tổng quát và ứng dụng nguyên lý bù trừ

Đề tài
NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT & ỨNG DỤNG
NHÓM 8
STT Họ tên Công việc
(theo mục lục)
Chữ ký Nhận xét của
giáo viên
1 Lê Diêm Hùng
Chương 1: Đại cương về tổ
hợp
2 Hồ Thị Mộng Điệp Chương 2: Lý thuyết bù trừ
3 Đào Thị Anh Thư Chương 3: Ứng dụng
4 Nguyễn Thị Phương Anh
Chương 3: Ứng dụng và báo
cáo
MỤC LỤC
1
Chương 1. Đại cương về tổ hợp …………………………………………………3
1.1. Bài toán tổ hợp…………………………………… ……………………….3
1.2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản…………………………………………………4
1.3. Các cấu hình tổ hợp mở rộng………………………… ………………… 4
Chương 2. Nguyên lý bù trừ tổng quát……………………….…………………6
2.1. Nguyên lý bù trừ……………………………………… ………………… 6
2.2. Phân hoạch tập hợp, số sterling loại 2 và số bell………….……………… 6
2.3. Tổ hợp lặp tổng quát…………………………… …… …………………7
2.4. Nguyên lý bù trừ tổng quát……………………… ……………………… 7
Chương 3. Ứng dụng của nguyên lý bù trừ……………….…………………….9
3.1. Bài toán đếm số sinh viên…………… ……… …………………………10
3.2. Bài toán đếm số nghiệm nguyên không âm nhỏ hơn một số của một phương
trình………………………….…………………………………………….13
3.2.1. Bài toán 1……………… ………………….…………………………… 13

3.2.1. Bài toán 2…… …………………………….…………………………… 14
3.3. Ứng dụng nguyên lý bừ trừ tổng quát để tính hàm trọng lượng…… …… 15
Kết luận………………………………………………………………………… 16
Tài liệu tham khảo………………………………………………………… … 17
CHƯƠNG 1
2
ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
Tư duy tổ hợp ra đời rất sớm. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp
được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17. Các bài toán tổ hợp
có đặc trưng bùng nổ với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Từ khi máy tính phát triển
và thịnh hành, nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính và tổ hợp đã
trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ.
Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ là phương pháp đếm nâng cao giải
các bài toán đếm, nó có nhiều ứng dụng hay và từ các ứng dụng này ta có thể giải
được lớp các bài toán tương tự mà việc giải chúng giúp củng cố và rèn luyện việc
sử dụng linh hoạt các cấu hình tổ hợp cơ bản và mở rộng.
1.1. Bài toán tổ hợp
Cho các tập hợp A
1
, A
2
, …, A
n
. Giả sử s là sơ đồ sắp xếp các phần tử của
R
1
, R
2
, …, R
m

được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và A
1
, A
2
, …, A
n
là các điều
kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử
của A
1
, A
2
, …, A
n
thỏa mãn các điều kiện R
1
, R
2
, …, R
m
gọi là một cấu hình tổ
hợp trên các tập A
1
, A
2
, …, A
n
.
Trong tổ hợp người ta thường gặp 4 dạng bài toán sau:
Bài toán tồn tại

Bài toán đếm
Bài toán liệt kê
Bài toán tối ưu tổ hợp
Bài toán đếm
1.2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản
1.2.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.2. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một
bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể
được lặp lại.
3
Định lí 1.1. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là
AR(n,k) thì AR(n,k) = n
k

1.2.2. Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau
là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần
không được lặp lại.
Định lí 1.2. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là
A(n,k) thì
1.3.3. Hoán vị
Định nghĩa 1.4. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp
có thứ tự n phần tử đó.
Định lý 1.3. Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là P(n) thì P(n) = n!.
1.3.4. Tổ hợp
Định nghĩa 1.5. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ
không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (có thể coi
một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần
tử đã cho).
Định lý 1.4. Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là C(n,k) thì

