Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn dãy số

Lời nói đầu
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chuyên toán ở các
trường THPT chuyên. Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toán
khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp quốc gia, khu vực, quốc
tế, Olympic 30/04 và Olympic toán Sinh viên. Các dạng toán về dãy số rất phong phú
và đa dạng và cũng rất phức hợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên
đề riêng biệt. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập tới một số vấn đề cơ bản của
dãy số liên quan đến chương trình toán bậc trung học phổ thông. Nội dung của đề tài:"
Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn của dãy số" là hệ thống lại một số
phương pháp giải các bài toán về dãy số, ứng dụng dãy số trong giải một số bài toán
và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số. Để giải quyết được các bài toán này,
ta cần những kiến thức tổng hợp về dãy số, tính chất của dãy số, giới hạn của dãy
số, Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng bài toán minh họa,
tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên.
Bố cục luận văn gồm 4 chương.
• Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định
nghĩa và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp
dụng.
• Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán tìm công thức số hạng
tổng quát của dãy số.
Mục đích của chương này trình bày các phương pháp tìm công thức số hạng tổng
quát của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác, phương
pháp sử dụng phương trình sai phân và tính chất của hàm số, kỹ thuật tuyến
tính hóa một số phương trình sai phân.
• Chương 3. Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số.
Chương này hệ thống một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số như: phương
pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy, xác định số hạng tổng quát rồi
tính giới hạn, phương pháp sử dụng tính đơn điệu, nguyên lý giới hạn kẹp, phương
pháp sai phân, phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro.
• Chương 4. Một số ứng dụng của dãy số.

Chương này trình bày một số ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bất
phương trình hàm, để chứng minh bất đẳng thức và một số phương pháp thiết
lập bài toán mới về dãy số.
1
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.NGND.
Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các
thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tạo điều
kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa
học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất. Vì vậy, tác giả
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng
nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2013
2
Bảng kí hiệu
N tập các số tự nhiên
N
∗
tập các số tự nhiên khác không
Z tập các số nguyên
Z
+
tập số nguyên không âm

Z
∗
+
tập số nguyên dương
R tập số thực
R
∗
tập số thực khác không
R
+
tập số thực không âm
R
∗
+
tập số thực dương
C tập số phức
3
Mục lục
Lời mở đầu 1
Bảng kí hiệu 3
1 Cơ sở lý thuyết 1
1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Cấp số điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.6 Dãy số dạng x
n+1

= f(x
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.7 Dãy số dạng x
n+1
= x
n
± (x
n
)
α
và định lý trung bình Cesaro . . 7
1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Một số phương pháp giải bài toán tìm công thức số hạng tổng quát
của dãy số 16
2.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Một số định lý bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Một số bài toán được định hướng bởi các công thức lượng giác . 21
2.3 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Một số bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Tuyến tính hóa một số phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số 43
3.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . 43
3.2 Phương pháp xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn . . . . . . . 46
3.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Phương pháp sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4
3.6 Phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro . . . . . . . . . . 68
4 Một số ứng dụng của dãy số 71
4.1 Ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bất phương trình hàm 71
4.2 Ứng dụng của dãy số để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . 75
4.3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số . . . . . . . . . . 81
4.3.1 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình . . . . . . 81
Kết luận 85
Tài liệu tham khảo 86
5
Chương 1
Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định nghĩa
và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.
1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản
Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự
nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu
u : M → R
n → u(n)
ta thường dùng ký hiệu (u
n
)
n∈M
, {u
n
}
n∈M

, (u
n
) hay {u
n
}.
Định nghĩa 1.2 ([1]-[3]). Cho dãy u
n
, n ∈ N .
• Dãy u
n
được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu u
n
≤ u
n+1
∀n ∈ N.
• Dãy (u
n
) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu u
n
≥ u
n+1
∀n ∈ N.
• Dãy (u
n
) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu u
n
< u
n+1
∀n ∈ N.
• Dãy (u

n
) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu u
n
> u
n+1
∀n ∈ N.
Nhận xét 1.1. • Nếu (x
n
) tăng, (y
n
) tăng thì (x
n
+ y
n
) tăng .
• Nếu (x
n
) giảm, (y
n
) giảm thì (x
n
+ y
n
) giảm.
• Nếu (x
n
) tăng thì (−x
n
) giảm. Và nếu (x
n

