Tóm tắt: Tính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

LÊ HUY VŨ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ SAI PHÂN HAI PHA SUY BIẾN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9.46.01.03

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

HÀ NỘI-2024

Luận án được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: GS.TS. Cung Thế Anh
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn
Trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội

Phản biện 3: PGS. TS. Dương Anh Tuấn
Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội

Vào hồi ... giờ ... ngày .... tháng .... năm 2024

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

A. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Hệ phương trình vi phân/sai phân suy biến được sử dụng rộng rãi để mơ tả nhiều mơ hình
thực tiễn như hệ thống mạch, kỹ thuật hàng không vũ trụ và các q trình hóa học và vật lý.
Các hệ suy biến này được gọi bằng nhiều thuật ngữ khác nhau như hệ mô tả (descriptor), hệ
ẩn hay hệ phương trình vi phân/sai phân đại số (algebraic differential/difference systems).
Đối với các lớp hệ như vậy, các biến trạng thái xuất hiện trong cả phương trình vi/sai phân
và các ràng buộc đại số. Điều này dẫn đến một số đặc điểm khác với các hệ thông thường
như dáng điệu xung trạng thái hoặc tính phi nhân quả giữa đầu vào/đầu ra và trạng thái.
Những tính chất đặc trưng này làm cho việc nghiên cứu các hệ suy biến trở nên phức tạp và
khó khăn hơn nhiều so với các hệ vi phân thường. Mặt khác, một đặt tính mang tính phổ
biến trong các hệ thống kỹ thuật là thường xuất hiện độ trễ thời gian, độ trễ này làm ảnh
hưởng lớn đến hiệu suất hệ thống. Vì vậy, việc nghiên cứu tính chất định tính của các hệ có
trễ đóng vai trị quan trọng trong các mơ hình ứng dụng. Chủ đề này nhận được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong hơn hai thập kỉ qua. Đặc biệt,
các nhà nghiên cứu quan tâm nhiều đến vấn đề phân tích tính ổn định, thiết kế điều khiển
ổn định hóa các hệ suy biến có trễ và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng.

Hệ hai pha hay còn được gọi là hệ hai chiều (two-dimensional systems), viết tắt là hệ 2-D,
được sử dụng để mơ tả động lực của nhiều mơ hình thực tiễn mà ở đó việc lan truyền thơng
tin xảy ra theo hai hướng độc lập. Gần đây, do ứng dụng rộng rãi của chúng trong phân
tích mạch, xử lý hình ảnh, truyền dữ liệu địa chất hay lọc kỹ thuật số đa chiều, lý thuyết
hệ 2-D đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong giới toán học và kỹ sư. Nhiều bài
toán trong lý thuyết định tính hệ 2-D đã được nghiên cứu và phát triển như tính ổn định
của hệ 2-D tuyến tính suy biến, tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi trạng
thái đã được nghiên cứu cho lớp hệ 2-D suy biến trong mơ hình Roesser khơng có trễ, bài
toán điều khiển H∞ cũng đã được nghiên cứu cho lớp hệ 2-D suy biến với trễ hằng số. Chú
ý rằng, các mơ hình thực tiễn trong kỹ thuật có thể xuất hiện các độ trễ khác nhau do các
điều kiện truyền tải, vận hành và hạ tầng khác nhau. Do đặc tính của các độ trễ này khơng
giống nhau nên các ảnh hưởng và độ lớn của chúng khác nhau và ta không thể gộp tất cả
các độ trễ thành một loại. Vì vậy, việc nghiên cứu các mơ hình suy biến 2-D với các độ trễ
khác nhau là vấn đề cần thiết và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn điều khiển kỹ thuật.

Lý thuyết ổn định Lyapunov là chủ đề quan trọng trong lý thuyết định tính hệ phương
trình vi/sai phân. Khái niệm này đã được nghiên cứu và phát triển rất sâu trong nhiều thập
kỷ qua. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng thực tế, các trạng thái của hệ không vượt quá một
giới hạn nhất định trong một khoảng thời gian xác định khi các trạng thái ban đầu nằm
trong một giới hạn cố định nào đó. Điều này dẫn đến khái niệm ổn định trên khoảng thời
gian hữu hạn (nói gọn là ổn định thời gian hữu hạn và viết tắt là FTS). Khái niệm ổn định

1

theo Lyapunov và ổn định thời gian hữu hạn là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ
có thể ổn định với bất kì thời gian hữu hạn nhưng không ổn định tiệm cận theo Lyapunov
và ngược lại một hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov nhưng không ổn định hữu hạn. Trong
trường hợp hệ có nhiễu ngoại cảnh, khái niệm bị chặn thời gian hữu hạn (FTB) là một mở
rộng tự nhiên. Khác với hệ 1-D (một thang thời gian), trong hệ 2-D, việc lan truyền thông
tin xảy ra theo hai hướng độc lập. Do đó, các khái niệm FTS và FTB không áp dụng trực

tiếp được cho các hệ 2-D. Thay vào đo, các khái niệm về ổn định trong miền hữu hạn hay
vùng hữu hạn (finite-region stability), viết tắt là FRS, và bị chặn trong miền hữu hạn (FRB)
được sử dụng như là những mở rộng tự nhiên của khái niệm FTS và FTB. Đến nay chủ đề
nghiên cứu về tính ổn định/bị chặn trong miền hữu hạn cho các hệ 2-D suy biến vẫn ít được
quan tâm phát triển.

Ngoài ra, vào cuối những năm 1970, lý thuyết về hệ tiêu hao lần đầu tiên được Willems
đặt vấn đề nghiên cứu có hệ thống về lý thuyết tiêu hao và được ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực như lý thuyết hệ thống, thiết kế mạch, tổng hợp mạng và lý thuyết điều khiển. Tính
tiêu hao cung cấp một phương pháp hữu ích cho việc phân tích tính ổn định và thiết kế điều
khiển các hệ động lực. Về khía cạnh năng lượng, sự tiêu hao được mô tả bằng tốc độ cung
cấp năng lượng từ bên ngoài hệ thống và hàm lưu trữ năng lượng bên trong hệ thống. Ý
nghĩa vật lý của sự tiêu hao là năng lượng tiêu hao bên trong hệ thống nhỏ hơn năng lượng
được cung cấp từ nguồn bên ngồi của hệ. Tính tiêu hao là hiệu suất tổng quát hơn có thể
được giảm xuống thành hiệu suất H∞, và hiệu suất thụ động bằng cách chọn các hệ số tiêu
hao khác nhau. Vì vậy, trong nhiều năm qua, lý thuyết hệ tiêu hao và ứng dụng đã được
nghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng đã được cơng bố. Bài tốn phân
tích tính tiêu hao và điều khiển đối với các hệ 1-D đã và đang được nhiều tác giả nghiên cứu
trong những năm gần đây. Tuy nhiên, lý thuyết tiêu hao chưa được phát triển một cách có
hệ thống cho các mơ hình hệ 2-D.

