MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM ĐIỂM CAO

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM

Sinh viên thực hiện
VATTHANA TAYXAYAVONG

MSSV: 2115020139
CHUYÊN NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN

KHÓA 2015 – 2019
Cán bộ hƣớng dẫn
ThS. PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

MỤC LỤC
Phần 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................1
1.2. Mục tiêu của đề tài ..................................................................................................1
1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................1
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................1

1.5. Đóng góp của đề tài ...............................................................................................2
1.6. Cấu trúc đề tài........................................................................................................2
Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ..............................................................................3
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO
KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY .................................................................................3
1.1. Số phức .....................................................................................................................3
1.1.1. Khái niệm số phức.................................................................................................3
1.1.2. Biểu diễn hình học số phức ...................................................................................3
1.1.3. Môđun của số phức................................................................................................3
1.1.4. Số phức liên hợp....................................................................................................4
1.2. Cộng, trừ và nhân số phức........................................................................................4
1.2.1. Phép cộng và phép trừ ...........................................................................................4
1.2.2. Phép nhân ..............................................................................................................4
1.3. Phép chia số phức .....................................................................................................4
1.4. Phƣơng trình bậc hai.................................................................................................4
1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm ...................................................................................4
1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực ......................................................................5
1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng ..............................................................5
1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác...............................................................................5
1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác .........................................................6
1.6. Các tính chất của số phức .........................................................................................6
1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp ....................................................8
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƢỜNG GẶP TRONG ĐỀ
THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM .....................................9
2.1. Dạng tốn về các phép toán trên số phức .................................................................9
2.2. Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó............................................................11

2.3. Dạng toán về tập hợp điểm.....................................................................................18
2.4. Dạng toán về phƣơng trình, hệ phƣơng trình ẩn số phức .......................................25
2.5. Dạng toán về dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng.......................................31

Phần 3. KẾT LUẬN ......................................................................................................36
Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................37

Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học tự nhiên phát triển tƣ duy cho học sinh, là môn học
rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc
sống hằng ngày của mỗi ngƣời.

Số phức đóng vai trị rất quan trọng trong toán học, sự xuất hiện của số , một
ký hiệu thơng dụng nhất trong tốn học, dẫn đến việc hình thành số phức với là
các số thực đã giải quyết rất nhiều vấn đề mà tập hợp số thực không giải quyết đƣợc..

Hiện nay, hầu hết các cấp học trung học phổ thơng và đại học trên thế giới đều
có giảng dạy liên quan đến số phức. Riêng ở Việt Nam, số phức đƣợc đƣa và giảng
dạy bậc trung học phổ thơng, trong sách giáo khoa giải tích 12, sau đó số phức cịn
xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia với mật độ xuất hiện chiếm
10% trong tổng số điểm của bài thi.

Nhằm mục đích sƣu tầm, phân loại, nêu ra các phƣơng pháp giải tƣơng ứng về
các dạng số phức thƣờng xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam, giúp
các em có sự chuẩn bị tốt hơn cho kì thi của mình; em chọn đề tài “Một số dạng toán
về số phức trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam” làm đề tài khóa luận của mình.
1.2. Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu : Các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam.
- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân.
1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng toán về số phức trong đề thi

THPT quốc gia Việt Nam.
- Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu lý thuyết về số phức
trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay và một số dạng toán về số
phức thƣờng gặp trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam.
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.
- Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp.
- Phƣơng pháp logic.
- Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia.

1

1.5. Đóng góp của đề tài
1.5.1. Về mặt lý luận

Tìm hiểu về lý thuyết số phức, các dạng toán về số phức trong đề thi THPT
quốc gia Việt Nam.
1.5.2. Về mặt lý luận

Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh
viên cũng nhƣ giáo viên.
1.6. Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm 2
chƣơng:

Chƣơng 1: Lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam
hiện nay.

Chƣơng 2: Một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong kỳ thi Trung học phổ

thông quốc gia ở Việt Nam.

