Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12

Bài tập Đại số
I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
4.Cho k số không âm
1 2

, , ,
k
a a a
thoả
1 2
1
k
a a a =

Cm:
1 2 1 2

m m m n n n
k k
a a a a a a+ + + ≥ + + +
với
; ,m n m n N≥ ∈
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn:
2004 2004 2004
3x y z+ + =
.Tìm GTLN của biểu thức
3 3 3
A x y z= + +
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng
8 8 8 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
7.Cho số tự nhiên
2k ≥
.

1 2
, , ,
k
a a a
là các số thực dương
Cmr:
1 2
1 2
2 3 1

m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
aa a
a a a
a a a
− − −
+ + + ≥ + + +
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
+ + =
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z

A
y z x
= + +
9.Tìm GTNN của
20 20 20
11 11 11
x y z
A
y z x
= + +
với
1x y z+ + =
10.Cho n số thực
1 2
, , ,
n
x x x
thuộc đoạn
[ ]
, , 0a b a >
Cmr:
( )
( )
( )
2
1 2
1 2
1 1 1

4

n
n
n a b
x x x
x x x ab
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy
[ ]
2000;2001
i
x ∈
với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
n n
x x
x x x x
F
−
− −
= + + + + + +
12.Xét các số thực
1 2 2006
, , ,x x x

thoả
1 2 2006
, , ,
6 2
x x x
π π
≤ ≤
Tìm GTLN của biểu thức
( )
1 2 2006
1 2 2006
1 1 1
sin sin sin
sin sin sin
A x x x
x x x
 
= + + + + + +
 ÷
 
13.Cho n số dương
1 2
, , ,
n
a a a
Đặt :
{ } { }
1 2 1 2
min , , , , ax , , ,
n n

m a a a M M a a a= =
1 1
1
,
n n
i
i i
i
A a B
a
= =
= =
∑ ∑
.Cmr:
( )
1
B n m M A
mM
≤ + − 
 
Bài tập Đại số
14.Cho
0, 0, 1,
i i
a b i n≥ ≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2

n n

n
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
15.Cho
0, 1,
i
a i n≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 1 1 1
n
n
n n
a a a a a a+ + + ≥ +
16.Chứng minh
( )
1.2 1 1 1.2
n
n
n n+ ≥ +
với
2,n n N≥ ∈
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
sin sin sin

3
A B C
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C
3
os os os
2 2 2
A
c c c
   
 ÷ ÷ ÷
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
 ÷ ÷ ÷
   
3/
3

1 1 1 2
1 1 1 1
3
a b c
m m m R
   
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
   
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:
( )
4
4 4
4
3 3
b b c
a a a a b
x y z
 
   
+ + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
19.Cho
1

, 0, 0 1, ; 1
n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =
∑
. Cmr:

( )
1 2

m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
 
   
+ + + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
với m > 0
20.Cho
, , 0, 1a b c a b c> + + =

.Chứng minh rằng:
3
1 1 1
1 1 1 8
ab bc ca
   
− − − ≥
 ÷ ÷ ÷
   
21.Cho
[ ]
;∈x a b
.Tìm GTLN của biểu thức
( ) ( ) ( )
m n
F x x a b x= - -
với
*
,Νm n Î
22.Cho
0
2
;x
π
é ù
ê ú
Î
ê ú
ë û
.Tìm GTLN của biểu thức

( )
p
sin . os
q
F x x c x=
với
*
,Νp q Î
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức
( )
30 4 2004
, ,F a b c a b c=
24.Cho
, 0, 6x y x y+³ £
.Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
( ) ( )
2002
, . . 6F x y x y x y= - -
2/
( ) ( )
2002
, . . 4F x y x y x y= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +

+ +
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
acd abd abc bcd
a b c d
= + + + +
+ + +
27.Giả sử
1 2
, , ,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
n
i
i
i
x
x
=
=
å
+
. Cmr:
( )

1
1
1
n
i
n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £
Bài tập Đại số
29. Giả sử
1 2

, , ,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
x
=
=
å
.Cmr:
( )
1
1
1
1
n
i
n
i
i
x
x
n
=
£
Õ

-
-
30. (QG-98) Giả sử
1 2
, , ,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i
i
x
=
=
å
+
Cmr:
1 2
.
1998
1
n
n
x x x
n
³
-

