Toán cao cấp 2 đh kiến trúc th hcm

TOÁN CAO CẤP 2

TS. BÙI THANH DUY
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Trường Đại học Kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 7 tháng 9 năm 2022

Mục lục

1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1

1.1 CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 CHUỖI HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Định lý về tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Phương trình dạng tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Phương trình vi phân dạng đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Ptvp dạng y = h(ax + by) trong đó b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Ptvp tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5 Ptvp Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.6 Ptvp toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Ptvp thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Ptvp không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 1

LÝ THUYẾT CHUỖI

1.1 CHUỖI SỐ

1.1.1 Định nghĩa

Cho một dãy số (un) ⊂ R. Ta xét tổng vô hạn như sau: u1 + u2 + u3 + ... + un + ... Tổng vô
hạn trên được gọi là một chuỗi số và kí hiệu là

+∞

∑ un = u1 + u2 + ... + un + ...

n=1

Nếu khơng có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu là

∑ un = u1 + u2 + ... + un + ...

Ở đây, un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.

Ví dụ.

+∞ 1 1 1 1
∑ n = + 2 + ... + n + ...,
n=1 2 2 2 2

+∞ ∑ n sin 1 = sin 1 + 2 sin 1 + ... + n sin 1 + ...n2n
n=1

+∞ ∑ (−1)nen = − e−1 + e2 + ... + (−1)nen + ...
n=1 n! 1! 2! n!

Lịch sử số π. Số π có dạng thập phân π = 3.14159265358979323846264338327950288 · · · và được
biểu diễn dạng tổng vô hạn sau

14 1 5 9 2 6
π = 3+ + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +···

10 10 10 10 10 10 10

Bài tập. Tìm tổng 10 số hạng đầu của các chuỗi sau

1

TOÁN CAO CẤP 2

1. ∑ (−5)n 12 3. ∑ tan n 1 1
2. ∑ n2 2n2 − 1 + 1 4. ∑(0.6)n−1 5. ∑ √ − √
n n+1

6. ∑ 1 n(n + 2)

Bài tập. Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi số sau

1. 3 + 2 + 4 + 8 + . . . 3. 3 − 4 + 16 − 64 + . . . 10n
39 99 5. (−9)n−1
6. 1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + . . .
2. 1 − 1 + 1 − 1 + . . . 4. ∑ 6(0.9)n−1
842

1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ.

+∞

Xét chuỗi ∑ un = u1 + u2 + ... + un + · · · Đặt s1 = u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3,...,

n=1

sm = u1 + u2 + u3... + um. Lúc này sm được gọi là tổng riêng thứ m của chuỗi. Nếu lim sm
tồn tại hữu hạn và có giá trị bằng s thì ta nói chuỗi hội tụ và có tổng bằng s. Lúc này ta viết

+∞

∑ un = s. Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ.

n=1

Ví dụ. Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn

+∞ 1 1 1 1 1
∑ n = + + +···+ n +···
n=0 2 2 4 8 2

Tổng m số hạng đầu của cấp số nhân có số hạn đầu u1 = 1 , công bội q = 1 là
2 2

111 1 1
Sm = + + + · · · + m = 1 − m .
248 2 2

Khi m → +∞, Sm → 1. Vậy

+∞ 1 1 = 1.
1− m
∑ n = lim Sm = lim
n=0 2 m→+∞ m→+∞ 2

Chuỗi hình học.

+∞

Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi ∑ rn = 1 + r + r2 + · · · + rn + · · ·

n=0

TS. Bùi Thanh Duy 2

TOÁN CAO CẤP 2

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = r. Tổng của m số

hạng đầu Sm = 1 + r + r2 + · · · + rm−1 = 1 − rm .
1−r

• Nếu |r| < 1 thì lim S 1 − rn 1 +∞ n = lim = hữu hạn. Chuỗi ∑ rn hội tụ về 1 .
n→+∞ n→+∞ 1 − r 1 − r n=0 1−r

• Nếu |r| +∞

1 thì lim Sn = ∞ . Chuỗi ∑ rn phân kỳ.

n→+∞ n=0

Vậy

1
∑ r +∞ n = 1 − r  , hội tụ khi |r| < 1,
n=0  ∞, phân kỳ khi |r| 1.

