TOÁN CAO CẤP 2

BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP 2
Ths.Đàm Thanh Phương, Ths.Ngô Mạnh Tưởng
Tháng 12 năm 2010
Mục lục
1 Hàm số nhiều biến số 1
1.1 Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Tập hợp trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số. . 7
1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Điều kiện cần của cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 TÍCH PHÂN KÉP 13
2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Định nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Các tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Ứng dụng hình học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
3 Tích phân đường 31
3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường: Công của một lực biến đổi . 31
3.2 Định nghĩa tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Cách tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân . . . . 38
3.6 Ứng dụng của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 Công của một lực biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Lý thuyết chuỗi 45
4.1 Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Các định lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.2 Chuỗi số đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 56
4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . 59
4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . 60
4.5.6 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 62
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ii
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
4.6 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.1 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier . . . . 65
4.6.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . 69
4.6.5 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Phương trình vi phân 73
5.1 Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Định nhĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân. . . . . . . . . . 74
5.1.3 Cấp của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.5 Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.2 Cách giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.1 Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2 Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . 79

5.3.3 Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng iii
Chương 1
Hàm số nhiều biến số
Mục đích yêu cầu
- Trong chương trình bày những khái niệm cơ bản và kết quả cơ bản về phép tính vi
phân của hàm số nhiều biến số; định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách
biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và
vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến
số và một số ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học.
- Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả trên, hiểu được ý
nghĩa của đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số
một biến và hàm số nhiều biến số.
1.1 Hàm số nhiều biến số
1.1.1 Tập hợp trong R
n
.
- Giả sử M (x
1
, x
2
, , x
n
) , N (y
1
, y
2
, , y

n
) là hai điểm trong R
n
. Khoảng cách giữa hai
điểm ký hiệu là d(M, N) được cho bởi công thức:
d (M, N) =




n

i=1
(x
i
− y
i
)
2
Với ba điểm A, B, C bất kỳ trong R
n
ta luôn có
d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C)
- Cho M
0
∈ R
n
. Người ta gọi ε - lân cận của M
0
là tập hợp những điểm M ∈ R

n
sao
cho d (M, M
0
) < ε. Lân cận của M
0
là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của M
0
.
- Điểm M ∈ E ⊂ R
n
được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε - lân cận nào đó
của M nằm hoàn toàn trong E. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong.
- Điểm N ∈ R
n
được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi ε - lân cận của N đều
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập
hợp E có thể thuộc E có thể không thuộc E. Tập hợp những điểm biên của E được gọi
là biên của nó.
- Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chữa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là
một bộ phận của E).
- Tập hợp E gồm những điểm M sao cho d (M
0
, M) < r, trong đó M
0
là một điểm
cố định, r là một số dương, được gọi là một quả cầu mở tâm M
0

, bán kính r. Tập hợp
những điểm M sao cho d (M
0
, M) ≤ r là một tập hợp đóng và được gọi là quả cầu đóng
tâm M
0
, bán kính r.
- Tập E được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa E.
Hình 1.1: Miền đơn liên và miền đa liên
Tập E được gọi là liên thông nếu có thể
nối hai điểm M
1
, M
2
bất kỳ của E bởi một
đường liên tục nằm hoàn toàn trong E; tập
hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó
bị giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu
nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau
từng đôi một(xem hình bên).
1.1.2 Định nghĩa.
Định nghĩa 1. Một hàm số n biến số thực là một ánh xạ từ tập hợp R
n
(tập hợp các bộ
n số thực) vào tập số thực R. Nói cách khác, với mỗi bộ n số thực (x
1
, x
2
, , x
n

) ∈ R
n
ta
có tương ứng một số thực u ∈ R theo một quy tắc f nào đó. Phần tử u ∈ R là ảnh của
phần tử (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
qua ánh xạ f được kí hiệu là u = f (u
1
, u
2
, , u
n
).
Để cho tiện ta dùng kí hiệu trên để chỉ hàm n biến và cần hiểu hàm n biến u:
f : R
n
→ R
u = f (x
1
, x
2
, , x
n
)

Với n = 2 hay n = 3 , người ta thường dùng ký hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z).
Thí dụ 1. Cho hàm hai biến
f : R
2
→ R, z =

a
2
− x
2
− y
2
(1.1)
Ta thấy để có z tương ứng với (x, y) theo hàm trên thì các số (x, y) phải thỏa mãn điều
kiện
a
2
− x
2
− y
2
 0 ⇔ x
2
+ y
2
 a
2
Miền chứa điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện trên cũng được gọi là miền xác định của
hàm, ở đây là miền hình tròn tâm O, bán kính a (kể cả đường biên). Hàm (1.1) có hình
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 2

Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
ảnh hình học là nửa mặt cầu tâm O bán kính a nằm phía trên mặt phẳng xOy.
Thí dụ 2. Hàm hai biến f : R
2
→ R, z = ax + by + c là hàm bậc nhất đối với hai
biến x và y. Nó xác định với mọi (x, y) và có hình ảnh hình học là một mặt phẳng trong
không gian.
Chú ý 1. Nếu cho một số biến của hàm nhiều biến các giá trị không đổi thì ta sẽ có
hàm với số biến ít hơn. Chẳng hạn với hàm hai biến z = f (x, y), nếu y = y
0
không đổi
trong suốt quá trình khảo sát thì ta có hàm của một biến x: z = f (x, y
0
) .
Chú ý 2. Nếu trong hàm hai biến z = f (x, y) ta cho z giá trị không đổi C thì phương
trình f (x, y) = C biểu diễn một đường cong(là giao tuyến của mặt phẳng z = C với mặt
cong z = f (x, y)). Trên đường cong này, các giá trị của hàm là như nhau. Ta gọi nó là
đường đồng mức của hàm f (với mức C). Biểu diễn một số đường đồng mức trên cùng
một hình vẽ ta có một hình ảnh về hàm đang xét. Thí dụ, trên một bản đồ địa lý, các
điểm có cùng một độ sâu được nối với nhau bằng các đường đồng mức.
Với hàm ba biến f (x, y, z), các mặt f (x, y, z) = C là các mặt đồng mức. Thí dụ trong
vật lý học, nếu hàm f là một hàm thế, cho giá trị của thế năng tại các điểm trong không
gian thì mặt đồng mức chính là các mặt đẳng thế.
1.1.3 Giới hạn và liên tục
Ta coi một bộ n số thực (x
1
, x
2
, , x
n