1.3. Các cấu hình tổ hợp mở rộng
1.3.1. Hoán vị lặp
Định nghĩa 1.6. Hoán vị lặp là hoán vị mà trong đó mỗi phần tử được ấn
định một số lần lặp lại cho trước.
Định lý 1.5. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất lặp
n
1
lần, phần tử thứ 2 lặp n
2
lần, …, phần tử thứ k lặp n
k
lần là
!! !
!
), ,,(
21
21
k
k
nnn
n
nnnP =
với n = n
1
+ n
2
+… +n
k
4
Định lý 1.6. Số cách phân phối n đồ vật khác nhau vào k hộp khác nhau sao cho

có n
i
vật được đặt vào hộp thứ i với i = 1,2, ,k là
!! !
!
21 k
nnn
n

1.3.2. Tổ hợp lặp
Định nghĩa 1.7. Tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là một nhóm không
phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có
thể được lặp lại.
Định lý 1.7. Nếu ký hiệu số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là CR(n,k) thì
CR(n,k) = C(n-1+k,n-1) = C(k+n-1, k)
1.3.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp
Định nghĩa 1.9. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, r ≤ n và S
⊂
X có r
phần tử. Một phân hoạch {S
1
, S
2
,…,S
k
} có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ
tự tổ hợp chập r của X . Nếu r = n thì gọi là phân hoạch thứ tự của X .
Cho các số nguyên dương n
1
, n

2
,…,n
k
thoả n
1
+ n
2
+… +n
k
= r. Số các phân hoạch
thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S
1
, S
2
,…,S
k
}có |S
1
| = n
1
, |S
2
| = n
2
,…, |S
k
| = n
k

được ký hiệu là C(n, n

1
, n
2
,…,n
k
) .
1.3.4. Phân hoạch không thứ tự
Định nghĩa 1.10. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau và n
1
, n
2
,…,n
k
, p
1
,
p
2
,…,p
k
là các số nguyên dương thoả n
1
p
1
+ n
2
p
2
+…+ n
k

p
k
= n. Một hệ thống các
tập con của X gồm p
1
tập có n
1
phần tử, p
2
tập có n
2
phần tử, …, p
k
tập có n
k
phần
tử gọi là phân hoạch không thứ tự của X.
Định lý 1.9. Số phân hoạch không thứ tự của X với p
1
tập có n
1
phần tử, p
2
tập có
n
2
phần tử, …, p
k
tập có n
k

phần tử là
k
n
kk
nn
k
kk
npnpnp
n
ppp
nnnnnnnC
)!(! )!(!.)!(!
!
!! !
), ,, ,, ,,, ,,(
21
2211
21
2211
=
(trong C(n,n
1
,…,n
1
, n
2
,…,n
2
,…,n
k

,…,n
k
) số n
1
lặp lại p
1
lần, số n
2
lặp lại p
2
lần, …,
số n
k
lặp lại p
k
lần).
5
CHƯƠNG 2
NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT
2.1. Nguyên lý bù trừ
Đơn giản
Cho hai tập A,B. Có |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| (Công thức 1)
Cho ba tập A,B,C.
Có |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C|
Định lý 2.1. (Nguyên lý bù trừ) Cho X
1
, X
2
,…, X
n

là các tập hữu hạn. Khi đó
∑∑∑
=
−
≤<≤
−
≤≤
−=∩∩∩−++∩−=∪∪∪
n
k
k
nji
n
n
ji
ni
in
knXXXXXXXXXX
1
1
1
21
1
1
21
),()1(| |)1( ||||
trong đó X(n,k) =
∑
≤≤≤≤≤
∩∩∩

niii
iii
k
k
XXX
1
21
21
| |
(Công thức 2)
Trong tổng X(n,k), bộ (i
1
,i
2
,…,i
k
) lấy tất cả các tổ hợp chập k của n và như vậy
X(n,k) là tổng của C(n,k) số hạng.
Hệ quả 2.1. (Công thức Sieve)
∑
=
−=∩∩∩
n
k
k
n
knXXXX
0
21
),()1(| |