) giảm thì (−x
n
) tăng.
• Nếu hai dãy dương (x
n
), (y
n
) cùng tăng (giảm) thì (x
n
y
n
) tăng (giảm).
• Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ x
n
= (−1)
n
∀n ∈ N.
1
Định nghĩa 1.3 ([1]-[3]). Cho dãy số (x
n
) n ∈ N.
• Dãy (x
n
) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho
x
n
≤ M ∀n. (1.1)
• Dãy (x
n
) được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số m sao cho

x
n
≥ m ∀n. (1.2)
Các số M thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên của dãy số, số bé nhất trong các cận
trên được gọi là cận trên đúng của (u
n
), ký hiệu sup
n
u
n
. Các số m thỏa mãn (1.2) được
gọi là cận dưới của dãy số, số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng
của (u
n
), ký hiệu inf
n
u
n
.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được goi là dãy bị chặn.
Định lý 1.1. Dãy (u
n
) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho
|u
n
| ≤ c ∀n.
Định nghĩa 1.4 ([1]-[3]). Dãy số {u
n
} được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộng tính)
nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho

u
n+l
= u
n
, ∀n ∈ N. (1.3)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kì cơ sở của
dãy.
Dãy {u
n
} được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương
l sao cho
u
n+l
= −u
n
, ∀n ∈ N. (1.4)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kì cơ sở của
dãy.
Nhận xét 1.2. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng.
Định nghĩa 1.5 ([1]-[3]). Dãy {u
n
} được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại
số nguyên dương s (s > 1) sao cho
u
sn
= u

n
, ∀n ∈ N. (1.5)
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {u
n
} thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kì cơ sở
của dãy tuần hoàn nhân tính. Dãy {u
n
} được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính
nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho
u
sn
= −u
n
, ∀n ∈ N. (1.6)
2
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {u
n
} thỏa mãn (1.6) được gọi là chu kì cơ sở
của dãy phản tuần hoàn nhân tính.
Nhận xét 1.3. • Dãy phản tuần hoàn chu kì l là dãy tuần hoàn chu kì 2l.
• Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kì s là dãy tuần hoàn chu kì s
2
Định nghĩa 1.6. Dãy số (u
n
) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim
n→∞
u
n
= a, nếu với mọi
ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n

0
sao cho với mọi n ≥ n
0
đều có |u
n
− a| < ε,
tức là
lim
n→∞
u
n
= a ⇔ ∀M > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n > n
0
, |u
n
− a| < ε.
Định lý 1.2 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Định lý 1.3 (Tính thứ tự của dãy hội tụ). Cho lim
n→∞
x
n
=  và a ∈ R. Khi đó
• Nếu a >  thì ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ a > x
n

.
• Nếu a <  thì ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ a < x
n
.
Định lý 1.4 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho lim
n→∞
x
n
=  và a ∈ R.
Khi đó
• Nếu ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ x
n
≥ a thì  ≥ a.
• Nếu ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ x
n
≤ a thì  ≤ a.
Định lý 1.5 (Định lý giới hạn kẹp giữa). Cho ba dãy số (x
n

), (y
n
), (z
n
) thỏa mãn
• ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ z
n
≤ x
n
≤ y
n
.
• Các dãy (y
n
), (z
n
) cùng hội tụ đến .
Khi đó dãy (x
n
) hội tụ và lim
n→∞
x
n
= .
Định lý 1.6 (Tính chất đại số của dãy hội tụ). Cho hai dãy hội tụ (x
n

), (y
n
) và
lim
n→∞
x
n
= a; lim
n→∞
y
n
= b. Khi đó
• Dãy (−x
n
) hội tụ và lim
n→∞
(−x
n
) = −a.
• Dãy (|x
n
|) hội tụ và lim
n→∞
|x
n
| = |a|.
• Dãy (x
n
+ y
n

) hội tụ và lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = a + b.
• Dãy (x
n
− y
n
) hội tụ và lim
n→∞
(x
n
− y
n
) = a −b.
3
• Dãy (kx
n
) hội tụ và lim
n→∞
(kx
n
) = ka.
• Dãy (x
n
· y
n

) hội tụ và lim
n→∞
(x
n
· y
n
) = ab.
• Với b = 0 thì dãy (
1
y
n
) được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ và
lim
n→∞
(
1
y
n
) =
1
b
.
• Với b = 0 thì dãy (
x
n
y
n
) được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ và
lim
n→∞

(
x
n
y
n
) =
a
b
.
Định lý 1.7. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.8. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ.
Định lý 1.9 (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn, luôn rút ra được dãy con hội
tụ.
Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy (x
n
) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước
tùy ý, tìm được chỉ số n
0
sao cho với mọi m, n ≥ n
0
đều có |x
n
− x
m
| < ε.
1.2 Một vài dãy số đặc biệt
1.2.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1.7. Dãy số u
1
, u

2
, u
3
, . . . được gọi là một cấp số cộng với công sai d
(d = 0) nếu u
n
= u
n−1
+ d, ∀n = 2, 3, . . .
Tính chất 1.1. Dãy số {u
n
} là cấp số cộng với công sai d thì:
• u
n
= u
1
+ (n −1)d và u
k
=
u
k−1
+ u
k+1
2
với mọi k = 2, 3, . . .
• Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u
1
, u
2
, . . . , u

n
thì u
1
+ u
n
= u
k
+ u
n−k
với mọi
k = 2, 3, . . . , n − 1.
• S
n
= u
1
+ u
2
+ . . . . + u
n
=
n
2
(u
1
+ u
n
) =
n
2
[2u