) như một điểm M trong không gian n chiều R
n
.
Như vậy hàm n biến u = f (x
1
, x
2
, , x
n
) sẽ được coi như hàm của điểm M: u = f (M).
Ta có khoảng cách giữa hai điểm A (a
1
, a
2
, , a
n
) và M (x
1
, x
2
, , x
n
) là số:
d (A, M) =

(x
1
− a
1
)

2
+ (x
2
− a
2
)
2
+ + (x
n
− a
n
)
2
Điểm M dần tới M
0
: M → M
0
khi và chỉ khi














x
1
→ a
1
x
2
→ a
2

x
n
→ a
n
Định nghĩa 2. 1. Hàm u = f (M) có giới hạn là l khi điểm M dần tới điểm A nếu
với mọi ε > 0 cho trước ta tìm được một số δ > 0 sao cho : khi 0 = d (A, M) < δ thì
|f (M) − l| < ε và ta viết lim
M→A
f (M) = l.
2. Hàm u = f (M) được gọi là liên tục tại điểm A nếu:
a. Nó xác định tại A.
b. lim
M→A
f (M) = f (A).
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến
1.2.1 Đạo hàm riêng.
Giả sử f là một hàm n biến xác định trong một miền xác định chứa điểm (x
1

, x
2
, , x
n
).
Ta cho số x
i
một số gia ∆x
i
còn giữ nguyên các biến khác (coi như hàm chỉ chứa biến
x
i
). Xét tỷ số
∆f
∆x
i
=
f (x
1
, , x
i
+ ∆x
i
, , x
n
) − f (x
1
, , x
i
, , x

n
)
∆x
i
Nếu ∆x
i
→ 0 mà tỷ số trên có giới hạn thì giới hạn của nó được gọi là đạo hàm riêng
lấy theo biến x
i
tại điểm (x
1
, x
2
, , x
n
) của hàm f. Kí hiệu đạo hàm riêng của hàm f lấy
theo biến x
i
là
∂f
∂x
i
, i = 1, 2, , n hay f

x
i
(x
1
, x
2

, , x
n
).
Như vậy muốn tính đạo hàm riêng của một hàm f theo một biến nào đó ta chỉ việc
tính đạo hàm của hàm đó theo biến đang xét (coi như hàm một biến), còn các biến khác
coi như hằng số.
Thí dụ 1 : Tính các đạo hàm riêng của hàm hai biến f (x, y) =
y
x
.
Ta có
∂f
∂x
= y

1
x


x
= −
y
x
2
;
∂f
∂y
=
1
x

(y)

y
=
1
x
Thí dụ 2: f (x, y) = x
y
. Khi lấy đạo hàm riêng theo x, coi như hằng số nên áp dụng
quy tắc đạo hàm hàm luỹ thừa:
∂f
∂x
= yx
y−1
. Khi lấy đạo hàm riêng theo y, coi x như
hằng số nên áp dụng quy tắc đạo hàm hàm mũ:
∂f
∂x
= x
y
ln x.
Thí dụ 3 : Cho f (x, y, z) =

x
2
+ y
2
+ z
2
. Tính các đạo hàm riêng cấp một.

∂f
∂x
=
x

x
2
+ y
2
+ z
2
;
∂f
∂y
=
y

x
2
+ y
2
+ z
2
;
∂f
∂z
=
z

x

2
+ y
2
+ z
2
Nếu đặt r =

x
2
+ y
2
+ z
2
thì r là độ dài của véc tơ
−−→
OM với M (x, y, z); gọi α, β, γ là
các góc tạo bởi véc tơ
−−→
OM với các trục Ox, Oy, Oz thì:
∂f
∂x
=
x
r
= cos α;
∂f
∂y
=
y
r

= cos β;
∂f
∂z
=
z
r
= cos γ
1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao.
Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng f
x

, f
y

là những đạo hàm
riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) được gọi là
những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:
∂
∂x

∂f
∂x

=
∂
2
f
∂x
2
= f


x
2
(x, y) ,
∂
∂y

∂f
∂x

=
∂
2
f
∂x∂y
= f

xy
(x, y)
∂
∂y

∂f
∂y

=
∂
2
f
∂y

2
= f

y
2
(x, y) ,
∂
∂x

∂f
∂y

=
∂
2
f
∂y∂x
= f

yx
(x, y)
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 4
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Thí dụ: Với hàm hai biến z = x
3
y
2
− 3xy
3
− xy + 1 ta có:

Các đạo hàm riêng cấp 1:
∂z
∂x
= 3x
2
y
2
− 3y
3
− y,
∂z
∂y
= 2x
3
y − 9xy
2
− x.
Các đạo hàm riêng cấp 2:
∂
2
z
∂x
2
= 6xy
2
;
∂
2
z
∂y

2
= 2x
3
− 18xy
∂
2
z
∂y∂x
= 6x
2
y − 9y
2
− 1;
∂
2
z
∂x∂y
= 6x
2
y − 9y
2
− 1
Nếu các đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hàm z = f (x, y) là liên tục thì chúng bằng
nhau; f

xy
(x, y) = f

yx
(x, y).