trong đó X(n,0) = |X|
2.2. Phân hoạch tập hợp, số Sterling loại 2 và số Bell
Cho tập X có n phần tử khác nhau, k ≤ n và {X
1
, X
2
, …, X
n
}là một phân
hoạch k khối của X Số tất cả các phân hoạch k khối của tập có n phần tử được
gọi là số Sterling loại 2 và ký hiệu là S(n,k).
Hiển nhiên ta có S(n,0) = 0 và S(n,n)=1
Số T
n
= S(n,1) + S(n,2) + … + S(n,n) gọi là số Bell. Như vậy, số Bell chính là số
tất cả các phân hoạch của tập có n phần tử.
Bây giờ ta giải bài toán sau:
Bài toán: Tính số Sterling loại 2.
Giải.
Mỗi phân hoạch k khối của tập X có n phần tử có thể xem như một phân
bố n phần tử của tập X vào k thùng B
1
, B
2
, …, B
k
(không kể thứ tự) sao cho thùng
6
nào cũng có phần tử của X. Hoán vị các thùng B
1

, B
2
, …, B
k
ta thấy một phân bố
như vậy sẽ sinh k! toàn ánh từ tập X vào tập { B
1
, B
2
, …, B
k
}.
Suy ra
∑
=
−−=
k
r
nr
rkrkCknSk
0
)).(,()1(),(!
nên
∑
=
−−=
k
r
nr
rkrkC

k
knS
0
)).(,()1(
!
1
),(
2.3. Tổ hợp lặp tổng quát
Định nghĩa 3.1. Tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác nhau là nhóm
không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó phần tử
thứ i lặp lại không quá k
i
lần (i = 1,2,…,n) với k
1
+ k
2
+ …+k
n
≥ k.
Ký hiệu C
k
n
(k
1
, k
2
, …,k
n
).
Định lý 3.1. Số tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác nhau trong đó phần

tử thứ i lặp lại không quá k
i
lần (i=1,2,…,n) với k
1
+ k
2
+ …+k
n
≥ k là
( )
( )
∑ ∑
= ≤<<≤








−+++−+−−+−+=
n
m nii
ii
m
n
k
n
m

m
nmkkknCknkCkkC
1 1
1
1
1
1), (1(1),1(), ,(
2.4. Nguyên lý bù trừ tổng quát
Cho tập X và tập
{ }
m
aaa , ,,
21
=Π
gồm m tính chất đối với các phần tử
của X. Với tập k (1≤ k ≤ m) tính chất
{ }
Π⊂
k
iii
aaa , ,,
21
, ký hiệu
k
iii
X
, ,,
21
là tập
phần tử trong X thoả mãn các tính chất

k
iii
aaa , ,,
21
và n(
k
iii
aaa , ,,
21
)=|
k
iii
X
, ,,
21
|
Tiếp theo, ký hiệu s
0
= |X|, s
k
=
mkaaan
miii
iii
k
k
, ,2,1,), ,,(
1
21
21

=∀
∑
≤≤≤≤≤

e
k
là số phần tử thoả mãn đúng k tính chất, k = 0,1,…,m
f
k
là số phần tử thoả mãn ít nhất k tính chất, k = 1,2,…,m
Định lý 2.2.
e
k
= s
k
– C(k+1,1).s
k+1
+ C(k+2,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m,m-k).s
m

Chứng minh:
Với tập k (1≤ k ≤ m) tính chất
{ }
Π⊂
k
iii

aaa , ,,
21
, xét tập
k
iii
X
, ,,
21
.
Trên tập
k
iii
X
, ,,
21
ta có (m – k) tính chất α
j
, j ϵ J = {1,2,…,m}\{i
1
, i
2
, …, i
k
}
7
Kí hiệu
k
iii
e
, ,,

21
là phần tử trong X thỏa mãn k tính chất
ikii
ααα
, ,,
2
1
và không thỏa
mãn (m – k ) tính chất α
j
, j ϵ J. Như vậy,
k
iii
e
, ,,
21
là số phần tử trong
k
iii
X
, ,,
21
không
thõa mãn (m – k) tính chất α
j
, j ϵ J.
Ký hiệu: Y
j
= { x ϵ
k

iii
X
, ,,
21
| x thỏa tính chất α
j
},
∀
j ϵ J
Theo công thức
∑
=
−=∩∩∩
n
k
k
n
knXXXX
0
21
),()1(