Ví dụ. Tính tổng vơ hạn (nếu có)

5 − 10 + 20 − 40 + · · · .
3 9 27

Ta thấy

5 − 10 + 20 − 40 + · · · = 5(1 − 2 + 4 − 8 + · · · ).
3 9 27 3 9 27

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với r = − 2 là
3

24 8 1 − rn 3
1 − + − + · · · = lim Sn = lim =.
3 9 27 n→+∞ n→+∞ 1 − r 5

Nên tổng cần tìm

5 − 10 + 20 − 40 + · · · = 5 · 3 = 3.
3 9 27 5

Ví dụ. Tính tổng vơ hạn sau (nếu có)

1

∑ n2 + n.

1
Số hạng tổng quát un = 2 . Ta có

n +n

un = (n + 1) − n = 1 − 1 .
n(n + 1) n n + 1

Suy ra Sm = u1 + u2 + · · · + um = 1 − 1 .

m+1

Vậy lim Sm = 1 nên tổng cần tìm có giá trị bằng 1.

m→+∞

Bài tập. Tính các tổng vơ hạng sau (nếu có)

TS. Bùi Thanh Duy 3

TOÁN CAO CẤP 2

1. ∑ n2 1+ 2n 10. ∑ ln n2n2 + 2n + 2n + 1
2. ∑ n2 1+ 3n
3. ∑ (n2 1 + n)(n + 2) 1

11. ∑ √

n

4. ∑ (n2 + n)2 1 + 2n 12. ∑ 2n1

5. ∑ (n2 + n)3 1 + 3n + 3n2 (−1)n
6. ∑ (4n2 − 1)2 n
13. ∑ n

3

14. ∑ 3(−1)n + 5

7 n

7. ∑ (4n2 − 1)3 24n2 + 2 15. ∑ 2nn

16. ∑ 2n 2n − 1

8. ∑ √ 1 √ √ √
√√ 17. ∑ n + 2 − 2 n + 1 + n
n + 1 + n n2 + n

9. ∑ ln n n + 1 18. ∑ sin n!π 10

1.1.3 Ứng dụng

Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số, xấp xỉ diện tích của một hình bất kỳ
bằng diện tích của các hình chữ nhật trong phân hoạch,...

1.1.4 Các tính chất cơ bản

1. Giả sử ∑ un, ∑ vn hội tụ, lúc này ta có
i Chuỗi ∑ αun hội tụ và ∑ αun = α ∑ un với mọi α ∈ R.
ii Chuỗi ∑(un ± vn) hội tụ và ∑(un ± vn) = ∑ un ± ∑ vn.

2. Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ thì lim |un| = 0. Từ đó, ta suy ra rằng nếu lim |un| = 0
n→+∞ n→+∞

thì ∑ un phân kỳ.

TS. Bùi Thanh Duy 4

TOÁN CAO CẤP 2

∞ n2
2.
Ví dụ. Kiểm tra tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi ∑
n=1 5n + 4
n2
1
Ta có lim un = lim 2 = = 0 nên chuỗi phân kỳ.
n→+∞ n→+∞ 5n + 4 5

Bài tập. Chứng minh các chuỗi số sau đây phân kỳ.

• ∑ n sin 1n 1 • ∑ ln n + 1 n
• ∑ √2n2 2n + 3 + n + 1
• ∑n en −1 n
• ∑ n esin n1 − 1 2n3 + n + 1

• ∑√

4n6 + n2 + 1

+∞ +∞

3. Với mọi k ∈ N, ∑ un hội tụ hay phân kỳ tương đương với ∑ un hội tụ hay phân kỳ.
n=1
n=k

1 1 1
4. Chuỗi số ∑ p hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Ví dụ như ∑ √ phân kỳ còn ∑ √ hội

n n nn

tụ.

1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ

1. Tiêu chuẩn Cauchy.

Cho chuỗi số ∑ un, xét L = lim n |un|. Lúc này, ta có
(a) ∑ un hội tụ khi L < 1.
(b) ∑ un phân kỳ khi L > 1.

2. Tiêu chuẩn D’Alembert.
Giống tiêu chuẩn Cauchy nhưng L = lim un+1 .
un

Lưu ý: Cả hai tiêu chuẩn trên đều không giải quyết cho trường hợp L = 1.
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau ∑ (−1) ∞ n n n .3
n=1 3

n n33
Số hạng tổng quát un = (−1) n . Xét

un+1 (n + 1)3 3n 1 n+1 3
un = 3n+1 · n3 = 3 n

TS. Bùi Thanh Duy 5

TOÁN CAO CẤP 2

Suy ra

lim an+1 = 1 < 1.
n→∞ an 3

Do đó chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. √
1 ( n n)3
Ta cũng có thể khảo sát bằng tiêu chuẩn Cauchy như sau. Ta có |un| = |un| n = 3 .n

Suy ra lim n |un| = 1 < 1 vì lim √n n = 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
n→+∞ 3 n→+∞

Ví dụ. Chứng minh những điều sau đây.