Các đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp hai (nếu có) được gọi là các đạo
hàm riêng cấp ba, Nếu các đạo hàm riêng là liên tục thì chúng không phụ thuộc thứ tự
lấy đạo hàm.
1.2.3 Vi phân toàn phần.
Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong một miền D chứa điểm (x
0
, y
0
). Xét số
gia toàn phần của hàm tại điểm (x
0
, y
0
):
∆f = f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
Ta có có thể biểu diễn số gia ∆f dưới dạng:
∆f = A∆x + B∆y + α (ρ) , ρ =

∆x
2
+ ∆y
2

(1.2)
Trong đó A, B độc lập đối với ∆x, ∆y, nó chỉ phụ thuộc vào x
0
và y
0
, α (ρ) là một vô
cùng bé cấp cao hơn ρ, tức là
α (ρ)
ρ
→ 0 khi ρ → 0 (cả ∆x và ∆y đều dần đến 0), thì ta
nói rằng hàm số z khả vi tại (x
0
, y
0
) và biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân toàn
phần của hàm z = f (x, y) tại điểm (x
0
, y
0
). Kí hiệu là df (x
0
, y
0
) hay dz.
Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) = x
2
+ y
2
Ta có
∆f = (x

0
+ ∆x)
2
+ (y
0
+ ∆y)
2
−

x
2
0
+ y
2
0

= 2x
0
∆x + 2y
0
∆y + ∆x
2
+ ∆y
2
Ở đây α (ρ) = ∆x
2
+ ∆y
2
vì
α (ρ)

ρ
=
∆x
2
+ ∆y
2

∆x
2
+ ∆y
2
=

∆x
2
+ ∆y
2
→ 0
khi ρ → 0 (∆x → 0, ∆y → 0) , α (ρ) là vô cùng bé có cấp cao hơn ρ
Vậy df (x
0
, y
0
) = 2x
0
∆x + 2y
0
∆y.
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 5
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2

Định lý 1. Nếu hàm z = f (x, y) có vi phân tại (x
0
, y
0
) thì nó cũng có các đạo hàm riêng
tại (x
0
, y
0
) và
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = A,
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = B
Chứng minh. Thực vậy, từ (1.2) ta có
∆y = 0 : f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x

0
, y
0
) = A∆x + α (|∆x|)
lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆x
= A + lim
∆x→0
α (|∆x|)
∆x
Khi ∆x → 0 thì giới hạn cuối cùng bằng không vì α (|∆x|) là vô cùng bé cấp cao hơn
∆x. Vậy
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = A
Chứng minh tương tự ta có

∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = B
Định lý 2. Nếu hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (x
0
, y
0
) thì nó có vi
phân tại điểm đó và
df (x
0
, y
0
) =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) ∆x +
∂f
∂y
(x
0
, y

0
) ∆y (1.3)
(Chứng minh xem [2] tập 3).
Sau này để tính vi phân toàn phần của hàm hai biến ta sẽ dùng công thức (1.3) và
viết nó dưới dạng thu gọn:
dz =
∂z
∂x
∆x +
∂z
∂y
∆y
Nếu các biến số x, y của hàm hai biến z = f (x, y) độc lập thì ta cũng có dx = ∆x và
dy = ∆y, khi đó vi phân toàn phần của hàm hai biến còn được viết dưới dạng:
dz =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm số nhiều biến hơn, chẳng hạn với hàm của ba
biến số độc lập u = f (x, y, z) ta có vi phân toàn phần của nó:
du =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy +

∂u
∂z
dz
Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm u = xyz tại điểm (x, y, z).
Ta có
∂u
∂x
= yz;
∂u
∂y
= xz;
∂u
∂z
= xy
Từ đó: du = yzdx + zxdy + xydz.
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 6
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh
giá sai số.
Từ công thức (1.2) ta thấy rằng khi ρ khá bé tức là |∆x| , |∆y| khá bé ta có công
thức tính gần đúng
f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y)  f (x
0
, y
0
) +

∂f
∂x
(x
0
, y
0
) ∆x +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) ∆y
Thí dụ: Tính gần đúng 1, 02
4,05
Xét hàm z = x
y
và áp dụng công thức gần đúng trên:
(x
0
+ ∆x)
y
0
+∆y
∼
=
x
y
0

0
+ y
0
x
y
0
−1
0
∆x + x
y
0
0
ln x
0
∆y
Cho x
0
= 1, ∆x = 0, 02, y
0
= 4, ∆y = 0, 05 ta có
1, 02
4,05
∼
=
1
4
+ 4.1
3
0, 02 + 1
4

.0 = 1, 08
Áp dụng của vi phân toàn phần vào việc đánh giá sai số:
Giả sử ta phải tính giá trị của hàm cho trước z = f (x, y) tại các giá trị của x và y mà
ta chỉ biết chúng một cách xấp xỉ. Nói cách khác với giá trị x ta mắc phải sai số ∆x, với
y ta mắc phải sai số ∆y, như vậy khi tính z theo các giá trị x + ∆x, y + ∆y ta sẽ mắc
phải sai số, sai số đó chính là ∆z. Do ∆x, ∆y khá bé nên ta có thể thay ∆z bởi dz.
Thông thường sai số ∆x của giá trị x, về trị tuyệt đối không vượt quá một số dương
∆
x
nào đó, số ∆
x
này được gọi là sai số tuyệt đối của x: |∆x|  ∆
x
.
Tương tự |∆y|  ∆
y
, với ∆
y
là sai số tuyệt đối cực đại của y.
Từ đó, |∆z|
∼
=
|dz| 




∂z
∂x





∆
x
+




∂z
∂y




∆
y
Vậy sai số tuyệt đối cực đại của z là: ∆
z
=




∂z
∂x





∆
x
+




∂z
∂y




∆
y
.
Chú ý : Nhiều khi người ta dùng sai số tương đối cực đại của z, đó là tỷ số: δ
z
=
∆
z
|z|
. Như
vậy,
δ
z
=





