Chương 3 : Không gian vecto

Chương 3: KHÔNG GIAN VECTOR

 : V V  V V  xy V

 x, y  x  y Một tập V khác rỗng trên đó có **

.:  V  V hai phép toán: cộng và nhân *y * x x

, x   x 0V : phần tử trung hòa (duy nhất)
-x : phần tử đối (duy nhất)
1) x, y  V  x  y  V 1: vô hướng đơn vị hoặc phần
tử đơn vị của trường K.
x  V  x, y  V 
2)   x  V
    7)    x y xy
   
3) x, y  V  x  y  y  x
x  V 
4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z 8)       x   x   x
 ,    
0V  V 
5)   x  0V  0V  x  x x  V 
x  V  9)     x    x
 ,    
x  V 
6)   x  x  x  x  0V 10) x  V  1.x  x
x  V 

VD1: V   u u  R (1) Với x, y, zV (2) Kiểm tra 1),…,10) (3) Thỏa V là một KGVT có

  R  - phần tử trung hòa là 0V = 0

 ,    R - phần tử đối của u là -u
Các phép cộng và nhân
thông thường trên R

 VD2 : V   u  x, y x, y  R,V  R2  (1) Với u1  x1, y1  ,u2  x2 , y2  ,u3  x3, y3  V

  R  (2) Kiểm tra

Các phép cộng và nhân ,    R
thông thường vector 2 chiều trên R
V là một KGVT có (3) Thỏa 1),…,10)
x  V 
6)   x  x  x  x  0V - phần tử trung hòa là 0V = (0, 0)
1) x, y  V  x  y  V x  V  - phần tử đối của u (x, y) là –u=(-x, -y)

x  V  x, y  V  Rn là không gian vector. 2
2)   x  V 7)    x y xy
        V  u  x1,..., xn  | x1,..., xn  R 0V  0,..., 0

3) x, y  V  x  y  y  x x  V  u  x1,..., xn 
      x   x   x
8)
4) x, y, z  V   x  y   z  x   y  z  ,    

0V  V  x  V 
5)   x  0V  0V  x  x 9)     x    x
x  V   ,    

 10) x  V  1.x  x

VD3: V  a  bx  cx2 a,b, c  R, V  P2  x (1)  f1  x  a1  b1x  c1x2 V
 f2  x   a2  b2 x  c2 x2 V  ai , bi ,ci  R  (2)
Các phép cộng và nhân đa thức  f3  x  a3  b3x  c3x2 V i  1, 2,3 
thông thường trên R

 ,   R

0V  a,b, c  0, 0, 0  0 V  P2  x là một (3)

u  a,  b,  c  KGVT 1),…,10)

1) f1  f2  a1  a2   b1  b2  x  c1  c2  x2 V 5) f1  0V  a1  0  b1  0 x  c1  0 x2  f1
2)  f1   a1   b1  x   c1  x2 V 6) f1   f1   a1  a1   b1  b1  x  c1  c1  x2
3) f1  f2  a1  a2   b1  b2  x  c1  c2  x2
 0  0x  0x2  0V
 a2  a1   b2  b1  x  c2  c1  x2

 f1  f2

1) x, y  V  x  y  V x  V  Pn  x là một không gian vector

6)   x  x  x  x  0V
x  V 
x  V   i n 
2)   x  V x, y  V  V   ai x ai  R, i  1, n, V  Pn  x
    7)    x y xy
   

3) x, y  V  x  y  y  x x  V   i0 
8)       x   x   x

4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z ,    

x  V  0V  a0 ,..., an   0,..., 0  0,  u  a0 ,..3.,  an 
0V  V  9)     x    x
5)   x  0V  0V  x  x  ,   
x  V 
10) x  V  1.x  x



 a b  
VD4: V    a,b, c, d  R, V  M 2  R
1) x, y  V  x  y  V  c d  

x  V  Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R
2)   x  V
   

3) x, y  V  x  y  y  x

4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z    x1 y1 
u1     V ; x1, y1, z1, t1  R
0V  V    z1
5)   x  0V  0V  x  x   x2 t1 
x  V  u2   y2 
  z2
x  V    x3   V ; x2 , y2 , z2 , t2  R
6) u3   t2 
  x  x  x  x  0V   z3  y3   V ; x3, y3, z3,t3  R
x  V  t3 

x, y  V 
7)    x y x y
   

x  V 
8)       x   x   x
 ,    

x  V 
9)     x    x 0 0  a b 
 ,     0V   
M 2  R là một không gian vector u   
10) x  V  1.x  x 0 0  c d 