1
+ (n −1) d] .
1.2.2 Cấp số nhân
Định nghĩa 1.8. Dãy số u
1
, u
2
, u
3
, . . . được gọi là một cấp số nhân với công bội q
(q = 0, q = 1) nếu u
n
= u
n−1
.q với mọi n = 2, 3, . . .
Tính chất 1.2. Dãy số {u
n
} là cấp số nhân với công bội q thì:
4
• u
n
= u
1
.q
n−1
với mọi n = 2, 3, . . .
• u
2
k
= u

k−1
u
k+1
với mọi k = 2, 3, . . .
• S
n
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
=
u
1
(q
n
− 1)
q − 1
, (q = 1).
Nhận xét 1.4. Theo định nghĩa ta có:
i) Nếu {u
n
} là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {v
n
} với v
n
= a
u
n

, ∀n ∈ N lập thành
một cấp số nhân.
ii) Nếu {u
n
} là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a = 1 thì dãy {v
n
} với
v
n
= log
a
u
n
, ∀n ∈ N lập thành một cấp số cộng.
Nhận xét 1.5. Nếu |q < 1| thì {u
n
} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức S =
u
1
1 − q
.
1.2.3 Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.9. Dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện:
u
n
=
2u

n−1
u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
, ∀n > 1,
được gọi là cấp số điều hòa.
1.2.4 Dãy Fibonacci
Định nghĩa 1.10. Dãy u
1
, u
2
, . . . được xác định như sau:

u
1
= 1, u
2
= 1
u
n
= u
n−1
+ u
n−2
, ∀n = 3, 4, . . .
được gọi là dãy Fibonacci.
Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên trong

nhiều lĩnh vực khác nhau. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng
quát của dãy là:
Công thức Binet.
u
n
=
1
√
5

1 +
√
5
2

n
−
1
√
5

1 −
√
5
2

n
.
5
1.2.5 Dãy Farey

Định nghĩa 1.11. Dãy Farey F
n
với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các phân số
tối giản dạng
a
b
với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ 1.1. F
5
=

0
1
;
1
5
;
1
4
;
1
3
;
2
5
;
1
2
;
3

5
;
2
3
;
3
4
;
4
5
;
1
1

.
Ngoại trừ F
1
, F
n
có số lẻ các phần tử và
1
2
luôn nằm ở giữa. Gọi
p
q
,
p

q


và
p”
q”
là các
số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì:
pq

− qp

= 1;
p

q

=
p + p”
q + q”
.
Số các số hạng N (n) trong dãy Farey được tính theo công thức:
N(n) = 1 +
n

k=1
ϕ(k) = 1 + φ(n),
trong đó ϕ (k) là hàm Euler của số nguyên dương k.
1.2.6 Dãy số dạng x
n+1
= f(x
n
)

Đây là dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số. Dãy số
này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầu x
0
. Do vậy sự hội tụ của dãy số sẽ
phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x
0
. Một đặc điểm quan trọng của dãy số
này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x = f(x).
Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:
Định lý 1.11. Cho dãy số (x
n
) : x
0
= α, x
n+1
= f(x
n
). Khi đó, nếu hàm số y = f(x)
đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu.
Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm, cần xét dấu của biểu thức f(x) −x.
Định lý 1.12. Cho dãy số (x
n
) : x
0
= α, x
n+1
= f (x
n
). Khi đó, nếu hàm số y = f(x)
nghịch biến, thì dãy đã cho có hai dãy con (x

2k
) và (x
2k+1
) đơn điệu ngược chiều.
Trong trường hợp này hai dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
) là hai dãy con kề nhau. Để biết
dãy nào tăng, dãy nào giảm ta xét dấu của f (f (x)) −x.
Định nghĩa 1.12. Cho D là một tập đóng và bị chặn. Ánh xạ f : D → D được gọi là
một ánh xạ co trên D nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f(x) − f(y)| ≤ q |x −y|
với mọi x, y thuộc D.
Định lý 1.13. Nếu f(x) là một ánh xạ co trên D thì dãy số {x
n
} xác định bởi
x
0
= a ∈ D, x
n+1
= f(x
n
) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của
phương trình x = f(x).
6
1.2.7 Dãy số dạng x
n+1
= x
n
± (x

n
)
α
và định lý trung bình
Cesaro
Định lý 1.14 (Định lý trung bình Cesaro). Nếu lim
n→∞
x
n
= a thì
lim
n→∞
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
n
= a.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
"Nếu lim
n→∞
(x
n+1
− x
n
) = a thì lim
n→∞
x