∂z/∂x
z




∆
x
+




∂z/∂y
z




∆
y
=




∂ ln|z|
∂x





∆
x
+




∂ ln|z|
∂y




∆
y
Sai số tương đối cực đại của z bằng sai số tuyệt đối của ln|z|.
1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp.
Cho hàm số z = f (x, y) có vi phân (khả vi đối với x và y). Giả sử x và y không phải
là biến số độc lập mà là hàm của một biến t nào đó: x = x (t) , y = (t) với giả thiết
chúng là các hàm khả vi đối với t. Như vậy, z = f (x, y) là hàm của biến số t, và ta cần
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 7
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
tính đạo hàm của nó theo t.
Vì hàm f có vi phân nên ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ), do đó
∆f
∆t

= A
∆x
∆t
+ B
∆y
∆t
+
α (ρ)
∆t
trong đó A, B độc lập với ∆x, ∆y nên cũng độc lập với ∆t nên khi ∆t → 0 thì:
A
∆x
∆t
→ A
dx
dt
, B
∆y
∆t
→ B
dy
dt
Mặt khác,
∆ (ρ)
∆t
=
α (ρ)
ρ
·


∆x
2
+ ∆y
2
∆t
=
α (ρ)
ρ
·


∆x
∆t

2
+

∆y
∆t

2
Các hàm x(t), y(t) khả vi nên liên tục, vì vậy, khi ∆t → 0 thì cả ∆x, ∆y → 0 tức là
ρ → 0. Theo định nghĩa của vi phân
α (ρ)
ρ
→ 0 khi ρ → 0. Do đó khi ∆t → 0 thì
α (ρ)
ρ
→ 0 ·



dx
dt

2
+

dy
dt

2
= 0
Vậy
lim
∆t→0
∆f
∆t
= A
dx
dt
+ B
dy
dt
hay
df
dt
=
∂f
∂x
dx

dt
+
∂f
∂y
dy
dt
Ta có thể mở rộng kết quả trên cho trường hợp hàm hợp của hai biến:z = f (x, y) với
x = x (u, v) , y = y (u, v). Khi đó nếu hàm z là khả vi đối với x, y; các hàm x, y khả vi đối
với u, v thì hàm hợp z = f [x (u, v) , y = y (u, v)] cũng khả vi đối với u, v và ta có:
df
du
=
∂f
∂x
·
dx
du
+
∂f
∂y
·
dy
du
df
dv
=
∂f
∂x
·
dx

dv
+
∂f
∂y
·
dy
dv
Thí dụ 1 : Cho hàm số z = e
x
2
+y
2
trong đó x = a cos t, y = b sin t
Ta có:
∂z
∂x
= 2xe
x
2
+ y
2
;
∂z
∂y
= 2ye
x
2
+ y
2
;

dx
dt
= −a sin t;
dy
dt
= bcost
do đó
dz
dt
= 2e
x
2
+ y
2
(−ax sin t + bycost) = e
x
2
+ y
2
sin 2t(b
2
− a
2
)
Thí dụ 2 : Cho hàm số z = x
2
+ y
2
trong đó x = u + v, y = u − v
Khi đó:

dz
du
=
∂z
∂x
·
dx
du
+
∂z
∂y
·
dy
du
= 2x + 2y = 4u
dz
dv
=
∂z
∂x
·
dx
dv
+
∂z
∂y
·
dy
dv
= 2x − 2y = 4v

Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 8
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.3 Cực trị của hàm nhiều biến
1.3.1 Định nghĩa.
Hàm n biến z = f(x
1
, x
2
, , x
n
) có cực đại tại (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) trong một miền D nếu
với mọi điểm (x
1
, x
2
, , x
n
) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x
0
1
, x

0
2
, , x
0
n
)
(∗)
ta có:
f(x
1
, x
2
, , x
n
)  f(x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
)
Hàm n biến z = f(x
1
, x
2
, , x
n

) có cực tiểu tại (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) trong một miền D nếu
với mọi điểm (x
1
, x
2
, , x
n
) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
)
(∗)
ta có:
f(x
1

, x
2
, , x
n
)  f(x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
)
Thí dụ: Hàm z = f (x, y) = x
2
+ y
2
có cực tiểu tại (0, 0) vì với mọi x, y ta luôn có
f (x, y) = x
2
+ y
2
 0 = f(0, 0)
1.3.2 Điều kiện cần của cực trị.
Định lý 3. Nếu hàm khả vi z = f(x
1
, x
2
, , x

n
) có cực trị tại điểm (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) thì các
đạo hàm riêng của hàm tại điểm đó triệt tiêu z

x
i
= f

x
i
(x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) = 0, i = 1, , n và
điểm (x

0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) được gọi là điểm dừng của hàm số z = f(x
1
, x
2
, , x
n
).
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp hàm hai biến z = f (x, y). Giả sử nó có
cực trị tại điểm (x
0
, y
0
). Xét hàm một biến z = f (x, y
0
), do giả thiết nó có cực trị tại
điểm x = x
0
, theo điều kiện cần của cực trị hàm một biến ta có
∂z
∂x
= 0 tại điểm (x
0

, y
0
).
Tương tự ta có
∂z
∂y
= 0 tại điểm (x
0
, y
0
).
Trong thí dụ ở trên ta đã chứng tỏ hàm z = x
2
+ y
2
có cực tiểu tại (0,0). Ta có
∂z
∂x
= 2x = 0;
∂z
∂y
= 2y = 0
tức là các đạo hàm riêng tại điểm cực trị (0, 0) triệt tiêu.
Chú ý: Điều kiện các đạo hàm riêng bị triệt tiêu chỉ là điều kiện cần chứ không phải
là đủ. Thật vậy, hàm số z = x
2
− y
2
có các đạo hàm riêng triệt tiêu tại (0, 0), nhưng ta
có f(0, 0) = 0, nếu lấy các điểm (x, y) thuộc lân cận điểm (0, 0) mà x > y thì f(x, y) > 0,

còn nếu lấy các điểm mà x < y thì f(x, y) < 0, nên theo định nghĩa cực trị thì hàm số
không có cực trị tại (0, 0).
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 9
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến.
Định lý 4. Giả sử hàm z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một và cấp
hai của nó trong một miền chứa điểm (x
0
, y
0
). Tại (x
0
, y
0
) các đạo hàm riêng cấp một
triệt tiêu. Đặt
A =
∂
2
z
∂x
2
(x
0
, y
0
) ; B =
∂
2
z