(−1)n

(a) ∑ n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy và theo tiêu chuẩn D’Alembert.

n2

(b) ∑ 1n! hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.

n2

1 + 1n

(c) ∑ πn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

enn!

(d) ∑ n phân kỳ nhưng không dùng được hai tiêu chuẩn trên.

n
nn

(e) ∑ n phân kỳ và cũng không dùng được hai tiêu chuẩn trên (*).

e n!

3. Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.

Chuỗi số ∑ un hội tụ nếu ∑ |un| hội tụ.

(−1)n

Ví dụ. ∑ n hội tụ theo tiêu chuẩn vừa nêu.

2 n!

4. Tiêu chuẩn Leibnitz.

Cho chuỗi số ∑(−1)nun, trong đó un > 0, ∀n ∈ N. Chuỗi số này hội tụ nếu (un) là

một dãy số giảm về 0.

Ví dụ. ∑ (−1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz trong khi ∑ 1 phân kỳ.nn

5. Tiêu chuẩn so sánh.

Cho chuỗi số ∑ un.

(a) Nếu tồn tại k ∈ N sao cho 0 un vn, ∀n k và ∑ vn hội tụ thì ∑ un hội tụ.

n=k

(b) Nếu tồn tại k ∈ N sao cho 0 vn un, ∀n k và ∑ vn phân kỳ thì ∑ un phân

n=k

kỳ

Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

TS. Bùi Thanh Duy 6

TOÁN CAO CẤP 2

(a) ∑ 1 n(n + 1)(n + 2) , un = 1 n(n + 1)(n + 2) . Ta có

0 un = 1 1 , ∀n ∈ N.
n(n + 1)(n + 2) n3

Chọn vn = n31 , suy ra ∑ vn hội tụ. Vậy ∑ un hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

(b) ∑ 1 , un = 1
√ √ . Ta có
n+ n+1 n+ n+1

1 1 11
un = √ √ =√ 0, ∀n ∈ N.

n+ n+1 n + 2n2 + 2n2 3 n

11

Chọn vn = √ , suy ra ∑ vn phân kỳ. Vậy ∑ un phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh.

3n

(c) ∑ 1 + n4 n ln(1 + n) , un = 1 + n4 n ln(1 + n) . Ta có

0 un = n ln(1 + n) n2 1 , ∀n ∈ N.
1 + n4 n2
1+n 4

Chọn vn = n21 , suy ra ∑ vn hội tụ. Vậy ∑ un hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ khi dùng tiêu chuẩn so sánh.

i. sin u u, ∀u 0.

ii. ln(1 + u) u, ∀u > −1.

iii. ln(1 + u) u − u2 , ∀u > −1.
2

iv. 1 + u eu, ∀u ∈ R.

v. arctan u u, ∀u 0.

vi. 1 − u2 cos u, ∀u 0.

2

vii. sin u u − u3 , ∀u 0.
6

1u 1+ 1 u+1
viii. 1 + u e u
, ∀u > 0.

TS. Bùi Thanh Duy 7

TOÁN CAO CẤP 2

6. Tiêu chuẩn giới hạn. k. Lúc này, nếu

Cho chuỗi số ∑ un. Giả sử có k ∈ N và vn sao cho un, vn 0, ∀n
lim un v = L ∈ (0, +∞) thì n ∑ un và ∑ vn cùng tính chất. Hơn nữa,
(a) Nếu L = 0, ∑ un hội tụ nếu ∑ vn hội tụ.
(b) Nếu L = +∞, ∑ un phân kỳ nếu ∑ vn phân kỳ.

Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

n sin 1 n sin 1
(a) ∑ n , un = n . n n

2 2 0, ∀n ∈ N và lim un = lim n sin 1 = 1 ∈ (0, +∞). Hơn nữa,
1
Xét vn = n , ta có un, vn vn n

2

∑ vn hội tụ nên ∑ un cũng hội tụ theo tiêu chuẩn giới hạn.

1 1
(b) ∑ √n , un = √n .
nn nn

Xét vn = 1 , ta có un, vn 0, ∀n ∈ N và lim un v = lim √ n n1n = 1 ∈ (0, +∞). Hơn nữa, ∑ vn
n

phân kỳ nên ∑ un cũng phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn.