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
a
=
<
å
Cmr:
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
1 1 1
n
n n
n n
a a a a a a
a a a a a a n
+
é ù
- + + +
æö

ë û
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr:
, 2n N n" γ
ta có
1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho
[ ]
, , 0;1x y z Î
.Cmr:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x+ + - + + £
35. Cho
[ ]
, , 0;2x y z Î
.Cmr:

( ) ( )
6 6 6 4 2 4 2 4 2
2 192x y z x y y z z x+ + - + + £
36.Cho
[ ]
1;2
i
x Î
với i=1,…,2000.Thỏa mãn
2000
1
2005
i
i
x
=
=
å
Tìm GTLN của
2000
3
1
i
i
A x
=
=
å
37.Chứng minh :
2 2 2

1 1 1
3.2a b c
ab bc ca
α α α
α
     
+ + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
Trong đó
, , , 0a b c
α
>
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
( )
2 2 2
P a x y z= + +
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
2 2 2 2
16
25
x y z xy a+ + + =
.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2 2 2
1
1
2

a b c d≤ + + + ≤
Tìm GTLN và GTNN của :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2P a b c b c d b a c d= − + + − + + − + −
41.Cho hàm số
( )
f x
thỏa mãn pt
( )
4 4
2 cotf tg x tg x g x= +
Cmr:
( ) ( )
sinx cosx 196f f+ ³
( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
4a b+ =
và
c+d=4
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=ac+bd+cd
2.Cho
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn

2 2
1a b+ =
và
c+d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4
+
≤
3(HSG-NA-2005)
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
1a b+ =
và
c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4
+
≤
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn :
2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13a b a b c d c d x y+ + = + + + = + = +
Tìm GTNN của
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P x a y b x c y d= − + − + − + −

Bài tập Đại số
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
6 10 34 10 14 74 6a b a b a b a b+ − − + + + − − + ≥
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr:
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a b a b a b c d ac bd c d c d+ − − + + + + + − − + + − + + ≥
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2
6; 1c d a b+ = + =
Cmr:
2 2
2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ −
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
( ) ( )
2 2 2 2
2 ; 4 1a b a b c d c d+ = + + = + −
Cmr:
( )
4 2 2 2 4 2 2a b c d− ≤ + + + ≤ +
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
5a b c d+ = + =
Cmr:
3 30
5 2 5 2 5
2
a b c d ac bd− − + − − + − − ≤

.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 ; 36 12a b a b c d c d+ + = + + + = +
Cm:
( )
( ) ( )
( )
6 6
2 2
2 1 2 1a c b d− ≤ − + − ≤ +
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥


+ ≤


≥ ≥


Cmr:
2 2
35
4 8 45
2
x y x y− ≤ + − − ≤
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
y x
− + − ≤


+ + ≥


− − ≥

Cm:
2 2
16
20
5
x y≤ + ≤
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi
α

ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11c c c c
α α α α
≤ + + − ≤ +
2.Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 12 2 3y x x x x= − + + − − + +
3.a)Chứng minh bất đẳng thức:
sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
π
 
+ ≥ ∀ ∈
÷

 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A B C
c c c+ + +
+ + >
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
[ ]

, 0;1a b ∈
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
x b a
x a b
a b x a x b
+ + + − − − ≤
+ + + + + +
với
[ ]
0;1x∀ ∈
5.Cho hàm số
2
2
os -2x+cos
x 2 os +1
x c
y
xc
α α
α
=
−
với
( )
0;
α π
∈

Chứng minh :
1 1;y x− ≤ ≤ ∀
Bài tập Đại số
6.Chứng minh
sin sin sin 2A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh
sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x
π
+
+ > < <
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện
( )
0,f x x≥ ∀
Cmr:
( ) ( ) ( )
( )
( )
, ,,
0,
n
f x f x f x f x x+ + + + ≥ ∀
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

1 1 1
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
A B C
 
+ + + ≤ + +
 ÷
 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
( ) ( )
1 1 5
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 2 6
c c c− +
.Chứng minh tam giác ABC đều
11.Cho
0
2
a b
π
< < <
.Chứng minh rằng :
( )
a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
12.Cho
a 1
0 q p q+1
≥



