Một số vấn đề về bài tập tính toán trong hình học phẳng

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TẬP TÍNH TOÁN
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
$1. Đặt vấn đề
Trước hết nói chung về việc giải bài tập toán sơ cấp. Đó là một niềm say mê
của nhiều người. Đam mê lắm, có khi hơn cả trò chơi điện tử! Nhiều người lấy đó
làm một thú vui, mà chỉ cần một mảnh giấy và một cây bút chì! Giải toán sơ cấp
ví như một trò chơi rất trí tuệ.
Một bài tập khó mà hay, là bài tập được giấu mối rất khéo, không thể nhìn ra
ngay lời giải như những bài toán quen biết hay cơ bản, mà lời giải lại không quá
rắc rối.
Hôm nay, tôi muốn giành thời gian trao đổi một số kinh nghiệm với các bạn
đồng nghiệp trong một phạm vi hẹp đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng
trong hình học phẳng Oclit (cổ điển). Tuy nhiên khái niệm “tính toán” ở đây cũng
chỉ có tính chất tương đối thôi.
Chuyên đề này chưa đề cập tới các công cụ hiện đại như véc tơ, hình học xạ
ảnh hay hình giải tích, mà hy vọng sẽ được trình bày trong một dịp khác. Mặt
khác chúng tôi cũng không xét tới kiểu giá trị logic mệnh đề.
Ví dụ 1.1.
Cho tam giác ABC, có AB > AC.
a/- Chứng minh rằng đường trung tuyến BM lớn hơn đường trung tuyến CN.
b/- So sánh các đường phân giác BD và CE.
Thế thì nếu chấp nhận bài toán tính toán với các giá trị kiểu logic mệnh đề,
ta có thể phát biểu lại thành:
Cho tam giác ABC, có AB > AC.
a/- Chứng minh rằng giá trị mệnh đề “Đường trung tuyến BM > đường trung
tuyến CN” là đúng.
b/- Tính giá trị logic của mệnh đề “Đường phân giác BD lớn hơn đường
phân giác CE”.
Như vậy, chúng ta tạm thời chỉ xét đến các đại lượng hình học cơ bản như
độ dài, góc, diện tích hoặc tỉ số các độ dài, tỷ số các diện tích, mà gác lại các
1

bài tập tính toán với kiểu logic mệnh đề. Tuy nhiên nhiều bài tập kiểu khác như
chứng minh, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng có thể phát biểu dưới dạng bài tập
tính toán!
Trong bài báo này, tôi chỉ nêu lên một số ví dụ cụ thể, phân tích hướng giải
rồi dẫn đến các bài tập mới suy ra từ một bài toán, thế hình trước đó, coi như
những bài tập thực hành. Việc khái quát lên thành hệ thống lý thuyết thì không
được xét ở đây, mà giành cho các bạn đồng nghiệp quan tâm suy ngẫm phục vụ
cho công việc cụ thể thường nhật của mỗi người!
Ví dụ 1.2.
Cho một ∆ABC cân ở A với
∠BAC=20
o
và BC=a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho AD=BC. Tính ∠BDC.
Phân tích:
Vì ∠BAC=20
o
và ABC=80
o
chênh lệch 60
o

nên có thể phải vẽ thêm một đường nào đó
tạo ra góc 60
o
Cuối cùng chọn được các
vẽ thêm đường.
Giải:
Vẽ tam giác đều ACE thì thu được các kết quả đẹp như: ∠DAB=80
o

, mà
AD=BC.
Từ đó ⇒ ∆EAD = ∆ABC (c.g.c) (1)
Từ (1) ⇒ ED = AC = EC ⇒ ∆EDC cân. (2)
Từ (1) ⇒ ∠AED = 20
o
⇒ ∠DEC = 40
o
và ∠ADE = 80
o
. (3)
Từ (2) ⇒ ∠EDC = (180
o
-40
o
)/2 = 70
o
. (4)
Từ (3) & (4) ⇒ ∠BDC = 180
o
-80
o
-70
o
= 30
o
.
Đáp số: 30
o
.

Chú ý:
Nếu không phát hiện cách vẽ thêm đường phụ thì quả là rất khó. Còn nếu
đưa hình học giải tích vào, trục hoành là (BC), đặt BC=2a hoặc bằng 2 đ.v.đ.d.,
2
A
B
C
D
E
Hinh 1
trục tung là đường trung trực của BC, thì cũng ra nhưng rất phức tạp Ta cũng
có thể kiến thức lượng giác để giải quyết, song cũng không đơn giản!
Bài tập thực hành:
1/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20
o
và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB. Tính AD theo a để ∠BDC = 30
o
.
2/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20
o
và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho AD = BC. Tính diện tích của ∆ADC theo a.
3/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20
o
và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho ∠BDC = 30
o
, tính AD theo a.

