một hộp

m 1

có ít nhất là 1   đồ vật.

n

Chứng minh.
m 1

Giả sử trái lại mọi cái hộp đều khơng có đến    1 đồ vật, thì số đồ
n

m 1
vật trong mỗi hộp đều nhỏ hơn hoặc bằng   cái.

n

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

m 1
Từ đó suy ra tổng số đồ vật không vượt quá n.   m 1đồ vật (vô

n
lý).

Vậy giả thuyết chứng minh là sai, nguyên lý Dirichlet mở rộng được
chứng minh.
1.5. Nguyên lý bù trừ.
1.5.1. Nhận xét.

Khi hai công việc có thể làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để
tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện
nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm
đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên tắc đếm này bằng ngôn ngữ tập
hợp.

Cho 2 tập A, B . Ta có :

AB  A  B  AB .

Tương tự: Cho A1, A2 , A3 là 3 tập hợp bất kỳ. Khi đó, ta có:

A1  A2  A3  A1  A2  A3  ( A1  A2 )  A3

 A 1  A2  A1  A2  A3  ( A1  A3 )  ( A2  A3 )

 A1  A2  A3  ( A1  A2  A2  A3  A1  A3 )  A1  A2  A3

3 21 31
  Ak  (1)  Ai  Aj  (1)  Ai  Aj  Ak
k 1 1i j3 1i jk 3

1.5.2. Nguyên lý bù trừ.
Định lý 1.5. Khi ta cho n tập X1, X 2 , ..., X n , thì:

n k 1
X1  X 2  ...  X3  (1) X (n, k) (1.3)

k 1

Trong đó, X (n, 0)  X

X (n, k)   X i1  X i2  ...  X ik
1i1 ...ik n

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Chứng minh.

Với n=2, ta có : X1 X2  X1  X2  X1 X2 .

Giả sử (1.3) đúng đến n, tức là:

X  X ... X   X k  (1)2 1  Xi  X j  ...n

12 n k 1 1i jn

(1)k 1  Xi1  Xi2 ... Xik  ...  X  X ...  X n
1i1 ...ik n 12

Ta chứng minh (1.3) đúng với n+1, ta có :

X1  X 2  ...  X n  X n1  ( X1  X 2  ...  X n )  X n1
 X1  X 2  ...  X n  X n1  ( X1  X 2  ...  X n )  X n1

Ta có :

X1  X 2  ...  X n

  X k  ...  (1)k 1 n X i1  X i2  ...  X ik  ...  (1)n1 X1  X 2 ...  X n

k 1 1i1 ...ik n

Và

( X1  X 2  ...  X n )  X n1

 ( X1  X n1 )  ( X 2  X n1 )  ...  ( X n  X n1 )

 ( X1  X n1 )  ( X 2  X n1 )  ...  ( X n  X n1 )

n k 1

  X k  X n1  ...  (1) .  X i1  Xi2  ...  X ik  X n1  ... 

k 1 1i1 ...ik n

(1)n1 X1  X 2  ...  X n  X n1

Khi đó :

n n1
 X k  X n1   X k :
k 1 k 1

n
  Xi  X j   X k  X n1    Xi  X j ;
1i jn k 1 1i jn1

(1)k  1  X i1  X i2  ...  X ik  X n1
1i1 ...ik n

  (1)k X i1  X i2  ...  X ik ;
1i1 ...ik n1

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

(1)n 1 X1  X2  ...Xn  X n  1  (1)n X1  X 2  ...X n  X n  1 .

n k 1
Vậy ta có: X  X ... X  (1) X (n, k) ,

12 n k 1

với X (n, k)   Xi1  Xi2  ... Xik .
1i1 ...ik n

Định lý 1.6. Công thức Sieve .
Cho X1, X 2 ,..., X n là n tập hợp. Khi đó:

___ ___ ___ n k
X1  X 2  ...  X n   (1) X (n, k)
k 0

Chứng minh.

Theo tính chất tập hợp, ta có:

___ ___ ___ __________________________
X1  X 2  ...  X n  X1  X 2  ...  X n

n

 X  X1  X 2  ...  X n  X   (1)k1X (n, k)
k 1

n n
 X (n, 0)   (1)kX (n, k)   (1)kX (n, k)
k 1 k 0

1.6. Phân hoạch tập hợp - Số Stirling loại hai và số Bell.

Định nghĩa 1.5. Cho A là một tập hữu hạn có n phần tử. Một phân hoạch của A

thành k phần (khối) là một hệ gồm các tập con không rỗng A1, A2 ,..., Ak của A

thỏa mãn hai tính chất sau:

i. A1  A2  ...  Ak  A .

ii. Ai  A j   i  j , i, j 1, 2,..., k .