Mặt khác, trong lý thuyết hệ động lực và điều khiển, các bài toán liên quan đến đánh giá
trạng thái của hệ đóng một vai trị quan trọng. Một trong những phương pháp phổ biến là
ước lượng/bao tập đạt được (RSE) của các hệ động lực dưới tác động của lớp nhiễu ngoại
cảnh nào đó. Cụ thể hơn, ta xác định một tập compact trong không gian trạng thái chứa tất
cả các trạng thái của hệ xuất phát từ điểm gốc dưới ảnh hưởng của nhiễu đầu vào bị chặn.
Thông thường mục tiêu của việc đánh giá tập đạt được là tìm một tập compact nhỏ nhất có
thể, thường ở dạng ellipsoid E = x ∈ Rn|x⊤P x ≤ r với P = P ⊤ > 0 là ma trận đối xứng
xác định dương và r ≥ 0 là bán kính để giới hạn tập đạt được (RS) của hệ. Trong thực tế
kỹ thuật, hệ thống được coi là an toàn nếu tập đạt được của nó khơng chứa các trạng thái

với những đặc tính nhất định (trạng thái khơng an tồn). Vì vậy, RSE là một chủ đề nghiên
cứu quan trọng và đã nhận được sự quan tâm rất lớn của các nhà nghiên cứu trong vài thập
kỷ qua. Nhiều kết quả liên quan đến chủ đề này cho hệ 1-D đã được công bố trong những
năm gần đây. Đối với hệ 2-D có trễ, các kết quả nghiên cứu về RSE còn rất khiêm tốn. Đặc
biệt, cho đến nay, chưa có kết quả nghiên cứu nào đề cập đến chủ đề đánh giá tập đạt được
của hệ 2-D suy biến có trễ.

2

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định, tính tiêu hao, đánh giá tập đạt
được và ứng dụng trong điều khiển một số lớp hệ 2-D suy biến trong mơ hình Roesser có
trễ. Cụ thể, luận án tập trung vào các chủ đề sau

• Tính ổn định của hệ suy biến 2-D có trễ ở dạng tổng quát theo các hướng.

• Tính ổn định/bị chặn miền hữu hạn và phân tích tính tiêu hao của hệ 2-D Roesser suy
biến có trễ biến thiên.

• Đánh giá tập đạt được và thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa tập đạt được cho
lớp hệ 2-D suy biến có trễ.

B. Đối tượng và nội dung nghiên cứu

B1. Tính ổn định của hệ hai pha suy biến có trễ hỗn hợp theo hướng biến thiên

Xét lớp hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp trong mô hình Roesser (2-D SRM)

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) l=1 τh(i) xh(i − l, j) , (1)
=A v + Ad v + Aτ
Evxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j)) τv(j) v

l=1 x (i, j − l)

ở đó các ma trận Eh ∈ Rnh×nh và Ev ∈ Rnv×nv suy biến và rank(Eh) = rh ≤ nh, rank(Ev) =
rv ≤ nv với r = rh + rv < nh + nv ≜ n. Các hàm dh(i), τh(i) và dv(j), τv(j) là các trễ biến
thiên theo hướng ngang và dọc thỏa mãn điều kiện

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM , dvm ≤ dv(j) ≤ dvM , τhm ≤ τh(i) ≤ τhM , τvm ≤ τv(j) ≤ τvM . (2)

Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định của hệ (1). Bằng cách phát triển
phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii hai thang và sử dụng các phương trình chứa ma
trận tự do kiểu khơng, chúng tơi tìm các điều kiện dưới dạng các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính phụ thuộc độ trễ để hệ (1) là chính quy, nhân quả và ổn định.

B2. Tính ổn định và tiêu hao trong miền hữu hạn của hệ 2-D suy biến với trễ
biến thiên

Xét lớp hệ suy biến 2-D có trễ

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh, j) (3)
=A v + Ad v ,
Evxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv)

ở đó Eh, Ev là các ma trận suy biến. Các hằng số dh và dv là các độ trễ theo hướng ngang
và dọc. Cho trước các số nguyên dương D1 ∈ N+ và D2 ∈ N+, ta định nghĩa miền chữ nhật
D1 × D2 = (i, j) ∈ N20|0 ≤ i ≤ D1, 0 ≤ j ≤ D2 .

Mục tiêu của phần này là phát triển khái niệm ổn định miền hữu hạn suy biến (SFRS)
cho hệ (3), và thiết lập các điều kiện để hệ (3) chính quy, có tính nhân quả và ổn định SFRS.
Nội dung này được trình bày trong phần đầu của Chương 3.

3

Bên cạnh đó, ta xét lớp hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên sau đây

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) k=1 τh(i) xh(i − k, j)
=A v + Ad v + Aτ l=1 τv(j) xv(i, j − l) + Bww(i, j),
Evxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j)) (4a)
k=1 τh(i) xh(i − k, j)
xh(i, j) xh(i − dh(i), j) l=1 τv(j) xv(i, j − l) + Dww(i, j),
z(i, j) = C v + Cd v + Cτ (4b)
x (i, j) x (i, j − dv(j))

với xh(i, j), xv(i, j) là các vectơ trang thái theo các hướng ngang và dọc; w(i, j) và z(i, j)
tương ứng là nhiễu đầu vào và đầu ra đo được của hệ. Các ma trận Eh, Ev suy biến và các
hàm trễ thỏa mãn điều kiện

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM , dvm ≤ dv(j) ≤ dvM , τhm ≤ τh(i) ≤ τhM , τvm ≤ τv(j) ≤ τvM . (5)

Mục tiêu của phần này là giới thiệu khái niệm bị chặn miền hữu hạn suy biến (SFRB) cho
hệ (4) và đưa ra các điều kiện để hệ chính quy, nhân quả và SFRB. Đồng thời, chúng tôi
sẽ thiết lập các điều kiện để đảm bảo hệ (4) là (Q, S, R)-tiêu hao. Nội dung này được trình
bày ở mục thứ hai trong Chương 3 của luận án.

B3. Đánh giá tập đạt được và thiết kế điều khiển cho hệ 2-D suy biến trong mơ
hình Roesser với trễ biến thiên

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu bài toán đánh giá tập đạt được (RSE) cho lớp hệ
2-D suy biến chứa nhiễu với các trễ biến thiên

xh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) (6)

Ev =A v + Ad v + Bu(i, j) + Dw(i, j),
x (i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j))

ở đó xh(i, j), xv(i, j) là các vectơ trạng thái, u(i, j) là vectơ điều khiển đầu vào, w(i, j) là nhiễu

ngoại cảnh và được giả thiết thuộc không gian ℓ2 ([0, ∞], [0, ∞]). Ma trận E = diag(Eh, Ev)
với Eh, Ev là các ma trận có thể suy biến. A, Ad, B ∈ Rn×m and D ∈ Rn×s là các ma trận
thực cho trước. Các hàm dh(i) và dv(j) biểu diễn trễ trạng thái thỏa mãn

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM , dvm ≤ dv(j) ≤ dvM , (7)

Điều khiển phản hồi được thiết kế dạng
xh(i, j)

u(i, j) = Kx(i, j) = K1 K2 xv(i, j) , (8)

Khi đó hệ đóng của (6) có dạng

xh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) (9)
Ev = (A + BK) v + Ad v + Dw(i, j).
x (i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j))

4

Tập đạt được của hệ (9) với điều kiện ban đầu bằng không được xác định bởi

Rx = xh(i, j) ∈ Rn xh(i, j) thỏa mãn (9)
xv(i, j) xv(i, j)

với w(i, j) ∈ ℓ2([0, ∞], [0, ∞]). Tập dạng ellipsoid E(P, r) = x ∈ Rn x⊤P x ≤ r, P ⊤ = P >

0, r ≥ 0 . được sử dụng để bao tập đạt được của hệ đóng (9). Cụ thể hơn, trong chương 4
chúng tôi nghiên cứu các chủ đề sau đây.