2

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC
TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY
1.1. Số phức
1.1.1. Khái niệm số phức
Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó và là những số thực và số
thỏa i2  1. Kí hiệu số phức đó là và viết z  a bi . đƣợc gọi là đơn vị ảo,
đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phức z  a bi .
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau.

a  c
a  bi  c  di   .

b  d
1.1.2. Biểu diễn hình học số phức

y

bM

0 a x

Mỗi số phức z  a bi hoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực a;b Oxy.
Điểm M a;b trong hệ trục tọa độ vng góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu

diễn số phức z  a bi .

1.1.3. Môđun của số phức

y

bM

0 a x

3

Giả sử số phức z  a bi đƣợc biểu diễn bởi điểm M a;b trên mặt phẳng tọa

độ
Độ dài của vectơ OM đƣợc gọi là mơđun của số phức z và kí hiệu là z .

z = OM hay a bi = OM .

Dễ thấy: a  bi  a2  b2 .

1.1.4. Số phức liên hợp
Cho số phức z  a bi . Ta gọi a bi là số phức liên hợp của và kí hiệu là

z  a bi.
1.2. Cộng, trừ và nhân số phức
1.2.1. Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa
thức. Cho hai số phức z  a bi và z  cdi ta có:

z  z  a  bi  c  di  a  c  b  d i.

z  z  a  bi  c  di  a  c  b  d i.

1.2.2. Phép nhân
Phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay

i2  1 trong kết quả nhận đƣợc. Cho hai số phức z  a bi và z  c di ta có:

z.z  a bi.c  di  ac bd   ad bci.

1.3. Phép chia số phức
Chia số phức c  di cho số phức a  bi khác 0 là tìm số phức sao cho

c  di  a  bi z . Số phức đƣợc gọi là thƣơng trong phép chia c  di cho a  bi và kí

hiệu là:

z  c  di a  bi  c  dia bi a  bia bi  a2 b2 ac  bd   i ad bc .

1.4. Phƣơng trình bậc hai
1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm

Tƣơng tự căn bậc hai của số thực dƣơng, từ đẳng thức i2  1, ta nói là một

căn bậc hai của 1; cũng là một căn bậc hai của 1, vì i2  1. Từ đó, ta xác

định đƣợc căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:
Căn bậc hai của -2 là ±i 2 vì (±i 2 )2 = -2;

4

Căn bậc hai của -3 là ±i 3 vì (±i 3 )2 = -3;
Căn bậc hai của -4 là ±i 4 vì (±i 4 )2 = -4.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là i a .

1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực
Cho phƣơng trình ax2  bx  c  0 với a,b,c  , a  0 . Xét biệt thức   b2  4ac

của phƣơng trình. Ta thấy:
Khi ∆ = 0, phƣơng trình có một nghiệm x  b .
2a
Khi ∆ > 0, có hai căn bậc của ∆ là   và phƣơng trình có hai nghiệm thực

phân biệt, đƣợc xác định bởi công thức
x1,2  b   .
2a

Khi ∆ < 0 phƣơng trình khơng có nghiệm thực vì khơng tồn tại căn bậc hai thực
của ∆.

Tuy nhiên, trong trƣờng hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn
bậc hai thuần ảo của ∆ là i  . Khi đó, phƣơng trình có hai nghiệm phức xác định

bởi cơng thức
b  i 

x1,2  2a .
1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng
1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác

Acgumen của số phức z  0:

y

M(a+bi)

r

φ

O x

Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số . Số đo
(rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của
z.

5

* CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng
  k2 , k  (Ngƣời ta nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k2 ,k  . )

Dạng lượng giác của số phức:

Dạng z  r cos  i sin, đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức z  0 ,

trrong đó r > 0,  là acgumen của z .

1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác

Nếu z  r cos  i sin, z  rcos i sin(r  0,r  0) thì

zz  rr cos    i sin    ,

z  r cos   isin  (r  0)

zr

1.6. Các tính chất của số phức

Cho số phức

Tính chất 1: Số phức là số thực  =̅

Chứng minh:

Ta có: z  z  a bi  a bi b  0  z  a . Vậy là số thực.

Tính chất 2: Số phức là số ảo  z  z .

Chứng minh:

Ta có: z  z  . Vậy là số ảo.