∂x∂y
(x
0
, y
0
) ; C =
∂
2
z
∂y
2
(x
0
, y
0
)
• Nếu AC − B
2
> 0 thì f(x, y) có cực trị tại điểm (x
0
, y
0
), f(x, y) đạt cực đại nếu
A < 0; đạt cực tiểu nếu A > 0.
• Nếu AC − B
2
< 0 thì f(x, y) không có cực trị tại điểm (x
0
, y
0

).
• Nếu AC − B
2
= 0 thì f (x, y) có thể đạt cực trị tại điểm (x
0
, y
0
), cũng có thể không
đạt cực trị tại (x
0
, y
0
) (trường hợp nghi ngờ).
(Chứng minh xem [2] tập 3).
Thí dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm z = 2x
3
+ xy
2
+ 5x
2
+ y
2
Ta có

z

x
= 6x
2
+ y

2
+ 10x
z

y
= 2xy + 2y
⇒

z

x
= 0
z

y
= 0
⇔

6x
2
+ y
2
+ 10x = 0
2xy + 2y = 0
Giải hệ ta tìm được bốn điểm dừng là
M
1
(0, 0) , M
2


−
5
3
, 0

, M
3
(−1, 2) , M
4
(−1,−2)
Mặt khác ta có
∂
2
z
∂x
2
= 12x + 10;
∂
2
z
∂x∂y
= 2y;
∂
2
z
∂y
2
= 2x + 2
Tại M
1

: A = 10; B = 0; C = 2, AC − B
2
> 0, A > 0 do đó hàm số có cực tiểu.
Tại M
2
: A = −10; B = 0; C = −
4
3
, AC − B
2
> 0, A < 0 do đó hàm số có cực đại.
Tại M
3
: A = −2; B = 4; C = 0, AC − B
2
< 0 do đó hàm số không có cực trị.
Tại M
4
: A = −2; B = −4; C = 0, AC − B
2
< 0 do đó hàm số không có cực trị.
1.4 Bài tập
1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau:
z =
1

a
2
− x
2

− y
2
; z = arcsin

x
y
2

z = ln

−
x
y

; u =
√
x + y + z
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 10
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.2. Tìm các đường đồng mức của các hàm
1) z = 2x + y; 2) z =
x
y
; 3) z =
√
x
y
1.3. Cho hàm số
1, f (x, y) =


xy +
x
y
. Tính f

x
(2, 1) f

y
(2, 1).
2, z = e
x
2
+ y
2
. Tính z

x
, z

y
.
1.4. Chứng tỏ rằng hàm số z = y ln(x
2
− y
2
) thỏa mãn phương trình
1
x
∂z

∂x
+
1
y
∂z
∂y
=
z
y
2
1.5. Cho x = rcosϕ, y = rsinϕ. Tìm







∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂ϕ








1.6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
1) z = ln(x +

x
2
+ y
2
)
2) u = e
x
(cosy + xsiny)
3) u = x
y
2
z
1.7. Tính gần đúng:
1) arctg
1,02
0,95
; 2)
3

1, 02
2
+ 0, 05
2
; 3)


sin
2
1, 55 + 8e
0,015
1.8.
1) Cho hàm z = y ln x. Tìm z

xx
, z

xy
, z

yy
.
2) Cho hàm z = ln tg

y
x

. Tìm z

xy
.
1.9. Cho hàm
1) z =
1
2
ln

u
v
với u = tg
2
x, v = cot g
2
x. Tìm z

x
.
2) z =
x
2
− y
x
2
+ y
với y = 3x + 1. Tìm
dz
dx
.
1.10. Cho hàm u =
1
r
với r =

x
2
+ y
2

+ z
2
. Chứng tỏ rằng:
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0
1.11. Tìm các cực trị của các hàm
1) z = x
2
+ xy + y
2
− 3x − 6y
2) z =
1
2

xy + (47 − x − y)

x
3
+
y
4

Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 11
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 12
Chương 2
TÍCH PHÂN KÉP
Mục đích yêu cầu:
- Chương này nghiên cứu về tích phân kép. Đó là sự mở rộng của tích phân xác định của
hàm số một biến số sang tích phân của hàm số hai biến số, do đó có rất nhiều điểm tương
tự với tích phân xác định.
- Khi học, sinh viên cần nắm vững định nghĩa, các tính chất và cách tính tích phân kép
trong hệ tọa độ Đề-các và trong hệ tọa độ cực, cũng như các ứng dụng của tích phân kép.
2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong
Giả sử cần tính thể tích của vật thể hình trụ cong, đáy dưới là miền hữu hạn D trong
mặt phẳng Oxy, đáy trên là mặt cong có phương trình z = f(x, y) và các đường sinh
song song với Oz. Hàm số z = f(x, y) liên tục và không âm trong miền D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n miền con d
0
, d
1
, , d
n−1
có các diện tích tương ứng

là ∆s
0
, ∆s
1
, , ∆s
n−1
và qua biên của các miền nhỏ ấy dựng các mặt trụ đường sinh
song song với Oz. Như vậy hình trụ cong đã cho được chia thành n hình trụ cong nhỏ.
Hình 2.1: Thể tích vật thể hình trụ
Để tính thể tích của hình trụ cong nhỏ thứ i,
lấy trong miền nhỏ d
i
một điểm tuỳ ý M
i
(ξ
i
, η
i
).
Theo giả thiết, hàm số f(x, y) liên tục trong miền
D nên trên miền nhỏ d
i
giá trị của nó khác f (M
i
)
rất ít. Vậy thể tích hình trụ cong thứ i có thể
xem gần đúng bằng hình trụ thẳng, có diện tích
đáy là ∆s
i
chiều cao là f (M

