Chương 4: Tập sinh, cơ sở, số chiều

Chương 3 (tt): TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU

*B là tập sinh của V (V=<B> VD1: B  1, 0, 0;0,1, 0;0, 0,1 R3
(hay B sinh ra V)
* v v1, v2, v3  R3
B  u1,u2 ,...,un,ui V , i  1, n
n v  c1u1  c2u2  c3u3

v V  v   ciui v1, v2, v3   c1 1, 0, 0  c2 0,1, 0  c3 0, 0,1
 i 1
 c1  v1, c2  v2 , c3  v3  v  v1u1  v2u2  v3u3
*B là cơ sở V
B là tập sinh của R3
B là tập sinh của V
 1 0 0  B : ÐLTT
B là ĐLTT
* A   0 1 0    A  3  Nvector
*Số chiều của V  0 0 1 
dim V = số vector của B
(một số không đổi) Vậy: B là cơ sở của R3 với dim B = 3

n B  u1  1, 0,..., 0;u2  0,1,..., 0;...;un  0, 0,...,1

R  n
dim R  n

VD2: B  u0  1,u1  x,u2  x2 ,...,un  xn  Pn  x

* f  x  a0  a1x  a2 x3  ...  an xn  Pn  x, (a0, a1,..., an  R)  1 0 ... 0

f  x  c0u0  c1u1  c2u2  ...  cnun A   0 1 ... . 

. . . .
 a0  a1x  a2 x3  ...  an xn  c0  c1x  c2 x3  ...  cn xn  
 c0  a0 , c1  a1, c2  a2 ,..., cn  an  0 0 ... 1 

B là tập sinh của Pn(x) 

* c0u0  c1u1  c2u2  ...  cnun  0V  c0  c1x  c2 x3  ...  cn xn  0V   A  n 1  Nvector

 c0  c1x  c2 x23  ...  cn xn  0  0x  0x23  ...  0xn
 c0  0, c1  0, c2  0,..., cn  0

B là ĐLTT

Vậy: B là cơ sở của Pn(x) với dim B = n + 1

Tính chất của cơ sở & số chiều

*dimV  n là một số không đổi Nvector  dimV  S là PTTT

*B  u1,..., un là cơ sở của V   S không thể là
 hệ sinh của V
 *Nvector  dimV
v  V , v  c1u1  ...  cnun    S là cơ sở của V
 c1,..., cn là duy nhất  khi và chỉ khi
Nvector  dimV S là ĐLTT

VD3: Chứng minh rằng

VD4: Chứng minh
VD5: Xác định m để thỏa điều kiện tập sinh

VD6: Tập nào là cơ sở của R3 ? VD7: Tập nào là cơ sở của R3 ?

6.a) vì dim M = 2 < 3 nên M không là cơ sở của R3. a)
6.b) vì dim M = 4 > 3 nên M không là cơ sở của R3. b)
6.c) vì dim M = 3 nên M là cơ sở của R3 khi và chỉ khi
c) S3  1,1,1,1,1, 2,1, 2,3
M là ĐLTT
VD8: Định m để tập là hoặc
1 2 3 không là cơ sở của R3
det  2 3 4   0  M : PTTT  M không là cơ sở của R3.
a) V  2,1, 1,3, 2,5,1, 1, m
 3 4 5 
b)
6.d) vì dim M = 3 nên M là cơ sở của R3 khi và chỉ khi
M là ĐLTT c) B  2,1, 1,4, 2, 2,1, m 1, m
d) C  2,1, m,0, 2,1,1, m 1, m
1 1 3
det  1 2 2  5  M : ÐLTT  M là cơ sở của R3.

 2 1 2

CƠ SỞ & SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON

VD9:

Cơ sở & số chiều của kgvt con W SV tự kiểm tra lại W1 là kgvt con của R4

1. Chứng minh W là kgvt con là tập sinh của W1
2. Xác định số biến tự do của một vector

B1 1 1 0  h2 h1h2  1 1 1 0 
bất kỳ x trong W   
3. Biểu diễn các tọa độ của x theo các 1 1 0 1  0 2 1 1 

biến tự do    B  2  Nvector  B : ÐLTT
4. Biểu diễn x dạng tổ hợp tuyến tính
Vậy: B là cơ sở của W1 và
của các biến tự do, sau đó tìm được dim W1 = 2
tập sinh B
5. Chứng minh tập sinh B là ĐLTT, sau
đó kết luận B là cơ sở
6. Số chiều của kgvtc là số vector của B