7. Tiêu chuẩn tích phân.

Cho hàm f là một hàm liên tục trên [k, +∞)(k ∈ N). Giả sử f (x) 0, ∀x ∈ [k, +∞) và
f là một hàm giảm trên (k, +∞). Lúc này,

+∞ +∞

(a) Nếu f (x)dx hội tụ thì ∑ f (n) hội tụ.

k n=k

+∞ +∞

(b) Nếu f (x)dx phân kỳ thì ∑ f (n) phân kỳ.

k n=k

Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

+∞ 1 1 2. Xét hàm số f (x) = 2 1 trên [2, +∞). Hàm số này là
2 , un = 2 , ∀n
(a) ∑
n=2 n ln n n ln n x ln x

+∞ 1 dx = 1 .

một hàm liên tục dương trên [2, +∞) và giảm trên (2, +∞). Hơn nữa, xln2 x ln 2

+∞ +∞ 2

Do đó ∑ f (n) hội tụ tức là ∑ 1
2 hội tụ.
n=2 n=2 n ln n

(b) ∑ np1 , un = np1 (p ∈ R).

TS. Bùi Thanh Duy 8

TỐN CAO CẤP 2

• Trường hợp p 0. Lúc này lim un = +∞ = 0 nên ∑ un phân kỳ.

• Trường hợp p > 0. Xét hàm số f (x) = xp1 trên [1, +∞). Hàm số này là một hàm liên
+∞
1 dx. Tích phân này
tục dương trên [1, +∞) và giảm trên (1, +∞). Xét tích phân xp

1

phân kỳ khi 0 < p 1 và hội tụ khi p > 1 nên ∑ un phân kỳ khi 0 < p 1 và hội
tụ khi p > 1. Vậy tóm lại ta thu được kết quả ∑ un phân kỳ khi p 1 và hội tụ khi

p > 1.

+∞ 1 +∞ 1 +∞ 1

(c) Tương tự ta chứng minh được ∑ ,∑ phân kỳ và ∑ 2
n=2 n ln n n=2 n ln n ln(ln n) n=2 n ln n ln (ln n)

hội tụ.

Bài tập.
Bài 1. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1. ∑ n3 n + 1 + 2n + 3 √ √ 2n + 3
2. ∑ √ 3 1 11. ∑ n5 n + 1 − n
22. ∑ n n
n n + 1(n + 2)
2.4 + 5

12. ∑ 2n 23. ∑ e2n sin (n)

n!

3. ∑ √ n + 3 4n3 + n + 1 13. ∑ 3n(n − 1)n2 2n + 3n
4. ∑ √ n + n2
n n2 24. ∑ n+3 n
4n8 + n4 + 1
14. ∑ ln 1 + n2n 1 25. ∑ (2n + 1)n (2n)!

5. ∑ n3 ln (1 + n) 15. ∑ ln n + 1 n n(n+ n1 )
6. ∑ n4 n ln (1 + n) + n + 3 n+ 1 n
1 1 n2 26. ∑
n
16. ∑ n 1 +e n

17. ∑ ln 1 + 1n! 27. ∑ (−2)n

n + sin 1 n+3 n
n
7. ∑ 1 + n4
18. ∑ nn n! 2
8. ∑ en3n− 1 19. ∑ 2n + 3n n
28. ∑ cos 1 n n
9. ∑ 1n ln n + 1n 20. ∑ (ln n)ln n 1
√

29. ∑ 2.4.6.(2n2 2.3.5...(2n − 1) )

10. ∑ n sin n41 1 +∞ (−1)n
30. ∑ √
21. ∑ n sin √ n=2 n + (−1) n

n

Bài 2*. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:

TS. Bùi Thanh Duy 9

TOÁN CAO CẤP 2

  4. ∑ sin 1n − ln 1 + n n

+∞ 1 


1. ∑ ln
 2 
n=2  1  n
n 5 sin n+1
2 5. ∑ π − arcsin
n5 6. ∑ 2 p
1 − n sin 1
2. ∑ arcsin(e−n)
n
3. ∑ 1n − ln 1 + n n
7. ∑ un, trong đó u1 = 1, un+1 = cos un

Hướng dẫn √ √
√ 4k2 − 1 = 2k − 1 2k + 1, ∀k ∈ N.

1.29. Dùng tiêu chuẩn so sánh với lưu ý 2k = 4k2

1.30. Nhân liên hợp và dùng tiêu chuẩn Leibnitz suy ra chuỗi đang xét phân kỳ.

ln 1 + u sin u − 1 u−sin u

2.1. Dùng tiêu chuẩn giới hạn, lưu ý lim u = 1, lim sin u = L > 0 và bất đẳng

3
u→0 sin u − 1 u→0 u
sin u
thức u sin u, ∀u 0. Chuỗi này phân kỳ.