≤ ≤ ≤

.Chứng minh rằng
( )
( )
1
p q p q
a p q a a
+
− ≥ + −
13.Cho
π
< <0
2
x
.Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
 
>
 ÷
 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
( )
6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+ + + + + ≥
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa

2 2 2
1a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
( ) ( )
2 1
sin sin sin
3 3
A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
17.Cho
π
< <0
2
x
.Cmr:
3
1
2s inx
2
2 2 2

x
tgx
+
+ >
18Cho số nguyên lẻ
3n ≥
.Cmr:
0x∀ ≠
ta luôn có :
2 3 2 3
1 1 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
  
+ + + + + − + − + − <
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
19.với giá trị nào của m thì
3 3
sin os ,x c x m x+ ≥ ∀
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1
8

4
xy
x x y
≤
 
+ +
 ÷
 
21.Cho
0, 0x y≠ ≠
là hai số thực thay đổi thỏa mãn
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện
3
, ,
4
a b c ≥ −
Chứng minh ta có bất đẳng thức
2 2 2
9
10
1 1 1

a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
Bài tập Đại số
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
24.Tìm GTNN của
( )
2 2 2
3 1 1 1 2P x y z x y z
 
= + + + + + − + +
 ÷
 
25. Cho
, , 0a b c >
và

6a b c+ + =
. Cmr:
4 4 4 3 3 3
2( )a b c a b c+ + ≥ + +
26. Cho
, , 0a b c >
và
2 2 2
1a b c+ + =
. Cmr:
1 1 1
( ) ( ) 2 3a b c
a b c
+ + − + + ≥
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
2 2 2
9
4( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ +
+ + +
28. (Olp -2006)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6

5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
39.(Olp nhật 1997)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
+ + =


=


.
Tìm GTLN và NN của biểu thức
4 4 4
P x y z= + +
(QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện
( )
3
32x y z xyz+ + =
Tìm GTLN và GTNN của
( )
4 4 4
4
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn
a b c d≤ ≤ ≤
và
bc ad≤
.Chứng minh rằng
b c d a d a b c
a b c d a b c d≥
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện:
3 1 3 2x x y y− + = + −
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)

44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
( ) ( )
2 2
sin osg x f x f c x=
QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1g x f x f x x= - -Î
( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và
, 0; ;
2
π
a b a b
æ ö
÷
ç

Î ¹
÷
ç
÷
ç
è ø
Cmr:
sin sin
sina sin
sin sin
x b b
x a
x b b
+
æ ö æ ö
+
÷ ÷
ç ç
>
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
ln
a b a a b
a b b

− −
< <
2.Chứng minh rằng nếu
0
2
a b
π
< < <
thì
2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
− −
< − <
Bài tập Đại số
3.Chứng minh
( )
1
1 ; 0;1
2
n
x x x
ne
− < ∀ ∈
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
2 1
a b c

m m m
+ + =
+ +
.Chưng minh pt
2
0ax bx c+ + =
có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
( )
0;1
5.Cho pt bậc n:
1
1 1 0
0
n n
n n
a x a x a x a
−
−
+ + + + =
trong đó
1 1 0
0, , , ,
n n
a a a a
−
≠
là số thực thỏa mãn :
1 1
0

0
1 2
n n
a a a
a
n n
−
+ + + + =
+
.Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang
( )
0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn
( ) ( )
5 2 6 0c n a b+ + + =
Chứng minh pt :
sin cos sin 0
n n
a x b x c x c+ + + =
có nghiệm thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
7.Cho hàm số liên tục :
[ ] [ ]
: 0;1 0;1f →

có đạo hàm trên khoảng
( )
0;1
Thỏa mãn
( ) ( )
0 0, 1 1f f= =
.Chứng minh tồn tại
( )
, 0;1a b ∈
sao cho
a b
≠
và
( ) ( )
, ,
1f a f b =
8.Giải các pt sau :
a)
3 5 2.4
x x x
+ =
b)
osx osx
3 2 osx
c c
c− =
c)
( )
( )
osx osx

1 osx 2 4 3.4
c c
c+ + =
d)
2003 2005 4006 2
x x
x+ = +
9.Xét phương trình :
2 2
1 1 1 1 1