n
n
= a."
1.3 Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1.1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số u
n
lập thành một cấp
số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
2u
m+n
= u
2m
+ u
2n
; ∀m, n ∈ N. (1.7)
Lời giải Điều kiện cần. Giả sử dãy {u
n
} là cấp số cộng với công sai d. Khi đó
u
n
= u
0
+ (n −1)d.
Cho nên
2u
m+n
= 2u
0
+ 2(m + n − 1)d
và

u
2n
+ u
2m
= u
0
+ (2n −1)d + u
0
+ (2m −1)d = 2[u
0
+ 2(m + n − 1)d].
Ta có điều cần phải chứng minh.
Điều kiện đủ. Giả sử dãy u
n
thỏa mãn điều kiện (1.7). Ta chứng minh dãy u
n
là
một cấp số cộng với công sai d = u
1
− u
0
.
Thay m = 0 vào (1.7) ta được
2u
n
= u
0
+ u
2n
.

Suy ra
u
2n
= 2u
n
− u
0
. (1.8)
Tương tự cho n = 0, ta được
u
2m
= 2u
m
− u
0
. (1.9)
Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7), ta thu được
2u
m+n
= 2u
n
+ 2u
m
− 2u
0
7
hay
u
m+n
= u

m
+ u
n
− u
0
. (1.10)
Thay m = 1 vào (1.10), ta có
u
n+1
= u
n
+ u
1
− u
0
.
Vậy {u
n
} là một cấp số cộng.
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng để 3 số a, b, c là những số hạng của cùng một cấp số
cộng, điều kiện cần và đủ là tồn tại 3 số nguyên khác không p, q, r sao cho:

pa + qb + rc = 0
p + q + r = 0
.
Lời giải.
Điều kiện cần. Giả sử a, b, c là các số hạng thứ k + 1, l + 1, m + 1 của một cấp số
cộng có số hạng đầu tiên u
0
và công sai d. Từ hai đẳng thức đầu ta suy ra:

u
0
= d
la − kb
l −k
; d =
b − a
l −k
.
Sau đó mang các giá trị này thay vào đẳng thức thứ 3 thì được:
(l −m)a + (m − k)b + (k −l)c = 0.
Vì vậy nếu đặt: p = l − m; q = m − k; r = k − l thì p, q, r là 3 số nguyên khác 0 thỏa
mãn đề bài.
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại các số p, q, r sao cho:

pa + qb + rc = 0,
p + q + r = 0.
Vai trò của các a, b, c như nhau nên có thể coi rằng: a ≥ b ≥ c . Khi đó q = −(p + r),
vậy pa −(p + r)b + rc hay p(a −b) = r(b −c).
Vì a − b ≥ 0; b − c ≥ 0 nên các số nguyên p, r có cùng dấu.
Thay p, q, r bởi −p, −q, −r, nếu cần có thể xem p, r là hai số nguyên dương.
Đặt d =
a − b
r
thì ta cũng có d =
b − c
p
.
Vậy:


a − b = rd
b − c = pd.
8
Do đó:

b = c + pd
a = b + rd = c + (p + r)d.
Các đẳng thức này chứng tỏ rằng a, b, c là các số hạng thứ p + r + l và p + l của cấp
số cộng có số hạng đầu tiên c và công sai d.
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng dãy số u
n
của những diện tích được xác định bởi
hình dưới đây là một cấp số cộng:
Lời giải. Gọi u
1
là diện tích hình tròn được xác định đầu tiên:
u
1
= S
1
=
r
2
1
.π
2
=
π
2
.

Từ đó, ta có diện tích hình sừng trâu kí hiệu u
2
và
u
2
= S
2
− S
1
=

3
2

2
.
π
2
−
π
2
=
5π
8
.
làm các thao tác tương tự với u
3
, u
4
, u

5
, . . .
Ta nhận thấy hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp của (u
n
) luôn là
π
8
.
Nói cách khác, (u
n
) chính là một cấp số cộng mà công sai là
π
8
.
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các dãy số dương u
n
lập thành
một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
u
2
m+n
= u
2m
u
2n
, ∀m, n ∈ N. (1.11)
Lời giải. Đặt lnu
n
= b
n

, ∀n ∈ N, khi đó u
n
= e
b
n
và (1.11) có dạng
e
2b
m+n
= e
b
2m
+b
2n
, ∀m, n ∈ N.
9
hay
2b
m+n
= b
2m
+ b
2n
, ∀m, n ∈ N (1.12)
Theo bài toán (1.1) thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {b
n
} lập thành một
cấp số cộng với công sai d = b
1
− b