• Thiết kế điều khiển phản hồi dạng (8) sao cho dưới tác động của nhiễu ngoại cảnh các
trạng thái của hệ đóng (9) nằm trong một ellipsoid.

• Cho trước một ma trận đối xứng xác định dương Φ0 và các số dương β > 0, 0 < α < 1,
thiết kế một điều khiển phản hồi dạng (8) sao cho tập đạt được của (9) chứa trong
ellipsoid E(Φ0, 1−α βρ2 ).

3. Kết quả đạt được của luận án

Luận án đạt được các kết quả chính sau đây.

1. Thiết lập được các điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính đảm bảo tính chính
quy, tính nhân quả và tính ổn định của hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên.

2. Đưa ra khái niệm ổn định suy biến trong miền hữu hạn đưa các điều kiện đảm bảo tính
ổn định trong miền hữu hạn. Một kết quả mở rộng cho bài tốn phân tích tính chất
(Q, R, S )-µ-tiêu hao của hệ 2-D suy biến với trễ biến thiên cũng được đưa ra.

3. Thiết lập được điều kiện cho sự tồn tại của ellipsoid bao tập đạt được của hệ 2-D suy
biến với các trễ biến thiên và nhiễu bị chặn. Ứng dụng vào bài toán điều khiển, luận án
đưa ra cách thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái đảm bảo tập đạt được của hệ đóng
khơng vượt ngưỡng một ellipsoid cho trước.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ về lý thuyết ổn định và điều
khiển cho lớp hệ rời rạc 1-D và một số bổ đề cơ bản để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung
các chương sau của luận án.

5

1.1. Tính ổn định của hệ suy biến 1-D rời rạc
1.2. Ổn định thời gian hữu hạn của hệ 1-D rời rạc
1.3. Tập đạt được của hệ 1-D rời rạc
1.3.1. Đánh giá tập đạt được
1.3.2. Đánh giá tập đạt được của hệ suy biến rời rạc
1.4. Các bổ đề bổ trợ

6

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 2-D SUY BIẾN VỚI TRỄ TỔNG QUÁT THEO
HƯỚNG BIẾN THIÊN

Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ suy biến 2-D trong mơ
hình Roesser với các trễ hỗn hợp biến thiên. Bằng cách xây dựng một hàm Lyapunov cải
tiến và sử dụng kỹ thuật phương trình ma trận tự do, các điều kiện phụ thuộc trễ được đưa
ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính đảm bảo tính chính quy, nhân quả và ổn
định tiệm cận tồn cục. Nội dung chính của chương này dựa trên bài báo [P1] trong danh
mục cơng trình cơng bố.

2.1. Phát biểu bài tốn

Xét lớp hệ 2-D suy biến có trễ hỗn hợp biến thiên trong mơ hình Roesser sau đây

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) l=1 τh(i) xh(i − l, j) , (2.1)
=A v + Ad v + Aτ l=1 τv(j) xv(i, j − l)
Evxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j))

ở đó xh(i, j) ∈ Rnh và xv(i, j) ∈ Rnv tương ứng là các vectơ trạng thái , A, Ad, Aτ ∈ Rn×n
(n = nh + nv) là các ma trận thực cho trước. Các ma trận Eh ∈ Rnh×nh và Ev ∈ Rnv×nv suy
biến với rank(Eh) = rh ≤ nh, rank(Ev) = rv ≤ nv và r = rh + rv < nh + nv ≜ n. dh(i), τh(i)
và dv(j), τv(j) là các trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện bị chặn sau

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM , dvm ≤ dv(j) ≤ dvM ; τhm ≤ τh(i) ≤ τhM , τvm ≤ τv(j) ≤ τvM , (2.2)

với dhM , dvm, dvM , dhm, τhm, τhM , τvm và τvM là các số nguyên không âm. Đặt σh =
max(dhM , τhM ) và σv = max(dvM , τvM ). Điều kiện ban đầu của hệ (2.1) được cho bởi

xh(k, j) = ϕ(k, j), k ∈ Z[−σh, 0], j ∈ Z+, xv(i, l) = ψ(i, l), l ∈ Z[−σv, 0], i ∈ Z+, (2.3)
với ϕ(k, .) ∈ l2(Z+), ∀k ∈ Z[−σh, 0] và ψ(., l) ∈ l2(Z+), ∀l ∈ Z[−σv, 0].

2.2. Tính ổn định

Định nghĩa 2.2.1. Cặp ma trận (E, A) với E = diag(Eh, Ev) được gọi là chính quy nếu
det[EI(z, w) − A] khơng đồng nhất bằng không, ở đây I(z, w) = diag(zInh, wInv ) và In là ma
trận đơn vị n-chiều. Cặp ma trận (E, A) được gọi là nhân quả nếu deg(det(sE−A)) = rank(E).
Hệ 2-D (2.1) được gọi là chấp nhận được (acceptable) nếu cặp ma trận (E, A) là chính quy
và nhân quả.
Định nghĩa 2.2.2. Hệ 2-D chính quy, nhân quả (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục
(GAS) nếu với bất kỳ điều kiện đầu tương thích dạng (2.3), nghiệm tương ứng của (2.1)

7

thỏa mãn

lim sup xh(i, j) : i + j = q = 0.
xv(i, j)
q→∞

Hệ (2.1) là chấp nhận được nếu nó chính quy, nhân quả và ổn định tiệm cận toàn cục.

Từ tính chính quy và nhân quả của cặp ma trận (E, A), ta có thể phân rã hệ (2.1) thành
các hệ con biến thiên nhanh (hệ đại số) và chậm (hệ động lực), đồng thời đảm bảo sự tồn
tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ (2.1). Ngoài ra, do rank(E) = r ≤ n, tồn tại hai ma
trận khả nghịch M , N sao cho

¯E = MEN = Ir 0r×(n−r) . (2.4)

0(n−r)×r 0(n−r)×(n−r)

Đặt

A¯ = M AN = A11 A12 . (2.5)
A21 A22

Bổ đề 2.2.1. Với các phân rã (2.4) và (2.5), hệ (2.1) là chấp nhận được nếu ma trận A22
khơng suy biến.

Kết quả chính trong chương này được trình bày trong định lý sau.

Định lí 2.2.1. Cho trước các số nguyên không âm dhm, dhM , dvm, dvM , τhm, τhM , τvm và

τvM . Hệ (2.1) là chấp nhận được nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P =

diag(P h, P v), Z = diag(Zh, Zv), Qk = diag(Qhk, Qvk) (k = 1, 2), Rl = diag(Rhl , Rvl ) và các ma
trận tùy ý Sl ∈ Rn×(n−r) (l = 1, 2, 3) thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau

 A⊤P D⊤Ξ (2.6)
Φ −P 0  < 0,

Π0 =  ∗ ∗ −Ψ
∗

trong đó Ξ = R¯1 R¯2 R¯3 , Ψ = diag(R¯1, R¯2, R¯3), Φ⊤ = Φ = (Γij)5×5 và

Γ11 = −E⊤R1E − E⊤R2E − E⊤P E + Q1 + Q¯2 + Z¯ + S1L⊤A + A⊤LS1⊤,
Γ12 = S1L⊤Ad + A⊤LS2⊤, Γ13 = E⊤R1E, Γ14 = E⊤R2E, Γ15 = S1L⊤Aτ + A⊤LS3⊤,
Γ22 = −Q2 − 2E⊤R3E + S2L⊤Ad + A⊤d LS2⊤, Γ23 = E⊤R3E, Γ24 = E⊤R3E,
Γ25 = S2L⊤Aτ + A⊤d LS3⊤, Γ33 = −Q1 − E⊤R1E − E⊤R3E, Γ34 = 0, Γ35 = 0,
Γ44 = −Q2 − E⊤R2E − E⊤R3E, Γ45 = 0, Γ55 = −Z + S3L⊤Aτ + A⊤τ LS3⊤,

Z¯ = I(rτh, rτv)Z, Q¯2 = I(rdh + 2, rdv + 2)Q2, rdh = dhM − dhm, rdv = dvM − dvm,

rτh = τhM (τhM + τhm)(τhM − τhm + 1) , rτv = τvM (τvM + τvm)(τvM − τvm + 1) ,
2 2

R¯1 = I(d2hm, d2vm)R1, R¯2 = I(d2hM , d2vM )R2, R¯3 = I(rd2h, rd2v)R2,

A = A Ad 0 0 Aτ , D = A − E Ad 0 0 Aτ , L = (E⊤)⊥.