1 4 1 2
1 1
x x
k x n x
+ + + + + =
− −
− −
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là
n
x
b)Cmr dãy số
{ }
n
x
có giới hạn bằng 4 khi
n → +∞

(QG-A-2002)
10.Cho hàm số
( )
f x
và
( )
,
f x
đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
,với
( ) ( ) ( ) ( )
,
1 1
,
2 2
f a a b f b b a= - = -
Chứng minh rằng tồn tại
, ,α β δ
phân biệt trong
( )
;a b
sao cho
( ) ( ) ( )
1
, , ,
f f fα β δ =
11.Cho
[ ] [ ]

0 1 0 1: ; ;f ®
thoả mãn các điều kiện
( ) [ ]
0 0 1
,
; ;f x x> " Î
và
( ) ( )
0 0 1 1,f f= =
Cm:tồn tại dãy số
1 2
0 1
n
a a a< < <£ £
sao cho
( )
1
1
,
n
i
i
f a
=
³
Õ
(n là số nguyên dương
2n ³
)
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác

CMR:
3
4 6
abc abd bcd acd ab ac ad bd cd+ + + + + + +
£
Bài tập Đại số
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
( )
2
1 osxcos2x cosnx
khi x 0
0 khi x=0
c
f x
x
−

≠

=



tại x=0
b)
( )
ln osx
khi 0

x
0 khi 0
c
x
f x
x

≠

=


=

tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số :
( )
( )
2
khi 0
1 khi 0
bx
x a e x
f x
ax bx x
−

+ <

=



+ + ≥

có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số
( )
p cosx +qsinx khi 0
px+q+1 khi 0
x
f x
x
≤

=

>

Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH Đ Ơ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt :
3 2
2 3 6 16 2 3 4x x x x+ + + > + −
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
2 2
1
2
log 11 log ax 2 3.log ax 2 1 1 0
a a
x x

 
+ − + − + + ≤
 ÷
 
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
( )
2 2
1 5
log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0
a
a
x
 
+ + + + ≥
 ÷
 
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
( )
( )
2
2 2
1
3
3
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x a
x x
x x x a
− −

− +
− + + − + =
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt:
( ) ( )
2 2 2
3 1 9 2x a a x+ = − −
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
( )
( )
2
3
3
1
3 2 .3 8 4 log 3 3
2
x a a
x a x
 
+ − = − − −
 ÷
 
6. Tìm những giá trị của a để pt:
( )
2 2 4 2
15 2 6 1 3 2 0x m x m m− + − + =
có số nghiệm không nhiều
hơn số nghiệm của pt :
( )
( )
2

3 6 8
3 1 .12 2 6 3 9 2 0,25
x m m
a x x− + + = − −
7.Giải pt :
( )
3
3 2
3log 1 2logx x x+ + =
8.Giải hệ
5
2 3
4
tgx tgy y x
x y
π
− = −



+ =


9.Giải bất pt
( )
7 3
log log 2x x> +
Bài tập Đại số
10.Giải pt :
2 2

1 1
1
2 2
x x
a a
a a
   
+ −
− =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
với tham số
( )
0;1a ∈
11. Giải hệ:
(1)
1 1 8 (2)
tgx tgy y x
y x y
− = −



+ − = − +



12 Giải pt:
2

osx=2 +
tg x
e c
với
;
2 2
x
π π
 
∈ −
 ÷
 
13 Giải pt:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + =
14.Giải pt:
= + + +
3
3 1 log (1 2 )
x
x x
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
2
1 cosax x+ =
có đúng một nghiêm
0;

2
x
π
 
∈
 ÷
 
3.Cho hàm số
= − + + +( )( )y x x a x b
với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
với mọi
( )
∈ 0;1s
đều tồn tại duy nhất số thực
α α
 
+
> =
 ÷
 
1
0: ( )
2
s s
s
a b
f

(QG-A-2006)
4.Cho pt :

( )
2
cos2x= m+1 cos 1x tgx+
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn
0;
3
π
 
 
 
5.Tìm m để pt sau có nghiệm:
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 3 4 1 0m x m y m x y− + − + − + =
7.Tìm m để pt :
1 cos8
6 2cos 4
x
m
x
+
=
+
có nghiệm.
8.Tìm a đ pt :
2