$2. Bài tập tính toán các yếu tố cơ bản trong hình học phẳng
a/- Bài toán tính độ dài (khoảng cách)
Phương pháp 1. Đưa về việc tính cạnh của một tam giác
Ví dụ 2.1
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trong hình
vuông lấy điểm E sao cho ∠DCE =∠CDE = 15
o
.
Tính khoảng cách từ E đến A và đến B. Đây là một
bài cổ điển rất hay.
Phân tích:
Bài toán quy về việc tính cạnh của ∆ABE.
Mẹo: Vẽ ∆DCF đều ra phía ngoài hình vuông.
Chứng minh ∆FEC cân tại F ⇒ BCFE là một hình
thoi ⇒ BE = BC = a.
Và cũng có AE=a.
Bài tập thực hành:
3
A
B
C
D
E
F
Hinh 2
1/- Vẫn giả thiết đó. Tính khoảng cách từ B đến AE.
2/- Vẫn giả thiết đó. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABE
3/- Không cho sẵn 15
o
mà hỏi ∠DCE =∠CDE=? để ∆ABE đều.

Phương pháp 2. Đưa về việc tính đường cao của một tam giác
Ví dụ 2.2
Cho đoạn thẳng AB=a. Vẽ các tia Ax và
By vuông góc với AB và về cùng một
phía của đường thẳng (AB). Trên Ax cho
điểm M di động, trên By cho điêm N di
động sao cho luôn có MN=AM+BN.
Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định.
Bài này tương đương với việc tìm một
điểm cố đinh, tính khoảng cách từ điểm
Hình3 đó đến (MN).
Phân tích:
Do tính cân đối, vai trò của M và N như nhau, nên tâm đường tròn bí ẩn này phải
nẳm trên đường trung trực của AB. Nghi ngờ là điểm I trung điểm của AB.
Ta sẽ phải tính khoảng cách từ I đến MN, tức là đường cao của ∆IMN.
Kéo dài MI cắt đường thẳng (BN) ở P. Khi đó ∆IBP = ∆IAM ⇒ IP = IM và BP =
AM ⇒ NP = MN ⇒ ∆MIN = ∆PIN ⇒ d(I,MN) = IB (đường cao của 2 tam giác
bằng nhau). Mà IB không đổi nên d(I,MN) không đổi.
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn đường kính AB.
Bài tập thực hành:
1/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ. Tính tổng khoảng cách từ A và B đến đường
thẳng (MN) theo a. (Gợi ý: tổng khoảng cách đó bằng 2IH =AB=a).
2/- Xét hình thang AMNB. Gọi giao điểm 2 đường chéo là O. Tìm AM và BN để
∆OAB có OA+OB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất?
3/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ nhưng bỏ điều kiện AM và BN vuông góc với
AB mà tạo với AB những góc bằng nhau α.
4
H
I

N
M
B
A
Tính khoảng cách từ trung điểm của AB tới (MN) theo a và α.
4/- Cho đoạn thẳng AB=a. Vẽ các tia Ax và By song song với về cùng khác phía
với nhau đối với (AB). Trên M và N chạy trên Ax và By sao cho luôn có MN = |
AM - BN|. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Phương pháp 3. Đưa về việc tính yếu tố của một tỷ số các đoạn thẳng
Ví dụ 2.3
Cho một hình thang vuông ABCD đáy
là AB và CD, vuông ở A và D, CD=AD=a
và AB=2a. Gọi O là giao hai đường chéo
của hình thang. Tính khoảng cách từ O đến
các đường thẳng chứa cạnh hình thang.
Hình 4
Giải:
Theo định lý Talét ta có:
= và = .
Cộng 2 đắng thức đó, vế với vế, ta được
+ = 1 hay + = 1 ⇒ EO = và d(O;AD)= ;
= = = = 1/3 ⇒ OC = AC/3 = a/3 và d(O;BC)= a/3;
= = 1/3 ⇒ DE = a/3 và d(O;CD)=a/3.
Cuối cùng, EA=2a/3, d(O;AB)=2a/3.
Đáp số: d(O;AB)=2a/3, d(O;BC)= a/3, d(O;CD)=a/3 và d(O;AD)=2a/3.
Bài tập thực hành:
1/- Không cho hình thang này vuông, mà cho thành cân, biết 2 đáy là a và b,
đường cao là h. Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của
hình thang.
2/- Không cho hình thang này vuông, mà cho biết góc tạo bởi 2 cạnh AD, BC tạo

với đáy các góc 30
o
và 60
o
tương ứng, biết 2 đáy là a và b. Tính khoảng cách từ
giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang.
5
O
F
A
B
C
D
E
3/- Vẫn cho hình thang này vuông, CD = AD = a. Tính độ dài cạnh AB để tổng
khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang bẳng
(5+)a/3.
Ví dụ 2.4
Cho một hình thang vuông ABCD đáy là AB và CD, vuông ở A và D,
CD=AD=a và AB=2a. Lấy điểm E trên cạnh AD và F trên cạnh CD sao cho
DE/EA=BF/FC. Gọi G và H là giao điểm của AC và BD với EF tương ứng. Tính
tổng các khoảng cách từ G và H đến AB.
Phân tích:
Khi thấy những đường thẳng // hay bài
toán có các tý số đoạn thẳng, nên nghĩ đến
định lý Talét.
Từ E kẻ đường thẳng song song với AC
cắt CD ở I.
Khi đó
= = = ⇒ IF // BD.