Hệ quả 2.2.1. Cho các số nguyên không âm dhm, dhM , dvm và dvM . Hệ (2.1) với Aτ = 0 là
chấp nhận được nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P = diag(P h, P v), Qk =

8

diag(Qhk, Qvk) (k = 1, 2), Rl = diag(Rhl , Rvl ) (l = 1, 2, 3) và các ma trận tùy ý Sk ∈ Rn×(n−r)
(k = 1, 2) thỏa mãn điều kiện

Φˆ Aˆ⊤P Dˆ ⊤ Ξ (2.7)
Π1 =  ∗ −P 0  < 0,

∗ ∗ −Ψ

ở đó Φˆ ⊤ = Φˆ = (Γˆij)4×4,

Γˆ11 = −E⊤R1E − E⊤R2E − E⊤P E + Q1 + Q¯2 + S1L⊤A + A⊤LS1⊤,
Γˆ12 = S1L⊤Ad + A⊤LS2⊤, Γˆ13 = E⊤R1E, Γˆ14 = E⊤R2E,
Γˆ22 = −Q2 − 2E⊤R3E + S2L⊤Ad + A⊤d LS2⊤, Γˆ23 = E⊤R3E, Γˆ24 = E⊤R3E,
Γˆ33 = −Q1 − E⊤R1E − E⊤R3E, Γˆ34 = 0, Γˆ44 = −Q2 − E⊤R2E − E⊤R3E,

Aˆ = A Ad 0 0 , Dˆ = A − E Ad 0 0

và một số biến ma trận khác được xác định như trong (2.6).

Nhận xét 2.2.1. Một lớp hệ con đặc biệt của hệ (2.1) là hệ khơng có trễ (tức là Ad = Aτ = 0).
Bằng một số bước tương tự trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta có thể thấy rằng hệ không
trễ (2.1) là chấp nhận được nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P = diag(P h, P v)
và một ma trận S ∈ Rn×(n−r) thỏa mãn điều kiện sau

−E⊤P E + Sym(SL⊤A) A⊤P <0 (2.8)

PA −P

với L = (E⊤)⊥.

Kết luận Chương 2

Chương này đã giải quyết vấn đề tính ổn định của hệ suy biến 2-D với trễ phân phối biến
thiên theo các hướng. Dựa trên việc cải tiến 2-D LKF và sử dụng kỹ thuật phương trình ma
trận tự do kiểu khơng, các điều kiện phụ thuộc trễ được thiết lập dưới dạng LMI để đảm
bảo hệ suy biến 2-D là chính quy, nhân quả và ổn định.

9

Chương 3

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH TIÊU HAO TRONG MIỀN HỮU HẠN CỦA HỆ 2-D
SUY BIẾN VỚI TRỄ BIẾN THIÊN

Chương này của luận án trình bày kết quả nghiên cứu về tính ổn định và tiêu hao trong
miền hữu hạn của lớp hệ 2-D suy biến mô tả bởi mô hình Roesser. Đầu tiên, chúng tơi xét lớp
hệ 2-D suy biến với trễ hằng, dựa trên phương pháp phiếm hàm năng lượng kiểu Lyapunov,
chúng tôi xây dựng một hàm 2-D có trọng và sử dụng các phương trình ma trận tự do để
đưa ra các điều kiện ổn định miền hữu hạn phụ thuộc độ trễ. Tiếp theo, đối với hệ 2-D suy
biến có trễ hỗn hợp biến thiên, các định nghĩa về tính bị chặn và tiêu hao trong miền hữu
hạn được đưa ra. Bằng cách sử dụng hàm LKF toàn phương, các điều kiện đủ được phát
triển để đảm bảo tính chính quy, nhân quả và bị chặn miền hữu hạn của hệ. Dựa trên điều
kiện thu được, luận án đưa ra điều kiện đánh giá tính (Q, S , R)-tiêu hao cho lớp hệ 2-D
suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên.

3.1. Ổn định miền hữu hạn cho lớp hệ suy biến 2-D với trễ theo hướng

Xét lớp hệ suy biến 2-D sau

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh, j) (3.1)
=A v + Ad v ,
Ehxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv)

Ahh Ahv
ở đó xh(i, j) ∈ Rnh và xv(i, j) ∈ Rnv tương ứng là các vectơ trạng thái, A = vh vv và

AA

Ahh Ahv
Ad = d d là các ma trận thực cho trước. Điều kiện đầu của hệ (3.1) được cho bởi
vh vv
Ad Ad

xh(k, j) = ϕ(k, j), k ∈ Z[−dh, 0], j ≥ 0, xv(i, l) = ψ(i, l), l ∈ Z[−dv, 0], i ≥ 0. (3.2)

Cho các số nguyên dương D1 ∈ N+ và D2 ∈ N+, ta định nghĩa miền chữ nhật sau
D1 × D2 = (i, j) ∈ N20|0 ≤ i ≤ D1, 0 ≤ j ≤ D2 . Hơn nữa, với ma trận đối xứng xác định
dương W cho trước, chúng tôi định nghĩa các chuẩn có trọng của ϕ và ψ như sau

∥ϕ∥Wl∞ = sup ϕ⊤(k, j)W ϕ(k, j) : −dh ≤ k ≤ 0, j ≥ 0 ,
∥ψ∥Wl∞ = sup ψ⊤(i, l)W ψ(i, l) : i ≥ 0, −dv ≤ l ≤ 0 .

Định nghĩa 3.1.1. Cho trước các số dương c, ch, cv và một ma trận Γ ∈ S+ ⊕ S+ . Hệ (3.1)

nh nv

được gọi là ổn định suy biến miền hữu hạn (SFRS) đối với (c, ch, cv, D1 × D2, Γ) nếu với bất

kỳ dãy điều kiện đầu ϕ, ψ thỏa mãn

Eh⊤ΓhEh 2 Γh Ev⊤ Γv Ev 2 Γv
max ∥ϕ∥l∞ , ∥Eh∥ ∥ϕ∥l∞ < ch và max ∥ψ∥l∞ , ∥Ev∥ ∥ψ∥l∞ < cv,

10

ta ln có

x⊤(i, j)E⊤ΓEx(i, j) < c

với mọi (i, j) ∈ D1 × D2.