2cos 2ax x+ =
đúng 2 nghiệm thuộc
0
2
;
π
é ù
ê ú
ê ú
ë û
9.Cho hàm số:
( )
2
2
x
sinx+
x
f x e= -
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt
( )
3f x =
có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt
( )
1
1
x
x
x x

+
= +
có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho
( ) ( )
3 2
x 0; 0f x ax bx c a= + + + = ¹
có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt:
( ) ( ) ( )
2
,, ,
2 0f x f x f x
é ù
- =
ê ú
ë û
có bao nhiêu nghiệm
Bi tp i s
b)Chng minh rng:
( )
3
3 2
27 2 9 2 3c a ab a b+ - < -
12.Cho pt :
2
0
2
2 2
n

tg x tg x tg x
ổ ử ổ ử
ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ
+ + + + + + =
ữ ữ
ữ
ỗ ỗ
ỗ
ữ ữ
ữ
ỗ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ
ố ứ ố ứ
( n l tham s)
a) Cmr v i mi s nguy ờn
2n
,pt c ú mt nghim duy nht trong khong
0
4
;

ổ ử
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.k ớ hiờ ng ú l
n
x
b)Cm dóy s (
n
x
) cú gii hn
13.Chng minh pt
( )
4 3 2
4 2 12 1 0f x x x x x= + - - + =
cú 4 nghim phõn bit
1 4; ,
i
x i =
v hóy tớnh tng
( )
2
4
2
1
2 1
1
i

i
i
x
S
x
=
+
=
ồ
-
VIII MT S BI TON V H PHNG TRèNH
1.Tỡm a ủeồ heọ sau coự nghieọm duy nhaỏt:
2 3 2
2 3 2
4 ax
x 4
y x x
y y ay

= +


= +


2. Tỡm m h pt sau cú nghim
2x+ y-1
2 1
m
y x m

=


+ =


3.Gii h
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=





=

4.Chng t rng vi mi
0a
thỡ h sau cú nghim duy nht
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
a
y x
x

= +




= +


5.Tỡm a h
sinx=a
sin
x
y
y

y a
x

+




+ =


cú nghim duy nht
0 2 ,0 2x y

< <
6.Gii h:

+ + + =


+ + + =


+ + + =


3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)

3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
7.Gii h:
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z

+ =


+ =


+ =


( QG A- 2006)
Bài tập Đại số

8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)

2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax

4 ax
n
x x x
x x x
x x x

= − +

= − +




= − +

6.Giải hệ:
( )
( )
2 1 2 2 1

2 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
− − + − +

+ = +



+ + + + =

( HSGQG 1999)
7.Giải hệ:
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
c y
y c
+ = +


+ = +


(THTT)

8.Gọi
( )
;x y
là nghiệm của hệ pt:
2 4
3 1
x my m
mx y m
ì
- = -
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
î
( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức
2 2
2A x y x= + -
,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức
Bài tập Đại số
4.
( )
, 1, ,
m n

i i
na m n ma i k+ − ≥ ∀ =
7.

( )
( )
1
2 1
2
1
1 2
2
* :

* :
* :

m
m n m n
n
m
m n m n
n
a
m n m n na ma
a
m n csi
a
m n n m ma na
a

− −
− −
> − + ≥
=
< − + ≥
20.
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca
abc
− − −
   
= − − − =
 ÷ ÷ ÷
   
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
4 4 4 2
a b c c a b

a b a b a b
ab
+ + + + + + + 
+ + + − −
 
− ≥ − = = ≥
Tương tự suy ra:
2
1 1 1 1
1 1 1
8
A
a b c
 
   
≥ + + +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
Mà:
3
3
3
1 1 1 1
1 1 1 1 4
a b c
abc
 
   

+ + + ≥ + ≥
 ÷
 ÷ ÷ ÷
   
 
Vậy:
( )
3
8A dpcm≥
26.
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c d
P
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
a b c d
   
= + + + + + + + + + +
 ÷  ÷
   
+ + +

2 2
1 1 1 1 1 1 1
*

1 1 1 1 1 1
*
*

A B C
A
ab ac ad bc bd cd
a d
B
ab ac ad bc bd cd
a b c d
C
bcd acd dab abc
= + +
= + + + + + +
+ +
= + + + + +
= + + +
Ta cm:
100, 96, 64 260A B C P≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
29.Đặt:
, 1, ,
1
i
i
i
x
X i n
x
= ∀ =
−
ta có
1
1