Tính chất 3: Cho số phức có số phức liên hợp là z và module là z . Khi đó:

z.z  z 2 .

Chứng minh: Ta có:

.z = ( )( ) (1)

z 2 =  a2  b2  = (2) 2

Từ (1) và (2) suy ra z.z  z 2

Tính chất 4: z1  z2  z1  z2 .
Chứng minh:

z1  z2  (a1  a2)  (b1  b2)i  (a1  a2)  (b1  b2)i . (1)

z1  z2  a1 b1i  a2 b2i  (a1  a2)  (b1  b2)i . (2)

Từ (1) và (2) suy ra z1  z2  z1  z2 .

6

Tính chất 5: z1z2  z1.z2 .
Chứng minh:
z1.z2  (a1  b1i)(a2  b2i)  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i . (1)

z1.z2  (a1 b1i)(a2 b2i)  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i . (2)

Từ (1) và (2) suy ra z1z2  z1.z2 .

Tính chất 6: ( z1 )  z1 .
z2 z2

Chứng minh:

( z1 )  ( a1  b1i )  ( 2 2 (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i )  2 2 a1a2  b1b2  2 2 a1b2  a2b1 i . (1)
z2 a2  b2i a2  b2 a2  b2 a2  b2

z1  a1  b1i  (a1  b1i)(a2  b2i)  2 2 a1a2  b1b2  2 2 a1b2  a2b1 i . (2)
z2 a2  b2i (a2  b2i)(a2  b2i) a2  b2 a2  b2

Từ (1) và (2) suy ra ( z1 )  z1 .
z2 z2

Tính chất 7: z1z2  z1 z2 .

Chứng minh:

z1z2  (a1  b1i)(a2  b2i)  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i
 z1z2  (a1a2  b1b2 )2  (a1b2  a2b1)2  (a1a2 )2  (a1b2 )2  (a2b1)2  (b1b2 )2 , (1)
z1 z2  a12  b12 . a22  b22  (a1a2 )2  (a1b2 )2  (a2b1)2  (b1b2 )2 , (2)

Từ (1) và (2) suy ra z1z2  z1 z2 .

Tính chất 8: z1  z1 .
z2 z2

Chứng minh:

z1  a1  b1i  (a1  b1i)(a2  b2i)  2 2 (a1a2  b1b2 )  (a2b1  a1b2 ) i
z2 a2  b2i (a2  b2i)(a2  b2i) a2  b2

 z1  ( 2 2 a1a2  b1b2 )2  ( 2 2 a2b1  a1b2 )2  (a12  b12 )(a22  b22 )  a12  b12 , (1)
z2 a2  b2 a2  b2 (a22  b22 )2 a22  b22

z1  a12  b12  a12  b12 , (2)
z2 2 2 a22  b22

a2  b2

Từ (1) và (2) suy ra z1  z1 .
z2 z2

7

Tính chất 9: z1  z2  z1  z2 .

Chứng minh:

z1  z2  z1  z2  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2  a12  b12  a22  b22
 (a1  a2 )2  (b1  b2 )2  a12  b12  a22  b22  2 (a12  b12 )(a22  b22 )
 2a1a2  2b1b2  2 (a12  b12 )(a22  b22 )
2 2  2 2 2 2

 4a1a2   8a1a2b1b2  4b1b2   4 a1a2   a1b2   b1a2   b1b2  
 2a1b2 2  8a1a2b1b2  2b1a2 2  0
 2a1b2  2b1a2 2  0.

1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp
Đƣờng thẳng:

song song hoặc trùng trục ảo .

song song hoặc trùng trục thực .

( )

Đƣờng tròn:  x  x0 2   y  y0 2  R2 có tâm I(x0; y0) bán kính R.

Hình trịn  x  x0 2   y  y0 2  R2 có tâm I(x0; y0) bán kính R.

x2 y2
Hình elip 2  2  1.

ab

x2 y2
Đƣờng hyperbol: 2  2 1.

ab

Đƣờng parabol y2  2px(p  0).

8

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƢỜNG GẶP

TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM

2.1. Dạng toán về các phép toán trên số phức

Nhận dạng: Đây là các bài toán về thực hiện các phép tính trên số phức.