Định nghĩa 1.6. Mỗi tập con Ai được gọi là phần (khối) của phép phân hoạch. Số
tất cả các phân hoạch thành k phần của A được gọi là Stirling loại hai và được
ký hiệu là Sn,k .

Định nghĩa 1.7. Dễ thấy rằng Sn,k  0 nếu k  n và với mọi n  1 ta có: Sn,0  0 ,

Sn,1  1 , Sn,n  1. Ta cũng thừa nhận rằng S0,0  1 vì theo định nghĩa họ rỗng các

khối là phân hoạch của tập rỗng.

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Số Bn  Sn,0  Sn,1  ...  Sn,n được gọi là số Bell thứ n . Như vậy, số Bell thứ
n là số tất cả các phân hoạch của tập A lực lượng n .
Định lý 1.7. Ta có Sn1,k  k.Sn,k  Sn,k1 , (k  n)
Chứng minh.

Xét tập bất kì có n 1 phần tử, chẳng hạn tập A  x1, x2,..., xn1

Theo định nghĩa có Sn1,k phần tử tập A thành k khối. Mặt khác ta có thể
chia tập B tất cả các phân hoạch trên thành hai tập con B1 và B2 rời nhau như
sau: B1 gồm tất cả các phân hoạch tập A thành k khối, trong đó có một khối là

xn1 , còn B2 bao gồm tất cả các phân hoạch tập A thành k khối, trong đó
khơng có một khối nào là xn1.

Khi đó mỗi phân hoạch thuộc B1 sẽ chia tập x1, x2,..., xn thành k 1

khối và có Sn,k1 cách chia như thế. Do đó B1  Sn,k1 .

Nếu xn1 khơng là một khối thì xn1 sẽ nằm trong một khối với ít nhất
một phần tử khác của A . Vì có Sn,k cách phân hoạch tập x1, x2,..., xn thành k

khối và xn1 có thể thuộc một khối bất kì trong k khối đó, nên ta có tất cả là

k.Sn,k cách phân hoạch tập A thành k khối sao cho xn1 không là một khối của

phân hoạch.
Suy ra B2  k.Sn,k . Vì B  B1  B2 và B1  B2   nên theo quy tắc cộng ta

có:
Sn1,k  B  B1  B2  k.Sn,k  Sn,k1 .

Dựa vào hệ thức truy hồi trên, ta tính được các số Sn,k và Bn . Sau đây là
bảng cho cụ thể với một vài giá trị n đầu tiên.

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Bảng các số Stirling loại hai và số Bell:

Sn,k k  0 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  7 k  8 Bn

n0 1 1

n 1 0 1 1

n2 0 1 1 2

n3 0 1 3 1 5

n4 0 1 76 1 15

n5 0 1 15 25 10 1 52

n6 0 1 31 90 65 15 1 203

n7 0 1 63 301 350 140 21 1 877

n8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1 4140

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Đặng Thị Thùy Trang

Chương 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ PHÂN HOẠCH TẬP
HỢP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP.

2.1. Ứng dụng nguyên lý bù trừ giải toán.
2.1.1. Bài toán mở rộng biểu đồ Vent phổ thông bằng nguyên lý bù trừ.

Phương pháp giải bài toán bằng biểu đồ ven là phương pháp đi đến lời giải
một cách tường minh và thuận lợi nhờ mô tả mối liên hệ giữa các tập hợp trong
bài toán trực quan bằng biểu đồ. Phương pháp này sẽ phức tạp và khó khăn hơn
nếu số tập hợp tăng lên cao. Các bài toán này được giải một cách ngắn gọn và dễ
hiểu khi ta mở rộng biểu đồ ven bằng cách áp dụng nguyên lý bù trừ .
Bài 1. Lớp tốn học rời rạc có 25 sinh viên giỏi tin học, 13 sinh viên giỏi toán và
8 sinh viên giỏi cả tốn và tin học. Hỏi lớp có bao nhiêu sinh viên nếu mỗi sinh
viên hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin học hoặc giỏi cả hai môn.
Lời giải.

Gọi A là tập các sinh viên giỏi tin học.
B là tập các sinh viên giỏi toán.

Khi đó A  B là tập sinh viên giỏi cả toán và tin học.
Vì mỗi sinh viên trong lớp hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin học hoặc giỏi cả
hai mơn nên ta có tổng số sinh viên trong lớp là A  B . Do vậy, ta có:

A  B  A  B  A  B = 25 + 13 – 8 = 30 (sinh viên).

Bài 2. Trong hội khỏe Phù Đổng có 100 vận động viên đăng kí dự thi. Mỗi vận
động viên được đăng kí một hoặc hai trong ba mơn: ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ
vua. Kết quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng kí thi ném tạ

GVHD: ThS. Dương Thị Thu Thúy Trang 15