Từ đây, dễ dàng ⇒ hàng loạt tý số bằng nhau. Cuối cùng được
= = = = ⇒ EG = HF.
Giải:
Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở I.
Khi đó: = = = ⇒ IF // BD.
Từ đó:
= = = = ⇒ EG = HF.
Gọi K là trung điểm HG, ta có:
d(G,AB) + d(H,AB) = 2d(K,AB) = d(E,AB) + d(F,AB).
Do = nên
d(E,AB) + d(F,AB) = d(E,AB) + d(E,CD) = AD = a.
Ký hiệu d đọc là khoảng cách.
Đáp số: a.
Bài tập thực hành:
6
Hinh 5
M
N
I
H
G
O
F
A
B
C
D
E
Có thể chế biến thành nhiều bài tập khác, chẳng hạn:
1/- Ta không hỏi như đã hỏi mà tính hiệu EG - HF, hay EG - GH, hay chứng

minh EF = 3GH.
2/- Không cho cạnh AB = 2a, mà bắt tính AB theo a = CD để EF = 2GH.
3/- Cho E và F di động trên AD và BC tương ứng mà vẫn đảm bảo = .
Tìm quỹ tích trung điểm của GH.
4/- Trong ví dụ trên, ta đã lấy E và F là những điểm chia trong các đoạn DA và
BC tương ứng theo cùng một tỷ số. Nay ta thanh thành chia ngoài thì bài toán
cũng rất hay, (d(G,AB) + d(H,AB) = 2a).
5/- Trong ví dụ trên, ta thay điều kiện =
bằng = hoặc = thì ta vẫn chứng minh được EG = HF.
Đồng thời nếu cho AB ≠ 2a thì mà cho AB = 3a chẳng hạn, rồi bắt tìm và tính
đoạn EF sao ngắn nhất sao cho EG = GH = HF. Hoặc bắt tìm và tính đoạn EF sao
ngắn nhất sao cho EG = GH = HF.
Phân tích:
Theo cách giải trong ví dụ trên ta thấy nếu
= thì EG chỉ bằng GH khi AB=2CD.
Do đó muốn EG = GH = HF thì phải chọn
điều kiện = hay EF // AB.
Xem hình 6.
Kéo dài AG cắt CD ở I .
Muốn EG = GH = HF thì I phải là trung
điểm của CD (theo định lý Ta lét áp dụng
vào chùm đồng quy).
Có 2 khả năng là EF ở trong khoảng giữa O và CD hay giữa O và AB.
Nhưng trường hợp thứ nhất cho EF ngắn hơn. Từ đó tính đươc EF = 3a/2.
Nếu gọi J là trung điểm của AB, DJ cắt AC ở G, đường thẳng qua G và song
song với AB sẽ là lời giải của trường hợp EF lớn nhất.
Chú ý:
Nếu không bắt E và F nằm trên các đoạn AD và BC mà ra ngoài dải phẳng
của 2 đường thẳng (CD) // (AB) thì có thể hỏi theo cách chung hơn: Tìm các
7

Hinh 6
H
G
O
F
A
B
C
D
E
đường thẳng // AB mà bị các đường thẳng chứa các cạnh và các đường chéo chia
thành 3 đoạn bằng nhau!
b/- Bài toán tính góc
Phương pháp 1. Đưa về việc tính góc của một tam giác
Ví dụ 2.5
Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài
tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB=120
o
và tam giác đều ACE. Gọi F là trung điểm
của BC. Tính ∠DEF.
Phân tích:
Lấy G là điểm đối xứng của D qua F.
Khi đó, ∆CFG = ∆BDF, ⇒ CG = AD.
Ta chứng minh được ∠ADE = 90
o
+ ∠A
và ∠GCE = 360
o
- ∠C
1