2.2. Dùng tiêu chuẩn giới hạn, đặt un = arcsin(e−n). Chuỗi này hội tụ.

2.3. Dùng bất đẳng thức trong mục 9d phần iii. Chuỗi này hội tụ.

2.4. Dùng hai bất đẳng thức trong mục 9d phần iii, vii. Lưu ý chứng minh chuỗi đang xét là chuỗi

số dương bằng bất đẳng thức sin u u − u3 ln(1 + u), ∀u ∈ [0, 1]. Chuỗi này hội tụ.
6

π − arcsin(1 − x) √
2 √ = 2. Chuỗi này phân kỳ.
2.5. Dùng tiêu chuẩn giới hạn với lưu ý lim
x→0 x

2.6. Dùng tiêu chuẩn giới hạn với lưu ý lim 1 − sin x x p
x2
x→0 > 0. Chuỗi này hội tụ khi p > 1, phân
2

kỳ khi p 1.
2

2.7. Dùng quy nạp chứng minh 0 < un 1, ∀n ∈ N. Suy ra 0 < un−1 1. Vậy un cos 1 nên
lim un = 0. Chuỗi này phân kỳ.

Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2].

TS. Bùi Thanh Duy 10

1.2 Chuỗi lũy thừa TOÁN CAO CẤP 2

1.2.1 Định nghĩa (1.1)
Cho x ∈ R, tổng vô hạn sau đây được gọi là một chuỗi luỹ thừa

∑ an(x − x0)n,

trong đó an ∈ R, ∀n ∈ N.

1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa

Đặt un = an(x − x0)n, ta dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert như sau

1. Tính

L = lim n |un| = lim n |an||x − x0|
n→+∞ n→+∞

hoặc

L = lim un+1 = lim an+1 |x − x0|.
n→+∞ un n→+∞ an

Đặt A = lim n |an| hoặc A = lim an+1 . Suy ra L = A|x − x0|.
n→+∞ n→+∞ an

2. Theo tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert thì chuỗi (1.1) hội tụ nếu L < 1 và phân kỳ khi

L > 1. Xét L < 1, ta có A|x − x0| < 1, suy ra x ∈ x0 − 1 , x0 + 1 nếu A > 0. Vậy chuỗi
A A

(1.1) hội tụ với x ∈ x0 − 1 , x0 + 1 nếu A > 0, phân kỳ với x < x0 − 1 hay x > x0 + 1 .
A A A A

3. Nếu A = 0 thì chuỗi (1.1) hội tụ với mọi x ∈ R. Nếu A = +∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ với tại
x = x0.

1 1 (−1)n an an
4. Tại x = x0 − và tại x = x0 + , ta phải khảo sát sự hội tụ của ∑ n và ∑ n .
A A A A

Bài tập. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau

xn 3n(x − 3)n (x − 1)n 4. ∑ 2n (ln x)n

1. ∑ n 2. ∑ 2n + 3n+1 3. ∑ n24n n+2 n

n2

Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2].

Ta giải bài 1 như sau. Ta có x0 = 0, an = n 1 , suy ra an > 0, ∀n ∈ N. A = lim an+1 = 1 . Suy
n2 n→+∞ an 2
ra chuỗi hội tụ với x ∈ (−2, 2). Tại x = −2, ta có ∑ (−1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Tại
n
x = 2, ta có ∑ 1n phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đang xét là [−2, 2).

TS. Bùi Thanh Duy 11

TOÁN CAO CẤP 2

1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin

1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin

Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R và điểm x0 ∈ D và tồn tại R > 0 sao cho f khả vi vô hạn
lần trên (x0 − R, x0 + R) ⊂ D, Giả sử hàm số f (x) được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa
trên (x0 − R, x0 + R) như sau

f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + a3(x − x0)3 · · · + an(x − x0)n + · · · , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R).

Ta có nhận xét sau f (x0) = 1.2.a2, · · · f (n)(x0) = 1.2 · · · n.an = n!an.
f (x0) = a0, f (x0) = 1.a1,

Suy ra a f (n)(x n = 0) , n = 0, 1, 2, · · ·
n!

Chuỗi Taylor và Maclaurin.

Do đó ta có thể viết lại như sau

+∞ f (x) = ∑ f (n)(x0) (x − x0)n (1.2)

n=0 n!

= f (x0) + f (x0)(x − x0) + f (x0) (x − x0)2 + f (x0) (x − x0)3

2! 3!