M mn  R là một không gian vector 4

Kiểm tra các tập sau có là KGVT khơng

1) x, y  V  x  y  V VD5: V   x x  R (Yes) VD6: V   x x Q (No)

x  V  K  Q K  R
2)   x  V
   

3) x, y  V  x  y  y  x VD7: V   x1, x2, x3  xi  R,i  1,3  x1  2 x2  3 x3  0 (Yes)

4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z 

0V  V  VD8: V   x, y, z x, y, z  R (No)

5)   x  0V  0V  x  x
x  V  pc () :  x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z '

x  V  pn (.) :   x, y, z    x,  y,  z
6)
  x  x  x  x  0V
x  V 

x, y  V 
7)    x y x y
   

x  V  VD9: V   x1, x2  x1, x2  R  x1  0, x2  0 (Yes)
8)       x   x   x
 ,    
pc () :  x, y   x ', y '   xy, x ' y '
x  V 
9)     x    x
 ,    
pn (.) :   x, y   x , y 
10) x  V  1.x  x 5

Kiểm tra các tập sau có là KGVT khơng

1) x, y  V  x  y  V VD10 : V  u  x1, x2, x3   R3 | x1, 2x2  3 x3  0

x  V  VD11: V  u  x1, x2   R2
2)   x  V
    pc() :  x1, x2    y1, y2    x1  y1, x2  y2 
pn(.) :   x1, x2    x1, x2 

3) x, y  V  x  y  y  x
VD12 : V  u  x1, x2   R2
4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z 
pc() :  x1, x2    y1, y2    x1  y1, x2  y2 
0V  V  pn(.) :   x1, x2    x1, 0
5)   x  0V  0V  x  x
x  V  VD13:

x  V  6
6)
  x  x  x  x  0V
x  V 

x, y  V 
7)    x y x y
   

x  V 
8)       x   x   x
 ,    

x  V 
9)     x    x
 ,    

10) x  V  1.x  x

VD14: V (NO) VD15: V
VD16: V
(NO) (YES)

VD17: V   x, y, z  R3 (NO) VD18: V   x, y, z  R3 (NO)

 x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z '  x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z '
k  x, y, z  kx, y, z k  x, y, z  0, 0, 0

VD19: V   x, y  R2 VD20: V   x, y  R2

 x, y   x ', y '   x  x ', y  y '  x, y   x ', y '   x  x '1, y  y ' 2
k  x, y  2kx, 2ky k  x, y  kx, ky

VD21: (NO) VD22: (YES)

KHƠNG GIAN VECTOR CON

W là khơng gian vector con của V W  
W  V
VD1: Chứng minh W là KGVT con của R3 x, y W  x  y W

W   x1, x2 , x3   R3 x1  2 x2 x W ,  R   x W

* u  2,1, 0 W  W   u1   x1, x2 , x3  W  x1  2 x2

* W  R3 *

u1   x1, x2 , x3  W  x1  2 x2   R

* u1   x1, x2, x3 
 x1   2 x2  22 x2 
u2   y1, y2, y3  W  y1  2 y2

u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3   u1 W
x1  y1  2 x2  2 y2  2  x2  y2 
Vậy W là KGVT con của R3
 u1  u2 W
8

VD121: W   x1, x2, x3   R3 x1  x2  0 VD132:: W   x1, x2, 0 x1, x2  R

* u  1,1, 0 W  W   * u  0, 0, 0 W  W  

* W  R3 * W  R3

u1   x1, x2, x3  W  x1  x2  0 u1   x1, x2 , 0 W  x1, x2  R

* *

u2   y1, y2 , y3  W  y1  y2  0 u2   y1, y2, 0 W  y1, y2  R
u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3  u1  u2   x1  y1, x2  y2 , 0
 x1  y1    x2  y2    x1  x2    y1  y2   0  0  0
x1, y1  R  x1  y1  R
 u1  u2 W x2 , y2  R  x2  y2  R
 u1  u2 W
u1   x1, x2, x3  W  x1  x2  0
u1   x1, x2 , 0 W  x1, x2  R
*
  R *
  R
u1   x1, x2, x3 
 x1   x2    x1  x2    0  0 u1   x1, x2 , 0

 u1 W x1,  R   x1 R
x2 ,  R   x2  R
Vậy W là KGVT con của R3  u1 W Vậy W là KGVT con c9ủa R3