- ∠C
2
- ∠C
3

cũng bằng 90
o
+∠A, nên ∆ADE = ∆CEG. Suy ra ∆EDG cân tại E.
Và cũng suy ra ∠DEG = 60
o
.
Vậy ∆EDG đều. Từ đó tính đươc ∠DEF = 30
o
.
Chú ý:
∆ABC không nhất thiết phải là tam giác nhọn. Bạn thấy được điều đó sau
khi tính được các góc ∠ADE và ∠GCE. Xem hình 7B.
Theo cách giải trên, cứ ∠DAB + ∠EAC = 90
o
thì cách tính các góc ∠ADE và
∠GCE vẫn cho kết quả bằng nhau.
Do đó, có thể thay các tam giác ∆DAB và ∆EAC bằng các tam giác cân tại D và
E tương ứng sao cho góc ở đáy của 2 tam giác này có tổng bằng 90
o
, hay
∠ADB + ∠AEC = 180
o
là được.
Bài tập thực hành:
Từ đó ta có thể tạo ra các bài tập mới, chẳng hạn, ta được các đề sau:

8
G
F
A
Hinh 7
E
D
C
B
1/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB
= 100
o
và ∆ACE cân tại E với ∠AEC = 80
o
. Gọi F là trung điểm của BC. Tính
∠DEF.
2/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB vuông cân tại D
và ∆ACE vuông cân tại E. Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠FDE.
3/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB cân tại D và
∆ACE cân tại E, sao cho ∠ADB + ∠AEC = 180
o
. Gọi F là trung điểm của BC.
Tính ∠FGE.
Phương pháp 2. Đưa về việc tính góc nội tiếp.
Ví dụ 2.6
Cho vòng tròn (O,R) và một điểm A
trên nó. Vẽ đường tròn tâm O’ đường
kính OA. Điểm M trên đường tròn (O) và
M’ trên đường tròn (O’) sao cho cung
AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau,

và cùng chiều quay khi đi từ A tới M và
từ A tới M’, quanh tâm O và O’ tương
ứng. Tính ∠MOM’.
Hình 8
Phân tích:
Theo công thức tính độ dài cung L = αR, trong đó α là số đo góc ở tâm theo
rađian, R là bán kính, ta có:
Độ dài cung AM = (số đo ∠MOA).OA,
độ dài cung AM’ = (số đo ∠M’O’A).O’A.
Theo giả thiết và do OA = 2O’A, suy ra ∠M’O’A = 2 .∠MOA.
Mà do ∆O’OM’ cân, ∠M’O’A = 2.∠M’OO’.
Từ đó, ∠MOA =∠M’OO’, và ∠MOM’ = 0.
Bài tập thực hành:
9
2
1
M
O
O'
A
M'
Hình 9
Bài này có thể chế biến
thành bài quỹ tích hay:
1/- Cho M và M’ chuyển
động trên 2 vòng tròn cùng
chiều quay sao cho cung
AM và cung AM’ có độ
dài bằng nhau, và cùng
chiều quay khi đi từ A tới

M và từ A tới M’, quanh
tâm O và O’ tương ứng.
Tìm quỹ tích trung điểm
của MM’.
2/- Cho vòng tròn (O’,r)
tiếp xúc trong với vòng
tròn (O,R) tại M, và R=2r.
Rồi cho vòng tròn (O’) lăn
không trượt bên trong vòng
tròn (O) kéo theo tiếp điểm M chuyển động. Hỏi quỹ tích của M. (Bài này không
phải là tính toán, nhưng chứng minh 3 điểm thẳng hàng cũng coi như tính góc ).
Phương pháp 3. Đưa về việc tính góc ở hai hình đồng dạng.
Ví dụ 2.7
Cho ∆ABC có ∠A = α. Đường tròn (B,BA) và đường tròn (C,CA) cắt nhau ở
điểm nữa là D. Một đường thẳng qua D cắt hai đường tròn tại 2 điểm nữa tương
ứng là E và F (khác phía với nhau đối với D). Vẽ các tiếp tuyến với 2 đường tròn
tương ứng taij E và F, mà giao của chúng được gọi là G. Tính ∠EGF theo α.
Phân tích:
Xem hình 9. Ta có ∠GEF = ∠EAD, ∠GFE = ∠FAD, suy ra ∠GEF + ∠GFE =
∠EAF.
Dễ chứng minh được ∆AEF ∼ ∆ABC.
10
A
B
C
D
E
F
G
Vậy ∠EGF = 180

o
-α.
Chú ý:
Ta cũng có bài giống gần như hệt, chỉ khác là E và F nằm cùng phía với
nhau đối với D, ở hình 10. Lập luận khéo một chút là thấy ∠EGF = α. Thực ra
chúng ta có thể ghép 2 trường hợp này vào một bài để xem ai là người chu đáo
hơn khi giải.
Hình 10
Ví dụ 2.8
Cho ∆ABC và đường tròn nội tiếp trong nó có tâm là I và tiếp xúc với các
cạnh AB, BC và CA tại C
1
, A
1
và B
1
tương ứng. Cho BI kéo dài cắt đường thẳng
(A
1
B
1
) tại K. Gọi α là góc nhọn tạo bởi cặp đường thẳng (BI) và (A
1
B
1
).
Tính hiệu 2α - ∠A.
Phân tích
Dù ta gặp trường hợp như trên hình 11 hay hình 12 cũng đều lập luận như sau.
Chú ý rằng ∆CA