0
.
Theo nhận xét(1.4) ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 1.5 (Thảm Sierpinki). Một hình vuông đơn vị được chia thành 9 hình vuông
bằng nhau, hình vuông ở giữa được tô màu, 8 hình vuông còn lại sẽ được chia theo
cách trên. Nếu ta tiếp tục như thế đến vô tận thì giới hạn của phần diện tích được tô
màu là bao nhiêu?
Lời giải.
Ta đặt u
n
là phần diện tích được thêm vào sau mỗi lần chia.
Vào lần thứ n ta sẽ thêm vào 8(n − 1) hình vuông có diện tích là
1
9
của hình vuông
lần trước. Vậy u
n
=
8
9
u
n−1
.
Ta suy ra rằng u
n
là một cấp số nhân với u
1
=
1
9

.
Vậy diện tích thu được vào lần thứ n là:
S
n
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= u
1
.
1 −

8
9

n
1 −
8
9
= 1 −

8
9

n
,


u
1
=
1
9

Do đó khi n → ∞ : lim
n→∞
S
n
= 1
Thì diện tích thu được là 1 (đvdt).
10
Bài toán 1.6. Người ta dựng một dãy các đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau ∆
n
, n ≥ 1
theo quy tắc sau:
• Hình tròn ∆
0
có bán kính là R
• Hình tròn ∆
n
có bán kính bằng một nửa bán kính của hình tròn ∆
n−1
.
1. Chứng minh rằng: mọi hình tròn ∆
n
đều nằm trong ∆
0
.

2. Người ta gọi A
n
là diện tích thu được là hợp tất cả các hình tròn ∆
1
, ∆
2
,. . ., ∆
n
trên. Chứng minh rằng: dãy A
n
giới hạn bằng
1
3
diện tích của hình tròn ban đầu ∆
0
.
Lời giải. Ta tạo một chuỗi hình tròn nội tiếp ∆
n
, n ≥ 1.
• Hình tròn ∆
0
có bán kính là R.
• Hình tròn ∆
n
có bán kính bằng một nửa bán kính của hình tròn ∆
n−1
(n ≥ 1) .
Vậy ta có cấp số nhân của các bán kính của những hình tròn này là:
(R
n

) :









R
0
= R
R
1
=
1
2
R
R
n
=
1
2
R
n−1
(n ≥ 1).
1. Chứng minh rằng: mọi hình tròn ∆
n
đều nằm trong ∆

0
.
Có nghĩa là ta phải chứng minh tổng các bán kính từ R
1
đến R
n
nhỏ hơn hoặc bằng
R.
S = R
1
+ R
2
+ ··· + R
n
≤ R.
11
Ta có
S = R
1
+ R
2
+ ··· + R
n
= R
1
1 −

1
2


n
1 −
1
2
.
(tổng một cấp số nhân có công bội
1
2
).
⇒ lim
n→+∞
R
1

1 −

1
2

n

1 −
1
2
= lim
n→+∞
2R
1

1 −


1
2

n

= R,

R
1
=
R
2

.
Vậy tất cả các hình tròn ∆
n
đều nằm trong ∆
0
.
2. Gọi A
n
là diện tích thu được là hợp tất cả các hình tròn ∆
1
, ∆
2
,. . ., ∆
n
trên. Chứng
minh rằng: dãy A

n
giới hạn bằng
1
3
diện tích của hình tròn ban đầu ∆
0
.
Ta có
(R
n
) :





R
0
= R
R
1
=
1
2
R
R
n
=
1
2

R
n−1
(n ≥ 1) ⇒ S
n
= πR
2
n
= π

1
2
R
n−1

2
=
1
4
πR
2
n−1
=
1
4
S
n−1
.
Gọi A
n
là diện tích này (trừ S

0
), suy ra
A
n
= S
1
+ S
2
+ ··· + S
n
= S
1
1 −

1
4

n
1 −
1
4
=
1
3
S
0

1 −

1

4

n

(tổng một cấp số nhân công sai
1
4
).
Vậy
lim
n→+∞
A
n
= lim
n→+∞
1
3
S
0

1 −

1
4

n

=
1
3

S
0
.
Bài toán 1.7. Cho hình vuông C
0
có cạnh là a người ta xét một dãy các hình vuông
C
1
, C
2
, C
3
, . . . , C
n
, . . . được dựng như hình vẽ dưới đây. Với quan hệ các khoảng cách
như sau:
AA
1
=
13
24
AC; A
1
A
2
=
13
24
AA
1

; . . . ; A
n
A
n+1
=
13
24
A
n−1
A
n
; . . .
1. Có phải tất cả các hình vuông đều nằm trong hình vuông C
0
?
2. Xác định hình vuông nhỏ nhất có đỉnh là A (kí hiệu AB’C’D’ trong đó B’ thuộc
(AB); C’ thuộc (AC); D’ thuộc (AD))chứa tất cả các hình vuông C
n
.
Lời giải. ABCD là hình vuông có cạnh là a.
Các cạnh của hình vuông C
1
, C
2
, . . . , C
n
được dựng sao cho
AA
1
=

13
24
AC; A
1
A
2
=
13
24
AA
1
; . . . ; A
n
A
n+1
=
13
24
A
n−1
A
n
; . . .
12
Độ dài AA
1
, A
1
A
2

, . . . , A
n−1
A
n
lập thành cấp số nhân (u
n
) với





u
1
=
13
24
AC
q =
13
24
.
Ta có tổng độ dài AA
1
A
2
A
3
. . . A
n

.
S
n
= AA
1
+A
1
A
2
+···+A
n
−1
A
n
= u
1
+u
2
+···+u
n
= u
1
.
1 − q
n
1 − q
=
13
24
AC.