Trong đó: X(n,0) = |X|
Và
nkXXXknX
nii
ikii
k
, ,1 ),(
1

2
1
1
=∀∩∩∩=
∑
≤<≤

Ta có
{ }
{ }
), ,,, ,()1(
),,, ,,(),, ,,(), ,,(
)1(
11
21
21111
21
12121
,
222
,
2, ,,, ,,
km
kk
jjiki
km
Jjj
jjikii
Jj
jikiiikii

Jj
j
km
Jjj
jj
Jj
jiii
Jj
jiii
aan
aanann
YYYYXYe
−
−
⊂∈
∈
−
⊂∈
∈
−+−
+−=
−+−∩+−==
∑∑
∑∑
αα
ααααααααα

Suy ra

{ }

m
km
kkk
mii
jjiki
km
mii Jjj
jjikii
mii Jj
jikii
mii
ikii
mii
iiik
skmmCskCskCs
aan
aanannee
k
km
kkkk
k
).,()1( ).2,2().1,1(
), ,,, ,()1(
),,, ,,(),, ,,(), ,,(
21
1
1 ,
2
1
2

1
2
1
, ,,
1
11
1 21
211
1
1
1
1
1
21
−−+−+++−=
−+−
+−==
−
++
≤<<≤
−
≤<<≤ ⊂≤<<≤ ∈≤<<≤≤<<≤
∑
∑ ∑∑ ∑∑∑
−
αα
ααααααααα
Định lý 2.3. f
k
= s

k
– C(k,1).s
k+1
+ C(k+1,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m-1,m-k).s
m
Qui nạp (ngược) k = m, m-1,…,1.
Hiển nhiên công thức đúng với k = m, f
m
= s
m
= e
m
Giả sử công thức đúng với (k +1), ta chứng minh công thức đúng với k.
Ta có : f
k
– f
k+1
= e
k
8
Từ đó suy ra f
k
= e
k
+ f
k+1

= s
k
– C(k+1,1).s
k+1
+ C(k+2,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m,m-
k).s
m
+ s
k+1
- C(k+1,1).s
k+2
+ C(k+2,2).s
k+3
- … + (-1)
m-k-1
C(m-1,m-k-1).s
m
= s
k
– C(k,1).s
k+1
+ C(k+1,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m-1,m-k).s

m
CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
Dựa vào nguyên lý bù trừ ta có thể đếm được số phần tử trong một tập X
không thoả mãn bất kỳ một tính chất nào trong n tính chất.
Thật vậy, với mọi k = 1,2,…,n kí hiệu X
k
= {x ϵ X/x thoả mãn tính chất k}. Khi đó
͞X
k
= {x ϵ X/x không thoả mãn tính chất k}.
Như vậy, số phần tử trong X không thoả mãn một tính chất nào trong n tính chất
bằng số phần tử của tập hợp

n
i
i
x
1=
.
Ta có

n
i
i
n
i
i
n
i

i
n
i
i
XXXXXX
1111 ====
−=⇒+=

nên

n
i
i
n
nji
ji
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XXXXXXXXX
1

11
111
)1(
=
≤≤≤=
===
−+−∩+−=−==
∑∑
Theo ý tưởng của nguyên lý bù trừ, có một số bài toán, việc đếm trực tiếp
các cấu hình thoả yêu cầu nhiều khi phức tạp, khi đó ta thường giải bài toán ngược
(hay bài toán lấy phần bù) để từ đó suy ra kết quả yêu cầu.
3.1. Bài toán 1 (Đếm số sinh viên)
Sinh viên một khóa đăng ký học ngoại ngữ. Có 12 sinh viên học tiếng
Trung (A), 20 sinh viên học tiếng Anh (B), 20 sinh viên học tiếng Pháp (C), 8 sinh
viên học tiếng Nhật (D).
Trong đó có:
5 sinh viên học cả A và B,
7 sinh viên học cả A và C,
9
4 sinh viên học cả A và D,
16 sinh viên học cả B và C,
4 sinh viên học cả B và D,
3 sinh viên học cả C và D.
Và
3 sinh viên học cả A, B, và C;
2 sinh viên học cả A, B và D;
2 sinh viên học cả B, C và D;
3 sinh viên học cả A, C và D
Có 2 sinh viên học cả A, B, C và D và 71 sinh viên không đăng ký học ngoại ngữ
nào.