1
1
1 1
n
n
n
X
X
x x
X X
+ + = + + =
+ +
Từ đó suy ra:
( )
1 2
1
1 1 1
1 .
1 1
1
n
n
n
n X X X
X X
n
+ + = − ⇒ ≤
+ +
−
(đpcm)

30. Đặt:
, 1,
1998
i
i
x
X i n= ∀ =
.Ta có:
1
1 1
1
1 1
n
X X
+ + =
+ +
Từ đó suy ra:
( )
1
1
n
n
X X n≥ −
.vậy có (đpcm)
31.Đăt:
( )
1
1
1
1

1
; 1, , ;
1
n
i n
i n
a a
a
X i n X
a a a
+
− + +
= = =
− + +
Ta có:
1 1
1 1 1

1 1 1
n n
n
X X X
+
+ + + =
+ + +
.vậy
1
1 1
1

n
n n
X X X
n
+
+
 
≤
 ÷
 
Bài tập Đại số
38.

( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 1
2
z z
P a x y z x y a x y
xz yz xy
α α α
α
α
   
= + + = + + + + − +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
≥ + + −
Chọn
2
a
α
α
= −
39.

( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
16 16
1
25 2 2 25
16
2 2 1
2 25
z z
P x y z xy qx qy q x y xy
q
xz yz q xy
   
= + + + = + + + + − + +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
≥ + + − +
 
 
Chọn
( )
16 18
2 2 1
2 25 25
q
q q= − + ⇔ =
2
ax
5
6
M
a
P =
khi
3
3
5 3
a
x y
a
z


= = ±




= ±


39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk:
2 2 2 2
,a d c d= =
.với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
( )
( ) ( )
2 2 2 2
5 10
5 5
p
P p a d b c
p
+
≤ + + + +
Chọn p thỏa :
1 2 1 5
1
2
p
p p

p
+ +
+ = ↔ =
Vậy
( )
ax
5 3 5
2
m
P
+
=

43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi
( ) ( )
; , ;M a b N c d
Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn
2 2
4x y+ =
và đường
thẳng
4x y+ =
.Dễ thấy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 20 20ac bd cd a c b d MN− + + = − + − − = −
Mà

2
12 8 2MN ≥ −
nên
( )
2 8 8 2 4 4 2ac bd cd ac bd cd− + + ≥ − − ⇔ + + ≤ +
Vậy
axP=4+4 2m
khi
2; 2a b c d= = = =
2.và 3 tương tự
4.Gọi
( ) ( ) ( )
; , , , ;N a b Q c d M x y
Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
Bài tập Đại số
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 4 5 1, : 2 3 1C x y C x y− + − = − + − =
và đường thẳng
( )
∆
:
3 2 13 0x y− − =
Khi đó
P MQ MN= +
Gọi
1
,I R
và

2
,J R
lần lượt là tâm và bán kính của
( ) ( )
1 2
,C C
Lấy
( )
;K u v
đối xứng với I qua
( )
∆
thì
118 21
;
13 13
K
 
 ÷
 
( ) ( ) ( )
( )
1 2
2 13 1
P MQ MN MJ JQ MI IN MJ MK R R= + ≥ − + − = + − +
= −
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
1 1 1
, ,M M Q Q N N≡ ≡ ≡
.Trong đó

1 1
,M Q
là giao
Của JK với
( )
∆
và
( )
2
C
còn
( )
1 1 1
N M I C= ∩
Vậy
( )
min 2 3 1P = −
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 ost ost
cot
2t sin
c c
gt
t
+
> =
.và vì
cot cot 3 3
2 2 2

A B C
g cogt g+ + ≥
nên có đpcm
4.Hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
x b a
f x x a b
a b x a x b
= + + + − − −
+ + + + + +
với
[ ]
0;1x ∈
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
1
TH
:
( )
,
0f x =
VN Thì
( ) ( ) ( )
{ }
ax f 0 ; 1 1f x M f≤ ≤
2
TH
:
( )