1 −

13
24

n
11
24
.
Ta có lim
n→∞
13
11

1 −

13
24

n

=
13
11
> 1.
Vậy không phải tất cả các hình vuông đều nằm trong hình vuông ABCD.
−
13
11


1 −

13
24

n

AC ≥ AC ⇔
13
11

1 −

13
24

n

≥ 1
⇔

13
24

n
≤
2
13
⇔ n ≥ log
13

24
2
13
⇔ n ≥ 3, 052.
Vậy từ hình vuông thứ 4, các hình vuông không còn nằm trong hình vuông ABCD
2) Để hình vuông AB

C

D

có thể chứa hết các tam giác vuông thì
AC

= lim
n→+∞
13
11

1 −

13
24

n

a
√
2 =
13

11
a
√
2.
Hình vuông AB

C

D

có cạnh AB

=
13
11
a.
Bài toán 1.8. Chứng minh rằng dãy số {u
n
} (u
n
= 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số
13
điều hòa khi và chỉ khi
u
n+1
=
1
2
u
n

−
1
u
n−1
, ∀n ∈ N
∗
. (1.13)
Lời giải. Ta có
(1.13) ⇔
1
u
n+1
=
2
u
n
−
1
u
n−1
, ∀n ∈ N
∗
⇔
2
u
n
=
1
u
n+1

+
1
u
n−1
⇔ u
n
=
2u
n−1
.u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
,
tức là {u
n
} là một cấp số điều hòa.
Bài toán 1.9 (VMO, 1994, Bảng B). Cho dãy số Fibonacci {u
n
}, (n = 1, 2, 3, . . . )
được xác định bởi:
u
1
= u
2
= 1, u
n+2
= u

n+1
+ u
n
với mọi n = 1, 2, 3, . . . Hãy tìm số nguyên dương m sao cho
u
m
2k
+ u
m
2k+1
=
m−1

s=1
s.u
s−1
2k
.u
s−1
2k+1
, ∀k = 1, 2, 3, . . .
Lời giải. * Từ giả thiết thì số m cần tìm phải thỏa mãn với k = 1, khi đó có:
u
m
2
+ u
m
3
=
m−1


s=1
s.u
s−1
2
.u
s−1
3
hay
1 + 2
m
=
m−1

s=1
s.2
s−1
. (1.14)
Đặt tổng ở vế phải của (1.14) là S thì ta có 2S =
m−1

s=1
s.2
s
.
Từ đó ta có
S = 2S − S =
m−1

s=1

s.2
s
−
m−1

s=1
s.2
s−1
= (m − 1) 2
m−1
−
m−1

s=1
2
s−1
(s − (s − 1))
= (m − 1) 2
m−1
− (2
m−1
− 1) = (m − 2) .2
m−1
+ 1.
(1.15)
Từ (1.14) và (1.15) ta có
1 + 2
m
= (m − 2) .2
m−1

+ 1 ⇒ m = 4.
* Với m = 4 sử dụng hệ thức đã biết của dãy Fibonacci
u
2
2k+1
+ u
2
2k
= u
2k
.u
2k+1
, ∀k = 1, 2, 3, . . .
14
Ta có
u
4
2k+1
+ u
4
2k
− 2u
2
2k+1
.u
2
2k
= u
2
2k+1

.u
2
2k
+ 2u
2k
.u
2k+1
+ 1.
hay
u
4
2k+1
+ u
4
2k
= 3u
2
2k+1
.u
2
2k
+ 2u
2k
.u
2k+1
+ 1, ∀k = 1, 2, 3, . . .
Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
15
Chương 2
Một số phương pháp giải bài toán

tìm công thức số hạng tổng quát
của dãy số
2.1 Phương pháp quy nạp
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n, ta
thực hiện ba bước quy nạp sau đây:
+ Bước 1:(Bước cơ sở). Kiểm tra A(n) đúng khi n = 1.
+Bước 2: (Bước quy nạp hay bước di truyền). Với k ∈ Z, k ≥ 1, giả sử A(n) đúng khi
n = k, ta chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1.
+Bước 3: Kết luận A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài toán 2.1 (Đề thi OLYMPIC 30/4/1999). Xác định số hạng tổng quát của dãy số
{u
n
} biết rằng:

u
1
= 2
u
n+1
= 9u
3
n
+ 3u
n
(n = 1, 2, 3, . . . ) .
Lời giải. Đặt V
n
= 3u
n
(n = 1, 2, 3, . . . ). Ta có:


V
1
= 6
V
n+1
= V
3
n
+ 3V
n
.
Chọn x
1
, x
2
sao cho:

x
1
+ x
2
= 6
x
1
.x
2
= −1.
* Với n = 1, ta có:
V

1
= 6 = x
1
+ x
2
= x
3
1−1
1
+ x
3
1−1
2
.
* Với n = k, (k ∈ N) ta giả sử:
V
k
= x
3
k−1
1
+ x
3
k−1
2
.
* Với n = k + 1, ta có:
V
n+1
= V

3
n
+ 3V
n
= (x
3
k−1
1
+ x
3
k−1
2
)
3
+ 3(x
3
k−1
1
+ x
3
k−1
2
)
16
= x
3
k
1
+ x
3

k
2
+ 3(x
1
.x
2
)
3
k−1
(x
3
k−1
1
+ x
3
k−1
2
) + 3(x
3
k−1
1
+ x
3
k−1
2
)
= x
3
k
1

+ x
3
k
2
(vì (x
1
x
2
)
3
k−1
= (−1)
3
k−1
= −1.
Theo nguyên lý quy nạp thì:
V
n
= x
3
n−1
1
+ x
3
n−1
2
, ∀n ∈ N.
Vậy u
n
=

1
3


3 −
√
10

3
n−1
+

3 +
√
10

3
n−1

. (Vì x
1
, x
2
là các nghiệm của phương
trình: x
2
− 6x − 1 = 0).
Bài toán 2.2. Cho dãy số {x
n
}

+∞
n=1
xác định như sau:

x
1
=
√
2
x
n+1
=
√
2 + x
n
, ∀n = 1, 2, . . .
a) Tính x
1
, x
2
, x
3
.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Lời giải. a) Ta có
x
1
=
√
2 = 2.

√
2
2
= 2. cos
π
4
= 2. cos
π
2
2
,
x
2
=

2 +
√
2 =

2

1 + cos
π
4

=

4cos
2
π

8
= 2. cos
π
2
3
,
x
3
=
√
2 + x
2
=

2

1 + cos
π
2
3

=

4cos
2
π
2
4
= 2. cos
π

2
4
.
b) Với k ∈ N, k ≥ 1, giả sử x
k
= 2. cos
π
2
k+1
. Khi đó:
x
k+1
=
√
2 + x
k
=

2

1 + cos
π
2
k+1

= 2 cos
π
2
k+2
.

Theo nguyên lý quy nạp ta có x
n
= 2. cos
π
2
n+1
, ∀n = 1, 2, 3, . . .
Bài toán 2.3 (Đề thi OLYMPIC 30/4/2001). Cho dãy số {x
n
} xác định bởi:



x
1
= 1
x
n+1
= (1 +
3
n
)x
n
+ 2 −
3
n
, n ≥ 1.
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số là số nguyên.
Lời giải.
* n = 1: x

1
= 1 = 1 +
(1 − 1).1.(1 + 4)
6
.
17
* n = k, (k ∈ N). Giả sử x
k
= 1 +
(k −1).k.(k + 4)
6
.
* n = k + 1 . Ta có:
x
k+1
=

1 +
3
k

x
k
+ 2 −
3
k
=

1 +
3

k

1 +
(k −1) k (k + 4)
6

+ 2 −
3
k
= 1 +
(k −1) k (k + 4)
6
+
(k −1) (k + 4)
2
+ 2
= 1 +
(k
2
− k) (k + 4)
6
+
(k −1) (k + 4)
2
+ 2
= 1 +
k
3
+ 4k
2

− k
2
− 4k + 3k
2
+ 9k
6
,
= 1 +
k
3
+ 6k
2
+ 5k
6
= 1 +
k(k + 1)(k + 5)
6
.
Theo nguyên lý quy nạp:
x
n
= 1 +
(n − 1) n (n + 4)
6
, ∀n ∈ N.
Hơn nữa:
(n − 1) n (n + 4) = (n − 1) n (n + 1) + 3n (n − 1)
.
.
.6.

Vậy x
n
∈ N, ∀n ∈ N.
Bài toán 2.4 (Đề đề nghị thi OLYMPIC 30/4/2003). Cho dãy số (u
n
) được xác định
bởi:





u
1
=
√
3
u
n+1
=
u
n
+
√
2 − 1
1 + (1 −
√
2)u
n
, ∀n = 1, 2, 3, . . .