a. Hãy tính số sinh viên của khóa học
b. Tính số sinh viên chỉ học đúng 1, 2, 3 ngoại ngữ
c. Tính số sinh viên học ít nhất 1, 2, 3 ngoại ngữ
Giải
Gọi N là tổng số sinh viên của khóa học
Khi đó, |X| = N
Kí hiệu: X
A
là số sinh viên học A,
X
B
là số sinh viên học B,
X
C
là số sinh viên học C,
X
D
là số sinh viên học D
Ta có tập X có 4 tập con X
A
, X
B
, X
C
, X
D
Trong đó, theo đề ta có
|X
A
| = 12 ; |X

B
| = 20 ; |X
C
| = 20 ; |X
D
| = 8
|X
A
∩X
B
| = 5 ; |X
A
∩X
C
| = 7 ; |X
A
∩X
D
| = 4 ; |X
B
∩X
C
| = 16 ; |X
B
∩X
D
| = 4 ; |X
C
∩X
D

|
= 3
| X
A
∩ X
B
∩X
C
| = 3; | X
A
∩ X
B
∩X
D
| = 2 ; | X
B
∩ X
C
∩X
D
| = 2 ; | X
A
∩ X
C
∩X
D
| = 3
| X
A
∩ X

B
∩X
C
∩X
D
| = 2
| ͞X
A
∩ ͞͞X
B
∩ ͞X
C
∩ ͞X
D
| = 71
10
a. Hãy tính số sinh viên của khóa học
Theo công thức thức 2, ta có
| ͞X
A
∩ ͞͞X
B
∩ ͞X
C
∩ ͞X
D
| = |X| - | X
A
∪ X
B

∪X
C
∪X
D
|
=> |X| = | ͞X
A
∩ ͞͞X
B
∩ ͞X
C
∩ ͞X
D
| + | X
A
∪ X
B
∪X
C
∪X
D
| = 71 + | X
A
∪ X
B
∪X
C
∪X
D
|(*)

Trong đó :
| X
A
∪ X
B
∪X
C
∪X
D
| =
∑
=
−
−
4
1
1
),4()1(
k
k
kX
= (-1)
1-1
X(4,1) + (-1)
2-1
X(4,2) + (-1)
3-1
X(4,3) + (-1)
4-1
X(4,4)

= X(4,1) - X(4,2) + X(4,3) - X(4,4)
= s
1
– s
2
+ s
3
– s
4
(*) => |X| = 71 + s
1
– s
2
+ s
3
– s
4
Mà
s
1
= X(4,1) = |X
A
| + |X
B
| + |X
C
| + |X
D
| = 12 + 20 + 20 + 8 = 60
s

2
= X(4,2) = |X
A
∩X
B
| + |X
A
∩X
C
| + |X
A
∩X
D
| + |X
B
∩X
C
| + |X
B
∩X
D
| + |X
C
∩X
D
|
= 5 + 7 + 4 + 16 + 4 + 3 = 39
s
3
= X(4,3) = | X

A
∩ X
B
∩X
C
|+ | X
A
∩ X
B
∩X
D
| + | X
B
∩ X
C
∩X
D
| + | X
A
∩
X
C
∩X
D
|
= 3 + 2 + 2 + 3 = 10
s
4
= X(4,4) = | X
A

∩ X
B
∩X
C
∩X
D
| = 2
Vậy: N = |X| = 71 + s
1
– s
2
+ s
3
– s
4
= 71 + 60 – 39 + 10 – 2 = 100
b. Tính số sinh viên chỉ học đúng 1, 2, 3 ngoại ngữ chính là e
k
với k = 1, 2, 3
e
k
= s
k
– C(k+1,1).s
k+1
+ C(k+2,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m,m-k).s

m
• Số sinh viên chỉ học đúng 1 ngoại ngữ k= 1
e
1
= s
1
– C(1+1,1).s
1+1
+ C(1+2,2).s
1+2
– C(1+3,3).s
1+3
= s
1
– C(2,1).s
2
+ C(3,2).s
3
– C(4,3).s
4
= 60 – C(2,1).39 + C(3,2).10 – C(4,3).2
= 4
• Số sinh viên chỉ học đúng 2 ngoại ngữ k= 2
11
e
2
= s
2
– C(2+1,1).s
2+1