,
0f x =
có nghiệm duy nhất
x
α
=
thì vì
( )
,
f x
đồng biến nên
α
là điểm
cực tiểu vì vậy
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
0;1
ax 0 ; 1 1
ax
f x m f f
m
= ≤
(đpcm)
8.Đặt
( ) ( ) ( )
( )
( )
,

n
F x f x f x f x= + + +
thì
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
, , ,

n
F x f x f x f x F x f x= + + + = −
(1)
vì f là đa thức bậc n nên
( )
( )
1
0
n
f x
+
=
.Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại
0
x
Thì
( )
,
0
0F x =
vậy từ (1) suy ra

( ) ( ) ( ) ( )
,
0 0 0 0
0F x F x f x f x= + = ≥
(đpcm)
12.
( )
( )
( )
( )
1 p+q 1 0
p q p q p q p q
a a a a p q a a
+ +
− ≥ − ↔ − + − − ≥
Hàm số:
( ) ( )
( )
1
p q p q
f x x p q x x
+
= − + − −
đồng biến trên
[
)
1;+∞
Và có
( )
1 0f =

nên từ
1a ≥
ta có (đpcm)
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của
( )
2 3
sin .f x x tgx x= −
Chú ý:
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2sin 2sinx+tgx 3
3 3
x tg x x+ ≥ >
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị
1
3
x =
là
Bài tập Đại số
( )
3 2
1y x x x x= − = −
23.
2
1
1
x

y
x x
+
=
− +
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
16 2 2 16
P x y z x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
t t
= + + = + + − + +
   

= + + − + + − + + − + +
   
   
= − − −
với t=xy + yz +zx
( ) ( )
2
4t x y z yz x x
x
= + + = − +
Vì
2
4 2 4
3 5;2
2 2 2
y z x x
yz x
x
+ − −
 
 
≤ = ⇔ ≤ ⇔ ∈ −
 ÷
 
 
do (0<x<4)
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có
( ) ( ) ( ) ( )

ln ln ln lnd b c a c a d b− − ≥ − −
(1)
Nếu
a c=
hoặc
d b=
thì hiển nhiên đúng
Xét
a c≠
và
d b
≠
.Khi đó (1)
( )
ln ln
ln ln ln ln
1
1 1
c d
c a d b
a b
c d
c a d b
a b
a b
− −
↔ ≥ ↔ ≥
− −
   
− −

 ÷  ÷
   
Xét hàm số :
( ) ( )
ln
, 1,
1
x
f x x
x
= ∈ +∞
−
nghịch biến trên
( )
1,+∞
Suy ra:
ln ln ln ln
1 1 1 1
c d c d
c d
a b a b
f f
c d c d
a b
a b
a b a b
   
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 ÷  ÷
       

   
− − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
44,45. Biểu diễn
sin 2 , os2xx c
theo cotgx ta được
( )
2
2
2 1
1
t t
f t
t
+ -
=
+
IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số
( )
2 2
3 2
2 sin 2 sin 2
sin os
2 2 3
n n
a x b x c
f x x cc x
n n

+ +
= - + -
+ +
8.a)
3 5 2 4 5 4 4 3.
x x x x x x x
+ = « - = -
(1) .Giả sử pt có nghiệm
x α=
Xét hàm số
( ) ( )
1 0,f t t t t
α
α
= + - >
có
( ) ( )
4 3f f=
.Do đó tồn tại
( )
3 4;c Î
Sao cho
( ) ( )
1
1
0
0 1 0
1
,
f c c c

α
α
α
α
α
-
-
é
=
é ù
ê
= « + - = «
ê ú
ê
ë û
=
ë
Bi tp i s
Th li thy
0x =
v
1x =
u tha món (1)
Vy pt cú hai nghim
0x =
,
1x =
b)
2 3 3 2 2
t

t=cosx 3
t t t
t t t- = ô - = -đ
. Gi s pt cú nghim
x =
Xột
( )
f t t t

= -
thỡ
( ) ( )
3 2f f=
suy ra pt
( )
0
,
f t =
cú nghim cú
nghim
( )
2 3;c ẻ
.
( ) ( )
( )
, 1 , 1
0
1 0
1

f tt f c c

- -
ộ
=
ờ
= - = - =đ
ờ
=
ở
c)t
1 1cos ,t x t= - ÊÊ

Ta cú pt:
( )
( )
( )
3 4
1 2 4 3 4 1 0
2 4
.
.
t
t t
t
t f t t+ + = ô = - - =
+
( )
( )