Phƣơng pháp: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số

phức. Với dạng này, dù là tính tốn trên số phức, nhƣng thật ra khơng khác gì với phép

tính trên tập số thực mà học sinh đã đƣợc học từ những ngày đầu tiên đến trƣờng. Chỉ

khác là, ngƣời học hãy xem số phức là một kí hiệu mà bình phƣơng bằng âm 1.

Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116)

Cho hai số phức z1  4  3i và z2  73i . Tìm số phức z  z1  z2 .

Bài giải:

Theo đề, ta có:

z  z1  z2  (43i) (73i)  (47) (33)i  36i.

Vậy

Bài 2.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)

Cho hai số phức z1  2  3i và z2  45i . Tìm số phức z  z1  z2 .

Bài giải:

Theo đề, ta có:

z  z1  z2  (23i) (45i)  (24) (35)i  22i

Vậy z = -2 – 2i.

Bài 3.(Trích đề thi thử THPTSGD Nam Định - năm 2017-2018)

Cho hai số phức z1  1 2i và z2  3  i . Tìm số phức z  z2 .

z1

Bài giải:

Theo đề, ta có:

z  z2  3i  (3i)(1 2i)  1  7 i.
z1 1 2i 5 55

Vậy z  1  7 i
55

Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018)

Cho hai số phức z1  1 i và z2  23i . Tìm số phức liên hợp của số phức

w  z1  z2 .

9

Bài giải:
Theo đề, ta có:

w  z1  z2  (1 i)  (2 3i)  (1 2)  (13)i  3 2i.
 w  3 2i.
Vậy w  3 2i.
Bài 5. (Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Nguyên lần 3 năm 2017-2018)
Cho hai số phức z1  22i và z2  33i . Tìm số phức w  z1  z2 .

Bài giải:

Theo đề, ta có:

w  z1  z2  (22i) (33i)  (23) (23)i  55i.
Vậy w  z1  z2  55i.
Bài 6. Tìm số phức cho bởi z  13i .

3 i
Bài giải:
Ta có:
1 3i (1 3i)(3  i) 6 8i 3 4
z  3  i  32  (1)2  10  5  5 i.
Vậy z  3  4 i.
55
Bài 7. Xét đa thức f (z)  z2 (34i)z 15i . Tính f (z0 ) với z0  2  3i.

Bài giải:

Ta có:

f (z0)  (2  3i)2  (3  4i)(2  3i) 1 5i  4 12i  9  (6 17i) 1 5i  0.

Vậy f (z0)  0.

Nhận xét: Thay z0 vào đa thức rồi giải nhƣ phƣơng pháp trên.
Bài 8. Tính T 1 i  i2  i3  i4  ... i2012.

Bài giải:

Ta có: 1i2013  (1i)(1i i2 i3 ...i2012).

Mà 1i2013 2 1006 1 i.

1(i ) i

Nên 1 i  i2  i3  ...  i2012  1.

Vậy T = 1.

Nhận xét: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán.

10

Bài 9. Tính A  (1i)2012.

Bài giải:

Ta có: 2012 2 1006 1006 1006 2 503 1006
A (1i) [(1i) ]  (2i)  2 .(i )  2 .

1006

Vậy A  2 .

i5  i7  i9  ...  i2009
Bài 10. Tính giá trị biểu thức sau: P  4 5 6 2010 .
i  i  i  ... i

Bài giải:

1 (i2 )1003

Ta có: i5  i7  i9  ...  i2009  i5(1 i2  i4  ... i2004 )  i 1 i2 5  i.

2007 2 1003
1 i 1 i.(i ) 1 i
Và i4  i5  i6  ...  i2010  i4 (1 i  i2  ...  i2006 )  i4  .
1i 1i 1i

i5  i7  i9  ...  i2009 i(1 i)
Suy ra P  4 5 6 2010   1.
i  i  i ... i 1 i

Vậy P = -1.

Nhận xét: Biến đổi về dạng cấp số cộng rồi sử dụng cơng thức cấp số cộng để

giải bài tốn tính biểu thức.