.
Lời giải. Ta có:
tan
2
π
8
=
1 − cos
π
4
1 + cos
π
4
=
1 −
√
2
2
1 +
√
2
2
=
2 −
√
2
2 +
√
2
=

√
2 − 1
√
2 + 1
=

√
2 − 1

2
.
suy ra, tan
π
8
=
√
2 − 1.
* n = 2:
u
2
=
u
1
+ tan
π
8
1 − u
1
tan d
π

8
=
tan
π
3
+ tan
π
8
1 − tan
π
3
. tan
π
8
= tan

π
3
+
π
8

.
18
* n = k ≥ 2:
u
k
= tan

π

3
+ (k − 1)
π
8

.
* n = k + 1:
u
k+1
=
u
k
+
√
2 − 1
1 +

1 −
√
2

u
k
=
tan

π
3
+ (k − 1)
π

8

+ tan
π
8
1 − tan

π
3
+ (k − 1)
π
8

. tan
π
8
.
= tan

π
3
+ (k − 1)
π
8
+
π
8

= tan


π
3
+ k
π
8

.
Vậy:
u
n
= tan

π
3
+ (n − 1)
π
8

.
⇒ u
2003
= tan

π
3
+ 2002
π
8

= tan


π
3
+
π
4

=
tan
π
3
+ tan
π
4
1 − tan
π
3
. tan
π
4
=
√
3 + 1
1 −
√
3
= −

2 +
√

3

.
Bài toán 2.5 (Đề OLYMPIC 30/4/2003). Cho dãy số {u
n
} xác định bởi:



u
1
=
4
3
(2n + 1)u
n
= 2
n
+ 2n.u
n−1
; n ≥ 2.
Chứng minh rằng: u
n
=
n

k=0
C
k
n

2k + 1
, ∀n ≥ 1.
Lời giải.
* n = 1: u
1
=
1

k=0
C
k
1
2k + 1
= C
0
1
+
C
1
1
3
= 1 +
1
3
=
4
3
(Đúng).
* n = p ∈ N. Giả sử
u

p
=
p

k=0
C
k
p
2k + 1
. (2.1)
* n = p + 1:
Từ giả thiết suy ra:
(2p + 3) u
p+1
= 2
p+1
+ 2 (p + 1) u
p
. (2.2)
2
p+1
= (1 + 1)
p+1
=
p+1

k=0
C
k
p+1

. (2.3)
(p + 1) C
k
p
= (p + 1)
p!
k! (p − k)!
= (p + 1 − k)
(p + 1)!
k! (p + 1 − k)!
19
= (p + 1 − k) C
k
p+1
, ∀k ≤ p.
⇒
p

k=0
(p + 1) C
k
p
2k + 1
=
p

k=0
(p + 1 − k) C
k
p+1

2k + 1
=
p+1

k=0
(p + 1 − k) C
k
p+1
2k + 1
. (2.4)
Từ (2.1),(2.2),(2.3),(2.4) suy ra:
(2p + 3) u
p+1
= 2
p+1
+ 2 (p + 1)
p

k=0
C
k
p
2k + 1
=
p+1

k=0
C
k
p+1

+ 2
p

k=0
(p + 1) C
k
p
2k + 1
=
p+1

k=0
C
k
p+1
+ 2
p

k=0
(p + 1 − k) C
k
p+1
2k + 1
= (2p + 3)
p

k=0
C
k
p+1

2k + 1
.
⇒ u
p+1
=
p+1

k=0
C
k
p+1
2k + 1
. Suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.6 (Canada 1985). Cho 1 < x
1
< 2. Với n = 1, 2, 3, . . . ta định nghĩa
x
n+1
= 1 + x
n
−
x
2
n
2
. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 ta có


x
n

−
√
2


<
1
2
n
. Trước hết
hãy chứng minh bằng quy nạp rằng: 1 < x
n
<
3
2
.
Bài toán 2.7 (Vietnam TST 2006). Cho dãy số thực {a
n
}, n = 0, 1, 2, . . . xác định
bởi a
0
= 1 và a
n+1
=
1
2

a
n
+

1
3a
n

. Ký hiệu A
n
=
3
3.a
2
n
− 1
. Chứng minh rằng A
n
là
số chính phương và A
n
có ít nhất n ước nguyên tố khác nhau.
2.2 Phương pháp thế lượng giác
Mỗi một công thức lượng giác sẽ cho chúng ta một đẳng thức đại số và nhiều
dãy số có công thức phức tạp sẽ trở lên đơn giản hơn nếu như chúng ta khéo léo sử
dụng các phép thế lượng giác. Ở đây, chúng ta xét các bài toán được giải bằng cách
dựa trên các đặc trưng của một số đa thức đại số sinh bởi hàm số sin và cosin.
2.2.1 Một số định lý bổ sung
Định lý 2.1 (Đa thức Tre-bư-sep). Giả sử cos(nt) = P
n
(cos t) với P
n
(x) là đa thức
bậc n. Khi đó:

P
n

1
2

a +
1
a

=
1
2

a
n
+
1
a
n

.
Chú ý 2.1. .
• cosnt được biểu diễn thành một đa thức bậc n của cost được gọi là đa thức Tre-
bư - sep loại 1.
20