VDD143: W   x1, x2, x3   R3 2x1  5 x2  3 x3  0 VD5 : W   x1, x2, x1x2   R3
  x1, x2 , x3   R3 | x3  x1x2
* u  0, 0, 0 W  W  
* u  0, 0, 0 W  W  
* W  R3
* W  R3
u1   x1, x2 , x3  W  2x1  5 x2  3 x3  0
u1   x1, x2 , x1 x2  W  x1, x2  R
*
*
u2   y1, y2 , y3  W  2 y1  5 y2  3 y3  0
u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3  u2   y1, y2 , y1 y2  W  y1, y2  R
2 x1  y1   5 x2  y2   3 x3  y3   u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x1 x2  y1 y2 
2x1  5 x2  3 x3   2 y1  5 y2  3 y3   0  0  0  x1  y1  x2  y2  

 u1  u2 W  x1 x2  y1 y2  x1 y2  x2 y1  x1 x2  y1 y2
 u1  u2 W
u1   x1, x2, x3  W  2x1  5 x2  3 x3  0
Vậy W không là KGVT con của R3
*
  R 10

u1   x1, x2 , x3 
2 x1  5 x2  3 x3   2x1  5 x2  3 x3    0  0

 u1 W

Vậy W là KGVT con của R3

Không gian vector con của Rn ?

VD15: W   x1, x2   R2 x1  x2  (Yes)

VD16: W   x1, x2   R2 3x1  x2  5 (No)

VD17: W   x1, x2, x3   R32 x1 x2x3  0 (No)

 32 x1  3x2  x3  0
VD18: W   x1, x2 , x3   R   (Yes)
 2x2  x3  0 
11

TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

n ci  R, i  1, n

Tổ hợp tuyến tính: v  c1u1  c2u2  ...  cnun   ciui ;
i 1

n Độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính
 ciui  0V

i 1

 Nếu hệ S  u1,u2 ,....,un là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT

 Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT

 Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector ui là THTT của những vector còn lại
12

v  4,3   v  c1u1  c2u2
u  1, 1  c1 1, 1  c2 2,5  4,3
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 1 

u  2,5  1.c1  2.c2  4 1 2   c1   4 
2       
1.c1  5.c2  3
 1 5   c2   3 
Gauss-Jordan

c1u1  c2u2  ...cnun  v  U.C  V

X  A1B  u1,1 u2,1 . un,1   c1   v1 

U   u1,2 u2,2 . un,2  , C     c2  , V     v2 
Cramer . . . . . .

 u1,n u2,n . un,n    
 cn   vn 

v  2, 0, 6
u1  1, 2,3  1 1 2   c1   2 
    
VD1:    2 4 3  c2    0 
u2  1, 4, 5 

   
 3 5 7   c3   6 
u3  2, 3, 7
13

TỔ HỢP TUYẾN TÍNH

Tìm tổ hợp tuyến tính Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của các vector
còn lại
v  3,5 v  2,9
VD6:
 
VD7:
VD2 : u1  2,1 VD3 : u1  3, 2

 

u2  1,3 u2  1,3

VD4 : v  1,1,9 VD5 : v  1,1,1 VD8:
u1  1,1,1 u1  1, 2,1 VD9:
u2  2,1, 4 u2  1,1,  3

u   3,1, 9  u   2, 2, 4
3 3

14

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH & n VD10:
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

 ciui  0

i 1

HẠNG CỦA ĐỊNH THỨC * 1 1 2 1   1 1 2 1 
HỆ VECTOR A   2 2 4 2      0 3 2 0 
2
u1 u2 .. un  1 2 2  0 0 0 0
.. 1  
2 0 1  0 0 0 0
 u1 
n  4     A  n  PTTT
    A  2
A   u2
 ..

 . . . .
 
 un  .. *  1 2 2 1
2  0
B  0  Bi  det  B  det  1 2 1 0
*   ci   0 ÐLTT
Có n vector Bi  0 B  2 4 2 
và tìm được ρ(A)  1
+ ρ(A) = n  ĐLTT B  0  Vô số  PTTT  1 2 2
+ ρ(A) < n  PTTT *  vì có một cột
Bi  0 nghiệm det  Bi   0, (i  1,..., n) bằng 0

i  1,..., n Vậy: hệ có vô số nghiệm PTTT.

15

ĐLTT hoặc PTTT trong Rn ? m = ?  ĐLTT hoặc PTTT

VD11: VD17: 1, 4,3,3, 2,5,2, 3, m
VD12: VD18: 1,3, m,1, 2,1,0,1,1
VD13:
VD14: VD19: 1, 2, 3, 2,4,1,3, 2, 
16,9,1, 3,m, 4, 7, 7
VD15:
VD16: VD20: 4, 4, 2,8; 3,1, 0, 4;
2, 4, 4, 6;

u4  (4, 9, 2, m 1)

16

VD21:
VD22:

17