2.2. Dạng tốn về số phức và thuộc tính của nó.
Nhận dạng: Dạng này gồm các bài toán về: Xác định phần thực, phần ảo của số

phức; Hãy biểu diễn hình học số phức; Tính mơđun của số phức; Tìm số đối của số
phức; Tìm số phức liên hợp; Tìm số phức nghịch đảo; Ứng dụng sự bằng nhau của hai
số phức để tìm các số phức.

Phƣơng pháp: Sử dụng các tính chất về số phức liên hợp, môđun của số phức,
số phức nghịch đảo, hai số phức bằng nhau để giải bài toán.

Bài 1. (Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối B)

Tìm số phức thỏa mãn: z (2i)  10 và z.z  25.

Bài giải:

Gọi z  x  yi, x, y    z  x  yi.

Theo đề ta có: z (2i)  10

  x – 22   y – 12  10

 x  22   y 12 10. (1)

Lại có: z.z  25   x  yix  yi  25

11

 x2  y2  25. (2)

Giải hệ (1) và (2) ta đƣợc ( ) ( ) hoặc ( ) ( )

Vậy hoặc

Bài 2. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối A)

Tìm phần ảo của số phức biết z  ( 2  i)2.(1 2i) .

Ta có: ( 2  i)2 = 1 + 2 2i. Bài giải:

=> z  ( 2  i)2.(1 2i) = (1 + 2 2i )(1 2i ) = 5  2i.

Suy ra: z = 5  2i.

Vậy phần ảo của số phức z bằng  2.
Bài 3. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối D)

Tìm số phức thỏa mãn: z  2 và là số thuần ảo.

Bài giải:

Gọi z  a  bi,a,b 

Ta có:

z  a2  b2 và

Theo đề ta có:

z  2 = a2  b2 => (1)

Có là số thuần ảo nên (2)

Giải hệ gồm (1) và (2) ta đƣợc:

a;b 1;1;1;1;1;1;1;1.

Vậy các số phức cần tìm là

z1 1i; z2 1i; z3  1i; z4  1i .

Bài 4.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối A)

Tìm số phức thỏa mãn: z2  z 2  z .

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b   z  a bi

  Ta có: z2  z 2  z  a  bi2  a2  b2  2 a  bi

12

 a2  b2  2abi  a2  b2  a  bi

a2  b2  a2  b2  a


2ab  b
a  2b2

b(2a 1)  0

1 1 1 1
a ; b  0 ; 0; a ; b   ( ; );a ; b   ( ; ).
22 22

Vậy hoặc z  1  1 i hoặc z  1  1 i.
22 22

Bài 5.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối B)

Tìm số phức biết z  5  i 3 1  0.

z
Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b  và a2  b2  0  z  a bi

Ta có: z  5  i 3 1  0  a  bi  5  i 3 1  0
z a  bi

 a2 b2 5i 3  a bi  0

 (a2  b2  a  5)  (b  3)i  0

 a2  b2  a  5  0 
b  3  0

 a2  a  2  0 
b   3

 (a;b)  (1;  3);(a;b)  (2;  3).

Vậy z  1i 3 hoặc z  2  i 3.
Bài 6. (Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối D)
Tìm số phức , biết z  (2  3i)z 1 9i .

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b   z  a bi

Ta có:

z  (2  3i)z  1 9i  a  bi  (2  3i)(a  bi)  1 9i

13

 a  3b  (3a  3b)i  1 9i

a  3b  1


3aa  3b  9

a  2
 .
b  1

Vậy

Bài 7.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối A)

Cho số phức thỏa 5(z  i)  2  i . Tính mơđun của số phức w 1 z  z2 .
z 1

Bài giải:

Đặt z  a bi,a,b , z  1  z  a bi.

Theo đề ta có: 5(z  i)  2  i
z 1
 (3a  b  2)  (a  7b  6)i
3a  b  2  0


a  7b  6  0
a 1
 .
b  1

Do đó, z 1i

Suy ra: w  1 z  z2  11 i  1 i2  2  3i.

Vậy w  23i  13.

Bài 8. (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D)

Cho số phức thỏa (2  i)z  2(1 2i)  7 8i . Tính mơđun của số phức
1 i

w  z 1i.