i
) và thể tích của vật
thể hình trụ cong đã cho gần đúng bằng:
V
n
=
n−1

i=0
f (M
i
) ∆s
i
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Dễ thấy rằng khi tăng số phần chia n lên sao cho các mảnh nhỏ d
i
có đường kính λ
i
nhỏ lại thì sự khác nhau giữa V và V
n
càng ít. Do đó thể tích V của vật thể hình trụ cong
đã cho được xem là giới hạn của V
n
khi n → ∞ sao cho đường kính lớn nhất trong các
đường kính λ
i
của các miền nhỏ d
i
tiến đến không. Vậy:
V = lim

max λ
i
→0
(n→+∞)
V
n
= lim
max λ
i
→0
(n→+∞)
n−1

i=0
f (M
i
) ∆s
i
(2.1)
2.2 Định nghĩa tích phân kép
Cho hàm số hai biến z = f(x, y) xác định trong miền hữu hạn D thuộc mặt phẳng
Oxy. Thực hiện các bước sau:
1. Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ d
0
, d
1
, , d
n−1
có các diện tích tương ứng là:
∆s

0
, ∆s
1
, , ∆s
n−1
.
2. Trong mỗi miền nhỏ d
i
, lấy một điểm tuỳ ý M
i
(ξ
i
, η
i
) và tính f(M
i
)∆s
i
= f(ξ
i
, η
i
)∆s
i
3. Lập tổng I
n
=
n−1

i=0

f (M
i
) ∆s
i
Tổng I
n
được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trong miền D
4. Tìm giới hạn I
n
khi n → ∞ sao cho maxλ
i
→ 0. Nếu tổng I
n
tiến đến một giới hạn
xác định I không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M
i
trong mỗi miền
nhỏ d
i
thì giới hạn I được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, ký hiệu
là

D
f (x, y) ds.
Vậy:

D
f (x, y) ds = lim
max λ
i

→0
(n→+∞)
n−1

i=0
f (M
i
) ∆s
i
(2.2)
f(x, y) gọi là hàm dưới dấu tích phân, ds gọi là yếu tố diện tích, D gọi là miền lấy tích
phân, x, y gọi là các biến số tích phân. Nếu

D
f (x, y) ds tồn tại thì ta nói rằng hàm
f(x, y) khả tích trong miền D.
Người ta chứng minh được rằng: Nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền hữu hạn D thì
khả tích trong miền D.
Trở lại bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép và dựa vào định nghĩa tích phân kép
vừa nêu ta có:
V = lim
max λ
i
→0
(n→+∞)
n−1

i=0
f (M
i

) ∆s
i
=

D
f (x, y) ds
Cần lưu ý là bài toán tính thể tích của vật thể hình trụ cong chỉ là một trong rất nhiều
bài toán thực tế dẫn đến khái niệm tích phân kép, do đó không nên hiểu tích phân kép
chỉ là thể tích, mà phải hiểu rằng tích phân kép là một con số, con số ấy chỉ phụ thuộc
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 14
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
vào hàm số dưới dấu tích phân f(x, y) và miền lấy tích phân D mà không phụ thuộc vào
ký hiệu của biến số lấy tích phân, nghĩa là:

D
f (x, y) ds =

D
f (u, v) ds
2.3 Các tính chất của tích phân kép
Dựa vào định nghĩa, ta thấy cách xây dựng tích phân kép và tích phân xác định hoàn
toàn giống nhau, do đó các tính chất của tích phân kép, cũng như cách chứng minh các
tính chất ấy đều hoàn toàn tương tự tích phân xác định. Ở đây ta chỉ phát biểu tính chất
mà không chứng minh.
Tính chất 1:

D
kf(x, y)ds = k

D

f(x, y)ds, (k = const)
Tính chất 2:

D
[f
1
(x, y) + f
2
(x, y) − f
3
(x, y)] ds =

D
f
1
(x, y) ds+

D
f
2
(x, y) ds−

D
f
3
(x, y) ds
Tính chất 3: Nếu miền lấy tích phân D chia thành hai miền D
1
, D
2

rời nhau thì:

D
f (x, y) ds =

D
1
f (x, y) ds +

D
2
f (x, y) ds
Tính chất 4: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x, y) ≥ 0 thì

D
f (x, y) ds  0
còn nếu f(x, y) ≤ 0 thì ta có

D
f (x, y) ds  0
Tính chất 5: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x, y) ≥ g(x, y) thì

D
f (x, y) ds 

D
g (x, y) ds
Tính chất 6: Nếu m, M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f(x, y) trong miền
D, nghĩa là m ≤ f(x, y) ≤ M tại mọi điểm (x, y) ∈ D thì:
mS

D


D
f (x, y) ds  MS
D
Trong đó S
D
là diện tích của miền D
Tính chất 7: (Định lý giá trị trung bình). Nếu f(x, y) liên tục trong miền D thì trong
miền đó tìm được ít nhất một điểm M
i
(ξ
i
, η
i
) sao cho:

D
f (x, y) ds = f (ξ
i
, η
i
) S
D
Giá trị của hàm số f(x, y) tại điểm M
i
(ξ
i
, η

i
) gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x, y)
trong miền D
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 15
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các
Hình 2.2: Chia miền D
Như đã biết trong định nghĩa tích phân kép, giới
hạn I không phụ thuộc vào cách chia miền D
thành những miền nhỏ nên trong hệ toạ độ đề-
các, để cho tiện người ta chia miền D thành các
miền nhỏ bởi các đường thẳng song song với các
trục toạ độ Ox, Oy. Khi đó, mỗi miền nhỏ d
i
nói
chung là một hình chữ nhật, có các cạnh song
song với các trục toạ độ và có chiều dài là dx, dy.
Bởi vậy, yếu tố diện tích ds = dxdy và ký hiệu
tích phân kép thường viết dưới dạng:

D
f (x, y) dxdy
Để tính tích phân kép, chú ý rằng trường hợp f(x, y) ≥ 0 trong miền D,

D
f (x, y) dxdy
bằng số đo thể tích V của vật thể hình trụ cong, đáy dưới là miền D trong mặt phẳng ,
đáy trên là mặt cong z = f(x, y) và các đường sinh song song với Oz. Do đó muốn tính
tích phân kép trong trường hợp f(x, y) ≥ 0 chỉ cần tính thể tích của vật thể hình trụ
cong. Thể tích ấy được tính bằng công thức:

V =
b

a
S (x) dx (2.3)
trong đó S(x) là diện tích của thiết diện tạo nên bởi giao diện của mặt phẳng thẳng góc
với trục hoành tại điểm x và vật thể, còn x = a, x = b là phương trình của những mặt
phẳng giới hạn hai đầu của vật thể.
Giả sử miền D thoả mãn điều kiện sau: mọi đường thẳng song song với trục Oy cắt
biên của miền D không quá hai điểm.
Trong mặt phẳng, vẽ hai đường thẳng song song với trục Oy và tiếp xúc với biên của miền
D tại các điểm A, B, có hoành độ lần lượt là a, b. Hai điểm này chia biên của miền thành
hai đường cong AP B và ARB, có phương trình lần lượt là y = ϕ
1
(x) và y = ϕ
2
(x). Cắt
vật thể hình trụ cong đã cho bằng mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x với
x ∈ (a, b). Thiết diện nhận được là hình thang cong P MNR; phía trên giới hạn bởi đường
cong MN có phương trình là z = f(x, y), xem như hàm số một biến số y (vì đường cong
MN là giao tuyến của mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x và mặt cong S có
phương trình là z = f(x, y); phía dưới là đoạn thẳng P R song song với trục Oy và hai
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 16
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
cạnh bên là P M và RN. Ta có IP = ϕ
1
(x) và IR = ϕ
2
(x). Theo công thức tính diện tích
hình thang cong ta có:

S
thangcongP M NR
= S (x) =
ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy
Hình 2.3:
Thay biểu thức của S(x) vào công thức (2.3)
ta có:
V =
b

a



ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy




dx
Nhưng
V =

D
f (x, y) dxdy
nên:

D
f (x, y) dxdy =
b

a



ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy



dx

Người ta thường viết dưới dạng

D
f (x, y) dxdy =
b

a
dx
ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy (2.4)
Tóm lại, để tính tích phân kép ta chỉ cần tính lần lượt hai tích phân xác định. Đầu tiên,
tính
ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy, xem x là hằng số, kết quả cho ta một hàm số của x. Tính tích phân
hàm ấy theo x từ a đến b ta được kết quả phải tìm.
Hình 2.4:
Bây giờ giả sử mọi đường thẳng song song
với trục Ox cắt biên của miền D không quá hai

điểm. Nếu ta cắt vật thể hình trụ cong đã cho
bởi một mặt phẳng thẳng góc với trục tung tại
điểm y và lý luận tương tự như trên, ta có công
thức tính tích phân kép sau:

D
f (x, y) dxdy =
d

c
dy
ψ
2
(y)

ψ
1
(y)
f (x, y) dx (2.5)
trong đó x = ψ
1
(y) là phương trình đường cong CQE; x = ψ
2
(y) là phương trình đường
cong CSE; C và E là những điểm tiếp xúc giữa các đường thẳng song song với trục Ox
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 17
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
và biên của miền D; c và d là tung độ các điểm C và E.
Chú ý rằng, nếu dùng công thức (2.5) để tính tích phân kép thì đầu tiên tính
ψ

2
(y)

ψ
1
(y)
f(x, y)dx,
xem y là hằng số, kết quả cho ta một hàm số của y. Tính tích phân hàm số ấy theo y từ
c đến d ta được kết quả phải tìm.
Chú ý
1. Trong trường hợp f(x, y) < 0 trong miền D, người ta chứng minh được rằng các công
thức tính tích phân kép (2.4) và (2.5) vẫn đúng.
2. Công thức (2.4) gọi là tính theo y trước, x sau và (2.5) gọi là tính theo x trước, y sau.
3. Khi tính tích phân kép bằng công thức (2.4) và (2.5), vấn đề xác định cận tích phân
(hay thứ tự lấy tích phân) đóng một vai trò rất quan trọng. Điều này sẽ được minh hoạ
rõ trong những ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1. Xác định các cận tích phân trong tích phân kép

D
f(x, y)dxdy với:
a, D là miền giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2
b, D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x
2
và x + y = 2
Giải:
Hình 2.5:
a, Hoành độ của các giao điểm A và B được
xác định bởi phương trình

2x
2
= 2; x = ±1.
Vậy: x
A
= −1; x
B
= 1
Áp dụng công thức (2.4), tính tích phân theo y
trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy
rằng đường cong AOB giới hạn phía dưới của
miền D có phương trình y = 2x
2
; đường thẳng
AB giới hạn phía trên của miền D có phương
trình y = 2; còn x biến thiên từ x
A
= −1 đến x
B
= 1 (nghĩa là có thể biểu diễn miền D
bởi các bất đẳng thức kép −1 ≤ x ≤ 1 và 2x
2
≤ y ≤ 2).Do đó:

D
f(x, y)dxdy =
1

−1
dx

2

2x
2
f (x, y) dy
Nếu dùng công thức (2.5) thì tính tích phân theo x trước, y sau. Nhìn thep hướng
dương của trục Ox, thấy rằng đường cong OA giới hạn bên trái miền D có phương trình
x = −

y
2
, đường cong OB giới hạn phía phải miền D có phương trình x =

y
2
; còn y
biến thiên từ y = 0 đến y = 2 ( nghĩa là có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức
kép: 0  y  2 và −

y
2
 x 

y
2
. Vậy:
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 18
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2