+ C(2+2,2).s
2+2

= s
2
– C(3,1).s
3
+ C(4,2).s
4

= 39 – C(3,1).10 + C(4,2).2 = 21
• Số sinh viên chỉ học đúng 3 ngoại ngữ k= 3
e
3
= s
3
– C(3+1,1).s
3+1

= s
3
– C(4,1).s
4

= 10 – C(4,1).2
= 2
c. Tính số sinh viên học ít nhất 1, 2, 3 ngoại ngữ chính là f
k
với k = 1, 2, 3
f

k
= s
k
– C(k,1).s
k+1
+ C(k+1,2).s
k+2
- … + (-1)
m-k
C(m-1,m-k).s
m
• Số sinh viên học ít nhất 1ngoại ngữ k=1
f
1
= s
1
– C(1,1).s
1+1
+ C(1+1,2).s
1+2
– C(1+2,3).s
1+3
= s
1
– C(1,1).s
2
+ C(2,2).s
3
– C(3,3).s
4

= 60 – C(1,1).39 + C(2,2).10 – C(3,3).2
= 29
• Số sinh viên học ít nhất 2 ngoại ngữ k= 2
f
2
= s
2
– C(2,1).s
2+1
+ C(2+1,2).s
2+2

= s
2
– C(2,1).s
3
+ C(3,2).s
4

= 39 – C(2,1).10 + C(3,2).2
= 25
• Số sinh viên học ít nhất 3 ngoại ngữ k= 3
f
3
= s
3
– C(3,1).s
3+1

= s

3
– C(3,1).s
4

= 10 – C(3,1).2
= 4
3.2. Bài toán đếm số nghiệm nguyên không âm nhỏ hơn một số của một
phương trình
12
3.2.1. Bài toán 1: Phương trình x
1
+ x
2
+x
3
=11 có bao nhiêu nghiệm nguyên
không âm thoả mãn x
1
≤ 3, x
2
≤ 4, x
3
≤ 6?
Giải.
Gọi A, A
1
, A
2
và A
3

lần lượt là là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm
của phương trình, tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình sao
cho x
1
≥ 4, x
2
≥ 5, x
3
≥ 7
Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình đă cho ứng với một cách chọn 11
phần tử từ một tập có ba loại sao cho có x
i
phần tử loại i với i = 1,2,3.
Vì vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình bằng số tổ hợp lặp
chập 11 từ tập có ba phần tử nên |A| = CR(3,11) = C(13,2) = 78.
Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình sao cho x
1
≥ 4 ứng với
một cách chọn 11 phần tử từ một tập có ba loại thoả có x
i
phần tử loại i với i
=1,2,3, trong đó có ít nhất 4 phần tử loại một.
Vì thế, đầu tiên chọn 4 phần tử loại một rồi chọn thêm 7 phần tử nữa nên |A
1
| =
CR(3,7) = C(9,2) = 36.
Tương tự, ta có |A
2
| = CR(3,6) = C(8,2) =28,
|A

3
| = CR(3,4) = C(6,2) = 15,
|A
1
∩A
2
| = CR(3,2) = C(4,2) = 6,
|A
1
∩A
3
| = CR(3,0) = C(2,2) = 1,
|A
2
∩A
3
| = 0
|A
1
∩A
2
∩A
3
| = 0
Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên không âm của phương trình
trên sao cho | ͞A
1
∩ ͞͞A
2
∩ ͞A

3
| = |A| - | A
1
∪ A
2
∪A
3
|
Trong đó: | A
1
∪ A
2
∪A
3
| =
∑
=
−
−
3
1
1
),3()1(
k
k
kA
= (-1)
1-1
A(3,1) + (-1)
2-1