Do rank(Eh) = rh ≤ nh và rank(Ev) = rv ≤ nv, tồn tại các ma trận khả nghịch M h, M v,
N h và N v sao cho

M hEhN h = diag{Irh, 0}, M vEvN v = diag{Irv , 0}. (3.3)

Sử dụng các các biến đổi trong (3.3), chúng ta có phân rã sau

h hh h Ahh Ahh h hv v Ahv Ahv

11 12 11 12
M A N = Ahh Ahh , M A N = Ahv Ahv ,
21 22 21 22

v vv v Avv Avv v vh h Avh Avh

11 12 11 12
M A N = Avv Avv , M A N = Avh Avh ,
21 22 21 22

M hAhhN h = Ad11 d12 , M hh Ahh hAhvN v = Ad11 d12 , hv Ahv
d Ad21 hh Ad22 hh d Ad21 hv Ad22 hv

M vAvvN v = Ad11 d12 , M vv Avv vAvhN h = Ad11 d12 . vh Avh
d Ad21 vv Ad22 vv d Ad21 vh Ad22 vh

Trên cơ sở phân rã ở trên, ta có bổ đề sau đây (3.1).

Ahh Ahv
Bổ đề 3.1.1. Hệ (3.1) là chính quy và nhân quả nếu ma trận A22 = 22 22 không suy
vh
vv
A22 A22

biến.

Định lí 3.1.1. Giả sử hệ (3.1) là chính quy và nhân quả. Khi đó, cho các số dương c, ch,

cv và một ma trận Γ ∈ S+ ⊕ S+ , hệ (3.1) là SFRS đối với (c, ch, cv, D1 × D2, Γ) nếu tồn tại

nh nv

các số dương αh, αv, βh, βv, µh, µv, γ ∈ (0, 1), các ma trận đối xứng xác định dương P , Q,

R, S ∈ S+ ⊕ S+ và các ma trận bất kì Y hh, Y vv, Zvh, Z hv , Hvh, H hv với số chiều thích hợp

nh nv

thỏa mãn các điều kiện sau

Φ = (Φkl)k,l=1 4 < 0, Ψ = (Ψkl)k,l=1 4 < 0, ch < γc, cv < (1 − γ)c (3.4)
(3.5)
+ h λ+(Qh)sαh +v +v h (3.6)
λ (P ) + 2 + βh(1 − γ)D1λ (R ) + µh(1 − γ)D1λ (S ) <
γcλ+(P )

∥Eh∥ chα

+ v λ+(Qv)sαv +h +h v
λ (P ) + 2 + βvγD2λ (R ) + µvγD2λ (S ) <
(1 − γ)cλ+(P )

∥Ev ∥ cv α

ở đó M ∈ S+p , λ+(M ) = λmax(M ), λ+(M ) = λmin(M ), α = max 1, αD1 h , αvD2 và

−1 −1

sαh = αh−(k+1), sαv = αv−(l+1), P = Γ− 21 P Γ− 21 , Q = Γ− 12 QΓ− 12 , R = Γ− 12 RΓ− 21 ,

k=−dh l=−dv

S = Γ− 12 SΓ− 12 , Xh = (E⊤h )⊥, Xv = (Ev⊤)⊥,

Ψ11 = (Ahh)⊤P hAhh + Qh − Y hh(Xh)⊤Ahh − (Ahh)⊤Xh(Y hh)⊤ − αh(Eh)⊤P hEh,

Ψ12 = (Ahh)⊤P hAhv − Y hh(Xh)⊤Ahv − (Ahh)⊤Xh(Hvh)⊤,

11

Ψ13 = (Ahh)⊤P hAhh d − Y hh(Xh)⊤Ahh d ,
Ψ14 = (Ahh)⊤P hAhv d − Y hh(Xh)⊤Ahv d − (Ahh)⊤Xh(Zvh)⊤,
Ψ22 = (Ahv)⊤P hAhv − βhch (Ev)⊤RvEv − Hvh(Xh)⊤Ahv − (Ahv)⊤Xh(Hvh)⊤,

c
Ψ23 = (Ahv)⊤P hAhh d − Hvh(Xh)⊤Ahh d ,
Ψ24 = (Ahv)⊤P hAhv d − Hvh(Xh)⊤Ahv d − (Ahv)⊤Xh(Zvh)⊤,
Ψ33 = (Ahh d )⊤P hAhh d − αdh h Qh, Ψ34 = (Ahh d )⊤P hAhv d − (Ahh d )⊤Xh(Zvh)⊤,
Ψ44 = (Adhv)⊤P hAdhv − µhch (Ev)⊤SvEv − Zvh(Xh)⊤Adhv − (Adhv)⊤Xh(Zvh)⊤,

c
Φ11 = (Avh)⊤P vAvh − βvcv (Eh)⊤RhEh − Hhv(Xv)⊤Avh − (Avh)⊤Xv(Hhv)⊤,

c
Φ12 = (Avh)⊤P vAvv − (Avh)⊤Xv(Y vv)⊤ − Hhv(Xv)⊤Avv,

Φ13 = (Avh)⊤P vAvh d − Hhv(Xv)⊤Avh d − (Avh)⊤Xv(Zhv)⊤,
Φ14 = (Avh)⊤P vAvv d − Hhv(Xv)⊤Avv d ,
Φ22 = (Avv)⊤P vAvv + Qv − Y vv(Xv)⊤Avv − (Avv)⊤Xv(Y vv)⊤ − αv(Ev)⊤P vEv,

Φ23 = (Avv)⊤P vAvh d − Y vv(Xv)⊤Avh d − (Avv)⊤Xv(Zhv)⊤,
Φ24 = (Avv)⊤P vAvv d − Y vv(Xv)⊤Avv d ,
Φ33 = (Advh)⊤P vAdvh − µvcv (Eh)⊤ShEh − Zhv(Xv)⊤Advh − (Advh)⊤Xv(Zhv)⊤,

c
Φ34 = (Avh d )⊤P vAvv d − Zhv(Xv)⊤Avv d , Φ44 = (Avv d )⊤P vAvv d − αdvv Qv.

Nhận xét 3.1.1. Cho trước các số dương c, ch, cv và các số nguyên dương D1, D2, các điều
kiện đưa ra trong Định lý 3.1.1 vẫn phụ thuộc các tham số không lồi αh, αv và α. Tuy nhiên,

bằng cách cố định các tham số αh và αv, các điều kiện đưa ra trong (3.5)-(3.6) trở thành
các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dạng chuẩn tắc. Các điều kiện đó có thể giải bằng

các thuật tốn lồi, chẳng hạn thuật tốn điểm trong gần kề được tích hợp trong gói cơng cụ

LMI của Matlab. Hơn nữa, cố định các số ch, cv and D1, D2, bởi phương pháp lặp, từ các
điều kiện trong Định lý 3.1.1, ta có thể tìm được một cận nhỏ nhất cho ngưỡng c.