+ · · · + f (n)(x0) (x − x0)n + · · · , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R).
n!

Chuỗi lũy thừa như trong (1.3) gọi là chuỗi Taylor của hàm f trên lân cận của x0. Trường
hợp x0 = 0 thì chuỗi này gọi là chuỗi Maclaurin.

1.3.2 Định lý

Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R và điểm x0 ∈ D. Giả sử tồn tại h > 0 sao cho f khả vi

vô hạn lần trên (x0 − h, x0 + h) ⊂ D. Hơn nữa, nếu với mọi n ∈ N, tồn tại số M 0 sao cho
| f (n)(x)| M thì

+∞ f (x) = ∑ f (n) (x0) (x − x0)n, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) .

n=0 n!

Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại h > 0 sao cho f khả vi vô hạn lần trên (x0 − h, x0 + h) ⊂ D

m nên với x ∈ (x f (n) (x 0 − h, x0 + h), đặt Tm(x) = ∑ 0) (x − x0)n. Tm gọi là đa thức Taylor bậc

n=0 n!

+∞ m của f tại x f (n) (x 0. Đặt Rm(x) = ∑ 0) (x − x0)n, Rm gọi là phần dư Taylor của f tại x0.

n=m+1 n!

Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số thì ta cần chứng minh lim Tm(x) = f (x) với mọi

m→+∞

TS. Bùi Thanh Duy 12

TOÁN CAO CẤP 2

x ∈ (x0 − h, x0 + h). Điều này tương đương với việc chứng minh

lim Rm(x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). (1.3)
m→+∞

Bằng nguyên lý quy nạp và do | f (m+1)(x)| M, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), người ta đã chứng minh
được bất đẳng thức sau đây gọi là bất đẳng thức Taylor

|Rm(x)| M|x − x0|m+1 .
(m + 1)!

Suy ra

|Rm(x)| Mhm+1
, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).

(m + 1)!

hk
Vì lim = 0 nên vế phải tiến về 0 khi m → +∞. Ta suy ra (1.3) tức là lim Tm(x) = f (x) với
k→+∞ k! m→+∞

+∞ mọi x ∈ (x f (n) (x 0 − h, x0 + h). Do đó f (x) = ∑ 0) (x − x0)n, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) .

n=0 n!

1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản

1 = ∑ x +∞ n = 1 + x + x2 + ... + xn + ..., ∀x ∈ (−1, 1)
1−x n=0

1 = ∑ (−1) +∞ nxn = 1 − x + x2 − ... + (−1)nxn + ..., ∀x ∈ (−1, 1)
1+x n=0

+∞ ln(1 + x) = ∑ (−1)nxn+1 = x − x2 + x3 − ... + (−1)nxn+1 + ..., ∀x ∈ (−1, 1)
n=0 n + 1 23 n+1

ex = ∑ = 1 + x + + ... + + ..., ∀x ∈ R +∞ xn x2 xn
n=0 n! 2! n!

+∞ cos x = ∑ (−1)nx2n =1 − x2 + x4 − x6 + ... + (−1)nx2n + ..., ∀x ∈ R
n=0 (2n)! 2! 4! 6! (2n)!

+∞ sin x = ∑ (−1)nx2n+1 =x − x3 + x5 − x7 + ... + (−1)nx2n+1 + ..., ∀x ∈ R
n=0 (2n + 1)! 3! 5! 7! (2n + 1)!

(1 + x)β +∞ = ∑ β (β − 1) ... (β − n + 1) xn
n=0 n!

= 1 + βx + β (β − 1) x2 + ... + β (β − 1) ... (β − n + 1) xn + ..., ∀x ∈ (−1, 1)
1! 2! n!

Ví dụ. Tìm khai triển Taylor của hàm f (x) = 1 tại điểm x0 = 2. Từ đó, tính f (2017)(2).
x

1 1 +∞
1 1 11 11 nn
Ta có f (x) = = = x−2 = = + ∑ (−1) u , ∀u ∈ (−1, 1) , trong
x 2 + (x − 2) 2 1 + 2 2 1 + u 2 2 n=1

TS. Bùi Thanh Duy 13

TỐN CAO CẤP 2

đó u = x − 2. Từ đó, suy ra f (x) = 1 + 1 +∞ ∑ (−1)n x − 2 n, ∀x ∈ (0, 4) . Vậy2
2 2 n=1 2