A(3,2) + (-1)
3-1
A(3,3)
= A(3,1) - A(3,2) + A(3,3)
= s
1
– s
2
+ s
3

Mà
13
s
1
= A(3,1) = |A
1
| + |A
2
| + |A
3
| = 36 + 28 + 15 = 79
s
2
= A(3,2) = |A
1
∩A
2
| + |A
1

∩A
3
| + |A
2
∩A
3
| = 6 + 1 + 0 = 7
s
3
= A(3,3) = | A
1
∩ A
2
∩A
3
| = 0
Kết luận: số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn các điều kiện
đã cho là
| ͞A
1
∩ ͞͞A
2
∩ ͞A
3
| = |A| - | A
1
∪ A
2
∪A
3

| = |A| - (s
1
– s
2
+ s
3
)
= 78 – (79 – 7 + 0 )
= 6
3.2.1. Bài toán 2: Cho phương trình x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 29 có bao nhiêu nghiệm
nguyên không âm thoả mãn x
1
< 4, x
2
< 13, x
3
< 6, x
4
< 11?
Giải.
Gọi A là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình
A

1
là tập nghiệm với x
1
≥ 4
A
2
là tập nghiệm với x
2
≥ 13
A
3
là tập nghiệm với x
3
≥ 6
A
4
là tập nghiệm với x
4
≥ 11
Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho ứng với một cách
chọn 29 phần tử từ một tập có bốn loại sao cho có x
i
phần tử loại i với i=1,2,3,4.
Vì vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình bằng số tổ hợp lặp
chập 29 từ tập có bốn phần tử nên
|A| = CR(4,29) = C(29+4-1, 4-1) = C(32,3)= 4960
Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình sao cho x
1
≥ 4 ứng với
một cách chọn 29 phần tử từ một tập có bốn loại thoả có x

i
phần tử loại i với i =
1,2,3,4 trong đó có ít nhất 4 phần tử loại một.
Vì thế, đầu tiên chọn 4 phần tử loại một rồi chọn thêm 25 phần tử nữa nên
|A
1
| = CR(4,25) = C(25+4-1,4-1) = C(28,3) = 3276.
Tương tự, ta có |A
2
| = CR(4,16)= C(19,3) = 969,
|A
3
| = CR(4,23) = C(26,3)= 2600,
|A
4
| = CR(4,18) = C(21,3)=1330
14
Mặt khác, x
1
+ x
2
≥ 4 + 13 = 17 có nghĩa chọn 17 phần tử loại một và hai, chọn
thêm 29 – 17 = 12 phần tử nữa nên ta có |A
1
∩A
2
| = CR(4,12)= C(15,3)= 455
Tương tự ta có |A
1
∩A

3
| = CR(4,19)= C(22,3)= 1540,
|A
1
∩A
4
| = CR(4,14)= C(17,3)= 680,
|A
2
∩A
3
| = CR(4,10)= C(13,3)= 286,
|A
2
∩A
4
| = CR(4,5)= C(8,3)= 56,
|A
3
∩A
4
| = CR(4,12)= C(15,3)= 455
|A
1
∩A
2
∩A
3
| = CR(4,6)= C(9,3)= 84,
|A

1
∩A
2
∩A
4
| = CR(4,1)= C(4,3)= 4, |A
2
∩A
3
∩A
4
| =0,
| A
1
∩ A
3
∩A
4
|= CR(4,8)=C(11,3) = 165,
|A
1
∩A
2
∩A
3
∩A
4
| = 0
Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên
sao cho | ͞A

1
∩ ͞͞A
2
∩ ͞A
3
∩ ͞A
4
| = |A| - | A
1
∪ A
2
∪A
3
∪A
4
|
Trong đó: | A
1
∪ A
2
∪A
3
∪A
4
| =
∑
=
−
−
4

1
1
),4()1(
k
k
kA
= (-1)
1-1
A(4,1) + (-1)
2-1
A(4,2) + (-1)
3-1
A(4,3) + (-1)
4-1
A(4,4)
= A(4,1) - A(4,2) + A(4,3) - A(4,4)
= s
1
– s
2
+ s
3
– s
4
Mà
s
1
= A(4,1) = |A
1
| + |A