3.2. Tính bị chặn và tiêu hao trong miền hữu hạn của lớp hệ 2-D suy
biến với trễ hỗn hợp biến thiên

Xét hệ 2-D suy biến cho bởi

Ehxh(i + 1, j) xh(i, j) xh(i − dh(i), j) k=1 τh(i) xh(i − k, j)
=A v + Ad v + Aτ l=1 τv(j) xv(i, j − l) + Bww(i, j),
Evxv(i, j + 1) x (i, j) x (i, j − dv(j)) (3.7a)
k=1 τh(i) xh(i − k, j)
xh(i, j) xh(i − dh(i), j) l=1 τv(j) xv(i, j − l) + Dww(i, j),
z(i, j) = C v + Cd v + Cτ (3.7b)
x (i, j) x (i, j − dv(j))

12

ở đây xh(i, j) ∈ Rnh và xv(i, j) ∈ Rnv tương ứng là các vectơ trạng thái, w(i, j) ∈ Rm là nhiễu
ngoại cảnh, z(i, j) ∈ Rs đầu ra đo được, A, Ad, Aτ ∈ Rn×n, Bw ∈ Rn×m, C, Cd, Cτ ∈ Rs×n và
Dw ∈ Rs×m là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp. Các hàm dh, dv, τh, τv : N0 → N0
biểu thị các trễ biến thiên theo hướng thỏa mãn điều kiện

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM , dvm ≤ dv(j) ≤ dvM , τhm ≤ τh(i) ≤ τhM , τvm ≤ τv(j) ≤ τvM , (3.8)

với dhm, dvm, τhm, τvm và dhM , dvM , τhM , τvM là các số nguyên dương đã biết. Điều kiện đầu
của hệ (3.7) được cho bởi

xh(k, j) = ϕ(k, j), k ∈ Z[−σh, 0], 0 ≤ j ≤ D1; xh(k, j) = 0, k ∈ Z[−σh, 0], j > D1, (3.9)
xv(i, l) = ψ(i, l), l ∈ Z[−σv, 0], 0 ≤ i ≤ D2; xv(i, l) = 0, l ∈ Z[−σv, 0], i > D2,

ở đây σh = max{dhM , τhM }, σv = max{dvM , τvM } và D1, D2 ∈ Z+ là các số nguyên dương.
Ta định nghĩa tập chấp nhận được của nhiễu

W2ρ = w : D1 × D2 → Rm w⊤(i, j)w(i, j) ≤ ρ2 .

(i,j)∈D1×D2

Giả sử rằng nhiễu w(i, j) thuộc W2ρ với hằng số ρ > 0 cho trước nào đó. Ngồi ra, cho trước
các số dương ch, cv, và ma trận đối xứng xác định dương Γ = diag(Γh, Γv), chúng tôi xác
định tập chấp nhận được của trạng thái đầu

Eh = x ∈ Rnh x⊤Eh⊤ΓhEhx < c2h ∩ x ∈ Rnh x⊤Γhx < c2h ,
Ev = x ∈ Rnv x⊤Ev⊤ΓvEvx < c2v ∩ x ∈ Rnv x⊤Γvx < c2v .

Định nghĩa 3.2.1. Cặp ma trận (E, A), trong đó E = diag(Eh, Ev), được gọi là chính quy
nếu đa thức hai biến PE,A(z, s) = det(E(z, s) − A)̸ =≡ 0, ở đây E(z, s) = diag(zEh, sEv), và
nhân quả nếu degPE,A(z, s) = rank(E).

Định nghĩa 3.2.2. Hệ 2-D (3.7) được gọi là chính quy và nhân quả nếu cặp ma trận (E, A)
là chính quy và nhân quả.

Định nghĩa 3.2.3. Cho các số dương c, ch, cv, các số nguyên dương D1, D2 và ma trận

Γ = diag(Γh, Γv) ∈ S+n . Hệ (3.7) được gọi là bị chặn suy biến trong miền hữu hạn (SFRB)

đối với (c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu nó chính quy, nhân quả và với bất kì nhiễu w ∈ W2ρ, ta có

 =⇒ x⊤(i, j)E⊤ΓEx(i, j) < c2 (3.10)
ϕ(k, j) ∈ Eh, k ∈ Z[−σh, 0], 0 ≤ j ≤ D1,

ψ(i, l) ∈ Ev l ∈ Z[−σv, 0], 0 ≤ i ≤ D2,

với mọi (i, j) ∈ D1 × D2.

Ký hiệu H : (ϕ, ψ, w) → z là toán tử đầu vào-đầu ra của hệ (3.7). Xét một hàm số thực
SE(z(i, j), w(i, j)), viết đơn giản là SE(z, w), liên quan đến H, được gọi là hàm tốc độ cung
cấp. Với bất kỳ Th, Tv ∈ Z+, năng lượng được cung cấp trên miền Z[0, Th) × Z[0, Tv) cho bởi

Th−1 Tv−1

SE(z(i, j), w(i, j)).

i=0 j=0

13

Định nghĩa 3.2.4. Hệ 2-D (3.7) được gọi là tiêu hao đối với hàm tốc độ cung cấp SE(w, z)
nếu tồn tại một hàm không âm V (x) = V h(xh) + V v(xv), gọi là hàm lưu trữ, sao cho V (0) = 0
và với bất kỳ Th, Tv ∈ Z+, nhiễu w(i, j), ta có

Tv −1

V h(xh(Th, j)) − V h(xh(0, j))

j=0

Th−1 Th−1 Tv−1

+ [V v(xv(i, Tv)) − V v(xv(i, 0))] ≤ SE(z(i, j), w(i, j)). (3.11)

i=0 i=0 j=0

Bất đẳng thức (3.11) cho thấy tổng năng lượng được lưu trữ trong hệ tại bất kỳ thời

điểm nào thuộc CTh,Tv = {(Th, j) : 0 ≤ j < Tv} ∪ {(i, Tv) : 0 ≤ i < Th} không lớn hơn

tổng năng lượng dự trữ ban đầu cộng với năng lượng cung cấp cho hệ thống trong miền

Z[0, Th) × Z[0, Tv). Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tiêu hao. Đặc biệt, hệ 2-D

(3.7) được gọi là (Q, S , R)-tiêu hao nếu nó tiêu hao đối với hàm tốc độ được cung cấp dưới

đây

SE(z, w) = z⊤Qz + 2z⊤S w + w⊤Rw, (3.12)

ở đó Q = Q⊤, S và R = R⊤ là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp.

Khái niệm tiêu hao hữu hạn vùng được trình bày trong định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 3.2.5. Cho trước các ma trận thực Q, S , R, với Q = Q⊤ và R = R⊤, các
số dương c, ch, cv và ma trận Γ = diag(Γh, Γv), Γh > 0 và Γv > 0. Hệ (3.7) được gọi là
(Q, S , R)-tiêu hao trong miền hữu hạn đối với (c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu nó là SFRB đối với
(c, ch, cv, D1, D2, Γ) và bất đẳng thức tiêu hao (3.11) được thỏa mãn với hàm tốc độ cung cấp
(3.12).

Nhận xét 3.2.1. Nếu ma trận R trong hàm tốc độ cung cấp (3.12) có dạng đặc biệt R =
R0 − µI với µ là một số dương thì khái niệm tiêu hao trong Định nghĩa 3.2.5 trở thành
(Q, S , R0)-µ-tiêu hao trong miền hữu hạn. Hơn nữa, trong định nghĩa đó, điều kiện đầu
không nhất thiết bằng không (điều kiện đầu dạng tổng quát). Về khía cạnh này, Định nghĩa
3.2.5 trong luận án khái quát hóa khái niệm tiêu hao cả đối với các hệ 1-D và 2-D.

Nhận xét 3.2.2. Một số chỉ số hiệu suất quan trọng có thể thu được từ các tham số cụ thể
trong hàm tốc độ cung cấp (3.12). Chẳng hạn, khi Q = −I, S = 0 và R = γ2I, hệ là ổn
định miền hữu hạn với hiệu suất H∞ mức γ. Nếu ta lấy S = I và R = −νI hoặc Q = −ρI,
tương ứng ta thu được các chỉ số thụ động đầu vào/đầu ra miền hữu hạn. Nếu Q = −θI,
S = (1 − θ)I và R = [θγ2 + (θ − 1)ν]I, ta có bài tốn hỗn hợp giữa ổn định miền hữu hạn
với hiệu suất thụ động và hiệu suất H∞, trong đó θ ∈ [0, 1] là tham số chuyển đổi giữa hiệu
suất của H∞ và tính thụ động.