VD10: Tìm cơ sở & số chiều của kgvt con

a) W1   x1, x2, x3, x4   R4 | x1  x2  x3  x4  x1  3x2  5x3  7x4  0 

b) W2   x1, x2, x3,0  R4  4 
f ) W6   x1, x2 , x3, x4   R | 2x1  4x3  2x4  0 

 3x1  2x2  8x3  7 x4  0
 

c) W3   x1, x2, x3, x4   R4 | x1  x2  x3

g)

 4 x1  x2  2x3 
d ) W4   x1, x2 , x3, x4   R |  
 x1  x2  2x4 

 4 x3  x1  x2  h)
e) W5   x1, x2 , x3, x4   R |  
 x4  x1  x2 

TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ  c11 ... c1n 

B  u1,...,un là cơ sở của V  cơ sở B B  u1,..., un, B '  u '1,...,u 'n PBB'   . ... . 
cơ sở B c c
  n1 ... nn 
v V  v  c1u1  ...  cnun 
là ma trận chuyển cơ sở
 vB  c1 ... cn  u '1  c11u1  c21u2  ...  cn1un từ B sang B’

 là vector tọa độ của v đối với  ..... vB  PBB' vB'
u 'n  c1nu1  c2nu2  ...  cnnun
  c1 


 vB   .  PBB'  B1B '
 c  Chú ý: đưa B và B’ về dạng ma trận cột
 n
 PB'B   PBB' 1   B1B '1  B '1 B
 là ma trận tọa độ của V trong
PBE  PBF PF E

VD  VD11: B   u1  0,1,u2  1,1   c11   1 01 1 1
v  2,3,vB  ?, vB  ? *     
B  e1  1, 0, e2  0,1 vB  PBE .vB 
1  c21   0 1 1 1

  c12   1 01  2   2  1 2   4  14 
 c1   0 1  2  *      
     VVDD12:: E  u1  1,1,u2  2,  3  c22   0    
1  3  3 1 3  5   11
 c2   1 1  3   4

 1 1  2  1  vE    , PBE  ?, vB  ?
      5
 1 03 2 

1  1 0 1 1 2  1 2 
PBE  B1E         8
 vB  1 2, vB   
 0 1  1 3 1 3
2

TÍNH CHẤT

 c1  c '1

 
x  y  ...
 c1   
   cn  c 'n PBB'   PBB' 1
xB   .    PB'B   PBB' 1
    c1  c '1 
 cn      PBB ''  PBB '.PB 'B''
  x  yB   . 
 c '1   c c'  9
y   .    n n

B      c1 
 c 'n 
  
 xB   . 
  
   cn 

VD13:

V.
VD14:

U.

Chương 4: KHƠNG GIAN EUCLIDE

Khơng gian hữu hạn chiều 
và tồn tại tích vơ hướng 
khơng gian Euclide Tính chất  u, v  x1 y1  ...  xn yn u 0

u, v, w V ,   R  u  u, u  x12  ...  xn2  u  0  u  0V
u  x1,..., xn     u   u
 Tích vơ hướng 
  duv  v  u  v  u, v  u  u,v  u v
u,v  v  y1,..., yn   
   y1  x1 2  ...   yn  xn 2  u  v  u  v
 
1. u, v  v,u
 u, v

cos 
 u.v

2. u  w, v  u, v  w, v Hệ vector trực chuẩn

3. u, v   v,u ,  R  ui , u j  0  ui  u j , i, j & i  j
S  u1,u2,...,un  
 ui  1,i
4. u,u  0, u,u  0  u  0V

11

1. u, v  v,u VD15: Chứng minh và u  u1,u2 , v  v1, v2   R2
2. u  w, v  u, v  w, v
3. u, v   v, u ,   R tính tích vơ hướng 
a)  u, v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2


u  1, 2, v  3,5  u, v  ?