2
| + |A
3
| + |A
4
| = 3276 + 969 + 2600 + 1330 = 8175
s
2
= A(4,2) = |A
1
∩A
2
| + |A
1
∩A
3
| + |A
1
∩A
4
| + |A
2
∩A
3
| + |A
2
∩A
4
| + |A
3

∩A
4
|
= 455 + 1540 + 680 + 286 + 56 + 455 = 3472
s
3
= A(4,3) = | A
1
∩ A
2
∩A
3
| + | A
1
∩ A
2
∩A
4
| + | A
2
∩ A
3
∩A
4
| + | A
1
∩ A
3
∩A
4

|
= 84 + 4 + 0 + 165 = 253
s
4
= X(4,4) = | X
A
∩ X
B
∩X
C
∩X
D
| = 0
Kết luận: số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn các điều kiện
đã cho là
| ͞A
1
∩ ͞͞A
2
∩ ͞A
3
∩ ͞A
4
| = |A| - | A
1
∪ A
2
∪A
3
∪A

4
| = |A| - (s
1
– s
2
+ s
3
– s
4
)
15
= 4960 – (8175 – 3472 + 253 – 0)
= 4
3.3. Ứng dụng nguyên lý bừ trừ tổng quát để tính hàm trọng lượng
Định nghĩa 3.2. Một hàm ω từ một tập X vào tập số thực được gọi là hàm trọng
lượng của X. Nếu X là hữu hạn và A là một tập con của X thì trọng lượng của A, kí
hiệu là ω(A), là tổng tất cả ω(x) với x ϵ A.
Nếu ∏ là tập có m tính chất, A
j
với j = 0,1,…,m là tập tất cả các phần tử trong X
thỏa mãn đúng j tính chất và B
j
với j=1,2,…,m là tập tất cả các phần tử trong X
thỏa mãn ít nhất j tính chất. Với mỗi j, đặt E
j
= ω(A
j
) và F
j
= ω(B

j
).
Nếu Q là một tập con của ∏, ω(Q) được định nghĩa như là tổng trọng
lượng của các phần tử trong X thỏa mãn mỗi một tính chất trong Q. Sau cùng,
tương tự như s
k
, ta định nghĩa S
k
= ω(X) nếu k=0 và
∑
=
Π⊂
=
kQ
Q
k
QS )(
ω
nếu k =1,2,…
m.
Định lý 3.2. Với mọi j=1,…,m
ta có E
j
= Sj – C(j+1,1).S
j+1
+ C(j+2,1).S
j+2
-…+ (-1)
m-j
C(m,m-j).S

m
Định lý 3.3. Với mọi j=1,…,m
ta có F
j
= Sj – C(j,1).S
j+1
+ C(j+1,1).S
j+2
-…+ (-1)
m-j
C(m-1,m-j).S
m

16
KẾT LUẬN
Từ các ứng dụng của nguyên lý bù trừ ta có thể giải lớp các bài
toán. Bằng cách thay đổi các tập hợp, số lượng các phần tử của tập hợp và quan hệ
giữa các phần tử ta có thể tạo ra nhiều bài toán khác nhau mà việc giải chúng giúp
cho ta có thể củng cố và rèn luyện việc sử dụng linh hoạt các cấu hình tổ hợp cơ
bản và mở rộng.
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
• Tiếng Việt
[1] Trần Quốc Chiến (2005), Giáo trình lý thuyết tổ hợp. (Giáo trình cho
học viên cao học Toán, ĐHĐN.)
[2] Hà Văn Chương (2004), Tuyển chọn 351 bài toán giải tích tổ hợp,
NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
[3] Vũ Đình Hoà (2003), Lý thuyết tổ hợp và các bài toán ứng dụng, NXB
Giáo dục.
[4] Nguyễn Ngọc Thu (2003), Hướng dẫn giải toán tổ hợp, NXB Đại học

quốc gia TP Hồ Chí Minh.
18