1 +∞ (−1)n n
f (x) = + ∑ n+1 (x − 2) , ∀x ∈ (0, 4) .
2 n=1 2

Đây là khai triển Taylor của f tại x0 = 2, tức là

+∞ f (x) = f (2) + ∑ f (n) (2) (x − 2)n, ∀x ∈ (2 − h, 2 + h) ,

n=1 n!

trong đó h = 2. Suy ra f (n) (2) (−1)n (2017) (−1)20172017!
= n+1 . Chọn n = 2017, ta được f (2) = 2018 .
n! 2 2
1
Ví dụ. Tìm khai triển Marclarin của hàm số f (x) = 2 .
x +x−2
Ta có:
1 1 11 1

f (x) = 2 = = − .
x + x − 2 (x − 1)(x + 2) 3 x − 1 x + 2

Ta lại có

11 = −1 1 = −1 +∞ , ∀x ∈ (−1, 1),
3 x−1 3 1−x 3
1 + ∑ xn
11 =1
3 x+2 6 n=1

=1 1 +∞ n x n 2 , ∀x ∈ (−2, 2).
6 1 + x2
1 + ∑ (−1) n
n=1

Như vậy nếu xét khai triển Maclaurin trên (−1, 1), ta thu được

f (x) = − 1 +∞ − ∑ 1 (−1)n xn = − 1 + ∑+∞ (−1)n+1 − 2n+1 xn, ∀x ∈ (−1, 1)
3 + 6.2n 3.2n+1
2 n=1 2 n=1

là khai triển Maclaurin cần tìm.
Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2].

1.4 CHUỖI HÀM

1.4.1 Định nghĩa
Cho ( fn): f1, f2, ... fn, ... là một dãy các hàm số xác định trên D ⊂ R. Tổng vô hạn sau

f1 + f2 + ... + fn + fn+1 + ...

được gọi là một chuỗi hàm xác định trên D, ký hiệu là ∑ fn hay ∑ fn(x).

Ví dụ.

1. Chuỗi lũy thừa ∑ an(x − x0)n, fn(x) = an(x − x0)n là một chuỗi hàm xác định trên R.

2. Chuỗi hàm ∑ lnn x 2 , fn(x) = lnn x +
2 là một chuỗi hàm xác định trên R .
1+x 1+x

TS. Bùi Thanh Duy 14

TOÁN CAO CẤP 2

1.4.2 Sự hội tụ

Cho chuỗi hàm ∑ fn(x), khi khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm này, người ta chia làm hai loại sau

đây

Hội tụ điểm.

1. Xét x0 ∈ D, nếu chuỗi số ∑ fn(x0) hội tụ ta nói ∑ fn(x) hội tụ điểm tại x0.
2. Nếu với mọi x0 ∈ D chuỗi số ∑ fn(x0) hội tụ ta nói ∑ fn(x) hội tụ điểm trên D.
3. Nếu ∑ fn(x) hội tụ điểm trên H ⊂ D thì ta nói H là miền hội tụ của chuỗi hàm ∑ fn(x).

Hội tụ đều.

m

Xét Fm(x) = ∑ fn(x) và ε > 0 nhỏ tùy ý cho trước. Ta nói ∑ fn(x) hội tụ đều về một hàm

n=1

f trên D nếu có số m(ε) ∈ N sao cho |Fm(x) − f (x)| < ε, ∀m m(ε), ∀x ∈ D.

Tiêu chuẩn Weierstrass về hội tụ đều.

Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên D, nếu tồn tại dãy số dương (un) sao cho | fn(x)|
un, ∀x ∈ D, ∀n ∈ N và ∑ un hội tụ thì chuỗi hàm ∑ fn(x) hội tụ đều trên D.

Ví dụ.

1. Xét chuỗi hàm ∑ xn, fn(x) = xn. Chuỗi hàm này xác định trên R và hội tụ với mọi x thỏa
|x| < 1. Vậy ∑ fn(x) hội tụ điểm trên (−1, 1) về hàm 1 1 − x . Lúc này ta cũng nói (−1, 1) là

miền hội tụ của chuỗi hàm trên.
2. Xét chuỗi lũy thừa (1.1). Giả sử (1.1) có bán kính hội tụ là R, lúc này (1.1) hội tụ đều trên

(−a, a) với a ∈ (0, R).