1
B
1
cân, ta có:
∠BKA
1
= ∠B
1
A
1
C - ∠IBC = 90
o
- (∠B + ∠C)/2 = ∠A/2.
11
A
B
C
D
E
F
G
Từ đó ⇒ 2α - ∠A=0.
12
Chú ý:
1/- Hoán vị vai trò của các các chữ A, B và C đi ta được các câu hỏi tương tự.
2/- Bài toán này có thể hỏi lại thành chứng minh tứ giác AIKB
1
nội tiếp.
3/- Thay đường tròn nội tiếp thành bẳng tiếp ta cũng vẫn được kết quả như cũ!
I

A
A
K
B
1
A
1
C
B
A
C
B
A
1
B
1
I
K
Hình 11 Hình 12
c/- Bài toán tính liên quan đến tỷ số các đoạn thẳng
Phương pháp 1. Dựa vào định lý Talet
Ví dụ 2.9
Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song
song với nhau, cùng phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các
điểm M và N di động sao cho
+ = , với a là một độ dài cho trước. Gọi I
là giao điểm của AN và BM. Chứng minh
rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng
(AB) là không đổi.

Hình 13
13
A
H
J
I
N
M
B
Phân tích:
Vẽ đoạn IJ song song với AM.
Khi đó, theo định lý Talét áp dụng vào tam giác, ta có:
= và = .
Cộng 2 đẳng thức đó lại, vế với vế, ta được
+ = IJ.( + ) = IJ. = 1.
Từ đó suy ra IJ = a không đổi ⇒ đ.p.c.m.
Bài tập thực hành:
Theo mốt của bài này ta có thể làm ra các bài tập mới:
1/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM +
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Tìm quỹ tích của I là giao điểm của
AN và BM.
2/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM +
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Gọi I là giao điểm của AN và BM.
Tìm vị trí của M và N để IA+IB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất?
3/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, khác phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM -
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Gọi I là giao điểm của AN và BM.
Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi.

4/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, khác phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho |1/AM -
1/BN| = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Gọi I là giao điểm của AN và BM.
Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi.
5/- Cho hai tia Ax và By tạo với nhau góc α. Điểm M và N chạy trên Ax và By
sao cho + = , với a là một độ dài không đổi. Gọi I và J là trung điểm của AB và
MN tương ứng. Chứng minh J cố định và tính IJ theo a và α
14
Ví dụ 2.10
Cho góc nhọn ∠xOy = α và điểm I cố
định trên đường phân giác trong của góc đó.
Một cát tuyến quay quanh I cắt Ox và Oy tại
A và B tương ứng. Chứng minh rằng
+ = ,
với a là một độ dài xác định được.
Hình 14
Phân tích:
Kẻ tia IC // Oy, cắt Ox ở C.
Thì ∆COI cân và ta có
OC = IC = không đổi, (hoàn toàn xác định), đặt bằng a.
Theo định lý Talét áp dụng vào tam giác ta có:
= và = .
Cộng hai đẳng thức đó lại, vế với vế, ta được
a.( + ) = = 1 và suy ra kết luận:
+ = , với a = , đ.p.c.m.
Bài tập thực hành:
Từ bài tập này ta có thể xây dựng nhiều bài tập tương tự, chẳng hạn:
1/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và

B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước. Chứng minh rằng AB
luôn đi qua một điểm I cố định! Tính OI theo a và α = ∠xOy. Xem hình 15.
2/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và điểm I cố định trên đường phân giác ngoài
của góc đó. Một cát tuyến quay quanh I cắt Ox
và Oy tại A và B tương ứng. Chứng minh rằng
| - | = 1/a, với a là một độ dài xác định được.
3/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và một cát
tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và B tương
ứng sao cho - = ,, với a là một độ dài cho
trước. Chứng minh rằng AB luôn đi qua một
điểm cố định!
15
C
z
y
x
I
B
A
O
E
D
C
z
y
x

I
B
A
O
Hình 15
4/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và
B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước. Chứng minh rằng AB
luôn đi qua một điểm cố định!
(Gợi ý: Lấy D trên Ox mà OD = 1 đ.v.đ.d. Vẽ DE = OD. Đường thẳng (OE) cắt
(AB) ở I. Do tính đồng dạng hay định lý Talét ta có CI = 2OC.
Ta tính tổng các tỷ số:
1 = + = + = OC.( + ) = OC. ⇒ OC = không đổi ⇒ C cố định ⇒ ).
5/- Từ thế hình này các bạn có thể tạo ra các bài toán cực trị rất hay, chẳn hạn cho
A và B chuyển động mà luôn thỏa mãn điều kiện như + không đổi. Tìm vị trí
của A, B để diện tích, hay chu vi của tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất
Ví dụ 2.11
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD
lấy điểm M tùy ý khác B và D. Hạ MH và MK
vuông góc với AB và AD tương ứng. DH va BK cắt
nhau ở I. Tính góc CMI. (Bản gốc là chứng minh C,
M và I thẳng hàng).
Hình 16
Phân tích:
Dễ thấy CK ⊥ DH và BH ⊥ CH và CM ⊥ KH (góc có cạnh tương ứng vuông
góc). Do 3 dường cao của một tam giác thì đồng quy, nên CM phải đi qua trực
tâm I. Hay C, M và I thẳng hàng, tức là góc CMI=180
o