4. u, u  0, u, u  0  u  0V u v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2 
1)  u v  u u
VD16: u u  v1u1  2v1u2  2v2u1 10v2u2 

Chứng minh hệ vector trực chuẩn 2) u  w v  u1  w1  v1  2u1  w1  v2  2u2  w2  v1 10u2  w2  v2

  1 1   1 1 1   u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2    w1v1  2w1v2  2w2v1 10w2v2 
b) S  u1  , 0,  ,u2  ,  ,  
 uv  wv
  2 2   3 3 3 

3) u v  u1  v1  2u1  v2  2u2  v1 10u2  v2 u1  0
* u1 u2  0   u 0, 0
   u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2    u v u2  0

* u1  1   ÐPCM 4) u u  u1u1  2u1u2  2u2u1 10u2u2  u12  4u1u2 10u22

 u1  2u2 2  6u22  0, u1,u2  R u1  2u2  0
* u2  1   u u 0

u2  0

* u v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2

 1.(3)  2.1.5  2(2).(3) 10.(2).5  81 12

VD17: Tích vơ hướng

Chứng minh các tích sau là tích vơ hướng

u   x1, x2 , x3 , v   y1, y2 , y3  u   x1, x2 , v   y1, y2  Tích vơ hướng ?
a)  b) 
 u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3  u, v  x1 y1  2x2 y2 f ) u, v  x1 y1  x3 y3
g ) u, v  x12 y12  x22 y22  x32 y32
u  a0  a1x  a2 x2 x,v g x h) u, v  2x1 y1  x2 y2  4x3 y3
 u  f  i) u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3
c)  v  b0  b1x  b2 x 2 

 d)  b
 u, v  a0b0  a1b1  a2b2  u,v  a f  x g  x dx

  x1 x2   y1 y2 
u   ,v   
e)   x3 x4   y3 y4 


 u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3  x4 y4

CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ (Gram-Schmidt) VD18: Tìm cơ sở trực chuẩn của cơ sở sau

Cơ sở tổng quát S  u1  0,1, 1,u1  1, 2, 0,u3  2,1,1

S  u1, u2 ,..., un v1  u1 v1  u1  0,1, 1
 u2 , v1
v2  u2  v1 v2  u2  u2, v1 v1  1, 2, 0  0  2  0 0,1, 1
 v1, v1
v1, v1 2


 u3, v1 u3, v2  1,1,1
v3  u3  v1  v2
v1, v1 v2 , v2 v3  u3  u3, v1 v1  u3, v2 v2


..... v1, v1 v2 , v2

 2,1,1  0.0,1, 1  0.1, 2, 0  2,1,1
giao vn  un  un , v1 v1 ...  un , vn1 vn1
Cơ sở trực chuẩn  v1, v1 vn1, vn1 S  0,1, 1,1,1,1,2,1,1

S  v1, v2,..., vn v1  1 1  v2  1 1 1 

e1    0, ,   , e2     , ,  
v1  2 2  v2  3 3 3 
e1  v1 , e2  v2 ,..., en  vn
v1 v2 vn v3  2 1 1 
e3    , ,   can 6
Cơ sở trực giao chuan
v3  5 5 5 

Se  e1, e2,..., en  1 1   1 1 1   2 1 1 
Se   0, ,   ,  , ,   , , ,  

 2 2   3 3 3   5 5 5 

14

VD19: Trong R2/R3 có tích vơ hướng Euclid. VD20:  1 1
x   , 
Áp dụng phương pháp G-S biến các   5 5
cơ sở thành cơ sở trực chuẩn Cho 
 2 3
a) S1  u1  1, 3,u2  2, 2 y  , 
  30 30 

Chứng minh x và y không trực chuẩn theo tích

b) S2  u1  1, 0,u2  3, 5 vơ hướng Euclid, nhưng trực chuẩn theo tích
vô hướng <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2.

u1  1,1,1, u2  1,1, 0, VD21:  Cho S   u1  1,1,1,u2  1,1,0,u3  1,0,0
c) S3   

u3  1, 2,1  u, v  u1v1  2u2v2  3u3v3

Áp dụng phương pháp G-S để đưa S về dạng
trực chuẩn với tích vơ hướng đã cho.

 S  1, x, x2


VD22: Trong P2 cho 
1
 p, q  1 p  x q  x dx
u1  1, 0, 0,u2  3, 7, 2,
d) S4    Áp dụng phương pháp G-S để đưa S về dạng
u3  0, 4,1
 trực chuẩn với tích vơ hướng đã cho.