D

f(x, y)dxdy =
2

0
dy

y
2

−

y
2
f (x, y) dx
b, Hoành độ giao điểm B được xác định bởi phương trình: x
2
= 2 − x hay x
2
+
x − 2 = 0. Từ đó nhận được x
B
= 1, y
B
= 1. Áp dụng công thức (2.4),tính
tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy rằng đường
cong OBA giới hạn phía trên của miền D gồm hai đoạn OB và BA có phương
trình khác nhau nên phải chia miền D thành hai miền OCB và CAB. Ta có:
Hình 2.6:

D

f(x, y)dxdy =

OCB
f(x, y)dxdy+

CAB
f(x, y)dxdy
Miền COB được biểu diễn bởi: 0  x  1
và 0  y  x
2
, còn miền CAB được biểu
diễn bởi: 1  x  2 và 0  y  2 − x. Do
đó:

D
f(x, y)dxdy =
1

0
dx
x
2

0
f (x, y) dy+
2

1
dx
2−x


0
f (x, y) dy
Nếu dùng công thức (2.5), tính tích phân theo x trước. Nhìn theo hướng dương của
trục Ox, miền D được biểu diễn: 0  y  1 và
√
y  x  2 − y. Vậy:

D
f(x, y)dxdy =
1

0
dy
2−y

√
y
f (x, y) dx
Qua trường hợp này, ta thấy rõ tầm quan trọng của việc phải căn cứ vào hình dạng
của miền D mà quyết định dùng công thức (2.4) hay (2.5) để tính tích phân kép một cách
đơn giản nhất.
Ví dụ 2 : Tính tích phân kép

D
x
2
ydxdy, D là miền giới hạn bởi:
a, Các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 2
b, Các đường y = x

2
, y =
√
2 − x
2
c, Các đường y = x, x =
√
y, y = 2
Giải
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 19
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Hình 2.7:
a, Áp dụng công thức (2.4) tính tích phân theo
y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, có
thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép:
0 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 2. Do đó:

D
x
2
ydxdy =
3

0
dx
2

0
x
2

ydy
Đầu tiên, tính tích phân theo y, xem x là hằng
số, ta có:
2

0
2
2
ydy = x
2
2

0
ydy = x
2
y
2
2




y=2
y=0
=
x
2
2

2

2
− 0
2

= 2x
2
Cuối cùng ta có:

D
x
2
ydxdy =
3

0
2x
2
dx = 2
x
3
3




3
0
=
2
3


3
2
− 0
2

= 18
Nếu dùng công thức (2.5), tính tích phân theo x trước. Nhìn theo hướng dương của
trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi bất đẳng thức kép: 0 ≤ y ≤ 2 và 0 ≤ x ≤ 3. Vậy

D
x
2
ydxdy =
2

0
dy
3

0
x
2
ydx
Tính tích phân theo x , xem y là hằng số ta có:
3

0
yx
2

dx = y
3

0
x
2
dx = y
x
3
3




x=3
x=0
=
y
3

3
2
− 0
2

= 9y
Vậy

D
x

2
ydxdy =
2

0
9ydy =
9
2
y
2




y=2
y=0
=
9
2

2
2
− 0
2

= 18
b,
Hình 2.8:
Áp dụng công thức (2.4) tính tích phân theo y
trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, có thể biểu

diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép: −1 ≤ x ≤ 1
và x
2
≤ y ≤
√
2 − x
2
. (chú ý rằng x = −1, x = 1 là
hoành độ giao điểm A và C xác định bởi phương trình
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 20
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
hoàn độ điểm chung). Do đó:

D
x
2
ydxdy =
1

−1
dx
√
2−x
2

x
2
x
2
ydy =

1

−1
x
2
y
2
2




y=
√
2−x
2
y=x
2
dx =
1

−1
x
2
2

2 − x
2
− x
4


dx
=
1
2
1

−1

2x
2
− x
4
− x
6

dx =
1

0

2x
2
− x
4
− x
6

dx =


2
x
3
3
−
x
5
5
−
x
7
7





x=1
x=0
=
34
105
Chú ý :
1. Đối với trường hợp trên, áp dụng công thức (2.4) là đơn giản nhất. Thật vậy, nếu dùng
công thức (2.5) ta phải tính tích phân theo x trước. Khi đó nhìn theo chiều dương của
trục Ox, thấy rằng đường cong OAB giới hạn phía trái của miền D gồm hai đoạn OA và
AB có phương trình khác nhau, tương tự đường cong OCB phía bên phải cũng gồm hai
đường OC và CB có phương trình khác nhau. Vì vậy phải chia miền D thành hai miền
OAC và ABC.
2. Trong ví dụ này, miền lấy tích phân D đối xứng đối với trục Oy, hàm số dưới dấu tích

phân x
2
y là hàm số chẵn đối với biến x nên có thể viết

D
x
2
ydxdy = 2

D
1
x
2
ydxdy
trong đó D
1
là miền tam giác cong OBC.
c,
Hình 2.9:
Tính theo công thức (2.5). Nhìn theo hướng dương
của trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng
thức kép 0 ≤ y ≤ 2,−y ≤ x ≤
√
y. Do đó:

D
x
2
ydxdy =
2


0
dy
√
y

−y
x
2
ydx
Đầu tiên ta tính tích phân theo x, xem y là hằng số, ta có:
√
y

−y
x
2
ydx = y
x
3
3




√
y
−y
=
1

3


y
5
2
+ y
4


Cuối cùng ta có:

D
x
2
y =
2

0
1
3

y
5
2
+ y
4

dy =
1

3


2
7
y
7
2
+
1
5
y
5








y=2
y=0
=
1
3

2
7
2

7
2
+
1
5
2
5

=
16
105

5
√
2 + 14

2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 21