.
Bài tập thực hành:
Thay đổi giả thiết ta có thêm nhiều bài tập hay:
1/- Vẫn cho hình vuông nhưng không cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình
vuông, trừ những điểm M mà cho hay MH.MK = AB.AD), C, M và I vẫn thẳng
hàng. (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
16
A
B
C
D
M
H
K
I
2/- Như 1/- nhưng thay thành hình chữ nhật, mọi thứ vẫn đúng!. Không cần cho
M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình chữ nhật, trừ những điểm M mà cho DH //
BK), C, M và I vẫn thẳng hàng. (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
3/- Như 2/- nhưng thay thành hình bình hành. Thay “Hạ MH và MK vuông góc
với AB và AD tương ứng” thành “Vẽ MH và Mk song song góc với AD và AB
mọi thứ vẫn đúng!. Không cần cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình bình
hành, trừ những điểm M mà (DH) // (BK)), C, M và I vẫn thẳng hàng.
A
B
C
D
H
K
I
M

P
Q
Hình 17
Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt:
Ta sẽ chứng minh 3 điểm C, M và I thẳng hàng nhờ định lý Menelauýt áp dụng
vào ∆HDP. Theo định lý Talét áp dụng vào tam giác, ta có:
= , (1); = , (2) và hiển nhiên = , (3).
Nhân 3 đẳng thức (1), (2) và (3) ta được = 1, đ.p.c.m.).
4/- Lại trở lại hình vuông ABCD, cho cạnh là a. Hạ MH và MK vuông góc với
AB và AD tương ứng. Tìm quỹ tích các điểm M trên mặt phẳng sao cho DH //
BK. (Gợi ý : Quỹ tích là đường hyperbol y = ).
5/- Cho tứ giác ABCD mà các đường thẳng (AB) và (CD) cắt nhau ở S, các
đường thẳng (AD) và (BC) cắt nhau ở T. Lấy một điểm M khác S và T. Đường
thẳng (MS) cắt (AD) ở K, Đường thẳng (MT) cắt (AB) ở H. Giả sử (DH) cắt
(BK) tại I. Tính số đo góc ∠CIM. Thực chất là chứng minh sự thẳng hàng của 3
điềm C, I và M. (Gợi ý : Dùng phép chiếu xuyên tâm, hay định lý Pappuýt).
Phương pháp 2. Dựa vào hình đồng dạng.
17
Ví dụ 2.12
Cho một đường tròn (O) và một
dây AB có trung điểm là I. Vẽ các dây
CD và EF đi qua I, cắt AB ở M và N
tương ứng. Tính tỷ số .
Phân tích:
Dễ thấy ∆IDE ∼ ∆ICF (g.g.g). Hạ OH
⊥ DE và OK ⊥ CF thì H và K là trung
điểm của DE và CF tương ứng.
Hình 18
Từ đó suy ra ∆IHE ∼ ∆ICK ⇒ ∠H
1

=
∠K
1
⇒ ∠H
2
= ∠K
2
. (1).
Các tứ giác OHNI và OKMI nội tiếp vì OI ⊥ MN suy ra ∠ONI = ∠H
2
và ∠OMI
= ∠K
2
.
Do đó và (1) ⇒ ∆OMN cân ⇒ = 1.
Bài tập thực hành:
1/- Bài toán này có nguồn gốc từ bài toán cánh bướm: Chúng minh IM = IN hay
tính hiệu IM - IN.
(Hiểu được cách giải rồi ta có thể chế biến thành bài trong ví dụ trên.)
2/- Cũng trong ví dụ trên ta cũng
có thể tính tý số .
3/- Ta không cho I làm điểm
giữa nữa mà là điểm tùy ý trên
đoạn AB trừ A và B.
Các đường trung trực của CF và
ED cắt đường vuông góc với AB
tại I, ở P và Q tương ứng.
Xem hình 19.
18
N

1
2
2
1
O
K
H
M
F
E
D
C
I
B
A
Q
P
N
M
K
H
O
I
F
E
D
C
B
A
Tính - hoặc là tính hiệu IM.IQ - IN.IP.