3. Tương tự, xét ∑ 1 + n3x2 nx với mọi x ∈ [0, 1]. Chuỗi hàm này cũng hội tụ điểm trên [0, 1].
4. ∑ x2 + n3 sin nx hội tụ đều trên R theo tiêu chuẩn Weierstrass (chọn un = n31 ).
5. Xét ∑(1 − x)xn−1 trên [0, 1]. Chuỗi hàm này hội tụ điểm về hàm f (x) = 1, x = 1, trên [0, 1]

0, x = 1

TS. Bùi Thanh Duy 15

TOÁN CAO CẤP 2

nhưng không hội tụ đều trên [0, 1]. Thật vậy, ta có

m 1 − xm, x = 1,
0, x = 1.
Fm(x) = ∑ (1 − x)xn−1 =

n=1

1, x = 1,
Suy ra lim Fm(x) = 0, x = 1 = f (x). Giả sử với mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý có m(ε) ∈ N sao cho
|Fm(x) − f (x)| < ε, ∀m m(ε). Lúc này, |Fm(x) − f (x)| = xm tiến về 1 khi x tiến về 1. Suy ra
1 < ε (vô lý).

Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2].

1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều

1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân

Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên [a, b]. Giả sử fn liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N và ∑ fn

hội tụ đều về một hàm f trên [a, b]. Lúc này, f là một hàm liên tục trên [a, b]. Hơn nữa, ta có

b b b

f (x)dx = ∑ fn(x)dx = ∑ fn(x)dx.

a a a

1.5.2 Định lý về tính khả vi

Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên [a, b]. Giả sử fn có đạo hàm liên tục trên [a, b] với mọi
n ∈ N và ∑ fn(x) hội tụ đều trên [a, b], hơn nữa ∑ fn(x) hội tụ điểm tại x0 ∈ (a, b). Lúc
này, ∑ fn hội tụ đều về một hàm f khả vi liên tục trên [a, b] và

f (x) = ∑ fn(x) = ∑ fn(x), ∀x ∈ (a, b).

Ví dụ. Tính các tổng vơ hạn sau

1. ∑ 2n , 2. ∑ 3nn , 3. ∑ (−1)n (n + 1)6n+1 3 . n+1 − 2n+1

n!

Bài 1: Dùng khai triển Maclaurin của hàm ex. Sau đó chọn x = 2.

Bài 2: Dùng khai triển Maclaurin của hàm 1 . Sau đó lấy đạo hàm hai vế và chọn x = 1.
1−x 3
Bài 3: Dùng khai triển Maclaurin của hàm 1 . Sau đó lấy tích phân hai vế trên 1, 1 .
1+x 32

TS. Bùi Thanh Duy 16

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN

Ở chương này, chúng ta làm quen với việc giải một phương trình mà trong đó nghiệm của phương
trình là một hàm số y := y(x) xác định trên khoảng D ⊂ R.

2.1.1 Định nghĩa

Một phương trình vi phân (ptvp) là một phương trình hàm (một biến) trong đó có chứa đạo hàm
của hàm cần tìm. Nếu bậc cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân là n thì phương trình
gọi là phương trình vi phân cấp n. Dạng tổng quát của một phương trình vi phân là

F(x, y, y , y , y , ..., y(n)) = 0, (2.1)

trong đó y là hàm cần tìm.
Một hàm số y(x) được gọi là nghiệm của ptvp (2.1) trên D nếu với mọi x ∈ D, y thỏa (2.1).

2.1.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân

1. Nghiệm tường minh. Nghiệm tường minh của một ptvp là nghiệm y của pt được biểu diễn
một cách cụ thể bởi một hàm số f (x). Ví dụ: ptvp y = 2x có nghiệm tường minh là y =
x2 + C(C ∈ R) là nghiệm tường minh của pt trong đó f (x) = x2 + C.

2. Nghiệm ẩn. Nghiệm ẩn của một ptvp là nghiệm y của pt được xác định từ một hệ thức không
chứa dấu đạo hàm g(x, y) = 0 được suy ra từ pt. Ví dụ: ptvp yy = x có nghiệm ẩn là một
hàm y được xác định từ hệ thức g(x, y) = 0, trong đó g(x, y) = x2 − y2 + C được suy ra từ
pt.

3. Nghiệm tổng quát. Nghiệm tổng quát của một ptvp là nghiệm có dạng y = f (x, C) trong đó
C ∈ R. Ví dụ: nghiệm y = x2 + C(C ∈ R) cũng là nghiệm tổng quát của ptvp y = 2x.

4. Nghiệm đặc biệt Với một giá trị C0 ∈ R. Nghiệm y = f (x, C0) gọi là một nghiệm đặc biệt

của ptvp. Ví dụ: nghiệm y = x2 + 1 hay y = x2 là 2 nghiệm đặc biệt của ptvp y = 2x.

17