( )
( )
2
2
6 4 4
1 0 6 4 4 2 4
2 4
, ,
ln .
, ln .
t
t t
t
f t f t= - = ô = +
+
.õy l pt bc hai theo
4
t
nờn cú khụng quỏ hai nghim do ú pt
( )
0f t =
cú khụng quỏ 3 nghim
Ta thy
1
0 1
2
, ,t t t= = =
l 3 nghim ca pt
C) Xột
( )

2003 2005 4006 2
x x
f x x= + - -
cú o hm cp hai dng
V
( ) ( )
0 1 0f f= =
.vy pt cú hai nghim l 0 v 1
9)Vit li pt di dng
( )
2
1 1 1 1
0
2 1 4 1
1

n
f x
x x
n x
=- + + + + =
- -
-
(1)
D thy ,vi mi

*
n ẻ
hm
( )

n
f x
liờn tc v nghch bin trờn
( )
1;+ Ơ
Hn na
( )
n
f x + Ơđ
khi
1x
+
đ
v
( )
1
2
n
f x -đ
khi
x + Ơđ
.T ú suy ra
Vi mi

*
n ẻ
,pt(1) cú duy nht nghim
1
n
x >

Vi mi

*
n ẻ
,ta cú
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1 1
4
2
2 1 4 1
2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
1
0
2 2 1


n
f
n
k k n n
f x
n
=- + + + +

- -
-
ổ ử
ữ
ỗ
= - + - + - + + - + + -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
- - - +
=- < =
+
T ú, dohm
( )
n
f x
trờn
( )
1;+ Ơ
nờn
4
n
x <
vi mi

*
n ẻ
(2)

Mt khỏc hm
( )
n
f x
cú o hm trờn
[ ]
4,
n
x
nờn theo nh lớ Lagrange
Vi mi

*
n ẻ
tn ti
( )
4;
n
t xẻ
sao cho
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
4
1 4 1

4 9
1
1 4 1
, *

n n n
n
f f x
n
f t n
x
n t
t t
-
- - -
= = + + + < - " ẻ
-
-
- -
Hay
( ) ( ) ( )
1 1 9
4
2 2 1 4 9 2 2 1
* *
n
n
n x n
n x n
-

< - " > - "ẻị ẻ
+ - +
(3)
Bi tp i s
t (2) v (3) :
( )
9
4 4
2 2 1
*
,
n
x n
n
- < < " ẻ
+
suy ra
4lim
n
x =
(pcm)
III .NG DNG O HM TèM K PT Cể NGHIM
2.
( )
1 0
2
2
2
osx-1
ax osx , ;

x
c
c a f x x

ổ ử
ữ
ỗ
+ = = = " ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Tỡm min giỏ tr ca f(x) ta c a cn tỡm
3.Hm s
( ) ( )
y x x a x b=- + + +
cú min giỏ tr trờn
( )
0;+ Ơ
l
2
;
a b
ab
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Do ú ch cn cm:
1
2 2
s s
s
a b a b
ab
ổ ử
+ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,vi mi
( )
0 1;s ẻ
4
.

( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
m x m x m
x x
m
x x
- + + - - + - =
+ + - +
=
+ + - +
Chỳ ý:
2 2
3 1
1
2 2
x x
ổ ử ổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
.Do ú lng giỏc húa v a v n ph
2
t tg

=
Ri kho sỏt hm s thu c theo t
5.Tng t 4
10.
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 0ln ln
x
x
x x f x x x x x
+
= + = + - + =
Ta cú
( )
1 1 1 1 1 1
1 0
1 1
,
lnf x
x x x x x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + - - < - - <
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
vi x>0 vy f Nb
M
( )
1 2 0lnf = >
v
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1 1
1
1 1
ln ln
lim lim
ln ln
lim
x x
x
x
f x x x
x
x
x
+ Ơ + Ơđ đ
+

+ Ơđ
ộ ự
ổ ử
ữ
ỗ
ờ ỳ
= + + - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ộ ự
ổ ử
ờ ỳ
ữ
ỗ
= + - + = - Ơ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Kt hp f liờn tc trong
( )

0,+ Ơ
suy ra pt cú nghim dng duy nht .