(Đáp án là 0).
Thực chất là chứng minh
- mà thôi.
Hình 19
4/- Cũng như 3/- nhưng thay bằng .
5/- Dễ hơn nữa thì tính hiệu - , - ,
Chú ý:
Cách giải cũng hơi khác ví dụ một chút mà thôi.
Hình 20
6/- Ta không cho I làm điểm trong đoạn AB mà cho I nằm trên đường thẳng (AB)
nhưng trừ A và B. Các đường trung trực của CF và ED cắt đường vuông góc với
AB tại I, ở P và Q tương ứng. Xem hình 18. Gợi ý: Ta chứng minh lần lượt:
∆IED ∼ ∆ICF, ∆IHD ∼ ∆IKF, ∠IHQ = ∠IKP, ∠INQ = ∠IMP, ∆INQ ∼ ∆IMP,
rồi suy ra các điều khác!
19
M
Q
N
P
B
H
O
K
F
E
D
C
I
A
d/- Bài tập tính diện tích các hình phẳng

Phương pháp 1. Tính theo các công thức có sẵn.
Ví dụ 2.12
Cho ∆ABC, có BC = a, biết trước ∠B
và ∠C. Tính diện tích của tam giác
∆ABC .
Hình 21
Phân tích:
“Để tính một đại lượng ta phân tích đại lượng đó theo một công thức thích hợp,
tính các yếu tố xuất hiện trong công thức, thay vào và rút gọn”.
Tạm gọi đường cao AH = h và diện tích ∆ABC là S, ta có: S = = .
Ta có:
a = BC = BH + CH = h.cotB + h.cotC = h.(cotB + cotC) ⇒
h = . Từ đó ta được kết quả!
Chú ý:
Kết quả phân tích trên vẫn đúng nếu một trong 2 góc B và C không nhọn!∠ ∠
Bài tập thực hành:
1/- Các bài tập loại giải tam giác như thế này thì quá
nhiều.
2/- Thay đổi chút ít như sau: Cho ∆ABC, bán kính
đường tròn ngoại tiếp là R, biết trươc B = 45∠
o
và
C = 60∠
o
. Xem hình 22. Tính diện tích của tam giác
đã cho.
Gợi ý: AC = AD.sin45
o
= R, AB = R.
Từ đó tính được BH và AH và Đáp số.

20
A
B
C
H
45
O
Hình 22
60
O
A
B
C
D
O
H
45
O
Phương pháp 1. Tính bằng tổng/hiệu các hình có công thức.
Ví dụ 2.13
Cho một hình thang ABCD có 2
đáy là AB và CD. Biết hai đường
chéo AC = 5a, BD = 3a. Gọi M và N
là trung điểm của AB va CD. Biết
MN = 2a. Tính diện tích của hình
thang.
Hình 23
Phân tích:
Vẽ BE // AC cắt (DC) tại E thì BE = 5a. Vẽ hình bình hành DBEQ thì ta có DQ
= 5a và cũng sẽ có BQ = 2MN = 4a. Do đó ∆DBQ vuông tại B.

Dễ thấy dt(ABCD) = dt(BCD) + dt(ABD) = dt(BCD) + dt(BCE) = dt(BDE) =
dt(BDQ) = 6a
2
.
Bài tập thực hành:
1/- Cũng vẫn cho hình thang ABCD (AB // CD), cho biết tỷ số = k. Hai đường
chéo cắt nhau tại O. Tính dt(OAD) + dt(OBC) theo S = dt(ABCD). Gợi ý: Cũng
vẽ BE // AC, E ∈ (CD). Khi đó dt(BDE)=S, vì cùng thêm bớt diện tích bằng nhau
dt(ABD) và dt(BCE). Do ∆OAB ∼ ∆OCD ∼ ∆BDE (có diện tích là S), tỷ số
đồng dạng là k đã biết, nên dễ dàng tính được diện tích các tam giác đó. Còn
dt(OAD) + dt(OBC) xẽ là hiệu S - dt(OAB) + dt(OCD),
2/- Đây là một bài tập hay: Cho một hình tứ giác lồi ABCD có diện tích là S. Các
điểm E và F trên AB, G và H trên CD sao cho AE = EF = FB và DH = HG = GH.
Tính dt(EFGH). Đáp số: S/3.
3/- Giống như 2/-
nhưng hay hơn:
Cho tứ giác
ABCD có diện
tích là S. Ngoài
các điểm E, F, G
và H, ta lại lấy
các điểm I và J trên AD, K và L trên BC sao cho AJ = JI = ID
21
A
B
C
D
M
N
P