Do rank(E) = r < n, tồn tại các ma trận không suy biến M và N sao cho ma trận E được

phân rã như sau

E = M EN = Ir 0r×(n−r) . (3.13)
0(n−r)×r 0(n−r)×(n−r)

14

Ta viết ma trận A = M AN dưới dạng các khối tương ứng với E sau đây (3.14)
A = M AN = A11 A12 .
A21 A22

Ta có bổ đề bổ trợ sau
Bổ đề 3.2.1. Từ phân rã (3.13)-(3.14), hệ 2-D (3.7) là chính quy và nhân quả nếu ma trận
A22 trong (3.14) không suy biến.

Để cho thuận tiện, chúng ta ký hiệu một số biến sau đây

Φ11 = Q1 + Q2 + Q + R − αE⊤P E − E⊤(Zˆ1 + Zˆ2)E − Sym{A⊤LX1},
Φ12 = E⊤Zˆ1E − A⊤LX2, Φ13 = −A⊤LX3 − X1⊤L⊤Ad, Φ14 = E⊤Zˆ2E − A⊤LX4,
Φ15 = −A⊤LX5 − X1⊤L⊤Aτ , Φ16 = −A⊤LX6 − X1⊤L⊤Bw, Φ22 = −Q1 − E⊤Zˆ1E,
Φ23 = −X2⊤L⊤Ad, Φ24 = 0, Φ25 = −X2⊤L⊤Aτ , Φ26 = −X2⊤L⊤Bw,
Φ33 = −Q − Sym{A⊤d LX3}, Φ34 = −A⊤d LX4, Φ35 = −X3⊤L⊤Aτ − A⊤d LX5,
Φ36 = −X3⊤L⊤Bw − A⊤d LX6, Φ44 = −Q2 − E⊤Zˆ2E, Φ45 = −X4⊤L⊤Aτ ,
Φ46 = −X4⊤L⊤Bw, Φ55 = −R − Sym{A⊤τ LX5}, Φ56 = −X5⊤L⊤Bw − A⊤τ LX6,
Φ66 = −Π − Sym{Bw⊤LX6}, Z1 = I(d2hm, d2vm)Z1, Z2 = I(d2hM , d2vM )Z2,

Q = I(rdh + 1, rdv + 1)Q, R = I(ϱh, ϱv)R, Z1 = I αdhm, αdvm Z1,
Z2 = I αdhM , αdvM Z2, R = I ατhM , ατvM R, Q1 = I αdhm , αdvm Q1,

Q2 = I αdhM , αdvM Q2, Q = I αdhM , αdvM Q, A = A 0 Ad 0 Aτ Bw ,

D = A − E 0 Ad 0 Aτ Bw , rdh = dhM − dhm, rdv = dvM − dvm,

ϱh = τhM (τhM + τhm)(τhM − τhm + 1) , ϱv = τvM (τvM + τvm)(τvM − τvm + 1) ,
2 2

λh = λmax(Ph) + λmax(Qh1 )α1s(dhm) + λmax(Qh2 ) + λmax(Qh) α1s(dhM )

+ 4(dhmλmax(Z1h)α2s(dhm) + dhM λmax(Z2h)α2s(dhM ))

+ λmax(Qh)α3s(dhm, dhM ) + λmax(Rh)α4s(τhm, τhM ),

λv = λmax(Pv) + λmax(Qv1)α1s(dvm) + λmax(Qv2) + λmax(Qv) α1s(dvM )

+ 4(dvmλmax(Z1v)α2s(dvm) + dvM λmax(Z2v)α2s(dvM ))

+ λmax(Qv)α3s(dvm, dvM ) + λmax(Rv)α4s(τvm, τvM ),

P = Γ− 21 P Γ− 21 , Q = Γ− 21 QΓ− 21 , R = Γ− 21 RΓ− 21 , Qk = Γ− 21 QkΓ− 21 ,

Zk = Γ− 12 ZkΓ− 12 (k = 1, 2), α1s(d) = αk d−1 = 1 − αd , d ∈ {dhm, dvm, dhM , dvM },
1−α

k=0

α2s(d) = j d−1 k d(1 − α) − α(1 − αd)
α= , d ∈ {dhm, dvm, dhM , dvM },
(1 − α) 2

k=0 j=0

α3s(p, q) = j q−1 k−1 (q − p)(1 − α) − (αp − αq)
α= , (p, q) ∈ {(dhm, dhM ), (dvm, dvM )},
(1 − α) 2

k=p j=0

15

q sk q−p+1 p+q α αp+1 − αq+2
− + (1 − α)3 ,
α4s(p, q) = αj−1 = 1−α
2 1−α
s=p k=1 j=1

(p, q) ∈ {(τhm, τhM ), (τvm, τvM )}.

Kết quả chính về tính bị chặn miền hữu hạn hệ 2-D suy biến có trễ hỗn hợp (3.7) được
trình bày ở định lý dưới đây.

Định lí 3.2.1. Cho các số dương ch, cv, c, các số nguyên D1, D2 và ma trận Γ = diag(Γh, Γv),

Γh > 0 and Γv > 0, giả sử rằng tồn tại số α > 0, các ma trận đối xứng xác định dương P =
diag(P h, P v), Q = diag(Qh, Qv), Qk = diag(Qhk, Qvk), R = diag(Rh, Rv), Zk = diag(Zhk , Zvk )

(k = 1, 2), Π và các ma trận thực Xl (l = 1, 2, . . . , 6) với số chiều thích hợp thỏa mãn các

điều kiện

(Φij)6×6 A ⊤P D ⊤[Z1 Z2] 

 ∗ −P 0  < 0, (3.15)

∗ ∗ −diag(Z1, Z2)

α1s(D + 1) λhc2h + λvc2v + ρ2λmax(Π) −1/2 −1/2 (3.16)
< λmin(Γ P Γ ), đối với
c 2

trong đó D = D1 + D2, L = (E⊤)⊥. Khi đó, hệ 2-D suy biến (3.7) là SFRB

(c, ch, cv, D1, D2, Γ).

Nhận xét 3.2.3. Các tham số αks(d) (k = 1, 2) và αls(p, q) (l = 3, 4) xác định với 0 < α̸ = 1.