Bài giải:

Theo đề ta có:

(2  i)z  2(1 2i)  7  8i  (2  i)z  4  7i  z  3 2i
1i

Do đó,

w  z 1i  32i 1i  43i

 w  42  32  5

Vậy w  5.

14

Bài 9.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối D)
Cho số phức z thỏa điều kiện (1 i)(z i)  2z  2i . Tìm mơđun của số phức

z  2z 1 Bài giải:
w 2 . (1 i)(z  i)  2z  2i  (3  i)z  1 3i  z  i

z
Ta có:

Suy ra z  i.
Do đó

z  2z 1 (i)  2.i 1
w 2  2  1 3i.
z (i)

Vậy môđun của w là w  (1)2  32  10.

Bài 10. ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối A)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  (2  i)z  3  5i . Tìm phần ảo, phần thực
của .

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b   z  a bi.

Ta có: z  (2  i)z  3  5i  a  bi  (2  i)(a  bi)  3  5i
 (3a  b)  (a  b)i  3  5i

3a  b  3


a  b  5

a  2
 .
b  3

Do đó, z  2  3i.

Vậy số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng -3.

Bài 11. ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối B)

Cho số phức thỏa mãn điều kiện 2z  3(1 i)z 1 9i . Tìm mơđun của số phức .

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b   z  a bi

Theo đề ta có: 2z  3(1 i)z  1 9i

15

 2(a  bi)  3(1 i)(a  bi)  1 9i
 (5a  3b)  (3a  b)i  1 9i

5a  3b  1


3a  b  9
a  2
 .
b  3
 z  2  3i.

Do đó z  22  32  13.

Vậy môđun của là z  13.
Bài 12. ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối D)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện (3z  z)(1 i)  5z  8i 1. Tìm mơđun của số
phức .

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b   z  a bi

Ta có: (3z  z)(1 i)  5z  8i 1

 [3(a  bi)  (a  bi)](1 i)  5(a  bi)  8i 1
 (3a  4b)  (2a  b)i  8i 1

3a  4b  1 a  3
  .  z  32i.

2a  b  8 b  2

Do đó  32  (2)2  13.

Vậy mơđun của là z  13.

Bài 13. (Trích đề thi đại học năm 2015-2016)

Cho số phức 1– i z –15i  0 . Tìm phần thực, phần ảo của số phức .

Bài giải:
Theo đề ta có:

1– i z –1 5i  0
 1– i z  1 5i

 z  1 5i  3  2i.
1 i

Vậy số phức có phần thực là 3 và phần ảo là -2.
Bài 14. (Trích đề thi đại học năm 2016-2017)
Cho số phức z 1 2i . Tìm phần thực, phần ảo của số phức w  2z  z

16

Bài giải:

Theo đề ta có:

z 1 2i  z 1 2i.

Lại có:

w  2z  z  2(1 2i)  (1 2i)  3  2i.

Vậy số phức w có phần thực là 3 và phần ảo là 2.
Bài 15.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116)
Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  2i  2 2 và (z 1)2 là số thuần ảo.

Bài giải:

Đặt z  a  bi,a,b 

Theo đề ta có:

z2i 2 2
 a  bi  2  i  2 2
 (a  2)2  (b 1)2  2 2
 (a  2)2  (b 1)2  8.

Và (z 1)2  (abi 1)2  (a2 2ab2 1) 2(abb)i.

Mà (z 1)2 là thuần ảo nên (a2 2a b2 1)  0 (a 1)2  b2.

Nhƣ vậy giả thiết tƣơng đƣơng với

(a  2)2  (b 1)2  8 .

(a 1)  b2 2

Giải hệ trên ta đƣợc ba nghiệm:

( ) (0;1);(1 3;2 3);( 3 1;2 3).

Vậy có ba số phức thỏa u cầu bài tốn là

, = 1 3  (2  3)i , z  3 1 (2  3)i.

Bài 16. ( Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP-Hà Nội-Lần 1- năm 2017-2018)
Cho số phức z 1i . Số phức nghịch đảo của

Bài giải:
Ta có: z 1 i  1  1  1i .

z 1i 2
Vậy số phức nghịch đảo của là 1  i .

22

17