E
Q
J
I
K
L
M
N
P
A
B
C
D
E
F
G
H
Q
và BK= KL = LC. Các đoạn thẳng EH và FG cắt JK ở M va
N, cắt IL ở Q Hình 24
và P. Tính dt(MNPQ). Đáp số: S/9. Xem hình 24.
Ví dụ 2.14
Cho ∆ABC. Gọi A
1
, B
1
và C
1
là các điểm chia
trong các đoạn BC, CA và AB tương ứng theo tỷ

số k. Gọi S là dt(ABC). Tính dt(A
1
B
1
C
1
) theo S.
Xem hình 25.
Hình 25
Phân tích:
Dễ dàng tính được S
a
= S
b
= S
c
= .S.
Từ đó suy ra dt(A
1
B
1
C
1
) = (1 - ).S = .S.
Bài tập thực hành:
1/- Cũng hỏi như trong ví dụ 1, nhưng ta cho các tỷ số mà A
1
, B
1
và C

1
là các
điểm chia trong tlà khác nhau.
2/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tính k để dt(A
1
B
1
C
1
) đạt gia trị
mã, min.
3/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tìm tập hợp các trọng tâm của
∆A
1
B
1
C
1
.
4/- Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Hai đường
chéo cắt nhau ở O, mà nó chia trong AC theo tỷ số
k
1
, chia trong BD theo tỷ số k
2
. Gọi A
1
, B
1
, C

1
và D
1

là các điểm chia trong các đoạn AB, BC, CD và DA
tương ứng theo tỷ số k. Gọi S
1
là dt(A
1
B
1
C
1
D
1
). Tính
S
1
theo S.
Phương pháp 2. Tính theo hình đồng dạng
Ví dụ 2.15
22
A
B
C
A
1
B
1
C

1
S
a
S
b
S
c
X
a
A
B
C
H
K
I
b
Cho ∆ABC cân ở A, có AB=AC=b, BC=a. Đường cao AH và BK cắt nhau ở
I. Tính dt(IBH) + dt(IAK).
Phân tích:
Diện tích S của ∆ABC dễ dàng tính đươc.
Ta có: ∆BHI ∼ ∆ABH, tính được IH và dt(BHI).
Ta lại có: ∆AIK ∼ ∆ACH, tính được IK và dt(AIK).
Từ đó tính được dt(IBH) + dt(IAK). Rút gọn cho đẹp được Đáp số!
Hình 26
Chú ý:
Làm như trên chưa ra đáp số đúng, vì có hai trường hợp: goc A của ∆ABC là
nhọn, xem hình 26, hay tù mà bạn chưa tính đến! Trường hợp sau cách tính cũng
tương tự.
Bài tập thực hành:
1/- Ta có thể chế biến đi như sau: Tìm hệ thức giữa a và b để dt(AIK) =

2.dt(BIH).
2/- Cho điểm A và I cố định, AI ⊥ d tại H, d là một đường thẳng cố định. Giá sử
B và C nằm trên d sao cho ∆ABC nhận H làm trực tâm và dt(AHC) = dt(BHI).
Tính diện tích ∆ABC theo h = AH và k = IH.
Ví dụ 2.16
Cho ∆ABC và một điểm M tùy ý trong tam giác.
Các đường thẳng AM, BM và CM cắt các cạnh đối
diện tại A
1
, B
1
và C
1
. Xem hình 26.
Hình 27
Tính tổng các tỷ số:
+ + .
Rồi suy ra tổng
+ + .
23
B
B
0
B
1
B2
C
C
0
C

1
C
2
M
A
A
0
A
1
A
2
Phân tích:
Qua M vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh kia
tại các điểm được đặt tên như trên hình 26. Khi đó theo định lý Talét áp dụng vào
tam giác, ta có:
+ + = + + = + = = 1.
24
Ta cũng có thể tính bằng cách dùng diện tích:
+ + = + + = 1,
ở đây S = dt(ABC).
Cuối cùng ta có:
+ + = + + = 3 - 1 = 2.
Bài tập thực hành:
1/- Sửa lại bài toán thành: + + . (Đáp số: 2).
2/- Sửa lại bài toán thành: Biết S = dt(ABC),
Tính + + theo S.
Chúc toàn thể các bạn đồng nghiệp có nhiều sáng tạo và đạt hiệu
quả cao trong công việc giảng dạy, đào tạo thế hệ trẻ phục vụ đắc
lực cho sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc!
$3. Một số bài tập tập khác

1/- Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6,∠BAC = 60
0
.
a/- Tính độdài cạnh BC và diện tích tam giác ABC.
b/- Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
2/- Cho đường tròn (O;r) và đường tròn (I;R) tiếp xúc ngoài nhau. Gọi AB là một
tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đã cho.
a/- Tính độ dài AB theo r và R.
b/- Gọi (J) là đường tròn tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn đã cho và tiếp
xúcvới AB. Tính bán kính đường tròn (J).
3/- Cho tam giác ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của
tam giác ∆ABC và K là trung điểm của BC. Giả sử B, H, O và C cùng thuộc một
đường tròn. Tính tỷ số OK/BC.
4/- Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trình tâm O, có AC ⊥ BD tại I. Biết
rằng IA = 6cm, IB = 8cm và ID = 3cm.
25