Nếu α = 1, các tham số đó được tính trực tiếp là α1s(d) = d, α2s(d) = 2 d(d+1) , α3s(p, q) =
2 (q−p)(q+p−1) và α4s(p, q) = 6 q(q+1)(q+2)−(p−1)p(p+1) .
Nhận xét 3.2.4. Định lý 3.2.1 cung cấp các điều kiện phụ thuộc trễ và phụ thuộc miền thời

gian cho tính ổn định miền hữu hạn (trong trường hợp bỏ qua nhiễu ngoại cảnh) và SFRB

của 2-D hệ suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên. Mặc dù các điều kiện đưa ra trong (3.16)

vẫn ở dạng phi tuyến, không thể kiểm chứng trực tiếp bằng các thuật toán lồi có sẵn. Để

giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện LMI sau đây

0 < θ1Γ < P < θ2Γ, Q < θ3Γ, Qk < θ3Γ (k = 1, 2), (3.17a)
R < θ4Γ, Zk < θ5Γ (k = 1, 2), Π < θ6I. (3.17b)

Khi đó, theo (3.17), điều kiện (3.16) trở thành (3.18)
θhc2h + θvc2v + ρ2θ6 < θ1c2 ,
α1s(D + 1)

với

θh = θ2 + θ3 (α1s(dhm) + 2α1s(dhM )) + 4 (dhmα2s(dhm) + dhM α2s(dhM )) θ5
+ θ3α3s(dhm, dhM ) + θ4α4s(τhm, τhM ),

θv = θ2 + θ3 (α1s(dvm) + 2α1s(dvM )) + 4 (dvmα2s(dvm) + dvM α2s(dvM )) θ5
+ θ3α3s(dvm, dvM ) + θ4α4s(τvm, τvM ).

Dựa vào các cơ sở trên chúng ta có kết quả sau

16

Hệ quả 3.2.1. Cho các số dương c, ch, cv, các số nguyên D1, D2 ∈ Z+ và ma trận Γ =

diag(Γh, Γv) với Γh > 0, Γv > 0, hệ 2-D (3.7) là SFRB đối với (c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu tồn tại

α > 0, θm > 0 (m = 1, 2, . . . , 6) sao cho các điều kiện (3.15), (3.17) và (3.18) được thỏa mãn

với các ma trận xác định dương P = diag(P h, P v), Q = diag(Qh, Qv), Qk = diag ( Q h , Qvk ),
k

R = diag(Rh, Rv), Zk = diag(Zhk , Zvk ) (k = 1, 2), Π và các ma trận thực Hl, Tl, Wl, Xl (l =

1, 2, . . . , 6) với số chiều thích hợp, trong đó một số ký hiệu liên quan được định nghĩa như

trong Định lý 3.2.1 và Nhận xét 3.2.4.

Nhận xét 3.2.5. Cho các hằng số bị chặn ch, cv và c, số D = D1 + D2 xác định miền mục
tiêu có thể thu được từ (3.16) như sau

 c2λmin(Γ−1/2P Γ−1/2) 
ln 1 + (α − 1) λhc2h+λvc2v+ρ2λmax(Π) 
 , 0 < α̸ = 1,
D+1≤
ln α

và c2λmin(Γ−1/2P Γ−1/2)

D+1≤ 2 22 , α = 1,
λhch + λvcv + ρ λmax(Π)

trong đó ⌊x⌋ là phần nguyên của x.

Bây giờ chúng ta xét một lớp con đặc biệt của hệ 2-D suy biến (3.7), đó là lớp hệ 2-D suy
biến khơng có trễ (tức là Ad = Aτ = 0)

Ehxh(i + 1, j) = A xh(i, j) + Bww(i, j), (3.19a)
Evxv(i, j + 1) xv(i, j) + Dww(i, j). (3.19b)

z(i, j) = C xh(i, j)
xv(i, j)

Hệ quả 3.2.2. Cho các số dương c, ch, cv, các số nguyên D1, D2 ∈ Z+ và ma trận Γ =
diag(Γh, Γv) với Γh > 0, Γv > 0, hệ 2-D suy biến không trễ (3.19) là SFRB đối với
(c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu tồn tại α > 0, θk > 0 (k = 1, 2, 3), ma trận xác định dương P =
diag(P h, P v), Π và ma trận thực S ∈ Rn×(n−r) thỏa mãn điều kiện sau

A⊤P A − αE⊤P E + Sym{SL⊤A} A⊤P Bw + SL⊤Bw < 0, (3.20a)
(3.20b)
∗ ⊤
−Π + Bw P Bw

θ1Γ < P < θ2Γ, Π < θ3I, 22 2 1 − αD+1 2
θ2(ch + cv) + θ3ρ < θ1c ,
1−α

trong đó L = (E⊤)⊥.

Trên cơ sở kết quả thu được trong Định lý 3.2.1, các điều kiện phụ thuộc trễ đảm bảo
đồng thời tính chất SFRB và (Q, S , R)-tiêu hao miền hữu hạn của hệ (3.7) được thiết lập
như trong định lý sau đây.

Định lí 3.2.2. Cho các số dương ch, cv, c, các số nguyên dương D1, D2 và các ma trận xác
đối xứng Γ = diag(Γh, Γv), Q, S , R với Γ > 0, Q ≤ 0 và R > 0, hệ (3.7) là (Q, S , R)-tiêu
hao suy biến miền hữu hạn đối với (c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu tồn tại α > 0, β ∈ (0, 1), các

17

ma trận đối xứng xác định dương P = diag(P h, P v), Q = diag(Qh, Qv), Qk = diag (Q h , Qvk ),
k

R = diag(Rh, Rv), Zk = diag(Zhk , Zvk ) (k = 1, 2), và các ma trận thực Xl (l = 1, 2, . . . , 6) với

số chiều thích hợp sao cho điều kiện (3.16) và bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

 A ⊤P D ⊤[Z1 Z2] 
(Φij)6×6 − C ⊤QC −P 0 C ⊤S

 ∗ ∗ −diag(Z1, Z2) 
∗ ∗ 0
 (3.21)
 < 0,
 
0
 ∗ −βR


∗

ở đây C = C 0 Cd 0 Cτ Dw , Π = (1 − β)R và một số biến ma trận khác như trong
Định lý 3.2.1.

Bởi các bước tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.2 và Hệ quả 3.2.2, ta có thể thu được
kết quả sau đây về vấn đề tiêu hao miền hữu hạn cho lớp hệ 2-D suy biến không chứa trễ
(3.19).

Hệ quả 3.2.3. Cho các số dương ch, cv, c, các số nguyên D1, D2 ∈ Z+ và các ma trận đối
xứng Γ = diag(Γh, Γv), Q, S , R với Γ > 0, Q ≤ 0 và R > 0, hệ (3.19) là (Q, S , R)-tiêu
hao suy biến miền hữu hạn đối với (c, ch, cv, D1, D2, Γ) nếu tồn tại α > 0, β ∈ (0, 1), ma trận
đối xứng xác định dương P = diag(P h, P v) và ma trận thực S ∈ Rn×(n−r) sao cho bất đẳng
thức ma trận sau được thỏa mãn

 Ψ11 Ψ12 C⊤S 

⊤ (3.22a)
 ∗ Ψ22 Dw S  < 0, (3.22b)

∗ ∗ −βR

θ0Γ < P < θ1Γ, θ1(ch + cv) + (1 − β)λmax(R)ρ2 1 − αD+1 < θ0c,
1−α

với L = (E⊤)⊥, Ψ11 = A⊤P A − αE⊤P E + Sym{SL⊤A} − C⊤QC và Ψ12 = A⊤P Bw + SL⊤Bw −
C⊤QDw, Ψ22 = −(1 − β)R + Bw⊤P Bw − Dw⊤QDw.

Kết luận Chương 3

Trong chương này, các khái niệm về ổn định miền hữu hạn suy biến và bị chặn miền hữu
hạn suy biến được phát triển và nghiên cứu cho các hệ 2-D suy biến có trễ. Dựa trên lược
đồ phương pháp hàm năng lượng kiểu Lyapunov, các điều kiện đảm bảo tính ổn định, bị
chặn và tiêu hao trong miền hữu hạn được thiết lập cho một số lớp hệ 2-D suy biến trong

mơ hình Roesser có trễ.

18